(Σy i) 2 ) (Formel 6.1)

Transkript

1 6.1 Der Pearsonsche Maßkorrelationskoeffizient 6 Zur Korrelationsanalyse 47 Im Weiteren gehen wir näher auf den Spezialfall der linearen Korrelation ein, d.h. die durch die Punktwolke nahegelegte Ausgleichskurve soll eine Gerade sein, also eine lineare Funktion (Abb. 6.1). Um bei der Beschreibung der Stärke des Zusammenhangs nicht nur auf graphische Darstellungen angewiesen zu sein, wurde von Bravais und Pearson für lineare Zusammenhänge * der Maßkorrelationskoeffizient r eingeführt. Oft wird r auch Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient genannt; wir ziehen die Bezeichnung Maßkorrelationskoeffizient vor, weil sie daran erinnert, dass r nur für gemessene Werte anwendbar ist, d.h. sowohl X 1 als auch X 2 müssen mindestens intervallskaliert sein. Formel zur Berechnung des Maßkorrelationskoeffizienten r: (xi x)(y i ȳ) r = (xi x) 2 (y i ȳ) 2 = Σx i y i (Σx i) (Σy i ) n ( Σx 2 i (Σx i) 2 ) (Σy 2i n (Σy i) 2 ) (Formel 6.1) n wobei x i der Messwert des Merkmals X 1 am i-ten Individuum, y i der Messwert des Merkmals X 2 am i-ten Individuum, x (bzw. ȳ) das arithmetische Mittel von X 1 (bzw. X 2 ), n die Anzahl aller Wertepaare, i der Laufindex von 1 bis n läuft. Beispiel: Zu den Werten aus Tabelle 5.1 berechnet sich der Korrelationskoeffizient r mit n =33,Σxy = ,Σx = 167.1,Σy =94.7 und Σx 2 = ,Σy 2 = Somit erhalten wir für r mit Formel 6.1: r = =0.70. Bemerkung 1: Wenn keine Missverständnisse entstehen, lassen wir in Zukunft häufig die Indizes weg. So wird aus 33 x iy i dann kurz xy. Man beachte auch i=1 den Unterschied zwischen x 2 und ( x) 2. Bemerkung 2: Um zu betonen, dass bei der Korrelationsanalyse nicht zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen unterschieden wird, haben wir die Merkmale mit X 1 und X 2 bezeichnet, statt mit X und Y. In den Formeln haben wir dann bei Merkmal X 2 die Messwerte mit y i bezeichnet, um eine unübersichtliche Doppelindizierung zu vermeiden. Bei nichtlinearem Kurvenverlauf sagt r möglicherweise nichts über die Stärke des Zusammenhangs aus, vgl. Abb. 6.2 (g).

2 48 Kapitel II: Beschreibende Statistik Abb. 6.2a l. Beispiele für einige Punktwolken mit den dazugehörigen Werten der Korrelationskoeffizienten

