Kapitel 3. Interpolation und Approximation I. Inhalt: 3.1 Polynominterpolation 3.2 Extrapolation zum Limes 3.3 Gauß-Approximation

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1 Kapitel 3. Interpolation und Approximation I Inhalt: 3.1 Polynominterpolation 3.2 Extrapolation zum Limes 3.3 Gauß-Approximation Numerische Mathematik I 86

2 Allgemeine Problemstellung I. Gegeben ist eine Messreihe von Daten (x j,y j ), j = 0,...,n. Man bestimme eine einfache Funktion u : [a,b] R mit Interpolation: u(x j ) = y j für j = 0,...,n (siehe Abschnitte 3.1, 7.1, 7.2) Approximation: u(x j ) y j für j = 0,...,n (siehe Abschnitte 6.1, 7.3) II. Gegeben ist eine Funktion f : [a,b] R. Man bestimme eine einfache Funktion u : [a,b] R, Interpolation: die zu gegebenen Argumenten x j, j = 0,...,n, die Funktionswerte u(x j ) = f(x j ) besitzt (siehe Abschnitte 3.1, 7.1, 7.2) Approximation: für die f u möglichst klein ist, wobei. eine Norm auf C[a,b] ist. (siehe Abschnitte 3.3, 7.3) Als einfach bezeichnet man z.b. Polynome, rationale Funktionen oder trigonometrische Polynome. Numerische Mathematik I 87

3 Matlab/Octave: Interpolation von 4 Messwerten durch ein kubisches Polynom x=[0,1,2,3]; y=[1,-1,1,-1]; % oder y=cos(pi*x) c=polyfit(x,y,3); % kubisches Interpolationspolynom xx=linspace(0,3,101); plot(x,y, o ); hold on plot(xx,polyval(c,xx)); Approximation der Bevölkerungszahl der USA : load census; % laedt cdate und pop c=polyfit(cdate,pop,2); % quadratisches Ausgleichspolynom xx=linspace(1790,1990,101); plot(cdate,pop, o ); hold on plot(xx,polyval(c,xx)); Numerische Mathematik I 88

4 Polynominterpolation Vektorraum der Polynome vom Höchstgrad n 3.1 Polynominterpolation Vektorraum der Polynome vom Höchstgrad n Für n N 0 ist P n = {p : R R p(x) = a 0 +a 1 x + +a n x n, a j R} der Vektorraum der Polynome mit Grad(p) n. Es gilt dim(p n ) = n+1, und die Monome e j : R R mit e j (x) = x j, j = 0,...,n, sind eine Basis von P n. Bemerkung: Mit Polynomen kann man auf einem kompakten Intervall jede stetige Funktion beliebig genau annähern: Satz von Weierstrass Es sei I ein kompaktes Intervall und f C(I). Dann gibt es zu jedem ε > 0 ein Polynom p (mit Grad(p) abhängig von ε), so dass f p := max f(x) p(x) < ε. x I Numerische Mathematik I 89

5 Polynominterpolation Erinnerung: Horner-Schema Erinnerung: Horner-Schema Zur Berechnung von p(x) = a 0 +a 1 x + +a n x n = a 0 +x (a 1 +x (a 2 + +x (a n 1 +xa n ) )) verwendet man das Horner-Schema aus Kapitel 1: Eingabe: a (0) k = a k, k = 0,...,n, und Stelle ξ Setze a (1) n = a (0) n. Berechne für k = n 1,...,0 Ergebnis: p(ξ) = a (1) 0 a (1) k = a (0) k +ξa (1) k+1. Rechenaufwand: n Multiplikationen/Additionen Numerische Mathematik I 90

6 Polynominterpolation Erinnerung: vollständiges Horner-Schema Erinnerung: vollständiges Horner-Schema Zur Berechnung der Taylor-Entwicklung von p(x) = a 0 +a 1 x + +a n x n = b 0 +b 1 (x ξ)+ b n (x ξ) n an der Stelle ξ verwendet man das vollständige Horner-Schema von Übungsblatt 1: Eingabe: a (0) k = a k für k = 0,...,n, und Stelle ξ Für j = 0,...,n 1, setze a n (j+1) = a n (j), berechne für k = n 1,...,j Ergebnis: b j = a (j) j a (j+1) k = a (j) k +ξa (j+1) k+1. Rechenaufwand: n(n + 1)/2 Multiplikationen/Additionen Numerische Mathematik I 91

7 Polynominterpolation Definition: Interpolationspolynom Definition: Interpolationspolynom Gegeben seien Punkte (x j,y j ) R 2, j = 0,...,n, mit paarweise verschiedenen x j R. Die Zahlen x j heißen die Stützstellen (oder Knoten) der Lagrange-Interpolation. Die Zahlen y j heißen die Daten (oder Knotenwerte). Ein Polynom p P n mit p(x j ) = y j für alle j = 0,...,n heißt Interpolationspolynom Hauptsatz: Die Lagrange-Interpolationsaufgabe ist eindeutig lösbar. D.h. zu paarweise verschiedenen Stützstellen x j R, j = 0,...,n, und beliebigen Daten y j R existiert genau ein Polynom p P n mit p(x j ) = y j für alle j = 0,...,n. Numerische Mathematik I 92

8 Polynominterpolation Das Interpolationspolynom in der Monombasis 4 Varianten zur Darstellung/Berechnung des Interpolationspolynoms p P n liefern jeweils unterschiedliche Beweise von Satz Das Interpolationspolynom in der Monombasis Zu paarweise verschiedenen Stützstellen x j R, j = 0,...,n, und beliebigen Daten y j R ist das Interpolationspolynom gegeben durch p(x) = n k=0 a kx k, wobei der Koeffizientenvektor (a 0,a 1,...,a n ) T R n+1 die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems 1 x 0 x0 2 x0 n y 0 1 x 1 x1 2 x n 1 M a = y, M =., y = y 1. 1 x n x 2 n x n n y n ist. Die Matrix M ist regulär und hat die Vandermonde-Determinante detm = (x j x i ). 0 i<j n Numerische Mathematik I 93

