Ð ÀÐØ ÐÐ ØØÖ Ù Ñ ÐÒ ÄÚÐ ÙÒ ÔÖ ØÒ Ò Ò ÐØØÖÒº ÞÙ ÖÐÙ ÑÖ Ð ÒÒ ËÐ Ð Ò ÒÑ ÒÒÖÒ ÃÒÓØÒ ÞÙ ÔÖÒº ÀØ Ò ÒÒÖÖ ÃÒÓØÒ x ÒÙ m ÃÒÖ Ó ÒÐØØ x ÒÙ m ËÐ Ðº ËÐ Ð Ò ÒÑ ÌÐÙÑ

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Ð ÀÐØ ÐÐ ØØÖ Ù Ñ ÐÒ ÄÚÐ ÙÒ ÔÖ ØÒ Ò Ò ÐØØÖÒº ÞÙ ÖÐÙ ÑÖ Ð ÒÒ ËÐ Ð Ò ÒÑ ÒÒÖÒ ÃÒÓØÒ ÞÙ ÔÖÒº ÀØ Ò ÒÒÖÖ ÃÒÓØÒ x ÒÙ m ÃÒÖ Ó ÒÐØØ x ÒÙ m ËÐ Ðº ËÐ Ð Ò ÒÑ ÌÐÙÑ"

Daniela Kneller
vor 6 Jahren
Abrufe

1 º ËÙÚÖÖÒ º (a,b) ¹ ÙÑ º ÂÙÒ

2 Ð ÀÐØ ÐÐ ØØÖ Ù Ñ ÐÒ ÄÚÐ ÙÒ ÔÖ ØÒ Ò Ò ÐØØÖÒº ÞÙ ÖÐÙ ÑÖ Ð ÒÒ ËÐ Ð Ò ÒÑ ÒÒÖÒ ÃÒÓØÒ ÞÙ ÔÖÒº ÀØ Ò ÒÒÖÖ ÃÒÓØÒ x ÒÙ m ÃÒÖ Ó ÒÐØØ x ÒÙ m ËÐ Ðº ËÐ Ð Ò ÒÑ ÌÐÙÑ T i ÔÖØ Ò Ò ÐÐ ÐÒÖ Ð Ù ÌÐÙÑ T i+ º

3 Ò ËÐ Ð (k,...,k m ) ÑØ k <... < k m Ò ÒÑ ÒÒÖÒ ÃÒÓØÒ ÔÖØº m ËÐ Ð ØÐÒ ÙÒ ÑØ Ò ÛÐÑ ÌÐÙÑ Ò ËÐ Ð ÞÙ ÒÒ Øº ËØÞ k = ÙÒ k m = º ÒÒ ÑÙ ÑÒ ÒÒ ØÒ ØÞ ÑØ ËÐ Ð k (k i,k i ] Ñ ÌÐÙÑ T i ÙÒº Ð ÞÙ (a,b) ÙÑÒ k k i k i k m T T i T m

4 ÒØÓÒ º Ò ËÙÙÑ Û ÓÒ ÖÒ Ø (a,b) ¹ ÙÑ ÐÐ µ ÐÐ ÐØØÖ Ù Ñ ÐÒ ÄÚÐ Ò µ Ö ÒÒÖ ÃÒÓØÒ b ÃÒÖ Ø µ ÏÙÖÞÐ ÃÒÖ Ø ÐÐ Ò ÐØØ Øµ ÙÒ Ö ÒÖ ÒÒÖ ÃÒÓØÒ a ÃÒÖ Ø ÙÒ µ b a ÙÒ a ÐØº (a,b) ¹ ÙÑ ÛÙÖÒ ÚÓÒ ÀÙÐ ØÓÒ ÙÒ ÅÐÓÖÒ ÒÖØº

