Klausur Strömungsmechanik 1 Frühjahr März 2016, Beginn 16:00 Uhr

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1 Prüfungszeit: 90 Minuten Zugelassene Hilfstel sind: Klausur Strömungsmechanik Frühjahr März 206, Beginn 6:00 Uhr Taschenrechner nicht programmierbar) Lineal und Schreibmaterial nur dokumentenecht => keinen Bleistift verwenden, kein TIPP-Ex) Mitgebrachtes Papier Andere Hilfstel, insbesondere: Alte Klausuren Übungen der Vorlesung Handy, Laptop, Fachbücher, programmierbarer Taschenrechner sind nicht zugelassen. Weitere Hinweise: Ergebnisse sind durch einen Rechenweg zu begründen und nur einer Einheit richtig. Die zu verwendenden Indizes sind soweit gegeben) den Skizzen zu entnehmen, ansonsten in die Skizzen einzutragen. Aufgabe Punkte. Verständnisfragen 9 2. Inkompressible Strömungen Kompressible Strömungen 2 Gesamt 53 Name, Vorname:... Matrikelnummer:... Wir wünschen Ihnen viel Erfolg! Prof. Dr.-Ing. J. Seume C. Hamann, T. Hauptmann

2 Klausur Strömungsmechanik Name, Vorname:... Frühjahr 206 Matrikelnummer:.... Verständnisfragen 9 Punkte) 00 Kreuzen Sie richtige Aussagen an. Es können pro Frage mehrere Antworten richtig sein. Nur vollständig richtig beantwortete Fragen werden gewertet.) Höhendifferenz U-Rohr-Manometer 2) Berechnen Sie die Höhendifferenz h 0 h, die sich im gezeigten U-Rohr-Manometer einstellt, wenn auf den beiden Schenkeln die Drücke p 0 und p lasten. Das System wird durch die folgenden Größen p = 02700Pa p 0 = 00000Pa g = 9.8m/s 2 ρ f l = 030kg/m 3 beschrieben. Welche Aussagen sind richtig? h 0 h = m h 0 h =7.38m h 0 h = m h 0 h =2.4m Rohrströmung 2) Zeichnen und benennen Sie ein laminares sowie ein turbulentes Geschwindigkeitsprofil, ungefähr gleichen Volumenstroms, übereinander in den gegebenen Rohrquerschnitt. y u Seite von 22

3 Klausur Strömungsmechanik Name, Vorname:... Frühjahr 206 Matrikelnummer:... Rohrströmung 2) In einem geraden Rohr dem Durchmesser d = 2cm fließt Wasser ρ = 000kg/m 3, ν = 0 6 m 2 /s) einer tleren Geschwindigkeit von c m = m/s. Wie hoch ist der Druckverlust p V wenn das Rohr.5m lang ist und Sie Einlaufeffekte vernachlässigen. 2bar 70Pa 2Pa 7.5Pa 8000Pa Wasserkanal ) In einem Wasserkanal Abb. ) fließt Wasser ρ = 000kg/m 3, ν = 0 6 m 2 /s) einer tleren Geschwindigkeit von c m = 0.6m/s durch eine rechteckige Messstrecke Breite=50cm). Der Wasserstand in der Messstrecke beträgt 50cm. Am Ende der Messstrecke wird die Strömung um 80 umgelenkt und durch ein Rohr dem Innendurchmesser d i = 30cm zurückgeführt. Wie hoch ist die tlere Geschwindigkeit c m im Rohr. Die Strömung ist als verlustfrei anzusehen. Abb. Wasserkanal.42m/s 0.8m/s 2.2m/s.2m/s 3.24m/s Seite 2 von 22

4 Klausur Strömungsmechanik Name, Vorname:... Frühjahr 206 Matrikelnummer:... Auftriebskraft am Tragflügel 2) Ein Airbus A380 hat eine projizierte Flügelfläche von 735m 2 und eine Startmasse von 569 t. Beim Abheben beträgt die Geschwindigkeit 270km/h Dichte ρ =.5kg/m 3 ). Wie groß ist der notwendige Auftriebsbeiwert c A beim Start? 3,37 2,35,02 7,23 Seite 3 von 22

