Dr. Zschiegner Kapitel 2: Algebra. Seite 1. Dr. Zschiegner 2008 Seite 3. Kapitel 2: Algebra. Dr. Zschiegner 2008 Seite 5. Kapitel 2: Algebra

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1 Inhalt 2.1 Zahlbereiche N, Z, Q, R Kapitel 2 Algebra und Arithmetik 2.2 Terme und (Un-) Gleichungen Lineare und quadratische Gleichungen, Nullstellen von Polynomen und gebrochenrationalen Funktionen, Ungleichungen 2.3 Lineare Gleichungssysteme Verfahren (insb. Gauß-Algorithmus) und Anwendungen 2.4 Spezielle Funktionen Potenzen und Wurzeln, Exponentialfunktion und Logarithmen, Winkelfunktionen, Seite 1 Seite Zahlbereiche Zahlbereiche Man nennt die Mengen N, Z, Q, R zusammen mit ihren Operationen (+,,,.) Zahlbereiche. Es handelt sich um Erweiterungen in dem Sinne, dass - die Mengen ineinander enthalten sind (N Z Q R), - die Operationen sich fortsetzen, und - jeweils neue Operationen hinzukommen. Seite 3 Seite Die natürlichen Zahlen N Primzahlen Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4...; die Menge der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet. Nach DIN-Norm 5473 gehört die Null zu den natürlichen Zahlen! Zur Bedeutung der natürlichen Zahlen schreibt L. Kronecker ( ): Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. Seien a und b natürliche Zahlen. Wir sagen a teilt b (geschrieben a b), falls es eine natürliche Zahl z gibt mit b = z a. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl > 1, die als natürliche Teiler nur 1 und sich selbst hat. Anders ausgedrückt: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau (nur!) zwei positive Teiler hat. Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,... Die größte heute bekannte Primzahl ist , eine Zahl mit Dezimalstellen. Seite 5 Seite 6 Seite 1 1

2 2 Das Sieb des Eratosthenes Aufgabe Wie findet man Primzahlen? Schwieriges Problem! Bis heute kennt man keine Formel für Primzahlen! Das Sieb des Eratosthenes (Eratosthenes von Kyrene v. Chr.). Um alle Primzahlen n zu finden, geht man wie folgt vor: 1.Schreibe die Zahlen 2, 3,..., n auf. 2. Die erste Zahl ist eine Primzahl. Streiche alle Vielfachen dieser Zahl! 3. Die erste freie Zahl ist die nächste Primzahl. Streiche alle Vielfachen dieser Zahl. Usw. Bestimmen Sie mit dem Sieb des Eratosthenes alle Primzahlen unter 100. Seite 7 Seite 8 Darstellung einer nat. Zahl durch Primzahlpotenzen Faktorisierungsweltrekord (2003) Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie. Für jede natürliche Zahl n 2 gibt es eindeutig bestimmte Primzahlen p 1, p 2,..., p r und eindeutig bestimmte positive ganze Zahlen e 1, e 2,..., e r, so dass gilt: n = p e1 1 p e p er r = Seite 9 Seite 10 Unendlichkeit der Primzahlen Euklids Trick Satz (Euklid). Es gibt unendlich viele Primzahlen. Mit anderen Worten: Die Folge der Primzahlen bricht nie ab. Nochmals anders gesagt: Es gibt keine größte Primzahl! Zu jeder vorgegebenen Grenze gibt es immer noch eine Primzahl, die größer als diese Grenze ist! Beweis. Der Beweis erfolgt durch Widerspruch. Wir nehmen an, dass die Aussage des Satzes falsch ist, dass es also nur endlich viele, sagen wir s, Primzahlen gibt. Man kann also prinzipiell die Folge der s Primzahlen hinschreiben: p 1 (= 2), p 2 (= 3), p 3,..., p s ; die Zahl p s wäre also die größte Primzahl. Diese Annahme müssen wir zu einem Widerspruch führen. Wir betrachten die Zahl n = p 1 p 2... p s + 1. Da n nach Annahme keine Primzahl sein kann, wird n durch eine der Primzahlen p 1, p 2,..., p s geteilt (weil es keine anderen Primzahlen gibt)! Also gibt es ein solches p i, das n teilt: p i n = p 1 p 2... p s + 1. Ferner teilt p i auch das Produkt p 1 p 2... p s. Das heißt: p i p 1 p 2... p s. Dann teilt p i auch die Differenz dieser beiden Zahlen: p i p 1 p 2... p s + 1 (p 1 p 2... p s ) = 1. Also müßte die Primzahl p i die Zahl 1 teilen: Widerspruch! Seite 11 Seite 12 Seite 2

