Abitur HH Aufgaben und Hinweise- Alle Aufgaben sind komplett gelöst und in verschiedene Schwierigkeitsstufen unterteilt.

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1 Abitur HH Aufgaben und Hinweise- Alle Aufgaben sind komplett gelöst und in verschiedene Schwierigkeitsstufen unterteilt. Für die Schülerhilfen in Quickborn und Barmstedt Daniel Mueller 2014

2 Inhaltsverzeichnis: Ablauf der Prüfung Seite 2 Tipps und Hinweise Seite 2 Linear Algebra (Übersicht der Inhalte) Seite 2 Lineare Algebra (Übungen zu den Basics) Seite 3 Lineare Algebra (Abituraufgaben Basic -) Seite 5 Lineare Algebra (Abituraufgaben Fortgeschritten -) Seite 17 Lineare Algebra (Abituraufgaben Profi -) Seite 23 Lineare Algebra (Abituraufgaben erhöhtes Niveau -) Seite 29 Stochastik (Übersicht der Inhalte) Seite 30 Stochastik (Übungen zu den Basics) Seite 31 Stochastik (Abituraufgaben Basic -) Seite 34 Stochastik (Abituraufgaben Fortgeschritten -) Seite 37 Stochastik (Abituraufgaben Profi -) Seite 41 Stochastik (Abituraufgaben erhöhtes Niveau -) Seite 43 Analysis (Übersicht der Inhalte) Seite 45 Analysis (Übungen zu den Basics) Seite 45 Analysis (Abituraufgaben Basic -) Seite 48 Analysis (Abituraufgaben Fortgeschritten -) Seite 57 Analysis (Abituraufgaben Profi -) Seite 62 Analysis (Abituraufgaben erhöhtes Niveau -) Seite 65 Länderübergreifender Aufgabenteil (Hilfsmittelfrei) (Übersicht der Inhalte) Seite 66 Länderübergreifender Aufgabenteil (Hilfsmittelfrei) (grundlegend) Seite 66 Länderübergreifender Aufgabenteil (Hilfsmittelfrei) (erweitert) Seite 70 Länderübergreifender Aufgabenteil (Hilfsmittelfrei) (Profi) Seite 73 Lösungen Lineare Algebra (Übungen zu den Basics) Seite 76 Lösungen Lineare Algebra (Abituraufgaben) Seite 80 Lösungen Stochastik (Übungen zu den Basics) Seite 112 Lösungen Stochastik (Abituraufgaben) Seite 117 Lösungen Analysis (Übungen zu den Basics) Seite 131 Lösungen Analysis (Abituraufgaben) Seite 135 Lösungen Länderübergreifender Aufgabenteil Seite 160 By Don Seite 1

3 1.) Ablauf der Prüfung: Jeder Prüfling erhält fünf Aufgaben: Aufgabe I (Hilfsmittelfrei), Aufgabe II.1 und II.2 (Analysis), Aufgabe III (Lineare Algebra), Aufgabe IV (Stochastik). Aufgabe I muss zu Beginn bearbeitet werden (maximal 45 Minuten) und dann abgegeben werden. Der Prüfling erhält Taschenrechner und Formelsammlung zur Bearbeitung der weiteren Aufgaben zurück. Von den Aufgaben II.1 und II.2 wird eine Aufgabe zur Bearbeitung ausgewählt, ebenso wird eine der Aufgaben III und IV ausgewählt. Jeder Prüfling bearbeitet also insgesamt drei Aufgaben: Aufgabe I Aufgabe II.1 oder II.2 Aufgabe III oder IV Die Reihenfolge, in der die beiden ausgewählten Aufgaben bearbeitet werden, wird vom Prüfling bestimmt. Im grundlegenden Niveau gibt es insgesamt 240 Minuten Bearbeitungszeit und im erhöhten Niveau 300 Minuten. Eine Einlese- und Auswahlzeit von maximal 30 Minuten wird der Bearbeitung vorgeschaltet. In dieser Zeit darf noch nicht mit der Bearbeitung begonnen werden! 2.) Tipps und Hinweise: Material vorhanden, aktuell und einsatzbereit? (Kugelschreiber oder Füller, Bleistift (Anspitzer?) und Druckbleistift (Minen)?, Geodreieck, Lineal (lang), Taschenrechner (Batterie?), Formelsammlung) Trinken und Essensplanung (Frühstück dunkles Brot mit Honig oder Nougatcreme und Müsli, Fruchtschorle, Obst und Gemüse für die Prüfung, im Notfall ist ein Stück Schokolade besser als Traubenzucker) Aufgaben genau lesen! Gerade in der Stochastik machen kleine Wörter den Unterschied. Überlege dir während der Einlese-und Auswahlzeit, ob dir die Lösungswege grob klar sind. Entscheide dich dementsprechend. Loslegen und möglichst wenig Fehler machen. Achte bei deinen Texten auf eine klare und strukturierte Leserführung. Nicht schwafeln! (Als Vorgabe: Stelle dir vor, dass jemand zwar ein grobes Mathematikverständnis besitzt, er deine Klausur ohne Aufgabenstellung durchliest und trotzdem verstehen soll, was du da tust, warum und wie du es tust und welche Ergebnisse du erreichst) Beherrsche die Basics!!! Nur so hast du Zeit für Skizzen, Überlegungen und einen strukturierten Aufbau. 3.) Thema Lineare Algebra (Übersicht der Inhalte; Übungen zu den Basics; Ausschnitte ausgewählter Abituraufgaben mit ansteigender Schwierigkeitsstufe): Jeder Thementeil gliedert sich in verschiedene Unterpunkte. Zunächst soll geklärt werden, welche Kompetenzen erforderlich sind, um in der Lage zu sein, die Aufgaben sinnvoll bearbeiten zu können. Auf diese Übersicht folgen Übungsaufgaben zu den Basics, die ggf. übersprungen werden können. Es empfiehlt sich allerdings der Einstieg über diese Aufgaben. Mehr Übungsaufgaben gibt es nach Themen sortiert auf meiner Homepage als Falttests (Unterpunkt bei den Prüfungsvorbereitungen). Im Anschluss habe ich ausgewählte Abituraufgaben in verschiedene Kompetenzbereiche aufgeteilt und diese unter den Begriffen Basics, Fortgeschritten usw. zusammengefasst. Basics entspricht hier dem unteren Dreierbereich, Fortgeschritten greift die Zwei an und eine gute Lösungsquote der Profiaufgaben kann dann die gute Zwei oder den Einserbereich bedeuten. Für die SchülerInnen mit Leistungskurs bzw. erhöhtem Niveau gibt es dann noch Zusatzaufgaben, die für diesen Zusatz erwartet werden. Übersicht der Inhalte: Auswahl und Anwendung geeigneter Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen Umgang mit Lösungsvektoren linearer Gleichungssysteme By Don Seite 2

4 Elementare Matrizenoperationen (+; -; Multiplikation mit Skalar, Vektor oder Matrix; Inverse; niedrige Potenzen von Matrizen) Beschreiben von einfachen Sachverhalten mit Vektoren und Matrizen Anwendung, Entwicklung, Veränderung und Interpretation mehrstufiger Prozesse mit Vektoren und Matrizen (Populationsmodelle, Umverteilungsmodelle und Produktionsprozesse) Zusätzlich für das erhöhte Niveau: Markov-Ketten Interpretieren von Grenzmatrizen, Eigenvektoren und Eigenwerten Übungen zu den Basics: Aufgabe 1: Bestimme die Lösungsmenge des inhomogenen linearen Gleichungssystems (LGS). a) b) c) d) e) f) Aufgabe 2: Bestimme die kleinste ganzzahlige Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems unter der Voraussetzung der Nichtnegativität der Variablen. Bestimme anschließend diejenige Lösung, die aufsummiert die Zahl 345 ergibt. Aufgabe 3: Schreibe den Gozintographen um in eine Übergangsmatrix bzw. erstelle aus der Übergangsmatrix einen passenden Gozintographen. a) b) Und gib jeweils den Wert an der Position an. Aufgabe 4: Bestimme die 4x3-Matrix A, für die gilt: a) b) { } c) Und gib jeweils den Wert an der Position an. By Don Seite 3

5 Aufgabe 5: Berechne die Matrizenoperationen wenn möglich. Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH a) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) ( ) f) ( ) ( ) g) ( ) ( ) h) ( ) ( ) Aufgabe 6: Bestimme die Inverse Matrix, so dass gilt:, wenn möglich. a) ( ) b) ( ) c) ( ) Aufgabe 7: Berechne und und beschreibe, was dir auffällt. Welche Bedeutung könnte das haben, wenn es sich bei der Matrix M um die Übergangsmatrix einer Population handelt? ( ) Aufgabe 8: Die Entwicklung einer Säugetierart wird durch die Matrix ( ) beschrieben. Zu Beginn wird in einem Nationalpark die Population ( ) gezählt. a) Bestimmen Sie für a = die Populationsentwicklung für die ersten sechs Zeitschritte und stellen Sie diese grafisch dar. Warum verläuft diese Entwicklung zyklisch? Welche maximale Anzahl an Säugetieren dieser Art bevölkert den Park? b) Durch Änderungen der Umweltbedingungen wird a = 0.7. Wie entwickelt sich die Population jetzt langfristig? Welche Population beobachtet man nach sechs Zeitschritten? c) Der Nationalpark kann maximal 110 Tiere dieser Art beherbergen. Nach welcher Zeit müssen Maßnahmen zur Eindämmung ergriffen werden? Zusätzlich erhöhtes Anforderungsniveau: Aufgabe 1: Bestimme die Determinante, die Eigenwerte λ und die Eigenvektoren der Matrix M (Hinweis: ). ( ) Aufgabe 2: Bestimme die Lösung der Matrizengleichungen. a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) f) ( ) ( ) Aufgabe 3: Für drei Tankstellen A, B und C sollen die folgenden Annahmen getroffen werden: Die Kunden von A verteilen sich beim nächsten Tanken auf die Tankstellen A, B und C im Verhältnis 2 : 1 : 1. Die Kunden von B wechseln das nächste Mal je zu 25% nach A und zu 25% nach C. 80% der Kunden von C wählen diese Tankstelle auch das nächste Mal, der Rest fährt zu A. Jeder Kunde tankt genau ein Mal pro Woche. By Don Seite 4

6 a) Zeichne einen passenden Gozintograph und bestimme die Übergangsmatrix P. b) Berechne die Verteilung der Autofahrer auf die drei Tankstellen für die nächsten beiden Wochen und für zehn Wochen, wenn von 1000 Autofahrern insgesamt in einer Woche 400 bei B und jeweils 300 bei A bzw. C tanken. c) Bestimme einen passenden Fixvektor zur Übergangsmatrix P und bestimme die zugehörige Grenzmatrix G. d) Bestimme die Verteilung, die sich auf lange Sicht einstellt. Ausschnitte Abituraufgaben Basics: Löst man alle Aufgaben im Bereich Basic (meist die Aufgabenteile a) bis c) und manchmal auch noch Teile der anderen Aufgabenteile), so sammelt man schon mal knapp 40% bis 50% der Bewertungspunkte. Somit steht man in diesem Teilbereich bereits auf einer soliden 4 (5 Punkte). Bei den ersten Aufgabenteilen noch nicht zu kompliziert denken! Die Lösungen sind hier entweder recht einfach oder zumindest durch pure Rechenarbeit zu lösen. Hier sind Matrizen aufzustellen, lineare Gleichungssysteme zu lösen, Matrizen miteinander zu verrechnen und einfache Sachverhalte zu erklären. Hier nun die Aufgaben im Basicsbereich: Vegetation (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 5, 17, 23) In der Übergangszone zwischen Wüstenklima und gemäßigtem Klima an der Westküste Nordamerikas trifft man auf einer Fläche von ca km² eine Vegetation immergrüner Sträucher an. Man bezeichnet das als Chaparral. Die Brennbarkeit dieser Pflanzen hängt sehr von ihrem Alter ab. Besonders leicht brennen die älteren Pflanzen wegen der großen Mengen verdorrten Materials. Brände haben abgesehen von ihrer Gefahr für Mensch und Tier auch eine sehr nützliche Funktion: anstelle der verbrannten Sträucher wachsen ziemlich schnell junge, kräftige Pflanzen aus dem Boden. Spontane Brände werden daher nicht immer gelöscht. Die Verjüngung sorgt immer wieder dafür, dass die Gebiete mit dürrem Material nicht zu groß werden. Diese Situation lässt sich z.b. in folgendem Modell darstellen: Die Vegetation wird entsprechend ihrem Alter in vier Klassen eingeteilt: Klasse 1: 0-10 Jahre Klasse 2: Jahre Klasse 3: Jahre Klasse 4: 30 Jahre und älter. Als Maß für den Umfang einer Klasse nimmt man nicht die Anzahl der Pflanzen, sondern die Fläche des durch diese Klasse bedeckten Gebietes. Bei jeder Klasse bleibt der prozentuale Anteil, der in 10 Jahren verbrennt, konstant. Die Gesamtfläche des Gebietes beträgt stets Die Entwicklung der Vegetation in diesem Modell beschreibt der folgende Graph: a) Geben Sie unter Verwendung der Zahlenwerte in der Tabelle und gemäß dem Graphen bzw. dem oben stehenden Modell eine Populationsmatrix (Leslie-Matrix) L an und begründen Sie Ihr Vorgehen. b) Begründen Sie, warum für alle vier Klassen = 1 gelten muss. (25 %) By Don Seite 5

7 Schwarzwild (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 6, 17, 23) Das Schwarzwild ist in vielen Teilen Europas seit geraumer Zeit auf dem Vormarsch und es häufen sich landwirtschaftliche Schäden. Verursacht wird dieses enorme Wachstum durch die hohe Fortpflanzungsleistung dieser Art. Unter günstigen Bedingungen, d. h. bei gutem Futterangebot, gebären beim Schwarzwild bereits die Frischlinge (Wildschweine im ersten Lebensjahr) zu einem hohen Anteil. Zusätzlich verringert sich ihre Sterblichkeit über die Wintermonate, und auch die Fruchtbarkeit der reifen Bachen (weibliche Wildschweine, älter als zwei Jahre) steigt. An diesem Punkt kommt der Mensch ins Spiel: Vor allem durch die Landwirtschaft, aber auch durch falsche Fütterung, werden ungewollt Nahrungsquellen für das Schwarzwild verfügbar gemacht. Damit kommt es zwangsläufig zu einem dramatischen Anwachsen der Bestände. In dieser Aufgabe werden nur weibliche Wildschweine betrachtet. Diese werden in drei Altersklassen eingeteilt. F: Frischlinge (höchstens ein Jahr alt) U: Überläuferbachen (älter als ein Jahr bis maximal zwei Jahre alt) B: reife Bachen (älter als zwei Jahre) Eine Population weiblicher Wildschweine wird durch einen Populationsvektor ( ) beschrieben. a) Für eine Population gilt: Die jährliche Geburtenrate bei Frischlingen beträgt 0.13, bei Überläuferbachen 0.56 und bei reifen Bachen Von den Frischlingen überleben jährlich 25 %, von den Überläuferbachen 56 % und von den reifen Bachen 58 %. Stellen Sie in einem Übergangsgraphen die Entwicklung dieser Population dar. b) Entscheiden Sie, welche der Matrizen A, B, C die in a) dargestellte Entwicklung des Schwarzwildes beschreibt. Begründen Sie auch für die beiden anderen Matrizen, warum sie zur Modellierung hier nicht geeignet sind. c) Die Werte aus a) beruhen auf Untersuchungen von Schwarzwild, das unter ungünstigen Bedingungen lebt. Die Winter sind lang und streng, nicht immer ist genug Futter vorhanden. Die folgenden Matrizen P und Q hingegen beschreiben die Entwicklung von Wildschweinpopulationen unter gemäßigten bzw. guten Lebensbedingungen. Entscheiden Sie, welcher der beiden Matrizen P oder Q gemäßigte Lebensbedingungen für Wildschweine und welcher gute Lebensbedingungen für Wildschweine zugrunde liegen. (40 %) Käferpopulation (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 6, 17, 24) Die Entwicklung eines Käfers beschreibt das folgende Modell: Aus den Eiern schlüpfen nach einem Monat Larven, nach einem weiteren Monat werden diese zu Käfern, die nach einem Monat Eier legen und dann sterben. Aber nur aus einem Viertel der Eier werden Larven, die anderen Eier werden von Tieren gefressen oder verenden. Von den Larven wird die Hälfte zu Käfern, die andere Hälfte stirbt. Jeder Käfer legt 8 Eier. By Don Seite 6

8 a) Stellen Sie das beschriebene Modell mit einem Graphen dar und geben Sie die Populationsmatrix P an. Berechnen Sie mit P, wie eine Population von 40 Eiern, 40 Larven und 40 Käfern nach einem Monat aussieht. b) Die in a) angegebene Population soll über einen längeren Zeitraum beobachtet werden. Dazu benötigt man ein kleines Terrarium, wenn die Anzahl der Käfer im Laufe der Zeit nicht über 60 ansteigt, andernfalls ein großes. Ermitteln Sie, welches Terrarium nach dem Populationsmodell gekauft werden muss. (45 %) Kastanien-Miniermotte (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 7, 18, 24) Die Rosskastanien-Miniermotte (Cameraria ohridella) ist vor gut 20 Jahren entdeckt worden und breitet sich schnell in Europa aus. Dieser Kleinschmetterling ist relativ wenig erforscht. Die in dieser Aufgabe verwendeten Daten über die Entwicklungsstadien beruhen daher teilweise auf Schätzungen. Die Motten bringen über einen Sommer zwei bis drei, unter günstigen Lebensbedingungen auch vier Generationen hervor. In dieser Aufgabe wird zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass die Motten nur eine Generation im Juni hervorbringen und eine zweite Generation im August. Dabei beschreibt der Begriff Generation einen vollständigen dreischrittigen Entwicklungszyklus von Puppen zu Puppen! Die ersten Miniermotten eines Sommers entwickeln sich aus Puppen, die den Winter über in welken Kastanienblättern gelebt haben. Anfang Juni gibt es also nur diese Winter-Puppen (WP ). Hier die dreischrittige Entwicklung der Junigeneration: (1) 50 % der Winter-Puppen (WP ) sind lebensfähig und entwickeln sich zu Faltern ( F ). (2) Jeder Falter legt Eier, aus denen sich im Durchschnitt 20 Larven ( L ) entwickeln. 20 % der Larven entwickeln sich zu Winter-Puppen (WP ), die in den Ruhezustand fallen und sich so bis zum nächsten Jahr nicht weiter entwickeln. (3) 40 % der Larven entwickeln sich zu Sommer-Puppen ( SP ), die sich im Juni bereits zu Faltern entwickeln. Die restlichen Larven sterben. Zur Beschreibung der drei Entwicklungsschritte der Junigeneration soll dieselbe Übergangsmatrix P nacheinander auf den Populationsvektor ( ) angewandt werden. Diese Übergangsmatrix hat dabei die allgemeine Form ( ). a) Für die Matrix P stehen folgende Varianten zur Verfügung: Geben Sie die richtige Matrix P an und beschreiben Sie Ihre Entscheidung im Sachkontext der Aufgabe. b) In einem Garten gibt es Anfang Juni 100 Winter-Puppen. Berechnen Sie die Anzahlen der Sommer-Puppen und der Winter-Puppen, die sich im Laufe des Juni in den drei Schritten daraus entwickeln. Kontrollergebnis: Es gibt 400 Sommer-Puppen und 200 Winter-Puppen. c) Die Berechnung der Puppenanzahlen in b) lässt sich in einem Schritt mit Hilfe der Matrix durchführen. Bestimmen Sie diese Matrix und zeigen Sie, dass die einfache Anwendung von auf den Bestand von 100 Winter-Puppen zum gleichen Ergebnis wie in b) führt. (35 %) By Don Seite 7

