Institut für Soziologie Benjamin Gedon. Methoden 2. Regressionsanalyse IV: Transformation und Interaktion

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1 Institut für Soziologie Methoden 2 Regressionsanalyse IV: Transformation und Interaktion

2 Inhalt 1. Zusammenfassung letzte Sitzung 2. Weitere Annahmen und Diagnostik 3. Transformationen zur besseren Interpretierbarkeit 4. Nichtlineare Zusammenhänge zwischen Variablen 5. Mittelwertzentrierung von Variablen 6. Logarithmierte abhängige Variablen 7. Interaktionseffekte Metrisch + metrisch Dummy + metrisch Dummy + Dummy 8. Übungsaufgabe # 2

3 Zusammenfassung letzte Sitzung Regressionsanalyse beruht auf verschiedenen Annahmen Sind Annahmen verletzt, sind bestimmte Eigenschaften der Schätzer nicht mehr gegeben oder Signifikanztests sind nicht mehr gültig Für einige der Annahmen existieren Verfahren, um Verletzungen zu diagnostizieren # 3

4 Zusammenfassung letzte Sitzung Annahmen bzw. Probleme, die behandelt wurden: Ausreißer Multikollinearität Heteroskedastizität Autokorrelation Nicht-Normalverteilung der Fehler Das Modell ist korrekt spezifiziert, beispielsweise müssen also die relevanten Regressoren identifiziert worden sein Regressor (x) und Fehler sind unkorreliert, d.h. cov(u i,x i ) = 0 für alle i # 4

5 Weitere Annahmen Linearität: Stärke des Effekts von X auf Y unabhängig vom Wert von X Additivität: Effekt einer Variable X 1 auf eine Variable Y ist unabhängig vom Effekt weiterer Variablen # 5

6 Transformationen von Variablen Transformationen zur besseren Lesbarkeit oder Interpretierbarkeit der Ergebnisse Modellierung der funktionalen Form des Zusammenhangs einer unabhängigen Variable (Beseitigung von Autokorrelation und Nicht-Linearität) Logarithmieren der abhängigen Variable (Beseitigung von Heteroskedastizität und Nicht-normalverteilten Fehlern) # 6

7 Transformationen von Variablen Transformationen zur besseren Lesbarkeit oder Interpretierbarkeit der Ergebnisse Bsp: Pro-Kopf-Einkommen in 100 Euro compute eink_kopf100=eink_kopf/100. Konstante Index ungesunde Ernährung Frau Psychische Gesundheit: Nicht standardisierte Koeffizienten Standardisierte Koeffizienten Nicht standardisierte Koeffizienten B Standardfehler Beta Sig. B Standardfehler 25,551 1,797 0,000 25,551 1,797 0,503 0,264 0,075 0,057 0,503 0,264-0,617 0,454-0,052 0,175-0,617 0,454 Mittelmäßig -1,676 0,788-0,138 0,034-1,676 0,788 Gut/Sehr gut -2,484 0,764-0,213 0,001-2,484 0,764 Pro-Kopf-Einkommen in 100-0,093 0,033-0,103 0,006-0,001 0, bis 4mal pro -1,022 0,533-0,079 0,056-1,022 0,533 Monat Sport: mehrmals pro -2,289 0,510-0,189 0,000-2,289 0,510 Woche Alter 0,088 0,019 0,184 0,000 0,088 0,019 r 2 =0,112 adj. r 2 =0,101 n=693 AV: BMI Referenzkategorie: (sehr) schlechte psychische Gesundheit, 1-mal pro Monat oder seltener Sport # 7

8 Diagnostik Nicht-Linearität Bedeutung der Annahmeverletzung: Beziehung zwischen UV und AV hat eine andere funktionale Form als die angenommene Linearität Folgen der Annahmeverletzung: Schätzer sind verzerrt Fehler haben keinen bedingten Erwartungswert von Null Möglichkeit der Diagnose: Bei Einfachregression: Streudiagramm zwischen abhängiger und unabhängiger Variable Multiple Regression: Partielle Residuen-Plots. Bei ihnen wird zu den Residuen û i jeweils ˆ j X ji hinzuaddiert und das Ergebnis dann in einem Diagramm mit der unabhängigen Variable X j dargestellt. Eine Verbindung der wesentlichen Punkte gibt Auskunft über die Art der Beziehung. # 8

