Angewandte Spieltheorie. Prof. Dr. Joachim Weimann Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Lehrstuhl für allgemeine Wirtschaftspolitik

Transkript

1 Angewandte Spieltheorie Prof. Dr. Joachim Weimann Fakultät für Wirtschaftswissenschaft Lehrstuhl für allgemeine Wirtschaftspolitik

2 Alle Folien im Netz Organisatorisches Literatur: Riechmann T., Spieltheorie, München,. Aufl. 008 Übung Wird von PD Dr. Thomas Riechmann gehalten Tutorien Sprechstunde: JW: Donnerstags 6:30 bis 7:30 Uhr Geb., Teil C,. Stock, Zi. 0

3 . Worum geht es? Spieltheorie ist ein spezieller Bereich der Entscheidungstheorie Was ist Entscheidungstheorie? Entscheidung = Bewusste Auswahl aus Handlungsalternativen Unterscheide: Deskriptive Entscheidungstheorie Wie werden in der Realität Entscheidungen getroffen? Es geht um die Beschreibung dessen was wir beobachten! Beobachtung im Feld Beobachtung im Labor Experimentelle Wirtschaftsforschung 3

4 Normative Entscheidungstheorie Wie sollen Entscheidungen getroffen werden? Beachte, dass Entscheidung im Deutschen eine doppelte Bedeutung hat: Auswahl aus einer Alternativenmenge Ergebnis der Auswahl Die normative Entscheidungstheorie bezieht sich nicht auf die Ergebnisse, sondern auf das Entscheidungsverfahren. 4

5 . Elementare Voraussetzungen der Entscheidungstheorie. Man muss wissen was man will! Um eine Wahl zwischen den Ergebnissen einer Entscheidung treffen zu können, muss man angeben können, welche man vorzieht. Wird dadurch gesichert, dass eine vollständige und transitive Ordnung über die Entscheidungsergebnisse besteht. { e,..., } e n Sei die Menge der möglichen Entscheidungsergebnisse Was wir fordern müssen, ist dass Entscheider in der Lage sind, die Ergebnisse paarweise zu vergleichen und angeben können, welche sie vorziehen: e i f e j oder e i p e j oder e i e j 5

6 Auf diese Weise entsteht eine Ordnung über die Alternativen, und die soll transitiv sein! Ein Beispiel: Es soll über das Getränk des Abends entschieden werden Die Alternativenmenge: {Milch, Wasser, Bier} Transitivität verlangt: Wenn: Wasser f Milch und Bier f Wasser Dann soll auch gelten: Bier f Milch 6

7 .. Die Struktur von Entscheidungen Drei Dinge sind wichtig:. Die Handlungsalternativen (der Alternativenraum) {a,,a n } Dinge, die ich beeinflussen kann. Der Zustandsraum Zustände der Umwelt, die eintreten oder nicht eintreten {s,,s m } 3. Der Ergebnisraum {л(a i, s j )} i =,,n ; j =,, m Die Ergebnisse, die abhängig von den Handlungen, die gewählt wurden, und den Zuständen, die eintreten, realisiert werden. Man sollte zwischen den Ergebnissen und deren Bewertung unterscheiden. Ein Beispiel Ergebnis = materiell was, wann, wie passiert. Bewertung: Setzt Präferenzordnung über die möglichen Ergebnisse voraus. Es geht um die Entscheidung, zur Vorlesung zu gehen. Die Handlungsalternativen = {hingehen, nicht hingehen} = {a, a } 7

8 Der Zustandsraum: {Dozent gut drauf, Dozent nicht gut drauf}= {s, s } Der Ereignisraum: {Kosten, keine Kosten, höre gute Vorlesung, höre schlechte Vorlesung, höre gute/schlechte Vorlesung nicht} Bewertung: {л(a, s ), л(a, s ), л(a, s ), л(a, s )} Gut drauf Nicht gut drauf Entscheidungsmatrix Hingehen A: Kosten und höre gute Vorlesung B: Kosten und höre keine gute Vorlesung C: D: Nicht hingehen Keine Kosten, höre gute Vorlesung nicht Keine Kosten, höre schlechte Vorlesung nicht 8

9 .. Zielfunktionen, Präferenzen und Nutzenfunktion Um Entscheidungen treffen zu können, muss man wissen, was man will Man muss seine Ziele kennen Man muss den Zielerreichungsgrad messen können Man kann das Ziel direkt angeben Durch Inhalt, zeitlicher Bezug und Ausmaß Was, wann oder wie lange, in welchem Umfang? Beispiel: In welchen Speisesaal soll ich gehen? Zielinhalt: möglichst schnell essen, zeitliche Bezug: Heute, Ausmaß: Dauer des Essens. Man kann den Nutzen aus alternativen Ergebnissen der Entscheidungen messen. Dafür brauchen wir eine Präferenzordnung, die durch eine Nutzenfunktion abgebildet werden kann 9

10 Angenommen Sie haben folgende Präferenzordnung über A D, die Ergebnisse des Beispiels mit der Vorlesung: A f D f B f C Dann können wir diese Ordnung durch eine Nutzenfunktion abbilden: + u : e R Wir wissen, dass eine Funktion nichts anderes als eine Zuordnungsvorschrift ist: u ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu Regel: Wenn ein Ergebnis einem anderen Ergebnis vorgezogen wird, dann erhält es auch eine höhere Zahl: u: A ~ 5, D ~ 4, B ~ 3, C ~ wäre eine solche Zuordnung Dann erhalten wir: 0

11 Gut drauf Nicht gut drauf Hingehen 8 Nicht hingehen 4 So weit so gut, aber wie entscheiden wir nun, ob wir gehen oder nicht? Wir müssen wissen, was wir wollen! Die Zahlen in der Matrix sind die Zielerreichungsrade, gemessen in Nutzenindizes Angesichts der Unsicherheit ist aber nicht klar, wie damit umzugehen ist!

12 . Entscheidungsregeln Manchmal ist die Wahl sehr einfach Wenn es Handlungsalternativen gibt, die immer die beste Wahl sind, dann hat man eine dominante Alternative und sollte diese wählen. Wenn es eine Alternative a i gibt, für die gilt, dass eine andere Alternative a j immer zu einem besser bewerteten Ergebnis führt, dann ist a i eine dominierte Alternative und muss nicht mehr beachtet werden. a j ist dann die Alternative, die a i dominiert. Alternativen können also dominiert sein (von einer anderen Alternative) dominant sein (in Bezug auf alle anderen Alternativen) oder eine andere Alternative dominieren.

13 Entscheidungen sind trivial, wenn man genau weiß, welche Konsequenzen sie haben werden Dazu müsste man aber wissen, welcher Umweltzustand eintritt Das weiß man i.d.r. aber nicht mit Sicherheit. Grundsätzlich unterscheidet man zwischen. Entscheidung unter Risiko. Entscheidung unter Unsicherheit Unterschied: Wenn den verschiedenen Umweltzuständen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden können, sprechen wir von Entscheidung unter Risiko. Dabei kann es sich sowohl um objektive als auch subjektive W keiten handeln Ist dies nicht der Fall: Entscheidung unter Unsicherheit 3

14 .. Entscheidungsregeln unter Unsicherheit. Maximin Regel: Wähle die Handlungsalternative, bei der der minimale Zielerreichungsgrad maximal wird. Sehr pessimistische Regel Geht davon aus, dass die Dinge schief gehen und begrenzt den maximal möglichen Schaden. Geht davon aus, dass der ungünstige Umweltzustand eintritt Maximin Regel im Beispiel: Gehe zur Vorlesung: minimaler Nutzenindex = Gehe nicht zur Vorlesung: minimaler Nutzenindex = Maximin liefert damit keine Entscheidung 4

