Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik HS2009 1

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1 Wahrscheilichkeitsrechug ud Statistik HS009 Stefa Heule Cotributors: Severi Heiiger, Adrea Helfestei, Pascal Spörri 30. Jauar 00 Licece: Creative Commos Attributio-Share Alike 3.0 Uported (

2 Ihaltsverzeichis I Wahrscheilichkeitstheorie Grudlage. Axiome vo Kolmogorow Grudbegriffe Diskrete Zuvallsvariable. Kezahle Diskrete uiforme Verteilug (Laplace-Modell) Beroulli-Verteilug Biomial-Verteilug Poisso-Verteilug Geometrische Verteilug Uabhägigkeit vo Ereigisse Stetige Zuvallsvariable 3 3. Kezahle Stetige uiforme Verteilug U(a, b) Expoetialverteilug Exp(λ) Normalverteilug N (µ, σ ) Poissoprozess Simulatio vo Zufallsvariable Uabhägigkeit vo Zufallsvariable Mehrere Zufallsvariable 5 4. Die iid Aahme Fuktioe vo Zufallsvariable Das Gesetz der grosse Zahle (GGZ) Der zetrale Grezwertsatz Chebyshev Ugleichug Gemeisame ud bedigte Wahrscheilichkeite 6 5. Bedigte Wahrscheilichkeit Gemeisame ud bedigte diskrete Verteiluge Gemeisame ud bedigte stetige Verteiluge Kovariaz ud Korrelatio Zweidimesioale Normalverteilug II Statistik 9 6 Deskriptive Statistik 9 6. Kezahle Graphische Darstellug Statistischer Test 0 7. Allgemeies Vorgehe Vertrauesitervall z-test t-test Puktschätzuge 9. Biomial- ud Poissoverteilug Normalverteilug Allgemeie Methode Vergleich zweier Stichprobe 3 0. Gepaarte Vergleiche Ugepaarte Vergleiche - Zwei Stichprobe-Tests

3 III Appedix 5 A Tabelle ud Tafel 5 A. Itegral- ud Differetialrechug A. Verschiedees A.3 Regel für Itegrale

4 Teil I Wahrscheilichkeitstheorie Grudlage. Axiome vo Kolmogorow. P (A) 0: Wahrscheilichkeite sid stets icht-egativ.. P (Ω) = : Das sichere Ereigis Ω hat Wahrscheilichkeit. 3. P (A B) = P (A) + P (B) für alle sich gegeseitig ausschliessede Ereigisse A ud B (d.h. A B = )... Implikatioe aus de Axiome vo Kolmogorow. P ( ) = 0. P (A c ) = P (A) 3. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 4. P ( i= A i) = i= P (A i) falls A i A j = i, j. Grudbegriffe Zufallsvariable X : X : Ω R mit Ereigisraum Ω Verteilugsfuktio vo X : F X : R [0, ], t F X (t) := P (X t) = P ({ω Ω X(ω) t}) Diskrete Zuvallsvariable Diskrete Zufallsvariable: Wertebereich W(X) ist abzählbar Gewichtsfuktio: p X (x k ) := P [X = x k ] = P [{ω Ω X(ω) = x k }] für k =,,... Verteilugsfuktio (Treppefuktio): F X (t) = P [X t] = p X (x k ) k mit x k t. Kezahle Erwartugswert: µ = E(X) = x i P (X = x i ) = x i p(x i ) E(g(X)) = x i W(X) x i W(X) E(aX + b) = a E(X) + b g(x i ) P (X = x i ) x i W(X) Variaz: Var(X) = (x i µ) P (X = x i ) x i W(X) Var(X) = E((X µ) ) = E(X ) E(X) Var(aX + b) = a Var(X) Stadardabweichug: σ = Var(X) σ ax+b = a σ X