5 Klausur Strömungsmechanik Name, Vorname:... Frühjahr 206 Matrikelnummer: Inkompressible Strömungen 2.. Bewässerungsanlage 22,5 Punkte) 00 Aus einem großen Bergsee B wird tels einer Pumpe Wirkungsgrad η = 0,8) Wasser in einen Behälter B 2 gefördert. Das Wasser tritt als Freistrahl in den Behälter B 2 oberhalb des Wasserspiegels auf der Höhe h 2 ein. Der Umgebungsdruck p 0 ist konstant. Das Wasser wird über ein Rohrleitungssystem über eine Pumpe der Leistung P zum Behälter B 2 geführt. Das Rohrleitungssystem besteht aus dem Rohrsegment D, l und λ ), dem Rohrsegment 2 D 2, l 2 und k s,2 ) und einem Schieber ξ S ). Die Krümmer des Rohrsystems sind ebenfalls verlustbehaftet ξ K ). Der Einlauf der Rohrleitung ist in der Höhe h unterhalb der Wasseroberfläche angebracht. Die Strömung bis zur Pumpe kann als verlustfrei betrachtet werden. Am Behälter B 2 ist eine Leitung dem Durchmesser D 3 zur Versorgung einer Bewässerungsanlage angeschlossen. Aus dem Behälter wird der Volumenstrom V für die Bewässerungsanlage entnommen. Aus dem See B wird jeweils soviel Wasser in den Behälter B 2 gefördert, dass die Höhe des Wasserspiegels h 3 konstant bleibt. Abb. 2 Pumpenanlage zur Bewässerung Gegeben: D = 5cm D 2 = 7.5cm D 3 = 8cm D Düse = 30mm h = 20m h 2 = 4m l = 30m l 2 = 40m p 0 = bar p 3 = 2bar V = 00m 3 /h λ = 0,05 ξ K = 0,4 ξ S = 0,6 k s,2 = 0.025mm ρ = 000kg/m 3 ν = 0 6 m 2 /s η Pumpe = 0,8 Seite 4 von 22

6 Klausur Strömungsmechanik Name, Vorname:... Frühjahr 206 Matrikelnummer: a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit an der Stelle 3, wenn die Bewässerungsanlage einem Volumenstrom V = 00m 3 /h versorgt wird. c 3 4 V π D 2 3 Wert 5.53 m/s 0.5 b) Berechnen Sie die notwendige Höhe h 3 des Wasserspiegels im Behälter B 2, wenn der Volumenstrom V = 00m 3 /h in der Bewässerungsanlage benötigt wird und der Druck an der Stelle 3 p 3 = 2 bar betragen soll. h 3 p3 p0 g ρ + 8 V 2 π 2 g D 4 3 Wert.75 m 0.5 c) Bestimmen Sie die Pumpenleistung P, die erforderlich ist. Hinweis: Der gesamte Leistungseintrag in das gezeigte System geschieht an der Pumpe. Hinweis: Der Schieber wird derselben Geschwindigkeit wie das Rohrsegment 2 durchströmt P [ V ρ η Pumpe 2 c2 2 + g ρh 2 h ) + p V,R + p V,R2 + p V,K + p V,K2S ) ] Wert kw An den Behälter B 2 wird für die Bewässerung ein Schlauch angeschlossen. Zur gleichmäßigen Bewässerung der Grünanlage V = 00m 3 /h) hat der Schlauch der Düse einen Neigungswinkel von α = 30. Hinweis : Der Höhenunterschied zwischen Düse und Leitung ist zu vernachlässigen. Hinweis 2: Die Verluste im Schlauch und Düse sind zu vernachlässigen. Hinweis 3: Der Strahl weitet sich nicht auf. 0.5 Seite 5 von 22

7 Klausur Strömungsmechanik Name, Vorname:... Frühjahr 206 Matrikelnummer:... Abb. 3 Behälter B 2 angeschlossenem Schlauch a) Bestimmen Sie die Austrittsgeschwindigkeit der Düse c Düse. c Düse 4 V π D 2 Düse b) Berechnen Sie die Höhe h F des sich einstellenden Wasserstrahls. 3. a) h F c 2 Düse [ cosα)2 ] 2 g Wert Wert 39.30m/s od. 5.8m/s Der Volumenstrom V ist bekannt und an der Stelle 3 gilt: Für die Geschwindigkeit c 3 folgt m od. 3.8m V = π 4 D2 3 c 3 a ) c 3 = 4 V π D ) b) Aufstellen der verlustfreien Bernoulli Gleichung vom Flüssigkeitsspiegel des Behälters B 2 Index "2") zum Austritt der Rohrleitung an der Stelle 3 Index "3"): Mit ρ c p 2 + g ρ z 2 = ρ c p 3 + g ρ z 3 b 3) Seite 6 von 22

