3.5. Globale Beleuchtung in der Computergraphik

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1 Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 1 of 36

2 Grundlagen Einführung ur-informatische Anwendung von Modellierung und Simulation: Photorealismus als eines der großen Ziele der Computergraphik zahlreiche Beispiele von Modellen (Beschreibung von Objekten und Effekten) sowie Simulationen (effiziente graphische Darstellung): die Darstellung natürlicher Objekte (Berge, Bäume etc.) mittels Fraktalen oder Grammatikmodellen, die Darstellung natürlicher Effekte (Feuer, Nebel, Rauch, Faltenwurf von Stoffen etc.) mittels Partikelsystemen, die Abbildung biomechanischer Vorgänge (Dinosaurierbäuche und sonstige Schwabbelmassen ), die Beschreibung von Animation, Techniken zur globalen Beleuchtung dem Thema dieses Kapitels. Beleuchtung in der Computergraphik: lokale Beleuchtungsmodelle zur Beschreibung der Lichtverhältnisse an einem Punkt einer Szene (ambientes Licht, punktförmige Lichtquellen mit diffuser Reflexion und punktförmige Lichtquellen mit spiegelnder Reflexion), Modellierung der globalen Beleuchtung, also der Licht-Wechselwirkungen aller Objekte der Szene miteinander, zur Beschreibung der Gesamtsituation. Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 2 of 36

3 Globale Beleuchtung in der Computergraphik Verfahren zur globalen Beleuchtung gewissermaßen zwei große Antipoden: Ray-Tracing: perfekt fu r spiegelnde Reflexion, ungeeignet fu r diffuse Beleuchtung bzw. ambientes Licht Radiosity-Verfahren: perfekt fu r diffuse Beleuchtung, ungeeignet fu r spiegelnde Reflexion beide mit Problemen beim Photorealismus und bei Caustics (indirekte spiegelnde Beleuchtungen, etwa via Spiegel) zahlreiche Varianten und Kombinationen: Path-Tracing, Light oder Backward Ray-Tracing, Monte Carlo Ray-Tracing mit Photon Maps Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 3 of 36

4 Größen aus der Radiometrie Radiometrie: Lehre von der (physikalischen) Messung elektromagnetischer Energie Bezugsgröße: Oberfläche A in der darzustellenden bzw. zu beleuchtenden Szene x A: Punkt auf der betrachteten Oberfläche ω S 2 mit der Einheitssphäre S 2 bzw. ω H 2 mit der Einheitshemisphäre H 2 : Strahlrichtung Raumwinkel, gemessen über die Fläche auf der Oberfläche von H 2, maximal also 2π bzw. 2πsr mit der künstlichen Einheit Steradiant (sr) da θ = θ(x, ω): Winkel zwischen Flächennormale in x und Strahlrichtung ω L(x, ω) θ dω ω Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 4 of 36

5 Energiegrößen Radiant Energy Q: elektromagnetische Energie bzw. Lichtenergie (Einheit Joule) Radiant Flux Φ: Energiefluss, -eintritt oder -ausgang pro Zeit (Einheit Watt; üblicherweise wird nur der statische Fall betrachtet, und die Begriffe Radiant Energy und Radiant Flux werden dann oft synonym verwandt): Φ := Q t Radiance L(x, ω): Radiant Flux in einem infinitesimal dünnen Strahl bzw. pro Flächeneinheit da cos θ senkrecht zum Strahl und pro Raumwinkel dω in Strahlrichtung ω (Einheit W /m 2 sr) L i, L o, L r, L e: jeweils die eintreffende (in), ausgehende (out), reflektierte und emittierte Radiance Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 5 of 36

6 Energiegrößen (cont.) Irradiance E: auftreffender Radiant Flux pro Flächeneinheit (Einheit W /m 2 ; Summation bzw. Integration über alle eingehenden Richtungen ω i ): Z de := L i (x, ω i ) cos θ i dω i, E(x) := de H 2 Radiosity B: ausgehender Radiant Flux pro Flächeneinheit (Einheit ebenfalls W /m 2 ; Summation bzw. Integration nun über alle ausgehenden Richtungen ω o): Z db := L o(x, ω o) cos θ odω o, B(x) := db H 2 Radiant Intensity I: ausgehender Radiant Flux pro Raumwinkel, d. h. pro Richtung im Raum (Einheit W /sr; Summation bzw. Integration über alle Flächenelemente A, also über Ω := A): Z di := L o(x, ω o) cos θ oda, I(ω o) := di Ω Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 6 of 36