5 . Diskrete uiforme Verteilug (Laplace-Modell) gleich wahrscheiliche Ereigisse, wie z.b. Wurf eier Zahl auf eiem Würfel. Wahrscheilichkeitsfuktio Kumulative Fuktio { für a x b 0 sost x a+ für a x b Parameter a, b Z, = b a + Support x {a, a +,..., b, b} Erwartugswert Variaz a+b a+b Media Modus jeder Wert i {a, a +,..., b, b}.3 Beroulli-Verteilug Ei eizeles Ereigis tritt ei, oder icht, mit fester Wahrscheilichkeit p. { p für x = 0 Erwartugswert p Wahrscheilichkeitsfuktio p für x = Variaz p ( p) Kumulative Fuktio p für 0 x < Parameter p [0, ] Support x {0, }.4 Biomial-Verteilug Media N/A Modus 0 (p 0.5), (p 0.5) Azahl Erfolge bei uabhägige Experimete mit zwei Ausgäge ud festem Erfolgsparameter p. ( ) Wahrscheilichkeitsfuktio p x ( p) x Erwartugswert p x Variaz p( p) x ( ) Kumulative Fuktio p i ( p) i Media p i Modus ( + )p oder ( + )p.5 Poisso-Verteilug i=0 Parameter N 0, p [0, ] Support x {0,..., } Verteilugsmodell für (diskrete) Zähldate (icht ach obe beschräkt). Damit köe zum Beispiel die Azahl der Ausfälle eier Kompoete i eiem Iterval t modelliert werde. Wahrscheilichkeitsfuktio e λ λx x! x Kumulative Fuktio e λ λ i i! i=0 Parameter λ [0, ) Erwartugswert Variaz λ λ Media λ λ Modus λ oder λ we λ Z Support x N 0.5. Poissoapproximatio eier Biomialverteilug Sei X Poisso(λ) ud Y Biom(, p). Für ud p 0 so dass p = λ gilt P (Y = k) P (X = k) ( ) k =,,... Eie Faustregel besagt, dass diese Näherug brauchbar ist, we 50 ud p 0.05.

6 .6 Geometrische Verteilug Diskrete Wartezeite (icht ach obe beschräkt), Azahl Wiederholuge bis ei Ereigis eitrifft. Wahrscheilichkeitsfuktio Kumulative Fuktio p ( p) x ( p) x Parameter p [0, ] Support x N = {,,...} Erwartugswert p Variaz p p Media log log( p) Modus.7 Uabhägigkeit vo Ereigisse Zwei Ereigisse heisse stochastisch uabhägig, we P (A B) = P (A) P (B) gilt. Zwische solche Ereigisse besteht kei kausaler Zusammehag. 3 Stetige Zuvallsvariable Eie Zufallsvariable X mit Verteilugsfuktio F X (t) = P (X t) heisst stetig mit Dichtefuktio f X : R [0, ) falls gilt F X (t) = t f X (s)ds für alle t R Aschaulicher lässt sich die Dichtefuktio beschreibe durch folgede Grezwert, woach f X (t) = F X (t) gilt. Sie erfüllt die Eigeschaft f X (t)dt =. f X (t) = lim ε 0 P (t < X t + ε) ε 3. Kezahle Erwartugswert: µ = E(X) = E(g(X)) = x f X (x) dx g(x) f X (x) dx Variaz: Var(X) = E (X ) E (X) = Var(aX + b) = a Var(X) (x E(X)) f X (x) dx Stadardabweichug: σ = Var(X) σ ax+b = a σ X α-quatile: Sei 0 < α < Media: -Quatil P (X q(a)) = α = F X (q(a)) = α = q(a) = F X (a) Lieare Trasformatio: Y = ax + b = f Y (x) = a f X ( ) x b a 3