9 Käferpopulation 2 (Matrizenrechnung) (Seiten: 8) Ein Käfer, der kurz nach der Eiablage stirbt, legt so viele Eier, dass im nächsten Jahr daraus wieder 25 Larven (L) schlüpfen. Nur 10% dieser Larven überleben das erste Jahr und verpuppen sich. Nach einem weiteren Jahr werden 40% dieser Puppen (P) wieder zu Käfern (K). a) Zeichne den passenden Gozintographen. b) Bestimme die Übergangsmatrix P. c) Überprüfe die Entwicklung der Population. (40 %) Wanderung Borstenschweine (Anwendungsaufgaben) (Seiten: 8, 18, 24) Mit Hilfe der Matrizenrechnung sollen die Wanderungsbewegungen einer Population von Borstenschweinen über 3 Jahre hinweg beschrieben werden. In einem Übergangsdiagramm werden die Wanderungszahlen auf die jeweils im Vorjahr vorhandene Population bezogen, z.b. sind von der im Vorjahr vorhandenen Population im Revier 3 nach einem Jahr 50 % im Revier 3 geblieben, 20 % in Revier 1 gewechselt und 30 % in Revier 2 gewechselt. a) Gib die Übergangsmatrix P für das Wechselverhalten an. b) Die Verteilung ( ) dieses Jahres sei bekannt. Man nimmt an, dass das Wechselverhalten der Tiere über die Jahre sich nicht verändert. Berechnen Sie die voraussichtlichen Verteilungen der nächsten 3 Jahre. (30 %) Fruchtsäfte (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 8, 18) Ein Betrieb der Getränkeindustrie produziert in zwei Werken an verschiedenen Standorten Fruchtsäfte. Im Werk A werden aus vier Rohstoffen R1, R2, R3 und R4 drei Zwischenprodukte Z1, Z2 und Z3 hergestellt. Im Werk B werden aus den Zwischenprodukten dann die drei Endprodukte E1, E2 und E3 gefertigt. Der Materialfluss in Mengeneinheiten (ME) ist durch die beiden folgenden Tabellen gegeben: By Don Seite 8

10 a) Berechnen Sie die Elemente und in der Rohstoffmatrix A so, dass die Rohstoff-/Endproduktmatrix C wie folgt lautet: Ermitteln Sie, wie groß der Vorrat an den einzelnen Rohstoffen sein muss, damit von den Endprodukten 150 ME von, 200 ME von und 250 ME von hergestellt werden können. b) Durch technische Störungen im Produktionsablauf in Werk A gab es einen Ausfall bei der Herstellung des Zwischenproduktes. Erschwerend kommt hinzu, dass sich wegen Renovierungsarbeiten in den Lagerräumen des Werkes B nur geringe Bestände an Zwischenprodukten befinden. Zurzeit sind am Lager in Werk B nur noch die Zwischenprodukte mit 75 ME und Z3 mit 100 ME. Ein Kunde bestellt kurzfristig 12 ME von Endprodukt. Dem Kundenwunsch entsprechend werden nun genau die 12 ME von produziert, wobei aber produktionsbedingt auch die beiden anderen Endprodukte und (nach obiger Tabelle) hergestellt werden. Zeigen Sie durch eine Berechnung, dass sich die oben genannten Zwischenproduktbestände vollständig durch diese Produktion verarbeiten lassen, und bestimmen Sie, wie viele ME der Endprodukte und dabei hergestellt werden können und wie viele ME des Zwischenprodukts das Werk A dann liefern muss. (55 %) Insektenpopulation (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 9, 19, 24, 29) In den Tropen legen die Weibchen einer in Deutschland unbekannten Insektenpopulation jedes Jahr kurz vor Beginn der Regenzeit jeweils 90 Eier und sterben bald darauf. Aus den Eiern schlüpfen wenig später Larven. Der Larvenbestand nimmt von Jahr zu Jahr durch Witterungseinflüsse, aber auch durch den Verzehr durch andere Tiere, ab. Im dritten Jahr verpuppen sich die Larven, und aus einem Teil der Puppen entwickeln sich im darauf folgenden Jahr Weibchen, die wieder 90 Eier legen. Die jährliche Entwicklung dieser Insektenpopulation wird durch die nachstehende Populationsmatrix A beschrieben: a) Stellen Sie das beschriebene Modell mit einem Übergangsgraphen dar und beschreiben Sie die biologischen Bedeutungen der von Null abweichenden Koeffizienten der Matrix A. b) In der folgenden Tabelle ist eine Anfangspopulation der oben genannten Insekten gegeben, die jeweils ihrem Alter entsprechend gegliedert sind: Bestimmen Sie den Populationsvektor nach einem Jahr ( ). Geben Sie an, wie Sie die Population nach 4 Jahren unter ausschließlicher Verwendung des Anfangspopulationsvektors und der Matrix A berechnen könnten. (25 %) By Don Seite 9

11 Einkommensgruppen (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 10, 20, 25) Die Familien eines fiktiven Landes werden einer der drei angegebenen Einkommensgruppen zugeordnet. In statistischen Erhebungen hat man festgestellt, dass Kinder der Eltern einer bestimmten Einkommensgruppe nach ihrer Ausbildung auch einer anderen Einkommensgruppe angehören können. Es wird angenommen, dass 10 % der Einkommensgruppe hoch (h), 60 % der Einkommensgruppe mittel (m) und 30 % der Einkommensgruppe niedrig (n) angehören. Vereinfachend wird angenommen, dass jede Familie genau zwei Kinder hat und in der nächsten Generation jedes Kind mit einem Kind einer anderen Familie wieder eine Familie gegründet hat. a) Es werden 4200 Familien nach repräsentativen Grundsätzen ausgewählt. Berechnen Sie die Anfangsverteilung der ausgewählten Bevölkerungsgruppe. Die nachfolgende Abbildung gibt für jede Einkommensgruppe an, welche Anteile dieser Gruppe von einer Generation zur nächsten die Gruppe wechseln bzw. in der Gruppe bleiben. b) Begründen Sie anhand des Graphen, dass dieser Prozess durch die Übergangsmatrix P beschrieben werden kann und berechnen Sie die Einkommensverteilung in der nächsten Generation. (25 %) Libellenentwicklung (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 10, 20, 25, 29) In dieser Aufgabe sollen die Anzahlen der Individuen in den verschiedenen Entwicklungsstadien einer Libellenart betrachtet werden. Dabei werden folgende Annahmen zu Grunde gelegt. Eine junge Libelle legt 90 Eier, von denen sich 5 % zu Junglarven weiterentwickeln. 50 % der Junglarven entwickeln sich zu Altlarven (Nymphen), während 5 % der Junglarven das Altlarven- Stadium überspringen und zu jungen Libellen werden. Von den Altlarven entwickeln sich 30 % zu jungen Libellen. 25 % der jungen Libellen überleben eine Generation und legen als alte Libellen immerhin noch 40 Eier, deren Entwicklungsfähigkeit denen der Junglibellen entspricht. Die fehlenden Prozentanteile entsprechen jeweils einem Nichtüberleben dieses Stadiums. Alle alten Libellen sterben in der nächsten Generation. a) Geben Sie eine graphische Darstellung dieses Lebenszyklus an und ermitteln Sie daraus eine Populationsmatrix P. b) In einem Teich sind zu Beginn 25 Junglibellen, 5 Altlibellen, 6000 Eier, 200 Junglarven und 80 Altlarven vorhanden. Berechnen Sie die Anzahlen der einzelnen Entwicklungsstadien für die nächsten zwei Generationen. (35 %) By Don Seite 10

12 Geckos (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 11, 20, 25, 29) Geckos gehören zur Familie der Schuppenkriechtiere. Sie bevölkern seit etwa 50 Millionen Jahren die Erde und haben sich im Laufe ihrer Entwicklung weltweit ausgebreitet. Aufgrund ihrer hervorragenden Anpassungsfähigkeit haben Geckos die verschiedensten Lebensräume erobert und sind sowohl in den gemäßigten Zonen als auch in den Wüsten und den Tropen anzutreffen. Im Folgenden wird eine spezielle Art von Geckos in drei verschiedenen Regionen A,, C in den Tropen untersucht. Die drei Regionen bieten den Geckos ganz unterschiedliche Lebensbedingungen, die sich durch besondere Vegetationsformen, Temperatur- und Niederschlagsvariabilität auszeichnen. Vereinfachend wird angenommen, dass sich die Geckos in jeder Region in zwei Altersklassen aufteilen lassen: Jungtiere (J) und Alttiere (S). Die Entwicklung der Geckos in den Regionen lässt sich unter Vernachlässigung von Wanderbewegungen von einer Region in die anderen für einen Beobachtungszeitraum von einem Jahr näherungsweise folgendermaßen modellieren: Region A: 30 % der Alttiere bekommen durchschnittlich einen Nachfahren. 90 % der Jungtiere verbleiben in ihrer Klasse, 10 % Jungtiere wechseln die Altersklasse. Die Sterblichkeit der Alttiere beträgt 30 %. Region B: 20 % der Alttiere und 35 % der Jungtiere haben durchschnittlich einen Nachfahren. 55 % der Jungtiere verbleiben in ihrer Klasse, 40 % der Jungtiere erreichen das Alttieralter. Die Sterblichkeit der Alttiere beträgt 30 %. a) Ordnen Sie begründet die Matrizen K und L den Gecko-Entwicklungen in den beiden Regionen A und B zu. Stellen Sie für die Region A und B die Entwicklungsmodelle mit je einem Graphen dar. Ein Forscherteam junger Biologen möchte die Entwicklung der Geckos in Abhängigkeit von den Umweltbedingungen untersuchen. Dazu steckt es in den Regionen A und B Gebiete ab, in denen sich zum Untersuchungszeitpunkt genau 1000 Jungtiere und 2000 Alttiere aufhalten. b) Berechnen Sie mit Hilfe der Populationsmatrizen für beide Gebiete die Anzahl der Geckos jeder Klasse nach einem und nach zwei Jahren. Bestimmen Sie für beide Gebiete den Bestand nach 20 Jahren mit Hilfe der Matrizen bzw.. Es gilt: (35 %) Studentinnen und Studenten (B-Heft Mathematik HH) (Seiten: 11, 21, 25) Professor Heise kennt aus Langzeitbeobachtungen die Studentinnen und Studenten des ersten Semesters besser, als sie ahnen: 60% derer, die in einer Vorlesung aktiv mitarbeiten, arbeiten auch in der nächsten Vorlesung aktiv mit. 40% derer, die an einer Vorlesung nur passiv teilnehmen, nehmen auch an der nächsten Vorlesung nur passiv teil. 30% derer, die nicht in eine Vorlesung kommen, kommen auch in die nächste Vorlesung nicht. Für jede Vorlesung beschreibt Professor Heise die jeweilige Verteilung seiner Studentinnen und Studenten auf die Gruppen Aktive, Passive und Fehlende durch einen Vektor ( ), wobei für die Anzahl der aktiven Studenten, für die Anzahl der passiven und für die Anzahl der fehlenden Studentinnen und Studenten steht. Die Entwicklung dieses Vektors von einem Zeitpunkt i einer Vorlesung ( ) zum Zeitpunkt i + 1 (nächste Vorlesung) modelliert er durch die Gleichung. Aufgrund längerer Beobachtungen hat Professor Heise die folgende Übergangsmatrix aufgestellt: By Don Seite 11

13 a) Ergänzen Sie den Übergangsgraphen zur Matrix M. In einer Vorlesung zählt Professor Heise, dass von den insgesamt 400 Studentinnen und Studenten nur drei Viertel gekommen sind und dass ein Zehntel der Anwesenden aktiv mitarbeitet. b) Berechnen Sie die Anzahl der Aktiven und Passiven, die Professor Heise auf Grund seiner Zählung in der nächsten Vorlesung zu erwarten hat. (25 %) Ferien-Club (B-Heft Mathematik HH) (Seiten: 12, 21, 26, 29) Ein Ferien-Club bietet seinen Mitgliedern regelmäßig drei günstige Sommer-Urlaubsangebote: Ferien-Paket A, Ferien-Paket B und Ferien-Paket C. Die Anzahl der Clubmitglieder ändert sich im Laufe der Jahre. Dennoch gibt es ausgiebige Erfahrungen über die Nutzung der Ferien-Pakete, die in dem nachfolgenden Modell zusammengefasst sind: Die Verteilung der Nutzer eines Sommerangebots nach Abschluss aller Buchungen werde durch einen Verteilungsvektor ( ) beschrieben, wobei für den Anteil derjenigen Clubmitglieder steht, die das Paket A nutzen, für den Anteil derjenigen Clubmitglieder, die das Paket B nutzen, für den Anteil derjenigen Clubmitglieder, die das Paket C nutzen und für den Anteil derjenigen Clubmitglieder, die kein Ferien-Paket nutzen. Die unten stehende Übergangsmatrix M beschreibt im Rahmen des Modellzusammenhangs den Übergang von der Verteilung zum Zeitpunkt i ( ) zur Verteilung zum Zeitpunkt i + 1 im nächsten Jahr. Die Anteile,, und sind jeweils als Dezimalzahlen (Genauigkeit: drei Nachkommastellen) anzugeben. a) Ergänzen Sie in den rechteckigen Feldern des Übergangsgraphen die fehlenden Anteilsangaben. By Don Seite 12

14 Die Nutzerverteilung dieses Sommers sei durch den Verteilungsvektor ( ) gegeben. b) Berechnen Sie den zu erwartenden Verteilungsvektor des nächsten Sommers. Bestimmen Sie den Vektor, der nach dem Modell die Verteilung im vorigen Sommer wiedergibt. (35 %) Pinguine (Abituraufgabe HH 2013 grundlegendes Niveau) (Seiten: 13, 21, 26) Pinguine leben in Kolonien in den kalten Regionen der Südhalbkugel. In einer dieser Kolonien mit etwa Tieren finden Forscher 150 tote Tiere, die offensichtlich an einer bisher unbekannten Krankheit gestorben sind. Erkrankte Pinguine kann man daran erkennen, dass sie kurz nach der Infektion ein auffälliges Verhalten zeigen. An dem Tag, an dem 150 tote Tiere gefunden wurden, haben die Forscher 800 kranke Tiere gesichtet. Zur Beschreibung der Ausbreitung der Krankheit mit einem Modell teilen die Forscher die gesamte Population von Pinguinen in drei Gruppen ein: Gesunde, Kranke und Tote. Im Vektor ( ) wird die Verteilung der Gesamtpopulation auf diese drei Gruppen am Tag n (nach Ausbruch der Krankheit) notiert. Die einzelnen Komponenten, und geben jeweils die Anzahl der Pinguine in der betreffenden Gruppe an. Im Rahmen des Modells gilt der Zusammenhang, wobei M die folgende Matrix ist: Der Vektor beschreibt die Population von gesunden Pinguinen. a) Erstellen Sie den zu der Übergangsmatrix M gehörenden Übergangsgraphen. Interpretieren Sie die Matrixeinträge und vor dem Hintergrund des Sachkontextes. Begründen Sie im Sachkontext, warum die Summe der Spalteneinträge der Matrix M jeweils 1 beträgt. b) Berechnen Sie mithilfe des Modells die Verteilung der Gesamtpopulation von Pinguinen für die ersten beiden Tage nach Ausbruch der Krankheit. Beurteilen Sie, ob das von den Forschern gewählte Modell die Beobachtungen der im Text beschriebenen Pinguinfunde angemessen beschreibt. (35 %) By Don Seite 13

15 Straßenkatzen (Abituraufgabe HH 2012 erhöhtes Niveau) (Seiten: 14, 22, 26, 30) Die Hauskatze ist das beliebteste Haustier der Deutschen. Ungefähr 8,2 Millionen Tiere werden in 16,5 % aller Haushalte (Stand 2009) gehalten und von ihren Besitzern umhegt und gepflegt. Was allerdings die Problematik Straßenkatzen in Deutschland betrifft, so herrschen ähnliche Zustände, wie man sie von den Straßenhunden in Europa kennt. Straßen- oder Streunerkatzen leben herrenlos und auf sich allein gestellt. Katzen vermehren sich vergleichsweise schnell. Zum einen wirft eine Katze im Jahr bis zu dreimal Junge, wobei ein Wurf im Durchschnitt aus vier bis fünf Jungtieren besteht. Zum anderen werden Katzen sehr schnell geschlechtsreif, nämlich im Alter von fünf bis acht Monaten. Die Lebenserwartung in herrenlosen Katzenpopulationen, ohne menschliche Zuwendung und medizinische Betreuung, beträgt für weibliche Tiere ca. 3 bis 4 Jahre, für Kater ca. 1 bis 2 Jahre. Im Folgenden soll eine Katzenpopulation betrachtet werden, die in fünf Altersklassen unterteilt ist: FK: Kätzchen im Alter von 0 bis unter 12 Monaten F1: Katzen im Alter von 1 bis unter 2 Jahren F2: Katzen im Alter von 2 bis unter 3 Jahren F3: Katzen im Alter von 3 bis unter 4 Jahren F4: Katzen im Alter von mindestens 4 Jahren a) Die Entwicklung pro Jahr wird durch die Übergangsmatrix P beschrieben: Erstellen Sie den Übergangsgraphen, der diese Entwicklung beschreibt. Beschreiben Sie die Bedeutung aller von Null verschiedenen Einträge der Populationsmatrix im Sachkontext. b) Berechnen Sie und interpretieren Sie die fünfte Zeile. In einem Hamburger Stadtbezirk wurde von einer Tierschutzorganisation folgender Bestandsvektor für Straßenkatzen ermittelt:. ( ) (30 %) Landschaf (Abituraufgabe HH 2011 grundlegendes Niveau) (Seiten: 14, 22, 27) Eine Landschafrasse, die sich durch eine besondere Fellfärbung auszeichnet, gehört zu den bedrohten Nutztierrassen in Deutschland. Zu Anfang des 20. Jahrhunderts machte dieses Landschaf in seinen Verbreitungsgebieten ca. 50 % des Schafbestandes aus. Durch die Entwicklung der 20er und 30er Jahre, nur noch wenige Rassen mit hoher Fleischleistung zu züchten, wurden diese Landschafe systematisch dezimiert. Um diese Schafrasse zu erhalten, entstanden in den letzten Jahren wieder vereinzelt Zuchten dieses Schafes. Die beiden Schafzuchtbetriebe Krause und Meier wurden auf diese Landschafrasse aufmerksam. In dieser Aufgabe werden nur die weiblichen Schafe betrachtet. Die Zuchtbetriebe Krause und Meier bieten den Schafen unterschiedliche Zuchtbedingungen, wie beispielsweise Deckalter und Deckrate der Schafe sowie verschiedene Lebensumstände. Die Schafrasse wird zur Vereinfachung in drei Altersklassen eingeteilt: Jungtiere (J), Erwachsene Tiere (E) und Alttiere (A). Die Entwicklung der Schafe in den beiden Zuchtbetrieben von Jahr zu Jahr lässt sich in einem vereinfachten Modell beschreiben. Die Zuchtbetriebe gehen hierbei von den folgenden Populationsmatrizen aus: By Don Seite 14

