Gewinnt die Eins immer den Wettbewerb der führenden Ziffern?

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1 Gewinnt die Eins immer den Wettbewerb der führenden Ziffern? Elke Warmuth Humboldt-Universität Berlin Tag der Mathematik an der FU Berlin, / 1

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3 x 1, x 2,..., x n nichtnegative Zahlen, z.b. 3,14; 0,07; 1000,... führende Ziffer: erste von 0 verschiedene Ziffer, im Beispiel 3, 7, 1,... Wie sind in einer Menge von Zahlen die führenden Ziffern verteilt? Was soll das überhaupt bedeuten? Gibt es Zahlenmengen, bei denen die Gleichverteilung verletzt ist? Was besagt das Benford-Gesetz? 3 / 1

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5 Wie oft ist unter den ersten n natürlichen Zahlen 1 die führende Ziffer? 1 bis 1 000: = 0, bis : = 0, bis : = 0, / 1

6 Wie oft ist unter den ersten n natürlichen Zahlen 1 die führende Ziffer? 1 bis 2 000: 1 bis : = 0, = 0, bis : = 0, Es kann sich keine feste Verteilung einstellen, wie weit wir auch gehen! 6 / 1

7 Wie oft ist unter den natürlichen Zahlen von 2 10 n bis 10 n+1 die 1 die führende Ziffer? n = 1: 20 bis 100: n = 2: 200 bis 1000: n = 3: 2000 bis 10000: Der Anteil geht gegen / 1

8 Anfangsbedingung: f 1 = f 2 = 1 erste zehn Fibonacci-Zahlen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... Rekursionsvorschrift: f n = f n 2 + f n 1, n = 3, 4,... 8 / 1

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10 Satz Die führenden Ziffern der Fibonacci-Folge gehorchen der Benford-Verteilung. 10 / 1

11 Verteilung der führenden Ziffern der 1229 Primzahlen bis Satz Die führenden Ziffern der Folge der Primzahlen gehorchen nicht der Benford-Verteilung. Sie sind gleichverteilt. 11 / 1

12 Rund 2500 Einkaufszettel aus dem Bereich Lebensmittel und Haushalt ausgewertet von Walter Warmuth 12 / 1

13 Statistik der Einkaufszettel Verblüffend gute Näherung an die Benford-Verteilung. 13 / 1

14 Donau (2857), Rhein (1236), Elbe (1091), 10. Spree (400) 14 / 1

15 Einwohnerzahlen der Gemeinden Deutschlands Stichtag Berlin(3,4 Mio), Hamburg (1,8 Mio), München (1,3 Mio), Wiedenborstel (5) 15 / 1

16 Relative Kursänderungen des DAX DAX-Schlusskurse vom bis , z. B. bei yahoo Kurs heute Kurs gestern relative Kursänderung = Kurs gestern Betrag der relativen Kursänderungen: b 1, b 2,... b 256 unsere Zahlen 16 / 1

17 17 / 1

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19 Potenzen Potenzgesetz 10 0 = = = = = = =... = = a 10 b = 10 a+b Aus Multiplikation von Zahlen wird Addition von Exponenten! 19 / 1

20 Eigenschaft reeller Zahlen Jede positive reelle Zahl x lässt sich darstellen als x = 10 dx Beispiel: 136 = 10 2, = 10 2, Potenzgesetz gilt weiter: = 10 4, Ohne TR ist Addieren leichter als Multiplizieren! 20 / 1

21 Erstes Problem: 136 = 10?, 142 = 10?? Zweites Problem: 10 4, =??? Wer brauchte so etwas überhaupt? 15./16. Jahrhundert: stürmische Entwicklung der Astronomie viele Beobachtungen große Datenmengen aufwändige Berechnungen Addieren ist leichter als Multiplizieren! = Logarithmentafeln Übersetzungstabellen d x = log(x) Logarithmus von x 21 / 1

22 , , , , = 4, / 1

23 4, = 0, , = / 1

24 ... Jost Bürgi ( ) und John Napier/Neper ( ) Bürgi (1620) und Napier (1614) unabhängig voneinander 24 / 1