7 3. Stetige uiforme Verteilug U(a, b) Rudugsfehler, Simulatio (Zufallsvariable), Formalisierug der völlige Igoraz (alle Ereigisse sid gleich wahrscheilich). Dichtefuktio Verteilugsfuktio Parameter { b a für x [a, b] 0 sost x a Support x [a, b] b a für x [a, b] < a < b < Erwartugswert (a + b) Variaz (b a) Media (a + b) Modus jeder Wert i [a, b] 3.3 Expoetialverteilug Exp(λ) Stetige Wartezeite. Stetige Versio der geometrische Verteilug. Dichtefuktio { λ e λx für x 0 0 sost Verteilugsfuktio e λx für x > 0 Parameter λ > 0 Support x [0, ) Erwartugswert λ Variaz λ Media l λ Modus 0 Die Expoetialverteilug ist gedächislos, im Sie vo P (T > t + s T > t) = P (T > s). Beweis: P (T > t + s T > t) = P (T > t + s, X > t) P (X > t) = P (T > t + s) P (X > t) = e λ(t+s) e λt = e λs = P ((X > s) 3.4 Normalverteilug N (µ, σ ) Streuug vo Messwerte um ihre Mittelwert. ( exp πσ Dichtefuktio Verteilugsfuktio Φ ( ) x µ σ Parameter µ R, σ 0 ) (x µ) σ Support x R (σ > 0), x = µ (σ = 0) Erwartugswert µ Variaz σ Media µ Modus µ Spezialfall Stadardormalverteilug, mit µ = 0, σ =. Dichtefuktio: ϕ(x). Kumulative Verteilugsfuktio Φ(x) mit Φ( x) = Φ(x) ud Φ (x) = Φ ( x). 3.5 Poissoprozess Der Poisso-Prozess ist ei Ereuerugsprozess, desse Zuwächse uabhägig ud poissoverteilt mit Parameter λ sid. λ wird auch Itesität oder Rate geat, da pro Zeiteiheit geau λ Sprüge erwartet werde. Die Höhe jedes Spruges ist eis, die Zeite zwische de Sprüge sid expoetialverteilt mit Parameter λ. Der Poissoprozess ist also ei diskreter Prozess i stetiger Zeit. Die Azahl Ereigisse auf dem Itervall (s, s + t] ist Poisso-verteilt mit Parameter λ t. 3.6 Simulatio vo Zufallsvariable Sei U Uiform([0, ]) ud F : R [0, ] bijektiv. Da hat die Zufallsvariable X = F (U) die kumulative Verteilugsfuktio F. Beweis: F X (x) = P (X x) = P (F (U) x) = P (U F (x)) = F (x) 3.7 Uabhägigkeit vo Zufallsvariable Zwei Zufallsvariable X ud X heisse uabhägig, falls für alle A, A R gilt P (X A, X A ) = P (X A ) P (X A ) 4

8 4 Mehrere Zufallsvariable Für beliebige Zufallsvariable gilt Für ukorrelierte Zufallsvariable X i gilt Sid X i, X ud Y uabhägig, so gilt ( ) E X i = i= E(X i ) i= Var(X) = E(X ) E(X) Var(X) = E((X µ) ) Var(aX + by + c) = a Var(X) + b Var(Y ) + ab Cov(X, Y ) ( ) Var X i = i= Var(X i ) i= Var(X ) = σ E(XY ) = E(X) E(Y ) ( ) E Xi = E(X i ) 4. Die iid Aahme Zufallsvariable X, X,..., X sid iid (uabhägig ud gleichverteilt) falls X, X,..., X sid uabhägig X i F i =,..., 4. Fuktioe vo Zufallsvariable Seie X,..., X iid F. Da ist Y = g(x,..., X ) mit g : R R eie eue Zufallsvariable. Wichtige Vertreter sid die Summe vo Zufallsvariable ud die relative Häufigkeit. S = X X X = S Die Verteiluge vo S ud X sid im allgemeie aber schwierig zu bestimme. 4.. Bekate Verteiluge 4.. Erwartugswerte ud Variaze 4..3 Miimum mehrerer Zufallsvariable X i iid Poisso(λ i ) S Poisso( λ i ) X i iid Beroulli(p) S Biomial(, p) X i iid N (µ, σ ) S N ( µ, σ ) E(S ) = E(X ) E(X ) = E(X ) Var(S ) = Var(X ) Var(X ) = Var(X ) σ S = σ X σ X = σ X Seie X,..., X uabhägig verteilt mit Verteilugsfuktio F Xi, so gilt für das Miimum Y = mi{x,..., X } F Y (t) = P (Y t) = P (Y > t) = P (mi{x,..., X } > t) = P (X > t,... X > t) = P (X i > t) = ( F Xi (t)) Gilt weiter F Xi = e λt, so folgt F Y (t) = e λt. i= i= 5