16 a) Vervollständigen Sie für die beiden Zuchtbetriebe die Entwicklung der Population in den Übergangsgraphen. b) Vergleichen Sie die Zuchtbetriebe Krause und Meier anhand der beiden Populationsmatrizen K und M. In den folgenden Aufgabenteilen soll zunächst die Entwicklung der Schafpopulation im Zuchtbetrieb Krause untersucht werden. Der Zuchtbetrieb beginnt seine Schafzucht mit 10 Jungtieren (J), 10 erwachsenen Tieren (E) und 10 Alttieren (A). c) Berechnen Sie für den Zuchtbetrieb Krause mithilfe der Populationsmatrix K die Anzahl der Schafe jeder Altersklasse nach dem ersten und nach dem zweiten Jahr unter den gleichen Zuchtbedingungen. (30 %) Lachse (Abituraufgabe HH 2011 erhöhtes Anforderungsniveau) (Seiten: 15, 22, 27, 30) Der atlantische Lachs hält sich als erwachsenes Tier in den küstennahen Gewässern von Nord- und Ostsee auf. Hier ernährt er sich räuberisch von anderen Fischen. Der Lachs ist ein Wanderfisch. Früher wurden Lachse in großen Mengen auf ihren Laichwanderungen gefangen, oft bevor sie sich fortpflanzen konnten. Dies war auch mit ein Grund für den Zusammenbruch der Lachsbestände. Zur Fortpflanzung wandern die atlantischen Lachse im Frühsommer aus dem Meer wieder in ihre Heimatgewässer zurück. Bei dieser Wanderung können sie bis zu 2 m hohe Hindernisse überspringen. Anfang November bis Ende Februar erreichen sie ihre Laichgebiete in den Oberläufen der großen Flüsse. Hier legt das Weibchen an verschiedenen Stellen ca bis Eier ab, die von mehreren Männchen befruchtet werden. Nach dem Laichstress sterben die meisten Elterntiere ab. Weniger als 10 % wandern wieder zurück, um im nächsten Jahr eine zweite Laichwanderung zu unternehmen. Eine dritte Laichwanderung können nur weniger als 0,1 % der Lachse durchführen. Je nach Wassertemperatur schlüpfen die Larven nach 80 bis 210 Tagen. Die kleinen Junglachse (Parrs) färben sich nach 1 bis 5 Jahren mehr und mehr silbern und wandern, nun Smolts genannt, in das Meer ab. Im Meer werden sie nach 1 bis 4 Jahren fortpflanzungsfähig. Die Entwicklung der weiblichen Lachspopulation in einem Fluss soll durch folgende Leslie-Matrix beschrieben werden. a) Stellen Sie die Leslie-Matrix in einem Übergangsgraphen dar, verwenden Sie dazu die Klassen Eier (E), Parr (P), Smolt (S), erwachsene Erstlaicher (1L), erwachsene Zweitlaicher (2L). b) Interpretieren Sie die Bedeutung der Einträge 6000, 0,4 und 0,05 in der Matrix. Geben Sie an, auf welche Formulierungen des obigen Textes sich diese drei Einträge jeweils beziehen und beurteilen Sie, ob sie den Sachverhalt angemessen wiedergeben. (30 %) Industriehallen (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 15, 22, 28) Eine Firma bietet Industriehallen aus normierten Betonstahlfertigteilen an. Zur Herstellung dieser Fertigteile benötigt sie die Rohstoffe Kies ( ), Zement ( ), Stahl ( ) und Wasser ( ). Aus den Rohstoffen werden folgende Zwischenprodukte hergestellt: Wandplatten ( ), Stützen ( ) und Träger ( ). Aus diesen Bauteilen können zwei Hallentypen, und, montiert werden. Die folgenden Tabellen geben an, wie By Don Seite 15

17 viele Tonnen der Rohstoffe zur Herstellung je einer Tonne der Zwischenprodukte benötigt werden bzw. wie viele Tonnen der jeweiligen Zwischenprodukte pro Hallentyp benötigt werden. Die Kosten in GE pro Tonne betragen für die jeweiligen Rohstoffe: Die Fertigungskosten in GE pro Tonne betragen für die jeweiligen Zwischenprodukte: Die Endmontagekosten betragen GE für Hallentyp 1 und GE für Hallentyp 2. a) Beschreiben Sie die Verflechtungen mit einem Graphen. Berechnen Sie die Matrix, aus der die Anzahl der Tonnen abgelesen werden kann, die von den einzelnen Rohstoffen pro Hallentyp verarbeitet werden. Geben Sie an, wie viele Tonnen Kies ( ) für Hallentyp 1 und wie viel Tonnen Stahl ( ) für Hallentyp 2 benötigt werden. b) Bestimmen Sie, wie viel jeweils die Herstellung einer fertig montierten Halle vom Typ und vom Typ kostet. (45 %) Kosten und Gewinne (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 16, 23, 28, 30) Ein Betrieb stellt aus den Rohstoffen,, und die Zwischenprodukte,, und her und aus diesen die Endprodukte, und. Der Materialfluss in Mengeneinheiten (ME) ist folgenden Tabellen zu entnehmen. a) Geben Sie die zugehörigen Matrizen, und. Berechnen Sie die fehlenden Werte der Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix. b) Wegen eines Umbaus soll das Rohstofflager weitgehend geräumt werden. Dabei sollen zwei Bedingungen erfüllt werden: i) Die Lagerbestände von und sollen vollständig aufgebraucht werden. ii) Von und soll gleich viel übrig bleiben. Der Lagerbestand beträgt ME von, 720 ME von, 960 ME von und ME von. Untersuchen Sie, ob die beiden obigen Bedingungen erfüllt sind, wenn 80 ME von, 40 ME von und 120 ME von produziert werden. (25 %) - Ende Teil 1 (Basics Lineare Algebra) - By Don Seite 16

18 Ausschnitte Abituraufgaben Fortgeschritten: Der Teil mit den Aufgaben, deren Punkte einen in den Bereich der sicheren Drei bis hoch zur glatten Zwei oder sogar zur Zwei Plus tragen, erfordert einige verbindende Überlegungen für die nötigen Berechnungen und ein gutes Verständnis und Fachwissen für die Interpretation bzw. Erklärung der Sachverhalte. Mit ein wenig Übung sollte es gelingen, in diesem Bereich zumindest einen Großteil der Aufgaben zu lösen. Gerade hier ist eine gute Leserführung auch für die Ordnung der eigenen Gedanken enorm wichtig. Vegetation (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 5, 17, 23) c) Zu Beginn der Modellierung nehmen die Klassen die folgenden Flächen (in ) ein: Klasse 1: 302 Klasse 2: 284 Klasse 3: 314 Klasse 4: 1100 Berechnen Sie daraus mit Hilfe der Leslie-Matrix L eine Prognose für die Flächenmaße der einzelnen Klassen nach 10 Jahren (1 Zeittakt). d) Berechnet man von der Matrix L aus Aufgabenteil a) die Potenzen,,, usw., so stellt man fest, dass sich die Matrizen für größere Werte von n kaum noch voneinander unter scheiden. So stimmen die gerundeten Matrizen L für n 30 mit der folgenden Matrix überein: Was kann man daraus für die Chaparral-Vegetation folgern? (35 %) Schwarzwild (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 6, 17, 23) Die folgenden Aufgabenteile d) bis h) beziehen sich auf die Matrix P. d) Eine weibliche Wildschweinpopulation setzt sich zum Untersuchungszeitpunkt aus 60 Frischlingen, 23 Überläuferbachen und 17 reifen Bachen zusammen. Berechnen Sie mit Hilfe der Populationsmatrix P die Population nach einem Jahr und aus diesem Ergebnis die Population nach einem weiteren Jahr unter den gleichen Lebensbedingungen. e) Berechnen Sie und runden Sie die Elemente dieser Matrix auf zwei Nachkommastellen. Bestätigen Sie durch Nachrechnen, dass man auch mit Hilfe von den Wildschweinbestand aus Aufgabenteil d) nach zwei Jahren bestimmen kann. f) Begründen Sie allein im Sachkontext und unabhängig von der Rechnung in e), warum keine Null enthalten darf. (35 %) Käferpopulation (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 6, 17, 24) c) Bestimmen Sie für das Populationsmodell einen Anfangsbestand, der nach einem Monat unverändert ist. Beschreiben Sie die Langzeitentwicklung dieses Bestandes. d) Bestimmen Sie für die Populationsmatrix P die Potenzen und, und zeigen Sie damit, dass ( ) gilt. Interpretieren Sie diesen Sachverhalt im Kontext der Population. (35 %) By Don Seite 17

19 Kastanien-Miniermotte (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 7, 18, 24) Die leicht veränderte, ebenfalls dreischrittige Entwicklungsphase der Augustgeneration eines Sommers wird durch dreimalige Anwendung der folgenden Matrix Q dargestellt: d) Beschreiben Sie die Bedeutung der von Null verschiedenen Einträge der Matrix Q. e) Bestimmen Sie aus dem Ergebnis von b) die Anzahl der Winter-Puppen Ende August. Die Berechnung der Entwicklung im August lässt sich auch wieder in einem einzigen Schritt mithilfe der folgenden Matrix durchführen: f) Bestimmen Sie die Matrix R, die die Entwicklung im Juni und August in einem Schritt zusammenfasst, so dass man direkt aus der Anzahl der Winter-Puppen Anfang Juni die Anzahl der Winter-Puppen Ende August berechnen kann. Bestätigen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie mit dieser Matrix R das Ergebnis aus e) erneut berechnen. (35 %) Wanderung Borstenschweine (Anwendungsaufgaben) (Seiten: 8, 18, 24) c) Stellen Sie die Matrizengleichung auf, die den allgemeinen Zusammenhang zwischen der Verteilung des n-ten Jahres und der Verteilung des folgenden Jahres beschreibt. Verwenden Sie für die Übergangsmatrix den Buchstaben A. d) Berechnen Sie die Verteilung des Vorjahres. e) In vielen Fällen stabilisiert sich die Verteilung im Laufe der Zeit. Angenommen, es gibt eine Verteilung ( ) die sich in den folgenden Jahren nicht mehr ändert, obwohl das Wechselverhalten der Tiere ebenfalls unverändert geblieben ist. Beschreiben Sie das Gleichbleiben der Verteilung trotz Wanderungsbewegung durch eine Matrizengleichung mit den Größen A und. Beschreiben Sie außerdem das Gleichbleiben des Gesamtbestandes durch eine Gleichung mit den Unbekannten, und. (50 %) Fruchtsäfte (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 8, 18) c) Um auf Dauer einen reibungslosen Produktionsablauf in Werk B zu gewährleisten, soll das Lager nach der Renovierung einen Mindestbestand an Zwischenprodukten aufweisen. Untersuchen und beurteilen Sie ohne Rechnungen die Probleme der Lagerhaltung bezüglich des Kapitalbedarfs und der Finanzierung. d) Zukünftig soll die Produktion im Werk A auf eine neue, sicherere Fertigungstechnik umgestellt werden. Bei dieser Technik ändern sich in Abhängigkeit von einem Technologieparameter t sowohl der Rohstoffeinsatz als auch die Fertigungskosten für die Zwischenproduktion. Die Gesamtkosten K für die Herstellung von je 1 ME der Zwischenprodukte belaufen sich in GE nach alter Technik auf und nach neuer Technik auf (. - Bestimmen Sie den Parameter t so, dass die Gesamtkosten K minimal werden. - Ermitteln Sie, für welche ganzzahligen Werte von t das neue Produktionsverfahren kostengünstiger ist als das alte Verfahren, und beurteilen Sie die neue Kostensituation des Betriebes. (45 %) By Don Seite 18

20 Insektenpopulation (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 9, 19, 24, 29) c) Betrachten Sie folgende Übersicht. Dabei ist die Zeit in Jahren angegeben, der Populationsvektor besteht aus den Individuen der in b) genannten Teilgruppen, und die Gesamtpopulation ist die Summe der Individuen in den Teilgruppen, also ohne die männlichen Insekten. Skizzieren Sie die jeweiligen Werte der Gesamtpopulation in anliegendes Koordinatensystem. Beschreiben Sie, wie sich die Populationsvektoren und damit die Gesamtpopulation in den kommenden Jahren nach dem Modell entwickeln werden, und skizzieren Sie entsprechend den weiteren Verlauf der Gesamtpopulation bis zum Jahr 10. Bestimmen Sie den Populationsvektor nach 25 Jahren ( ) und den Populationsvektor im Jahr vor Beginn der Beobachtung ( ) (bei Verwendung des bisherigen Modells). By Don Seite 19

21 d) Die in c) betrachtete Eigenart des verwendeten Modells kann von der Matrix abhängen, aber auch von der Startpopulation. Geben Sie begründet die Eigenschaft der Matrix A an, die unabhängig von der Startpopulation zu Ergebnissen wie in c) beschrieben führt. Untersuchen Sie, ob es Populationsvektoren ( ) gibt, die sich jährlich wiederholen, und bestimmen Sie gegebenenfalls einen dieser Populationsvektoren. (35 %) Einkommensgruppen (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 10, 20, 25) c) Ermitteln Sie die Einkommensverteilung der Elterngeneration der ersten Gruppe. Setzen Sie dabei voraus, dass obiges Modell auch schon bei dieser Generation galt. Nach einigen Jahren stellt man fest, dass Eltern der hohen Einkommensgruppe durchschnittlich nur ein Kind bekommen, in der mittleren Einkommensgruppe dagegen zwei Kinder und in der niedrigen Einkommensgruppe drei Kinder geboren werden. d) Ermitteln Sie die modifizierte Übergangsmatrix und begründen Sie Ihre Vorgehensweise. (Hinweise: Überlegen Sie, welche Matrixelemente jeweils die Entwicklung einer Gruppe repräsentieren. Kontrollergebnis: ( )). ( ) (35 %) Libellenentwicklung (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 10, 20, 25, 29) c) Bestimmen Sie eine Startpopulation, die sich in jeder Generation reproduziert. d) Ermitteln Sie eine Startpopulation, aus der nach einer Generation 11 Junglibellen, 5 Altlibellen, 2000 Eier, 40 Junglarven und 20 Altlarven geworden sind. (35 %) Geckos (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 11, 20, 25, 29) Im folgenden Aufgabenteil geht es jeweils um die Größe der gesamten Geckopopulation, also um die Summe der Jung- und Alttiere. Neben den Gebieten A und B wird außerdem ein Gebiet in einer Region C betrachtet. Die Entwicklung der Geckozahlen in diesem Gebiet ist in folgender Tabelle dargestellt. c) Vergleichen Sie anhand Ihrer Ergebnisse und unter Berücksichtigung der tabellierten Werte die Entwicklungen der Geckozahlen in allen drei Gebieten miteinander. Bestimmen Sie mit Hilfe der Wertepaare für t = 0 und t = 20 für jedes Gebiet eine Exponentialfunktion vom Typ ( ) zur diskreten Beschreibung der Gecko-Entwicklung. Dabei soll f(t) die Gesamtzahl der Geckos in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren darstellen. Bestimmen Sie, nach wie vielen Jahren in den Gebieten B und C gleich viele Geckos leben. (20 %) By Don Seite 20

22 Studentinnen und Studenten (B-Heft Mathematik HH) (Seiten: 11, 21, 25) c) Zeigen Sie, dass es keinen realistischen Verteilungsvektor der Studentinnen und Studenten geben kann, der sich nach dem vorliegenden Modell von einer Vorlesung zur nächsten exakt reproduzieren würde. Ermitteln Sie einen Verteilungsvektor, der sich nach dem vorliegenden Modell von einer Vorlesung zur nächsten näherungsweise reproduzieren würde. Die Potenzen nähern sich für große Potenzen n der Matrix G an: d) Begründen Sie im Sachkontext, warum sowohl bei der Matrix M als auch bei der Matrix G die Spaltensummen exakt gleich 1 sein müssten. e) Bestimmen Sie den Verteilungsvektor, den Professor Heise in seinen Vorlesungen langfristig näherungsweise zu erwarten hat. Hinweis: Die Gesamtanzahl der betrachteten Studentinnen und Studenten beträgt 400. (50 %) Ferien-Club (B-Heft Mathematik HH) (Seiten: 12, 21, 26, 29) c) Ermitteln Sie das Element m in der Matrix. Erläutern Sie kurz allgemein, d. h. unabhängig von den konkreten Werten in der Matrix M, die praktische Bedeutung von Matrixpotenzen im Rahmen des hier behandelten Umverteilungsmodells. Kurz vor den Ferien haben alle Clubmitglieder ihre Entscheidung getroffen, ob sie ein Paket wählen und wenn ja, welches. Die Clubleitung versucht nun, alle, die kein Paket gebucht haben, umzustimmen und zu einer Buchung von Ferien-Paket C zu gewinnen. Deshalb veröffentlicht sie in der Clubzeitung ein Sonderangebot: Ferien-Paket C für Kurzentschlossene mit einem Rabattsatz von 20%. d) Geben Sie eine Matrix A an, deren Multiplikation mit einem Verteilungsvektor die Wanderung aller Nicht-Nutzer zu C-Nutzern modelliert. Es gelte und. Entscheiden Sie, welche der beiden folgenden Modellgleichungen den angestrebten Buchungsprozess am ehesten beschreibt: (25 %) Pinguine (Abituraufgabe HH 2013 grundlegendes Niveau) (Seiten: 13, 21, 26) Aufgrund der schlechten Wetterbedingungen war an einem Mittwoch die Zählung der Tiere nicht möglich. Am darauf folgenden Tag werden insgesamt 1052 kranke und 1574 tote Pinguine gezählt. c) Bestimmen Sie mithilfe des Modells die Anzahl der gesunden, kranken und toten Tiere für den Mittwoch, an dem die Zählung nicht möglich war. d) Begründen Sie, dass im Rahmen dieses Modells langfristig alle Pinguine sterben werden. Beurteilen Sie, inwiefern es sich bei der Abnahme der Anzahl der lebenden Pinguine um eine exponentielle Abnahme handelt. (35 %) By Don Seite 21