3 2.1.2 Die ganzen Zahlen Z Rechengesetze in Z Die natürlichen Zahlen N sind abgeschlossen bzgl. Summenbildung. D.h. für je zwei natürliche Zahlen n, m ist auch die Summe n + m immer eine natürliche Zahl. Die Differenz zweier natürlicher Zahlen muss jedoch keine natürliche Zahl sein (z.b. 3-5 N). Um eine Menge zu erhalten, die auch bzgl. Differenzbildung abgeschlossen ist, müssen wir N erweitern. Wir definieren die Menge der ganzen Zahlen wie folgt: Z := N { -n n N }. Um mit den ganzen Zahlen rechnen zu können, müssen wir auf der Menge Z noch Rechenregeln definieren. Wir definieren (wie üblich) für n, m N: (-n) + (-m) = - (n + m) (-n) (-m) = n m ( minus mal minus gibt plus ) usw. Warum definieren wir die Rechenregeln gerade so? Mit diesen Regeln gelten die üblichen Gesetze: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz,... ( Permanenzprinzip ) Seite 13 Seite Die rationalen Zahlen Q Bruchrechnung Der Quotient zweier ganzer Zahlen ist i. A. keine ganze Zahl. Man kann also i. A. nicht (ohne Rest) dividieren. Die Menge Z der ganzen Zahlen ist nicht abgeschlossen bzgl. der Division. Man erhält die rationalen Zahlen, indem man fordert, dass die Division abgeschlossen sein soll, d.h. dass jede Zahl 0 ein multiplikatives Inverses haben soll. Die Menge der rationalen Zahlen besteht aus den Bruchzahlen. (Achtung: 1/2 und 2/4 sind verschiedene Brüche, stellen aber die gleiche Bruchzahl dar.) p Bei einem Bruch heißt p Zähler und q Nenner. q p a p Für jede ganze Zahl a 0 stellen die Brüche q und a q dieselbe rationale Zahl dar. Das bedeutet: Erweitern und Kürzen mit einer ganzen Zahl 0 ändert den Wert eines Bruches nicht. p1 p Seien q und 1 q zwei rationale Zahlen. Wir definieren ihre Summe 2 2 durch p1 q2 p2 q1. q1 q2 Wir definieren ihr Produkt durch p1 p2 p1 p q q q q Seite 15 Seite 16 Der Körper der rationalen Zahlen Aufgabe Definition: Eine Menge K mit + und bildet einen Körper, wenn die beiden Operationen assoziativ und kommutativ sind, es ein neutrales Element 0 bzgl. der Addition und ein neutrales Element 1 0 bezüglich der Multiplikation gibt, jedes Element ein additives Inverses und jedes von 0 verschiedene Element ein multiplikatives Inverses hat, das Distributivgesetz gilt. Ein Körper ist eine Struktur, in der man wie gewohnt rechnen kann. Satz. Die Menge Q der rationalen Zahlen bildet zusammen mit + und einen Körper. Man spricht auch vom Körper der rationalen Zahlen. Seite 17 Seite 18 Seite 3 3

