Vorlesung Mathematik I.2

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1 Vorlesung Mathematik I.2 Prof. Dr. Zoltán Sasvári Institut für Mathematische Stochastik Technische Universität Dresden Sommersemester Inhaltsverzeichnis Grundbegriffe 3 Stetige Funktionen mehrerer Variablen 20 Funktionen mehrerer Variablen 25 Partielle Ableitungen 30 Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient 42 Vollständiges Differential, Anwendungen 55 Mehrfache Integrale 68 Anwendungen dreifacher Integrale 90 Skalar- und Vektorfelder 98 Kurvenintegrale 117 Oberflächenintegrale 133 Integralsätze von Gauß und Stokes 140 Extrema der Funktionen mehrerer Variablen 146 Die mehrdimensionale Taylorsche Formel 162 Implizite Funktionen 166 Zahlenreihen 175 Potenzreihen 191 Fourier-Reihen 206 Differentialgleichungen 215 Gewöhnliche Differentialgleichungen 219 Differentialgleichungen erster Ordnung 223 Physikalische Anwendungen 247 Differentialgleichungen zweiter Ordnung 256 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 273 Systeme linearer Differentialgleichungen 285 Numerische Verfahren für Anfangswertprobleme 320 Mathematik I

2 Grundbegriffe Der zweidimensionale Raum Definition 1 (Der zweidimensionale Raum) Unter dem zweidimensionalen Raum R 2 versteht man die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen. Seine Elemente heißen Punkte. Kurz: R 2 = {(x, y) : x R, y R}. x und y heißen kartesische Koordinaten des Punktes P = (x, y). Polarkoordinaten Ein Punkt P im zweidimensionalen Raum lässt sich auch durch Polarkoordinaten (r, ϕ) darstellen (interaktives Beispiel), wobei r 0 Abstand des Punktes vom Ursprung; ϕ Winkel zwischen der positiven x-achse und der Geraden durch den Ursprung und P (0 ϕ < 2π, mathematisch positiv). 3 Grundbegriffe Der zweidimensionale Raum Umrechnungsformeln Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten: x = r cos ϕ y = r sin ϕ Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten: r = x 2 + y 2 tan ϕ = y x, wenn x 0 ϕ = π, wenn x = 0, y > 0 2 ϕ = 3π 2, wenn x = 0, y < 0. 4

3 Grundbegriffe Der zweidimensionale Raum Definitionen 2 P Q := (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 heißt Abstand der Punkte P = (x 1, y 1 ) und Q = (x 2, y 2 ). P = x 2 + y 2 ist der Abstand des Punktes P = (x, y) vom Nullpunkt (0, 0). Es sei P 0 R 2 und ɛ > 0. Die Menge U ɛ (P 0 ) := { P R 2 : P P 0 < ɛ } heißt die (offene) ɛ-umgebung des Punktes P 0 /Kreisscheibe/. Es sei D R 2. Der Punkt P R 2 heißt innerer Punkt von D, wenn es eine Umgebung Uɛ (P) gibt, die in D liegt; Randpunkt von D, wenn in jeder Umgebung Uɛ (P) sowohl ein Punkt von D als auch ein Punkt von R 2 \ D liegt. 5 Grundbegriffe Der zweidimensionale Raum Definitionen 3 Die Menge aller Randpunkte heißt der Rand von D. Die Menge D heißt offen, wenn jeder Punkt P D ein innerer Punkt von D ist. D heißt abgeschlossen, wenn R 2 \ D offen ist. Beispiele 4 D 1 = {(x, y) : 1 < x < 3 und 1 < y < 2}, D 2 = {(x, y) : 1 x 3 und 1 y 2}, D 3 = {(x, y) : 1 x < 3 und 1 < y 2}, P = (2, 1), Q = (1, 1). P ist innerer Punkt und Q ist Randpunkt jeder dieser drei Mengen. D 1 ist offen, D 2 ist abgeschlossen, D 3 ist weder offen noch abgeschlossen. 6

4 Grundbegriffe Der zweidimensionale Raum Definition 5 Eine Menge D R 2 heißt beschränkt, wenn es eine Zahl A gibt, so dass für alle P D gilt P A, andernfalls heißt D unbeschränkt. 7 Grundbegriffe Der dreidimensionale Raum Definition 6 (Der dreidimensionale Raum) Unter dem dreidimensionalen Raum R 3 versteht man die Menge aller geordneten Tripel reeller Zahlen: R 3 = {(x, y, z) : x R, y R, z R}. Definition 7 Die Zahl P Q := (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 heißt Abstand der Punkte P = (x 1, y 1, z 1 ) und Q = (x 2, y 2, z 2 ). Die Definitionen aus dem vorherigen Abschnitt lassen sich einfach auf R 3 übertragen (ɛ-umgebung, innerer Punkt,...). Randpunkt,...). 8

5 Grundbegriffe Der dreidimensionale Raum Zylinderkoordinaten: (r, ϕ, z) Es sei P = (x, y, z) R 3, P 0. Dann bezeichnen (siehe Bild und interaktives Beispiel): r: den Abstand des Punktes P von der z-achse; r = x 2 + y 2 ϕ: den Winkel der Verbindungsstrecke von (0, 0, 0) nach P = (x, y, 0) (0, 0, 0) gegen die positive Richtung der x-achse in mathematisch positivem Sinn mit 0 ϕ < 2π (Bogenmaß); z: wie bei kartesischen Koordinaten. Bemerkung 8 r und ϕ sind die Polarkoordinaten des Punktes (x, y, 0). 9 Grundbegriffe Der dreidimensionale Raum Umrechnungsformeln x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z wobei r = x 2 + y 2. 10

6 Grundbegriffe Der dreidimensionale Raum Kugelkoordinaten: (r, ϕ, η) Es sei P = (x, y, z) R 3, P 0. Dann bezeichnen (siehe Bild und interaktives Beispiel): r: den Abstand des Punktes P vom Ursprung (0, 0, 0); ϕ: wie bei Zylinderkoordinaten; η: den Winkel, den die Strecke OP mit der positiven Richtung der z-achse bildet, von dieser ausgehend positiv gerechnet, wobei 0 η π (Bogenmaß). Bemerkung 9 Das sind astronomische Kugelkoordinaten; ersetzt man η durch π 2 erhält man die sog. geographischen Kugelkoordinaten. η, so 11 Grundbegriffe Der dreidimensionale Raum Umrechnungsformeln x = r cos ϕ sin η y = r sin ϕ sin η z = r cos η wobei r = x 2 + y 2 + z 2. 12

7 Grundbegriffe Beispiele Beispiele Die Kreisscheibe D = {(x, y) : x 2 + y 2 < 9} wird in Polarkoordinaten durch die Ungleichungen 0 r < 3 und 0 ϕ < 2π beschrieben. 2. Die Ungleichungen 2 < r 5, 0 ϕ < π beschreiben die obere Hälfte eines Kreisringes. /Bild/ 3. Die Menge ist ein Quader. /Bild/ {(x, y, z) : 1 x 3, 0 y 3, 1 z 4} 13 Grundbegriffe Beispiele Beispiele 10 (Fortsetzung) 4. Durch das Ungleichungssystem 0 r R, 0 ϕ < 2π, 0 η 1 4 π in Kugelkoordinaten wird ein Kugelausschnitt mit dem Öffnungswinkel π/2 beschrieben. /Bild/ 5. Eine Kugel vom Radius R mit Mittelpunkt (0, 0, 0) wird in Kugelkoordinaten durch die Ungleichungen beschrieben. 0 r R, 0 ϕ < 2π, 0 η π 14

8 Grundbegriffe Beispiele Aufgabe Der Kreiszylinder Z /Bild/ ist durch ein System von Ungleichungen zu beschreiben. Lösung Z = {(x, y, z) : x 2 + y 2 R, 1 z 4} = {(x, y, z) : R x R, R 2 x 2 y R 2 x 2, 1 z 4}. In Zylinderkoordinaten: 0 r R, 0 ϕ < 2π, 1 z Grundbegriffe Beispiele Aufgabe Der Kegel K /Bild/ ist in Zylinderkoordinaten zu beschreiben. Lösung da z r r = h R = z r = h R r. 0 r R, 0 ϕ < 2π, h R r z h 16