7 Energiegrößen (cont.) Querbeziehungen durch nochmalige Integration Z Z Z Z Φ o = I(ω o)dω o = B(x)dA = L o(x, ω o) cos θ odω oda, H 2 Ω Ω H Z Z Z 2 Φ i = E(x)dA = L i (x, ω i ) cos θ i dω i da. Ω Ω H 2 zwei wichtige Eigenschaften der Radiance: konstant entlang eines Strahls, solange dieser auf keine Oberfläche trifft ausschlaggebende Größe für die Antwort eines lichtempfindlichen Sensors (Kameras, Auge) Berücksichtigung der Frequenzabhängigkeit: via ein weiteres Integral über die Wellenlänge oder über den dreidimensionalen RGB-Vektor (R, G, B) für die Grundfarben Rot, Grün und Blau ein gängiges Farbmodell in der Computergraphik Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 7 of 36

8 Die Rendering-Gleichung BRDF und Reflectance-Gleichung Beschreibung der Reflexion über die so genannten Bidirectional Reflection Distribution Functions (BRDF) f r (x, ω i ω r ), die die Abhängigkeit des ausgehenden (reflektierten) Lichts von der einfallenden Lichtstärke angeben: dl r = f r (x, ω i ω r )de = f r (x, ω i ω r )L i (x, ω i ) cos θ i dω i Man beachte, dass die reflektierte Radiance mit der eingehenden Irradiance in Bezug gesetzt wird, nicht mit der eingehenden Radiance. BRDF i. A. anisotrop Reflectance-Gleichung (lokaler Zusammenhang zwischen einfallendem und reflektiertem Licht): Z L r (x, ω r ) = f r (x, ω i ω r )L i (x, ω i ) cos θ i dω i H 2 Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 8 of 36

9 Reflexion aus Komplexitätsgründen in der Praxis einfache (lokale) Reflexionsmodelle für die unterschiedlichen Klassen von BRDF: ideale spiegelnde Reflexion: einfallender Strahl wird in genau eine Richtung reflektiert, die Modellierung der BRDF erfolgt mit Hilfe Dirac scher δ-funktionen praktische spiegelnde Reflexion: Licht wird einer Verteilung gehorchend reflektiert, die sich stark um die ideale Reflexionsrichtung konzentriert Lambert sche oder diffuse Reflexion: reflektiert einfallendes Licht in alle Richtungen gleichmäßig ideal spiegelnd ideal diffus praktisch spiegelnd Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 9 of 36

10 Erste Form der Rendering-Gleichung lokaler Fall: eine Punktlichtquelle in x s habe Intensität I s Radiance L i in einem Punkt x der Szene bestimmt sich dann gemäß L i (x, ω) = j Is x x s 2 für ω = ω s := x x s, 0 sonst. Das Integral aus der Reflectance-Gleichung degeneriert dann zu dem Ausdruck (formal über einen Dirac-Stoß) L r (x, ω r ) = I s fr (x, ωs ωr ) cos θs, x x s 2 bzw. zu einer Summe über n solche Terme bei n Punktlichtquellen globaler Fall: erfordert die korrekte Wiedergabe des Wechselspiels der einzelnen Flächen, d. h. des Energietransports: Lichtquellen emittieren Strahlung, die in der Szene reflektiert, gebrochen oder absorbiert wird Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 10 of 36

11 Erste Form der Rendering-Gleichung (cont.) Berechnet werden muss nun die Lichtmenge, die schließlich das Auge oder die Kamera erreicht. Dazu muss für jedes Bildpixel die Radiance über die entsprechenden sichtbaren Flächen integriert werden. Der resultierende Radiant Flux definiert dann Helligkeit und Farbe des Pixels. Die Radiance, die einen Punkt x in Richtung ω o verlässt, setzt sich aus (selbst-) emittierter und reflektierter Radiance zusammen: L o(x, ω o) = L e(x, ω o) + L r (x, ω o) insgesamt ergibt sich die Rendering-Gleichung: Z L o(x, ω o) = L e(x, ω o) + f r (x, ω i ω o)l i (x, ω i ) cos θ i dω i H 2 Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 11 of 36