4 4 Brüche sind endliche oder periodische Dezimalbrüche! Beispiel: rein periodische Dezimalbrüche Sei p/q eine Bruchzahl. Man erhält den zugehörigen Dezimalbruch ( Kommazahl ), indem man p durch q teilt. Dabei gibt es zwei Fälle: 1. Fall: Irgendwann entsteht als Rest bei der Division 0. Dann entstehen ab dieser Stelle immer nur Nullen. D.h. es liegt ein endlicher Dezimalbruch vor. Beispiel: 3/8 = 3 : 8 = 0, Fall. Alle Reste sind 0. Da die Reste < q sind, müssen sie sich nach spätestens q 1 Schritten wiederholen. Es liegt ein periodischer Dezimalbruch vor. Die Periodenlänge ist q 1. Beispiel: 3/7 = 3 : 7 = 0, Beispiele: 0, , , , Allgemein: 0, z z = 1 2 zk k 1 k 2 z1 10 z2 10 zk 1 10 zk k 10 1 Seite 19 Seite Die reellen Zahlen R Die Entdeckung der Irrationalität Grundvorstellung: Die reellen Zahlen sind genau die Dezimalbrüche. Dezimalbrüche können endlich, periodisch oder nichtperiodisch sein. Ein nicht-endlicher, nichtperiodischer Dezimalbruch ist eine reelle Zahl, die nicht rational ist. Beispiele für solche irrationalen Zahlen: 0, = 1, = 3, Die Entdeckung der Irrationalität bei den Pythagoräern (ca. 500 v. Chr.) war ein Schock. Denn sie waren davon überzeugt, dass alles Zahl ist, und das heißt rationale, und damit im wesentlichen ganze Zahl ist. Sie entdeckten am regelmäßigen Fünfeck, dass es Zahlen gibt, - die unzweifelhaft existieren, da sie geometrische Größen sind, - von denen man aber beweisen kann, dass man sie nicht durch einen Bruch darstellen kann. Satz. Das Verhältnis von Länge einer Diagonale zur Seitenlänge eines regulären Fünfecks ist keine rationale Zahl. Seite 21 Seite 22 Wurzeln sind irrational Formale Definition von R Der berühmteste Irrationalitätsbeweis ist der für 2. Satz. 2 ist keine rationale Zahl. Beweis durch Widerspruch. Angenommen, es gibt eine Bruchzahl m/n mit m/n = 2. Daraus folgt (m/n) 2 = 2, also m 2 = 2n 2. Nun kommt in m 2 die Primzahl 2 in gerader Anzahl vor, während sie in 2n 2 in ungerader Anzahl vorkommt: Widerspruch. Die reellen Zahlen kann man formal definieren, indem man fordert, dass jede Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl erfasst. Eine Folge [a n, b n ] von abgeschlossenen nichtleeren Intervallen heißt eine Intervallschachtelung, falls sie folgende Eigenschaften hat: (a) [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] [a 4, b 4 ] (b) für alle e > 0 gibt es eine Nummer N, so dass für alle n N die Ungleichung b n a n < e gilt ( die Intervalle werden beliebig klein ). Diese Idee ist im Grunde sehr alt, formal beschrieben wurde sie von B. Bolzano ( ). Seite 23 Seite 24 Seite 4