15 . Maximax Regel: Wie Maximin, aber jetzt soll die Handlung gewählt werden, die den höchsten Betrag bringt, wenn der günstige Umweltzustand eintritt Im Beispiel: Gehe zur Vorlesung ist nun die richtige Entscheidung! 3. Hurwicz-Regel: Kompromiss zwischen Minimax und Maximax 0 α misst den Optimismus des Entscheiders: α = ist der perfekte Optimist, α = 0 der perfekte Pessimist. H = (-α) Minimum + α Maximum = Hurwicz-Wert Die Alternative mit dem höchsten H-Wert wird gewählt. 4. Minimax-Regret-Regel (Savage-Niehans-Regel) Minimiert die maximal mögliche Enttäuschung! Die maximal möglich Enttäuschung ist die Differenz zwischen der maximalen und der minimalen Auszahlung einer Handlungsalternative. Nicht hingehen minimiert die maximale Enttäuschung im Beispiel ( gegenüber 6, wenn man hingeht) 5

16 5. Laplace Regel: Wenn wir nichts über die Eintrittswahrscheinlichkeiten wissen, dann fordert Laplace, allen Ereignissen die gleiche W keit zuzuordnen. Regel des unzureichenden Grundes Dann können wir Erwartungswerte für die einzelnen Handlungsalternativen ausrechnen: E [u(a i )] = Summe (Eintrittswahrscheinlichkeit x Nutzenindex) Im Beispiel: E[u(gehe hin)] = ½ x 8 + ½ x = 5 E[u(gehe nicht hin)] ½ x 4 + ½ x = 3 Hingehen liefert damit im Mittel einen höheren Nutzen als nicht hingehen! 6

17 .. Entscheidung unter Risiko Angenommen, es ist möglich, objektive oder subjektive W keiten für die Umweltzustände anzugeben. Dann kann für jede Handlungsalternative a i berechnet werden: Der Erwartungswert von u(a i ) = µ Gibt an, welcher Erfolg sich im Mittel einstellt Beachte die eingeschränkte Interpretierbarkeit des Erwartungswertes Die Standardabweichung von u(a i ) = σ Diese misst das Risiko, das mit einer Alternative verbunden ist σ ( ai ) = [ u( aij ) E[ u( ai ) ] p( s j ) j

18 Im Beispiel sei p = ¼ = W keit dafür, dass Dozent gut drauf ist. Dann ist µ ( a = gehe hin) = 4/4 und µ ( a = gehe nicht hin) = 4/4 Beide Entscheidungen liefern den gleichen Erwartungswert, aber: σ,5 > σ = 4 0,866 Die Standardabweichung (d.h. das Risiko) bei a ist größer. Ist damit in diesem Fall [nicht hingehen] die bessere Entscheidung?

19 ..3 Risikopräferenzen Bei den gegebenen Wahrscheinlichkeiten ist [hingehen] die riskantere Alternative. Die W keit dafür, dass der schlechte Umweltzustand (s ) eintritt, ist sehr hoch (3/4). Wenn s eintritt, ist a die bessere Alternative. Aber: [hingehen] ist zwar riskanter als [nicht hingehen], bietet aber auch eine größere Chance! (a, s ) hat zwar eine kleine W keit, dafür aber eine hohe Auszahlung! Ob sich ein Entscheider für oder gegen die riskantere Alternative entscheidet, ist a priori nicht klar! Hängt ab von der Risikopräferenz! 9

20 Risikoaversion: Bei gleichem Erwartungswert wir die weniger riskante Alternative gewählt. Ein risikoaverser Student würde also nicht zur Vorlesung gehen. Risokoneutralität: Einrisikoneutraler Entscheider ist zwischen zwei Alternativen mit gleichem Erwartungswert indifferent. Ein risikoneutraler Student würde deshalb durch einen Münzwurf entscheiden, ob er zur Vorlesung geht. Risikofreude: Ein risikofreudiger Entscheider zieht die riskante der weniger riskanten Alternative vor. Ein Student, der risikofreudig ist, würde also zur Vorlesung gehen. 0

21 .3 Spieltheorie als spezielle Entscheidungstheorie! Bisher ist der Zustandsraum unabhängig von Entscheidungen Spieltheorie betrachtet Entscheidungssituationen in denen der Zustandsraum abhängt von den Entscheidungen Anderer! Gleichzeitig ist der Zustandsraum der Anderen abhängig von den eigenen Entscheidungen! Es besteht also eine wechselseitige, strategische Abhängigkeit der Entscheidungen. Beispiel: Spieler A und B mit jeweils zwei möglichen Aktionen (a,a ) und (b, b )

22 Entscheidungs- Tabelle für A Handlungsalternative Entscheidungs- Tabelle für B Handlungsalternative Zustandsraum b b a 0 a Zustandsraum a a b b 0 Werden zusammengesetzt zur so genannten Auszahlungsmatrix

23 Auszahlungsmatrix (Bimatrix) b b Handlungsalternativen von B Handlungsalternativen von A a, 0, a,, 0 Auszahlungen von A, B

24 Womit beschäftigt sich die Spieltheorie? Modellierung von Verhalten in interdependenten Entscheidungssituationen Spiel = Entscheidungssituation, in der mindestens zwei Agenten (= Spieler) interagieren grundlegende Annahmen: - Die Spieler verhalten sich rational. = konsistentes Verhalten bzgl. eines wohldefinierten Zieles (in der Spieltheorie = Maximierung des Erwartungswertes der eigenen Auszahlung ) - Die Spieler verhalten sich strategisch. = Berücksichtigung des Wissens oder der Erwartungen bzgl. des Verhaltens der anderen Spieler 4

25 Anwendungen der Spieltheorie... in der Wirtschaftswissenschaft, Biologie, Politologie, Soziologie, Philosophie, Innerhalb der Wirtschaftswissenschaft: Mikroökonomik: Oligopoltheorie, Theorie optimaler Verträge, Auktionstheorie,... Makroökonomik: strategische Handelspolitik, Geldmengensteuerung der Zentralbank,... Finanzwissenschaft: Ausgestaltung von Steuersystemen, Bereitstellung öffentlicher Güter,... Betriebswirtschaftslehre: strategische Management und Unternehmensentscheidungen,... 5

26 Historische Entwicklung der Spieltheorie Von einigen Vorläufern (u.a. Waldegrave, Cournot, Zermelo, Borel) abgesehen: 944: Hauptwerk von John von Neumann und Oskar Morgenstern: "Theory of Games and Economic Behavior" 50er/60er Jahre: erste Verwendung spieltheoretischer Modelle in der Wirtschaftstheorie; erste Tests spieltheoretischer Prognosen in der experimentellen Wirtschaftsforschung 97: Anwendung der Spieltheorie in der Evolutionsbiologie (John Maynard Smith: Game Theory and the Evolution of Fighting ) 994: Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaft geht an drei Spieltheoretiker, John C. Harsanyi, John F. Nash, Reinhard Selten for their pioneering analysis of equilibria in the theory of non-cooperative games. 6

27 . Statische strategische Spiele bei ordinalen Präferenzen Die Kennzeichen statischer strategischer Spiele: Wechselseitige Abhängigkeit der Spieler Simultane Entscheidung der Spieler Kennzeichen eines statischen Spiels Präferenzen sind ordinal besser als, genauso gut, schlechter als werden abgebildet durch Auszahlungs- (oder Nutzen-) funktion diese ist nicht eindeutig Zeit(im Sinne der Abfolge der Züge) spielt keine Rolle Ist anders bei dynamischen Spielen, in denen die Spieler nacheinander Entscheidungen treffen (sequentiell ziehen). Die Spieler wissen also nicht, was der (oder die) anderen Spieler getan haben Statische Spiele sind deshalb Spiele bei imperfekter oder unvollkommener Information 7