9 Grundbegriffe Der n-dimensionale Raum Definition 11 (Der n-dimensionale Raum) Unter dem n-dimensionalen Raum R n versteht man die Menge aller geordneten n-tupel (x 1,..., x n ) reeller Zahlen. Die Zahl P Q = n (x i y i ) 2 heißt der Abstand der Punkte P = (x 1,..., x n ) und Q = (y 1,..., y n ) voneinander. Man übernimmt die Bezeichnungen aus dem dreidimensionalen Fall. So bezeichnet zum Beispiel U ɛ (P) die Menge aller Punkte, deren Abstand zu P kleiner ist als ɛ. Diese Menge wird als ɛ-umgebung von P oder auch als Kugel vom Radius ɛ mit Mittelpunkt P genannt. i=1 17 Grundbegriffe Konvergenz im n-dimensionalen Raum Definition 12 Es sei P k = (a (k) 1, a(k) 2,..., a(k) n ), k = 1, 2,... eine Folge von Punkten in R n und P = (a 1, a 2,..., a n ) R n. Die Folge {P k } heißt konvergent gegen den Punkt P, wenn Schreibweise: lim k P k = P. lim P k P = 0. k Satz 13 Die Folge {P k } konvergiert genau dann gegen P, wenn sie koordinatenweise gegen P konvergiert: lim k a(k) i = a i, i = 1, 2,..., n. 18

10 Grundbegriffe Konvergenz im n-dimensionalen Raum Beispiele Die durch P k = (k/(k + 1), (2/3) k, 2/k) definierte Punktfolge in R 3 ist konvergent, es gilt lim k P k = (1, 0, 0). 2. Die Punktfolge P k = (1/k, k) R 2 ist nicht konvergent. Die Punkte liegen auf der Hyperbel y = 1 x. 3. Die Punktfolge P k = (cos k, sin k) R 2 ist nicht konvergent (ohne Beweis). Wegen P k = 1 liegen die Punkte auf dem Einheitskreis mit Mittelpunkt (0, 0). 19 Stetige Funktionen mehrerer Variablen Beispiele, Eigenschaften Im Folgenden bezeichnet D f R n den Definitionsbereich einer Funktion f : D f R. Beispiele 15 (Funktionen mehrerer Variablen) 1. f (x, y, z) = x + yz y + z, D f = {(x, y, z) R 3 : y + z 0}. 2. f (x, y) = (x 2) 2 + 2y, D f = R f (x, y) = xy x 2 + y 2, D f = R 2 \ {(0, 0)}. Führt man Polarkoordinaten ein, so erhält man: f (r, ϕ) = f (r cos ϕ, r sin ϕ) = r cos ϕ r sin ϕ r 2 = 1 sin 2ϕ. 2 20

11 Stetige Funktionen mehrerer Variablen Beispiele, Eigenschaften Beispiele 15 (Fortsetzung) Aus der Darstellung mit Polarkoordinaten folgt: f (x, y) 1/2, (x, y) D f. Ferner hängt der Funktionswert nicht vom Abstand r = x 2 + y 2 des Punktes (x, y) von (0, 0) ab, sondern nur vom Polarwinkel ϕ dieses Punktes. Definition 16 Eine auf D f R n definierte Funktion f heißt beschränkt, wenn es eine Zahl A gibt, so dass für alle P D f gilt f (P) A. 21 Stetige Funktionen mehrerer Variablen Beispiele, Eigenschaften Beispiele 17 (Beschränktheit) 1. Die Funktion f (x, y) = sin(x + e xy ), D f = R 2 ist beschränkt: f (x, y) 1 2. Die Funktion f (x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2, D f = R 3 \ {(0, 0, 0)} ist nicht beschränkt (in Kugelkoordinaten gilt: f (r, ϕ, η) = 1 r ). 3. Die Funktion f (x, y) = xy x 2 + y 2, D f = R 2 \ {(0, 0)} aus Beispiel 15 ist beschränkt, da f (r, ϕ) = 1 2 sin 2ϕ = f

12 Stetige Funktionen mehrerer Variablen Beispiele, Eigenschaften Definition 18 (Höhenlinie, Niveaulinie) Sei f eine Funktion von 2 Variablen. Die Menge aller Punkte (x, y) D f für die f (x, y) = c ist, heißt Höhenlinie oder Niveaulinie von f zum Niveau c. Beispiel 19 f (x, y) = (x 2) 2 + 2y, D f = R 2. In der x, y-ebene markieren wir alle Punkte mit gleichem Funktionswert c. (x 2) 2 + 2y = c = y = 1 2 (x 2)2 + c 2 Das sind Parabeln (siehe Bild). Zur Gewinnung einer räumlichen Vorstellung denkt man sich jede Parabel in entsprechender Höhe. 23 Stetige Funktionen mehrerer Variablen Beispiele, Eigenschaften Definition 20 (Niveaufläche) Sei f eine Funktion von 3 Variablen. Die Menge aller Punkte (x, y, z) D f für die f (x, y, z) = c ist, heißt Niveaufläche von f zum Niveau c. Beispiel 21 Für die Funktion f (x, y, z) = 1 [(x 2) 2 + (y + 3) 2 + z 2 ] 2 erfüllen die Niveauflächen f (x, y, z) = c die Gleichung (x 2) 2 + (y + 3) 2 + z 2 = c 1/2, c > 0. Das sind Kugelflächen vom Radius c 1/4 und dem Mittelpunkt (2, 3, 0). Im Falle c < 0 ist die Niveaufläche die leere Menge. 24

13 Funktionen mehrerer Variablen Stetigkeit Definition 22 Eine Funktion f heißt im Punkt P D f stetig, wenn für jede gegen P konvergierende Punktfolge {P k } aus D f gilt: lim f (P k) = f (P). k f heißt in D f stetig, wenn f in jedem Punkt P D f stetig ist. Äquivalente Definition Zu jedem ɛ > 0 existiert ein δ > 0, so dass für alle Punkte Q U δ (P) D f gilt: f (P) f (Q) < ɛ. 25 Funktionen mehrerer Variablen Stetigkeit Beispiel 23 Die Funktion f (x, y, z) = x ist auf R 3 stetig; die Funktion f (x, y) = xy ist auf R 2 stetig. Beispiel 24 Die durch f (x, y) = { xy x 2 +y 2 für (x, y) (0, 0) 0 für (x, y) = (0, 0) definierte Funktion f : R 2 R ist im Punkt (0, 0) nicht stetig. Zum Beweis wählen wir die Punktfolge P k = (1/k, 1/k) die gegen (0, 0) konvergiert. Dann ist f (P k ) = 1/2 = lim k f (P k) = 1/2 0 = f (0, 0) = f ist nicht stetig. 26

14 Funktionen mehrerer Variablen Stetigkeit Beispiel 25 Die Funktion f : R 2 R, (x, y) f (x, y) = { (xy) 2 x 2 +y 2 für (x, y) (0, 0) 0 für (x, y) = (0, 0) ist stetig auf R 2. lim x k 0 y k 0 (x k y k ) 2 x 2 k + y 2 k = lim xk 0 y k 0 1 y 2 k x 2 k = 0 = f (0, 0). 27 Funktionen mehrerer Variablen Stetigkeit Satz 26 Seien f und g Funktionen auf R n die im Punkt P stetig sind und sei c R. Dann gilt: 1. Die Funktionen f + g, f g und c g sind in P stetig. 2. Ist g(p) 0, dann ist auch f g in P stetig. 3. Ist die Funktion F : R R auf R stetig, so ist auch F (f ) in P stetig. Beispiele e x+y 2 ist stetig auf R sin(x 2 + y 2 + e z ) ist stetig auf R 3. 28

15 Funktionen mehrerer Variablen Stetigkeit Satz Der Wertebereich einer auf einer abgeschlossenen beschränkten Menge stetigen Funktion ist beschränkt. 2. Die Funktion nimmt auf der Menge sowohl ihr Maximum als auch ihr Minimum an. Beispiel 29 Die Funktion f (x, y) = 1 x + y ist auf der beschränkten Menge D f = {(x, y) : 0 < x 2, 0 y 1} stetig aber nicht beschränkt; D ist nicht abgeschlossen. Die Funktion f hat ein Minimum in (2, 0), sie ist nach unten beschränkt. 29 Partielle Ableitungen Definition Graphische Darstellung einer Funktion f : R n R n = 1: Kurve mit den Punkten (x, f (x)), x D f n = 2: Fläche mit den Punkten /siehe Bild/ (x, y, f (x, y)), (x, y) D f 30