5 Ausblick: C 2.2 Terme und (Un-) Gleichungen Es gibt auch noch einen Erweiterungskörper von R, nämlich die komplexen Zahlen C. Eine komplexe Zahl hat die Form z = a + ib, wobei a und b reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist, für die gilt i² = -1. Mehr dazu im 2. Semester. Seite 25 Seite 26 Variablen Terme Eine Variable (auch Unbekannte genannt) ist irgend eine Folge von Buchstaben und Zahlen. Beispiele: x, y, z, X, Y, Z, a, b, c, p, r, x 1, f 17, SUMME, PRODUKT1-5, MONTAG, Student,... Vorstellung: Statt einer Variablen können wir eine Zahl einsetzen. Definition: Jede reelle Zahl ist ein Term, jede Variable ist ein Term. Wenn man Terme zueinander addiert, voneinander subtrahiert, miteinander multipliziert oder durcheinander dividiert, erhält man wieder einen Term. Wenn man auf einen oder mehrere Terme in der Mathematik übliche Operationen (Potenzieren, Differenzieren, sin, cos, mod,...) anwendet, erhält man wieder einen Term. Beispiele: Terme sind 1, 0,, 65537, x, Y, x+y, f+m, 5a, fit + fun, (a+b) 2, x 5 +3x 2 +7, (x+1)/(x 1), x y, sin(x 2 ), (x 5 3x+1), 3000 mod 17, Seite 27 Seite 28 Polynome Gleichungen Besonders wichtige Terme sind die Polynome. Polynome (auch: ganzrationale Funktionen) haben die Form mit reellen Koeffizienten a 0,, a n. Beispiele: x 3 + x + 1, x, x 1000, 5x 8 3x Keine Polynome sind 2 x, sin(x), ln(x), 1/x, x. Definition: Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Beispiele: 7 = 5, x = 1, x 2 = 1, x 2 + y 2 = 1,... Definition: Eine Lösung einer Gleichung ist ein Satz von reellen Zahlen (pro Variable eine Zahl), so dass diese in die Gleichung eingesetzt, die Gleichung zu einer wahren Aussage machen. Bemerkung: Eine Gleichung kann keine Lösung, genau eine Lösung, endlich viele Lösungen oder unendlich viele Lösungen haben (siehe Beispiele oben). Seite 29 Seite 30 Seite 5 5

6 6 Typen von Gleichungen Maximalzahl von Lösungen Wir betrachten vorerst nur Gleichungen in einer Unbekannten x. Lineare Gleichung: Die Unbekannte kommt nur in der ersten Potenz vor. Beispiele: 3x + 5 = 14, 512x 7 = x,... Quadratische Gleichung: Die Unbekannte kommt in zweiter Potenz (also als x 2 ) vor; kleinere Potenzen dürfen auch vorkommen. Beispiele: x 2 = 2, 7x x + 2 = 0, 7x + 5x 2 = x 2,... Gleichung n-ten Grades: In ihr kommt die Unbekannten als n-te Potenz vor; kleinere Potenzen dürfen auch vorkommen. Satz. Jede lineare Gleichung hat höchstens eine Lösung. Satz. Jede quadratische Gleichung hat höchstens zwei Lösungen. Verallgemeinerung: Satz. Jede Gleichung n-ten Grades hat höchstens n Lösungen. Anwendung: Wenn wir n Lösungen einer Gleichung n-ten Grades gefunden haben, brauchen wir nicht weiter zu suchen. Seite 31 Seite 32 Wie erhält man Lösungen? 1. Lösungsmethode: Systematisches Probieren 0. Probieren 1. Systematisches Testen (etwa mit Hilfe einer Wertetabelle) 2. Graphische Lösungsverfahren 3. Algebraische Lösungsverfahren Grundidee: Man rechnet für einige Werte von x die rechte und die linke Seite aus und pirscht sich so an eine Lösung heran. Beispiel: Wir wollen die Gleichung x 2 + 3x = 108 lösen. x L.S R.S Lösungen: 9 und 12. Seite 33 Seite Lösungsmethode: Graphisches Verfahren 3. Lösungsmethode: Algebraische Methoden Rezept: Man fasst L.S. und R.S. als Funktion auf und zeichnet die Graphen. Die Stellen, an denen sich die Graphen schneiden, sind die Lösungen. Klar: An diesen Stellen gilt: L.S. = R.S. Beispiel: x 2 = 10x 9. Die Funktion, die der linken Seite entspricht, ist y = x 2, also die Normalparabel. Die Funktion, die der rechten Seite entspricht, ist y = 10x 9: die Gleichung einer Geraden mit Steigung 10 und y- Achsenabschnitt 9. Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich an den Stellen x = 1 und x = 9; also sind dies die Lösungen. Eine Gleichung geht aus einer anderen durch eine Äquivalenzumformung hervor, wenn beide Gleichungen die gleichen Lösungen haben. Die Idee ist, eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen solange umzuformen, bis man zu einer so einfachen Gleichung kommt, an der man die Lösungen direkt ablesen kann. Satz. Folgende Operationen sind Äquivalenzumformungen: (1) Addition oder Subtraktion einer Zahl. (2) Multiplikation mit einer Zahl 0 oder Division durch eine Zahl 0. (3) Addition oder Subtraktion eines Vielfachen der Unbekanten x. (4) Addition oder Subtraktion eines Vielfachen von x 2, Seite 35 Seite 36 Seite 6