9 4.3 Das Gesetz der grosse Zahle (GGZ) Seie X,..., X iid mit Erwartugswert µ = E(X ). Da gilt: X µ ( ) 4.3. Mote-Carlo-Itegratio Seie x,..., x (simulierte) Realisieruge vo X,..., X f(x)dx für eie Dichtefuktio f. Da gilt I = g(x)f(x) dx = E(g(X)) g(x i ) 4.4 Der zetrale Grezwertsatz Seie X,..., X iid mit Erwartugswert µ = E(X i ) ud Variaz Var(X i ) = σ. Da gilt für X N (µ, σ ) ud S N (µ, σ ) i= bzw. P (S x) = P ( S µ σ x µ ) ( ) x µ σ Φ σ 4.5 Chebyshev Ugleichug Die Chebyshev-Ugleichug liefert eie Abschätzug vo Wahrscheilichkeite, auch we die geaue Verteilugsfuktio icht bekat ist. Seie X,..., X iid mit Erwartugswert µ = E(X ) ud Variaz Var(X ) = σ. Da gilt P ( X µ > c) σ c 5 Gemeisame ud bedigte Wahrscheilichkeite Hier werde zweistufige Zufallsexperimete betrachtet. Die erste Stufe ist das Eitrete bzw. icht Eitrete eies Ereigis B ud die zweite Stufe das Eitrete bzw. icht Eitrete eies Ereigis A. 5. Bedigte Wahrscheilichkeit Die bedigte Wahrscheilichkeit vo Ereigis A gegebe B ist P (A B) = P (A B) P (B) falls P (B) 0 P (A B) = P (A B) P (B) 5.. Satz der totale Wahrscheilichkeit ud Satz vo Bayes Seie B,..., B k die Ereigisse der. Stufe mit B... B k = Ω B i B j = (i j) da gilt für beliebige Ereigisse A der. Stufe k P (A) = P (A B j ) P (B j ) j= k= = P (A) = P (A B) P (B) + P (A B ) P (B ) ud P (B i A) = P (A B i) P (B i ) k P (A B j ) P (B j ) j= = P (A B i) P (B i ) P (A) 6

10 5.. Recheregel Komplemet P (A ) = P (A) P (A S) = P (A S) Additio P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Multiplikatio P (A B) = P (A B) P (B) A, B uabhägig P (A B) = P (A) P (B) P (A B S) = P (A S) P (B S) 5. Gemeisame ud bedigte diskrete Verteiluge Die Gemeisame Verteilug vo X ud Y ist vollstädig beschriebe durch P (X = x, Y = y) für alle (x, y). Radverteilug vo X: P (X = x) = P (X = x, Y = y) alle y Bedigte Wahrscheilichkeit: P (X = x Y = y) = 5.3 Gemeisame ud bedigte stetige Verteiluge P (X = x, Y = y) P (Y = y) falls P (Y = y) 0 Gemeisame stetige Verteiluge köe wie im diskrete Fall durch die kumulative Verteilugsfuktio beschriebe werde: F XY (x, y) = P (X x, Y y) Uabhägige Zufallsvariable Gemeisame Dichte: f XY (x, y) = x y F XY (x, y) Raddichte vo X: f X (x) = f XY (x, y) dy Bedigte Dichte: f Y X (y X = x) = f XY (x, y) f X (x) P (Y A X = x) = f Y X (y X = x) dy A Die Zufallsvariable X ud Y heisse uabhägig, falls für alle x, y gilt: f XY (x, y) = f X (x) f Y (y) 5.3. Erwartugswert bei mehrere Zufallsvariable Seie X ud Y zwei stetige Zufallsvariable ud g(x, y) : R R eie Fuktio. Da E(g(X, Y )) = g(x, y) f XY (x, y) dx dy 5.4 Kovariaz ud Korrelatio Kovariaz: Cov(X, Y ) = E ((X E(X)) (Y E(Y ))) Cov(X, X) = V ar(x) Korrelatio: Corr(X, Y ) = ρ XY = ρ XY [, ] Cov(X, Y ) = Cov(X, Y ) Var(X) Var(Y ) σ X σ Y als dimesiosloses Mass des lieare Zusammehages ρ XY = ± Y = a ± bx mit b > 0, a R Recheregel: Cov(X, Y ) = E(X Y ) E(X) E(Y ) Cov(, ) ist biliear: Cov(a + bx, c + dy ) = b d Cov(X, Y ) Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z) Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + Cov(X, Y ) Cov ist symmetrisch Sid die Zufallsvariable X ud Y uabhägig, so gilt Cov(X, Y ) = Corr(X, Y ) = 0. Die Umkehrug gilt jedoch im Allgemeie icht. 7