28 . Die Beschreibung eines Spiels Ein Spiel wird beschrieben durch: die Spieler Wer ist involviert? die Spielregeln Wer entscheidet sich wann? Worüber können die Spieler entscheiden? Was weiß derjenige, der sich entscheidet? die Ergebnisse des Spiels Wie lautet das Spielergebnis für jede mögliche Kombination der Entscheidungen der Spieler? die Auszahlungen Welche Präferenzen haben die Spieler bzgl. der möglichen Spielergebnisse? 8

29 Alle diese Angaben finden Sie in jeder Beschreibung eines Gesellschaftsspiels! Die Spieltheorie versucht, strategische Entscheidungssituationen als ein solches Spiel formal abzubilden. Gegeben eine solche Abbildung, lassen sich Aussagen über das Verhalten rationaler Spieler gewinnen. 9

30 An dem Spiel nehmen n Spieler teil und i =,,n bezeichnet die Spieler s i Strategie von Spieler i s Strategienprofil (-tupel) mit s = (s,, s n ) s -i Strategienprofil der Gegenspieler von i, s -i = (s,, s i-, s i+,, s n ) [ Es gilt also: s = (s i, s -i ) ] S i Strategienraum (Menge der möglichen Strategien) für Spieler i, s i S i S Ein bisschen Notation = S S S n- S n, s S S -i = S S S i- S i+ S n- S n, s -i S -i u i von Neumann-Morgenstern Nutzenfunktion von Spieler i, u i : S R, i {,, n} 30

31 Normalformspiele Definition.: Die Normalform eines n-personen-spiels spezifiziert für jeden Spieler i =,, n den Strategienraum S i und die Auszahlungsfunktion u i (s) mit s = (s,, s n ) und s i S i für alle i. Das Spiel wird mit G = {S,, S n ; u,, u n } bezeichnet. Wir wissen jetzt, was man angeben muss, um ein Spiel zu beschreiben. Alle diese Angaben sind mit der Auszahlungsmatrix zu leisten! 3

32 Wer Spielt? Die Darstellung von Normalformspielen Spieler B b b a, 0, Spieler A Strategien? a,, 0 Auszahlungen? 3

33 . Beste Antworten und Dominanz Was sollten Spieler tun? Angewandte Spieltheorie Sie sollten auf die Wahl einer Aktion des Gegenspielers die beste Antwort geben, die ihnen möglich ist! Best Antwort auf eine Strategie (Aktion) des anderen Spielers ist die Strategie (Aktion), die gegeben die Strategie des anderen Spielers die höchste Auszahlung verschafft! Im Beispiel : Was ist beste Antwort auf b? b b Beste Antwort auf a? a, 0, 3 a,, 0 33

34 .. Beste Antwort Definition.: Gegeben sei ein Normalformspiel G = {S,, S n ; u,, u n }. Die Strategie s i S i heißt streng beste Antwort des Spielers i auf die Strategien seiner Gegenspieler s -i S -i, wenn für alle Strategien s i S i, s i s i gilt, dass u i (s i, s -i ) > u i (s i, s -i ). Die Strategie s i S i ist niemals eine beste Antwort, wenn es keine Strategie s -i S -i gibt, für die s i eine beste Antwort ist. Manchmal gibt es auf eine Strategie des Gegners mehr als eine beste Antwort. In diesem Fall sind die besten Antworten dann nur schwach beste Antworten 34

35 Schwach beste Antwort Definition.3: Gegeben sei ein Normalformspiel G = {S,, S n ; u,, u n }. Die Strategie s i S i heißt schwach beste Antwort des Spielers i auf die Strategien seiner Gegenspieler s -i S -i, wenn für alle Strategien s i S i, s i s i gilt, dass u i (s i, s -i ) u i (s i, s -i ) und u i (s i, s -i ) = u i (s i, s -i ) für mindestens ein s i s i. b b Beste Antwort auf a ist und a, 0, 3 a,, 35

36 .. Dominante und dominierte Strategien Beste Antworten sind Strategien, die als Reaktion auf eine oder mehrere Strategien des Gegenspielers optimal sind, weil sie zur jeweils höchstmöglichen Auszahlung führen. Manche Strategien besitzen diese Eigenschaft im Hinblick auf alle Strategien der (des) anderen Spieler(s). Solche Strategien, die immer beste Antworten sind, ganz gleich, was die anderen Spieler tun, nennt man dominante Strategien. Spieler, die über eine dominante Strategie verfügen, müssen nicht mehr viel nachdenken, was sie tun sollen, denn gleichgültig, was der Gegner tut, es ist immer das Beste, die dominante Strategie zu spielen! 36

37 Formale Definition Strikte Dominanz und Schwache Dominanz Angewandte Spieltheorie Definition.: Gegeben sei ein Normalformspiel G = {S,, S n ; u,, u n }. Die Strategie s i S i heißt strikt dominant, wenn für alle Strategien s i s i mit s i S i gilt, dass u i (s i, s -i ) > u i (s i, s -i ) für alle s -i S -i. Die Strategie s i S i heißt schwach dominant, wenn für alle Strategien s i s i mit s i S i gilt, dass u i (s i, s -i ) u i (s i, s -i ) für alle s -i S -i. und u i (s i, s -i ) = u i (s i, s -i ) für mindestens ein s i s i 37

38 Dominierte Strategien Wenn Spieler über dominante Strategien verfügen, macht das die Analyse des Spiels einfach (weil klar ist, was rationale Spieler dann tun werden) Manchmal hilft es aber auch, wenn einzelne Strategien von anderen dominiert werden. Eine Strategie wird von einer anderen Strategie dominiert, wenn diese andere Strategie immer eine höhere Auszahlung liefert (gleichgültig, was der Gegenspieler macht) Wir können dann nicht schlussfolgern, dass die dominierende Strategie in jedem Fall gespielt wird (es sei denn, es handelt sich um eine dominante Strategie, also eine, die alle anderen Strategien dominiert). Aber wir können schlussfolgern, dass die dominierte Strategie nicht gespielt wird! 38

39 Formale Definition Strikt dominierte Strategien Schwach dominierte Strategien Definition.3: Gegeben sei ein Normalformspiel G = {S,, S n ; u,, u n }. Die Strategie s i S i heißt strikt dominiert, falls eine andere Strategie s i S i existiert, für die gilt, dass u i (s i, s -i ) < u i (s i, s -i ) für alle s -i S -i. Die Strategie s i S i heißt schwach dominiert, falls eine andere Strategie s i S i existiert, für die gilt, dass u i (s i, s -i ) u i (s i, s -i ) für alle s -i S -i. 39

40 Lerntest! Bitte überprüfen Sie, ob Sie den genauen Unterschied benennen und erklären können, zwischen Strikt (schwach) dominanten Strategien Strikt (schwach) dominierten Strategien Dominierenden, aber nicht dominanten Strategien. 40

41 ..3 Elimination dominierter Strategien Wie kommen wir zu brauchbaren Prognosen über den Spielausgang? Wie lösen wir ein Spiel? Ein erstes Lösungskonzept: Iterierte Eliminierung dominierter Strategien Dominierte Strategien werden nicht gespielt also kann man sie weglassen! Durch die Elimination dominierter Strategien lassen sich Spiele vereinfachen. Nach Wegnahme einer dominierten Strategie können sich können sich neue Dominanzen ergeben Im Idealfall so weit, dass nur noch ein Strategiepaar übrig bleibt. 4