7 Quadratische Gleichungen Ein Beispiel Durch Äquivalenzumformungen können wir jede quadratische Gleichung auf die Form ax 2 + bx + c = 0 bzw. (indem wir durch a dividieren) auf die Form x 2 +px + q = 0 bringen. Der Grundmechanismus für alle Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen ist die quadratische Ergänzung. Diese beruht auf der 1. bzw. 2. binomischen Formel. Wir betrachten x 2 10x + 9 = 0. Wenn die linke Seite x 2 10x + 25 wäre, dann würden wir schreiben: x 2 10x + 25 = (x 5) 2, und könnten die Gleichung lösen. Wir addieren auf jeder Seite die Zahl 16 (Äquivalenzumformung) x 2 10x = 16, x 2 10x + 25 = 16 (x 5) 2 = 16. Wir ziehen auf beiden Seiten die Wurzel und erhalten x 5 = 4. Achtung: Die Gleichung z 2 = 16 hat zwei Lösungen, 4 und 4. Die Gleichung hat die Lösungen x = 4+5 = 1 und x = 4+5 = 9. Seite 37 Seite 38 Die p,q-formel Beweis Satz. Sei x 2 + px + q eine quadratische Gleichung. Diese hat die Lösungen x 1,2 = p/2 (p /2) 2 q Insbesondere gilt: Die Gleichung ist genau dann lösbar, wenn p 2 /4 q ist. In diesem Fall hat sie genau dann nur eine Lösung, wenn p 2 /4 = q ist, und sonst zwei Lösungen. Beweis. Wir führen die quadratische Ergänzung durch, indem wir auf beiden Seiten p 2 /4 q addieren: x 2 + px + p 2 /4 = x 2 + px + q + p 2 /4 q = p 2 /4 q. Daraus folgt (x + p/2) 2 = p 2 /4 q, also x + p/2 = (p/2) 2 q, und somit x 1,2 = p/2 (p/2) 2 q Die Wurzel hat genau dann eine Lösung, wenn p 2 /4 q 0, also p 2 /4 q ist. Die Lösung ist genau dann eindeutig, wenn die Wurzel gleich Null ist, also wenn p 2 /4 = q ist. Achtung! Der Übergang von x 2 = a zu x = a ( auf beiden Seiten die Wurzel ziehen ) ist keine Äquivalenzumformung, sondern eine Verlustumformung. Denn die Lösung x = a geht dabei verloren. Seite 39 Seite 40 Beispiele Aufgaben 1. Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen: (a) 4x 2 1 = 0, (b) x 2 4x + 1 =0, (c) (2x 3) 2 = (x 1) (x 4) + 9x, (d) 3x 2 4ax + a 2 = Für welche Werte von c hat die Gleichung x 2 (c + 2) x + 1 = 0 genau 0, 1 bzw. 2 Lösungen? 3. Beweisen Sie den Satz von Vieta: Sind x 1 und x 2 die Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0, so gilt: x 1 + x 2 = p und x 1 x 2 = q. Seite 41 Seite 42 Seite 7 7