23 Straßenkatzen (Abituraufgabe HH 2012 erhöhtes Niveau) (Seiten: 14, 22, 26, 30) c) Berechnen Sie die prozentuale Zunahme im Zeitraum von zwei Jahren, wenn nicht vom Menschen (z. B. durch Kastration) eingegriffen wird. Beschreiben Sie, wie sich die Population langfristig ohne Eingriff entwickeln wird. d) Bestätigen Sie, dass es unter den durch die Matrix P beschriebenen Bedingungen keinen Bestandsvektor geben kann, der sich reproduziert. (30 %) Landschaf (Abituraufgabe HH 2011 grundlegendes Niveau) (Seiten: 14, 22, 27) d) Zeigen Sie unabhängig von den bisherigen Zahlen mithilfe der Matrix K, dass es eine bestimmte Schafpopulation gibt, die sich in genau gleicher Zusammensetzung jährlich reproduziert und aus einem Gesamtbestand von 76 Schafen besteht. Der Zuchtbetrieb Krause interessiert sich auch für die langfristige Entwicklung seiner Schafpopulation. Diese soll im nächsten Aufgabenteil untersucht werden. e) Zeigen Sie, dass auch nach zehn Jahren der Gesamtbestand etwa 30 Schafe umfasst. Ermitteln Sie die gerundete Matrixpotenz. Vergleichen Sie die Matrizen und und beurteilen Sie den festgestellten Sachverhalt im Hinblick auf die langfristige Entwicklung der Population. (45 %) Lachse (Abituraufgabe HH 2011 erhöhtes Anforderungsniveau) (Seiten: 15, 22, 27, 30) Im Rhein und seinen Nebenflüssen waren die Lachse in den 1950er Jahren ausgestorben, z.b. aufgrund von unüberwindbaren Staudämmen. Ein lokaler Politiker macht folgendes Wahlversprechen: In einem Nebenfluss des Rheins wird eine Fischleiter um einen Staudamm herum gebaut und 1000 weibliche Lachse sowie eine hinreichend große Anzahl von männlichen Lachsen werden wieder angesiedelt. Bei dem Aussetzen der Lachse wurden diese nicht mehr gezählt. Ein lokaler Umweltverband zweifelt daran, ob wirklich 1000 weibliche Lachse ausgesetzt wurden, zumal im nächsten Jahr nur 602 weibliche Lachse gezählt wurden. Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass keine Zweitlaicher ausgesetzt wurden. c) Ermitteln Sie mit dem Modell aus Aufgabenteil a) für den ausgezählten Populationsbestand ( ) den Bestand des Vorjahres und den Parameter e. Entscheiden Sie, ob das Versprechen eingehalten wurde. Interpretieren Sie, warum der erste Eintrag des Vektors nur in Form eines Parameters e angegeben ist. In einem weiteren Nebenfluss des Rheins gibt es schon seit einiger Zeit wieder Lachse. Stichprobenartig werden die Bestände der einzelnen Klassen ausgezählt und auf folgende Population der weiblichen Lachse geschlossen: ( ). d) Berechnen Sie mithilfe der Matrix L die Populationsvektoren und für die nächsten zwei Jahre. (35 %) Industriehallen (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 15, 22, 28) c) Im Lager sind noch Tonnen Kies ( ), 424 Tonnen Zement ( ) und 384 Tonnen Stahl ( ) vorrätig. Wasser ist in ausreichender Menge vorhanden. Untersuchen Sie, ob es möglich ist, die Rohstoffe, und durch Herstellung von Zwischenprodukten restlos aufzubrauchen, und ermitteln Sie, wie viele Tonnen der einzelnen Zwischenprodukte mit diesen Lagerbeständen produziert werden können. Bestimmen Sie zusätzlich, wie viel Wasser zur Herstellung dieser Zwischenprodukte nötig ist. d) Bestimmen Sie, wie viele Hallen vom Typ1 sich aus den Zwischenprodukten aus Teil c) montieren lassen, wenn man keine Halle vom Typ 2 montiert, und bestimmen Sie, wie viele Hallen vom Typ2 By Don Seite 22

24 sich aus den Zwischenprodukten aus Teil c) montieren lassen, wenn man keine Halle vom Typ 1 montiert. Ermitteln Sie, ob man die Anzahl der herstellbaren Hallen vergrößern könnte, wenn man Hallen beiden Typs montieren würde. (45 %) Kosten und Gewinne (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 16, 23, 28, 30) c) Der Betrieb erhält einen Auftrag über 200 ME von. Bestimmen Sie die Gesamtkosten für diesen Auftrag, wenn folgendes gilt: i) Die Rohstoffkosten in GE pro ME betragen: 1 für, 3 für, 4 für und 2 für. ii) Die Fertigungskosten in GE je ME eines Zwischenprodukts betragen: 1 für, 1 für, 3 für und 4 für. iii) Die Fertigungskosten je ME des Endproduktes betragen 2 GE. iv) Die Fixkosten betragen 400 GE. (20 %) - Ende Teil 2 (Fortgeschritten Lineare Algebra) - Ausschnitte Abituraufgaben Profi: Die Teile der Abituraufgaben für den Profi. Mal einfach aber manches Mal auch wirklich zum Haare raufen. Um auch noch die letzten Punkte zu der Eins Plus heraus zu kitzeln, bedarf es sehr guter Kenntnisse der Basisfähigkeiten und ein tiefes Verständnis der Materie. Ein übersichtlicher und durchschaubarer Lösungsaufbau ist hier noch wichtiger als in den bisherigen Teilbereichen. Mit viel Übung sollte es allerdings möglich sein, auch hier einen Großteil der gestellten Aufgaben zu lösen. Vegetation (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 5, 17, 23) e) Die Berechnung in Aufgabenteil c) (und auch in d)) kann als Funktion aufgefasst werden. Beschreiben Sie diese Funktion (Zuordnungsvorschrift, Definitions- und Zielmenge), und geben Sie als Beispiel mit Ihrer Funktion die Rechenvorschrift für Prognose in 50 Jahren an. f) In der Praxis führen die Verwalter des Chaparral auch noch ein kontrolliertes, gewolltes Abbrennen von Teilen der Vegetation, die älter als 10 Jahre ist, durch. Dabei soll im Modell das Abbrennen immer unmittelbar nach Ablauf von 10 Jahren (also am Ende eines Zeittaktes) auf einmal stattfinden, wobei jeweils 2% von Klasse 2, 2% von Klasse 3 und 7% von Klasse 4 abbrennen. Bestimmen Sie als Modell zur Berechnung der Folgen für die Vegetation eine entsprechende Matrix M. Beschreiben Sie den gesamten zehnjährigen Vorgang des spontanen und gewollten Abbrennens mit Hilfe der Matrizen M und L und begründen Sie Ihr Vorgehen. (40 %) Schwarzwild (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 6, 17, 23) Auch ohne menschliche Eingriffe sind gleich bleibende Lebensbedingungen über Jahre hinweg unrealistisch; das Schwarzwild könnte sich wegen der Futter- und Raumnot nicht ungehindert vermehren. Trotzdem würden die Bestände zunächst dramatisch wachsen. Um die Populationen konstant zu halten, werden Wildschweine von den Jagdpächtern geschossen. Zu beachten ist dabei, dass reife Bachen in der Sozialstruktur von Wildschweingruppen eine wichtige Rolle spielen. Ohne sie würden heranwachsende Frischlinge ausrasten. g) Der Bestand nach 10 Jahren kann mit Hilfe der Matrix bestimmt werden. Für die 10. Potenz der Matrix P gilt: By Don Seite 23

25 Bestätigen Sie, dass bei ungestörtem Wachstum unter gleich bleibenden Lebensbedingungen die Ausgangspopulation von 100 Wildschweinen (60 Frischlinge, 23 Überläuferbachen und 17 reife Bachen) nach 10 Jahren auf mehr als Tiere anwächst. h) Bestimmen Sie eine Population, auf die der in Aufgabenteil d) beschriebene Bestand (60 Frischlinge, 23 Überläuferbachen und 17 reife Bachen) durch Abschuss reduziert werden könnte, sodass im nächsten Jahr die Population wiederum nur auf insgesamt 100 weibliche Tiere anwächst. Lassen Sie zehn reife Bachen und zehn Überläuferbachen am Leben. (25 %) Käferpopulation (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 6, 17, 24) f) Diese Teilaufgabe ist eine Verallgemeinerung von d): Gegeben sei die Matrix ( ) mit und. Ermitteln Sie Bedingungen für a, b und c, damit. Zeigen Sie, dass für diese Matrizen M dann gilt, und beurteilen Sie das Ergebnis im Hinblick auf alle Potenzen der Matrix M. (20 %) Kastanien-Miniermotte (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 7, 18, 24) g) Zur Bekämpfung der Miniermotten wird seit einigen Jahren in der Presse dazu aufgerufen, das Laub der Kastanien zu verbrennen, weil darin die Puppen überwintern und die Puppen von der Verrottung des Laubs nicht betroffen sind. Solche Aktionen bewirkten eine drastische Reduktion der überwinterten Puppen und damit des Befalls der Kastanienbäume. Berechnen Sie, wie viel Prozent des Winterlaubs verbrannt werden müsste, damit sich nach dem hier entwickelten Modell die Miniermotten nicht von Jahr zu Jahr weiter ausbreiten. h) Ein Unternehmen der chemischen Industrie hat ein neues Mittel speziell gegen die Falter entwickelt. Ermitteln Sie einen Rechenweg, mit dem man bestimmen könnte, wie viel Prozent der Falter getötet werden müssten, bevor sie Eier legen, damit sich nach dem hier entwickelten Modell die Miniermotten nicht von Jahr zu Jahr weiter ausbreiten. (30 %) Wanderung Borstenschweine (Anwendungsaufgaben) (Seiten: 8, 18, 24) e) Aus Teil e) haben Sie 4 Gleichungen für 3 Unbekannte, und aufgestellt. Lösen Sie dieses LGS mit dem Gauß-Verfahren und machen Sie die Probe. Ordnen Sie die Reviere nach ihrem Beliebtheitsgrad und vergleichen Sie mit dem Übergangsdiagramm. (20 %) Insektenpopulation (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 9, 19, 24, 29) Zu den eben angesprochenen Ursachen für bestimmte Eigenschaften der Population folgt jetzt ein rein mathematisches Beispiel: e) Eine quadratische Matrix M heißt zyklische Matrix, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, so dass gilt:. Zeigen Sie, dass die obige Populationsmatrix P für n 2 und für n 3 nicht zyklisch sein kann. Ermitteln Sie die Bedingungen für a, b, c und d, damit gilt:. Die folgenden beiden Aufgaben beziehen sich wieder auf das durch die Matrix A beschriebene Modell, das jetzt neuen Situationen angepasst werden soll: By Don Seite 24

26 f) Durch eine spürbare Veränderung der Trocken- und Regenzeiten, die von Wissenschaftlern auf den allseits diskutierten Klimawandel zurück geführt wird, halbiert sich seit einigen Jahren bei sonst gleich bleibenden Überlebensraten die Anzahl der von den Weibchen gelegten Eier. Bestimmen Sie die neue Populationsmatrix. Es gilt: ( ). Interpretieren Sie, wie sich diese Veränderung auf die langfristige Entwicklung der Insektenpopulation auswirkt. (25 %) Einkommensgruppen (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 10, 20, 25) e) Berechnen Sie die Einkommensverteilung in den nächsten beiden Generationen. Vergleichen Sie das modifizierte Modell hinsichtlich der Entwicklung der Gesamtzahl der Familien mit dem ursprünglichen Modell. Bei einigen Populationsmatrizen A erhält man die Einheitsmatrix E durch Mehrfachmultiplikation der Matrix A mit sich selbst, also { }. Die Einheitsmatrix E erhält man aber auch durch Multiplikation der Matrix A mit ihrer inversen Matrix, sofern diese existiert, also. Gegeben ist nun die allgemeine Populationsmatrix ( ). f) Bestimmen Sie die Matrizen und und ermitteln Sie die Bedingungen für a, b und c, damit gilt:. Interpretieren Sie für diesen Fall die Bedeutung der Matrix. g) Interpretieren Sie dieses Phänomen für die Entwicklung einer zugehörigen Population. (40 %) Libellenentwicklung (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 10, 20, 25, 29) Durch einen besonderen Umwelteinfluss werden die Anzahlen der Larven (jung und alt) ad hoc halbiert, während die Eier und die Libellen davon unbeeinflusst bleiben. e) Geben Sie begründet eine Matrix H an, die die Halbierung der Larvenanzahlen beschreibt. (10 %) Geckos (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 11, 20, 25, 29) Wanderbewegungen zwischen den Regionen blieben bisher unberücksichtigt. Tatsächlich wandern aber jährlich 5 % der Alttiere von Region B nach Region A. 10 % der Jungtiere wandern von Region A nach Region B über. Die bereits erwähnte hohe Anpassungsfähigkeit der Geckos führt dazu, dass sich die Tiere in ihrer Populationsentwicklung sofort den ansässigen Geckos anpassen. d) Die Population in beiden Regionen wird durch den Vektor ( ) angeben. Leiten Sie für die neue Situation einen Übergangsgraphen her. Ermitteln Sie eine modifizierte Übergangsmatrix P und begründen Sie Ihre Vorgehensweise. (20 %) Studentinnen und Studenten (B-Heft Mathematik HH) (Seiten: 11, 21, 25) Eines Tages stellt Professor Heise in seiner Vorlesung den folgenden Verteilungsvektor der Studentinnen und Studenten fest: By Don Seite 25

27 In der vorangegangenen Vorlesung hatte Professor Heise seine Studentinnen und Studenten nicht gezählt. Mit Hilfe seiner Modellierung möchte er ausrechnen, wie der Verteilungsvektor der vorigen Vorlesung gewesen sein mag. f) Zeigen Sie, das jeder Vektor der Form ( ) mit die Gleichung erfüllt. Ermitteln Sie alle Werte von t, die im Sachkontext der Aufgabe sinnvoll sind. (25 %) Ferien-Club (B-Heft Mathematik HH) (Seiten: 12, 21, 26, 29) Ein Verteilungsvektor heißt realistisch, wenn alle seine Komponenten nicht-negativ sind und ihre Summe den Wert 1 hat. Sei ein realistischer Verteilungsvektor, der zugleich ein Eigenvektor der Matrix M ist. e) Begründen Sie, dass für den zum Eigenvektor gehörenden Eigenwert gilt: = 1. Beschreiben Sie die Weiterentwicklung der Verteilungsvektoren im Modell für den Fall, dass die aktuelle Verteilung durch den Vektor gegeben ist. (15 %) Pinguine (Abituraufgabe HH 2013 grundlegendes Niveau) (Seiten: 13, 21, 26) Einige der genesenen Pinguine werden genauer untersucht. Es stellt sich heraus, dass diese gegen die Krankheit immun sind, also nicht wieder erkranken. In einem erweiterten Modell geht man daher davon aus, dass alle Pinguine nach einer überstandenen Infektion gegen die Krankheit immun sind. Die Gruppe der immunen Pinguine wird in das Modell aufgenommen, sodass nun der Vektor die Verteilung der Gesamtpopulation auf die vier Gruppen am Tag n beschreibt. In der Gruppe der Gesunden befinden sich also nur diejenigen gesunden Tiere, die zwar gesund, aber nicht immun sind. e) Geben Sie für das erweiterte Modell eine Übergangsmatrix L an und begründen Sie Ihre Angaben. Bestimmen Sie den Anteil der Tiere an der Gesamtpopulation, der nach diesem Modell die Epidemie überlebt. f) Bestätigen, dass man mit Hilfe der Matrix ( ) den Bestand der Pinguinpopulation nach etwa einem Jahr näherungsweise berechnen kann. (30 %) Straßenkatzen (Abituraufgabe HH 2012 erhöhtes Niveau) (Seiten: 14, 22, 26, 30) Da Straßenkatzen in der Regel nicht an den Menschen gewöhnt sind, ist eine Unterbringung in (den meist überfüllten) Tierheimen und anschließende Vermittlung nicht sinnvoll. Um die unkontrollierte Katzenvermehrung dennoch zu minimieren, machen Tierschutzorganisationen den Vorschlag, nach dem Zufallsprinzip eingefangene Katzen zu kastrieren, diese jedoch anschließend in ihrer gewohnten Umgebung zu belassen. By Don Seite 26