9 Polynominterpolation Das Interpolationspolynom in der Monombasis Beweis: Der Determinanten-Multiplikationssatz ergibt 1 1 x 0 x0 2 x n 0 1 x x 1 x1 2 x n 1. det M = det x x n xn 2 xn n 1 }{{} x 1 x 0 x 1 (x 1 x 0 ) x n 1 1 (x 1 x 0 ) =. 1 x n x 0 x n(x n x 0 ) xn n 1 (x n x 0 ) x 1 x 0 x 1 (x 1 x 0 ) x n 1 1 (x 1 x 0 ) n = det = (x j x 0 ) det M,. j=1 0 x n x 0 x n(x n x 0 ) xn n 1 (x n x 0 ) wobei M die Vandermonde-Matrix zu den Knoten x1,...,x n ist. Das Herausziehen des Produktes erfolgt mit der Linearität von deta bezüglich jeder Zeile von A. Die Aussage des Satzes folgt per Induktion. Numerische Mathematik I 94

10 Polynominterpolation Das Interpolationspolynom in der Lagrange-Basis Das Interpolationspolynom in der Lagrange-Basis Zu n+1 paarweise verschiedenen Stützstellen x j R, j = 0,...,n, definieren wir die Lagrange-Grundpolynome L n,k (x) = n j=0 j k x x j x k x j P n, k = 0,...,n. Die Lagrange-Grundpolynome {L n,k : k = 0,...,n} bilden eine Basis von P n. Es gilt L n,k (x j ) = { 1, j = k 0, j k Das Interpolationspolynom zu den Stützstellen x j, j = 0,...,n, und Daten y j R ist n p(x) = y k L n,k (x). k=0 Numerische Mathematik I 95

11 Polynominterpolation Bemerkung: Bemerkung: (i) Mit dem Ansatz p(x) = n k=0 c kl n,k (x) ergeben die Interpolationsbedingungen das lineare Gleichungssystem A c = y, A = ( L n,k (x j ) ) j,k=0,...,n = I, dessen Lösung c = y sofort abzulesen ist. (ii) Kurz-Schreibweise für die Lagrange-Grundpolynome: mit Hilfe des Knotenpolynoms ist L n,k (x) = w(x) = n (x x j ) P n+1 j=0 w(x) (x x k )w (x k ), k = 0,...,n. (iii) Der Nachteil der Lagrange-Darstellung des Interpolationspolynoms p P n ist, dass bei Hinzunahme eines weiteren Stützpunktes (x n+1,y n+1 ) oder bei der Änderung eines Stützpunktes (x j,y j ) die Basisfunktionen L n,k sich völlig ändern. Deshalb ist diese Darstellung des Interpolationspolynoms für die meisten praktischen Zwecke zu aufwändig. Numerische Mathematik I 96

12 Polynominterpolation Das Interpolationspolynom in der Newton-Basis Das Interpolationspolynom in der Newton-Basis Zu n+1 paarweise verschiedenen Stützstellen x j R, j = 0,...,n, definieren wir die Newton-Grundpolynome k 1 N 0 (x) = 1; N k (x) = (x x j ) P k, k = 1,...,n. j=0 Die Newton-Grundpolynome {N k : k = 0,...,n} bilden eine Basis von P n. Es gilt N k (x j ) = 0 für k > j. Das Interpolationspolynom zu den Stützstellen x j, j = 0,...,n, und Daten y j R ist n p(x) = y[x 0,...,x k ]N k (x), k=0 wobei y[x 0,...,x k ] die k-te dividierte Differenz zu den Punkten (x j,y j ), j = 0,...,n, bezeichnet. Numerische Mathematik I 97

13 Polynominterpolation Bemerkung: Bemerkung: (i) Mit dem Ansatz p(x) = n k=0 c kn k (x) ergeben die Interpolationsbedingungen das lineare Gleichungssystem A c = y, A = ( N k (x j ) ) j,k=0,...,n ; die Matrix A ist eine untere Dreiecksmatrix, das Auflösen kann also durch Vorwärtseinsetzen erfolgen. Die dividierten Differenzen bilden einen numerisch stabileren Algorithmus zur Lösung. (ii) In der Newton-Darstellung ist die Teilsumme p 0,m (x) = m y[x 0,...,x k ]N k (x) P m, 0 m n, k=0 das Interpolationspolynom zu den Daten (x 0,y 0 ),...,(x m,y m). Deshalb kann auch ein weiterer Punkt (x n+1,y n+1 ) leicht hinzugenommen werden: das neue Interpolationspolynom p 0,n+1 ergibt sich als p 0,n+1 (x) = p 0,n (x)+y[x 0,...,x n+1 ]N n+1 (x). (iii) Die dividierte Differenz y[x 0,...,x n] ist der Höchstkoeffizient des Interpolationspolynoms in der Monom-Darstellung: p(x) = a a n 1 x n 1 +a nx n mit a n = y[x 0,...,x n]. Numerische Mathematik I 98

14 Polynominterpolation Definition: dividierte Differenzen Definition: dividierte Differenzen Zu n+1 paarweise verschiedenen Stützstellen x j R, j = 0,...,n, und Daten y j sind die dividierten Differenzen rekursiv definiert durch Ordnung k = 0: Ordnung 1 k n: y[x j ] = y j, j = 0,...,n, y[x j,...,x j+k ] = y[x j+1,...,x j+k ] y[x j,...,x j+k 1 ], j = 0,...,n k. x j+k x j Berechnungs-Schema: x n x 0 x 2 x 0 x 1 x 0 x 0 y 0 y[x 0,x 1 ] y[x 0,x 1,x 2 ] y[x 0,...,x n] x 3 x 1 x 2 x 1 x 1 y 1 y[x 1,x 2 ] y[x 1,x 2,x 3 ].... x n x n 1 x n 1 y n 1 y[x n 1,x n] x n y n Numerische Mathematik I 99

15 Polynominterpolation Lemma (zur Newton-Darstellung des Interpolationspolynoms): Lemma (zur Newton-Darstellung des Interpolationspolynoms): Es seien n+1 paarweise verschiedene Stützstellen x j R, j = 0,...,n, und Daten y j R gegeben. Mit p j,j+k P k, 0 k n, 0 j n k bezeichnen wir das Interpolationspolynom zu den Punkten. Dann gilt (x j,y j ),...,(x j+k,y j+k ) p j,j+k (x) = y[x j ]+y[x j,x j+1 ](x x j )+ + y[x j,...,x j+k ](x x j ) (x x j+k 1 ). Numerische Mathematik I 100