16 Partielle Ableitungen Definition Im Folgenden sei f eine auf der offenen Menge D f R 2 definierte Funktion und P 0 = (x 0, y 0 ) D f. Motivation: Steigung Wir betrachten die Fläche im Punkt (x, y, f (x, y)), (x, y) D f (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) = (P 0, f (P 0 )). Bewegt man sich von diesem Punkt aus, so hängt die Steigung von der Richtung ab. Interaktives Beispiel: In Richtung der x- bzw. y-achse. 31 Partielle Ableitungen Definition Definition 30 Die Funktion f heißt im Punkt P 0 nach der Variablen x partiell differenzierbar, wenn die Funktion x f (x, y 0 ) im Punkt x 0 differenzierbar ist. Deren Ableitung in x 0 heißt dann die partielle Ableitung von f nach x im Punkt P 0. Schreibweisen: f f x (P 0 ), x (P 0). Analog definiert man die partielle Ableitung von f nach y und die Ausdrücke f y (P 0 ), f y (P 0). 32

17 Partielle Ableitungen Definition Bemerkungen f x liest man f partiell nach x, oder f nach x. 2. Es gilt: und f x (x 0, y 0 ) = lim h 0 f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ) h f (x 0, y 0 + h) f (x 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) = lim. h 0 h 33 Partielle Ableitungen Definition Die folgende Definition verallgemeinert die partielle Ableitung für Funktionen mit n Variablen. Definition 32 Es sei f eine auf der offenen Menge D f R n definierte Funktion und P = (a 1, a 2,..., a n ) D f. Die Funktion f : (x 1,..., x n ) f (x 1,..., x n ) heißt im Punkt P nach x i partiell differenzierbar, wenn die Funktion x f (a 1,..., a i 1, x, a i+1,..., a n ) an der Stelle a i differenzierbar ist. Ihre Ableitung an der Stelle a i heißt dann die partielle Ableitung von f nach x i im Punkt P. f Schreibweisen: f xi (P), x i (P). 34

18 Partielle Ableitungen Definition Beispiel 33 Es sei f (x, y, z) = sin 2 x + ze y x Um f x zu berechnen, hat man y und z als Konstanten zu betrachten und im gewöhnlichen Sinne nach x zu differenzieren: Entsprechend erhält man: f x (x, y, z) = 2 sin x cos x + ze y 1 2 x. f y (x, y, z) = ze y x und f z (x, y, z) = e y x. 35 Partielle Ableitungen Partielle Ableitungen höherer Ordnung Definition 34 f sei eine auf der offenen Menge D f R n definierte Funktion und dort nach x i partiell differenzierbar. Wenn f xi in P D f nach x j partiell differenzierbar ist, so heißt diese Ableitung die zweite partielle Ableitung von f nach x i, x j im Punkt P. Schreibweise: 2 f f xi x j (P), (P). x i x j Analog definiert man die k-te partielle Ableitung für eine beliebige natürliche Zahl k. 36

19 Partielle Ableitungen Partielle Ableitungen höherer Ordnung Beispiel 35 Es sei f (x, y, z) = x 2 y + z sin(x + y 2 ). Die drei partiellen Ableitungen erster Ordnung sind: f x (x, y, z) = 2xy + z cos(x + y 2 ), f y (x, y, z) = x 2 + 2yz cos(x + y 2 ), f z (x, y, z) = sin(x + y 2 ). Partielle Ableitungen zweiter Ordnung sind z. B.: f xy (x, y, z) = 2x 2yz sin(x + y 2 ), f yx (x, y, z) = 2x 2yz sin(x + y 2 ), f zz (x, y, z) = 0. Man stellt fest: f xy = f yx, es kommt also auf die Reihenfolge der Differentiation hierbei nicht an. 37 Partielle Ableitungen Partielle Ableitungen höherer Ordnung Satz 36 (Schwartz) Die Funktion f sei auf der offenen Menge D f R n definiert und dort mögen sämtliche partiellen Ableitungen bis zur Ordnung k existieren und stetig sein. Dann hängen die partiellen Ableitungen der Ordnung m k nicht von der Reihenfolge der Differentiation ab. 38

20 Partielle Ableitungen Parameterintegrale Satz 37 (Leibnizsche Regel) Sei D = {(x, t) R 2 : a x b, α t β} und g eine auf D definierte stetige Funktion, g x auf D stetig. Ferner seien u und v auf [a, b] stetig differenzierbare Funktionen und für alle x [a, b] sei α u(x) β und α v(x) β. Dann wird durch f (x) = v(x) u(x) g(x, t) dt (1) eine auf [a, b] differenzierbare Funktion definiert. Weiterhin gilt: f (x) = v(x) u(x) g x (x, t) dt + g(x, v(x)) v (x) g(x, u(x)) u (x), x [a, b]. Man sagt, das Integral (1) hängt vom Parameter x ab. 39 Partielle Ableitungen Parameterintegrale Spezialfälle 1. u(x) = c und v(x) = d (beide konstant): d dx d c g(x, t) dt = d c g x (x, t) dt 2. u(x) = c konstant und v(x) = x: d dx x c g(x, t) dt = x c g x (x, t) dt + g(x, x). 3. u, v wie bei (2) und g unabhängig von x : g(x, t) = f (t): d dx x c f (t) dt = f (x). Das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. 40

21 Partielle Ableitungen Parameterintegrale Beispiel 38 Es sei g(x, t) = e (x t)2, u(x) = x und v(x) = x 2. Bemerkung: Die Funktion g ist nicht elementar integrierbar. Wir definieren die Funktion f durch f (x) = v(x) u(x) g(x, t) dt = x 2 x e (x t)2 dt. Dann gilt: f (x) = x 2 x 2(x t)e (x t)2 dt + e (x x2 ) 2 2x 1 = e (x t)2 t=x 2 + ) 2 t=x 2xe(x x2 1 = (2x 1)e (x x2 ) Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient Kettenregel Wir setzen stets voraus: D f R n ist offen, f xi i = 1,..., n. Satz 39 existiert und ist stetig, 1. v 1,..., v n seien auf dem Intervall (a, b) R definierte und differenzierbare Funktionen und für alle t (a, b) sei (v 1 (t),..., v n (t)) D f. Dann ist die Funktion auf (a, b) differenzierbar mit g(t) = f (v 1 (t),..., v n (t)) g (t) = n i=1 f xi (v 1 (t),..., v n (t))v i (t), t (a, b) 42

22 Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient Kettenregel Satz 39 (Fortsetzung) 2. v 1,..., v n seien auf der offenen Menge M R k definierte und partiell stetig differenzierbare Funktionen und für alle (t 1,..., t k ) = P M sei (v 1 (P),... v n (P)) D f. Dann ist die Funktion h(p) = f (v 1 (P),..., v n (P)) nach t j, j = 1,..., k, auf M differenzierbar und es gilt h t j (P) = n i=1 f xi (v 1 (P),..., v n (P)) v i t j (P), P M. 43 Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient Kettenregel Merkregel df dt = f t j = n i=1 n i=1 f dx i, t (a, b) x i dt f x i x i t j, j = 1,..., k, (t 1,..., t n ) M R n 44

23 Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient Kettenregel Beispiel 40 Gegeben sei f (x, y); v 1 (t) = t 2 und v 2 (t) = t 3. Wir definieren die Funktion g durch g(t) = f (t 2, t 3 ). Dann gilt: g (t) = f x (t 2, t 3 )2t + f y (t 2, t 3 )3t 2. Beispiel 41 Gegeben sei f (x, y); v 1 (t 1, t 2 ) = t 1 + t 2 und v 2 (t 1, t 2 ) = t 1 t 2. Wir definieren die Funktion h durch h(t 1, t 2 ) = f (t 1 + t 2, t 1 t 2 ). Dann gilt: h t 1 = f x (t 1 + t 2, t 1 t 2 ) 1 + f y (t 1 + t 2, t 1 t 2 )t 2 h t 2 = f x (t 1 + t 2, t 1 t 2 ) 1 + f y (t 1 + t 2, t 1 t 2 )t Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient Richtungsableitung Gegeben seien eine Funktion f : R n R, ein Punkt P 0 = (x 1,..., x n ) R n und ein Vektor ta = (a 1,..., a n ). Die Parameterdarstellung der Geraden mit der Richtung ta, die durch den Punkt P 0 geht, lautet: P 0 + tta = (x 1 + ta 1,..., x n + ta n ), t R. Für t = 0 erhalten wir den Punkt P 0. (Bild) Wir betrachten f nur entlang dieser Geraden und definieren die Funktion g von einer Variablen durch g(t) := f (x 1 + ta 1,..., x n + ta n ), t R. Definition 42 Unter der Richtungsableitung von f im Punkt P 0 in Richtung ta mit ta = 1 versteht man die Zahl g (0). f Schreibweise: ta (P 0) 46