8 8 Aufgabe Φ in der Kunst Definition. Sei AB eine Strecke. Ein Punkt S auf AB teilt AB im goldenen Schnitt, falls sich die größere Teilstrecke M zur kleineren Teilstrecke m so verhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil. Zeigen Sie: Ein Punkt S teilt eine Strecke AB genau dann im goldenen Schnitt, wenn M / m = (1 + 5) / 2 1,618 ist. Die Zahl (1 + 5) / 2 wird mit Φ ( phi ) nach dem Bildhauer Phidias bezeichnet, der in seinen Werken den goldenen Schnitt oft genutzt hat. Viele Künstler verwendeten den goldenen Schnitt bewusst, da sich dieses Verhältnis als besonders ästhetisch erwiesen hat. Seite 43 Seite 44 Aufgabe Beispiel: Biquadratische Gleichung Eine zweiziffrige Zahl hat die Quersumme 5. Vertauscht man die Ziffern und multipliziert die neue Zahl mit der ursprünglichen, so ist das Produkt um 560 größer als die ursprüngliche Zahl. Wie lautet die ursprüngliche Zahl? Seite 45 Seite 46 Beispiel: Lösen durch Ausklammern Wurzelgleichungen Idee: Man isoliert die Wurzel, quadriert dann die Gleichung und rechnet dann weiter. Achtung: Beim Quadrieren gewinnt man eine Lösung (Gewinnumformung). Daher muss man am Ende überprüfen, ob die gefundenen Zahlen wirklich Lösungen der Ausgangsgleichung sind. Beispiel: x x + 2 = 0. Isolieren der Wurzel: x +2 = x + 2. Quadrieren: x 2 = x + 2 Lösen: x 1 = 2, x 2 1 Probe: nur 2 ist eine Lösung. Seite 47 Seite 48 Seite 8

9 9 Aufgaben Nullstellen von Polynomen Lösen Sie die folgenden Wurzelgleichungen: x 13 4x 4 3x 7 3x 15 4 x 5 x Satz. Sei f ein Polynom, (a) Sei x 1 eine Nullstelle, d.h. eine Lösung der Gleichung f = 0. Dann kann man f schreiben als f = (x x 1 )g, wobei g ein Polynom ist. ( Man kann dann einen Linearfaktor abspalten.) (b) Sei n der Grad von f. Wenn f die n verschiedene Lösungen x 1, x 2,, x n hat, dann gilt f = a(x x 1 ) (x x 2 ) (x x n ) mit a R. (c) Sei f = x 2 + px + q ein quadratisches Polynom mit Nullstellen x 1 und x 2. Dann gilt f = (x x 1 ) (x x 2 ). Seite 49 Seite 50 Polynomdivision Beispiel Um das Polynom g in f = (x x 1 )g zu bestimmen, kann man eine Polynomdivision durchführen. Beispiel: Die Nullstellen von g sind dann die restlichen Nullstellen von f. Im Beispiel hat g die Nullstellen -2 und -3, also hat f die Nullstellen 1, -2, -3. Seite 51 Seite 52 Aufgaben Gebrochenrationale Funktionen Lösen Sie die folgenden Gleichungen: Seite 53 Seite 54 Seite 9

10 10 Beispiel 1: Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen Beispiel 2: Nullstellen gebrochenrationaler Funktionen Seite 55 Seite 56 Polstellen Ungleichungen Beispiele: Seite 57 Seite 58 Beispiel 1 Beispiel 2 Seite 59 Seite 60 Seite 10