8 Klausur Strömungsmechanik Name, Vorname:... Frühjahr 206 Matrikelnummer:... z 3 = 0 z 2 = h 3 p2 = p0 c 2 = 0 p3 = 2bar 0,5c 4) folgt c) Aufgelöst nach h 3 und c 3 eingesetzt p 0 + g ρ h 3 = ρ c p 3 5) p3 p0 h 3 = + 8 g ρ π 2 V 2 g D 4 =,75m 6) 3 Bernoulli-Gleichung zwischen Wasserspiegel Behälter B Index "") und dem Austritt der Rohrleitung über Behälter B 2 Index "2") Mit ρ c2 2 + p + g ρ z + Ẇ2 V = ρ c p 2 + g ρ z 2 + p Verlust d 7) z = h z 2 = h 2 p = p2 = p0 c = 0 Die Verluste p Verlust lassen sich gemäß Gl. 6.2 der FS in Rohrreibungsverluste und Verluste durch Rohreinbauten Krümmer usw.) unterteilen: p 2 = 2 ρc2 k λ k Für das vorliegende System ergibt sich daher k l k d k + i 0,5e 8) 2 ρc2 i ζ i 9) p 2 = l 2 ρc2 Rλ + l 2 D 2 ρc2 2λ 2 + D 2 2 ρc2 Rξ K + 2 ρc2 2ξ S + ξ K ) 0) jew. 0,5 > 2,5f ) Die Geschwindigkeiten in den Rohrsegmenten ergeben sich aus der Massenstromerhaltung zu: c R = c 3 A 3 = 4.0m/s A c 2 = c 3 A 3 = 6.25m/s A 2 Bestimmung des Druckverlust in Leitung : Da die Rohrreibungszahl bereits gegeben ist, ergibt sich der Druckverlust aufgrund von Reibung hier direkt zu 0.5g 0.5h 2) 3) Bestimmung des Druckverlust in Leitung 2: p V,R = 2 ρc2 λ l D = Pa 4) Re = c 2 D 2 ν = i 5) k s,2 D 2 = j 6) Seite 7 von 22

9 Klausur Strömungsmechanik Name, Vorname:... Frühjahr 206 Matrikelnummer:... Aus dem Moodydiagramm lässt sich hier der Verlustbeiwert bestimmen. Der Druckverlust in Leitung 2 aufgrund der Rohrreibung beträgt daher λ = k 7) Des Weiteren treten auch Verluste im Krümmer auf und im Schieber und Krümmer 2 p V,R2 = 2 ρc2 2λ l 2 D 2 = 86458Pa 8) p V,K = 2 ρc2 ξ K = Pa 9) p V,K2S = 2 ρc2 2ξ K + ξ S ) = Pa 20) Die erforderliche Pumpenleistung ergibt sich aus der umgeformten Bernoulligleichung von Pumpe zu Austritt des Strahlrohrs 3.2 a) P Pumpe = V [ ρ ] η Pumpe 2 c2 2 + g ρh 2 h ) + p V,R + p V,R2 + p V,K + p V,K2S ) = kw l 22) Der Volumenstrom V ist bekannt und an der Düse gilt: Auch Bernoulli möglich. b) Für die Geschwindigkeit c Düse folgt 2) V = π 4 D2 Düse c Düse m 23) c Düse = 4 V π D 2 Düse Aufstellen der verlustfreien Bernoulli Gleichung von Punkt Austritt der Düse) nach Punkt 2 Scheitelpunkt): Mit ρ c2 24) 2 + p + g ρ z = ρ c p 2 + g ρ z 2 n 25) z = 0 z 2 = h F p = p2 = p0 0,5o 26) Geschwindigkeit im Scheitelpunkt lässt sich Hilfe von c Düse ausdrücken: Horizontale Komponente von c 2 entspricht der horizontalen Komponente von c Düse, da der Luftwiderstand vernachlässigt wird. Vertikale Komponente im Scheitelpunkt ist c 2,vertikal = 0. Einsetzen von 27) in 25) und Auflösen nach h F. c 2 = c Düse cosα p 27) Seite 8 von 22