11 5.4. Lieare Progose Die beste lieare Progose Ŷ vo Y durch X im Si der Miimierug des Progoosefehlers E(Y Ŷ ) ) ist gegebe als Ŷ = µ Y + Cov(X, Y ) Var(X) 5.5 Zweidimesioale Normalverteilug (X µ X ) E((Y Ŷ ) ) = ( ρ XY ) Var(Y ) = Var(Y ) Die wichtigste zweidimesioale Verteilug ist die Normalverteilug mit Erwartugswert µ = Σ R, mit Σ = Var(X), Σ = Var(Y ) ud Σ = Σ = Cov(X, Y ). Sie hat die Dichte ( ( )) f XY (x, y) = π det Σ exp ( ) x µx x µx y µ Y Σ y µ Y ( ) X Für X = N X (µ, Σ) gilt: X, X uabhägig ρ XX = 0 ( µ µ Cov(X, Y ) Var(X) ) ud Kovariazmatrix 8

12 Teil II Statistik 6 Deskriptive Statistik 6. Kezahle bezeichet die Stichprobegrösse, ud x, x,... x sid die gemessee Werte. Sid diese aufsteiged sortiert, so werde sie folgedermasse bezeichet: x () x () x (3)... x () Arithmetisches Mittel x = i= empirische Variaz s = empirische Stadardabweichug s = s x i (x i x) empirisches α-quatil x (k) mit miimalem k N, sodass k > α uteres Quartil empirischer Media oberes Quartil Quartilsdifferez Rechtsschiefe (positive Schiefe) Liksschiefe (egative Schiefe) i= ist α eie Gazzahl, so immt ma (x (α) + x (α+) ) α 00% sid approximativ dem α-quatil ( α) 00% sid approximativ > dem α-quatil 0.5-Quatil 0.5-Quatil 0.75-Quatil oberes Quartil uteres Quartil Werte, die kleier sid als der Mittelwert, sid häufiger zu beobachte, so dass sich der Gipfel liks vom Mittelwert befidet. Der rechte Teil des Graphs ist somit flacher als der like. Defiitio symmetrisch. 6. Graphische Darstellug 6.. Histogramm Für das Histogramm werde Klasse (c k, c k ] gebildet ud berechet die absolute Häufigkeite h k i diesem Itervall. Nu werde Balke mit eier Höhe proportioal zu h k /(c k c k ) gezeichet. 6.. Boxplot Beim Boxplot gibt es eie Rechteck, welches die mittlere 50% der Date ethält. Zusätzlich wird mit eier Treliie der Media eigezeichet. Nach obe ud ute gibt es zusätzlich Liie bis zum kleiste bzw. grösste ormale Wert. Dazu defiiert ma willkürlich, dass ei Wert ormal ist, falls er höchstes.5 mal die Quartilsdifferez vo eiem der Quartile etfert ist. Zuletzt werde Ausreisser och durch Stere markiert. Im Boxplot erket ma viel besser die Lage ud Streuug der Date, icht aber die Form der Verteilug. Ausserdem lasse sich sehr gut mehrere Datesätze vergleiche Empirische, kumulative Verteilugsfuktio Die empirische Verteilugsfuktio ist eie Treppefuktio, die a der Stelle x (i) vo (i )/ ach i/ sprigt. F (x) = {i x i x} 9