42 Beispiel L Spieler M R Spieler Spieler O U R wird von M dominiert Spieler wird deshalb R nicht spielen, R kann eliminiert werden Dann wird U von O dominiert. Mach Elimination von U dominiert M die Strategie L Übrig bleibt O (O, M) 4

43 Noch mal: Spieler U O L M R Spieler Spieler 43

44 Aufgabe: Formal:..4 Das Zahlenwahlspiel Jeder Spieler wählt eine Zahl zwischen 0 und 00 (einschließlich) Gewonnen hat der Spieler oder die Spielerin, deren Zahl am nächsten an /3 des Durchschnitts aller Zahlen liegt. N Spieler (i =,...,n) wählen eine Zahl aus [0, 00]. Sei x i die von Spieler i gewählte Zahl. Gewonnen hat der Spieler, dessen Zahl die geringste Differenz zu Y aufweist: Y = 3 n x i 44

45 Die spieltheoretische Lösung Voraussetzungen (wie immer): Alle Spieler wollen gewinnen Alle Spieler verhalten sich strikt rational Die Rationalität aller Spieler ist Common Knowledge Skizze der Lösung:. Schritt: /3 von 00 ist 66,6. Alle Zahlen > als 66,6 kommen damit als Lösung nicht in Frage! Die Strategien, eine Zahl > 66 zu wählen, sind deshalb von jeder Strategie schwach dominiert, bei der eine Zahl < 66 gewählt wird! Vollziehen alle Spieler diese Überlegung, dann spielt niemand eine dominierte Strategie. Alle werden eine Zahl aus [0, 66] wählen 45

46 . Schritt /3 von 66 ist 44, d.h. die gesuchte Zahl kann maximal den Wert 44 annehmen. Damit sind alle Strategien mit x i > 44 ebenfalls dominiert! Dominierte Strategien werden wiederum eleminiert. 3. bis Schritt : Weitere sukzessive Elimination schwach dominierter Strategien Am Ende bleibt nur eine Strategie übrig: x i = 0 i =,...,n Ergebnis im Experiment? 46

47 FWW Zahlenwahlspiel (Vorlesung Spieltheorie, SS 003) (75 Teilnehmer) Relative Häufigkeit 0,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 0,08 0,06 0,04 0,0 0, Durchschnitt: 8, Gewinnerzahl: 47

48 48

49 Was lehrt uns das?. Offensichtlich ist es im Zahlenwahlspiel nicht vorteilhaft, zu clever zu sein.. Es geht nicht darum, wie gut man selbst das Spiel lösen kann. Sondern darum, wie die Anderen das Spiel lösen. 3. Die Prognose der Spieltheorie ist eindeutig und sie wird im Experiment nicht bestätigt. 49

50 Was ist falsch? Vermutlich ist die Annahme, dass Rationalität Common Knowledge ist, falsch bzw. zu restriktiv. Common Knowledge bedeutet, dass alle Spieler wissen, was alle anderen Spieler tun werden, dass sie wissen, dass alle wissen, was alle tun werden, dass alle wissen, dass alle wissen, dass alle wissen, was alle tun werden etc. etc. Wenn das strikt rationale Verhalten aller Spieler Common Knowledge ist, dann sind alle Erwartungen aller Spieler zueinander konsistent! Genau dass muss erfüllt sein, deshalb wird die Common Knowledge Annahme in der Regel verwendet. Gleichwohl ist es höchst fraglich, ob sie tatsächlich erfüllt ist! 50

51 ..5 Probleme bei der iterativen Elimination dominierter Strategien. Funktioniert nur, wenn alle Spieler wissen, dass alle Spieler dominierte Strategien nicht spielen. Zahlenwahlspiel zeigt, dass das nicht klar ist Gilt auch in einfachen Spielen Spieler II Angewandte Spieltheorie L R Spieler I O 8, 0-00, 9 U 7, 6 6, 5 R wird von L dominiert, d.h. II wird L spielen und deshalb müsste I immer O spielen. Im Experiment wird aber auch U beobachtet! 5

52 . Bei schwacher Dominanz kann das Resultat von der Reihenfolge der Eliminationen abhängen. Das Ergebnis ist dann nicht mehr pfadunabhängig Bei strikter Dominanz ist dagegen die Reihenfolge gleichgültig. 5

53 Ein Beispiel Spieler Spieler L R L R 0 0 O 5 4 O 5 4 Spieler M Spieler M U 6 4 U

54 .3 Das Nash-Gleichgewicht Zweifellos das wichtigste Konzept in der Spieltheorie und in der modernen Wirtschaftstheorie! Allein mit dem Dominanz-Kriterium kommen wir nicht weit. Häufig existieren keine strikt dominanten Strategien. Iterierte Dominanz ist auch keineswegs häufig! Wie lösen wir also Spiele, in denen Dominanz nicht weiterhilft? Das Nash-Gleichgewicht ist deshalb so bedeutsam, weil man zeigen kann, dass für jedes Normalformspiel ein solches Spiel existiert! Allerdings kann es sein, dass es sich dabei um ein GG in gemischten Strategien handelt. Was das ist, kriegen wir später. 54

55 Die Formalien Definition.6: Gegeben sei ein Normalformspiel G = {S,, S n ; u,, u n }. Das Strategienprofil s* S bildet ein Nash-Gleichgewicht, falls für jeden Spieler i die Strategie s i * S i die beste Antwort auf die Strategien seiner Gegenspieler s -i * S -i ist, das heißt, falls u i (s i *, s -i *) u i (s i, s -i *) für alle s i S i und für alle i =,..., n. Ein Nash-Gleichgewicht ist eine Strategiekombination, bei der alle Strategien aller Spieler jeweils wechselseitig beste Antworten sind! ( * ) Es gilt also: s i * löst max u s, s s S i i i i i 55

56 Bringt uns das weiter? l Spieler m r In diesem Spiel existieren keine dominierten Strategien! Aber es existiert ein eindeutiges Nash- Gleichgewicht! Spieler O U M O beste Antwort auf m M beste Antwort auf l U beste Antwort auf r l beste Antwort auf O m beste Antwort auf M r beste Antwort auf U Nash- Gleichgewicht? 56

57 Offensichtlich ist nur (U, r) ein Nash-Gleichgewicht, denn U ist beste Antwort auf r r ist beste Antwort auf U Beachte: Im Nash-Gleichgewicht hat kein Spieler Anlass, sein Verhalten zu ändern. Jeder Spieler reagiert rational auf die rationale Strategiewahl der Mitspieler. Im Nash-Gleichgewicht herrschen deshalb konsistente Erwartungen. Allerdings kann es sein, dass ein Spieler indifferent ist zwischen einer gleichgewichtigen und einer nicht gleichgewichtigen besten Antwort. 57

58 Anleitung zum Aufspüren von Nash- Gleichgewichten Angewandte Spieltheorie 58

59 Ein 4 x 4 Beispiel b ist beste Antwort auf a a ist beste Antwort auf b 3 (a, b ) ist das (eindeutige) Nash-Gleichgewicht. 59

60 Nash-Gleichgewicht und die iterierte Eliminierung strikt dominierter Strategien Falls die iterierte Eliminierung strikt dominierter Strategien in einem n- Personen Normalformspiel zu der eindeutigen Lösung s* führt, so ist s* das eindeutige Nash-Gleichgewicht des Spiels. Falls s* ein Nash-Gleichgewicht eines n-personen Normalformspiels ist, so beinhaltet s* keine Strategien, die im Prozess der iterierten Eliminierung strikt dominierter Strategien ausgeschlossen wurden. 60