12 Zweite Form der Rendering-Gleichung weitere Umformung: Entfernen der Hemisphäre, Umstellen aller Energiegrößen auf die ausgehende Richtung dazu Einführung der Sichtbarkeitsfunktion V (x, y) := j 1 : x sieht y 0 : sonst (dabei x A x und y A y zwei Punkte auf zwei Oberflächen A x und A y der Szene) damit gilt L i (x, ω i ) = L o(y, ω i ) V (x, y) Um das Integrationsgebiet zu ändern, setzen wir dω i in Bezug zum Flächenstück da y, wo das Licht herkommt: dω i = cos θy day x y 2 Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 12 of 36

13 Zweite Form der Rendering-Gleichung (cont.) Mit der Definition G(x, y) := V (x, y) cos θ i cos θ y x y 2 erhält man dann die folgende zweite Form der Rendering-Gleichung: Z L o(x, ω o) = L e(x, ω o) + f r (x, ω i ω o)l o(y, ω i )G(x, y)da y Ω oder, mit dem Integraloperator Z (Tf )(x, ω o) := f r (x, ω i ω o)f (y, ω i )G(x, y)da y, Ω einfach L o = L e + TL o bzw. kurz L = L e + TL Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 13 of 36

14 Operatorschreibweise Der Lichttransportoperator T wandelt also die Radiance auf A y um in die Radiance auf A x (nach einer Reflexion). Rekursive Anwendung führt zu L = X T k L e, k=0 wobei L e für emittiertes Licht, TL e für direkte Beleuchtung und T k L e, k > 1, für indirekte Beleuchtung nach k 1 Reflexionen stehen. Zur Bestimmung der globalen Beleuchtung ist nun die Rendering-Gleichung in der Gestalt einer der Integralgleichungen, unser Modell, zu lösen die zugehörige Simulation. Damit befassen wir uns im nächsten Abschnitt. Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 14 of 36

15 Techniken zur Lösung der Rendering-Gleichung Typen von Licht-Interaktion Die meisten Verfahren lösen die Rendering-Gleichung näherungsweise Klassifikation anhand ihrer Mächtigkeit bei der Berücksichtigung verschiedener Typen von Licht-Interaktion (Folge von Reflexionen auf dem Weg von der Lichtquelle zum Auge). Optimales Verfahren muss alle Folgen mit Typ des regulären Ausdrucks L ( D S ) E berücksichtigen (Lichtquelle L, Auge E, diffuse und spiegelnde Reflexion D, S) Alle Fälle sind abgedeckt, auch bei Transparenz kann zwischen spiegelnder Transparenz (transparent, z. B. Glas) und diffuser Transparenz (translucent, z. B. Milchglas) unterschieden werden. Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 15 of 36

16 Typen von Licht-Interaktion (cont.) Folgende Beleuchtungstypen sind unterscheidpar (X ist Szenenpunkt) L X L ( D S ) + X L D + X L S + X direkte Beleuchtung, indirekte Beleuchtung, rein diffuse indirekte Beleuchtung, rein spiegelnde indirekte Beleuchtung. Da der letzte Fall besonders ätzend ist, werden solche Beleuchtungseffekte Caustics (griechisch Kaustikos, von Kaiein brennen) genannt. Auge Auge Abbildung: Lichtpfade: LDE, LDSE, LSSE und LDE, LE, LDDE, LSDE (von links nach rechts) Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 16 of 36

17 Ein Lösungsverfahren: Ray-Tracing ältestes und wohl einfachstes Verfahren zur globalen Beleuchtung Schattenwurf sowie ideale spiegelnde Reflexion und Brechung werden erfasst, diffuse Beleuchtung dagegen nicht algorithmische Grundlage: Strahlverfolgung verfolgt werden einzelne Lichtstrahlen, die von einem Betrachterstandpunkt ausgehen und beim ersten Treffer mit einem Objekt der Szene oder gegebenenfalls auch nie enden; Energie wird in Form von Radiance transportiert Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 17 of 36