10 Klausur Strömungsmechanik Name, Vorname:... Frühjahr 206 Matrikelnummer:... h F = c 2 Düse [ cosα) 2] 2 g 28) Seite 9 von 22

11 Klausur Strömungsmechanik Name, Vorname:... Frühjahr 206 Matrikelnummer: Messdüse 9,5 Punkte) 00 Zur Durchflussmessung einer Flüssigkeit der Dichte ρ = const wird die skizzierte Messdüse in eine Rohrleitung eingebaut. Die Strömungsgeschwindigkeit c am Eintritt der Messstrecke sei über den Querschnitt konstant. Am Austritt sei die Strömung wieder ausgeglichen. Die Reibung an den Rohrwänden kann vernachlässigt werden. Gegeben: ρ, p, c, A, A 2 Gefragt: Abb. 4 Messdüse a) Wie groß ist der Druckverlust dieser Messstrecke? p v ρ 2 c2 ) ) 2 A A 2 b) Wie groß ist der Druck p 3 am Austritt? p 3 p p v = p ρ 2 c2 A A 2 ) 2 ) c) Wie groß ist die Kraft der Flüssigkeit auf die Messstrecke? Seite 0 von 22

12 Klausur Strömungsmechanik Name, Vorname:... Frühjahr 206 Matrikelnummer:... F ρ 2 c2 A A 2 ) 2 )A 3 a) Druckverlust in der Messstrecke: Der auftretende Verlust in der Strecke von [] bis [3] ist der Carnotsche Stoßverlust der unstetigen Querschnittserweiteurng von A 2 auf A 3, über Bernoulli von 2 nach 3: der Randbedingung z 2 = z 3 folgt bzw. der Kontinuitätsgleichung auch 3 b) p 2 + ρ 2 c2 2 = p 3 + ρ 2 c2 3 a 29) 0,5b p 3 p 2 = p v = ρ 2 c 2 2 c 2 3) 0,5c 30) c A = c 2 A 2 = c 3 A 3 3) p v = ρ 2 c2 A ) 2 ) Der Druck p 3 Die Bernoullische Gleichung Verlusten von [] nach [3] A 2 32) p + ρ 2 c 2 + ρgz p v = p 3 + ρ 2 c ρgz 3 0,5d 33) liefert c = c 3 und z = z 3 0,5e 0,5f 3 c) p 3 = p p v = p ρ 2 c2 A ) 2 ) A 2 34) Kraft auf die Düse Der Impulssatz lautet im Rahmen der Stromfadentheorie für den Fall stationärer Strömung: ρ c 2 A + ρ c 2 3A 3 = p A p 3 A 3 F g 4x0,5h 35) Seite von 22

13 Klausur Strömungsmechanik Name, Vorname:... Frühjahr 206 Matrikelnummer:... wobei F die Kraft auf die Wandung ist ist. Hier ist ρ = ρ 3 = ρ und wir erhalten A = A 3 ) ) 2 F = p p 3 )A + ρc 2 A c3 c 36) Der letzte Ausdruck in der eckigen Klammer verschwindet und wir erhalten F = ρ A ) 2 2 c2 ) A 37) A 2 Seite 2 von 22

14 Klausur Strömungsmechanik Name, Vorname:... Frühjahr 206 Matrikelnummer: Kompressible Strömungen 2 Punkte) 00 Für einen neuen Testfall am aeroakustischen Windkanal des Instituts für Turbomaschinen und Fluid-Dynamik wird Luft unter dem Druck p, der Temperatur T und der Mach-Zahl Ma durch ein Rohr der Querschnitssfläche A geleitet und einer Konvergenten-Divergenten Düse zugeführt. Anschließend wird die Strömung der Messstrecke zugeführt. Dabei entspannt die Strömung auf den Druck p 2, sodass in der Messstrecke ein homogenes Strömungsfeld Überschall vorliegt. Im engsten Querschnitt herrscht die Schallgeschwindigkeit c. Die Düsenströmung sei stationär und isenstrop. Die spezifische Gaskonstante für Luft R sowie der Isenstropenexponent κ sind bekannt. Abb. 5 Konvergent-Divergente Düse Gegeben: c = 393m/s p = 7.6bar T = 540K Ma = 0,42 A = 0.03m 2 p 2 = bar R = 287J/kgK κ =,4 Gefragt: a) Bestimmen Sie die Mach-Zahl Ma 2 am Düsenaustritt der Messstrecke. Ma 2 Wert [ p ) κ κ p 2 ] ) + κ 2 Ma2 2 wird auch in mehreren Termen akzeptiert b) Wie groß ist der Massenstrom ṁ durch die Messstrecke? κ ), ,5 Wert ṁ A p T R Ma κrt kg/s 0,5 Seite 3 von 22