3 6 Zur Korrelationsanalyse 49 Bemerkung 3: Man sollte sich die Bedeutung des Index i beim Messwertpaar (x i/y i) genau klar machen: x i und y i sind hier die Werte der Merkmale X 1 und X 2, gemessen am selben Objekt (bzw. Individuum), nämlich am i-ten Objekt. Wie man zeigen kann, nimmt der eben eingeführte Korrelationskoeffizient r immer Werte zwischen 1 und +1 an. Das Vorzeichen von r ergibt sich aus der Steigung der Geraden, anders ausgedrückt: Wenn mit der Zunahme von X 1 auch eine Zunahme von X 2 verbunden ist, so ist r positiv, wenn die Zunahme des einen Merkmals mit der Abnahme des anderen einhergeht, so ist r negativ. Liegen alle Punkte der Punktwolke direkt auf der Geraden (vollkommene Korrelation), so hat r den Betrag 1, d.h. entweder r =+1oderr = 1. Je näher die meisten Punkte bei der Geraden liegen, desto näher liegt der Zahlenwert von r bei +1 oder 1. Am Beispiel einiger Punktwolken und ihren jeweiligen r-werten sei die Bedeutung von r in Bezug auf die Lage der Punkte demonstriert (s. Abb. 6.2). Bemerkung 4: Liegen alle Messwertpunkte exakt auf einer Gerade, so ist r =1, wenn diese Gerade nicht parallel zu einer der Koordinatenachsen verläuft. Verläuft die Gerade parallel zu einer Achse, dann ist der Korrelationskoeffizient nicht definiert. Beachte auch, dass für n = 2 Messwerte die Punkte stets exakt auf einer Geraden liegen, also (falls definiert) r = 1 ist. 6.2 Das Bestimmtheitsmaß Neben dem Korrelationskoeffizienten r gibt es für intervallskalierte Daten eine weitere Maßzahl zur Beschreibung der Stärke des Zusammenhangs, das Bestimmtheitsmaß B. Die genaue Definition von B werden wir erst im Rahmen der Regression (vgl ) formulieren. Beim Bestimmtheitsmaß wird der Grad des Zusammenhangs durch eine positive Zahl ausgedrückt, wobei folgende Fragestellung zugrunde gelegt ist: welcher Anteil der Veränderungen des einen Merkmals kann aus den Veränderungen des anderen Merkmals erklärt werden? Aus der Fragestellung ist schon einsichtig, dass B einen Wert zwischen 0 und 1 bzw. 0% und 100% annehmen muss. Denn im Extremfall liegt kein Zusammenhang vor, d.h. ein Anteil von 0% kann erklärt werden, oder es liegt vollständiger Zusammenhang vor, d.h. ein Anteil von 100% kann erklärt werden. Bei Vorliegen eines linearen Zusammenhangs, den wir hier voraussetzen, berechnet sich das Bestimmtheitsmaß B aus dem Korrelationskoeffizienten r wie folgt: Formel zur Berechnung des Bestimmtheitsmaßes B: ( Σx i y i (Σx ) 2 i) (Σy i ) B = r 2 n = (Σx 2i (Σx i) 2 ) (Σy 2i n (Σy i) 2 ), (Formel 6.2) n

4 50 Kapitel II: Beschreibende Statistik wobei x i der Messwert des Merkmals X 1 am i-ten Individuum, y i der Messwert des Merkmals X 2 am i-ten Individuum, n die Anzahl aller Wertepaare, i der Laufindex von 1 bis n läuft, r der Maßkorrelationskoeffizient ist. Beispiel: Zu Tabelle 5.1 hatten wir den Maßkorrelationskoeffizienten r =0.70 berechnet, für das Bestimmtheitsmaß B = r 2 ergibt sich B =0.49. Die Variation der Länge der untersuchten Samen lässt sich also zu 49% aus der Variation der Breite erklären. Da unsere Merkmale X 1 und X 2 in der Korrelationsanalyse gleichberechtigt sind, gilt auch umgekehrt, dass sich 49% der Variation der Breite aus der Variation der Länge erklärt. 6.3 Zur Interpretation von Korrelationskoeffizient und Bestimmtheitsmaß Die beiden hier eingeführten Maßzahlen r und B für lineare Korrelation sagen nur etwas über den Grad des Zusammenhangs aus, sie sagen nichts über die Ursachen der Korrelation aus. Hat man rechnerisch eine Korrelation nachgewiesen, so können diesem Zusammenhang ganz unterschiedliche kausale Abhängigkeiten zugrunde liegen; wir wollen daher einige der möglichen Korrelationstypen angeben Verschiedene Korrelationstypen Wechselseitige Abhängigkeit Beispiel: Bei einer Pflanze beeinflussen sich die Mengen der Wasseraufnahme und -abgabe wechselseitig. Gemeinsamkeitskorrelation X 1 und X 2 stehen in keiner direkten kausalen Beziehung zueinander, aber über eine dritte Größe Z besteht ein Zusammenhang. Dieser Korrelationstyp wird normalerweise vorliegen, da in vielen Fällen der untersuchte Zusammenhang über dritte, unbekannte Einflussgrößen vermittelt wird. Diese Faktoren gilt es in weiteren Versuchen zu entdecken oder zu analysieren. Mit der Berechnung von partiellen Korrelationskoeffizienten stellt die Statistik ein zusätzliches Hilfsmittel dafür zur Verfügung. Allerdings können auch bei fehlerhafter Versuchsplanung (z.b. ohne Randomisierung bzw. bei Nichteinhaltung des Ceteris-paribus-Prinzips, vgl. 22.2) oder auch beistudien,dieüber längere Zeiträume verlaufen, hohe Korrelationen als (nicht immer) offensichtliche Artefakte auftreten.