16 Polynominterpolation Lemma (zur Newton-Darstellung des Interpolationspolynoms): Beweis: Induktion nach k: Für k = 0 und 0 j n ist p j,j (x) = y j = y[x j ] das konstante Interpolationspolynom zum Punkt (x j, y j ). Sei k 1 und 0 j n k. Nach Induktionsannahme interpoliert p j,j+k 1 (x) = y[x j ] + + y[x j,..., x j+k 1 ](x x j ) (x x j+k 2 ) P k 1 die Punkte (x j, y j ),...,(x j+k 1, y j+k 1 ), und ebenso interpoliert p j+1,j+k (x) = y[x j+1 ] + + y[x j+1,...,x j+k ](x x j+1 ) (x x j+k 1 ) P k 1 die Punkte (x j+1,y j+1 ),..., (x j+k,y j+k ). Deshalb interpoliert q(x) = (x x j )p j+1,j+k (x) + (x j+k x)p j,j+k 1 (x) x j+k x j die Punkte (x j, y j ),...,(x j+k,y j+k ), ist also das gesuchte Interpolationspolynom p j,j+k. Der Höchstkoeffizient von q (also der Vorfaktor von x k ) berechnet sich aus den Höchstkoeffizienten von p j,j+k 1 und p j+1,j+k, a := HK(q) = y[x j+1,..., x j+k ] y[x j,..., x j+k 1 ] x j+k x j = y[x j,...,x j+k ]. Andererseits gilt (durch Hinzunahme des Punktes (x j+k,y j+k ) zu p j,j+k 1, siehe Bemerkung (ii)) q(x) = p j,j+k (x) = p j,j+k 1 (x) + a(x x j ) (x x j+k 1 ). Damit hat p j,j+k die behauptete Form. Numerische Mathematik I 101

17 Polynominterpolation Bemerkung: Bemerkung: (i) Die dividierte Differenz y[x 0,...,x n ] ist der Höchstkoeffizient des Interpolationspolynoms p P n zu den Punkten (x 0,y 0 ),...,(x n,y n ). (ii) Die dividierte Differenz y[x 0,...,x n ] ist invariant gegenüber einer Index-Permutation in der Aufzählung der Punkte (x 0,y 0 ),...,(x n,y n ). Insbesondere brauchen die Stützstellen x j nicht sortiert vorzuliegen. (iii) Bei Hinzunahme eines Punktes (x n+1,y n+1 ) wird das Schema der dividierten Differenzen unten um eine Diagonale ergänzt. Numerische Mathematik I 102

18 Polynominterpolation Das Interpolationspolynom in der Neville-Aitken-Form Zur Auswertung des Interpolationspolynoms an einer Stelle ξ R eignet sich die Rekursion im Beweis von Lemma Das Interpolationspolynom in der Neville-Aitken-Form Zu n+1 paarweise verschiedenen Stützstellen x j R, j = 0,...,n, und Daten y j berechnet man den Wert p(ξ) = p 0,n (ξ) des Interpolationspolynoms rekursiv gemäß k = 0: p j,j (ξ) = y j für j = 0,...,n, 1 k n: p j,j+k (ξ) = p j,j+k 1 (ξ)+(ξ x j ) p j+1,j+k(ξ) p j,j+k 1 (ξ) x j+k x j für j = 0,...,n k. Schema: x 0 y 0 p 0,1 (ξ) p 0,2 (ξ) p 0,3 (ξ)... p 0,n 1 (ξ) p 0,n (ξ) x 1 y 1 p 1,2 (ξ) p 1,3 (ξ) p 1,4 (ξ)... p 1,n (ξ) x 2 y 2 p 2,3 (ξ) p 2,4 (ξ) p 2,5 (ξ) x n 1 y n 1 p n 1,n (ξ) x n y n.. Numerische Mathematik I 103

19 Polynominterpolation Das Interpolationspolynom in der Neville-Aitken-Form Erweiterte Problemstellung: Gegeben sei eine Funktion f C n+1 [a,b]. Zu paarweise verschiedenen Stützstellen x j [a,b] werden die Daten y j = f(x j ) dem Graphen von f entnommen. conv(x 0,...,x n ) bezeichnet das kleinste Intervall, das alle x j, j = 0,...,n, enthält, also die konvexe Hülle der Menge {x 0,...,x n }). Vergleich von f(x) = log 10 (x) auf [a,b] = [1,10] (schwarz) und dem quadratischen Interpolationspolynom zu den Stützstellen x j = 1,5,10 (cyan) Numerische Mathematik I 104

20 Polynominterpolation Satz: Interpolationsfehler Satz: Interpolationsfehler Es seien f : [a,b] R und paarweise verschiedene Stützstellen x 0,...,x n [a,b] gegeben. p P n sei das Interpolationspolynom zu den Punkten (x j,f(x j )), j = 0,...,n. Weiter sei x [a,b]. Dann ist der Interpolationsfehler f(x) p(x) gegeben in Newton-Form n f(x) p(x) = f[x 0,...,x n,x] (x x j ), j=0 mit der dividierten Differenz zu den Punkten (x 0,f(x 0 )),...,(x n,f(x n )),(x,f(x)), bzw. in Lagrange-Form f(x) p(x) = f (n+1) (ξ x ) (n+1)! n (x x j ), mit einem ξ x conv(x 0,...,x n,x), falls f C n+1 [a,b] gilt. j=0 Numerische Mathematik I 105

21 Polynominterpolation Folgerung: Die dividierte Differenz f[x 0,...,x n ] zu den Punkten (x 0,f(x 0 )),...,(x n,f(x n )) besitzt zwei interessante Darstellungen Folgerung: Es seien n N 0, f C n [a,b] und x j [a,b], j = 0,...,n, (paarweise verschiedene) Stützstellen. a) Es existiert ξ conv(x 0,...,x n ) mit f[x 0,...,x n ] = f (n) (ξ). n! b) Für n 1 gilt f[x 0,...,x n ] = 1 t tn 1 f (n) (x 0 +t 1 (x 1 x 0 )+...+t n (x n x n 1 ))dt n dt 2 dt 1. Numerische Mathematik I 106

22 Polynominterpolation Folgerung: Beachte: 1 t1 tn 1 dt n dt 2 dt 1 = vol(standard-simplex im R n ) = 1/n! Im Beweis von b) führt man die innere Integration aus: 1 t1 tn 1 (x n x n 1 ) f (n) (x 0 +t 1 (x 1 x 0 )+...+t n(x n x n 1 ))dt n dt 2 dt 1 = t1 tn 2 ( f (n 1) (x 0 +t 1 (x 1 x 0 )+...+t n 1 (x n x n 2 )) ) f (n 1) (x 0 +t 1 (x 1 x 0 )+...+t n 1 (x n 1 x n 2 )) dt n 1 dt 2 dt 1 = f[x 0,x 1,...,x n 2,x n] f[x 0,x 1,...,x n 2,x n 1 ] = f[x 0,x 1,...,x n 2,x n] f[x n 1,x 0,x 1,...,x n 2 ] nach Ind.-Annahme Vertauschung der Stützstellen Numerische Mathematik I 107