28 Die Verringerung der Geburtenrate aufgrund von ersten Kastrationsmaßnahmen in begrenztem Umfang wird durch die Matrix M beschrieben: e) Ermitteln Sie M P und P M. Begründen Sie im Sachkontext, wie die Reihenfolge von M und P gewählt werden muss, damit sich mit der resultierenden Matrix die Population im Jahr nach diesen Kastrationsmaßnahmen berechnen lässt. Bezeichnen Sie diese Matrix mit Q. (20 %) Landschaf (Abituraufgabe HH 2011 grundlegendes Niveau) (Seiten: 14, 22, 27) Im Folgenden soll nun die langfristige Entwicklung der Schafpopulation im Zuchtbetrieb Meier betrachtet werden. Auch dieser Zuchtbetrieb beginnt seine Schafzucht mit 10 Jungtieren (J), 10 erwachsenen Tieren und 10 Alttieren (A). f) Bestimmen Sie mithilfe der Wertepaare für den Zuchtbetrieb Meier eine Exponentialfunktion vom Typ ( ), die die Entwicklung der Schafe näherungsweise beschreibt. Dabei soll S(t) die Gesamtzahl der Schafe in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren darstellen. Hinweis: Runden Sie den Wert für b auf zwei Nachkommastellen. Bestätigen Sie mithilfe der Gleichung der Exponentialfunktion S, dass sich nach dieser Prognose nach einem Jahr insgesamt 36 Schafe und nach einem weiteren Jahr 42 Schafe im Zuchtbetrieb befinden. Aufgrund des prognostizierten exponentiellen Wachstums der Schafzucht entschließt sich der Zuchtbetrieb Meier, am Ende eines Zuchtjahres 5 % der erwachsenen Tiere und 10 % der Alttiere zu verkaufen. g) Entscheiden Sie, welche der folgenden Populationsmatrizen diese Entwicklung berücksichtigt, und begründen Sie Ihre Entscheidung. (25 %) Lachse (Abituraufgabe HH 2011 erhöhtes Anforderungsniveau) (Seiten: 15, 22, 27, 30) Der mögliche Erfolg der Lachsansiedelung soll abgeschätzt werden. Eine Simulation mittels L hat folgende Bestände für die Parrs ergeben e) Zeichnen Sie in das beiliegende Koordinatensystem die Punkte ein und untersuchen Sie das Langzeitverhalten der Population. Bestimmen Sie für die Anzahl der Parrs einen mittleren Wachstumsfaktor auf drei Nachkommastellen genau für den Zeitraum 5. bis 20. Jahr und ermitteln Sie, wann voraussichtlich ein Bestand von 50 Parrs erreicht wird. By Don Seite 27

29 (20 %) Industriehallen (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 15, 22, 28) e) Ein Mitarbeiter der Firma behauptet, dass jeder Vorrat der Rohstoffe, und bei ausreichendem Wasservorrat restlos für die Herstellung von Zwischenprodukten aufgebraucht werden kann. Er argumentiert folgendermaßen: Wenn der Vorratsvektor ist, können die Vorräte genau dann restlos aufgebraucht werden, wenn folgende Gleichung lösbar ist: Dies ist für jeden Vorratsvektor der Fall, da die Spaltenvektoren der Matrix linear unabhängig sind. Beurteilen Sie, ob der Mitarbeiter Recht hat. (10 %) Kosten und Gewinne (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 16, 23, 28, 30) d) Durch eine Änderung im Produktionsablauf werden die Fertigungskosten für die Zwischenprodukte und für die Endprodukte voneinander abhängig. Mit der Einschränkung: 0 < x < 2 gilt: Es werden 200 ME von, 100 ME von und 300 ME von bestellt. By Don Seite 28

30 Ermitteln Sie unter der Voraussetzung, dass sich die Rohstoffkosten [Teil c) i)] nicht ändern und die Fixkosten 1000GE betragen, den Wert für x, für den die Gesamtkosten für diesen Auftrag GE betragen. (30 %) - Ende Teil 3 (Profi Lineare Algebra) - Ausschnitte Abituraufgaben Zusatzteile erhöhtes Anforderungsniveau: Selbst Schuld! Wer sich das ausgesucht hat. In diesen Teilaufgaben müssen verschiedene mathematische Disziplinen verknüpft werden oder komplexe Zusammenhänge in der jeweiligen Materie bearbeitet, verstanden und verständlich interpretiert und erklärt werden. Übung macht den Meister! Insektenpopulation (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 9, 19, 24, 29) g) Inzwischen lässt sich sogar feststellen, dass die schon erwähnten Veränderungen der Trocken- und Regenzeiten nicht nur die Anzahl der von den Weibchen gelegten Eier halbiert hat, sondern auch dazu geführt hat, dass ein Zwölftel der Larven 1 sich bereits verpuppt, also eine Generation überspringt. Damit entwickelt sich nur noch ein Viertel der Larven 1 zu Larven 2, also wie bisher. Bestimmen Sie die neue Populationsmatrix. Begründen Sie, warum bei dieser Populationsentwicklung die Bestimmung von Vorjahresbeständen nicht zu jedem beliebigen Populationsvektor möglich ist, und interpretieren Sie diese Fälle im Sachkontext der Aufgabe. (15 %) Libellenentwicklung (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 10, 20, 25, 29) f) Dieser besondere Umwelteinfluss tritt periodisch und nur alle 10 Generationen auf. Beschreiben Sie mit den Matrizen P und H, welcher Populationsvektor sich nach 10 Generationen aus einer Anfangspopulation ergibt, wenn die Halbierung der Larven am Ende des Beobachtungszeitraumes auftritt. Beurteilen Sie, ob das Ergebnis, also der Populationsvektor, davon beeinflusst wird, dass die Halbierung der Larvenanzahlen zu Beginn, in der Mitte oder am Ende eines Beobachtungszeitraumes von 10 Generationen auftritt. (20 %) Geckos (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 11, 20, 25, 29) Im letzten Aufgabenteil wird erneut die Matrix L aus Teil a) betrachtet. Sie lässt sich mit einer Transformationsmatrix T, deren inverser Matrix, sofern diese existiert, und einer Diagonalmatrix D schreiben als (*). e) Bestätigen Sie, dass mit ( ), ( ) und ( ) die Gleichung (*) erfüllt wird. Leiten Sie mit der Gleichung (*) eine Formel für her. Verwenden Sie dabei die Eigenschaft inverser Matrizen:, wobei E die Einheitsmatrix ist. Begründen Sie, dass sich die Potenzen selbst für große n mit dieser Formel auch ohne Computereinsatz recht leicht berechnen lassen. Berechnen Sie mit Ihrer Formel nun selbst die Matrix, die Ihnen in Teil b) vorgegeben war. (25 %) Ferien-Club (B-Heft Mathematik HH) (Seiten: 12, 21, 26, 29) Im Rahmen der langfristigen Geschäftsplanung werden verschiedene Wechselverhaltensweisen der Mitglieder diskutiert. Zwei Verhaltensweisen wurden dabei genauer betrachtet, zu diesen Verhaltensweise gehören die beiden Matrizen P und T: By Don Seite 29

31 f) Untersuchen Sie jeweils das langfristige Verhalten eines durch P und eines durch T modellierten Umverteilungsprozesses. (25 %) Straßenkatzen (Abituraufgabe HH 2012 erhöhtes Niveau) (Seiten: 14, 22, 26, 30) f) Durch Ausweitung der Kastrationsmaßnahmen soll nun ein Stillstand der Vermehrung erreicht werden. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil, um den die Geburtenrate gegenüber der Matrix Q noch weiter reduziert werden muss, damit eine Anfangspopulation existiert, die unverändert bleibt. (20 %) Lachse (Abituraufgabe HH 2011 erhöhtes Anforderungsniveau) (Seiten: 15, 22, 27, 30) Leider reduziert ein Umweltskandal im Laichgebiet der Lachse am Anfang des dritten Jahres im Bestand ( ) die Anzahlen der Parrs und der laichenden Lachse um jeweils 20 %. Die Matrix H soll ausschließlich die Reduzierung durch den Umweltskandal beschreiben und noch nicht den Übergang zum nächsten Jahr beinhalten. f) Geben Sie die Matrix H an. Berechnen Sie dann und und interpretieren Sie die Bedeutung der beiden berechneten Ergebnisse. (15 %) Kosten und Gewinne (Vorbereitungsheft HH Lineare Algebra) (Seiten: 16, 23, 28, 30) e) Die Endprodukte können nach einer weiteren Umstellung aus produktionsspezifischen Gründen nur im Verhältnis produziert werden. Eine Produktion besteht demnach aus 2t ME von, t ME von und 3t ME von, mit (100 t 1 200). Die Fixkosten betragen 4000 GE pro Produktion. Für die Herstellungskosten der Endprodukte bzw. die Verkaufspreise der Endprodukte gilt (in Abhängigkeit von den jeweils produzierten ME t): Bestimmen Sie den Wert für t, für den der Gewinn G(t) maximal wird, wenn die gesamte Produktion verkauft wird. (25 %) - Ende Teil 4 (Erhöhtes Niveau Lineare Algebra) - 4.) Thema Stochastik (Übersicht der Inhalte; Übungen zu den Basics; Ausschnitte ausgewählter Abituraufgaben mit ansteigender Schwierigkeitsstufe): Jeder Thementeil gliedert sich in verschiedene Unterpunkte. Zunächst soll geklärt werden, welche Kompetenzen erforderlich sind, um in der Lage zu sein, die Aufgaben sinnvoll bearbeiten zu können. Auf diese Übersicht folgen Übungsaufgaben zu den Basics, die ggf. übersprungen werden können. Es empfiehlt sich allerdings der Einstieg über diese Aufgaben. Mehr Übungsaufgaben gibt es nach Themen sortiert auf meiner Homepage als Falttests (Unterpunkt bei den Prüfungsvorbereitungen). By Don Seite 30

32 Im Anschluss habe ich ausgewählte Abituraufgaben in verschiedene Kompetenzbereiche aufgeteilt und diese unter den Begriffen Basics, Fortgeschritten usw. zusammengefasst. Basics entspricht hier dem unteren Dreierbereich, Fortgeschritten greift die Zwei an und eine gute Lösungsquote der Profiaufgaben kann dann die gute Zwei oder den Einserbereich bedeuten. Für die SchülerInnen mit Leistungskurs bzw. erhöhtem Niveau gibt es dann noch Zusatzaufgaben, die für diesen Zusatz erwartet werden. Übersicht der Inhalte: Einfache Fragestellungen der schließenden Statistik, die sich auf gleich-und binomialverteilte Zufallsgrößen beziehen, bearbeiten und lösen, auch unter Verwendung von σ-regeln Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit zur Lösung realitätsnaher Problemstellungen anwenden Begriffe und Methoden zur Aufarbeitung und Interpretation statistischer Daten Zufallsgesteuerte Situationen Mehrstufige Zufallsprozesse und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zusätzlich für das erhöhte Niveau: Probleme als stochastische Prozesse mit Diagrammen (Matrizen, Übergangsgraphen, verallgemeinerte Baumdiagramme auch mit Zyklen) darstellen und lösen Übungen zu den Basics: Aufgabe 1: Um welche Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt es sich (Binomialverteilung, Laplaceverteilung oder Gleichverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Normalverteilung, andere Verteilung)? a) Ein Würfel wird 20 Mal geworfen und seine Augenzahl notiert. b) Es werden 50 Personen gefragt, ob sie eine Brille tragen. c) Ein Würfel wird 18 Mal geworfen und die Anzahl der Vieren notiert. d) Aus einem Loseimer werden 10 Lose gezogen. e) Beim Roulettespiel wird auf eine bestimmte Zahl gesetzt. f) Die Körpergröße aller Schüler einer Schule beträgt im Schnitt 1.78 m mit einer durchschnittlichen Abweichung der Messgröße von 5 cm. g) Eine 2-Euro-Münze wird 500 Mal geworfen und die Anzahl der geworfenen Wappen notiert. h) In einer Elektronikfirma werden Funkwecker produziert. Im Rahmen der Qualitätssicherung wird anhand von Reklamationen die Funktionsdauer der Wecker untersucht. Es stellt sich heraus, dass durchschnittlich pro Tag 5 der Wecker unabhängig von ihrem Alter ausfallen. i) X beschreibt die Anzahl der Würfe bis zur ersten Sechs. j) Ein Neugeborenes ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 51.4% ein Junge. k) Die Zufallsgröße X beschreibt das Monatsgehalt eines Mitarbeiters in einem mittelgroßen Betrieb. Aufgabe 2: Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Werfen zweier Würfel, wenn X die Augensumme der beiden Würfel beschreibt und zeichne das Histogramm der Zufallsgröße X. Aufgabe 3: Ein idealer Würfel wurde 60 Mal geworfen. Die Ergebnisse sind in einer Strichliste festgehalten a) Erstelle eine Häufigkeitstabelle zu dem Zufallsexperiment. b) Zeichne ein Balkendiagramm. c) Vergleiche die erhaltenen Werte mit den theoretischen Wahrscheinlichkeiten. d) Erkläre die Abweichungen. By Don Seite 31

33 Aufgabe 4: Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse mit der Binomialverteilung oder der Hypergeometrischen Verteilung. A: Beim Lotto 6 aus 49 sollen vier Richtige erreicht werden. B: In einem kleinen Flugzeug sind unter 45 Passagieren 4 Schmuggler. In einer Stichprobe von 8 Personen sollen mindestens 2 Schmuggler sein. C: Bei 40 Würfen mit einem Tetraederwürfel soll genau 10 Mal die Zwei gewürfelt werden. D: In einem Mehrfamilienhaus wohnen insgesamt 25 Personen von denen 11 Rauchen. In einer Stichprobe von 5 Personen sollen höchstens 3 Nichtraucher sein. E: Eine Blumenzwiebel keimt zu 90%. Von 20 sollen mindestens 16 keimen. F: Beim Roulettespiel soll bei 80 Spielen mindestens 36 und weniger als 43 Mal eine ungerade Zahl erdreht werden. Aufgabe 5: Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse mit der Binomialverteilung, der Normalverteilung oder der Normalverteilung als Approximation der Binomialverteilung: A: Ein idealer sechsseitiger Würfel wird 100 Mal geworfen. Es soll 16 Mal die Fünf fallen. B: Ein idealer sechsseitiger Würfel wird 150 Mal geworfen. Es soll 24 Mal die Sechs fallen. C: Der Fehler einer Messgröße mit dem Mittelwert Null kg hat eine durchschnittliche Abweichung von 1 kg. Der Messwert soll um höchstens (mindestens) 1.4 kg abweichen. D: Eine Glühlampe brennt im Schnitt 5000 h, wobei die Brenndauer im Schnitt um 240 h abweicht. Eine Glühlampe soll mindestens 5400 h brennen. E: In Deutschland gibt es ca. 10% Linkshänder. Unter 50 befragten Personen sollen zwischen 4 und 9 Linkshänder sein. F: Ein Mitarbeiter in einem großen Bürogebäude kann mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% das Gewicht einer Person an dem Geräusch der Schritte bestimmen. Von 200 Versuchen sollen mindestens 130 richtig geschätzt sein. G: Eine Zufallsgröße hat den Erwartungswert 11 und eine Abweichung von 3. Es soll genau der Wert 10 erreicht werden. H: Ein Multiple Choice Test bietet fünf Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Von 15 Fragen sollen mindestens 8 durch pures raten richtig beantwortet werden, um den Test zu bestehen. I: Von Neugeborenen im letzten Jahr waren Mädchen. Diese Zahl soll um mindestens 100 übertroffen werden. Aufgabe 6: Erstelle eine Vierfeldertafel und beantworte mit deren Hilfe die zugehörigen Fragen. a) Unter 800 Personen sind 45% weiblich. Von diesen tragen 20% eine Brille. In dieser Gruppe befinden sich außerdem 100 brillentragende Männer. Sind Geschlecht und die Eigenschaft des Brilletragens stochastisch unabhängig? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person eine Frau ist, wenn man weiß, dass diese Person keine Brille trägt? b) 5 % einer Bevölkerung haben den Krankheitserreger W-Krankheit im Blut. Von einem Schnelltest ist bekannt, dass 94% der Infizierten als solche erkannt werden. 8% der nicht infizierten Personen werden irrtümlich als Träger des Erregers identifiziert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Testergebnis nicht infiziert ist. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Person mit negativem Testergebnis dennoch infiziert ist. Beurteile deine Ergebnisse. c) Eine Unfallstatistik gibt an, dass im Jahr Unfälle mit Personenschaden im Straßenverkehr auftraten dieser Unfälle sind auf ein Fehlverhalten eines PKW-Fahrers zurückzuführen. Das häufigste Fehlverhalten war hierbei eine nicht angepasste Geschwindigkeit in Fällen. Von diesen wurden von PKW-Fahrern begangen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein von einem zufällig ausgewählten PKW-Fahrer verursachter Unfall eine nicht angepasste Geschwindigkeit als Ursache hatte. By Don Seite 32

34 Aufgabe 7: Berechne die fehlende Größe. a) Wie oft muss ein idealer Spielwürfel mindestens geworfen werden, um mit wenigstens 97.5% Wahrscheinlichkeit mindestens eine Sechs zu erreichen? b) Zu welchem Wert muss die Wahrscheinlichkeit eines Schummelwürfels für das Werfen einer Sechs mindestens geändert werden, damit bei 3 Würfen mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 70% mindestens eine Sechs auftritt? c) Wie groß muss die Standardabweichung σ sein, damit bei einer normalverteilten Zufallsgröße mit dem Erwartungswert μ = 25 eine Abweichung von höchstens 4 mit einer Wahrscheinlichkeit von 85% auftritt? d) Bestimme das um den Erwartungswert symmetrische Intervall, welches bei einer normalverteilten Zufallsgröße mit der Dichtefunktion ( ) eine Wahrscheinlichkeit von höchstens 90% beinhaltet. e) Bestimme für die binomialverteilte Zufallsgröße X mit n = 100 und p = 0.8 k so, dass gilt: ( ) bzw. ( ). Aufgabe 8: Bestimme die auf lange Sicht zu erwartende Gewinnerwartung für den Spieler und bestimme einen Einsatz, für den das Spiel fair wird. Der Spieler zahlt einen Einsatz von 3,-. Dann würfelt er mit zwei Laplace-Würfeln. Würfelt er zwei Sechsen, so erhält er 20,-, bei einer Sechs erhält er 5,- und bei keiner Sechs erhält er keinen Gewinn. Aufgabe 9: a) Bestimme den Mittelwert, die Varianz und die empirische Standardabweichung für die fünf Sprünge eines Weitspringers: 5.48 m, 6 m, 5.70 m, 5.53 m, 6.12 m. b) Ein anderer Weitspringer hat denselben Durchschnittswert, aber nur eine empirische Standardabweichung von 0.1 m. Was lässt sich im Vergleich über die beiden Springer aussagen? Aufgabe 10: Begründe an einem Beispiel warum ( ) ( ) gilt und weise den allgemeinen Fall ( ) ( ) nach. Zusätzlich erhöhtes Anforderungsniveau: Aufgabe 1: Überprüfe, ob es sich um Wahrscheinlichkeitsdichten handelt: a) ( ), [0; 4] b) ( ), [-2; 2] c) ( ), [-2; 2] d) ( ) ( ), Aufgabe 2: Bestimme den Hochpunkt und die Wendepunkte der Funktion ( ) ( ) und zeichne diese in ein passendes Koordinatensystem. Berechne das Integral ( ) mit dem Taschenrechner und deute das Ergebnis in einem Sachzusammenhang. Aufgabe 3: Eine Firma behauptet, dass sie mit höchstens 5% Ausschuss arbeitet. Bestimme eine Entscheidungsregel für eine Stichprobengröße von n = 150 auf einem Signifikanzniveau von 5%. By Don Seite 33