24 Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient Richtungsableitung Bemerkung Nach der Kettenregel gilt: g (t) = f x1 (x 1 + ta 1,..., x n + ta n )a f xn (x 1 + ta 1,..., x n + ta n )a n = f ta (P 0) = f x1 (P 0 )a f xn (P 0 )a n, (ta Einheitsvektor!). Ist ein beliebiger Richtungsvektor ta 0 gegeben, so ersetzen wir ta durch ta/ ta und erhalten: f ta (P 0) = (f x1 (P 0 )a f xn (P 0 )a n )/ ta. 47 Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient Richtungsableitung Beispiele Für den Einheitsvektor ta = (1, 0,..., 0) erhält man f ta (P) = f x 1 (P). 2. Für f (x, y) = xy + x 2 und P 0 = (1, 2) gilt: f x (x, y) = y + 2x, f y (x, y) = x; f x (1, 2) = 4, f y (1, 2) = 1; f ta = (1, 1) : ta (P) = 1 2 [ ] = 3, ; f ta = (5, 1) : ta (P) = 1 26 [ ] = 4, ; 48

25 Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient Gradient Definition 44 Sei f eine Funktion von n Variablen. Der Vektor (f x1 (P),..., f xn (P)) T heißt der Gradient von f im Punkt P. Bezeichnung: grad f (P). Bemerkung Aus der Definition der Richtungsableitung folgt, dass f ta (P) = 1 t ta ta grad f (P), ta Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient Gradient Satz Der Vektor grad f (P) zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs von f im Punkt P. 2. Der Vektor grad f (P) zeigt in die Richtung des stärksten Gefälles. 3. grad f (P) ist der größte Anstieg von f in P. 50

26 Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient Gradient Beispiel 46 In jedem Körper, in dem kein Temperaturgleichgewicht herrscht, treten Wärmeströmungen auf. Der Wärmefluß im Punkt P des Körpers wird durch einen Vektor tq(p) beschrieben, dessen Richtung die der Wärmeströmung und dessen Länge deren Intensität angibt. Es sei T (P) die Temperatur des Körpers im Punkt P. Es zeigt sich, dass: 1. Der Wärmefluß in P hat die Richtung des stärksten Gefälles der Temperatur in P (vom Wärmeren zum Kälteren). 2. Die Stärke des Wärmeflusses ist proportional zum Temperaturgefälle. Der Vektor tv = grad T (P) hat diese zwei Eigenschaften = Grundgesetz der Wärmeleitung : tq(p) = λ(p) grad T (P) wobei die Zahl λ(p) > 0 vom Zustand des Körpers in P abhängt und innere Wärmeleitfähigkeit genannt wird. 51 Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient Gradient Einige Bezeichnungen Mit (Nabla-Operator) bezeichnen wir den formalen Ausdruck = ( x 1,..., x n ) T. Ist f (x 1,..., x n ) eine Funktion, für die alle partiellen Ableitungen existieren, so sei ( f f (P) = (P),..., f ) T (P) x 1 x n 52

27 Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient Gradient Bemerkung Es gilt: grad f = f (formale Multiplikation des Vektors mit dem Skalar f ). Mit rechnet man ähnlich wie mit einem Vektor, einige Formeln lassen sich mit diesem Operator übersichtlich darstellen. Sei z. B. h = (h 1,..., h n ) R n. Dann ist ( ) (h )f (P) = h h n f (P) = h 1 f x1 (P) + + h n f xn (P) x 1 x n das sog. Differential von f im Punkt P zum Zuwachs h (wird in einem eigenen Abschnitt behandelt). 53 Kettenregel, Richtungsableitung, Gradient Gradient Bemerkung (Fortsetzung) Weitere Beispiele: (h ) 2 f (P) = ( h 1 ) h n f (P) = x 1 x n n i,j=1 h i h j f xi x j (P) oder f = 2 f x f x 2 n wird auch mit bezeichnet und heißt Laplace Operator. 54

28 Vollständiges Differential, Anwendungen Definition und Beispiele In diesem Abschnitt setzen wir stets voraus: D f R n ist offen; f xi existiert und ist stetig für i = 1,..., n. Spezialfall n = 1 Im Abschnitt über Fehlerrechnung haben wir gesehen: f (x + h) f (x) f (x)h, wenn h hinreichend klein ist Die Größe f (x)h heißt Differential der Funktion f an der Stelle x zum Zuwachs h. Beispiel: Für f (h) = sin h und x = 0 ist f (0) = cos 0 = 1 und folglich sin h h. Jetzt werden wir für beliebiges n die Differenz f (x 1 + h 1,..., x n + h n ) f (x 1,..., x n ) abschätzen, wobei h i klein ist. Den Vektor (h 1,..., h n ) nennt man Zuwachs. 55 Vollständiges Differential, Anwendungen Definition und Beispiele Definition 47 Es sei P = (x 1,..., x n ) D f. Man nennt df (P) = f x1 (P)h f xn (P)h n vollständiges, oder totales Differential der Funktion f an der Stelle P zum Zuwachs (h 1,..., h n ). Oft schreibt man dx i anstelle von h i : df (P) = f x1 (P) dx f xn (P) dx n. 56

29 Vollständiges Differential, Anwendungen Definition und Beispiele Näherungsformel Sind die Zuwächse dx i hinreichend klein, so gilt: f (x 1 + dx 1,..., x n + dx n ) f (x 1,..., x n ) df (P) oder f (x 1 + dx 1,..., x n + dx n ) f (x 1,..., x n ) + df (P). Beispiel 48 Das vollständige Differential der Funktion im Punkt P = (3, 1): f (x, y) = 2x 2 + xy 2 f x = 4x + y 2, f y = 2xy = df (P) = df (3, 1) = 13 dx 6 dy. 57 Vollständiges Differential, Anwendungen Definition und Beispiele Beispiel 49 Man berechne näherungsweise 1,002 2, , Lösung: f (x, y, z) = xy 2 z 3, x 0 = 1, y 0 = 2, z 0 = 3, P 0 := (x 0, y 0, z 0 ), f (P 0 ) = = 108, dx = 0,002, dy = 0,003, dz = 0,004. f (x 0 + dx,y 0 + dy, z 0 + dz) f (P 0 ) + f x (P 0 ) dx + f y (P 0 ) dy + f z (P 0 ) dz = x 0 y 2 0 z y 2 0 z 3 0 dx + 2x 0 y 0 z 3 0 dy + 3x 0 y 2 0 z 2 0 dz = 108,

30 Vollständiges Differential, Anwendungen Definition und Beispiele Beispiel 50 Analog kann man näherungsweise 1, ,97 3 oder 0,97 1,05 berechnen. Man betrachtet dazu f (x, y) = x 3 + y 3, x 0 = 1, y 0 = 2 bzw. f (x, y) = x y, x 0 = 1 = y 0 = 1 59 Vollständiges Differential, Anwendungen Tangentialebene Zur Erinnerung: Ist f eine Funktion von einer Variablen, so ist die Gleichung der Tangente im Punkt (x 0, f (x 0 )) gegeben durch y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Definition 51 Sei f : D f R eine Funktion von zwei Variablen und P 0 = (x 0, y 0 ) D f. Die Ebene E mit der Gleichung z = f (P 0 ) + f x (P 0 )(x x 0 ) + f y (P 0 )(y y 0 ) heißt die Tangentialebene an die durch z = f (x, y) definierte Fläche im Flächenpunkt (x 0, y 0, f (x 0, y 0 ) }{{} z 0 ). 60

31 Vollständiges Differential, Anwendungen Tangentialebene Bemerkung Die Tangentialebene geht durch den Punkt (x 0, y 0, z 0 ), wobei z 0 = f (x 0, y 0 ), und besitzt die folgende Eigenschaft: Jede zur x, y-ebene senkrechte Ebene S durch den Punkt (x 0, y 0, z 0 ) schneidet die Tangentialebene E in einer Geraden, die Tangente an die Schnittkurve von S mit der Fläche ist. Man nehme z. B. die Ebenen x = x 0 oder y = y 0. Beispiel 52 Die Gleichung der Tangentialebene an die durch z = f (x, y) = 2x 2 + xy 2 definierte Fläche im Flächenpunkt (3, 1, 21) ist zu berechnen. Lösung: f x (x, y) = 4x + y 2, f y (x, y) = 2xy = f x (3, 1) = 13, f y (3, 1) = 6 Folglich lautet die Gleichung der Tangentialebene: z = (x 3) 6(y + 1) = 13x 6y Vollständiges Differential, Anwendungen Tangentialebene Fläche in impliziter Form Oft ist eine Fläche in der impliziten Form F (x, y, z) = 0 gegeben. Zum Beispiel die Kugeloberfläche mit Radius 1 und Mittelpunkt (0, 0, 0): F (x, y, z) := x 2 + y 2 + z 2 1 = 0. Dann lautet die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (x 0, y 0, z 0 ): (x x 0 )F x (x 0, y 0, z 0 ) + (y y 0 )F y (x 0, y 0, z 0 ) + (z z 0 )F z (x 0, y 0, z 0 ) = 0. 62