5 6 Zur Korrelationsanalyse 51 Beispiel 1: Im Hinblick auf die Charakterisierung äußerer Qualitätskriterien bei Raps wurde das Tausendkorngewicht (TKG) erfasst und dabei der Effekt auf die Hauptinhaltsstoffe Öl und Protein analysiert. Dabei ergab sich eine stark positive Korrelation zwischen X 1 (Ölgehalt) und X 2 (TKG), was damit erklärt wird, dass die jeweiligen Abreifebedingungen Z die Öleinlagerung X 1 und die Samenausbildung X 2 gleichermaßen beeinflussen. Für den Proteingehalt war die positive Korrelation dagegen nur sehr schwach ausgeprägt. Beispiel 2: Sei X 1 die Geburtenrate und X 2 die Zahl vorhandener Storchennester. Ein relativ starker Zusammenhang zwischen X 1 und X 2 ließ sich in der Vergangenheit feststellen, da bei steigender Industrialisierung im Laufe der Zeit Z sowohl die Geburtenrate als auch die Zahl der Storchennester rückläufig waren. Inhomogenitätskorrelation Fehler bei der Stichprobenentnahme können dazu führen, dass verschiedenartiges Material in eine Stichprobe kommt und in der Untersuchung als gleichartig angesehen wird. Es kann dann eintreten, dass die beiden untersuchten Merkmale der inhomogenen Stichprobe hohe Korrelation aufweisen, jedoch die homogenen Bestandteile der Stichprobe unkorreliert sind. Beispiel (nach L. Sachs): Der Hämoglobingehalt des Blutes und die Oberflächengröße der Blutkörperchen zeigen weder bei Neugeborenen noch bei Männern oder Frauen eine Korrelation. Die Werte sind 0.06 bzw. 0.03, bzw Würde man das Material zusammenfassen, so erhielte man für das Gesamtmaterial einen Korrelationskoeffizienten von Graphisch kann man sich diesen Effekt so verdeutlichen: Abb Die drei homogenen Stichproben aus Neugeborenen ( ), Männern ( ) und Frauen ( ) zeigen keine Korrelation. Das inhomogene Gesamtmaterial täuscht eine Ellipse als Punktwolke vor Formale Korrelation Ergänzen sich zwei Bestandteile annähernd zu 100% (z.b. Eiweiß und Fett in einem Nahrungsmittel) oder müssen sie sich definitionsgemäß immer genau zu 100% ergänzen, so besteht eine formale Korrelation zwischen den beiden zusammengehörenden Prozentwerten.

6 52 Kapitel II: Beschreibende Statistik Abb Alle Wertepaare (x/y), die sich annähernd zu 100% ergänzen, liegen in der Nähe der Geraden y = 100 x Wir wollen noch einen weiteren und besonders wichtigen Typ des Zusammenhangs betrachten, der im Mittelpunkt der Regressionsanalyse stehen wird, die einseitige Abhängigkeit: Einseitige Abhängigkeit (funktionaler Zusammenhang) Hier ist das eine Merkmal Y in seiner Ausprägung vom anderen Merkmal X abhängig, während X von Y unbeeinflusst ist. Es liegt also ein unabhängiges und ein abhängiges Merkmal vor. In Schaubildern trägt man das unabhängige Merkmal auf der Abszisse (X -Achse) und das abhängige Merkmal auf der Ordinate (Y -Achse) ab. Beispiel: Der Ertrag steht in einseitiger Abhängigkeit zur Düngung. Die Düngermenge ist die unabhängige Variable und der Ertrag ist die abhängige Variable. Welcher der angegebenen kausalen Zusammenhänge im konkreten Fall vorliegt, muss vom Fachwissenschaftler beurteilt werden. Hat die statistische Auswertung einen hohen Wert für r oder B geliefert, so hat der Forscher kritisch zu fragen, ob und welche Kausal-Zusammenhänge sich dahinter verbergen. Oft kann auch er diese Frage nicht klären. Liegt über den Korrelationstyp eine bestimmte Annahme vor, so kann in einigen Fällen die Statistik bei der Prüfung dieser Vermutung weiterhelfen Aussagekraft der Größe von r und B Bei der Interpretation von r und B spielt neben dem Korrelationstyp auch die Frage eine Rolle, was die Größe der Zahlenwerte von r und B aussagt: Weiter oben wurde ausgeführt, dass die Größevon r ein Maß für die Stärke des Zusammenhangs zweier Merkmale sei. Es wäre falsch, daraus eine starre, allgemeingültige Regel ableiten zu wollen, wonach etwa r = 0.5 als schwach positiver und r = 0.9 als stark positiver Zusammenhang einzustufen wäre.