15 Klausur Strömungsmechanik Name, Vorname:... Frühjahr 206 Matrikelnummer:... c) Welche Temperatur T 2 stellt sich am Düsenaustritt in Punkt 2 ein? Wie groß muss die Querschnittsfläche A 2 für die gegebenen Bedingungen gewählt werden? Wert T T κ 2 Ma2 2) A 2 ṁrt 2 d) Bestimmen Sie ob die Strömung über- oder unterkritisch ist. 4 a) Für Ma 2 zuerst p 0 bestimmen Umformen Wert 249.6K oder 302.5K 0,5 p 2 c m 2 0,5 Wert überkritisch p 0 = p + κ 2 Ma2 ) κ κ 0,5a 38) p 0 = 7,6bar +,4 ) 3,5 0,42 2 = 8,58bar 39) 2 p 0 = p 2 + κ ) κ κ 2 Ma2 2 p0 p 2 Ma 2 = ) κ κ [ p0 p 2 = + κ ) 2 Ma2 2 ) κ κ ] 2 κ 0,5b 40) 4) ) = 2,06 42) Seite 4 von 22

16 Klausur Strömungsmechanik Name, Vorname:... Frühjahr 206 Matrikelnummer:... 4 b) Ma 2 = [ p p 2 ) κ κ + κ ) ] ) 2 2 Ma2 = 2,06 43) κ Bestimmung des Massenstroms Ansatz nach Konti-Gleichung, ṁ konstant Dichte über ideales Gasgesetz Schallgeschwindigkeit c : Massenstrom ergibt sich zu 4 c) Temperatur T 2 und Fläche A 2 Temperatur bestimmen über c = Ma κrt = 0,42 T 0 bei gegebenem c erteln A ρ c = ṁ c 44) ρ = p T R = 4,903kg/m3 0,5d,4 287 m2 s 2 K 540K = 95,63m/s 0,5e 45) 46) A ρ c = ṁ = 28,78kg/s 47) T 0 = T 2 + κ ) 2 Ma2 2 T 0 = T 0 c = c 2 2κ κ+ 0,5f 48) 2κ κ + RT 0 49) R = 46,27K 50) T 2 = ) = 249,6K oder302,5k) 5) + κ 2 Ma2 2 Fläche A 2 durch Ansatz nach Konti-Gleichung siehe oben) A 2 = ṁ ρ 2 c 2 0,5g 52) Schallgeschwindigkeit aus Mach-Zahl berechnen Dichte ersetzen bzw. bestimmen über ideales Gasgesetz c 2 = Ma 2 κrt2 = 652,m/soder77,9m/s) 53) ρ 2 = p 2 RT 2 =,39kg/m 3 54) Seite 5 von 22

17 Klausur Strömungsmechanik Name, Vorname:... Frühjahr 206 Matrikelnummer:... A 2 = ṁrt 2 p 2 c 2 = 0,032m 2 55) Über- oder unterkritisch erfolgt durch berechnen des kritischen Druckverhältnisses: Das vorliegende Druckverhältnis beträgt: Da überkiritisch. ) κ 2 π κ = = 0,528 κ + 0,5h 56) p 2 p 0 = 0,6 < π 0,5i 57) Seite 6 von 22