32 Vollständiges Differential, Anwendungen Tangentialebene Beispiel 53 Sei F wie zuvor. Dann lautet die Gleichung der Tangentialebene: 2x 0 (x x 0 ) + 2y 0 (y y 0 ) + 2z 0 (z z 0 ) = 0. Speziell im Punkt x 0 = 1, y 0 = z 0 = 0 wird daraus 2(x 1) = 0, also die Ebene x = 1. Fläche in Parameterdarstellung Sei die Fläche durch die Parameterdarstellung tr(t, s) = (x(t, s), y(t, s), z(t, s)) T, (t, s) D R 2 gegeben. Dann ist tn = tr t tr s ein Normalenvektor für die Tangentialebene im gegebenen Punkt, wobei tr t (t, s) = (x t (t, s), y t (t, s), z t (t, s)) T, tr s (t, s) = (x s (t, s), y s (t, s), z s (t, s)) T. 63 Vollständiges Differential, Anwendungen Differentialform Definition 54 Es seien Q 1,..., Q n auf der offenen Menge D R n definierte stetige Funktionen. Dann heißt der Ausdruck Q 1 (x 1,..., x n ) dx Q n (x 1,..., x n ) dx n eine Differentialform. Ein vollständiges Differential ist zum Beispiel eine Differentialform. Eine wichtige Frage: Unter welchen Bedingungen an Q i ist eine Differentialform vollständiges Differential einer Funktion f, das heißt, wann gilt Q 1 = f x1,..., Q n = f xn? 64

33 Vollständiges Differential, Anwendungen Differentialform Beispiel aus der Physik: Welche Größen sind Zustandsgrößen, d. h., welche Größen hängen nur vom Zustand etwa eines Gases ab, nicht aber von der Art und Weise, wie dieser Zustand erreicht wurde? Beispiele für Zustandsgrößen: Energie, Masse, Temperatur, Druck,... Satz 55 Wenn die auf der offenen Menge D R n definierten Funktionen Q 1,..., Q n stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung besitzen, so ist Q 1 (x 1,..., x n ) dx Q n (x 1,..., x n ) dx n genau dann vollständiges Differential wenn Q i x j = Q j x i für alle i, j = 1,..., n erfüllt ist. 65 Vollständiges Differential, Anwendungen Differentialform Beispiel 56 Die Differentialform (y + cos x) }{{} P dx + (x + 2y) }{{} Q ist vollständiges Differential einer auf R 2 definierten Funktion f, da P y (x, y) = Q x (x, y) = 1 ist. Bestimmung von f : f x (x, y) = y + cos x; f y (x, y) = x + 2y. Erste Gleichung, Integration nach x, d. h., Bestimmung einer Stammfunktion bezüglich x: f (x, y) = xy + sin x + g(y) = f y (x, y) = x + g (y), in die zweite Gleichung einsetzen: x + 2y = x + g (y) = g (y) = 2y. Also g(y) = y 2 + c, c R = f (x, y) = xy + sin x + y 2 + c. dy 66

34 Vollständiges Differential, Anwendungen Differentialform Beispiel 57 Die Differentialform 2xy dx + y dy ist kein vollständiges Differential, da P y (x, y) = 2x, Q x = Mehrfache Integrale Doppelintegral In diesem Abschnitt wird der Begriff des bestimmtes Integrals auf Funktionen mehrerer Variablen übertragen. Volumenberechnung Es sei G R 2 eine beschränkte, abgeschlossene Menge und f eine auf G definierte beschränkte Funktion. Wir gehen von folgendem Problem aus, das dem Flächeninhaltsproblem entspricht: Es sei f (P) 0 für alle P G. Wir wollen das Volumen desjenigen Körpers bestimmen, der durch die Menge {(x, y, z) R 3 : (x, y) G, 0 z f (x, y)} beschrieben ist /Bild/. Wir werden analog zur Flächenberechnung vorgehen. Wir zerlegen G in Teilbereiche g 1,..., g n und berechnen als Näherung für das gesuchte Volumen die Summe der Volumina der Säulen /Bild/. 68

35 Mehrfache Integrale Doppelintegral Volumenberechnung: Fortsetzung Genauer: 1. Z sei eine Zerlegung von G in n Teilmengen g 1,..., g n mit: (a) Jede Teilmenge g i hat einen Flächeninhalt g i. (b) Die Vereinigung aller g i ist G. (c) Die g i sind disjunkt. (d) Bezeichne δ i = sup{ P Q : P, Q g i } den Durchmesser von g i und sei (Z) = max{δ i : i = 1,..., n} das Feinheitsmaß der Zerlegung Z. 2. (a) In jeder Menge g i wird ein Zwischenpunkt P i g i gewählt und das Produkt f (P i ) g i gebildet (Volumen der Säule ). 69 Mehrfache Integrale Doppelintegral Volumenberechnung: Fortsetzung (b) Als Näherung für das gesuchte Volumen wird die Zwischensumme S(Z) = n f (P i ) g i i=1 gebildet. Definition 58 Die Funktion f heißt über G integrierbar, wenn es eine Zahl I gibt, so daß lim S(Z) = I. (Z) 0 Die Zahl I nennt man das Integral von f über G, die Menge G heißt Integrationsbereich. 70

36 Mehrfache Integrale Doppelintegral Schreibweise für das Integral: f dp oder G G f (x, y) d(x, y). Sprechweise: Doppelintegral, zweifaches Integral, Bereichsintegral, Gebietsintegral. Bemerkung 59 Aus der Definition folgt, dass G Satz 60 1 dp gleich dem Flächeninhalt von G ist. 1. Die Eigenschaften des Riemann-Integrals aus dem Abschnitt Bestimmte Integrale bleiben auch für Doppelintegrale gültig, wenn man [a, b] durch G und b a durch den Flächeninhalt von G ersetzt. 2. Jede stetige Funktion auf G ist integrierbar. 71 Mehrfache Integrale Berechnungsformeln Um Formel zur Berechnung des Integrals über G zu erhalten, werden wir uns auf gewisse einfache Integrationsbereiche beschränken. Definition 61 g und h seien auf [a, b] definierte stetige Funktionen, für die gilt: g(x) h(x), x [a, b]. Dann heißt jede der Mengen G 1 = {(x, y) R 2 : a x b, g(x) y h(x)} G 2 = {(x, y) R 2 : a y b, g(y) x h(y)} ein Normalbereich in der Ebene. 72

37 Mehrfache Integrale Berechnungsformeln Beispiele h(x) = x2 4, g(x) = sin x, [a, b] = [0, 2]. /Bild/ G 1 = {(x, y) R 2 : 0 x 2, sin x y x 2 /4} G 2 = {(x, y) R 2 : 0 y 2, sin y x y 2 /4} 2. Der Kreis K mit dem Mittelpunkt (0, 0) und dem Radius 2 /Bild/ ist ein Normalbereich, da K = {(x, y) R 2 : 2 x 2, 4 x 2 y 4 x 2 }. 73 Mehrfache Integrale Berechnungsformeln Satz 63 Mit den Bezeichnungen aus obiger Definition gilt: [ b ] h(x) f dp = f (x, y) dy G 1 a g(x) [ b ] h(y) f dp = f (x, y) dx G 2 a g(y) dx dy. Bemerkung 1. Die Klammern um das innere Integral werden meistens weggelassen. 2. Die Berechnung erfolgt folgendermaßen: Man integriert f nach y (oder nach x), d. h., man betrachtet x bezüglich dieser Integration als Konstante. Das dann entstandene Integral ist ein gewöhnliches Integral 74 für eine Funktion einer Variablen.