61 Beispiel: Strikte Nash-Gleichgewichte L M R U O (O, L) ist das eindeutige Nash-Gleichgewicht in diesem Spiel. Aber wenn Spieler O spielt, dann ist Spieler indifferent zwischen L und R! In einem strikten Nash-Gleichgewicht kann dies nicht auftreten, da dann die gleichgewichtige Strategie immer eine höhere Auszahlung bringt als jede andere! Die Definition des strikten Gleichgewichts ist identisch mit der auf Folie 55, bis auf das Ungleichheitszeichen (ersetze durch >). 6

62 Nash-Gleichgewicht und konsistente Erwartungen Im Nash-Gleichgewicht ist die Strategie s i * des Spielers i optimal gegeben seine Erwartungen über Spieler j und für Spieler j ist es optimal sich entsprechend den Erwartungen von Spieler i zu verhalten, wenn er selbst korrekt erwartet, dass Spieler i die Strategie s i * wählen wird. Ein Nash-Gleichgewicht basiert also auf einer Kombination miteinander konsistenter Erwartungen. Das ist eine sehr hohe Anforderung! Jeder Spieler muss nicht nur selbst rationale Erwartungen bilden, er muss auch die rationalen Erwartungen aller andern Spieler richtig berechnen und in sein Kalkül einbeziehen. Und jeder Spieler muss allen anderen Spielern unterstellen, dass sie das Gleiche tun! 6

63 Nash-Gleichgewichte sind nicht immer eindeutig: Battle of the Sexes Angewandte Spieltheorie Payoff matrix Frau Fußbal l Theate r Fußbal l Theate r Mann

64 Payoff matrix Fußbal l Fußbal l Lösung??? Battle of the Sexes Theate r Mann 0 0 Frau Theate r

65 Wir haben keine klare Prognose! Fußball Theater Fußball Theater Nash-Gleichgewichte 65

66 Beispiele für BoS-Spiele Situationen, die durch das BoS-Spiel beschrieben werden: Joint venture für beide Parteien vorteilhaft Welches Projekt gewählt wird, ist aber strittig. Beispiele: Abstimmung in einer politischen Partei Alle sollten die gleiche Meinung haben. Ist man für oder gegen ein Projekt? Nicht alle Parteimitglieder haben dazu die gleiche Meinung! Frau Merkel und Herr Rüttgers Herr Steinbrück und Herr Beck Herr Westerwelle und? 66

67 Battle of the Sexes ist kein Einzelfall In vielen Spielen gibt es kein eindeutiges Nash-Gleichgewicht Zentrales Problem in der Spieltheorie: Gleichgewichtsauswahl Wenn mehrere Gleichgewichte existieren, wie soll dann zwischen diesen gewählt werden? Bei BoS als statisches, strategisches Spiel bei vollständiger Information (d.h. beide Spieler wählen ihre Strategie gleichzeitig und kennen die Präferenzen aller Spieler) sind beide Gleichgewichte vollkommen symmetrisch Gleichgewichtsauswahl nicht möglich BoS beschreibt ein ernsthaftes Koordinationsproblem. 67

68 .4 Gleichgewichtsauswahl Weil es häufig vorkommt, dass mehr als ein Nash-Gleichgewicht existiert, braucht man Kriterien, die helfen, das richtige Gleichgewicht auszuwählen. Manchmal ist das einfach. Zum Beispiel, wenn sich ein Gleichgewicht findet, das Pareto-perfekt ist: Firma A Blue Ray H-DTV Firma B Blue Ray, -, - H-DTV -, -, 68

69 Das Spiel hat zwei Gleichgewichte: (Blue Ray, Blue Ray) und (H-DTV, H-DTV) Offensichtlich ist es besser für beide, wenn beide den gleichen Standard benutzen Das Gleichgewicht (H-DTV, H-DTV) Pareto-dominiert aber das Gleichgewicht (Blue Ray, Blue Ray)! Beide Spieler haben eine strikt höhere Auszahlung, wenn sie sich auf H-DTV einigen. Es ist deshalb hoch plausibel, dass dieses, das Pareto-perfekte Gleichgewicht auch gespielt wird. Pareto-perfekt ist ein Gleichgewicht dann, wenn es das eindeutig Pareto-dominante ist, d.h. alle Spieler strikt besser stellt, als sie in irgend einem anderen Gleichgewicht gestellt sind. 69

70 Pareto-Dominanz vs. Risiko-Dominanz Gegeben ist das folgende Spiel: Spieler B Spieler A b b a 9, 9 0, 8 a 8, 0 7, 7 Offensichtlich sind (a, b ) und (a, b ) Nash-Gleichgewichte (a, b ) ist das Pareto-dominante Gleichgewicht Aber, wenn Spieler A a spielt, dann geht er damit ein relativ hohes Risiko ein. Spiel B (warum auch immer) b, dann hat A einen Payoff von 0! Spielt A dagegen a, kann ihm wenig passieren, denn dann ist seine minimale Auszahlung 7! 70

71 Formale Definition von Risikodominanz Offensichtlich ist das Gleichgewicht (a, b ) für beide Spieler risikoärmer. Es ist sogar risikodominant. Die Definition geht auf Selten & Harsanyi 988 zurück: Für zwei Spieler und symmetrische Spiele mit zwei Strategien: Unter der Annahme, dass beide Spieler beide Strategien mit der W keit ½ spielen, wählen die Spieler die Strategien mit den höheren erwarteten Auszahlungen. Existiert ein Gleichgewicht, das beide strikt vorziehen, handelt es sich um ein risikodominantes Gleichgewicht. 7

72 Setzt man in das Spiel die Erwartungswerte ein, wird klar, dass (a, b ) tatsächlich die anderen Spielausgänge dominiert: Spieler B Spieler A b b a 4,5 ; 4,5 4,5 ; 7,5 a 7,5 ; 4,5 7,5 ; 7,5 a und b sind nun dominante Strategien! Verfahren erinnert sehr an die Laplace Regel (vgl. Folie 6!) 7

73 Wichtige Anwendung: Koordinationsspiele Die einfachste Variante ist das so genannte Stag -Hunt Spiel : Zwei Jäger können entweder einen Hirschen (stag) oder einen Hasen (hare) jagen. Den Hirschen erlegt man aber nur zu zweit, den Hasen bekommt man auch allein: Jäger Jäger Hirsch Hase Hirsch ; - ; Hase ; - ; (Hirsch, Hirsch) ist Pareto-dominant, aber (Hase, Hase) ist risikodominant Die große Frage ist, ob sich die Jäger auf das Pareto-dominante Gleichgewicht koordinieren können?! Passende experimentelle Befunde finden sich zum so genannten Minimum effort coordination game 73

74 Minimum effort coordination game Es handelt sich dabei um ein verallgemeinertes Stag-Hunt Spiel: n Spieler können eine Aufgabe mit mehr oder weniger Anstrengung (effort) erledigen. Die Auszahlung an alle Spieler hängt ausschließlich von dem geringsten effort aller 7 ab. (Das schwächste Glied entscheidet) Es ist Pareto-dominant, wenn alle die maximale Anstrengung leisten und risikodominant, wenn alle die minimale Anstrengung leisten. Das Spiel bildet viele praktische Koordinationsprobleme ab. Van Huyck et al 990 finden, dass es zu einem massiven Koordinationsversagen kommt 74

75 Aus Riechmann & Weimann

76 Zur Risikodominanz Warum ist die Wahl des der geringsten Anstrengung risikodominant? Alle wählen zwischen Pareto-dominanz und Risikodominanz. Damit beides mit W keit ½ eintreten kann, muss die W keit für Anstrengung = 7 für jeden der anderen 6 Spieler so sein, dass p 6 = ½ also > 88% In diesem Fall ist E(7) = ½ x,00 + ½ x 0,8 =,40 = E() = x,40 Und damit der Spieler indifferent. Für jede subjektive W keit < 88% ist damit dominant. 76