9 Diagnostik Nicht-Linearität Beispiel: Diagnose von Nicht-Linearität in den Parametern bei Einfachregression Y = β 0 + β 1 X 1 Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 (X 1 ) 2 # 9

10 Diagnostik Nicht-Linearität Beispiel: Diagnose von Nicht-Linearität in den Parametern bei multipler Regression compute cpr= *alter+res_1. graph scatter alter with cpr. Ein solches Diagramm erstellt man für jede unabhängige Variable. Hier ist Linearitätsannahme nicht uneingeschränkt plausibel Sinnvoll ist die Prüfung, ob die Berücksichtigung eines quadrierten Terms die Modellgüte verbessert Abhilfe: Transformationen oder Erweiterungen des Regressionsmodells # 10

11 Nichtlineare Modellierung Modellierung der funktionalen Form des Zusammenhangs einer unabhängigen Variable Quadrieren unabhängiger Variablen: Durch das Einbeziehen einer Variable und ihres Quadrats können u-förmige und umgekehrt u- förmige Zusammenhänge modelliert werden y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 1 2 β 2 < 0 β 2 > 0 umgekehrt u-förmiger Zusammenhang u-förmiger Zusammenhang # 11

12 Nichtlineare Modellierung Beispiel: quadriertes Alter Compute alter_quad=alter*alter. Regression /stat coeff CI anova R tol /des mean /dep BMI /method= enter index_ernae frau v14_rec1 v14_rec2 eink_kopf100 v18_rec1 v18_rec2 alter alter_quad /save resid. Der Alterseffekt ist umgekehrt u-förmig Effekte anderer Variablen werden nicht wesentlich beeinflusst Modellgüte steigt B Standardfehler Beta Sig. 18,623 2,680 0,000 0,441 0,263 0,066 0,094-0,566 0,451-0,048 0,210 Mittelmäßig -1,780 0,782-0,146 0,023 Gut/Sehr gut -2,487 0,757-0,213 0,001 Konstante Index ungesunde Ernährung Frau Psychische Gesundheit: Pro-Kopf-Einkommen in 100-0,095 0,033-0,106 0,004 Sport: 2- bis 4mal pro Monat -1,020 0,529-0,079 0,054 mehrmals pro Woche -2,347 0,506-0,194 0,000 Alter 0,445 0,105 0,934 0,000 Alter quadriert -0,004 0,001-0,761 0,001 r 2 =0,127 adj. r 2 =0,115 n=693 AV: BMI Referenzkategorie: (sehr) schlechte psychische Gesundheit, 1-mal pro Monat oder seltener Sport # 12

13 Nichtlineare Modellierung Beispiel: quadriertes Alter Jetzt sind die Effekte eindeutig linear # 13

14 Nichtlineare Modellierung Durch die Aufnahme von linearem und quadriertem Alter haben wir uns ein Problem eingehandelt: Kollinearität B VIF Konstante Index ungesunde Ernährung 18,623 0,441 1,194 Frau -0,566 1,137 Psychische Mittelmäßig -1,780 3,234 Gesundheit: Gut/Sehr gut -2,487 3,292 Pro-Kopf-Einkommen in 100-0,095 1,067 Sport: 2- bis 4mal pro Monat -1,020 1,298 mehrmals pro Woche -2,347 1,367 Alter 0,445 37,823 Alter quadriert -,004 37,764 Ist die Konstante sinnvoll zu interpretieren? Durch Zentrieren lassen sich diese Probleme umgehen 14

15 Mittelwertzentrierung von Variablen Durch zentrieren um den Mittelwert (= Subtrahieren des Mittelwerts von den ursprünglichen Werten) erhalten die Beobachtungen den Wert Null, welche am Mittelwert der Variablen liegen Dadurch: Einfache Interpretation der Konstante als erwarteter Wert der AV, wenn UV am Mittelwert liegen Auch wichtig bei Interaktionseffekten # 15

16 Mittelwertzentrierung von Variablen Beispiel: Zentrieren der (quasi-)metrischen Variablen in der Regression Mittelwerte werden von SPSS bei der Regression über die Option /des mean ausgegeben compute alter_z=alter compute eink_kopf100_z=eink_kopf compute index_ernae_z=index_ernae compute alter_z_quad=alter_z*alter_z # 16