18 Ray-Tracing: Grundablauf vom Betrachter aus wird durch jedes Bildpixel ein Strahl in die Szene geschossen (Primärstrahlen) trifft ein Strahl kein Objekt, erhält das Pixel die Hintergrundfarbe sonst starten vom nächstgelegenen Schnittpunkt x dreierlei Typen von Sekundärstrahlen: der perfekt reflektierte Strahl (nicht völlig mattes Material), der perfekt gebrochene Strahl (lichtdurchlässiges Material) sowie Schattenstrahlen zu allen Lichtquellen (jede Lichtquelle, die vom entsprechenden Schattenstrahl ohne Hindernis (Objekt in der Szene) erreicht wird, beleuchtet x direkt) die von x zum Beobachter ausgehende Radiance wird dann rekursiv ermittelt aus den von allen Sekundärstrahlen eingehenden Radiance-Werten, den jeweiligen Richtungen und der BRDF in x gemäß dem lokalen Beleuchtungsmodell; Rekursionsabbruch via maximale Rekursionstiefe oder Mindest-Radiance Berücksichtigung diffuser Reflexion durch konstanten Term für ambientes Licht Ray-Tracing gibt alle Pfade vom Typ L D S E wieder (das D ist deshalb erforderlich, weil die Schattenstrahlen von der Lichtquelle aus gesehen beliebige und von keiner Einfallsrichtung abhängende Richtungen annehmen können; Pfade vom Typ L S E können nicht dargestellt werden, da Lichtquellen nicht als Objekte behandelt werden und folglich nur von Schattenstrahlen getroffen werden können) Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 18 of 36

19 Ray-Tracing: Lösung Die Bestimmung der zum Beobachter ausgehenden Radiance in einem Schnittpunkt x erfolgt wie gesagt auf der Grundlage eines lokalen Beleuchtungsmodells. Beim ursprünglichen Ray-Tracing wurde die eintreffende Radiance einfach mit einem materialabhängigen Reflexions- bzw. Brechungs-Koeffizienten multipliziert, unabhängig von eintreffender oder ausgehender Richtung. Analog zur Rendering-Gleichung können wir die Funktion von Ray-Tracing jedoch auch in seiner allgemeinen Form beschreiben als L = L 0 + wobei L 0 den ambienten Term bezeichnet. X T0 k Le, Der Term L e entfällt, weil Punktlichtquellen nicht als emittierende Objekte behandelt werden. Im Gegensatz zu T ist T 0 kein Integral-, sondern ein einfacher Summenoperator, der über die drei Terme direkte Beleuchtung, reflektiertes Licht und gebrochenes Licht summiert. Aus der Sicht der zu lösenden Rendering-Gleichung betrachtet heißt das, dass wir anstelle des Integrals über alle eingehenden Richtungen ein paar fest vorgegebene Richtungen samplen, nämlich die perfekt reflektierte, die perfekt gebrochene und die zu den Lichtquellen führenden. k=1 Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 19 of 36

20 Das Radiosity-Verfahren Grundprinzip Radiosity ist sowohl der Name einer radiometrischen Größe als auch eines Verfahrens zur globalen Beleuchtung. Ausgangspunkt: durchschnittlich etwa 30% des Lichts in einer Szene, manchmal bis zu 80 %, stammen nicht unmittelbar von einer Lichtquelle Verzicht auf Spiegelungen, ausschließlich diffuse Flächen angenommen auch Lichtquellen als Objekte der Szene (Flächen) Somit hängen alle BRDF nicht von einer bestimmten Strahlrichtung ab, und man kann in der Rendering-Gleichung die BRDF vorziehen: Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 20 of 36

21 Grundprinzip (cont.) Z L o(x, ω o) = L e(x, ω o) + f r (x, ω i ω o)l o(y, ω i )G(x, y)da y Ω Z = L e(x, ω o) + f r (x)l o(y, ω i )G(x, y)da y Ω Z = L e(x, ω o) + f r (x) L o(y, ω i )G(x, y)da y. Ω Neuformulierung mittels B(x) liefert als Modell die Radiosity- Gleichung, eine Fredholm sche Integralgleichung zweiter Art: B(x) = B e(x) + ρ(x) Z π B(y)G(x, y)da y Ω Hierbei gilt für die Reflectance ρ(x) Z Z ρ(x) := f r (x) cos θ i dω i = f r (x) cos θ i dω i H 2 H 2 = π f r (x) Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 21 of 36