35 Ausschnitte Abituraufgaben Basics: Löst man alle Aufgaben im Bereich Basic (meist die Aufgabenteile a) bis c) und manchmal auch noch Teile der anderen Aufgabenteile), so sammelt man schon mal knapp 40% bis 50% der Bewertungspunkte. Somit steht man in diesem Teilbereich bereits auf einer soliden 4 (5 Punkte). Bei den ersten Aufgabenteilen noch nicht zu kompliziert denken! Die Lösungen sind hier entweder recht einfach oder zumindest durch pure Rechenarbeit zu lösen. Hier sind einfache Fragestellungen zu bearbeiten und Wahrscheinlichkeiten für verschieden verteilte Zufallsgrößen mit einer Formel oder einem Baumdiagramm zu berechnen. Ventilschäden (Abitur HH 2013 grundlegend) (Seiten: 34, 37, 41) Im Jahr 1955 verfügte eine Kunstflugstaffel in Amarillo, Texas, über fünf Nachbauten der berühmten Fokker Dr1-III. Dieses Flugzeug hat einen 7-Zylinder-Motor, und da jeder Zylinder ein Auslassventil hat, sind bei einer Maschine 7 Auslassventile eingebaut. Die Ersatzventile liefert eine örtliche Firma in Kisten mit je 50 Ventilen; die Erfahrung zeigt, dass 95% der gelieferten Ventile nach dem Einbau funktionsfähig sind. (Die Anzahl der funktionsfähigen Ventile sei binomialverteilt.) Wenn ein Ventil defekt ist, lässt sich der Motor zwar anwerfen, aber er läuft dann mit geringerer Leistung. Bei zwei defekten Ventilen läuft der Motor gar nicht und lässt sich nicht einmal anwerfen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass in einer Kiste alle Ventile funktionsfähig sind. genau drei Ventile defekt sind. weniger als 45 Ventile funktionsfähig arbeiten. Der Mechaniker merkt, dass einer der Motoren weniger leistet. Kurz darauf lässt sich der Motor nicht einmal mehr anwerfen. Der Mechaniker nimmt an, dass nunmehr genau zwei Ventile defekt sind. Er tauscht zwei Ventile im Motor aus, die er zufällig auswählt, und zwar durch Ventile, die erwiesenermaßen in Ordnung sind. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis: Der Motor läuft jetzt wieder, aber mit geringerer Leistung. (40 %) Wassertaxis (Abitur HH 2013 grundlegend) (Seiten: 34, 38; 41) Viele Urlaubsinseln im Indischen Ozean sind nur mit Wasserflugzeugen, den sogenannten Wassertaxis zu erreichen. Bei der Fluggesellschaft WT ist für jedes ihrer Flugzeuge ein Team von fünf Personen ( A, B, C, D, E ) fest verantwortlich. Wie die meisten Flugzeuge werden die Wassertaxis von zwei Piloten gesteuert. Die Passagiere und Flugzeuge werden am Boden von drei Personen betreut. Von der Flugleitung werden die monatlichen Einsatzpläne zufällig festgelegt. Es wird für jeden Tag zufällig bestimmt, wer von den 5 Personen an welchem Tag als Pilot fliegt und wer als Bodenpersonal arbeitet. Dabei sind alle 5 Personen gleichberechtigt. a) Geben Sie die möglichen Pilotenteams an. b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür an, dass am zweiten Tag zwei komplett andere Personen als Piloten im Einsatz sind als am ersten Tag. (20 %) Gewinnprognose (Abitur HH 2012 erhöht) (Seiten: 34, 38, 41, 43) Benny, ein ehemaliger Tennisprofi, verdient sich sein Geld, indem er jede Woche einen Schaukampf durchführt. Im Laufe der Zeit hat er festgestellt, dass seine Gewinnwahrscheinlichkeit davon abhängt, wie der vorangegangene Kampf ausgegangen ist. Dies kann psychologische Gründe haben oder auch dadurch bedingt sein, dass er für längere Zeit in gleichbleibend guter bzw. schlechter Form ist. Nach einem verlorenen Spiel verliert er das nächste Spiel mit der Wahrscheinlichkeit 0.8, während auf einen Sieg ein weiterer Sieg mit der Wahrscheinlichkeit 0.7 folgt. a) Skizzieren Sie den zu diesen Angaben gehörenden Übergangsgraphen. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Benny das übernächste Spiel gewinnt, By Don Seite 34

36 wenn er heute gewonnen hat. wenn er heute verloren hat. (Zur Kontrolle: 0,3) Gehen Sie bei allen folgenden Aufgabenteilen von der Voraussetzung aus, dass Benny sein heutiges Spiel verloren hat. c) Erstellen Sie ein Baumdiagramm für die nächsten drei Spiele und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Benny nach seiner heutigen Niederlage die nächsten drei Spiele gewinnt. das Spiel in drei Wochen gewinnt. (35 %) Ein-Euro-Münzen (Abitur HH 2013 grundlegend) (Seiten: 35, 38, 42, 44) In der Cafeteria einer Schule werden während der Unterrichtszeit im Wesentlichen wöchentlich die Einnahmen gezählt und bei der Bank eingezahlt; dabei wird aus statistischen Gründen auch ermittelt, welche Verteilung die Ein-Euro-Münzen bezüglich der münzausgebenden Länder aufweisen. Seit dem Beginn dieser Statistik im September 2009 bis zum Juli 2011 ergab sich Folgendes: Insgesamt wurden Ein- Euro-Münzen gezählt, davon kamen aus Deutschland, 2082 aus Spanien, 2032 aus Italien und 60 aus Luxemburg. Die restlichen Münzen kamen aus den anderen dreizehn Euro-Ländern. Verwenden Sie als Indizes zur Unterscheidung der Länder die Landeskennzeichen: D für Deutschland, E für Spanien, I für Italien und L für Luxemburg. a) Zunächst sollen nur deutsche und nichtdeutsche Ein-Euro-Münzen unterschieden werden. Begründen Sie, dass man die Auszählung der nächsten Einnahme in guter Näherung als Bernoulli-Kette modellieren kann. b) Geben Sie die relative Häufigkeit des Auftretens deutscher Ein-Euro-Münzen an. Verwenden Sie diesen Wert ebenso wie die anderen relativen Häufigkeiten auf zwei Nachkommastellen gerundet für die nächsten Aufgabenteile als geschätzte Wahrscheinlichkeiten; für Luxemburg arbeiten Sie bei Teil e) bitte mit dem Wert. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: Unter fünf Ein-Euro-Münzen befinden sich genau drei deutsche. Unter zehn Ein-Euro-Münzen befindet sich keine italienische Münze. Beim Zählen von vier einzelnen Ein-Euro-Münzen kommen nach einer deutschen drei nichtdeutsche Münzen. (25 %) Telefonieren am Steuer (Abitur HH 2011 grundlegend) (Seiten: 35, 39, 42) Einem zu Beginn des Jahres 2010 in der New York Times erschienenen Bericht zufolge schätzt die Bundesregierung der Vereinigten Staaten von Amerika, dass zu jedem beliebigen Zeitpunkt etwa 10 % aller Autofahrer in den USA mit ihrem Handy telefonieren. Die Schätzung der Regierung wird bei den folgenden Aufgaben als zutreffend vorausgesetzt. a) Man betrachtet eine Stichprobe von 25 Fahrern; diese werden durchnummeriert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse. : Kein Fahrer telefoniert : Mindestens ein Fahrer telefoniert. : Genau zwei Fahrer telefonieren. : Von den ersten 10 telefoniert genau ein Fahrer, von den folgenden 10 telefoniert auch genau ein Fahrer. : Mehr als vier Fahrer telefonieren. : Höchstens fünf Fahrer telefonieren. (30 %) Marketing (Abitur HH 2011 erhöht) (Seiten: 35, 39, 42, 44) Zur Fußball-Weltmeisterschaft in Südafrika wurden von allen teilnehmenden Nationalmannschaften Klebebilder verkauft, die in einem Album gesammelt werden konnten. Ein bekannter Limonadenhersteller By Don Seite 35

37 hat sich eine Seite dieses Sammelalbums gesichert, um dort sogenannte Torjubelbilder sammeln zu lassen. Diese Bilder wurden beim Verkauf einer Kiste einer besonderen Limonade in einer Tüte an den Käufer gegeben. In dieser Aufgabe sollen Aspekte dieser Marketingmaßnahme betrachtet werden. Es gibt insgesamt vier verschiedene Torjubelbilder. Alle Bilder werden gleich häufig gedruckt, und in einer Tüte sind zwei verschiedene Torjubelbilder enthalten. Wie viele Tüten man sammeln muss, bis die Seite mit allen Bildern voll ist, hängt vom Zufall ab. Das Sammeln der Bilder kann als zufälliger Prozess mit fünf möglichen Zuständen betrachtet werden. Zustand i bedeutet, dass man unter den bereits gesammelten Bildern i verschiedene Bilder hat. Der folgende Übergangsgraph zeigt die Wahrscheinlichkeiten, von einem Zustand in einen anderen zu gelangen: a) Geben Sie die möglichen Bilderkombinationen in den Tüten an und bestätigen Sie die Wahrscheinlichkeiten im Übergangsgraphen. b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Kauf von vier Kästen (mit vier Tüten) das Bild 4 noch nicht dabei ist. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in den vier Tüten eines von vier Bildern nicht dabei ist. (25 %) Billigflüge (Vorbereitungsheft HH grundlegend) (Seiten: 36, 39, 43) Wovon leben Billigfluganbieter? Hamburg New York hin und zurück 300! Für diesen Flug kann eine Agentur z.b. 35 Plätze anbieten. Diese sind immer kurz nach dem Erscheinen im Internet ausgebucht und bezahlt. Allerdings werden vor Abflug im Mittel ca. 20 % der gebuchten Reservierungen kurzfristig abgesagt (storniert). Verwenden Sie für Ihre Lösungen den exakten Wert 20 %. Da es sich um ein Sonderangebot handelt, bekommen die Kunden bei Stornierung kein Geld zurück. Die Agentur aber kann all diese Plätze leicht als Last-Minute-Angebote für 250 zum zweiten Mal verkaufen. Für die Agentur ist deshalb die Anzahl der Kunden von großem Interesse, die pro Flugtermin stornieren. Es soll dazu angenommen werden, dass pro Termin die mögliche Anzahl von Stornierungen binomialverteilt ist. a) Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass für den nächsten Flugtermin bei dieser Agentur genau 7 Plätze (durch Rechnung) höchstens 5 Plätze (Sie können die Tabelle in der Anlage verwenden) mindestens 6 Plätze storniert werden. b) Begründen Sie, dass der Erwartungswert für die Einnahmen der Agentur wegen der wieder verkaufbaren stornierten Plätze anstatt beträgt. (40 %) Glasschüsseln (Vorbereitungsheft HH grundlegend) (Seiten: 36, 40, 43) In einer Glasmanufaktur werden Glasschüsseln teilmaschinell hergestellt. Die Schüsseln werden in fünf Arbeitsgängen gefertigt, die unabhängig voneinander erfolgen. Erfahrungsgemäß wird in den einzelnen Arbeitsgängen unabhängig voneinander die erwünschte Qualität (I. Wahl) mit folgenden Wahrscheinlichkeiten nicht erreicht: a) Zeigen Sie, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von p 0.20 eine fertige Schüssel nicht I. Wahl ist. By Don Seite 36

38 b) Die Zufallsvariable X zählt die Anzahl der Glasschüsseln, die nicht I. Wahl sind, in einer Produktionsserie vom Umfang n. Begründen Sie, dass man X als binomialverteilt ansehen kann, und geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X, ihren Erwartungswert, ihre Varianz und Standardabweichung als Funktion von n an. c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 15 hergestellten Schüsseln höchstens 3 nicht I. Wahl sind. Beurteilen Sie, ob Ihr Ergebnis stimmen kann. (45 %) Ernährungsstudie (Vorbereitungsheft HH erhöht) (Seiten: 37, 40, 43, 44) Bei einer bundesweit durchgeführten, repräsentativen Studie im Rahmen der Vorsorgeuntersuchungen wurden die Ernährungsgewohnheiten sowie die Art und Häufigkeit der körperlichen Bewegung von erwachsenen Frauen und Männern im Alter zwischen 35 und 45 Jahren untersucht und mit ihren beiden Vorsorgeuntersuchungen ermittelten Cholesterin-Werten in Beziehung gesetzt. Zunächst zu den Ernährungsgewohnheiten: Bei den Männern dieser Altersgruppe gaben 5.5 % der Befragten an, sich vegetarisch zu ernähren. a) Bestätigen Sie, dass man das Merkmal Vegetarier in einer zufällig gezogenen Stichprobe als binomialverteilt annehmen kann; geben Sie Situationen an, bei denen diese Annahme nicht gilt. Gehen Sie im Folgenden zunächst davon aus, dass das Merkmal Vegetarier bei der betrachteten Gruppe von Männern binomialverteilt ist mit p = 5.5%. b) In einem Betrieb gehören 125 Männer zu dieser Altersgruppe zwischen 35 und 45 Jahren. Berechnen Sie, wie viele vegetarische Männer in dieser Stichprobe zu erwarten sind. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 60 Männern, die in einem Bio-Laden einkauften, genau 10 Männer Vegetarier waren. Interpretieren Sie dieses Ergebnis. Entscheiden Sie, ob man das Merkmal Vegetarier auch bei Bio-Laden-Kunden immer noch als binomialverteilt betrachten kann. c) In einem anderen Betrieb ergab sich, dass sich kein Mann dieser Altersgruppe vegetarisch ernährt hat. Das erscheint erstaunlich. Bestimmen Sie, wie viele Männer dieser Altersgruppe höchstens in dem Betrieb sein dürften, damit die Wahrscheinlichkeit, dass kein Mann Vegetarier ist, immerhin noch größer als 5 % ist. (35 %) - Ende Teil 1 (Basics Stochastik) - Ausschnitte Abituraufgaben Fortgeschritten: Der Teil mit den Aufgaben, deren Punkte einen in den Bereich der sicheren Drei bis hoch zur glatten Zwei oder sogar zur Zwei Plus tragen, erfordert einige verbindende Überlegungen für die nötigen Berechnungen und ein gutes Verständnis und Fachwissen für die Interpretation bzw. Erklärung der Sachverhalte. Mit ein wenig Übung sollte es gelingen, in diesem Bereich zumindest einen Großteil der Aufgaben zu lösen. Gerade hier ist eine gute Leserführung auch für die Ordnung der eigenen Gedanken enorm wichtig. Ventilschäden (Abitur HH 2013 grundlegend) (Seiten: 34, 37, 41) Auslassventile sind hoch belastet. Ihre mittlere Lebensdauer beträgt nach aller Erfahrung 80 Stunden. Die Lebensdauer ist normalverteilt mit einer Standardabweichung von 18 Stunden. Deswegen werden alle Ventile in regelmäßigen Abständen ersetzt, und zwar jeweils nach 40 Flugstunden. c) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein nach dem Einbau funktionsfähiges Ventil noch vor Ablauf des Wartungsintervalls ausfällt. Die Piloten sind mit ihren Maschinen jeweils eine Stunde in der Luft, bevor sie wieder landen (und gegebenenfalls die Hilfe des Mechanikers erhalten). Berechtigterweise möchte kein Pilot erleben, dass bei seiner Maschine während seiner Flugstunde unterwegs der Motor unrund zu laufen beginnt. Man einigt sich By Don Seite 37

39 darauf, dass die Piloten bereit sind, ein solches Defekt-Risiko einzugehen, wenn es in keiner Betriebsstunde 1 % überschreitet. d) Begründen Sie, dass die gefährlichste Flugstunde die letzte Stunde vor der Wartung ist. Bestimmen Sie die Ausfallswahrscheinlichkeit für ein Ventil während dieser Stunde. (35 %) Wassertaxis (Abitur HH 2013 grundlegend) (Seiten: 34, 38, 41) Obwohl die Einteilung der Teammitglieder nach dem Zufallsprinzip erfolgt, gibt es immer wieder Diskussionen um die Arbeitsverteilung. Um die Situation zu beurteilen, lässt die Unternehmensleitung einige Punkte untersuchen. c) Bestätigen Sie, dass die zufällige Einteilung eines bestimmten Teammitgliedes als Pilot durch die Flugleitung als Bernoulli-Experiment mit Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0,4 beschrieben werden kann. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ein bestimmtes Teammitglied innerhalb der nächsten 30 Tage genau 5-mal als Pilot eingesetzt wird. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein bestimmtes Teammitglied mehr als 25-mal innerhalb der nächsten 50 Tage als Pilot eingesetzt wird. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Teammitglied innerhalb der nächsten 11 Tage mindestens einmal als Pilot eingesetzt wird. (35 %) Gewinnprognose (Abitur HH 2012 erhöht) (Seiten: 34, 38, 41, 43) Nun soll die Verdienstsituation von Benny betrachtet werden: Seine Verträge sehen so aus, dass er für ein gewonnenes Spiel eine Prämie von 2000 Euro erhält, für ein verlorenes Spiel aber nur eine Prämie von 1000 Euro. d) Berechnen Sie unter Berücksichtigung der bisher gemachten Annahmen den Erwartungswert für die Prämie in der nächsten Woche. in der übernächsten Woche. In der Vergangenheit hat Benny manchmal nach einer Niederlage ein zusätzliches Aufbautraining absolviert, das ihn 300 Euro kostet. Als Folge davon steigert sich die Gewinnwahrscheinlichkeit für das folgende Spiel auf 0.5. e) Zeigen Sie, dass sich der Erwartungswert für die Prämie genau um 300 Euro erhöht, und begründen Sie, dass es sich für Benny trotzdem finanziell lohnt, das Aufbautraining durchzuführen. (25 %) Ein-Euro-Münzen (Abitur HH 2013 grundlegend) (Seiten: 35, 38, 42, 44) d) In der letzten Woche sind 256 Ein-Euro-Münzen gezählt worden. Berechnen Sie die Erwartungswerte für die Anzahlen der italienischen und der spanischen Münzen. Eine der ausländischen Münzarten kam in dem Haufen von 256 Münzen 25-mal vor. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 256 Ein-Euro-Münzen genau 25 spanische Münzen sind, werde mit PE(25) bezeichnet, entsprechend PI(25) für die italienischen Münzen. Entscheiden Sie ohne zu rechnen! begründet, welche dieser beiden Wahrscheinlichkeiten größer ist. Als soll der Quotient ( ) ( ) bezeichnet werden. Bestimmen Sie. Hinweis: Wenn Sie aufschreiben, erkennen Sie, dass sich wesentliche unangenehme Terme wegkürzen. Beschreiben Sie, was dann bedeutet, und entscheiden Sie, ob größer oder kleiner als ist. (25 %) By Don Seite 38