18 Formelsammlung Formelsammlung Viskosität η = νρ 6.) η : dynamische Viskosität, [Ns/m 2 ] ν : kinematische Viskosität, [m 2 /s] ρ : Dichte, [kg/m 3 ] Newtonsches Fluid: τ = η du 6.2) dy τ : Scherspannung, [N/m 2 ] u : Strömungsgeschwindigkeit, [m/s] y : Koordinate senkrecht zur Strömungsgeschwindigkeit, [m] Oberflächenspannung und Kapillarität Drucksprung p in der Phasengrenzfläche eines kugelförmigen Tropfens dem Radius r: p = 2σ ; σ : Oberflächenspannung, [N/m] 6.3) r Steighöhe h bei Kapillaren kreisförmigem Querschnitt: 2σ cosα h = ; α : Randwinkel 6.4) ρgr Hydrostatik Hydrostatischer Druck: pz) = p 0 + ρgz p 0 z 6.5) pz) Hydrostatischer Auftrieb: F A = ρgv ; V : Volumen der verdrängten Flüssigkeit 6.6) I

19 Strömungsmechanik I Hydrodynamik Massenbilanz dm KV = dt ρ n c da 6.7) n : Normalvektor KV : beliebiges Kontrollvolumen Impulssatz ρ c n c da = p n da + ρ g dv + F R + F 2 6.8) F R : Reibungskraft Bernoulli-Gleichung F 2 : Haltekraft/Interaktion Wänden 2 ρ c2 + p + ρgz = 2 ρ c2 2 + p 2 + ρgz 2 6.9) Erweiterung für verlustbehaftete Strömungen Energiezufuhr: 2 ρ c2 + p + ρgz + Ẇ2 V = 2 ρ c2 2 + p 2 + ρgz 2 + p ) Ẇ 2 > 0 : zwischen Position und 2 zugeführte Leistung, [Nms ] V : Volumenstrom, [m 3 /s] p 2 : Druckverlust zwischen Position und 2, [Pa] Druckverlust in Rohrströmungen: p 2 = 2 ρ c2 k λ k k l k d k + λ k : Rohrreibungszahl i 2 ρ c2 i ξ i l k : Länge des Rohrabschnitts k d k : Durchmesser des Rohrabschnitts k ξ i : weitere Verlustbeiwerte des Rohrabschnitts i Impulsmomentensatz 6.2) ρ 2 c 2 2A 2 r 2 e t,2 + p 2 A 2 r 2 e t,2 ) ρ c 2 A r e t, + p A r e t, ) = M ) M 2 : Summe der äußeren, an der Oberfläche der Kontrollraumes angereifen Momente e t : Einheitsvektor, in Strömungsrichtung zeigend Euler sche Turbinengleichung: M 2 = ṁr 2 c u2 r c u ) 6.23) c u : Komponente der Strömungsgeschwindigkeit in Umfangsrichtung r : Hebelarm II

20 Formelsammlung Energiebilanz u 2 + c p ) 2 + gz 2 u + c2 ρ p ) + gz = q ) ρ u : spez. innere Energie,[J/kg] q 2 = Q/ṁ : zwischen Position und 2 zugeführte spezifische Wärmemenge, [J/kg] Interne Strömungen Laminare Rohrströmung Geschwindigkeitsprofil: [ cr) = pr2 ] [ r 2 ] r 2 = c max 4ηl R) R) p : Druckunterschied zwischen zwei im Abstand l auf den Stromfaden liegenden Punkten l : Länge des Rohrabschnittes über dem der Druckunterschied p auftritt Volumenstrom: V = πr4 p Gesetz von Hagen-Poiseuille) 6.26) 8ηl Druckverlust im geraden Rohr: p = 2 ρc2 m λ l 6.27) d c m : über den Querschnitt getelte Strömungsgeschwindigkeit Stromfadentheorie) λ : Rohreibungszahl Die Rohrreibungszahl für laminare Strömungen ist λ = ) Re der Reynolds-Zahl: Re = c m d ν Turbulente Rohrströmung Geschwindigkeitsprofil: cr) = r ) /7 c max R, Re 0 5 Dieses /7-Potenzgesetz gilt nicht in Wandnähe. Druckverlust im geraden Rohr: 6.25) 6.29) 6.30) p = 2 ρc2 m λ l d 6.3) c m : zeitliche und über den Querschnitt getelte Strömungsgeschwindigkeit Stromfadentheorie) Die Rohrreibungszahl für hydraulisch glatte Rohre: λ = Re /4 für Re 0 5 Blasius) 6.32) λ = 2logRe λ) 0,8 für 0 5 Re Prandtl) 6.33) III

