Aufgaben 4. ( ) ax + 8ab 2ay 2ax 2ay 3 2

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Swen Rosenberg
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1 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich 6 Aufgaben Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke und vereinfachen Sie sie so weit wie möglich:. (q r) (q + r) (q r). 8a a + [(a b) (a + b)] [ ( a + b)] ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) y + 9z + z y z a + 8ab ay a ay a+ b 8. a( a a + ) a ( a ) 9. ( a )( a ) 0. ( y) ( u). (a b) ( + y). (u 7w) ( y). (u ) ( y). ( y) (a b + c). ( + y) ( + u v) 6. ( + y)( y) ( + y)( y) Kürzen Sie die folgenden Ausdrücke so weit wie möglich!

2 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich 7. 6 y. 6. ( + ) ( + ) a b c d a b Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke: : :

3 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich : Berechnen Sie mit Hilfe der binomischen Formeln: 9. (u + 8w) 0. (a + b) + (a b). ( y). a b a b +. (a + b) (a b). (a + 7by) (a 7by). + y y 6. ( + ) ( ) +( )( + ) 7. ( ) ( + ) 8. ( y) ( y) Berechnen Sie im Kopf (möglichst einfach):

4 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich 9 Stellen Sie folgende Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln als Produkte dar: u uv + 9v 7. 8u v 8. a 8b y 9. 6u + w y Vereinfachen Sie die folgenden Brüche mit Hilfe der binomischen Formeln so weit wie möglich : a ab + b a b Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke und vereinfachen Sie sie so weit wie möglich: ( ) ( ) :0 n n ( a+ b) ( a b) ( a ) 70. ( ) 7. ( 0,) 7. ( ) 7. ( ) u

5 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich ( a b ) 76. ( ) n n 77. ( ) 0, ab 8ab 8ab 0 9a b 7b yz yz 6 a a a y y a b a b a b a b Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke und vereinfachen Sie sie so weit wie möglich: ( )

6 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich : 6 6 a a y y 6 ( 8 ) a + a a 97. ( ) a b ( ) a b 98. b a b Schreiben Sie die folgenden Potenzgleichungen in Logarithmusgleichungen um: 99. = =.0 0. = 6 = = 6 Berechnen Sie die folgenden Logarithmen: 0. log 7 0. log 0. log 06. log log log 09. loga a 0. log 0,

7 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich 6. log 9. log 7 Berechnen Sie mit Hilfe des Taschenrechners:. log 8. lg. ln 6. ln Berechnen Sie so einfach wie möglich: 7. lg + lg0 8. log 9. log 6 0. log. log7. log6.000 Berechnen Sie die folgenden Summen:. i=. ( i). i i= i= i i+ i 6. i ( i) i= 7. ( i + i ) i= 8. n= 0 n + n +

8 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich 6 9. i= i i+ Berechnen Sie die folgenden Produkte: i= 0 6 i= i= 0 i i i i + i i i= + Lösen Sie die linearen Gleichungen: = 8. 8( + ) + 7 = 7 6. ( + 6) ( 7) = ( + 0) ( + ) = = + 9. ( + ) ( ) + ( + ) = ( + ) ( ) Lösen Sie die Tetgleichungen: 0. Wenn man vier aufeinanderfolgende gerade Zahlen addiert, erhält man 8. Wie heißen diese vier Zahlen?. Herr Klein, seine Tochter Sophia und sein Enkel Feli haben, der Zufall hat s gefügt, am gleichen Tage Geburtstag. Tochter Sophia wurde am 6. Geburtstag ihres Vaters, Enkel Feli am. Geburtstag seiner Mutter geboren. Heute feiern wir drei einen ganz besonderen Geburtstag, verkündet Opa Klein den zahlreich erschienenen Gästen, wir werden zusammen gerade 00 Jahre alt. Wie alt wird jedes der drei Geburtstagskinder?. Um 9. startet in Rom ein Privatflugzeug und fliegt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 0 km/h nach New York. Zwei Stunden später folgt ihr ein Jumbo-Jet mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 90 km/h. Wann und in welcher Entfernung von Rom überholt der Jumbo-Jet die Privatmaschine?. Aus echtem Jamaika-Rum mit einem Alkoholgehalt von 0 % will sich Herr Schniefnase einen kräftigen Grog brauen, mit dem er eine beginnende Erkältung bekämpfen will. Er nimmt o,o Liter Rum und gießt 0, l heißes Wasser dazu. Wieviel Prozent Alkohol enthält der Grog?