17 Mittelwertzentrierung von Variablen Modell mit zentrierten metrischen Variablen Modell ohne zentrierte Variablen B Sig. VIF B Sig. VIF Konstante 30,716 0,000 Konstante 18,623 0,000 Index ungesunde Ernährung zentriert 0,441 0,094 1,194 Index ungesunde Ernährung 0,441 0,094 1,194 Frau -0,566 0,210 1,137 Frau -0,566 0,210 1,137 Psychische Mittelmäßig -1,780 0,023 3,234 Psychische Mittelmäßig -1,780 0,023 3,234 Gesundheit: Gut/Sehr gut -2,487 0,001 3,292 Gesundheit: Gut/Sehr gut -2,487 0,001 3,292 Pro-Kopf-Einkommen in 100 zentriert -0,095 0,004 1,067 Pro-Kopf-Einkommen in 100-0,095 0,004 1,067 Sport: 2- bis 4mal pro 2- bis 4mal pro Monat -1,020 0,054 1,298-1,020 0,054 1,298 Monat Sport: mehrmals pro mehrmals pro Woche -2,347 0,000 1,367-2,347 0,000 1,367 Woche Alter zentriert 0,114 0,000 1,394 Alter 0,445 0,000 37,823 zentriertes Alter quadriert -,004,001 1,214 Alter quadriert -,004,001 37,764 Wie ist die Konstante jetzt zu interpretieren? Die Modellannahmen bzgl. Multikollinearität sind im Modell mit zentrierten Variablen erfüllt. # 17

18 Logarithmieren der abhängigen Variable Logarithmieren der abhängigen Variable: Durch das Logarithmieren der abhängigen Variable kann ein exponentieller Einfluss der unabhängigen Variablen modelliert werden ln y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 y = e β 0+β 1 x 1 +β 2 x 2 Außerdem führt das Logarithmieren oftmals zu einem Modell, in dem die Annahmen der Regression besser erfüllt werden ( e 1) 100% Interpretation: Wenn x j um eine Einheit steigt, steigt y um (Hinweis: falls β < ca. 0,1, kann β*100% näherungsweise direkt als Prozenteffekt interpretiert werden, weil dann gilt e 1 # 18

19 Logarithmieren der abhängigen Variable Beispiel: logarithmiertes Einkommen als abhängige Variable compute ln_eink=ln(eink_kopf). graph hist eink_kopf. graph hist ln_eink. # 19

20 Logarithmieren der abhängigen Variable Beispiel: logarithmiertes Einkommen als abhängige Variable regression /statistics coeff CI(95) anova R / des mean /dependent ln_eink /method=enter alter alter_quad v58 /save resid pred. *Test auf Normalverteilte Fehler. NPAR TESTS /K-S(NORMAL)=RES_3. frequencies RES_3 /for=notable/his=normal. NPAR TESTS /K-S(NORMAL)=RES_4. frequencies RES_4 /for=notable/his=normal. # 20

21 Logarithmieren der abhängigen Variable Beispiel: logarithmiertes Einkommen als abhängige Variable Vergleich Residualverteilungen Vorher Nachher # 21

22 Logarithmieren der abhängigen Variable Beispiel: logarithmiertes Einkommen als abhängige Variable Interpretation Alter hat einen umgekehrt u- förmigen Einfluss auf das (logarithmierte) Einkommen Haushaltsgröße: Je mehr Personen im Haushalt wohnen, desto geringer ist das Pro-Kopf-Einkommen e β 1 100% = e 0, % =-16,31 In um eine Person größeren Haushalten, ist das Pro-Kopf- Einkommen um 16,3% niedriger Hier bietet sich eine grafische Darstellung an B Beta Sig. Konstante 6,185,000 Alter,048,978,000 Alter quadriert -0,000 -,828,000 Personen im HH -,178 -,406,000 r 2 =0,196 adj. r 2 =0,193 n=693 AV: Logarithmiertes Pro-Kopf-Einkommen # 22

23 Logarithmiertes Pro-Kopf-Einkommen Logarithmieren der abhängigen Variable Beispiel: logarithmiertes Einkommen als abhängige Variable Grafische Darstellung vorhergesagter Werte *** Hilfsvariablen bilden. if v58=1 alter_1=alter. if v58=2 alter_2=alter. if v58=3 alter_3=alter. if v58=4 alter_4=alter. if v58=5 alter_5=alter. * Grafik. GRAPH /SCATTERPLOT(OVERLAY) =alter_1 alter_2 alter_3 alter_4 alter_5 WITH PRE_1 PRE_1 PRE_1 PRE_1 PRE_1 (PAIR) /MISSING=VARIABLE. Alter # 23