23 Polynominterpolation Bemerkung: Bemerkung: Die Definition der dividierten Differenz von f C n [a,b] für zusammenfallende Knoten geschieht mittels sogenannter Konfluenz : für zusammenfallende Knoten x 0 = x 1 ist f(x 0 +h) f(x 0 ) f[x 0,x 0 ] = lim f[x 0,x 0 +h] = lim = f (x 0 ). h 0 h 0 h Die Integraldarstellung bleibt in diesem Fall gültig, 1 1 f[x 0,x 0 ] = f (x 0 ) = f (x 0 +t(x 0 x 0 ))dt = f (x 0 )dt. 0 0 Bei mehrfacher Wiederholung der Stützstelle x j = = x j+k ist f[x j,...,x j ] = f (k) (x j ) 1 = }{{} j! 0 (k+1) mal t1 0 tk 1 f (k) (x j )dt k dt 2 dt 1. 0 Sind die Stützstellen x 0 x 1 x n angeordnet, so werden im Schema die nicht-existierenden Quotienten (Teilen durch Null) durch die entsprechenden Ableitungsterme ersetzt. Dadurch bleibt die rekursive Berechnung von f[x 0,...,x n] gültig, auch wenn Stützstellen zusammenfallen. Numerische Mathematik I 108

24 Polynominterpolation Hermite-Interpolation Für mehrfache Stützstellen stellt sich eine modifizierte Interpolationsaufgabe Hermite-Interpolation Es seien x 0,...,x m R paarweise verschieden, µ 0,...,µ m N 0 und Daten y (k) j, j = 0,...,m, k = 0,...,µ j gegeben. Weiter sei n = Ein Polynom p P n mit m (1+µ j ) 1. j=0 p (k) (x j ) = y (k) j für alle j = 0,...,m, k = 0,...,µ j, heißt Hermite-Interpolationspolynom. Numerische Mathematik I 109

25 Polynominterpolation Satz zur Hermite-Interpolation Satz zur Hermite-Interpolation Die Hermite-Interpolationsaufgabe ist eindeutig lösbar. Mit dem erweiterten Knotenvektor (ξ 0,ξ 1,...,ξ n ) = (x 0,...,x }{{} 0,...,x m,...,x m ) }{{} µ 0+1 fach µ m+1 fach und der Definition dividierter Differenzen mit mehrfachen Knoten ist das Interpolationspolynom gegeben in der Newton-Form p(x) = n y[ξ 0,...,ξ k ](x ξ 0 ) (x ξ k 1 ). k=0 Numerische Mathematik I 110

26 Polynominterpolation Bemerkung: Bemerkung: Die Darstellungen des Interpolationsfehlers für Daten y (k) j = f (k) (x j ), j = 0,...,m, k = 0,...,µ j, bleiben exakt wie in Satz erhalten. Numerische Mathematik I 111

27 Polynominterpolation Diskussion: Interpolationsfehler bei f mit beschränkten Ableitungen Diskussion: Interpolationsfehler bei f mit beschränkten Ableitungen Mit max x [a,b] f (n+1) (x) =: M n+1 gilt f(x) p 0,n (x) M n+1 (n +1)! n x x j. Für äquidistante Knoten x j = a+jh, j = 0,...,n, h = (b a)/n, ist weiterhin n j=0 x x j n!h n+1, also insgesamt j=0 f(x) p 0,n (x) M n+1 n+1 ( ) b a n+1. Falls ( ) M n+1 b a n+1 = o(1) für n n+1 n gilt, so konvergiert die Folge (p 0,n ) n 0 der Interpolationspolynome gleichmäßig gegen f. Ist die Folge (M n) n 0 sogar beschränkt (z.b. für f(x) = e x auf [a,b]), so ist die Konvergenz sehr schnell: ( (b a) n+1) f(x) p 0,n (x) = O n n+2 für n. n Numerische Mathematik I 112

28 Polynominterpolation Diskussion: Interpolationsfehler bei f mit wachsenden Ableitungen Diskussion: Interpolationsfehler bei f mit wachsenden Ableitungen Ein klassisches Beispiel von Runge ist die Funktion f : [ 5,5] R, f(x) = 1 1+x 2. Interpolation mit äquidistanten Knoten x j = 5+jh, j = 0,...,n, h = 10/n, führt schon für n = 10 zu unbrauchbarem Interpolationspolynom. Tatsächlich divergiert die Folge der Interpolationspolynome (p 0,n ) n Runge Beispiel mit n=4 2 Runge Beispiel mit n= Numerische Mathematik I 113

29 Extrapolation zum Limes Beispiel (vgl in der Einleitung): 3.2 Extrapolation zum Limes Beispiel (vgl in der Einleitung): Berechne: a 0 = lim h 0 f(h) für f(x) = tanx x x 3. Numerische Rechnung (doppelt genau) ergibt für h j = 10 (j+1) Ergebnisse Mit der Taylor-Reihe ergibt sich mit j = 0,1,2 die , , tanx = x x x x7 + f(x) = x x4 + ; insbesondere ist f gerade, besitzt also eine Entwicklung mit geraden Potenzen von x. Daher ist es sinnvoll, a 0 anzunähern durch den Wert p 0,1 (0) des linearen Interpolationspolynoms zu den Punkten (h0 2,f(h 0)), (h1 2,f(h 1)), also nach dem Neville-Schema 1 p 0,1 (0) = f(h 1 )+ (h 0 /h 1 ) 2 1 (f(h 1) f(h 0 )) = Numerische Mathematik I 114

30 Extrapolation zum Limes Beispiel (vgl in der Einleitung): Analog ergibt das lineare Interpolationspolynom zu den Punkten (h 2 1,f(h 1)), (h 2 2,f(h 2)) p 1,2 (0) = f(h 2 )+ 1 (h 1 /h 2 ) 2 1 (f(h 2) f(h 1 )) = Weiterführung zum quadratischen Interpolationspolynom zu den Punkten (h 2 0,f(h 0)), (h 2 1,f(h 1)), (h 2 2,f(h 2)) liefert p 0,2 (0) = p 1,2 (0)+ also keine weitere Verbesserung zum exakten Wert 1/3. 1 (h 0 /h 2 ) 2 1 (p 1,2(0) p 0,1 (0)) = , Numerische Mathematik I 115