25 Henry Briggs (1561 bis 1630) Logarithmentafel Logarithmentafel 1962 von Briggs / 1

26 Johannes Kepler ( ) berechnet mühsam eigene Tafel Im Vorwort zu Rudolfinischen Tafeln (1627) an Bürgi gerichtet: Allerdings hatte der Zauderer und Geheimtuer das neugeborene Kind verkommen lassen, statt es zum allgemeinen Nutzen groß zu ziehen. Laplace ( ): Durch die Arbeitserleichterung infolge der Verwendung von Logarithmen wird das Leben der Astronomen verdoppelt. 26 / 1

27 Simon Newcomb ( ): vordere Seiten seiner Logarithmentafeln sind deutlich stärker abgegriffen als hintere ganz vorn schwarze Zahlen mit führender Ziffer 1 Folgerung: Zahlen mit führender Ziffer 1 kommen häufiger vor als Zahlen mit anderen führenden Ziffern. Ist das ein Naturgesetz??? 27 / 1

28 Mantissengesetz von Newcomb Die Häufigkeit von Zahlen ist so, dass die Mantissen ihrer Logarithmen gleichverteilt sind. Mantisse von x ist x = x ganzer Teil von x. log 1, 36 = 0, log 13, 6 = log(1, 36 10) = 0, log 136 = log(1, ) = 0, log 0, 136 = log(1, ) = 0, In der Logarithmentafel stehen die Mantissen der Logarithmen. 28 / 1

29 Mantissengesetz von Newcomb Die Häufigkeit von Zahlen ist so, dass die Mantissen ihrer Logarithmen gleichverteilt sind. Was heißt gleichverteilt? Mantissen sind Zahlen aus dem Intervall [0; 1) gleichverteilt heißt: kein Teilintervall von [0; 1) wird bevorzugt 29 / 1

30 1 000 gleichverteilte Zufallszahlen aus [0; 1) x = RAN# (TR) oder x = Zufallszahl() (Excel) 30 / 1

31 Annahme: Mantissen der Logarithmen sind gleichverteilt. Würfeln Mantissen x = RAN# (TR) oder x = Zufallszahl() (Excel) Bilden zufällige Zahlen z aus dem Intervall [1; 10) durch z = 10 x und untersuchen führende Ziffern von z: 31 / 1

32 am Beispiel der führenden Ziffer 2 z :..., [0, 2; 0, 3), [2; 3), [20; 30),... log(z) :..., [log(2) 1; log(3) 1), [log(2); log(3)), [log(2) + 1; log(3) + 1),... Mantisse :..., [log(2); log(3)), [log(2); log(3)), [log(2); log(3)),... z hat genau dann die führende Ziffer 2, wenn die Mantisse von z im Intervall [log(2); log(3)) liegt. Wenn das Mantissengesetz gilt, dann tritt die 2 mit Wahrscheinlichkeit als führende Ziffer auf. log(3) log(2) = 0, / 1

33 Analog: Die Wahrscheinlichkeit für die führende Ziffer k ist bei Gültigkeit des Mantissengesetzes gleich ( log(k + 1) log(k) = lg ), k = 1, 2,... 9 k 33 / 1

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35 Frank Benford ( ) wiederholte 57 Jahre nach Newcomb dessen inzwischen vergessene Beobachtung belegte sie mit über Daten Flüsse, Einwohnerzahlen, physikalische Konstanten, Auflagenhöhen von Zeitschriften usw. Viele seiner Datensätze einzeln und besonders die Vereinigung aller Daten gehorchen auffallend gut der Benford-Verteilung. 35 / 1

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37 Literatur: Norbert Hungerbühler (2007): Benfords Gesetz über führende Ziffern Wie die Mathematik Steuersündern das Fürchten lehrt. Elke und Walter Warmuth (2012): Was haben Aktienkurse und Fibonacci-Zahlen gemeinsam? In: Der Mathematikunterricht, 58(2012)1. S / 1