21 Strömungsmechanik I Moody-Diagramm Das Moody-Diagramm stellt die Rohrreibungszahl λ in Abhängigkeit der Reynoldszahl Re laminare und turbulente Strömungen) und der äquivalenten Sandkornrauhigkeit k s für technisch rauhe Rohre dar. Rohrreibungszahl λ Laminare Transition Turbulente Stroemung Stroemung Material k mm) s Beton Holzsprosse Gusseisen 0.25 Verzinktes Eisen 0.5 Stahl Gezogenes Rohr Fluide bei 20 C ν m 2 /s) Wasser.003e 06 Luft kpa).5e 05 hydraulisch glattes Rohr, r = 0 / λ = 2 logre λ ) 0.8 Hagen Poisseuille Gleichung Re 2300, λ = 64/Re Colebrook Gleichung, Re 2300 / λ = 2 logr / /Re λ )) Hydraulischer Durchmesser d = 4A/U Reynoldszahl Re = c d/ν Externe Strömungen Grenzschicht an einer ebenen Platte Grenzschichtdicke laminar): δ x = 5,0 Rex Reynoldszahl bezogen auf die Lauflänge: Re x = c x v c : Anströmgeschwindigkeit parallel zur Plattenoberfläche x : überströmte Länge, Beginn: Plattenvorderkante e 05 2e 05 e 05 Relative Rauheit r = k s / d 6.34) 6.35) Laminar-turbulenter Umschlag: Re xkrit = c x krit ν ) Strömungswiderstand Gesamtwiderstand F W = F w,τ + F w,p = c w ρ 2 c2 A 6.37) IV

22 Formelsammlung F w,τ : Widerstandskraft infolge der Reibung F w,p : Widerstandskraft infolge der Druckdifferenz c w : Widerstandskoeffizient A : angeströmmte oder umströmmte Fläche Reibungswiderstand einer ebenen Platte:,328 lam. Grenzschicht Rel c w,τ = 0,074 turb. Grenzschicht Re /5 l Re l : c l ν Ausströmvorgänge Ausströmgeschwindigkeit für inkompressibles Fluid c innen = c 0 = 0): 2 c aus = ρ p 0 p aus ) + 2gh Ausströmgeschwindigkeit für kompressibles Fluid c in = 0): c aus = 2κ ) κ ) κ RT paus κ 0 Massenstrom: p 0 ṁ = A aus c aus ρ aus = A aus 2p0 ρ 0 ψ Ausflußfunktion: ψ = κ ) 2 paus κ paus κ p 0 Kritisches Druckverhältnis: ) paus 2 = κ + p 0 Gasdynamik ) κ κ p 0 ) κ+ κ Thermische Zustandsgleichung eines idealen Gases: ) 6.38) 6.39) 6.40) 6.4) 6.42) 6.43) p = RT ; R : Gaskonstante, [J/kg K)] und T : Temperatur, [K] 6.44) ρ Isentropenbeziehung: ) κ ) T p κ ρ κ = = ; κ = c p : Isentropenexponent 6.45) T 0 p 0 ρ 0 c v R = c p c v = κ κ c p 6.46) V

23 Literaturverzeichnis Spezifische Enthalpie: h = u + p ρ u : spez. innere Energie, [J/kg] 6.47) Schallgeschwindigkeit: a = κrt 6.48) Mach-Zahl: Ma = c/a Zustandsänderung aus dem Ruhezustand X 0 ) für ein ideales Gas bei isentroper, verlustfreier, stationärer Strömung: T 0 T = + κ 2 Ma2 p 0 p = + κ 2 Ma2 ρ 0 ρ = + κ 2 Ma2 ) κ κ ) κ Zustandsänderung für den kritischen Zustand X ) einen idealen Gas in einer isentrope, verlustfreie, stationäre Strömung: T 0 T = κ + 2 p 0 κ + p = 2 ρ 0 κ + ρ = 2 ) κ κ ) κ Für die Strömungen zwischen zwei beliebigen Punkten und 2 auf dem Stromfaden gilt: T 2 = κ ) ρ c 2 2 c 2 T 2κ p ) p 2 = κ ρ c 2 2 c 2 p 2κ p ) ρ 2 = κ ρ c 2 2 c 2 ρ 2κ p ) ) κ κ ) κ 6.49) 6.50) 6.5) 6.52) 6.53) 6.54) 6.55) 6.56) 6.57) 6.58) VI