31 Extrapolation zum Limes Beispiele: Differenzenquotienten Beispiele: Differenzenquotienten Für eine (r +1)-mal stetig differenzierbare Funktion f : [a,b] R und x 0 [a,b] gilt a(h) := f(x 0 +h) f(x 0 ) h = f (x 0 )+ r j=1 f (j+1) (x 0 ) (j +1)! h j +o(h r ). Für verschiedene Werte h j > 0, j = 0,...,r, stellt man das Neville-Schema zur Berechnung der Interpolationspolynome p j,j+k zu den Punkten (h j,a(h j )),...,(h j+k,a(h j+k )) und für die Auswertung bei ξ = 0 auf. Aus den Näherungswerten werden (bessere) Näherungswerte berechnet: Für 1 k r und 0 j r k setze a j+k,k = p j,j+k (0) = p j+1,j+k (0)+ a j,0 = p j,j (0) = a(h j ) für j = 0,...,r 1 (h j /h j+k ) 1 (p j+1,j+k(0) p j,j+k 1 (0)). Numerische Mathematik I 116

32 Extrapolation zum Limes Beispiele: Differenzenquotienten Wählt man stattdessen den symmetrischen Differenzenquotienten b(h) := f(x 0 +h) f(x 0 h) 2h so werden Interpolationspolynome [r/2] = f (x 0 )+ j=1 f (2j+1) (x 0 ) (2j +1)! h 2j +o(h r ), q j,j+k zu den Punkten (h 2 j,b(h j)),...,(h 2 j+k,b(h j+k)) bei ξ = 0 ausgewertet. Aus den Näherungswerten werden (bessere) Näherungswerte berechnet: b j,0 = q j,j (0) = b(h j ) für j = 0,...,[r/2] Für 1 k [r/2] und 0 j [r/2] k setze b j+k,k = q j,j+k (0) = q j+1,j+k (0)+ 1 (h j /h j+k ) 2 1 (q j+1,j+k(0) q j,j+k 1 (0)). Numerische Mathematik I 117

33 Extrapolation zum Limes Beispiele: Differenzenquotienten Für f(x) = e x an der Stelle x 0 = 0, h j = 2 j für j = 1,...,5: Extrapolation für Differenzenquotienten (q = 1 in Satz 3.2.3) tab=extrapolation_tab( bsp_diffqu_exp,2.^-[1:5],1) tab = Extrapolation für symmetrische Differenzenquotienten (q = 2 in Satz 3.2.3) tab=extrapolation_tab( bsp_symdiffqu_exp,2.^-[1:5],2) tab = Numerische Mathematik I 118

34 Extrapolation zum Limes Satz: Richardson-Extrapolation Satz: Richardson-Extrapolation Die Funktion a : R + R besitze die Entwicklung n+1 a(h) = a 0 + a j h j q +o(h (n+1)q ), h 0. j=1 Hierbei sind q > 0 und a j R, j = 0,...,n+1. Weiter sei (h j ) j N0 eine monoton fallende Folge positiver Zahlen mit Dann erfüllt das Interpolationspolynom 0 < h j+1 h j ρ < 1, j N 0. p j,j+n P n zu den Punkten (h q j,a(h j)),...,(h q j+n,a(h j+n)) die Beziehung a(0) p j,j+n (0) = O(h (n+1)q j ), j. Numerische Mathematik I 119

35 Extrapolation zum Limes Lemma Lemma Die Lagrange-Grundpolynome L n,j zu paarweise verschiedenen Stützstellen x 0,...,x n R erfüllen n x k, für 0 k n, xj k L n,j(x) = j=0 x n+1 w(x), für k = n+1. Beweis: Für x R und 0 k n ist n xj k L n,j(x) = x k, j=0 weil das Monom e k : R R, e k (x) = x k sich selbst interpoliert. Für k = n+1 ergibt die Fehlerdarstellung in der Newton-Form x n+1 n j=0 x n+1 j L n,j (x) = e n+1 [x 0,...,x n,x] w(x), und die dividierte Differenz (n +1)-ter Ordnung von e n+1 ist 1. Numerische Mathematik I 120

36 Extrapolation zum Limes Extrapolations-Tafel: Extrapolations-Tafel: Das Neville-Schema zur Berechnung der a j+k,k := p j,j+k (0) a(0) wird als untere Dreiecksmatrix aufgeschrieben: h 0 a 00 = a(h 0 ) h 1 a 10 = a(h 1 ) a 11 h 2 a 20 = a(h 2 ) a 21 a h j a j0 = a(h j ) a j1 a j2... a j,j 1 a jj mit Hilfe der Rekursion (mit dem entsprechenden q in Satz 3.2.3) j = 0,1,2... : a j0 = a(h j ) k = 1,...,j : a jk = a j,k ( hj k /h j ) q 1 ( aj,k 1 a j 1,k 1 ). Numerische Mathematik I 121

37 Extrapolation zum Limes Bemerkung: Schrittweiten-Folgen und monotone Konvergenz Bemerkung: Schrittweiten-Folgen und monotone Konvergenz (i) Gebräuchliche Schrittweiten-Folgen (h j ) j 0 sind ( ) 1 2 j, j N 0 ( ) 1, n j = 1,2,3,4,6,8,12,...,2 (j+1)/2 j ungerade,3 2 (j 2)/2 j 2 gerade. n j j N 0 ( ) Unzulässig ist die Folge 1 j, da lim j j N j j +1 = ρ = 1. (ii) Nach Satz gilt für die Einträge der k-ten Spalte a jk a(0) = O(h (k+1)q j k ), j, falls die Schrittweiten-Folge (h j ) j 0 die Voraussetzungen des Satzes erfüllt. Noch genauer ist sogar für (unbekanntes!) a k+1 0 k a jk a(0) = ( 1) k a k+1 h q i +o(h (k+1)q j k ), j, i=j k woraus man auf schließlich monotone Konvergenz der Folge (a jk ) j k gegen a(0) schließen kann. Numerische Mathematik I 122