9 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich 6. Eine Pumpe kann einen Swimmingpool in 80 Minuten füllen, eine zweite, leistungsfähigere Pumpe würde dazu nur 70 Minuten brauchen. Wie lange dauert das Füllen, wenn beide Pumpen gleichzeitig in Betrieb sind? Lösen Sie die Bruchgleichungen: 7. = = = = = = + + ( ). 6 = Lösen Sie die Eponentialgleichungen:.. = 9 = 7. =. - = 0 Lösen sie die quadratischen Gleichungen: = 0 7. = = = ( + 9) ( + ) = ( ) ( + ) 6. + =

10 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich = = 0 Lösen Sie die Gleichungen dritter Ordnung: 6. 6 = = = = 0 Lösen Sie die Ungleichungen: > > 70. ( )( + )> ( + )(6 ) 7. ( ) > 9 7. ( ) + + < , <, 7. > 7. ( + ) < 76. > Lösen Sie diese Gleichungssysteme mit dem Gleichsetzungsverfahren y = y = y = -8 + y = Lösen Sie diese Gleichungssysteme mit dem Einsetzungsverfahren: y = - + y = y = + 7y = 0

11 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich 66 Lösen Sie diese Gleichungssysteme mit dem Additions- bzw. Subtraktionsverfahren: 8. + y = y = y = 8 y = Lösen Sie diese Gleichungssysteme mit einem Verfahren Ihrer Wahl: 8. y = + y = y 7 + = = y y y = y = y = 0 8 y = = = + y + y y y = 6 + y = 90. ( + )(y ) = ( )(y + ) ( + )(y 8) = ( + )(6y ) 9. 6y z = y 0z = 8 y z = 9. a b + c = 7a + b c = 6 a+ b+ c =

12 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich 67 Berechnen Sie zu den folgenden Funktionen jeweils die erste Ableitung: 9. f() = f() = + = + 9. f() = f() = 97. f() = sin ( + ) f() = e 99. f() = ( + ) 00. f() = sin() 0. ( ) f() = + = f() = = = = 0. f() = e sin( ) 0. f() = sin ( + ) 0. f() = cos () f() = sin() cos( )

13 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich 68 Lösungen. r. a b = (a b). 0. 0y + 6z yz b y y 7. 8a 6b 8. a a + a 9. a + 6a u + uy. 8a + 0ay b by. u 9uy w + wy. 0u uy + y. a b + 6c ay + 6by 9cy. + u 6v + y + 6uy 9vy 6. y y y c d a+ b ( )

14 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich u + 80uw + 6w 0. a + b. y + 9y 9 6. a b 6. ab. a 9b y. y

15 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich y ( ) 6. (7u v) 7. (9u + v) (9u v) 8. (a + 9by) (a 9by) 9. (w y + u ) (w y u ) a b 6. ( + )( ) ( + ) + Achtung: Kürzen nicht möglich! 6 6. = n ( a b ) 68. = a 70. 0, u + = = 0,07

16 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich b 7 a n n 77. ( ) = a(9 a) b(a ) yz a 8. y 8. b a a y a ab a b

17 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich log 6 = 00. log = 0. log.0 = 0. log6 = , ,77., ,69 7., , , 770.,

18 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich , =. = 6. = 7. keine Lösung! 8. = 9. = 7 0. Die gesuchten Zahlen sind 8, 86, 88 und 90.. Feli wird 0, seine Mutter und Opa Klein 8 Jahre alt.. Der Jumbo-Jet überholt also nach Std. und Min. Die Entfernung von Rom beträgt dabei 0 =.6, km.. = 8%. Wenn beide Pumpen in Betrieb sind, dauert es 7 Minuten und 0 Sekunden, bis der Pool gefüllt ist.. = = 7. Keine Lösung! 8. = 9. = 7 0. Keine Lösung, da für = der Nenner 0 wird.. =. =

19 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich 7. =. =,69. =,86 6. = und = 0 7. = und = 8. = und = 0, 9. keine Lösung 60. = = 6. = und = 0, 6. = und = 6. = und = 6. = 0 = und = 6. = und / = 66. = und = und = 67. = und = und = 68. > 69. < <, 7. > 7 7. < 7. keine Lösung! 7. < oder > 7. > oder < 76. > oder < 77. oder > 78. = / und y = / 79. = /8 und y = / 80. = und y = 8. = und y =

20 Mathe-Grundlagen D. Fröhlich 7 8. = 6 und y = 8. = und y = - 8. = und y = 8. = und y = 86. = und y = 87. = und y = 88. = 6 und y = 89. = 0 und y = 90. = und y = 9. = y = 8 z = 9. a = b = 0 c = 9. f () = f'() = f'() = 96. f'() = ( ) 97. f () = ( + ) cos ( + ) f'() = e 99. f () = ( + ) 00. f () = 6 cos() 0. f'() = 0. f'() = f() = e ( sin( ) + cos( )) 0. f () = cos ( + ) 0. f () = cos () sin() f () = cos() cos( ) sin() sin( )

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