13 6..4 QQ-Plot QQ-Plots ( Quatil-Quatil-Plot ) diee dazu die Abweichug der Date vo eier gewählte Modell-Verteilug F grafisch zu überprüfe. Dazu betrachtet ma die theoretische ud empirische α k -Quatile mit α k = (k 0.5)/. Die empirische α k -Quatile etspreche Dabei gerade de geordete Date x (k). Ma trägt also die Pukte F (α k ) (die theoretische Quatile der kumulative Verteilugsfuktio F ) gege x (k) (die empirische Quatile) ab. Falls u die wahre Verteilug F mit der gewählte Verteilug F übereistimmt, so liefert der QQ-Plot approximativ eie Gerade durch de Nullpukt mit Steigug. x-achse: theoretische Quatile vo F, also F (α k ) y-achse: empirische Quatile, also x (k) 6..5 Normal-Plot Normal-Plots sid ei Spezialfall des QQ-Plots, wobei als Modell-Verteilugsfuktio eie Stadardormalverteilug verwedet wird, also F N (0, ). Zusätzlich zu de ormale Eigeschafte eies QQ-Plots gilt hier weiter folgede ützliche Eigeschaft: Sid die Date Normalverteilt (icht ubedigt stadardormal), so zeigt der Normal-Plot stets eie Gerade. Diese hat jedoch im Allgemeie Steigug σ ud de y-achseabschitt µ. 7 Statistischer Test 7. Allgemeies Vorgehe Beobachtet wird X = x, Modell: X F θ mit ubekatem Parameter θ.. Modell: statistisches Modell für die Date (Verteilug). Nullhypothese: H 0 : θ = θ 0 3. Alterativhypothese: θ θ 0 H A := θ > θ 0 θ < θ 0 -seitig -seitig vo obe -seitig vo ute 4. Bestimme die Teststatistik T (z.b. T = S oder so, dass T eie ormierte Variate vo X darstellt) 5. Verteilug der Teststatistik uter der Nullhypothese 6. Wahl des Sigifikaziveaus α a) 7. Kostruiere Verwerfugsbereich K so, dass P H0 (X K) α 8. beobachteter Wert bezüglich der Teststatistik 9. Etscheidug: verwerfe H 0 falls x K, sost belasse H 0 b) 7. Bereche de P-Wert. Der P-Wert ist die Wahrscheilichkeit, dass uter der Nullhypothese H 0 ei zufälliger Versuch midestes so extrem ausfällt, wie der beobachtete Wert t: p liks = P H0 (T t) p rechts = P H0 (T t) p beidseitig = mi{p liks, p rechts } Aders ausgedrückt ist der P-Wert das kleiste Sigifikaziveau, bei dem bei gegebeer Beobachtug t H 0 gerade och verworfe werde ka. 8. Etscheidug: verwerfe H 0 falls P-Wert α, sost belasse H Fehler. Art Wahrscheilichkeit, dass der Test H 0 verwirft, obscho H 0 stimmt. P (Fehler. Art) = P H0 (X K) α 0

14 7.. Fehler. Art Wahrscheilichkeit, dass der Test H 0 belässt, obscho H A stimmt Macht/Power Die Macht eies Tests ist defiiert als 7. Vertrauesitervall β(p) = P (Fehler. Art) = P HA (X / K) β(p) = P (H 0 wird verworfe, ud H A korrekterweise ageomme) Das Vertraues- oder Kofidezitervall I ist die Mege jeer Parameterwerte, welche mit der Beobachtug X = x verträglich sid. Es gilt: I = {θ 0 Test mit Alterativhypothese H A : θ θ 0 ud Sigifikaziveau α belässt H 0 }, wobei {<, >, } Normalapproximatio (für -seitiges Problem): 7.3 z-test P θ (θ I) α X i Poisso(λ) : I = λ ± Φ ( α X Biom(, p) : I = p ± Φ ( α ) λ mit λ = X ) p ( p) mit p = x Aahme: σ X bekat Teststatistik: Z = X µ 0 Z N(0, ) ( σ X Verwerfugsbereich: Z > Φ α ) für H A : µ µ 0 Z < Φ ( α) für H A : µ < µ 0 Z > Φ ( α) für H A : µ > µ 0 [ Vertrauesitervall: I = x σ ( Φ α ), x + σ ( Φ α ) ] für -seitiges Problem Fehler. Art: P µ (Z / K) für H A : µ < µ 0 ( ) X µ + µ 0 µ 0 (we µ der wahre Parameter ist) = P µ > Φ ( α) σ X ( ) X µ 0 = P µ > Φ ( α) + (µ µ 0 ) σ X σ X ( ) = Φ Φ ( α) + (µ µ 0 ) σ X