22 Diskretisierung der Radiosity-Gleichung Radiosity ist ansichtsunabhängig (Einmalberechnung für die gesamte Szene) Lösung der Radiosity-Gleichung mittels Diskretisierung (de facto Finite Elemente): überziehe alle Oberflächen der Szene mit einem Netz von ebenen Oberflächenstücken f i mit Flächeninhalt A i, 1 i n (keine Unterscheidung zwischen Lichtquellen und eigentlichen Objekten) Beschreibung des Lichttransports von f i nach f j mittels Formfaktoren F ij F ij gibt dabei den Anteil des Radiant Flux A i B i (der f i verlassende Flux) an, der bei f j ankommt: 0 F ij 1 (de facto eine Art Sichtbarkeitsfunktion) man erhält B i = B e,i + ρ i nx j=1 B j A j F ji A i 1 i n Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 22 of 36

23 Diskretisierung der Radiosity-Gleichung (cont.) die Symmetrie A i F ij = A j F ji führt zur diskreten Radiosity-Gleichung: nx B i = B e,i + ρ i B j F ij j=1 1 i n zwei wesentliche Hauptaufgaben: erstens Berechnung der Formfaktoren F ij zweitens numerische Lösung des resultierenden Systems linearer Gleichungen darstellbar sind nur Lichtpfade des Typs L D E der direkte Pfad L E ist möglich, da Lichtquellen und Oberflächen gleich behandelt werden Ergebnis: Radiosity-Werte aller (diskreten) Oberflächen f i wesentlicher Unterschied zum (ansichtsabhängigen) Ray-Tracing billige Generierung von Ansichten (Echtzeit-Flüge etc.) Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 23 of 36

24 Formfaktoren F ij hängen ausschließlich von der Geometrie der Szene ab können zu Beginn einmalig berechnet und gespeichert werden nochmals: F ij bezeichnet den Anteil der von f i ausgehenden Lichtenergie B i A i, der bei f j ankommt; es gilt F ij = 1 Z Z cos θ i (x i, x j ) cos θ j (x i, x j ) A i f i f j π r 2 V (x i, x j ) da j da i (x i, x j ) = 1 1 Z Z A i π G(x i, x j ) da j da i f i f j (θ i und θ j : Winkel zwischen der Verbindungsstrecke von x i nach x j und der Flächennormale n i von f i in x i bzw. n j von f j in x j ; r: Abstand von x i und x j ) Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 24 of 36

25 Formfaktoren F ij (cont.) n i f i r x j n j f j x i Abbildung: Flächenstücke f i und f j mit ausgezeichneten Punkten x i und x j, den Flächennormalen n i und n j sowie den Winkeln θ i bzw. θ j zwischen n i bzw. n j und der Strecke der Länge r von x i nach x j Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 25 of 36

26 Berechnung der Formfaktoren die Berechnung der Integrale ist im Allgemeinen sehr aufwändig effiziente Verfahren zur näherungsweisen Berechnung der Formfaktoren wichtig weit verbreitete Methode von Cohen und Greenberg Überlegung: exakte Berechnung des inneren Integrals über f j entspricht der Berechnung des Inhalts der Fläche f j, die aus einer Zentralprojektion von f j auf die x i f i umgebende Einheitshalbkugel (deren Basiskreis koplanar zu f i ist) und einer anschließenden orthogonalen Parallelprojektion auf den Basiskreis der Halbkugel entsteht deshalb: Halbkugel durch Halbwürfel ersetzen, dessen Oberfläche in quadratische Flächenelemente aufgeteilt ist Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 26 of 36

27 Berechnung der Formfaktoren (cont.) f j f j x i f i f j Abbildung: Berechnung der Formfaktoren über Projektionen Abbildung: Formfaktorenapproximation nach Cohen und Greenberg Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 27 of 36

28 Gleichungssystem zur Radiosity-Gleichung Insgesamt stellen die n Bilanzgleichungen ein lineares Gleichungssystem M B = E (1) dar, wobei B := (B 1,..., B n) T R n, E := (E 1,..., E n) T := (B e,1,..., B e,n) T R n n, M := (m ij ) 1 i,j n R n n, m ij := M = j 1 ρi F ii für i = j, ρ i F ij sonst, 0 1 ρ 1 F 11 ρ 1 F 12 ρ 1 F 13 1 ρ 2 F 21 1 ρ 2 F 22 ρ 2 F 23 B 3 F 31 ρ 3 F 32 1 ρ 3 F 33 C A Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 28 of 36