38 Mehrfache Integrale Berechnungsformeln Beispiel 64 Es sei G = {(x, y) : 0 x 1, x y x 2 } und f (x, y) = x. Dann erhält man G f dp = 1 x 2 0 x = x x 3 3 x dy dx = = = xy x2 y= x dx = 1 0 x 3 + x 2 dx 75 Mehrfache Integrale Berechnungsformeln Bemerkung Ist der Integrationsbereich G ein Rechteck, also alle vier Integrationsgrenzen konstant, so kommt es auf die Reihenfolge der Integrationen nicht an: d c b a f (x, y) dx dy = b d a c f (x, y) dy dx Es kann aber sein, dass man zuerst nach x integriert und dann nach y, während es umgekehrt nicht möglich ist. Zum Beispiel: 2π e x2 sin y dx dy = = 1 2π e x2 sin y dy dx e x2 (cos 2π cos 0) dx = 0. 76

39 Mehrfache Integrale Substitution mit Polarkoordinaten Substitution Für Funktionen zweier Variablen werden Substitutionen durch ein Paar von Gleichungen beschrieben: x = x(u, v), y = y(u, v). Wir betrachten den wichtigen Spezialfall von Polarkoordinaten x = x(r, ϕ) = r cos ϕ, y = y(r, ϕ) = r sin ϕ, durch die zum Beispiel Kreise und Ringe einfach zu beschreiben sind. 77 Mehrfache Integrale Substitution mit Polarkoordinaten Satz 65 Die Funktion f sei auf der abgeschlossenen Menge G R 2 stetig, g und h seien auf [a, b] definierte stetige Funktionen, für alle t [a, b] sei 0 g(t) h(t) 2π. 1. Wenn G in Polarkoordinaten durch die Ungleichungen 0 a r b und g(r) ϕ h(r) beschrieben wird, so gilt b h(r) f (x, y) d(x, y) = f (r cos ϕ, r sin ϕ) r dϕ dr. G a g(r) 2. Wenn G in Polarkoordinaten durch die Ungleichungen 0 a ϕ b 2π und 0 g(ϕ) r h(ϕ) beschrieben wird, so gilt b h(ϕ) f (x, y) d(x, y) = f (r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ. G a g(ϕ) 78

40 Mehrfache Integrale Substitution mit Polarkoordinaten Bemerkung Der Ausdruck r dr dϕ ist hier für dp einzusetzen, die Grenzen sind die von G in Polarkoordinaten. Mann nennt r dr dϕ das Flächenelement in Polarkoordinaten. Beispiel 66 Wir betrachten die Menge G : 1 r 2, (r 1)π ϕ rπ und wollen den Inhalt F von G berechnen. /Bild/ F = G 1 dp = 2 rπ 1 (r 1)π r dϕ dr = π 2 1 r dr = 3 2 π. 79 Mehrfache Integrale Dreifache Integrale Einführung von Doppelintegralen: geometrisch anschaulich (Volumen). Bei den dreifachen Integralen geht das nicht mehr; man kann jedoch die Definition des Doppelintegrals fast wörtlich übernehmen. Definition 67 Es sei G R 3 eine beschränkte, abgeschlossene Menge und f eine auf G definierte beschränkte Funktion. Wir zerlegen G in Teilmengen g 1,..., g n, die die selben Eigenschaften wie bei der Definition des Doppelintegrals haben, Flächeninhalt ist dabei durch Rauminhalt zu ersetzen. Die Definition wird nun wörtlich übernommen, R 2 wird dabei durch R 3 ersetzt. Es ist üblich die Menge G mit K (Körper) oder V (Volumen) zu bezeichnen. Bemerkung 68 Aus der Definition folgt, dass K 1 dp gleich dem Volumen des Körpers K ist. 80

41 Mehrfache Integrale Dreifache Integrale Um zu Berechnungsformeln zu gelangen, werden wir uns auf gewisse einfache Bereiche K R 3 beschränken. Definition 69 Es seien f 1 und f 2 in [a, b] R und g 1 und g 2 in G = {(x, y) R 2 : x [a, b], f 1 (x) y f 2 (x)} stetige Funktionen. Dann heißt die Menge K = {(x, y, z) R 3 : a x b, f 1 (x) y f 2 (x), g 1 (x, y) z g 2 (x, y)} ein Normalbereich in R 3. /Bild/. Vertauscht man x, y, z untereinander, so entstehen weitere Mengen, die man auch Normalbereiche nennt (6 Möglichkeiten). 81 Mehrfache Integrale Dreifache Integrale Satz 70 Die Funktion f sei auf dem Normalbereich K in der vorhergehenden Definition stetig. Dann ist f über K integrierbar, und es gilt: K f (P) dp = b f2 (x) g2 (x,y) a f 1 (x) g 1 (x,y) f (x, y, z) dz dy dx. Sind alle Integrationsgrenzen konstant, so kommt es auf die Reihenfolge der Integrationen nicht an. 82

42 Mehrfache Integrale Dreifache Integrale Beispiel 71 Gegeben seien K = {(x, y, z) : 0 x 2, 0 y x, 0 z x + y + 1} und f (x, y, z) = 2xz + y 2. Dann ist K f (P) dp = = = 2 x x+y x x [2x z2 2 + y 2 z (2xz + y 2 ) dz dy dx ] z=x+y+1 z=0 dy dx x(x + y + 1) 2 + y 2 (x + y + 1) dy dx 83 Mehrfache Integrale Dreifache Integrale Beispiel 71 (Fortsetzung) = = 2 x x 4 + x 4 x 3 + 2x 2 y + 2x 2 + xy 2 + 2xy + x + y 2 x + y 3 + y 2 dy dx 3 + x 2 + x 4 + 2x 3 + x 3 + x x x 3 3 dx =

43 Mehrfache Integrale Substitution mit Zylinder- und Kugelkoordinaten Berechnung des Integrals f (P) dp = mit Hilfe von Substitution. Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) Substitution: 1. x r cos ϕ, y r sin ϕ; 2. dx dy dz r dr dϕ dz; 3. neue Grenzen. K K f (x, y, z) d(x, y, z) 85 Mehrfache Integrale Substitution mit Zylinder- und Kugelkoordinaten Beispiel 72 Das schraffierte Flächenstück rotiere um die z-achse /Bild/, der entstehende Körper sei K. Man berechne K f (P) dp für f (x, y, z) = x 2 + y 2. Lösung: In Zylinderkoordinaten wird der Körper K durch die Ungleichungen 0 r 1, 0 ϕ 2π, r z 1 beschrieben. Weiterhin ist f (x, y, z) = r 2. Wir erhalten: K f (P) dp = = 1 2π π 0 0 r r 2 r dz dϕ dr r 3 (1 r) dϕ dr = 1 18 π. 86

44 Mehrfache Integrale Substitution mit Zylinder- und Kugelkoordinaten Beispiel 72 (Fortsetzung) Man kann auch ein anderes System von Ungleichungen benutzen: 0 ϕ 2π, 0 z 1, 0 r z 2. Man erhält dann K f (P) dp = = 2π 1 z π r 2 r dr dz dϕ 1 4 z8 dz dϕ = 1 18 π. 87 Mehrfache Integrale Substitution mit Zylinder- und Kugelkoordinaten Kugelkoordinaten: (r, ϕ, η) Substitution: 1. x r cos ϕ sin η, y r sin ϕ sin η, z r cos η; 2. dp r 2 sin η dϕ dη dr; 3. neue Grenzen. Beispiel 73 Es sei K die obere Hälfte der Kugel vom Radius R mit dem Mittelpunkt (0, 0, 0) und f (x, y, z) = x 2 + y 2 xz. Man berechne das Integral von f über K. 88

45 Mehrfache Integrale Substitution mit Zylinder- und Kugelkoordinaten Beispiel 73 (Fortsetzung) Lösung: Wir verwenden Kugelkoordinaten. Dann ist f (x, y, z) = r 2 sin 2 η r 2 cos ϕ sin η cos η dp = r 2 sin η dϕ dη dr K f (P) dp = K : 0 ϕ 2π, 0 η 1 π, 0 r R = 2 π/2 2π R 0 0 = 1 5 R5 π/2 = 1 5 R5 2π 0 2π 0 0 π/2 0 (r 2 sin 2 η r 2 cos ϕ sin η cos η)r 2 sin η dr dϕ dη sin 3 η cos ϕ sin 2 η cos η dϕ dη sin 3 η dη = /part. Int./ = 4 15 πr5. 89 Anwendungen dreifacher Integrale Volumen, Masse, Schwerpunkt, Trägheitsmoment Im folgenden sei: K R 3 ein Körper; ρ(p) die Massendichte im Punkt P K. Ist ρ konstant, so heißt der Körper homogen. Im Rahmen der Statik und Dynamik solcher Körper sind insbesondere folgende Größen vom Interesse: Volumen, Gesamtmasse, Schwerpunkt, Trägheitsmoment in Bezug auf eine gegebene Drehachse. 90