15 7.4 t-test Schätzug für σ : σ = (X i X ) i= Teststatistik: T = X µ 0 σ Verwerfugsbereich: T > (t ) ( α ) Studet-t verteilt mit Freiheitsgrade für H A : µ µ 0 T < (t ) ( α) für H A : µ < µ 0 T > (t ) ( α) für H A : µ > µ 0 [ Vertrauesitervall: I = x σ t, α, x + σ ] t, α für -seitiges Problem [ I = x σ ] t, α, für H A : µ < µ 0 P-Wert: ( F t ( z )) für -seitiges Problem 9 Puktschätzuge 9. Biomial- ud Poissoverteilug F t (z) für -seitiges Problem X Biomial(, p) X Poisso(λ) p = X λ = X 9. Normalverteilug Schätzer µ = x i = x i= σ = i= 9.3 Allgemeie Methode (x i µ) σ = Schätzwert µ = X i = X mit E( µ)= µ i= (X i µ) mit E( σ )= σ Beobachtuge x, x,..., x werde aufgefasst als Realisieruge vo X, X,..., X iid F θ, wobei F eie bekate Verteilugsfuktio mit ubekatem Parameter θ der Dimesio r ist Mometemethode Der ubekate Parameter θ ka ausgedrückt durch Momete µ k = E[X k ], Schätze Momete µ k mit i= θ j = g j (µ, µ,..., µ p ), j r (= dim(θ)) µ k = ud bereche de geschätzte Parameter mit θ j = g j ( µ, µ,..., µ p ). Beispiele. X i Poisso(λ), θ = λ, r = E(X i ) = λ = µ = λ θ = g(µ ) = µ = θ = g( µ ) = µ = i= X i. X i N (µ, σ ), θ = (µ, σ ), r = µ = E(X i ) = µ σ = Var(X i ) = E(X i ) (E(X i)) = µ µ i= X k i k p werde mit

16 9.3. Maximum-likelihood Schätzer Die Likelihood-Fuktio L(θ) bestimmt die Wahrscheilichkeit der Date uter θ. θ wird da so geschätzt, dass die Date maximale Wahrscheilichkeit habe. { pθ (X L(θ) = L(θ, X, X,..., X ) = ) p θ (X )... p θ (X ) falls X i diskret f θ (X ) f θ (X )... f θ (X ) falls X i stetig Der Maximum-likelihood Schätzer ist u θ MLE = argmax θ L(θ) = argmi l(θ) wobei l(θ) = θ log p θ (X i ) log f θ (X i ) i= i= falls X i diskret falls X i stetig 0 Vergleich zweier Stichprobe Seie zwei Stichprobe x, x,..., x uter Versuchsbedigug y, y,..., y m uter Versuchsbedigug aufgefasst als Realisieruge vo Zufallsvariabel X,..., X, Y,..., Y m. 0. Gepaarte Vergleiche Beide Versuche werde a derselbe Veruchseiheit durchgeführt (Blockbildug). Es gilt = m. Betrachte die Differeze u i = x i y i als Realisieruge vo U i mit =,,...,. 0.. Vorzeiche-Test H 0 : Media der Verteilug vo U i = 0 H A : Media der Verteilug vo U i 0 oder 0 Teststatistik: V = #{U i > 0} (Azahl positiver Vorzeiche) Verteilug vo V : V Biomial(, P (U i > 0)) 0.. Wilcoxo-Test (Ragummer-Test) uter H0 = Biomial(, ) Seie U, U,..., U iid F µ für eie symmetrische Verteilug F µ mit µ = E(U i ) = F µ ( ) (Media). H 0 : µ = 0 H A : µ 0 Teststatistik: Rag( U i ) = R i R i = k heisst, dass U i der k-te Wert uter U, U,..., U ist. Gibt es mehrere U i mit demselbe Betrag, so erhalte alle de durchschittliche Rag Verteilug vo W uter H 0 : V i = [Ui>0] W = R i V i i= Wilcoxo-Verteilug 0. Ugepaarte Vergleiche - Zwei Stichprobe-Tests Die Versuchseiheite werde zufällig eier der beide Versuchsbediguge zugeordet (Radomisierug). Im Allgemeie gilt m. 3

17 0.. -Stichprobe t-test Seie X, X,..., X N(µ x, σ x) ud Y, Y,..., Y N(µ y, σ y) uabhägig. Aahme: Nullhypothese: σ = σ x = σ y H 0 : µ x = µ y Alterativhypothese: H A : µ x µ y oder µ x µ y Teststatistik: T = X Y m S pool = S pool + m + m m (X i X ) + (Y j Y m ) Spool = ( σ x + σ y ), falls = m Verteilug vo T uter H 0 : T t +m (Studet-t-Verteilug mit + m Freiheitsgrade) i= j= 4