40 Telefonieren am Steuer (Abitur HH 2011 grundlegend) (Seiten: 35, 39, 42) Bei einer Untersuchung zu Beginn des Jahres 2010 kam die AAA (=American Automobile Association) zu dem Ergebnis, dass sich von 2500 befragten Personen 48 % wegen des unsicheren Fahrverhaltens eines Freundes oder Familienmitgliedes sorgen und dass für 19 % von den Personen, die sich sorgen, der Grund ihrer Sorge das Telefonieren am Steuer sei. b) Bestimmen Sie, wie viele der befragten Personen sich sorgen, dass ein Freund oder Familienmitglied wegen Telefonierens am Steuer unsicheres Fahrverhalten zeigt. Entscheiden Sie, inwiefern dieses Resultat zur Beurteilung der Schätzung der Regierung herangezogen werden kann. Amerikanische Studien zeigen, dass telefonierende Fahrer in ihrem Wagen ein viermal so hohes Unfallrisiko eingehen wie nicht telefonierende Fahrer. Unabhängig davon reduziert die Anwesenheit von erwachsenen Mitfahrern das Unfallrisiko wiederum um 45 %. c) Bestimmen Sie, um wie viel Prozent bei einem telefonierenden Fahrer, der mit erwachsenen Mitfahrern unterwegs ist, das Unfallrisiko höher ist als bei einem nicht telefonierenden Fahrer ohne Begleitung. In einer Radiosendung zu dem Problem erzählt ein Hörer, er habe den Artikel der New York Times zum Anlass genommen, einmal selbst Kontrolleur zu spielen, und habe 50 Fahrer genau beobachtet. Der Hörer hat dabei festgestellt, dass gerade mal zwei Fahrer telefoniert haben. Sein Fazit formuliert er wie folgt: Die Schätzung der Regierung halte ich für maßlos übertrieben. Sie kann nicht stimmen. d) Beschreiben Sie, auf welches Argument sich die Aussage des Hörers vermutlich stützt, und beurteilen Sie, ob es Argumente gibt, die die Aussage des Hörers widerlegen, nach denen also die Beobachtung des Hörers dennoch in einen Toleranzbereich zur Schätzung der Regierung fällt. e) Bestimmen Sie die Anzahl der Fahrer, die man mindestens überprüfen müsste, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % auf mindestens einen telefonierenden Fahrer zu treffen. (50 %) Marketing (Abitur HH 2011 erhöht) (Seiten: 35, 39, 42, 44) In einer Kleinstadt gibt es drei große Getränkemärkte mit einem ähnlichen Angebot: Getränkehof, Limotheke und Saftladen. Einer dieser Getränkemärkte, der Saftladen, hat sich die Rechte zur Durchführung der Werbemaßnahme mit zwei Sammelbildern pro Tüte gesichert. Eine Woche nach dem Start der Werbeaktion wird eine Untersuchung zur Kundenwanderung durchgeführt. Dabei hat sich Folgendes ergeben: - 65 % der Kunden vom Getränkehof kauften auch in der Folgewoche dort ein. Dagegen sind 20 % zur Limotheke und 15 % zum Saftladen abgewandert. - Der Limotheke blieben 55 % der Kunden auch in der Folgewoche treu, doch 25 % sind zum Saftladen und 20 % zum Getränkehof abgewandert. - Der Saftladen hatte sogar einen Anteil von 70 % der Kunden, die auch in der Folgewoche dort einkauften. Die anderen Kunden teilten sich gleichmäßig auf den Getränkehof und die Limotheke auf. In der untersuchten Woche kauften Personen beim Getränkehof, Personen bei der Limotheke und Personen beim Saftladen. c) Stellen Sie die Kundenwanderung mit einem Übergangsgraphen dar und bestimmen Sie die zu erwartende Kundenverteilung in der Folgewoche. Beurteilen Sie, ob schon nach einer Woche von einer erfolgreichen Werbemaßnahme gesprochen werden kann. Beurteilen Sie ferner, ob dies auch für die darauf folgenden Wochen gilt. (20 %) Billigflüge (Vorbereitungsheft HH grundlegend) (Seiten: 36, 39, 43) Die Stornierungen mit Doppeleinnahmen sind für die Agentur attraktiv, und sie lässt deshalb 40 Buchungen zu, also 5 Buchungen mehr als Plätze verfügbar sind. Diese 40 Angebote sind auch immer sofort ausgebucht und bezahlt. Wenn allerdings mehr als 35 gebuchte Kunden die Reise tatsächlich antreten wollen im so genannten Überbuchungsfall, muss die Agentur für die überzähligen Kunden dann sehr kurzfristig teure By Don Seite 39

41 Ersatzplätze beschaffen. Insgesamt entstehen dem Reisebüro für jeden überzähligen Kunden zusätzliche Ausgaben von 400. c) Bestimmen Sie, wie die Agentur einen Reisetermin mit 40 ursprünglich verkauften Plätzen abrechnet (Einnahmen minus zusätzliche Ausgaben), wenn nur 30 regulär gebuchte Personen zum Abreisetermin erschienen sind, also noch 5 Last- Minute-Tickets verkauft wurden wenn alle 40 Bucher zum Abreisetermin erschienen sind. d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: alle 40 regulären Kunden erscheinen zum Abreisetermin, keiner storniert (durch Rechnung) es kommt zum Überbuchungsfall (Sie können die Tabelle in der Anlage verwenden). (45 %) Glasschüsseln (Vorbereitungsheft HH grundlegend) (Seiten: 36, 40, 43) d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 gefertigten Schüsseln 30 oder mehr nicht I. Wahl sind. Schätzen Sie zunächst diese Wahrscheinlichkeit ab unter Verwendung des Erwartungswertes und der Standardabweichung der Zufallsvariablen X (vgl. b) ). Berechnen Sie anschließend diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Tabelle zur summierten Binomialverteilung. e) Bevor die Schüsseln in die Geschäfte verschickt werden, findet eine Qualitätskontrolle statt. Auf Bändern laufen die gefertigten Schüsseln an Kontrollpunkten vorbei. Man kann davon ausgehen, dass alle Schüsseln mit groben Mängeln aussortiert werden. Kleinere Mängel, die dazu führen, dass man eine Schüssel nur als II. Wahl verkaufen kann, werden jedoch erfahrungsgemäß insgesamt bei 3 % aller fehlerhaften Schüsseln übersehen, andererseits werden 1 % der Schüsseln beanstandet, die noch den Anforderungen der I. Wahl entsprechen. (Kleine Abweichungen sind bei Glas kaum zu vermeiden und werden von den Kunden auch akzeptiert.) Es werden nur Schüsseln an die Geschäfte verschickt, die nach der Qualitätskontrolle für I. Wahl gehalten werden. Die aussortierten Schüsseln II. Wahl werden auf dem Gelände der Manufaktur zu günstigen Preisen verkauft. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schüssel, die verschickt wird, den Qualitätsanforderungen für die I. Wahl nicht genügt. (40 %) Ernährungsstudie (Vorbereitungsheft HH erhöht) (Seiten: 37, 40, 43, 44) d) Wenn man Werte für eine binomialverteilte Größe mit kleinem p (und hinreichend großem Stichprobenumfang) berechnen möchte, so kann man die so genannte Poissonverteilung zur ( ). Näherung verwenden: ( ) Gehen wir noch einmal zurück zu dem Betrieb mit den 125 Männern aus Aufgabenteil b). Bestimmen Sie die prozentuale Abweichung der Poisson-Näherung gegenüber der Binomialverteilung für das Ereignis, dass unter diesen 125 Männern weniger als drei Vegetarier sind. Seit der letzten Gesundheitsreform werden im Rahmen der Vorsorgeuntersuchungen von über 35-Jährigen regelmäßig die Cholesterin-Werte (hier die LDL-Werte) im Blut bestimmt; hierfür liegen also statistisch gesicherte Daten vor. Grundsätzlich gilt: Je höher der Wert ist, desto höher ist das medizinische Risiko, vor allem für Herzerkrankungen. Die grundlegenden Richtlinien sehen vor, selbst bei Personen ohne spezifische Risikofaktoren (wie Rauchen etc.) bei LDL-Werten oberhalb von 170 mg/dl eine Änderung des Lebensstils anzuraten. Bei LDL-Werten oberhalb von 200 mg/dl wird zusätzlich dringend eine medikamentöse Therapie empfohlen. Im Folgenden ist davon auszugehen, dass die LDL-Werte näherungsweise normalverteilt sind. e) Berechnen Sie unter allen erwachsenen Männern in der erwähnten Altersgruppe den Anteil derer, die ihren Lebensstil ändern sollten. By Don Seite 40

42 Ermitteln Sie, auf wie viele Männer mit dieser Empfehlung einer kommt, dem zusätzlich eine medikamentöse Therapie empfohlen wird. Bestimmen Sie die Mindestanzahl von zufällig ausgewählten erwachsenen Männern, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens ein Mann mit der dringenden Therapieempfehlung darunter ist. (35 %) - Ende Teil 2 (Fortgeschritten Stochastik) - Ausschnitte Abituraufgaben Profi: Die Teile der Abituraufgaben für den Profi. Mal einfach aber manches Mal auch wirklich zum Haare raufen. Um auch noch die letzten Punkte zu der Eins Plus heraus zu kitzeln, bedarf es sehr guter Kenntnisse der Basisfähigkeiten und ein tiefes Verständnis der Materie. Ein übersichtlicher und durchschaubarer Lösungsaufbau ist hier noch wichtiger als in den bisherigen Teilbereichen. Mit viel Übung sollte es allerdings möglich sein, auch hier einen Großteil der gestellten Aufgaben zu lösen. Ventilschäden (Abitur HH 2013 grundlegend) (Seiten: 34, 37, 41) Die Mechaniker werden neuerdings auch von einer zweiten Firma mit Ventilen beliefert; die Ventile dieser Firma sind erfahrungsgemäß zu 97 % funktionsfähig. Die Firma liefert die Ventile in Kisten zu 70 Stück. Die Inhalte von je einer Kiste der ersten und der zweiten Firma werden von den Mechanikern zusammengetan; aus dieser Mischkiste wird das nächste benötigte Ventil zufällig herausgenommen und beim Einbau verwendet. Nach dem Einbau wird es als defekt erkannt. e) Untersuchen Sie mithilfe einer Vierfeldertafel für die Merkmalspaare funktionsfähiges Ventil - defektes Ventil und Ventil von Firma 1 - Ventil von Firma 2, ob die beiden Merkmalspaare stochastisch unabhängig sind. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das defekte Ventil aus der Lieferung der Firma 2 kommt. (25 %) Wassertaxis (Abitur HH 2013 grundlegend) (Seiten: 34, 38, 41) Ein älteres Teammitglied meint, dass er mit 28 Einsätzen in den letzten hundert Tagen viel zu selten als Pilot geflogen war. Er behauptet, dass bei der Verteilung der Flugeinsätze geschummelt wurde und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er zum Einsatz kam, geringer als p = 0,4 war. Nehmen Sie an, dass eine Binomialverteilung vorliegt. d) Beurteilen Sie seine Behauptung mittels eines Hypothesentests zum Signifikanzniveau von 5 % ausgehend von der Nullhypothese. Beurteilen Sie, welche Schlüsse er ziehen könnte, wenn er 35-mal innerhalb von 100 Tagen eingesetzt worden wäre. Zur Qualitätssicherung hat die Geschäftsführung der WT eine Umfrage ihren Fluggästen durchführen lassen: 52% aller Fluggäste bleiben der Fluglinie treu, egal ob sie zufrieden oder unzufrieden sind. Von den Zufriedenen wollen 8% die Fluglinie wechseln. Bei den Unzufriedenen liegt der Anteil derjenigen, die der Fluglinie treu bleiben, bei 11 %. Betrachten Sie die genannten relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten. e) Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Fluggast der Fluglinie treu bleibt, wenn er zufrieden ist. zufrieden ist. der Fluglinie treu bleibt und zufrieden ist. (45 %) Gewinnprognose (Abitur HH 2012 erhöht) (Seiten: 34, 38, 41, 43) Benny hat, wie bereits erwähnt, sein heutiges Spiel verloren und will nun in der folgenden Woche das Aufbautraining durchführen. So will er es jetzt nach jeder Niederlage halten. Er macht sich aber Sorgen, By Don Seite 41

43 dass es lange dauern könnte, bis er wieder eine höhere Prämie erhält, und dass er mehrere Wochen hintereinander das kosten- und zeitintensive Aufbautraining durchführen muss. f) Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Anzahl der Spiele und damit die Anzahl der Wochen, in denen er das Aufbautraining durchführen muss, bis Benny wieder ein Spiel gewinnt. (15 %) Ein-Euro-Münzen (Abitur HH 2013 grundlegend) (Seiten: 35, 38, 42, 44) e) Im Monat April wurden 1180 Ein-Euro-Münzen eingenommen. Darunter befanden sich zwei luxemburgische Münzen. Sie wissen, dass man die Poisson-Näherung verwenden kann, wenn bei einer großen Anzahl von Durchführungen wenige Erfolge zu erwarten sind. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 1180 Ein-Euro-Münzen höchstens zwei luxemburgische Münzen gefunden werden, sowohl mit Hilfe der Binomialverteilung als auch mit Hilfe der Poisson- Näherung und vergleichen Sie die Resultate. (25 %) Telefonieren am Steuer (Abitur HH 2011 grundlegend) (Seiten: 35, 39, 42) Die Bundesregierung der Vereinigten Staaten von Amerika plant, eine Werbeagentur mit der Entwicklung und Durchführung einer Kampagne zur Bewusstseinsänderung zu beauftragen. Die Kampagne soll aus Werbespots in Fernsehen und Rundfunk, Anzeigen in Zeitschriften, Plakaten sowie Unterrichtsveranstaltungen in den Schulen bestehen. In den Verhandlungen über das Honorar verspricht die Firma, den prozentualen Anteil telefonierender Fahrer von 10 % auf 5 % zu senken. Das Honorar setzt sich aus einem festen Grundbetrag und einer Prämie zusammen, die nur dann gezahlt wird, wenn nach einem Jahr nur noch 5 % der Fahrer telefonieren. Es muss noch geklärt werden, wie eine Entscheidung darüber erzielt werden kann, ob der Erfolgsfall eingetreten ist. Man einigt sich, an einer noch festzulegenden Stelle zu einem bestimmten Zeitpunkt 50 Fahrer zu testen. f) Eine vorläufige Entscheidungsvariante sieht vor, die Prämie nur dann auszuzahlen, wenn höchstens 3 Fahrer telefonieren. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Werbeagentur die Prämie nicht erhält, obwohl sie den Anteil telefonierender Fahrer auf 5 % gedrückt hat. Zeigen Sie, wie man die Entscheidungsvariante bei gleich bleibendem Stichprobenumfang so wählen kann, dass die entsprechende Irrtumswahrscheinlichkeit, dass die Prämie zu Unrecht nicht gezahlt wird, höchstens 15 % beträgt. (20 %) Marketing (Abitur HH 2011 erhöht) (Seiten: 35, 39, 42, 44) Die Konkurrenz plant nun für die nächste Europameisterschaft ähnliche Aktionswochen. Es wird davon ausgegangen, dass die Käufer pro Woche eine Limonadenkiste kaufen. In jeder Tüte soll es nur noch ein besonderes Bild geben, aber insgesamt ebenfalls vier Bilder der Stürmer Miro, Mario, Steffen und Lukas. Auch diese Bilder werden in gleicher und sehr großer Anzahl gedruckt. Um den Erwartungswert für die Anzahl der Tüten zu bestimmen, die notwendig sind, um das Bild von Lukas zu erhalten, kann ein Übergangsgraph mit den Zuständen 0 und 1 gezeichnet werden. Dann lässt sich die Anzahl a für den oben genannten Erwartungswert mit der folgenden Formel bestimmen: ( ) ( ). d) Begründen Sie die Formel und zeigen Sie, dass ist. Geben Sie den Wert a an. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Kauf von vier Tüten das Bild von Lukas noch nicht dabei ist. Vergleichen Sie dieses Resultat mit dem entsprechenden Resultat aus b). e) Zeichnen Sie den Übergangsgraphen mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten für alle Zustände 0, 1, 2, 3 und 4, wobei z.b. Zustand 3 bedeutet, dass drei verschiedene Bilder gesammelt sind. By Don Seite 42

44 Ermitteln Sie nun die Wahrscheinlichkeit, dass in vier Tüten genau drei verschiedene Bilder sind, und vergleichen Sie dies mit dem entsprechenden Ergebnis aus b). (40 %) Billigflüge (Vorbereitungsheft HH grundlegend) (Seiten: 36, 39, 43) e) Die Agentur möchte überprüfen, ob sich das Geschäft mit den Überbuchungen eigentlich lohnt. Dazu berechnet sie den Erwartungswert der Abrechnung (Einnahmen minus zusätzliche Ausgaben) und erhält als Ergebnis Nennen Sie die Größen, die die Agentur dabei berücksichtigt hat und beschreiben Sie, wie diese Berechnung prinzipiell erfolgen kann. Interpretieren Sie dann dieses Ergebnis der Agentur. (15 %) Glasschüsseln (Vorbereitungsheft HH grundlegend) (Seiten: 36, 40, 43) f) Da der Preisdruck aus dem Ausland hoch ist, kalkuliert die Glasmanufaktur bei einer Glasschüssel als Gewinn nur einen Aufschlag von 4 % auf ihre Herstellungskosten H. Wird eine solche Glasschüssel in einem Geschäft zu Recht als nur II. Wahl eingestuft, gewährt der Vertreter der Glasmanufaktur dem Geschäft einen Nachlass von 25 % auf deren Einkaufspreis. Bestimmen Sie den Prozentsatz an gerechtfertigten Reklamationen, von dem an die Manufaktur Verluste macht. Beurteilen Sie das Ergebnis. (15 %) Ernährungsstudie (Vorbereitungsheft HH erhöht) (Seiten: 37, 40, 43, 44) f) Der bundesweit vertretene Verein für Bewegung und gesunde Ernährung (VBE) möchte neue Mitglieder mit folgender Behauptung werben: Unsere männlichen Mitglieder mittleren Alters haben dank unserer hervorragenden Beratung und Betreuung nach nur einem Jahr Mitgliedschaft einen mittleren LDL-Wert von nur 140 mg/dl! Auf Nachfrage teilt der Verein mit, dass die Standardabweichung des LDL-Wertes bei den männlichen Mitgliedern bei 40 mg/dl liegt. Mit kritischen Fragen konfrontiert, sagt die Pressesprecherin des Vereins: Gut, gehen Sie hin, wählen Sie zehn männliche Mitglieder beliebig aus und bestimmen Sie deren Cholesterin-Wert. Wir ziehen die Behauptung zurück, wenn Sie unter diesen zehn Männern mehr als drei mit einem Wert von über 165 mg/dl finden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der der Verein seine Behauptung zu Unrecht zurückziehen muss. (15 %) - Ende Teil 3 (Profi Stochastik) - Ausschnitte Abituraufgaben Zusatzteile erhöhtes Anforderungsniveau: Selbst Schuld! Wer sich das ausgesucht hat. In diesen Teilaufgaben müssen verschiedene mathematische Disziplinen verknüpft werden oder komplexe Zusammenhänge in der jeweiligen Materie bearbeitet, verstanden und verständlich interpretiert und erklärt werden. Übung macht den Meister! Gewinnprognose (Abitur HH 2012 erhöht) (Seiten: 34, 38, 41, 43) Wäre Benny nicht ehemaliger Tennisprofi, sondern Mitspieler bei der All-Stars Fußballmannschaft, würden die Überlegungen etwas anders aussehen, da es dann auch ein Unentschieden geben kann. Es soll angenommen werden, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Spiel in der nächsten Woche genauso ausgeht wie das Spiel in dieser Woche, 0.4 beträgt und alle anderen Übergangswahrscheinlichkeiten untereinander gleich groß sind. g) Skizzieren Sie den zu diesen Angaben gehörenden Übergangsgraphen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Mannschaft in den nächsten drei Wochen mindestens zwei Siege erzielt, wenn sie das heutige Spiel verloren hat. (25 %) By Don Seite 43