11 11 Beispiel 3 Aufgaben Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen: Seite 61 Seite Gleichungssysteme Gleichungssysteme Definition. (a) Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen, in denen in der Regel mehrere Variable vorkommen. (b) Ein Gleichungssystem heißt linear, wenn alle Gleichungen in ihm lineare Gleichungen sind. Wir betrachten nur lineare Gleichungssyst. Beispiel: Folgendes Gleichungssystem ist linear 3x + 2y + z = 5 2x + 7y 3z = 0 x + 2z = 2 Folgendes Gleichungssystem ist nicht linear: x 2 + 2z = 1 3x + yz = 0. Seite 63 Seite 64 Lösungen linearer Gleichungssysteme Idee der Lösungsverfahren Probleme: 1. Ist ein gegebenes lineares Gleichungssystem lösbar? D.h.: besitzt es (mindestens) eine Lösung? Eine Lösung besteht dabei aus einem Satz von Zahlen (für jede Unbekannte eine), die Lösung jeder Gleichung des Systems sind. 2. Wie berechnet man die Lösungen? Bemerkung: Es gibt lineare Gleichungssysteme, die keine Lösung haben, solche, die genau eine Lösung haben und solche, die unendlich viele Lösungen haben. Beispiele: x + y = 1 x + y = 1 x + y = 1 x + y = 2 x y = 1 2x + 2y = 2 Es gibt verschiedene Lösungsmethoden. Mathematisch laufen letztlich alle auf das Gleiche hinaus. Grundlegende Idee: Forme das Gleichungssystem so um, dass am Ende nur eine Gleichung mit einer Unbekannten übrig bleibt. 1. Einsetzungsverfahren 2. Gleichsetzungsverfahren 3. Additions- (Subtraktions-)verfahren 4. Verfahren von Gauß Seite 65 Seite 66 Seite 11

12 12 Einsetzungsverfahren Beispiel zum Einsetzungsverfahren Rezept: Man löst eine Gleichung nach einer Unbekannten auf, setzt dann dies anstelle der Unbekannten in die anderen Gleichungen ein. So erhält man ein Gleichungssystem, das eine Unbekannte und eine Gleichung weniger hat. Dann kann man auf das neue System erneut dieses Verfahren (oder ein anderes) anwenden. x + y z = 1 2x + 3y + 4z = 5 x + 2y + z = 2 Wir lösen die erste Gleichung nach z auf und erhalten z = x + y 1. Dies setzen wir in die zweite und dritte Gleichung ein und erhalten 5 = 2x + 3y + 4(x + y 1) 2 = x + 2y + x+y 1, also 9 = 6x + 7y 3 = 2x + 3y Daraus erkennt man die Lösung x = 3/2, y = 0, z = 1/2. Seite 67 Seite 68 Gleichsetzungsverfahren Beispiel Rezept: Man löst alle Gleichungen nach einer Unbekannten (oder einem Vielfachen der unbekannten auf). Dann setzt man die erhaltenen Gleichungen gleich und erhält dadurch eine System mit einer Unbekannten weniger und einer Gleichung weniger. Beispiel. Wir benutzen obiges Beispiel. Wir multiplizieren die erste und die dritte Gleichung mit 2 (dabei verändern sich die Lösungen dieser Gleichungen nicht Äquivalenzumformungen!), und also auch die Lösung des gesamten Systems nicht. Danach sieht das Gleichungssystem so aus: 2x + 2y 2z = 2 2x + 3y + 4z = 5 2x + 4y + 2z = 4 Nun lösen wir die drei Gleichungen nach 2x auf: 2x = 2 2y + 2z 2x = 5 3y 4z 2x = 4 4y 2z Wir setzen die erste und zweite, sowie die erste und dritte Gleichung gleich (man könnte auch andere Paare wählen) und erhalten Seite 69 Seite 70 Beispiel (Fortsetzung) Additions- bzw. Subtraktionsverfahren 2 2y + 2z = 5 3y 4z 2 2y + 2z = 4 4y 2z, also y + 6z = 3 2y + 4z = 2 das heißt y + 6z = 3 y + 2z = 1. Daraus ergibt sich (Gleichsetzungsverfahren) 3 6z = 1 2z, also 2 = 4z, d.h. z = ½. Damit folgt y = 0 und also x = 3/2. Rezept: Wir multiplizieren eine Gleichung so, dass bei Addition oder Subtraktion mit einer anderen Gleichung eine Unbekannte wegfällt. Beispiel. Wieder verwenden wir obige System. Wir multiplizieren die erste und die dritte Gleichung jeweils mit 4 und erhalten 4x + 4y 4z = 4 2x + 3y + 4z = 5 4x + 8y + 4z = 8 Seite 71 Seite 72 Seite 12