18 Teil III Appedix A Tabelle ud Tafel A. Itegral- ud Differetialrechug f(x) F (x) x + x+ (ax + b) x x 3 x 3 ax+b ax+b cx+d x a a + x a x x a a (+) + x + a ax c l ax + b (ax + b)+ ad bc c l cx + d a l x a x+a x a f(x) + l(x + f(x)) x a x a arcsi x a x a f(x) l (x + f(x)) x l(x + x + a ) +a x a l(x + x a ) a x x x x +a arcsi( x a ) arcsi(x) arccos(x) a arcta( x a ) +x arccot(x) x + x x arsih(x) arcosh(x) artah(x) si(ax + b) a cos(ax + b) cos(ax + b) a si(ax + b) ta(x) l cos(x) cot(x) f(x) x f (x) x x x x x f(x) f (x) (f(x)) l si(x) ta(x) ta (x) + = cos (x) cot(x) ( + cot (x)) = si (x) f(x) si(x) cos(x) F (x) l ta( x ) l ta( x + π 4 ) si (x) (x si(x) cos(x)) cos (x) (x + si(x) cos(x)) ta (x) ta(x) x cot (x) cot(x) x arcsi(x) x arcsi(x) + x arccos(x) x arccos(x) x arcta(x) x arcta(x) l( + x ) si (x) cos (x) s = si x cos x+ s s 0=x s = cos(x) c = si x cos x+ c c 0=x c =si(x) sih(x) cosh(x) ud umgekehrt tah(x) f (x) f(x) l(cosh(x)) l f(x) l x x (l x ) x x l x (l x) + (l x)+ (l x ) 0 x l x l l x x>0,x a bx+k b l a abx+k x e cx e cx cx c x l x x + + e cx si(ax+b) e cx cos(ax+b) f(x) f (x) ( l x + ) e cx (c si(ax+b) a cos(ax+b)) a +c e cx (c cos(ax+b)+a si(ax+b)) a +c l x x log a x x l a = log a(e) x a cx a cx c l a x x x x ( + l x) x>0 (x x ) x (x x ) x (x + x l(x)) x>0 x (xx ) x (xx) (x x + l x x x ( + l x))) 5

19 A. Verschiedees A.. Biomialkoeffiziet ( ) + k (a + b) = ( ) = k k=0 ( ) + ( ) = k k ) ( k=0 ) ( ) a k b k = k k ( k A.. Kombiatorik Ziehe vo k Elemete aus eier Mege mit Elemete geordet ugeordet ) mit zurücklege k ( +k k ohe zurücklege! ( k)! ( k ) =! k!( k)! A..3 A..4 Mitterachtsformel Ausklammer ax + bx + c = 0 = x, = b ± b 4ac a x y = (x y)(x + x y + x 3 y xy + y ) x = (x )(x + x + x x + ) A.3 Regel für Itegrale A.3. Partielle Itegratio Seie f, g C 0 (]a, b[) mit Stammfuktioe F, G C (]a, b[), da gilt f (x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx A.3. Substitutiosregel Seie f, g C (]a, b[). Da gilt x f (g(x)) g (x) dx = (f g) x = f(g(x x=x )) f(g(x 0 )) = 0 x 0 g(x ) g(x 0) f (z) dz 6

20 f(x, a x )dx x = a si t dx = a cos tdt π t π A.3.3 Stadardsubstitutioe Itegral Substitutio Differetial Bemerkuge f(g(x), g (x))dx t = g(x) dx = dt Lsg: g (x) [f(x) ] + C f((ax + b))dx t = ax + b dx = dt Lsg: a a f(u)du) f(x, ax + b)dx x = t b dx = tdt t 0 a a f(x, ax + bx + c)dx x = αt + β dx = αdt wähle α ud β so, dass gilt ax + bx + c = γ (±t ± ) f(x, a + x )dx x = a sih t dx = a cosh tdt t R f(x, x a )dx x = a cosh t dx = a sih tdt t 0 f(e x, sih x, cosh x)dx e x = t dx = dt t f(si x, cos x)dx t > 0, ud dabei gilt: sih x = t t cosh x = t + t ta x dt = t dx = Π < t < Π t, ud dabei gilt: si x =, cos x = t +t +t +t 7