77 Baseline Versuch 77

78 Die Koordination klappt, wenn man Kommunikation zulässt! 78

79 Wettbewerb und Information helfen auch Angewandte Spieltheorie 79

80 Fazit Die Gleichgewichtsauswahl zwischen Pareto- und risikodominanten Spielen hängt vor allem mit der Frage zusammen, ob Koordinationsmöglichkeiten existieren oder nicht. Information hilft Kleine Gruppen helfen Kommunikation hilft Wettbewerb hilft 80

81 Trembling Hand perfekte Gleichgewichte Weiteres Konzept zur Gleichgewichtsauswahl Grundidee: Beispiel: Angenommen, die Spieler können mit einer kleinen W keit Fehler machen, weil ihnen die Hand zittert. Ist ein Nash-Gleichgewicht auch dann noch eines, wenn dies mit berücksichtigt wird? Spieler B b b Spieler A a 0, 0 4,, 4 a 0,, 0 -, - Nash- Gleichgewichte 8

82 Sind die beiden GG auch Trembling-Hand-perfekt? Um das zu überprüfen muss für jede Strategie geprüft werden, ob sie THp ist: Dazu rechnet man die Erwartete Auszahlung unter der Voraussetzung aus, dass sich der andere Spieler mit kleiner W keit (ε) irrt. Beispiel: ε b sei die W keit dafür, dass Spieler B aus Versehen b als Antwort auf a spielt (anstatt die beste Antwort b ). Dann ist E[л A (a )] = ( ε b ) л A (a, b ) + ε b л A (a, b ) = ε b Die gleiche Prüfung für a ergibt: E[л A (a )] = ε b < E[л A (a )], da ε b < Damit ist a Trembling-Hand-perfekt. Gleiches Verfahren für alle anderen Strategien ergibt: b und b sind THp, aber a nicht. 8

83 Es gilt: Trembling-Hand und Dominanz Jede Strategie in einem THp Gleichgewicht ist nicht dominiert. Umkehrung gilt nicht! Nicht jedes Gleichgewicht, das man z.b. durch iterierte Elimination dominierter Strategien ermittelt ist auch THp! 83

84 3. Dynamische Spiele mit vollständiger Information 3. Dynamische Spiele mit vollständiger und perfekter Information dynamische Spiele Die Spieler entscheiden sequentiell. vollständige Information Die Präferenzen jedes Spielers bzgl. der möglichen Spielergebnisse sind common knowledge. perfekte Information Bei jedem Entscheidung kennt derjenige, der diese Entscheidung zu treffen hat, alle vorangegangenen Züge. 84

85 Dynamische Spiele lassen sich in extensiver Form darstellen. Definition 3.: Die extensive Form eines n-personen Spiels spezifiziert: a) zu welchem Zeitpunkt welcher Spieler am Zug ist b) den Payoff jedes Spielers für alle möglichen Kombinationen von Entscheidungszügen c) die Aktionen, welche dem ziehenden Spieler zur Verfügung stehen d) das Wissen, das der ziehende Spieler hat. 85

86 Spielbaum: Endknoten Aktion L Spieler Aktion R Entscheidungsknoten Spieler Spieler Aktion l Aktion r Aktion l Aktion r a b b c c a d d 86

87 Es existieren keine gemeinsamen Vorgänger. Spieler a b Spieler l Spieler r -3-87

88 Es existieren keine Zyklen. Spieler a b Spieler Spieler l l r Spieler 88

89 Definition 3.: Eine (reine) Strategie eines Spielers ist ein vollständiger Plan von Aktionen. Sie beschreibt eine Aktion des Spielers an jedem Entscheidungs-knoten, an dem der Spieler am Zug ist (Imperfekte Information: Sie beschreibt eine Aktion für jede Informationsmenge, an der der Spieler am Zug ist.) 89

90 Ein Beispiel Spieler Aktion L Aktion R Spieler Spieler Aktion l Aktion r Aktion l Aktion r a b b c c a d d Welche Strategien stehen Spieler und zur Verfügung? 90

91 Für Spieler existiert nur ein Entscheidungsknoten: Strategie des Spielers : Aktion L [ s = (L)] Strategie des Spielers : Aktion R [ s = (R)] Für Spieler existieren zwei Entscheidungsknoten: Strategie des Spielers : Aktion l, falls Spieler Aktion L, und Aktion l, falls Spieler Aktion R [ s = (l L, l R)] Strategie des Spielers : Aktion l, falls Spieler Aktion L, und Aktion r, falls Spieler Aktion R [ s = (l L, r R)] Strategie 3 des Spielers : Aktion r, falls Spieler Aktion L, und Aktion l, falls Spieler Aktion R [ s 3 = (r L, l R)] Strategie 4 des Spielers : Aktion r, falls Spieler Aktion L, und Aktion r, falls Spieler Aktion R [ s 4 = (r L, r R)] 9

92 Normalform des Spiels: Jede extensive Form lässt sich auch als Normalform schreiben Angewandte Spieltheorie s = (l L, l R) s = (l L, r R) s 3 = (r L, l R) s 4 = (r L, r R) s = (L) a a b b a a b b s = (R) c d c d c d c d 9

93 Beispiel: Markteintrittsspiel Neue Firma Kein Eintritt 0 kämpfe Eintritt Monopolist kämpfe nicht -3-93

94 Für die neue Firma existiert nur ein Entscheidungsknoten: Strategien der neuen Firma: s = (kein Eintritt) s = (Eintritt) Für den Monopolist existiert nur ein Entscheidungsknoten: Strategien des Monopolisten: s = (kämpfe bei Eintritt) s = (kämpfe nicht bei Eintritt) Nash-Gleichgewichte? 94

95 Die Normalform s M = (K E, K ke) s M = (K E, kk ke) s M 3 = (kk E, K ke) s M 4 = (kk E, kk ke) s E = (E) s E = (ke) Für die Auszahlungen ist nur relevant, ob M bei Eintritt kämpft oder nicht. Die Strategien und führen zum gleichen Spielausgang Die Strategien 3 und 4 auch. Deshalb können sie jeweils zusammengefasst werden Das führt zur reduzierten Form: 95

96 Reduzierte Form: Monopolist kämpfe bei Eintritt kämpfe nicht bei Eintritt neue Firma Kein Eintritt Eintritt Nash-Gleichgewichte: ( kein Eintritt, kämpfe bei Eintritt ) und ( Eintritt, kämpfe nicht bei Eintritt ) 96

97 Sind beide Nash-Gleichgewichte plausibel? Das Gleichgewicht (kein Eintritt, kämpfe bei Eintritt) beruht auf einer unglaubwürdigen Drohung. Alternatives Lösungskonzept: Prinzip der Rückwärtsinduktion - Monopolist: Wenn die neue Firma eintritt, ist es für mich optimal nicht zu kämpfen. - neue Firma: Wenn ich eintrete, wird der Monopolist nicht kämpfen. Also trete ich ein. 97

98 Ergebnis der Rückwärtsinduktion: ( Eintritt, kämpfe nicht bei Eintritt ) Rückwärtsinduktion: - schließt Gleichgewichte aus, die unglaubwürdige Drohungen enthalten - ist anwendbar auf dynamische Spiele mit perfekter Information 98

99 Beispiel: Spieler L R Spieler 3 Spieler l r a b Spieler 3 Spieler 3 l r l r

100 3. Teilspielperfektes Gleichgewicht Angewandte Spieltheorie Definition 3.3: Ein Teilspiel eines Spiels in extensiver Form: a) beginnt in einem Entscheidungsknoten k einer einelementigen Informationsmenge (der aber nicht identisch ist mit dem Anfangsentscheidungsknoten) b) beinhaltet alle Entscheidungs- und Endknoten des Spielbaums, die k folgen c) trennt keine nachfolgenden Informationsmengen (Erklärung folgt später). 00