46 Anwendungen dreifacher Integrale Volumen, Masse, Schwerpunkt, Trägheitsmoment Satz 74 Ein Körper K mit der Massendichte ρ hat das Volumen V = 1 dp, die Masse M = ρ(p) dp K K den Schwerpunkt (x s, y s, z s ) mit x s = 1 M y s = 1 M z s = 1 M K K K x ρ(x, y, z) d(x, y, z) y ρ(x, y, z) d(x, y, z), z ρ(x, y, z) d(x, y, z). 91 Anwendungen dreifacher Integrale Volumen, Masse, Schwerpunkt, Trägheitsmoment Satz 74 (Fortsetzung) Das Trägheitsmoment bezüglich der z-achse als Drehachse θ = (x 2 + y 2 ) ρ(x, y, z) d(x, y, z). K Für eine beliebige Drehachse gilt: θ = K a 2 (P) ρ(p) dp wobei a(p) den Abstand von P von der Drehachse bezeichnet. Analoge Formeln gelten auch für R 2. 92

47 Anwendungen dreifacher Integrale Volumen, Masse, Schwerpunkt, Trägheitsmoment Herleitung der letzten Formel Das Trägheitsmoment eines Massenpunktes mit der Masse m im Abstand a von der Drehachse ist nach Definition die Zahl a 2 m. Es seien: Z : eine Zerlegung von K in Teilmengen k i ; P i k i beliebig; k i : das Volumen von k i ; m i : die Masse von k i. 93 Anwendungen dreifacher Integrale Volumen, Masse, Schwerpunkt, Trägheitsmoment Herleitung der letzten Formel 74 (Fortsetzung) Näherung für das Trägheitsmoment des Teiles k i : Näherung für m i : ρ(p i ) k i. Näherung für θ: Grenzwert: θ = S(Z) = a(p i ) 2 m i. n a(p i ) 2 ρ(p i ) k i i=1 lim S(Z) = Z 0 K a(p) 2 ρ(p) d(p). 94

48 Anwendungen dreifacher Integrale Beispiele Beispiel 75 Es ist der Schwerpunkt des Kegels K /Bild/ zu berechnen, die Massendichte ρ sei überall gleich 1. Beschreibung von K in Zylinderkoordinaten (siehe den Abschnitt zu den Zylinderkoordinaten): 0 r R, 0 ϕ 2π, h R r z h. Aus Symmetriegründen liegt der Schwerpunkt auf der Kegelachse, d. h., x s = y s = Anwendungen dreifacher Integrale Beispiele Beispiel 75 (Fortsetzung) Weiterhin ist z s = 1 M = π M K R 0 z dp = 1 M 2π R h 0 (h 2 h2 R 2 r 2 0 hr/r zr dz dr dϕ ) r dr = π 4 h2 R 2 1 M wobei M = π 3 R2 h wegen ρ = 1 die Masse (Volumen) des Kegels ist. Daher folgt: z s = 3 4 h. 96

49 Anwendungen dreifacher Integrale Beispiele Beispiel 76 Das Trägheitsmoment eines homogenen Quaders bezüglich einer durch seinen Mittelpunkt gehenden kantenparallelen Achse. /Bild/ θ = (x 2 + y 2 )ρ d(x, y, z). K K : a 2 x a 2, b 2 y b 2, c 2 z c 2 = θ = a/2 b/2 c/2 a/2 b/2 c/2 (x 2 + y 2 )ρ dz dy dx = 1 12 abc(a2 + b 2 )ρ. 97 Skalar- und Vektorfelder Definition und Beispiele Definition 77 Es sei D R 3. Eine Abbildung tv, die jedem Punkt P = (x, y, z) D einen dreidimensionalen Vektor tv(p) = tv(x, y, z) = (v 1 (x, y, z), v 2 (x, y, z), v 3 (x, y, z)) T zuordnet, heißt ein (räumliches) Vektorfeld auf D. Eine Abbildung F, die jedem Punkt P D eine reelle Zahl F (P) zuordnet, heißt ein (räumliches) Skalarfeld auf D. Ist D R 2 und sind die Vektoren tv(p) zweidimensional, tv(p) = tv(x, y) = (v 1 (x, y), v 2 (x, y)) T so spricht man von einem ebenen Vektorfeld, bzw. von einem ebenen Skalarfeld. 98

50 Gradient eines Skalarfeldes F : tv = grad F = (F x, F y, F z ) T 99 Skalar- und Vektorfelder Definition und Beispiele Beispiele 78 (skalare Felder) Temperaturverteilung elektrostatisches Potential Dichteverteilung Betrag eines Vektorfeldes tv: F (P) = tv(p) Beispiele 79 (Vektorfelder) Gravitationsfeld elektrisches Feld magnetisches Feld Geschwindigkeitsfeld Skalar- und Vektorfelder Definition und Beispiele Bemerkung Man skizziert den Pfeil des Vektors tv(p) so, dass sein Anfangspunkt in P liegt ausgehend von der Vorstellung der in P herrschenden Kraft. Beispiel 80 Das durch ( x tv(x, y) = ( x 2 + y 2 ), y 3 ( x 2 + y 2 ) 3 definierte ebene Vektorfeld soll skizziert werden. r = x 2 + y 2 ist der Abstand des Punktes P = (x, y) von (0, 0) = tv(x, y) = r 3 (x, y). ) T 100

51 Skalar- und Vektorfelder Definition und Beispiele Beispiel 80 (Fortsetzung) Der Vektor tv(x, y) hat daher dieselbe Richtung wie der Ortsvektor des Punktes (x, y). Die Länge des Pfeiles: tv(x, y) = r 3 x 2 + y 2 = r 2. /Bild/ Beispiel 81 Ein Gas oder eine Flüssigkeit durchströme ein Rohr. Jedem Punkt P wird derjenige Vektor tv(p) zugeordnet, der die Geschwindigkeit des in P befindlichen Teilchens angibt: tv ist das sog. Strömungsfeld. Es sei z. B. tv(x, y) = (0, 1 x 2 ) T, (x, y) D = {(x, y) R 2 : 1 x 1}. v 1 = 0 = alle Vektoren sind zur y-achse parallel; tv hängt nicht von y ab = die zu Punkten mit gleichem x-wert gehörende Vektoren sind gleich. /Bild/ 101 Skalar- und Vektorfelder Definition und Beispiele Beispiel 81 (Fortsetzung) Wegen der Reibung ist die Geschwindigkeit an der Wandung Null und nimmt zur Mitte hin zu, wo sie am größten ist. Da alle Vektoren parallel sind, spricht man von einer laminaren oder schlichten Strömung. Anmerkung: homogene, kugelsymmetrische, zylindersymmetrische Felder. Beispiele aus Mathematik-Interaktiv Geschwindigkeit eines Flußes elektrische Feldstärke/Punktladung elektrische Feldstärke/Zylinder 102

52 Skalar- und Vektorfelder Divergenz Sei D R 3 offen und tv = (v 1, v 2, v 3 ) T ein Vektorfeld auf D. Definition 82 Das Vektorfeld tv heißt stetig, wenn v 1, v 2 und v 3 stetig sind. Das Vektorfeld tv heißt partiell differenzierbar, wenn v 1, v 2 und v 3 partiell differenzierbar sind. Folgende Begriffe spielen in der Stömungs- oder Elektrizitätslehre eine große Rolle. Definition 83 Ist tv partiell differenzierbar, so heißt das Skalarfeld divtv = v 1 x + v 2 y + v 3 z die Divergenz (Quelldichte, Ergiebigkeit) von tv. 103 Skalar- und Vektorfelder Divergenz Definition 83 (Fortsetzung) Man nennt diejenigen Punkte P D, für die divtv(p) > 0 bzw. divtv(p) < 0 gilt, die Quellen bzw. Senken des Feldes tv. Ist divtv = 0 in D, so heißt tv ein quellenfreies Vektorfeld. Bemerkung 84 Die Divergenz läßt sich formal als Skalarprodukt darstellen: divtv = tv = ( x, y, ) T (v 1, v 2, v 3 ) T z 104

53 Skalar- und Vektorfelder Divergenz Bemerkung 84 (Fortsetzung) Für ein ebenes Vektorfeld tv(x, y) = (v 1 (x, y), v 2 (x, y)) T wird die Divergenz analog definiert: divtv = v 1 x + v 2 y Beispiel 85 Für das Feld tv(x, y) = (x, y) T ist divtv = 2. Für tv(x, y, z) = (x, y, z) T ist divtv = Skalar- und Vektorfelder Divergenz Bemerkung 86 (physikalische Deutung) Es sei durch tv(x, y, z) = (0, 0, z(1 x 2 y 2 )) T ein Vektorfeld auf dem (unendlich langen) Zylinder D = {(x, y, z) : x 2 + y 2 1} definiert. Wir stellen uns vor, dass der Vektor tv die Geschwindigkeit einer das Rohr (=Zylindermantel) durchströmenden Flüssigkeit ist. Wir denken uns einen Zylinder (Z) in die Strömung gelegt (Bild). Frage: Wie groß ist der Volumengewinn (abgeflossene - zugeflossene Menge) pro Zeiteinheit? 106