38 Extrapolation zum Limes Bemerkung: Schrittweiten-Folgen und monotone Konvergenz (iii) Führt man zusätzlich die Folge b j,k = 2a j+1,k a j,k, j k, mit, so ergibt sich wegen a j+1,k a(0) a j,k a(0) die Beziehung b j,k a(0) a(0) a j,k, also (heuristisch) eine Einschließung ( Abbruchkriterium!) a j,k a(0) b j,k oder a j,k a(0) b j,k. Numerische Mathematik I 123

39 Extrapolation zum Limes Satz: Konvergenz entlang der Diagonalen Besitzt die Funktion a sogar eine Reihenentwicklung a(h) = a(0)+ a j h qj j=1 (z.b. falls a analytisch ist), so kann auch der Grenzwert lim k a kk entlang der Diagonalen der Extrapolations-Tafel betrachtet werden Satz: Konvergenz entlang der Diagonalen Falls in der Reihenentwicklung unendlich viele a j 0 sind und falls h j+1 h j+1 inf > 0 und sup < 1, j N 0 h j j N 0 h j so konvergiert die Folge (a kk ) k 0 der Diagonalelemente der Extrapolations-Tafel schneller gegen a(0) als die Folge (a j,k0 ) j k0 entlang einer beliebigen Spalte k 0 ; d.h. lim k a kk a(0) a k,k0 a(0) = 0. Numerische Mathematik I 124

40 Gauß-Approximation 3.3 Gauß-Approximation Wir betrachten weiterhin die Approximation von Funktionen f C[a,b] = {f : [a,b] K : f ist stetig}. C[a, b] ist ein K-Vektorraum, seine Dimension ist unendlich. P n (genauer die Einschränkungen der Polynome vom Grad kleiner oder gleich n auf [a,b]) ist ein (n+1)-dimensionaler Teilraum von C[a,b] Die Gaußapproximation ist die Orthogonalprojektion von C[a,b] auf P n bezüglich eines gegebenen Skalarprodukts. Numerische Mathematik I 125

41 Gauß-Approximation Definition: Skalarprodukt Definition: Skalarprodukt Es sei V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung s : V V K heißt Skalarprodukt auf V, wenn (S1) s(αx +βy,z) = αs(x,z)+βs(y,z) für alle x,y,z V, α,β K; (S2) s(x,y) = s(y,x) für alle x,y V; (S3) (x,x) > 0 für alle x V \{0}. (V, s) heißt Skalarproduktraum oder Prä-Hilbertraum, speziell für K = R auch euklidischer Raum und für K = C unitärer Raum. Schreibweise: x,y = s(x,y) Wichtige Ergänzung: (i) Das Skalarprodukt induziert eine Norm x = x,x, x V. (ii) Es gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung x,y x y, x,y V. Beweis: klar für v = 0 oder w = 0; für v,w 0 setze o.b.d.a. v = w = 1 und betrachte 0 v v,w w,v v,w w = 1 v,w 2. Numerische Mathematik I 126

42 Gauß-Approximation Beispiel: Skalarprodukte auf C[a, b Beispiel: Skalarprodukte auf C[a, b Es seien a,b R, a < b. a) Das Standard-Skalarprodukt auf C[a, b] ist b f,g = f(x)g(x) dx. a (SP1) und (SP2) sind sofort klar, (SP3) folgt aus der Stetigkeit: b f,f = f(x) 2 dx 0 für alle f C[a,b]; a für f 0 existiert ein Intervall U = [x 0 δ,x 0 +δ] [a,b] mit f(x) > 0 für alle x U, also ist b a f(x) 2 dx > 0 für f 0. Die induzierte Norm ist die L 2 -Norm ( b 1/2 f = f(x) dx) 2. a Durch ( b ) 1/2 f g = f(x) g(x) 2 dx a wird die Abweichung von f und g im quadratischen Mittel erfasst. Numerische Mathematik I 127

43 Gauß-Approximation Beispiel: Skalarprodukte auf C[a, b b) Das gewichtete Skalarprodukt auf C[a,b]: Die Funktion w : (a,b) R erfülle b w(x) > 0 für alle x (a,b), w(x)dx <. a w heißt Gewichtsfunktion. Dann ist b f,g w = f(x)g(x) w(x)dx a ein Skalarprodukt auf C[a, b] mit induzierter Norm ( b 1/2 f w = f(x) w(x)dx) 2. a Beispiel: w(x) = 1 auf [ 1,1] ergibt 1 x2 1 dx f,g w = f(x)g(x). 1 1 x 2 Numerische Mathematik I 128

44 Gauß-Approximation Bemerkung und Bezeichnungen: Bemerkung und Bezeichnungen: Es sei V ein Skalarproduktraum. (i) Es gilt die Parallelogramm-Identität x +y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ), x,y V. Aus der Parallelogramm-Identität folgt umgekehrt die Polarisierung für K = R und für K = C x,y = 1 2 ( x +y 2 x 2 y 2 ), x,y = 1 2 ( x +y 2 +i x +iy 2 (1+i)( x 2 + y 2 )). (ii) Der Cosinus des Winkels zwischen x,y V mit x,y 0 ist cos (x,y) = x,y x y. (iii) x,y V sind orthogonal, wenn x,y = 0 gilt. Numerische Mathematik I 129

45 Gauß-Approximation Geometrisches Verständnis der Gauß-Approximation: Geometrisches Verständnis der Gauß-Approximation: Die Gaußapproximation von f C[a, b] durch Polynome vom Grad kleiner oder gleich n berechnet dasjenige p P n mit f p = min q P n f q. Dieser kürzeste Abstand wird genau dann erzielt, wenn die Orthogonalitätsbedingung f p,q = 0 für alle q P n erfüllt ist; d.h. die Differenz f p ist orthogonal zu jedem q P n. Siehe hierzu Satz Anschaulich: Die Gaußapproximation von f C[a, b] ist die Orthogonalprojektion von f auf den Teilraum der Polynome. Numerische Mathematik I 130

46 Gauß-Approximation Satz: Die Orthogonalitätsbedingung Satz: Die Orthogonalitätsbedingung Es sei V ein Skalarproduktraum und S V ein endlichdimensionaler Teilraum. Dann sind äquivalent: (i) p S ist eine beste Approximation von f V; d.h. f p = min f q. q S (ii) Es gilt die Orthogonalitätsbedingung f p,q = 0 für alle q S. Das Element p S ist durch (i) oder (ii) eindeutig bestimmt. Es heißt Orthogonalprojektion von f auf S. Bemerkung: In der Approximationstheorie und der Funktionalanalysis wird gezeigt, dass die Aquivalenz sogar für jeden abgeschlossenen Teilraum (auch mit dim S = ) eines Hilbertraumes gilt. Numerische Mathematik I 131