24 Pro-Kopf-Einkommen Logarithmieren der abhängigen Variable Beispiel: logarithmiertes Einkommen als abhängige Variable Grafische Darstellung vorhergesagter Werte *** vorhergesagte Werte delogarithmieren. compute pre_ek=exp(pre_1). graph scatter pre_ek with pre_1. * Grafik. GRAPH /SCATTERPLOT(OVERLAY) =alter_1 alter_2 alter_3 alter_4 alter_5 WITH PRE_ek PRE_ek PRE_ek PRE_ek PRE_ek (PAIR) /MISSING=VARIABLE. Alter # 24

25 Logarithmiertes Pro-Kopf-Einkommen Pro-Kopf-Einkommen Logarithmieren der abhängigen Variable Beispiel: logarithmiertes Einkommen als abhängige Variable Grafische Darstellung vorhergesagter Werte Alter Alter # 25

26 Interaktionseffekte Interaktionseffekt: Effekt einer Variablen hängt ab vom Niveau einer anderen Variablen y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 1 X 2 + β 3 X 2 Möglich sind: Interaktionseffekte zwischen metrischen Variablen Interaktionseffekte zwischen einer Dummy-Variable und einer metrischen Variable Interaktionseffekte zwischen Dummy Variablen # 26

27 Interaktionseffekte: metrisch + metrisch Beispiel: Alter und Haushaltsgröße H1: Je größer das Alter, desto größer ist das Pro-Kopf-Einkommen. Einkommen = b0 + b1*alter H2: Je größer der Haushalt, desto geringer ist das Pro-Kopf- Einkommen. Einkommen = b0 + b1*alter + b2*haushaltsgröße Interaktionshypothese: Je größer der Haushalt, desto niedriger ist der Effekt des Alters auf das Pro-Kopf-Einkommen. Einkommen = b0 + b1*alter + b2*haushaltsgröße + b3*haushaltsgröße*alter # 27

28 Interaktionseffekte: metrisch + metrisch Berechnung Interaktionseffekt: compute alter_pers=alter*v58. var lab alter_pers 'Alter * Haushaltsgröße'. Berechung Regression: regression /statistics coeff CI(95) anova R / des mean /dependent Eink_kopf /method=enter alter alter_pers v58.. # 28

29 Interaktionseffekte: metrisch + metrisch Nicht standardisierte Koeffizienten Standardisierte Koeffizienten Konfidenzintervall für B (95,0%) B Standardfehler Beta t Sig. Untergrenze Obergrenze Konstante 1216, ,422 6,894 0, , ,576 alter 8,479 4,043 0,160 2,097 0,036 0,542 16,417 Alter * Haushaltsgröße -0,634 1,520-0,060-0,417 0,677-3,619 2,351 Personen im HH -152,261 63,773-0,319-2,388 0, ,464-27,058 r 2 =0,167 adj. r 2 =0,164 n=723 AV: Haushaltseinkommen pro Kopf Kein signifikanter Interaktionseffekt Dennoch zur Veranschaulichung: Was sagen uns die Koeffizienten? # 29

30 Interaktionseffekte: metrisch + metrisch Interaktionseffekt Einkommen = ,48*Alter 0,634*Alter*Haushaltsgröße - 152,3*Haushaltsgröße Haupteffekte Altershaupteffekt gilt für Personen mit Haushaltsgröße = 0 Einkommen = ,48*Alter 0,634*Alter*(0*Haushaltsgröße) - 152,3*(0*Haushaltsgröße) Haushaltsgrößenhaupteffekt gilt für Personen mit Alter = 0 Einkommen = ,48*(0*Alter) 0,634*(0*Alter)*Haushaltsgröße - 152,3*Haushaltsgröße # 30

31 Interaktionseffekte: metrisch + metrisch Deshalb: Durchführen der Regression mit zentrierten Variablen compute hhgr_z=v58-3. compute alter_z_hhgr_z=alter_z*hhgr_z. regression /statistics coeff CI(95) anova R / des mean /dependent Eink_kopf /method=enter alter_z alter_z_hhgr_z v58. Nicht standardisierte Koeffizienten Standardisierte Koeffizienten Konfidenzintervall für B (95,0%) B Standardfehler Beta t Sig. Untergrenze Obergrenze Konstante 1562,358 51,493 30,341 0, , ,453 Alter zentriert 6,576 2,044 0,124 3,218 0,001 2,564 10,589 Alter zentriert x Haushaltsgröße -0,634 1,520-0,016-0,417 0,677-3,619 2,351 um 3 zentriert Personen im HH -178,157 16,378-0,373-10,878 0, , ,003 r 2 =0,167 adj. r 2 =0,164 n=723 AV: Haushaltseinkommen pro Kopf Was sagen uns die Koeffizienten jetzt? # 31