5 ÐÖ ÞÙÖ ÃÓÒ ØÖÙØÓÒ ÚÓÒ ÒÑ (, ) ¹ ÙÑ µ Ë Ð ÛÖÒ ÚÓÒ ÐÒ Ò ÖØ ÓÖÒØ µ Ð ËÙÐ ÒØÐØÒ ÒÒÖ ÃÒÓØÒ ÑØ m ÃÒÖÒ ÒÙ m ËÐ Ð,,

6 ÄÑÑ º Ò (a,b) ¹ ÙÑ ÑØ n ÐØØÖÒ Ø ÑÒ ØÒ À log b (n) ÙÒ ØÒ À log a (n/) +º Û µ ØÖØ ÑÜÑÐ ÒÞÐ ÚÓÒ ÐØØÖÒ b b b ÐÐ H À h Ø Ó Ø ÑÜº ÒÞÐ Ö ÐØØÖ h = ÒÙ b h = ÒÙ b ÙÒ ÐÐÑÒ b h º ÐÐ n = b i Ø Ó Ø ÑÒÑÐ À ÒÙ i = log b (n)º ÐÐ n (b i,b i+ ] Ó Ø ÑÒÑÐ À i + = log b (n) º

7 ÓÖØ ØÞÙÒ ÚÓÑ Û µ ØÖØ ÑÒÑÐ ÒÞÐ ÚÓÒ ÐØØÖ a a ÐÐ H À h Ø Ó Ø ÑÒÑÐ ÒÞÐ Ö ÐØØÖ À h = ÒÙ À h = ÒÙ a À h = ÒÙ a ÙÒ ÐÐÑÒ a h º ÐÐ ÒÙÒ n = a i Ø Ó Ø ÑÜÑÐ À ÒÙ log a (n/)+ º ÐÐ n (a i, a i+ ] Ó Ø ÑÜÑÐ À ÒÙ i + = log a (n/) +º

8 ËØÞ º ÁÒ ÒÑ (a,b) ¹ ÙÑ ÑØ n ÐØØÖÒ ÙÒ b a c Ö ÃÓÒ ØÒØ c = O() ÒÒÒ ÛÖ ÑØ O(logn) ÎÖÐÒ Ø ØÐÐÒ Ó Ò ËÐ Ð Ñ ÙÑ ºº Ò ÒÑ ÐØØµ ÒØ ÓÖ ÒØº Û µ Ò ÄÑÑ. Ò ÛÖ O(log a (n)) ÒÒÖ ÃÒÓØÒ Ù Ï ÚÓÒ Ö ÏÙÖÞÐ ÞÙ ÒÑ ÐØØº µ Ö Ò ÒÒÖÒ ÃÒÓØÒ ÒØÒ ÛÖ O(log (b)) ÎÖÐ Ú ÒÖÖ ËÙº Ö Ø ÒÞÐ Ö ÇÔÖØÓÒÒ O(log a (n)log (b)) O(log a (n)log (a c )) = O(log a (n)log a (a c )/log a ()) = O(log (n)log a (a c )) = O(log (n)c) = O(log (n))º ÎÖÛÒ Ö Ö Ø ÍÒÐÙÒ b a c ÙÒ Ö ÞÛØ ÙÒ ÖØØ ÐÙÒ ÒÒ Û Ð log b (x) = log a (x)/log a (b)º Ø ÙÖÑ c = O() Øº

9 ÅÓØÚØÓÒ Ö (a,b) ¹ ÙÑ ÓÑÑØ Ù Ñ Ö Ö ØÒÒÒ Ò ÒÒ ØÒÑÒÒ ÒÐÐ Ó ÖÓ ÛÖÒ ÒØ ÓÑÔÐØØ Ñ ÀÙÔØ ÔÖ ÐØÒ ÛÖÒ ÒÒÒº Ð Ó ÔÖØ ÑÒ ØÒ Ò ËÙÒÖ ÔÖ Û ØÔÐØØÒ ÞÛº ÊÁ¹ËÖÚÖÒº ÅÒ Ø ÒÒ ÒÒ ÓÖ ÑÖÖ ÒÒÖ ÃÒÓØÒ ÞÙ ÒÑ ÐÓ ÞÙ ÑÑÒ ÙÒ ÐØ ÑÑÖ ÓÑÔÐØØ Ð Ò Ò ÀÙÔØ ÔÖº