47 Gauß-Approximation Definition und Satz: Gram-Matrix Die Gram-Matrix dient der allgemeinen Beschreibung der Orthogonalprojektion Definition und Satz: Gram-Matrix Es seien V ein Skalarproduktraum, ψ 1,...,ψ n V. Die Matrix ψ 1,ψ 1 ψ n,ψ 1 M =.. ψ 1,ψ n ψ n,ψ n heißt Gram-Matrix der Elemente ψ 1,...,ψ n. Es gilt: a) M ist hermitesch und positiv-semidefinit. b) M ist genau dann positiv-definit, wenn die Familie (ψ 1,...,ψ n) linear unabhängig ist. c) Sind ψ 1,...,ψ n linear unabhängig und S = Span(ψ 1,...,ψ n), so ist die Orthogonalprojektion von f V auf S gegeben durch p = n c j ψ j, wobei der Vektor c = (c j ) j=1,...,n die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems f,ψ 1 M c =. ist. f,ψ n Numerische Mathematik I 132 j=1

48 Gauß-Approximation Bemerkung: Bemerkung: Es seien ψ 1,...,ψ n V und M die zugehörige Gram-Matrix. (i) M ist genau dann eine Diagonalmatrix, wenn die Elemente ψ 1,...,ψ n paarweise orthogonal sind, und M = I genau dann, wenn die Elemente ψ 1,...,ψ n ein Orthonormalsystem in V bilden. (ii) Gedächtnisstütze: Die Transponierte der Gram-Matrix kann man kurz schreiben als ψ 1, M T = M =. (ψ 1,...,ψ n ). ψ n, Dabei wird die n n-matrix der Einträge ψ j,ψ k gebildet. Diese Vektornotation hilft z.b. beim Basiswechsel. Numerische Mathematik I 133

49 Gauß-Approximation Korollar: Korollar: a) Die Orthogonalprojektion Π S : V S ist eine lineare Abbildung. b) Falls (φ 1,...,φ n ) eine Orthonormalbasis von S ist, so ist die Orthogonalprojektion gegeben durch n Π S (f) = f,φ j φ j, f V. j=1 Numerische Mathematik I 134

50 Gauß-Approximation Beispiele: Beispiele: a) Auf dem R-Vektorraum C[0, 1] ist das Standardskalarprodukt 1 f,g = f(x)g(x)dx 0 definiert. Zur Monom-Basis e k : [0,1] R, e k (x) = x k, k = 0,...,n, von P n gehört die Gram-Matrix ( ) 1 H n+1 =, j +k 1 j,k=1,...,n+1 dies ist die Hilbert-Matrix von Übungsblatt 3. Sie ist sehr schlecht konditioniert. Für die Gauß-Approximation sollte man also eine andere Methode als in Satz verwenden!! ( Koordinaten-Transformation der Legendre-Polynome auf das Intervall [0, 1].) Numerische Mathematik I 135

51 Gauß-Approximation Beispiele: b) Auf dem R-Vektorraum C[ 1, 1] ist das gewichtete Skalarprodukt 1 dx f,g w = f(x)g(x) 1 1 x 2 definiert. Die Tschebyscheff-Polynome 1. Art T n P n lauten für x [ 1,1] T n(x) = cos(narccos(x)), n = N 0. Dies sind tatsächlich Polynome vom Grad n: klar ist T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x für x [ 1,1], und aus der trigonometrischen Identität cos((n +1)t)+cos((n 1)t) = 2cos(nt)cost folgt die Rekursion der Tschebyscheff-Polynome T n+1 (x) = 2xT n(x) T n 1 (x), n 1, also für n = 2,3,4,5 T 2 (x) = 2x 2 1, T 3 (x) = 4x 3 3x, T 4 (x) = 8x 4 8x 2 +1, T 5 (x) = 16x 5 20x 3 +5x. (Natürlich sind die Polynome auf ganz R (sogar C) mittels der Rekursion definiert.) Für j,k 0 ergibt sich das Skalarprodukt 1 dx π π, für j = k = 0, T j,t k w = T j (x)t k (x) = cos(jt) cos(kt) dt = π/2, für j = k > 0, 1 1 x 2 0 0, für j k. Numerische Mathematik I 136

52 Gauß-Approximation Beispiele: Die zugehörige Gram-Matrix ist eine Diagonalmatrix. Die Gauß-(Tschebyscheff)-Approximation vom Grad n der Funktion f C[ 1,1] ist gegeben durch mit den Koeffizienten c 0 = 1 1 f(x) π 1 dx 1 x 2, p = n c k T k k=0 c k = 2 1 f(x)t k (x) π 1 dx 1 x 2 für k > 0. Numerische Mathematik I 137

53 Gauß-Approximation Verfahren: Gram-Schmidt-Orthogonalisierung Vorteilhaft für die Gauß-Approximation ist die Verwendung von Orthogonalsystemen. Aus der Linearen Algebra ist bekannt (evtl. für Vektoren im K n ): Verfahren: Gram-Schmidt-Orthogonalisierung Es sei V ein Skalarproduktraum und ψ 1,...,ψ n V \{0}. Weiter sei S = Span(ψ 1,...,ψ n ), 1 r = dims n. Der folgende Algorithmus liefert eine Orthonormalbasis φ 1,...,φ r von S (mit Aussortieren linear abhängiger ψ j ): 1. Setze k = 1 und φ 1 = 1 ψ 1 ψ Für j = 2,...,n k τ = ψ j ψ j,φ l φ l. l=1 Falls τ 0 setze k = k +1 und φ k = 1 τ τ. Numerische Mathematik I 138

54 Gauß-Approximation Beispiel: Legendre-Polynome auf [ 1, Beispiel: Legendre-Polynome auf [ 1, 1 C[ 1, 1] als R-Vektorraum mit dem Standardskalarprodukt 1 f,g = f(x)g(x)dx 1 besitzt die Monom-Basis e k : [ 1,1] R, e k (x) = x k, für k = 0,1,...,n. Gram-Schmidt-Orthonormalisierung ergibt (verwende L j für die τ im Algorithmus ): und mit dem folgenden Satz Für n = 2,3,4,5 ist L k+1 (x) = x L k (x) L 0 (x) = 1, φ 0 (x) = 1/2, L 1 (x) = x, φ 1 (x) = 3/2 x, k2 4k 2 1 L k 1(x), k = 1,2,... φ k (x) = (2k)! 2k +1 (k!) 2 2 2k+1 L k (x). L 2 (x) = x 2 1 3, L 3(x) = x x, L 4(x) = x x , L 5(x) = x x x. Numerische Mathematik I 139