29 Gleichungssystem zur Radiosity-Gleichung (cont.) Die quadratische Matrix M ist dabei wegen 0 < ρ i < 1 und wegen P n j=1 F ij 1 für alle i = 1,..., n strikt diagonaldominant. Allerdings ist M nicht symmetrisch, was für eine Reihe iterativer Lösungsverfahren von Nachteil ist. Um mit einer symmetrischen Matrix arbeiten zu können, multiplizieren wir die Radiosity-Gleichung für f i mit dem Faktor A i /ρ i und betrachten weiterhin B i als Unbekannte, jetzt aber E i A i /ρ i als Komponenten der rechten Seite. Damit wird aus (1) M B = E, (2) wobei E := (E 1 A 1 /ρ 1,..., E n A n/ρ n) T und 0 ρ 1 1 A 1 A 1 F 11 A 1 F 12 A 1 F 13 A 2 F 21 ρ 1 2 M := A 2 A 2 F 22 A 2 F 23 B A 3 F 31 A 3 F 32 ρ 3 A 3 A 3 F C A. Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 29 of 36

30 Lösung des Gleichungssystems M ist wieder strikt diagonaldominant und wegen der Symmetriebedingung A i F ij = A j F ji auch symmetrisch, folglich also positiv definit. Sowohl M als auch M sind in der Regel schwach besetzt, da in durchschnittlichen Szenen mit sehr vielen Flächenstücken Licht von einer Fläche f i nur zu wenigen anderen Flächen f j gelangt. Die F ii, 1 i n, verschwinden nicht immer ganz. Bei einer konkaven Fläche f i etwa kommt auch von f i auf direktem Wege Licht zu f i. Zur Lösung bieten sich iterative Verfahren wie die Gauß-Seidel- oder die Jacobi-Iteration an. Da die Matrix M strikt diagonaldominant ist, konvergieren beide Iterationsverfahren. Als Startwert wird dabei R (0) := E gewählt. Die Jacobi-Iteration gestattet hierbei eine interessante Deutung: Als Startwert dient allein das emittierte Licht, nach dem ersten Iterationsschritt ist auch das einfach reflektierte Licht berücksichtigt, der zweite Iterationsschritt bringt das zweifach reflektierte Licht ins Spiel usw. Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 30 of 36

31 Lösung des Gleichungssystems (cont.) Schema der Jacobi-Iteration bei s Iterationsschritten: it = 1,2,..., s: i = 1,2,..., n: S i := E i + ρ i P B j F ij /`1 ρ i F ii ; j i i = 1,2,..., n: B i := S i ; Die Bildqualität steigt mit der Anzahl s der berücksichtigten Interreflexionsstufen, allerdings gilt dies auch für den Berechnungsaufwand, der von der Ordnung O(n 2 s) ist. Das Gleichungssystem muss für jede Wellenlänge λ bzw. jedes Teilband (jeden Bereich [λ i, λ i+1 ], i = 0,..., n 1) von Wellenlängen getrennt aufgestellt und gelöst werden, da im Gegensatz zu den Formfaktoren F ij sowohl ρ i als auch E i als Materialparameter von der Wellenlänge λ des Lichts abhängen. Zumindest müssen Radiosity-Werte für die drei (Bildschirm-) Grundfarben Rot, Blau und Grün berechnet werden. Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 31 of 36

32 Verbesserungsmöglichkeiten Kopplung mit anderen Verfahren Bisher wurden für jedes Flächenstück f i Radiosity-Werte ermittelt. Will man nun die Resultate des Radiosity-Verfahrens mit einem interpolierenden Schattierungsverfahren wie etwa der Gouraud-Schattierung koppeln, dann werden Radiosity-Werte in den Knoten der polygonalen Oberflächen benötigt. Die übliche Vorgehensweise zur Bestimmung solcher Größen ist dabei, durch geeignete Mittelung der Radiosity-Werte angrenzender Patches zu Radiosity-Werten in den Knoten zu gelangen und diese Größen dann entsprechend dem Schattierungsverfahren zu interpolieren. Effiziente Implementierung Bisher wurden für jedes Flächenstück f i Radiosity-Werte ermittelt. Das hier vorgestellte klassische Radiosity-Verfahren stellt sehr hohe Anforderungen an Rechenzeit und Speicherplatzbedarf Schon bei einer Szene mit Flächenstücken sind fünfzig Millionen Formfaktoren zu berechnen. Jeweils for der nächsten Ausgabe muss immer ein vollständiger Gauß-Seidelbzw. Jacobi-Schritt abgewartet werden. Im Folgenden werden zwei Lösungsansätze vorgestellt Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 32 of 36