10 ÒÒ Ò (a,b) ¹ ÙÑ ÙÒ Ø ÒÒ ÛÖ ÑØ ÒÖ ÖÓÐÐÓ Ò ËÙ Ò ÐØØº Ë y Ö ÒÞÙÒ ËÐ Ð ÙÒ y y Ö ËÐ Ð Ñ ÐØØº Ð ÞÙÑ ÒÒ ÚÓÒ ÐØØ ÑØ y x z y ÒÒ Ø Ñ ÎØÖÒÓØÒ v ÙÒÒÒ ÐØØ ÞÛ ËÐ Ð x < z ÑØ x < y < z ÙÒ x < y z ÐÐ y ÐÒ Ø ÞÛº ÖØ Ø ÃÒ ÚÓÒ v Ø ÒÒ Ü ØÖÒ x ÞÛº z ÒØ ÛÖÐ Ö ÚÖÛÒ ÚÖØÙÐÐ ËÐ Ð k = ÙÒ k m = µº ÒÒ ÐØ x = k i ÙÒ z = k i+ Ñ ÃÒÓØÒ vº

11 ÐÐ y < y y Ò Ä Ø Ö ÒÒÖÒ ÃÒÓØÒ Ò ÙÒ Ù ÐØØ ÑØ Ë Ð y Òº ÓÐÒ Ð ÚÖÒ ÙÐØ x y z y y ÐÐ y < y y Ò Ä Ø Ö ÒÒÖÒ ÃÒÓØÒ Ò ÙÒ Ù ÐØØ ÑØ ËÐ Ð y Òº Ë Ù ÓÐÒ Ð x y z y y

12 ÓØÙÒ ÒÒÒ ÞÛ ÐÐ ÙØÖØÒº ÐÐ ÀØ Ö ÃÒÓØÒ v ÛØÖÒ b ÃÒÖ Ó ÖØ Ö ÐÓÖØÑÙ º ÐÐ ÒÖÒÐÐ Ø v ÒÙ b+ a ÃÒÖ ÛÒ b a Ò ÎÓÖÙ ºµº ÁÒ Ñ ÐÐ ØÐ v Ò ÞÛ ÃÒÓØÒ ÑØ ÛÐ a ÃÒÖÒ Ùº Ò ÖÐÒÒ ËÐ Ð ÚÓÒ v Ò ÓÖØÖØ Ä Ø ÚÓÑ ÎØÖ ÚÓÒ v Ò ÙÒ ÛÒ ÈÖÓÞÙÖ ÖÙÖ Ú Òµº

13 Ð ÞÙ ÐÐ k a k k b P P k k a b+ k a+ k b b + ÃÒÖ P P a P a+ P b+ a ÃÒÖ b a+ b ÃÒÖ Ø (b+) (a+)+ = b a+ [a,b ] ÛÒ a ÙÒ b a º

14 ÒÒ ÐØ µ ÒØÛÖ ÖØ ÈÖÓÞÙÖ ÚÓÒ Ð Ø µ ÓÖ ÛÖ ÖÖÒ ÏÙÖÞÐº ÁÒ Ñ ÐÐ ØÐÒ ÛÖ ÏÙÖÞÐ Ù ÙÒ Ò ÛÖ ÒÒ ËÐ Ð Ò ÓÒ ÞÙ ÒÖ ÒÙÒ ÏÙÖÞÐº ÁÑ ÐÐ () Ø ÒÙ ÏÙÖÞÐ ÒÙÒ ÞÛ ÃÒÖ Û Ò ÒØÓÒ ÞÙÐ Ø ÙÒ ÐÐ ÐØØÖ ÒÒ ÛØÖ Ù Ñ ÐÒ ÄÚÐº ÑØ Ø ÙÑ Û Òº

15 ÄÑÑ º Ñ ÒÒ Ò ËÐ Ð Ò ÒÒ (a,b) ¹ ÙÑ ÛÖÒ ÑÜÑÐ O(log a (n)) ÃÒÓØÒ Ò ÔÞÖØº ÔÐ º x = Ò,,,,

16 ÔÐ º ÓÖØ ØÞÙÒµ,,, ÖØ Ò ËØÙ Ö ÖØ Ò ËØÙ Ö

17 Ä Ò Ò (a,b) ¹ ÙÑ Æ ÖÓÐÖÖ ËÙ ÒÒ ÛÖ Ò ÐØØ ÑØ Ñ ÞÙÖÒ ËÐ Ðº Ä ÐØØ ÙÒ Ò ÞÙÖÒ ËÐ Ð Ò Ö ÓÖØÖØÒ Ä Ø Ñ ÎØÖÒÓØÒ xº ÀØ x ÒÓ ÑÒ ØÒ a ÃÒÖ Ò ÛÖ ÖØº ÒÖÒÐÐ ØÖØ ÒÒ Û ØÖÒÓØÒ y ÚÓÒ x ÙÒ ÚÖ ÑÐÞ Ò ÃÒÓØÒ ÞÙ ÒÑ ÒÙÒ ÃÒÓØÒº