32 Interaktionseffekte: metrisch + metrisch Interaktionseffekt Einkommen = ,58*Alter 0,634*Alter*Haushaltsgröße - 178,2*Haushaltsgröße Haupteffekte Altershaupteffekt gilt für Haushaltsgröße = 3 Einkommen = ,58*Alter 0,634*Alter*(0*Haushaltsgröße) - 178,2*(0*Haushaltsgröße) Haushaltsgrößenhaupteffekt gilt für durchschnittliches Alter Einkommen = ,58*(0*Alter) 0,634*(0*Alter)*Haushaltsgröße - 178,2*Haushaltsgröße # 32

33 Interaktionseffekte: metrisch + metrisch temp. select if v58<7. GGRAPH /GRAPHDATASET NAME="graphdataset" VARIABLES=alter PRE_3 v58 MISSING=LISTWISE REPORTMISSING=NO /GRAPHSPEC SOURCE=INLINE. BEGIN GPL SOURCE: s=usersource(id("graphdataset")) DATA: alter=col(source(s), name("alter")) DATA: PRE_3=col(source(s), name("pre_3")) DATA: v58=col(source(s), name("v58"), unit.category()) GUIDE: axis(dim(1), label("alter")) GUIDE: axis(dim(2), label("vorhergesagtes Einkommen pro Kopf")) GUIDE: legend(aesthetic(aesthetic.color.exterior), label("")) ELEMENT: point(position(alter*pre_3), color.exterior(v58)) END GPL. Haushaltsgröße # 33

34 Interaktionseffekte: metrisch + metrisch Generell: Haben Haupt- und Interaktionseffekt das gleiche Vorzeichen: Verstärkung des Effekts der einen Variable bei Zunahme der anderen Variable unterschiedliche Vorzeichen: Abschwächung des Effekts der einen Variable bei Zunahme der anderen Variable # 34

35 Interaktionseffekte: metrisch + Dummy Beispiel: Alter und Bildung H1: Je höher das Alter, desto größer das Pro-Kopf-Einkommen. Einkommen = b0 + b1alter H2: Personen mit Abitur haben höheres Pro-Kopf-Einkommen. Einkommen = b0 + b1alter + b2*abitur Interaktionshypothese: Je höher das Alter, desto größer ist der Abitureffekt. Einkommen = b0 + b1alter + b2*abitur + b3*alter*abitur # 35

36 Interaktionseffekte: metrisch + Dummy Berechnung Interaktionseffekt: Recode v65 (2 3 4=0) (5 6=1) into abi. compute alter_z_abi=alter_z*abi. var lab alter_z_abi 'Alter zentriert*abitur'. Berechung Regression: regression /statistics coeff CI(95) anova R / des mean /dependent Eink_kopf /method=enter alter_z abi alter_z_abi. Nicht standardisierte Koeffizienten Standardisierte Koeffizienten T Sig. 95,0% Konfidenzintervalle für B B Standardfehler Beta Untergrenze Obergrenze Konstante 893,131 35,102 25,444, , ,046 Alter zentriert 8,685 2,825,163 3,075,002 3,139 14,231 abi 315,047 47,440,243 6,641, , ,186 Alter 6,552 3,902,088 1,679,094-1,108 14,212 zentriert*abitur r 2 =0,092 adj. r 2 =0,088 n=715 AV: Haushaltseinkommen pro Kopf # 36

37 Interaktionseffekte: metrisch + Dummy Für Abiturienten gilt: Einkommen = ,69*Alter + 315*1 + 6,55*Alter*1 = ,69*Alter ,55*Alter = ,24*Alter Für Nicht-Abiturienten gilt: Einkommen = ,69*Alter + 315*0 + 6,55*Alter*0 Bei mittlerem Alter (40,8) gilt: = ,69*Alter Einkommen = ,69* *Abitur + 6,55*0*Abitur = *Abitur # 37