101 Beispiel: Spieler l r Spieler Spieler R L R l a b b c c a d d 0

102 Definition 3.4: Ein Nash-Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn die Strategien der Spieler in jedem Teilspiel und in dem gesamten Spiel ein Nash-Gleichgewicht bilden (Selten 965). 0

103 Beispiel: Spieler L R Spieler Spieler l r l r

104 Analyse der Teilspiele mit Zermellos Algorithmus: Beginne mit den kleinsten Teilspielen und markiere die Entscheidungen, die dem Entscheider die höchste Auszahlung sichern Spieler Spieler l r l r

105 Spieler Teilspielperfektes Gleichgewicht: (R, (l L,r R)) beschreibt auch das Verhalten außerhalb des Gleichgewichtspfades Der Gleichgewichtspfad ist (R, r). L R Spieler Spieler l r l r

106 Gibt es noch andere Nash-Gleichgewichte? s = (l L, l R) s = (l L, r R) s 3 = (r L, l R) s 4 = (r L, r R) s = (L) s = (R) Neben dem (R, (l L, r R)) gibt es noch ein zweites Nash-Gleichgewicht (L, (l L, l R)). 06

107 Aber das Nash-Gleichgewicht (L, (l L, l R)) beinhaltet eine unglaubwürdige Drohung: Spieler L R Spieler Spieler l r l r

108 Für teilspielperfekte Gleichgewichte gilt: Sie lassen sich durch iterierte Eliminierung strikt dominierter Strategien ermitteln Bei schwacher Dominant kann es zur Pfadabhängigkeit kommen Genau wie bei statischen Spielen Nicht alle teilspielperfekten Gleichgewichte müssen auch Trembling-Hand perfekt sein Gilt auch für statische Spiele 08

109 Gleichgewichtsauswahl Bei Spielen, die in der Normalform mehrere Gleichgewichte aufweisen, kann es zu einer Auswahl bei sequentieller Spielweise kommen. Entscheidend ist dabei unter Umständen die Reihenfolge, in der Spieler entscheiden können. Beispiel Battle of the sexes: Mann Fußball Kino Frau Fußball, 3, Kino, 3, 09

110 First mover advantage der Frau: Frau Angewandte Spieltheorie Kino Fußball Mann Mann Kino Fußball Kino Fußball Wenn der Mann zuerst zieht, liegt der Vorteil bei ihm

111 Spiele mit einem second mover advantage Beispiel: Angenommen im BoS-Spiel wollte der Mann vermeiden etwas mit der Frau zusammen zu unternehmen. Die Frau sucht nach wie vor die Zweisamkeit. Zieht der Mann zuerst Frau kann ihm immer folgen und hat die höhere Auszahlung Zieht die Frau zuerst Mann kann ihr immer ausweichen!

112 Die Glaubwürdigkeit von Drohungen Drohungen sind nur dann glaubwürdig, wenn es im Interesse des Drohenden liegt, die Drohung im Fall der Fälle auch wahr zu machen. War z.b. im Markteintrittsspiel nicht gegeben. In diesem Spiel wäre der Monopolist besser dran, wenn es jemanden gäbe, der ihn dazu zwingen kann, den Eintretenden zu bestrafen. Kann er eine solche Situation herstellen, erreicht er eine Selbstbindung, die ihn dann letztlich vor Eintritt schützt. Aber: Selbstbindung muss wiederum glaubwürdig sein Manchmal hilft es, wenn man glaubwürdig signalisieren kann, dass man nicht rational ist! Rachsucht kann manchmal sehr vorteilhaft sein!

113 4. Sicherheitsniveaus und gemischte Strategien Riechmann Kap Maximin und Minimax Angewandte Spieltheorie Eine Maximin Strategie sichert dem Spieler die maximale Minimalauszahlung, d.h. der Gegenspieler kann den Spieler nicht unter die Auszahlung der Maximin Strategie drücken. Falls also Spieler A Anlass zu der Befürchtung hat, dass sein Gegenspieler B daran interessiert ist, die Auszahlung von A zu minimieren, sollte A seine Maximin Strategie wählen. Die Maximin Auszahlung m ist das Sicherheitsniveau des Spielers A. Eine Minimax Strategie sichert, dass die Maximalauszahlung, die der Gegenspieler erreichen kann, minimiert wird. Falls also B tatsächlich die Auszahlung von A minimieren will, sollte er seine Minimax Strategie spielen! Die entsprechende Auszahlung von A ist m 3

114 Beispiel Spieler B Spieler A b b b 3 a 6 0 a 0 3 a Spiel 4. Angeben sind die Auszahlungen von A Was ist die Minimax Strategie von B? Was ist die Maximin Strategie von A? Selbst überlegen! 4

115 4. Sattelpunkte Frage: kann gelten, dass m < m? In diesem Fall wäre das Sicherheitsniveau von A größer als seine Minimax Auszahlung. Dann könnte A eine Auszahlung sicherstellen, die größer ist als die maximale Auszahlung, die A erreichen kann, wenn B Minimax spielt. Offensichtlich ein Widerspruch Deshalb gilt immer: m m Im schlimmsten Fall kann damit B die Auszahlung von A auf dessen Sicherheitsniveau senken. Wenn das möglich ist, muss gelten m = m In diesem Fall ist m ein Sattelpunkt des Spiels 5

116 Beispiel Spieler B b b b 3 a 0 7 Spieler A a 4 3 a Auszahlungen an Spieler A Spiel 4. Dieses Spiel hat in a, b einen Sattelpunkt Wählt A a, kann die Auszahlung nicht unter fallen Bei jeder anderen Aktion wäre die Auszahlung kleiner, wenn B entsprechend reagiert Wählt B b, erreicht A maximal Bei jeder anderen Aktion wird A eine höhere Auszahlung erreichen 6

117 Sattelpunkte in Nullsummenspielen Warum sollte Spieler B versuchen, unbedingt die Auszahlung von A zu minimieren? Zum Beispiel, weil es sich um ein Nullsummenspiel handelt! Bei einem Nullsummenspiel addieren sich die Auszahlungen der Spieler immer zu Null. Je größer die Auszahlung des Einen, um so kleiner die des Anderen! Da lohnt es sich, Minimax zu spielen: Spieler B b b b 3 a 0, 0, - 7, -7 Spieler A a 4, -4, - 3, -3 a 3 9, -9 0, 0 0, 0 Spiel 4. als Nullsummenspiel 7

118 Spiel 4. als Nullsummenspiel Spieler B b b b 3 a,- 6, -6 0, 0 Spieler A a, - 0, 0 3, -3 a 3 3, -3, - 4, -4 Maximin aus der Sicht von A ist (sichergestellt durch Aktion a 3 ). Minimax aus der Sicht von B ist aber 3 (sichergestellt durch Wahl von b ). Auf den ersten Blick existiert damit in diesem Spiel kein Sattelpunkt! Wenn wir genau hinschauen, scheint auch kein Nash-Gleichgewicht zu existieren! Das Bild ändert sich vollständig, wenn wir den Spielern erlauben, ihre Strategien zu mischen! 8

119 4.3 Gemischte Strategien Eine reine Strategie (nur solche haben wir bisher betrachtet), sagt dem Spieler, welche Aktion er durchführen soll. Eine gemischte Strategie sagt dem Spieler, mit welcher Wahrscheinlichkeit er eine Aktion durchführen soll. Im Spiel 4. hat der Spieler A die Wahl zwischen 3 Aktionen (a, a, a 3 ). Eine gemischte Strategie des Spielers A ist ein Vektor mit drei Elementen, der die Wahrscheinlichkeiten angibt, mit denen die drei Aktionen gespielt werden: {p, p, p 3 } Frage: Kann A durch Mischen seiner Strategie ein höheres Sicherheitsniveau erreichen? 9