13 Beispiel (Fortsetzung) Beispiel: Additionsverfahren und grafisch Jetzt addieren wir die ersten beiden Gleichungen und subtrahieren die zweite von der letzten: 6x + 7y = 9 2x + 5y = 3. Nun multiplizieren wir die letzte Gleichung mit 3 und subtrahieren davon die erste; wir erhalten 8y = 0, also y = 0. Damit ist x = 3/2 und z = ½. Seite 73 Seite 74 Der Gauß-Algorithmus Der Gauß-Algorithmus (Fortsetzung) Rezept: Multipliziere die erste Gleichung so, dass beim Addieren bzw. Subtrahieren von der zweiten Gleichung in dieser (zweiten) Gleichung die Unbekannte x wegfällt. Dann multipliziere die erste Gleichung so, dass bei Addition (bzw. Subtraktion) zu der dritten Gleichung in dieser die Unbekannte x wegfällt. Usw. Nun betrachten wir die (neue) zweite Zeile. Multipliziere diese so, dass bei Addition bzw. Subtraktion mit der dritten Gleichung in dieser die Unbekannte y wegfällt. Multipliziere nun die zweite Gleichung so, dass bei Addition bzw. Subtraktion zur vierten Gleichung in dieser die Unbekannte y wegfällt. Usw. Usw. Am Ende hat man ganz unten eine Gleichung mit einer Unbekannten. Man löst diese Gleichung und setzt die Lösung in die zweitunterste Gleichung ein. Dann ist auch dies nur eine Gleichung mit einer Unbekannten. Usw. Bemerkung: C.F. Gauß hat die gesamten vorigen Lösungsverfahren, die oft auch einen guten Blick erfordern, systematisiert. Im Grunde ist sein Verfahren ein perfektioniertes Additions- bzw. Subtraktionsverfahren. Seite 75 Seite 76 Beispiel 1 Beispiel 2 Gleichungssystem: x + 2y + z = 2 3x 8y 2z = 4 x + 4z = 2 1. Schritt: x + 2y + z = 2 2y + z = 2 2y + 5z = 4 2. Schritt: x + 2y + z = 2 2y + z = 2 6z = 6. Daraus folgt z = 1, y = 1/2, x = 2. Seite 77 Seite 78 Seite 13 13

14 14 Beispiel 3: unlösbar Beispiel 4: unendliche viele Lösungen Seite 79 Seite 80 Aufgaben Aufgabe 1: Stromkreis 1. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gauß- Algorithmus: x + 2y + z = 2 3x 8y 2z = 4 x + 4z = 2 2. Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem: 2x + 3y 4z = 8 2x y + 5z = 15 7x + y 2z = 3 Seite 81 Seite 82 Aufgabe 2: Stromkreis Aufgabe: Legierungen Berechnen Sie I 1, I 2, I 3 und I c in folgendem Netzwerk. (Lösung siehe Papula, Band 1) Seite 83 Seite 84 Seite 14

15 15 Aufgabe Die beiden Freundinnen Anna und Berta treffen sich: Anna: Hallo, wie geht s? Berta: Gut, und selbst? Wie alt sind Annas Kinder? Anna: Auch gut, ich habe inzwischen drei Kinder. Berta: Tatsächlich? Wie alt sind sie denn? Anna: Das Produkt ihrer Lebensalter ist 36, die Summe gleich Deiner Hausnummer. Berta: Diese Information genügt mir nicht. Anna: Stimmt. Also, das älteste ist blond. Berta: Aha, jetzt kenne ich ihr Alter. Seite 85 Seite 15