38 Interaktionseffekte: metrisch + Dummy GGRAPH /GRAPHDATASET NAME="graphdataset" VARIABLES=alter PRE_4 abi MISSING=LISTWISE REPORTMISSING=NO /GRAPHSPEC SOURCE=INLINE. BEGIN GPL SOURCE: s=usersource(id("graphdataset")) DATA: alter=col(source(s), name("alter")) DATA: PRE_4=col(source(s), name("pre_4")) DATA: abi=col(source(s), name("abi"), unit.category()) GUIDE: axis(dim(1), label("alter")) GUIDE: axis(dim(2), label("vorhergesagtes Einkommen pro Kopf")) GUIDE: legend(aesthetic(aesthetic.color.exterior), label("")) ELEMENT: point(position(alter*pre_4), color.exterior(abi)) END GPL. # 38

39 Interaktionseffekte: Dummy + Dummy Beispiel: Kinder und Geschlecht H1: Kinder im Haushalt führen zu geringerem Einkommen Einkommen= b0 + b1*kinder H2: Männer haben höheres Einkommen als Frauen Einkommen= b0 + b1*kinder + b2*mann Interaktionshypothese: Bei Männern hat die Existenz von Kindern im Haushalt einen positiven, bei Frauen einen negativen Effekt auf das Einkommen Einkommen= b0 + b1*kinder + b2*mann + b3*kinder*mann # 39

40 Interaktionseffekte: Dummy + Dummy Berechnung Interaktionseffekt: recode v35 (1=0) (2=1) into kinder. compute frau_kind=frau*kinder. Berechung Regression: regression /statistics coeff CI(95) anova R / des mean /dependent Eink_kopf /method=enter frau kinder frau_kind. Nicht standardisierte Koeffizienten Standardisierte Koeffizienten 95,0% Konfidenzintervalle für B B Standardfehler Beta T Sig. Untergrenze Obergrenze Konstante 1361,986 47,488 28,681, , ,216 Frau -211,458 61,306 -,161-3,449, ,818-91,098 Kinder im Hauhalt -513,935 72,371 -,395-7,101, , ,852 Frau*Kinder im HH 175,977 93,206,120 1,888,059-7, ,966 r 2 =0,114 adj. r 2 =0,110 n=724 AV: Haushaltseinkommen pro Kopf # 40

41 Interaktionseffekte: Dummy + Dummy Einkommen = *Kinder + 211*Frau + 176*Kinder*Frau Haupteffekte Einkommen = *Kinder - 211*(0) + 176*Kinder*(0) Kinder im Haushalt senken bei Männern das Einkommen um 514 Euro. Einkommen = *(0) - 211*Frau + 176*(0)*Frau Frauen ohne Kinder haben ein um 211 Euro niedrigeres Einkommen als Männer ohne Kinder. Interaktionseffekt Einkommen = *Kinder - 211*Frau + 176*Kinder*Frau Frauen mit Kindern haben ein um = Euro niedrigeres Einkommen als Männer ohne Kinder. Kinder im Haushalt senken bei Frauen das Einkommen um = Euro. # 41

42 Zusammenfassung wichtiger Aspekte Transformation von Variablen dienen unter Umständen der: Untersuchung nicht-linearer Zusammenhänge Erleichterung der Interpretierbarkeit der Ergebnisse Beseitigung von Annahmeverletzungen Nicht-lineare Zusammenhänge können durch Variablentransformationen (Polynome: Quadrieren, Logarithmieren etc.) modelliert werden. Mögliche Interaktionen können im Modell zum Testen von Hypothesen und zur Beseitigung von Annahmeverletzungen berücksichtigt werden. Grundsätzlich ist zu überlegen, ob das Zentrieren der Variablen sinnvoll ist. # 42

43 Übungsaufgabe Greifen Sie erneut auf das Modell zur Erklärung der Wohnsituation zurück. Berücksichtigen Sie als zusätzliche unabhängige Variablen die Anzahl der Kinder (v35_1), einen Dummy ob man mit einem Partner zusammenlebt (v57) und das Alter. Nehmen Sie die Bildung aber nicht in das Modell auf. 1. Zentrieren Sie die metrischen Variablen um den Mittelwert. 2. Ist es sinnvoll, das Alter auch als quadrierte Variable aufzunehmen? Prüfen Sie die Form des Zusammenhangs! 3. Prüfen Sie folgende Hypothese: Das Einkommen hat bei Personen die mit einem Partner zusammenleben einen stärkeren Effekt als bei Personen bei denen dies nicht der Fall ist. # 43