18 ÔÐ º,, Ä x = y = ÚÖ ÑÐÞ, ÎØÖ(x) ÛÖ Ù ØÛ ÒÖØ

19 Ï Ô ÖØ Ò ÎÖ ÑÐÞÙÒ ÀØ Ö ÒÙ ÃÒÓØÒ Ò Ö ÎÖ ÑÐÞÙÒ b + a ÃÒÖ Ó ÔÐØ Ò ÒÙÒ ÃÒÓØÒ ÛÖ Ò ÞÛ ÃÒÓØÒ ÑØ a ÃÒÖÒ Ùº ÀØ Ö ÚÖ ÑÓÐÞÒ ÃÒÓØÒ ÒÙÖ b ÃÒÖ Ó Ø ÒÞÐ Ö ÃÒÖ ÎØÖ ÚÓÒ x ÙÑ ÙÒÒ ÙÒ ÛÖ ÖÙÒ ÈÖÓÞÙÖ ÖÙÖ Ú Ùº

20 ÐÐ ÛÖ ÙÖ ÊÙÖ ÓÒ ÙÖÙ Ö ÏÙÖÞÐ ÒÓÑÑÒ ØÖØ ÞÛ ÐÐº µ ÏÙÖÞÐ Ø ÒÙÖ Ò ÃÒº Ä ÏÙÖÞÐ ÙÒ Ñ Ò ÃÒ ÞÙÖ ÒÙÒ ÏÙÖÞÐ (a,b) ÙÑ ºº À (a,b) ¹ ÙÑ ÛÖ ÙÑ ÖÙÞÖØµº µ ÏÙÖÞÐ Ø ÑÒ ØÒ ÃÒÖº ÀÖ Ò ÛÖ ÖØº

21 ÔÐ º Ä ÊÙÖ ÚÖ ÙÖÙ ÎÖ ÑÐÞ,,,,, ÎÖ ÑÐÞ ÏÙÖÞÐ ÒÙÖ ÒÓ Ò ÃÒ Ä ÏÙÖÞÐ

22 ÄÑÑ º Ñ Ä Ò Ò ËÐ Ð Ù ÒÑ (a,b) ¹ ÙÑ ÛÖÒ ÑÜÑÐ O(log a (n)) ÃÒÓØÒ Ò ÔÞÖØº ËØÞ º Á Ø b a c Ö ÃÓÒ ØÒØ c = O() ÒÒ Ð Ø Ò ÏÖØÖÙ Ö Ö n ÑØ ÀÐ Ò (a,b) ¹ ÙÑ ÖÐ ÖÒ Ó ÇÔÖØÓÒÒ ÒÒ Ä Ò ÙÒ ËÙÒ Ò Ø O(clog(n)) = O(log(n)) Ù ÖÒ Ð Òº ÑÖÙÒ º Ø ÓÐÒ ÚÓÒ Ä ¹ ÙÒ Ò¹ÇÔÖØÓÒÒ Ò ÒÑ (a,b) ¹ ÙÑ Ó Ö ÇÔÖØÓÒ ÐÓÖØÑ ÚÐ ÒÒÖ ÃÒÓØÒ ÑÓÞÖØ ÛÖÒ Ñ Òº

Ähnliche Dokumente

ÎÓÖÖØÙÒ ÑØÖÐ ĐÙÖ Ò ËØÙÙÑ Ò Ò ĐÖÒ ÅØÑØ ÙÒ ÁÒÓÖÑØ Ò Ö ÍÒÚÖ ØĐØ ÄÔÞ ÀÖÙ Ò ÚÓÑ ËØÙÒÒ Ö ÙÐØĐØ ĐÙÖ ÅØÑØ ÙÒ ÁÒÓÖÑØ ÏÖÙÑ Ò ÌÙØÓÖÙÑ ÅØÑØ ÁÒ ÐÐÒ ÚÓÒ ÙÒ ÖÖ ÙÐØĐØ ÒÓØÒÒ ËØÙÒĐÒÒ Ø ĐØÙÒ ÑØ ÑØÑØ Ò ËÚÖÐØÒ Ð ØÚÖ ØĐÒÐº