120 a wird von a 3 strikt dominiert Deshalb wird a niemals gespielt und erhält die Wahrscheinlichkeit 0. Die Auszahlung einer gemischten Strategie G an Spieler A berechnet sich wie folgt: E(л A (G, b )) = p + 3p 3 E(л A (G, b )) = 6p + p 3 E(л A (G, b 3 )) = 0p + 4p 3 (wenn B b spielt) (wenn B b spielt) (wenn B b 3 spielt) Da p + p 3 = gelten muss, können wir für p 3 auch r schreiben und für p : (-r). Dann erhalten wir drei Gleichungen in r: E (p) = E(л A (r, b )) = + r E (p) = E(л A (r, b )) = 6 4r E 3 (p) = E(л A (r, b 3 )) = 4r 0

121 E(p) Graphisch: E 3 E E p r r

122 Wenn wir unterstellen, dass Spieler B versucht, die Auszahlung von Spieler A zu minimieren, also seine Strategie so wählt, dass { E ( r ) E ( r ) E ( )} m( r) = min r b S B, Dann sollte A das Maximum der stückweise linearen Funktion seiner Maximin Auszahlungen suchen Das liegt im Schnittpunkt von E und E : + r* = 6 4r* r* = 5/6 r war die W keit, mit der a gespielt wird, d.h. die Maximin-Strategie von Spieler A ist damit gegeben durch {5/6, 0, /6} und seine Maximin- Auszahlung ist,666 Letztere erhält man, indem die erwarteten Auszahlungen berechnet und daraus das Minimum bestimmt wird (Folie 9) 3 3

123 Eigenschaften des Sicherheitsniveaus In Zwei-Personen-Nullsummenspielen gilt: Das Sicherheitsniveau des einen Spielers ist gleich dem Minimax aus Sicht es anderen Spielers, d.h. es gilt immer: m A = m B Deshalb ist das Sicherheitsniveau eines beliebigen Spielers immer ein Sattelpunkt. In jedem endlichen Nullsummenspiel mit perfekter Information existiert mindestens ein Sattelpunkt. Ein Sattelpunkt in einem Zwei-Personen-Nullsummenspiel ist immer ein Nash-Gleichgewicht. Folglich hat jedes Zwei-Personen-Nullsummenspiel mindestens ein Nash- Gleichgewicht! 3

124 4.4 Gemischte Strategien und Gleichgewichte in kompetitiven Spielen Streng kompetitive Spiele Dadurch definiert, dass jeder Anstieg des Payoffs eines Spielers mit einem Rückgang des Payoffs des anderen Spielers verbunden ist. Eignen sich besonders gut, um GG in gemischten Strategien einzuführen. Beispiel: Das Elfmeterspiel Zwei Spieler: T(orwart) und S(chütze) Je zwei Strategien L (l) und R (r) für links springen (schießen und rechts springen (schießen) Offensichtlich sind die Interessen streng kompetitiv Normalform: 4

125 Schütze Links schießen Rechts schießen Torwart Links springen Rechts springen 9,, 8 3, 7 8, Riechmann S. 89, Tabelle 6.5 Offensichtlich springt der Torwart lieber umsonst nach rechts und hält lieber links?! Man kann leicht sehen, dass kein Gleichgewicht in reinen Strategien existiert. Nicht verwunderlich, denn ganz offensichtlich ist es keine gute Strategie immer in die gleiche Ecke zu schießen bzw. zu springen! Also werden beide eine gemischte Strategie spielen, d.h. mit einer gewissen W keit links oder rechts wählen! 5

126 Aus der Sicht von T: Wähle die W keiten für L und R so, dass die erwartete Auszahlung für S minimal wird! Das maximiert zugleich die Auszahlung an T! p R = W keit für R und ( p R ) die für L dann ist E E ( π S ( l) ) = ( pr ) + 7 pr = + 6 pr ( π S () r ) = 8( pr ) + pr = 8 6 pr Die erwartete Auszahlung für S, wenn er nach links bzw. nach rechts schießt Es handelt sich dabei um lineare Funktionen in p R und die kann man zeichnen: 6

127 E *( π S ) E( π S ) E E ( π ( l) ) S ( π ( r) ) S Wenn * pr p R Dann kann S seine Auszahlung erhöhen, indem er häufiger nach links oder rechts schießt. Das bedeutet: Bei Wahl von p R * minimiert T die Auszahlung von S und maximiert damit die eigene. * p R p R 7

128 Die Wahl von p R * hat eine wichtige Konsequenz: Wenn T diese W keit wählt, ist S indifferent zwischen seinen beiden reinen Strategien. Das muss so sein, denn wäre es so, dass eine der reinen Strategien ein höhere erwartete Auszahlung verschafft als die andere, wäre p R nicht optimal gewählt. Beispiel: wenn es für S besser wäre, häufiger nach rechts zu schießen, dann kann T die Auszahlung von S reduzieren, wenn er häufiger nach rechts springt, also p R größer wählt! Damit können wir p R * dadurch berechnen, dass wir die erwarteten Auszahlungen aus den reinen Strategien gleich setzen: ( π ( l) ) = + 6 p = 8 6 p = E( π ( r) ) E S p p R * R = = 7 7 R R S 8

129 Für S kann man nun die gleiche Rechnung anstellen und erhält: p r * = ½ Frage: Bildet das Paar (p R *, p r *) ein Nash-Gleichgewicht? Aus der Sicht von S ist jede Antwort auf p R * eine beste Antwort, weil er indifferent zwischen seinen reinen Strategien und damit auch zwischen jeder Mischung der reinen Strategien ist. Also ist auch die Mischung p r * eine beste Antwort! Aus der Sicht von T ist jede Strategie (ob rein oder gemischt) beste Antwort auf p r * Also auch p R *! Damit ist die Bedingung für ein Nash-Gleichgewicht erfüllt! 9

130 4.5 Gleichgewichte in gemischten Strategien Gemischte Strategien spielen nicht nur bei kompetitiven Spielen eine Rolle. Beispiel: das Chicken-Game (zur Story vgl. Riechmann 3.6.) Ed Nicht bremsen Bremsen Mark Nicht bremsen 0, 0 3, Bremsen, 3, Gleichgewichte in reinen Strategien 30

131 Wie beim Elfmeter: Reine Strategien helfen hier nicht weiter Die Spieler werden mischen: Die Bedingung für die optimale gemischte Strategie ist die gleiche wie bei den kompetitiven Spielen: Suche die W keiten für die eigenen Strategien, bei denen der Gegner zwischen seinen reinen Strategien indifferent ist. Aus der Sicht von Mark: (p M ist die W keit dafür, dass Mark nicht bremst) * * 3 3pM = pm * pm = Da das Spiel symmetrisch ist, ist auch für Ed die optimale die W keit, mit der er nicht bremst = ½ Das Gleichgewicht ist also (½, ½ ) Mit W keit ¼ kracht es also ordentlich 3

132 5. Reaktionskurven und kontinuierliche Strategien 5. Reaktionskurven (Beste-Antwort-Korrespondenzen) Funktionen Ordnen jedem Element einer Menge ein Element einer anderen Menge zu Korrespondenzen Ordnen jedem Element einer Menge eine Menge zu (die auch aus mehr als einem Element bestehen kann) Beste-Antwort-Korrespondenz Ordnet jeder Strategie eines Spielers die besten Antworten des Gegenspielers zu (es kann davon mehrere geben, deshalb braucht man die Korrespondenz!) 3