54 Skalar- und Vektorfelder Divergenz Bemerkung 86 (Fortsetzung) Antwort (ohne Herleitung): Der Volumengewinn pro Zeiteinheit ist gleich divtv(p) dp = 1 x 2 y 2 d(x, y, z) Z Die skalare Größe divtv(p) wird daher auch als Quellstärke pro Volumenelement bezeichnet. Satz 87 (Rechenregeln) Z div(tv + tw) = divtv + div tw div(c tv) = c divtv, c R div(f tv) = (grad F ) tv + F divtv wobei F ein differenzierbares Skalarfeld ist. 107 Skalar- und Vektorfelder Rotation Definition 88 Es sei tv = (v 1, v 2, v 3 ) T ein auf der offenen Menge D R 3 definiertes und dort partiell differenzierbares Vektorfeld. Dann heißt das Vektorfeld rottv = ( v3 y v 2 z, v 1 z v 3 x, v 2 x v ) T 1 y die Rotation (oder der Rotor) von tv. Gilt rottv = (0, 0, 0) T in D, so heißt tv wirbelfreies Vektorfeld. 108

55 Skalar- und Vektorfelder Rotation Bemerkung 89 Die Rotation läßt sich formal als Vektorprodukt darstellen: ( rottv = tv = x, y, z te 1 te 2 te 3 = x y z v 1 v 2 v 3 ) T (v 1, v 2, v 3 ) T 109 Skalar- und Vektorfelder Rotation Bemerkung 90 (physikalische Deutung) Bild aus Mathematik-Interaktiv. Wir denken uns im Punkt P eine kleine, mit Schaufeln versehene Kugel in die Strömung gelegt. Die Kugel ist in P festgehalten aber frei drehbar und hat keinen Einfluß auf die Strömung. Frage: Wie dreht sich die Kugel? Beschreibung einer Drehung um eine Achse durch einen Vektor tω mit (im Bild zeigt die y-achse in die Zeichenebene, tω auch): tω : Betrag der Winkelgeschwindigkeit Richtung von tω: Drehachse + Korkenzieherregel rottv(p) = 2z(y, x, 0) T und tω(p) sind bis auf einen konstanten positiven Faktor gleich. 110

56 Skalar- und Vektorfelder Rotation Satz 91 (Rechenregeln) rot(tv + tw) = rottv + rot tw rot(c tv) = c rottv, c R rot(f tv) = (grad F ) tv + F rottv, wobei F ein differenzierbares Skalarfeld ist. Beispiel 92 Bezeichne t H das magnetische Feld eines geraden, unendlich langen, von einem Gleichstrom durchflossenen Leiters. Wir legen das Koordinatensystem so, dass die z-achse mit dem Leiter zusammenfällt und ihre Richtung gleich der Stromrichtung ist. 111 Skalar- und Vektorfelder Rotation Beispiel 92 (Fortsetzung) Aus physikalischen Gesetzen folgt: th(x, y, z) = k x 2 ( y, x, 0)T + y 2 wobei k eine gewisse Konstante ist. /Bild/ Es gilt: t H = k x 2 + y 2 und t H (x, y, z) T Dieses Vektorfeld ist quellenfrei, da v 1 x = k 2xy (x 2 + y 2 ) 2, v 2 y = k 2xy (x 2 + y 2 ) 2, v 3 z = 0 112

57 Skalar- und Vektorfelder Rotation Beispiel 92 (Fortsetzung) und wirbelfrei, da v 1 y = k y 2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2 = v 2 x. 113 Skalar- und Vektorfelder Rotation Beispiel 93 Das Vektorfeld tv(x, y, z) = (x 2 ist weder quellen- noch wirbelfrei: + xyz, y 2 x 2, x + y sin z) T divtv = 2x + yz + 2y + y cos z und rottv = te 1 te 2 te 3 x y z x 2 + xyz y 2 x 2 x + y sin z = (sin z, xy 1, 2x xz) T. 114

58 Skalar- und Vektorfelder Weitere Eigenschaften Satz 94 Ein Vektorfeld tv ist genau dann quellenfrei, wenn es sich als Rotation eines Vektorfeldes tw darstellen läßt: divtv = 0 tv = rot tw. tw heißt Vektorpotential (und ist bis auf den Gradienten einer skalaren Funktion eindeutig bestimmt). 115 Skalar- und Vektorfelder Weitere Eigenschaften Satz 94 (Fortsetzung) Ein Vektorfeld tv ist genau dann wirbelfrei, wenn es sich als Gradient eines Skalarfeldes F darstellen läßt: rottv = 0 tv = grad F. F heißt Skalarpotential (und ist bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt). Siehe auch den Satz über die Charakterisierung des vollständigen Differentials mit n =

59 Kurvenintegrale Kurven im Raum (Wiederholung) Kurven im Raum Parameterdarstellung: tr (t) = (x(t), y(t), z(t)) T, t [a, b]. Sind die Funktionen x(t), y(t) und z(t) stetig, so heißt die Kurve stetig, sind sie differenzierbar, so sei tr (t) = (x (t), y (t), z (t)) T. tr (t 0 ) ist Tangentialvektor an die Kurve im Kurvenpunkt tr (t 0 ). Parameterdarstellung der Tangente: /Bild/ tr (t 0 ) + ttr (t 0 ), t R. 117 Kurvenintegrale Kurven im Raum (Wiederholung) Beispiele Schraubenlinie: tr (t) = (R cos t, R sin t, ht) T, t R, R > 0, h > 0. Der Kurvenpunkt tr (t) hat von der z-achse den Abstand x(t) 2 + y(t) 2 = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 t = R. Der Abstand ist unabhängig von t. /Bild/ Die Kurve liegt auf einer Zylinderfläche, die sog Ganghöhe ist gleich 2πh. tr (t) = ( R sin t, R cos t, h) T = Tangentialvektor zum Beispiel im Punkt tr (0) = (R, 0, 0) T ist tr (0) = (0, R, h) T. Parameterdarstellung der Tangente: (R, 0, 0) T + t(0, R, h) T. 118

60 Kurvenintegrale Kurven im Raum (Wiederholung) Beispiele 95 (Fortsetzung) 2. Schraubenlinie auf einem Kegelmantel: tr (t) = (t cos t, t sin t, ht) T, t 0. /Bild/ 3. Gerade durch den Punkt a mit der Richtung b: tr (t) = a + tb, t R, a, b R 3. tr (t) = b, d. h., Tangentialvektor = Richtungsvektor. 119 Kurvenintegrale Motivation (Berechnung der Arbeit) Wir berechnen die Arbeit, die von einem Kraftfeld t F beim Verschieben (längs einer Kurve) eines Massenpunktes verrichtet wird. Spezialfall Verschiebung von A nach B längs einer Geraden durch eine konstante Kraft. Definitionsgemäss ist die Arbeit /Skizze/ W = F s cos ϕ = t F ts wobei F = t F, s = ts und ϕ = (t F,ts). Es sei nun C : tr(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)) T, t [a, b] eine Kurve, auf C sei ein Vektorfeld t F (Kraftfeld) definiert. 120

61 Kurvenintegrale Motivation (Berechnung der Arbeit) Arbeit bei Verschiebung entlang der Kurve Sei Z : a = t 0 < t 1 < < t n = b eine Zerlegung des Intervalls [a, b]. Die geradlinige Verbindung der Punkte tr(t i ) ergibt einen Streckenzug (Näherung für die Kurve). In jedem Teilintervall [t i 1, t i ] wählen wir eine beliebige Zwischenstelle η i. Näherung für t F auf der i-ten Teilstrecke: t F (tr(η i )). Näherung für die Arbeit für die gesamte Kurve: n i=1 tf (tr(η i )) (tr(t i ) tr(t i 1 )) 121 Kurvenintegrale Definition Definition 96 Existiert der Grenzwert lim Z 0 n i=1 tf (tr(η i )) (tr(t i ) tr(t i 1 )) t so nennt man ihn Kurvenintegral von F längs C. Bezeichnung: tf dtr. C 122