7 6 Zur Korrelationsanalyse 53 Vielmehr hängt die Größe von r bzw. B oft von weiteren unbekannten oder unberücksichtigten Einflüssen ab, die von Problem zu Problem verschieden sind. Häufig bestehen Zusammenhänge zwischen mehr als zwei Merkmalen, der Korrelationskoeffizient r gibt aber nur Auskunft über die Stärke des Zusammenhangs von zwei Merkmalen. In einem solchen Fall wird r nur richtig geschätzt, falls es gelingt, die anderen Einflussfaktoren im Versuch annähernd konstant zu halten, und nur die zwei gemessenen Merkmale zu variieren. Beispiel: Untersucht man den Zusammenhang zwischen Mathematik-Note und Zahlengedächtnis bei Schulkindern, ohne den Faktor Müdigkeit zu berücksichtigen, so wird r wesentlich kleiner ausfallen, als bei einem Versuch, der diesen Einflussfaktor berücksichtigt, indem darauf geachtet wird, dass alle untersuchten Kinder etwa gleich frisch sind. Da man bei komplexen Fragestellungen gar nicht alle beteiligten Faktoren erfassen kann, wird häufig vorgeschlagen, zur Beurteilung der Größe eines Koeffizienten diesen mit der durchschnittlichen Höhe entsprechender Werte aus anderen Untersuchungen desselben Problems zu vergleichen. Beispiel: Würde eine Untersuchung des Zusammenhangs zwischen den pädagogischen Fähigkeiten eines Lehrers und den Leistungen seiner Schüler ein Bestimmtheitsmaß B =0.60 ergeben, so wäre das überraschend hoch. 60% der Leistungen der Schüler wären durch die Fähigkeiten des Lehrers zu erklären. Ein Zusammenhang von B = 0.60 zwischen den Noten in einer Mathematik- und in einer Statistik-Klausur würde dagegen eher als niedrig empfunden. Bemerkung: Wie das Beispiel zeigt, ist zur Beschreibung der Stärke des Zusammenhangs das Bestimmtheitsmaß dem Korrelationskoeffizienten vorzuziehen, weil es als Prozentangabe anschaulicher interpretiert werden kann. Einem B = 0.60 entspricht ein r = Oft wird r = 0.77 dann fälschlich als Prozentangabe interpretiert. Abschließend sei darauf hingewiesen, dass oft die graphische Darstellung schon eine große Hilfe für die Beurteilung eines Zusammenhangs ist; daher sollte immer zunächst ein Schaubild angefertigt werden, bevormansichder Interpretation von r und B zuwendet. Man kann damit viele Gefahren der Missdeutung vermeiden. 6.4 Der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient Bisher hatten wir ausschließlich bivariable Verteilungen betrachtet, bei denen die Merkmale X 1 und X 2 jeweils mindestens intervallskaliert waren. Zudem hatten wir uns auf die Beschreibung von annähernd linearem Zusammenhang zwischen X 1 und X 2 beschränkt. Beide Einschränkungen lassen sich lockern, wenn wir mit dem Rangkorrelationskoeffizienten von Spearman arbeiten.

8