55 Gauß-Approximation Beispiel: Legendre-Polynome auf [ 1, 1 Damit ist die Gauß-(Legendre)-Approximation von f durch Polynome vom Grad n gegeben durch mit den Koeffizienten p = n c k φ k k=0 1 c k = f(x)φ k (x)dx für k = 0,...,n. 1 Numerische Mathematik I 140

56 Gauß-Approximation Beispiel: Legendre-Polynome auf [ 1, 1 Die Normalisierungskonstante der φ k berechnet man z.b. mit der sog. Rodriguez-Formel für die Legendre-Polynome: L n(x) = n! d n [ (x 2 (2n)! dx n 1) n]. Beachte: Höchstkoeffizient ist L (n) n (0) = 1 n! (2n)! d 2n [ (x 2 dx 2n 1) n] = 1. }{{} =(2n)! Mit partieller Integration (alle Randterme sind Null) ergibt sich (n!) 2 1 d n [ L n,l n = (x 2 ((2n)!) 2 1 dx n 1) n] dn [ (x 2 dx n 1) n] dx = ( 1) n (n!) 2 1 ((2n)!) 2 (x 2 1) n d 2n [ (x 2 1 dx 2n 1) n] dx }{{} =(2n)! = ( 1) n (n!)2 1 (x 1) n (x +1) n dx (2n)! 1 = (n!)2 (n!) 2 1 (x +1) 2n dx (2n)! (2n)! 1 (n!) 4 2 2n+1 = ((2n)!) 2 2n +1, und daraus die obige Normierung der φ k. Numerische Mathematik I 141

57 Gauß-Approximation Beispiel: Legendre-Polynome auf [ 1, 1 Bemerkung: Eine andere Normalisierung, nämlich L n(1) = 1, erzielt man mit der Rekursion Hierbei ist also ist φ k in Für n = 2,3,4,5 ist L 0 (x) = 1, L1 (x) = x, L k+1 (x) = 2k+1 L k+1 k (x) k+1 L k k 1 (x). L k,l k = 2 2k +1, 2k +1 φ k (x) = L k (x). 2 L 2 (x) = 3 2 x2 1 2, L 3(x) = 5 2 x3 3 2 x, L 4(x) = 35 8 x x , L 5(x) = 63 8 x x x. Numerische Mathematik I 142

58 Gauß-Approximation Satz: 3-Term Rekursion der Orthogonalpolynome Satz: 3-Term Rekursion der Orthogonalpolynome Das Skalarprodukt, auf C[ 1, 1] besitze die Symmetrie-Eigenschaft p,xq = xp,q für alle Polynome p,q. Dann führt die Gram-Schmidt-Orthonormalisierung der Monom-Basis {1,x,...,x n } auf die folgenden Polynome p k (mit Höchstkoeffizient 1) und φ k (mit φ k = φ k,φ k = 1): p 0 (x) = 1, p 1 (x) = x β 0, p k+1 (x) = (x β k ) p k (x) γ k p k 1 (x), k = 1,2,..., φ k = 1 p k p k, k = 0,1,2,... mit β k = x p k p k p k 2 für k 0, γ k = p k 2 p k 1 2 für k 1 Achtung: p 2 = p,p mit dem gegebenen Skalarprodukt! Numerische Mathematik I 143

59 Gauß-Approximation Satz: 3-Term Rekursion der Orthogonalpolynome Beweis: p 0 = 1 und p 1 (x) = x x,φ 0 φ 0 = x β 0 sind anhand der Definitionen abzulesen. Für k 1 setze q k+1 (x) = (x β k ) p k (x) γ k p k 1 (x). Dann ergibt die Orthogonalität p k P k 1 q k+1, p k = x p k, p k β k p k 2 γ k p k, p k 1 = 0, }{{} =0 q k+1, p k 1 = x p k, p k 1 β k p k, p k 1 }{{} =0 = p k,x p k 1 p k = 0. }{{} P k 1 Weiterhin ergibt sich für j < k 1 sofort q k+1, p j = 0. γ k p k 1 2 }{{} = p k, p k Wir haben gezeigt, dass q k+1 ein Polynom vom Grad k +1 mit dem Höchstkoeffizienten 1 ist, das orthogonal zu P k ist. Weil das orthogonale Komplement von P k in P k+1 eindimensional ist, folgt also q k+1 = p k+1. Numerische Mathematik I 144

60 Gauß-Approximation Bemerkung: Bemerkung: Bei der Gauß-Approximation bzgl. des Standard-Skalarprodukts wird die Abweichung im quadratischen Mittel minimiert. Dabei wird die Maximalabweichung f p = max x [a,b] f(x) p(x) häufig insbesondere in der Nähe der Intervallenden groß. Deshalb verwendet man bei der Berechnung der besten Gauß-Approximation p gerne das gewichtete Skalarprodukt b dx (f,g) = f(x)g(x), a (x a)(b x) das den Fehler f p am Rand höher gewichtet als in der Mitte des Intervalls [a,b]. Die Orthogonalpolynome zu diesem Skalarprodukt sind die auf das Intervall [a, b] transformierten Tschebyscheff-Polynome 1. Art, siehe Beispiel 3.3.9(b): ( ) 2x a b T n,[a,b] (x) = T n b a mit der Normalisierungskonstanten b T n,[a,b] 2 = a ( ) 2x a b 2 dx T n = b a (x a)(b x) { π(b a) 2, für n = 0, π(b a) 4, für n > 0. Numerische Mathematik I 145

61 Gauß-Approximation Beispiel: Die Gauß-Legendre Approximation (links) zum Standard-Skalarprodukt, und die Gauß-Tschebyscheff Approximation (rechts) zur Gewichtsfunktion w(x) = 1/ 1 x 2 : 1.2 Gauss Legendre Approximation von 1/(1+25*x 2 ) 1.2 Gauss Tschebyscheff Approximation von 1/(1+25*x 2 ) 1 f 1 f n=16 n= n=8 n= n=4 n= Numerische Mathematik I 146