33 Schrittweise Verfeinerung Kehrt die bisherige Vorgehensweise um Bisher wurden in jedem Iterationsschritt die Beiträge aus der Umgebung einer Fläche f i aufgesammelt (Gathering) und so zu einer Aktualisierung von R i verwendet. Jetzt werden dagegen die Flächen f i sukzessive so behandelt, dass ihre ausgehende Lichtenergie in die Umgebung ausgesendet wird (Shooting). Statt in Schritt i die Beiträge ρ i B j F ij aller f 1 ρ i F j, j i, zu B i aufzusummieren, werden ii jetzt also umgekehrt die Beiträge von f i zu allen B j, j i, berücksichtigt: ρ j B i F ji 1 ρ j F jj = ρ j B i F ij A i /A j 1 ρ j F jj. Hierbei ist B i die seit dem letzten Aussenden von B i neu akkumulierte Radiosity von f i. Zu Beginn werden die B i bzw. B i jeweils mit E i vorbesetzt. Dann wird immer die Lichtmenge derjenigen Fläche f i ausgesendet, für die der Wert B i A i maximal ist. Damit ist die schrittweise, inkrementelle Berechnung der Radiosity-Werte möglich: Zunächst werden die Flächen großer Radiosity (vor allem Lichtquellen) behandelt, wodurch sich schon eine gute Näherung für das beleuchtete Bild ergibt. Die Iteration wird abgebrochen, wenn B i A i für alle i unter eine vorgegebene Schranke ε fällt. Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 33 of 36

34 Schrittweise Verfeinerung: Algorithmus Flächen f j : begin B j := E j ; B j := E j ; end while ` B j A j < ε j : begin bestimme i : B i A i B j A j j; Flächen f j f i : begin Beitrag := ρ j B i F ij A i /`A j (1 ρ j F jj ) ; B j := B j + Beitrag; B j := B j + Beitrag; end B i := 0; end; Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 34 of 36

35 Adaptive Unterteilung (rekursive Substrukturierung) Ermöglicht es, mit wenigen Flächen zu beginnen und dann nur dort, wo sich die berechneten Radiosity-Werte auf benachbarten Flächenstücken stark unterscheiden, die Flächen weiter zu unterteilen. An den Stellen, wo feiner aufgelöst wird, müssen dann auch die Formfaktoren neu berechnet werden. Diese adaptive Vorgehensweise ermöglicht die Konzentration des Aufwands auf Bereiche, wo eine hohe Auflösung (d. h. viele Flächenstücke) für eine ansprechende Bildqualität auch erforderlich ist. Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 35 of 36

36 Zusammenfassung Das Radiosity-Verfahren ist eine zwar sehr rechenzeitintensive, aber für photorealistische Bilder geeignete Methode zur Modellierung von diffusem Licht. Die erzeugten Bilder sind hinsichtlich der Beleuchtung ansichtsunabhängig diffuses Licht ist nicht gerichtet. Dadurch ist das Verfahren auch sehr gut für interaktive und animierte Anwendungen mit wechselnder Perspektive geeignet (virtuell in Gebäuden gehen, durch Städte fahren oder fliegen etc.). Von Nachteil ist allerdings, dass richtungsabhängige Beleuchtungseigenschaften wie Glanzlicht zunächst nicht realisiert werden können. Es gibt jedoch Erweiterungen des Radiosity-Verfahrens, die zusätzlich die Berücksichtigung spiegelnder Reflexion gestatten. Außerdem wurde auch der kombinierte Einsatz von Ray-Tracing und Radiosity untersucht. Diese Ansätze beruhen auf zwei getrennten Durchläufen zur Wiedergabe der Szene, einem ersten ansichtsunabhängigen (Radiosity) und einem zweiten ansichtsabhängigen Durchgang (Ray-Tracing). Ohne hier auf Details eingehen zu wollen, sei jedoch darauf hingewiesen, dass die einfache Addition der sich aus den beiden Durchläufen ergebenden Intensitätswerte in den Pixeln zur Realisierung der gewünschten Kombination von Ray-Tracing und Radiosity nicht ausreicht. Modellbildung und Simulation, H.-J. Bungartz page 36 of 36