45 Ein-Euro-Münzen (Abitur HH 2013 grundlegend) (Seiten: 35, 38, 42, 44) f) Das Diagramm im Anschluss zeigt die relativen Häufigkeiten der deutschen Ein-Euro-Münzen für jede der Einzahlungen im Beobachtungszeitraum; jede der Einzahlungen enthielt mindestens 250 Ein-Euro-Münzen. Nehmen Sie Stellung zu den Daten, die in diesem Diagramm dargestellt werden. Geben Sie dabei insbesondere eine mögliche Ursache für die verschiedenen zeitlichen Abstände der Datenpunkte an, ermitteln Sie einen Schätzwert für die Standardabweichung, bezogen auf eine einzelne Ein-Euro- Münze, interpretieren Sie die Tatsache, dass ungeachtet der Schwankungen von Woche zu Woche der Anteil der deutschen Münzen tendenziell abnimmt, und begründen Sie, welche Aussagen über den zukünftigen Anteil der deutschen Münzen daraus ableitbar sind. (25 %) Marketing (Abitur HH 2011 erhöht) (Seiten: 35, 39, 42, 44) f) Ermitteln Sie die zu erwartende Anzahl der Tüten, die man kaufen muss, um alle Bilder zu erhalten. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis hinsichtlich der anzusetzenden Dauer der Werbeaktion. (15 %) Ernährungsstudie (Vorbereitungsheft HH erhöht) (Seiten: 37, 40, 43, 44) In der Studie zu Ernährungsgewohnheiten wurde auch nach dem Bekanntheitsgrad von Gütesiegeln für Lebensmittel gefragt. Zum Beispiel kennen rund 67 % der Deutschen das Bioland-Siegel. g) Gehen wir folgender fiktiver Situation nach: Um den Bekanntheitsgrad zu steigern, beauftragt der Bioland-Verband eine Werbeagentur mit einer Kampagne. Im Vertragstext heißt es: Ein Erfolgszuschlag zum Honorar für die Agentur wird fällig, wenn nach der Kampagne statistisch signifikant begründet werden kann, dass der Bekanntheitsgrad des Bioland-Siegels höher als 75 % ist. Die Werbeagentur stellt nach der Kampagne bei einer Zufallsbefragung von 128 Personen fest, dass das Biolandsiegel bei 103 Personen bekannt ist, und fordert daraufhin das Erfolgshonorar ein. Der Biolandverband verweigert die Zahlung mit dem Hinweis, dass der Anteil von 75 % nicht signifikant überschritten werde. Entscheiden Sie auf der Basis geeigneter Rechnungen, ob die Zahlungsverweigerung berechtigt ist. (15 %) By Don Seite 44

46 5.) Thema Analysis (Übersicht der Inhalte; Übungen zu den Basics; Ausschnitte ausgewählter Abituraufgaben mit ansteigender Schwierigkeitsstufe): Jeder Thementeil gliedert sich in verschiedene Unterpunkte. Zunächst soll geklärt werden, welche Kompetenzen erforderlich sind, um in der Lage zu sein, die Aufgaben sinnvoll bearbeiten zu können. Auf diese Übersicht folgen Übungsaufgaben zu den Basics, die ggf. übersprungen werden können. Es empfiehlt sich allerdings der Einstieg über diese Aufgaben. Mehr Übungsaufgaben gibt es nach Themen sortiert auf meiner Homepage als Falttests (Unterpunkt bei den Prüfungsvorbereitungen). Im Anschluss habe ich ausgewählte Abituraufgaben in verschiedene Kompetenzbereiche aufgeteilt und diese unter den Begriffen Basics, Fortgeschritten usw. zusammengefasst. Basics entspricht hier dem unteren Dreierbereich, Fortgeschritten greift die Zwei an und eine gute Lösungsquote der Profiaufgaben kann dann die gute Zwei oder den Einserbereich bedeuten. Für die SchülerInnen mit Leistungskurs bzw. erhöhtem Niveau gibt es dann noch Zusatzaufgaben, die für diesen Zusatz erwartet werden. Übersicht der Inhalte: Schwerpunkt auf ganzrationalen Funktionen und Exponentialfunktionen Differential-und Integralrechnung in einfachen realitätsnahen bzw. mathematischen Problemstellungen anwenden und interpretieren Lösen von Optimierungsproblemen Modellieren von Wachstumsprozessen Zusätzlich für das erhöhte Niveau: Weitere Funktionsklassen (trigonometrische Funktionen etc.) Funktionen aus gegebenen Informationen modellieren Auswirkungen einer Parametervariation geeignet deuten Übungen zu den Basics: Aufgabe 1: Stelle den Term nach der in Klammern stehenden Variable um. a) (x) b) ( ) (a) c) ( ) (c) d) (p) e) (t) f) ( ) g) ( ) (γ) h) ( ) (t) Aufgabe 2: Löse die Gleichung. a) b) ( ) ( ) ( ) c) d) e) f) g) ( )( ) h) ( ) i) j) k) By Don Seite 45

47 Aufgabe 3: Bilde die ersten beiden Ableitungen. a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) f) ( ) g) ( ) h) ( ) ( ) i) ( ) ( ) j) ( ) k) ( ) ( ) l) ( ) ( ) m) ( ) n) ( ) o) ( ) p) ( ) ( ) Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH Aufgabe 4: Bilde eine Stammfunktion. a) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) ( ) g) ( ) h) ( ) i) ( ) j) ( ) k) ( ) ( ) l) ( ) ( ) m) ( ) ( ) n) ( ) Aufgabe 5: Mache eine vollständige Funktionsuntersuchung (Definitionsbereich, Symmetrieverhalten, Verhalten im Unendlichen (ggf. asymptotisches Verhalten), Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrempunkte und Monotonieintervalle, Wendepunkte und Krümmungsintervalle und Schaubild). a) ( ) b) ( ) ( ) By Don Seite 46

48 Aufgabe 6: Bestimme die Gleichung der Tangente an das Schaubild von f durch den angegebenen Punkt. a) ( ) ; P(2 4) b) ( ) ; P(2 3) c) ( ) ; P(3 f(3)) Aufgabe 7: a) Berechne das Integral ( ). b) Berechne das Integral und interpretiere das Ergebnis. c) Bestimme die Fläche, die das Schaubild der Funktion ( ) mit der Abszisse einschließt. d) Berechne die Fläche, die das Schaubild der Funktion ( ) über dem Intervall [-1; 3] einschließt. e) Berechne die Fläche, die zwischen den Graphen von ( ) und ( ) begrenzt wird. f) Wie groß ist die Fläche zwischen dem Graphen von ( ) ( ), der Tangente in P(0 f(0)) und der x-achse? g) Bestimme b so, dass gilt:. h) Berechne das Integral ( ). i) Zeige, dass ( ) ( ) eine Stammfunktion der Funktion ( ). Aufgabe 8: Skizziere die Ableitung und Stammfunktion des Schaubildes von f in dasselbe Koordinatensystem. By Don Seite 47

49 Aufgabe 9: a) Bestimme den Funktionsterm der Parabel durch die Punkte A(3-4), B(4-3.5) und C(5-2). b) Bestimme die Parameter a und k so, dass die Funktion ( ) ( ) denselben Hochpunkt hat, wie die Funktion ( ). Zusätzlich erhöhtes Anforderungsniveau: Aufgabe 1: Mache eine vollständige Funktionsuntersuchung (Definitionsbereich, Symmetrieverhalten, Verhalten im Unendlichen (ggf. asymptotisches Verhalten), Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrempunkte und Monotonieintervalle, Wendepunkte und Krümmungsintervalle und Schaubild von und ) und bestimme die Ortskurve der Wendepunkte. ( ) mit t > 0. Aufgabe 2: Zwischen dem Schaubild der Funktion ( ) und der x-achse liegt eine Fläche. Von einem beliebigen x-wert aus wird das Intervall [x-5; x+5] gewählt und als Grundfläche eines 3 LE hohen Prismas genutzt. Zeige, dass ( ) das Volumen dieses Prismas in Abhängigkeit von x berechnet und bestimme den x-wert, für den das Prisma das geringste Volumen aufweist. Aufgabe 3: Bestimme die Fläche A(b), die von dem Schaubild von ( ) ( ), der Asymptote ( ) und der Geraden mit b > 0 eingegrenzt wird. Bestimme außerdem den Grenzwert ( ). Aufgabe 4: Bestimme den Funktionsterm mit den genannten Eigenschaften. a) Bestimme den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, die einen Hochpunkt bei H(3 2) und einen Tiefpunkt bei T(-3-2). b) Eine Funktion mit dem allgemeinen Term ( ) geht durch die Punkte P(-3 2) und Q(2 64). c) Eine radioaktive Zerfallsfunktion des Typs ( ) ( ). Bestimme c so, dass zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn nur noch mg übrig sind. Ausschnitte Abituraufgaben Basics: Löst man alle Aufgaben im Bereich Basic (meist die Aufgabenteile a) bis c) und manchmal auch noch Teile der anderen Aufgabenteile), so sammelt man schon mal knapp 40% bis 50% der Bewertungspunkte. Somit steht man in diesem Teilbereich bereits auf einer soliden 4 (5 Punkte). Bei den ersten Aufgabenteilen noch nicht zu kompliziert denken! Die Lösungen sind hier entweder recht einfach oder zumindest durch pure Rechenarbeit zu lösen. Darrieus-Windkraftanlage (Abitur SH 2011) (Seiten: 48, 57, 62, 65) Bei einer Darrieus-Windkraftanlage ist der Rotor vertikal angeordnet. Zwei vorgebogene Metallblätter mit geeigneter Stellung wandeln die Windenergie in Rotationsenergie um. Die Rotorblätter behalten auch bei schneller Umdrehung ihre Bogenform bei, wie ein Springseil, welches mit den Händen um den Körper geschleudert wird. Legt man die x-achse entlang der Rotorachse, so lässt sich die geometrische Form eines Blatts des abgebildeten Rotors näherungsweise durch einen Teil des Graphen der Funktion f mit ( ) beschreiben. Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter. By Don Seite 48

50 a) Untersuchen Sie den Graphen der Funktion f auf Symmetrie und bestimmen Sie die Nullstellen von f. Skizzieren Sie den Graphen von f im Intervall zwischen den Nullstellen. (20 %) Hefewachstum (Abitur HH 2010 erhöht) (Seiten: 49, 58, 62, 65) Die Zellen eines Hefestammes wachsen in einem Kulturmedium ohne störende Einflüsse um 22 % pro Stunde. a) Gehen Sie vom Anfangswert a = 100 mg zum Zeitpunkt t = 0 (Stunden) aus. Geben Sie eine Funktion an, die das Wachstum beschreibt, und berechnen Sie die Zeitdauer, bis sich die Anfangsmenge verzehnfacht hat. Lebensmittelchemiker erforschen, wie Alkohol die Entwicklung von Hefe hemmt. Zur Untersuchung dieses Einflusses setzen sie einer Hefekultur vom Anfang der Untersuchung an kontinuierlich Alkohol zu, d. h. ab dem Zeitpunkt t = 0 (Stunden). Die Hefe wird mit ansteigendem Alkoholgehalt im Nährmedium zunehmend vergiftet. Zur Beschreibung der Masse m der Kultur in Abhängigkeit von der Zeit t wird eine Differentialgleichung mit den positiven Konstanten w Wachstumsfaktor, h Hemmungsfaktor und a Anfangswert vorgeschlagen: ( ) ( ) ( ); ( ) Differentialgleichung 1 b) Bestätigen Sie, dass ( ) die Differentialgleichung 1 löst, die das Hefewachstum beschreibt. c) Begründen Sie die Wahl dieser Differentialgleichung 1 im Zusammenhang des oben dargestellten Sachkontextes. (30 %) Tunnelbohrung (Abitur HH 2009 Zweittermin grundlegend) (Seiten: 49, 58, 62) In den Alpen sind zwei Wanderwege durch ein Bergmassiv voneinander getrennt. Um die Attraktivität des Wandergebietes für Touristen zu erhöhen, ist geplant, beide Wege durch einen Tunnel miteinander zu verbinden. Im Berginneren befindet sich außerdem eine Tropfsteinhöhle, deren Zugang ebenfalls auf der Route des Tunnels liegen soll. Es werden zwei Alternativen A und B für den Tunnelverlauf vorgelegt. Abweichungen bezüglich der Himmelsrichtung sind in beiden Vorschlägen nicht vorgesehen. Die Alternativen lassen sich also durch die Graphen zweier Funktionen darstellen. Tunneleingang und -ausgang liegen beide 10 Meter höher als der Höhlenzugang. Der Höhlenzugang befindet sich in x-richtung in einer Entfernung von 100 Metern zum Eingang und 50 Metern zum Ausgang. Der Tunneleingang liege im Koordinatenursprung. Damit ergeben sich die Koordinaten: Im Tunneleingang beträgt die Steigung Null. a) Bei der Alternative A handelt es sich um eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Geben Sie die vier Bedingungen an, die die Funktion festlegen. Bestimmen Sie mithilfe eines linearen Gleichungssystems die Funktionsgleichung. b) Bestätigen Sie für die Alternative B, dass auch die folgende Funktionsgleichung die obigen Bedingungen erfüllt: (30 %) By Don Seite 49

51 Fischexperiment (Abitur HH 2009 Zweittermin grundlegend) (Seiten: 50, 59, 62) In einem See werden einige Fische einer bisher dort nicht lebenden Art ausgesetzt. Die Anzahl der Fische wird regelmäßig ermittelt und nach einer Weile wird festgestellt, dass die Populationsentwicklung in zwei Phasen ablief, die durch die folgende zweiteilige Funktion beschrieben werden kann. Die Zeitachse für die erste Phase beginnt bei t = 20 und endet bei t = 0, wobei die zweite Phase zu diesem Zeitpunkt anfängt. Die Einheit der Zeit t ist Tage. a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f mit Hilfe einer Wertetabelle für 20 t 20 in das beigefügte Koordinatensystem ein. b) Die Wahl der Zeitachse mit dem Beginn des Experiments bei t = 20 ist ungewöhnlich. Sie ist durch Symmetrieeigenschaften der Funktion begründet. Beschreiben Sie die Symmetrie der Funktion und geben Sie an, warum dies die Wahl der Zeitachse sinnvoll macht. Weisen Sie nach, dass beide Rechenausdrücke der Funktion für t = 0 dasselbe Ergebnis liefern und beschreiben Sie, was das für die Funktion bzw. die Fischpopulation bedeutet. Weisen Sie nach, dass der Funktionsgraph für t = 0 keinen Knick hat. c) Beschreiben Sie die Entwicklung der Fischpopulation unter Verwendung der Anzahl der zu Beginn der ersten Phase ausgesetzten Fische sowie der Anzahl der Fische, die man für sehr große Zeitwerte erwartet. Geben Sie die Bedeutung der Zahlenwerte 300, 600 sowie 0.1 in der Funktionsvorschrift in Bezug auf die Fischpopulation an. (40 %) By Don Seite 50

52 Smartphones (Abitur HH 2013 erhöht) (Seiten: 51, 59, 63, 65) Die Markteinführung eines neuen Smartphones vom Elektronikhersteller PEAR wird stets aufgeregt erwartet. Zur Modellierung der Entwicklung der täglichen Verkaufszahlen eines neu eingeführten Smartphones schlägt die Planungsabteilung von PEAR die Modellfunktion v vor mit wobei t die Zeit in Tagen seit Beginn der Markteinführung und v(t) die am Tag t verkaufte Anzahl von Smartphones darstellt. Die folgende Tabelle zeigt, wie viele Smartphones des Modells S2013 nach seiner Markteinführung pro Tag verkauft wurden. a) Bestätigen Sie, dass die Funktion v die täglichen Verkaufszahlen des Smartphones S2013 angenähert wiedergibt. b) Beschreiben Sie kurz den Verlauf des Graphen qualitativ. Interpretieren Sie darauf Bezug nehmend die Entwicklung der Verkaufszahlen im Anwendungskontext. Vergleichen Sie das Modell hinsichtlich des Langzeitverhaltens mit einer realistischen Entwicklung der Verkaufszahlen. (25 %) Halbinsel (Abitur HH 2013 erhöht) (Seiten: 51, 60, 63, 65) Eine in einen See ragende künstlich angelegte Halbinsel soll neu gestaltet werden. Die Halbinsel ist in Ost- West-Richtung 30 m breit, auf der westlichen Seite ragt die Halbinsel in Nordrichtung 15 m (Punkt C ), auf der östlichen Seite 10 m (Punkt D) in den See (siehe Abbildung in der Anlage). Ein neuer Praktikant erstellt für den Verlauf der nördlichen Strandlinie die Funktionsgleichung ( ) für. By Don Seite 51

53 Der Projektleiter zweifelt dieses Ergebnis an und fordert seinen Praktikanten auf, exemplarisch für drei Punkte mit x-werten aus dem Intervall [5; 25] zu überprüfen, ob der Funktionsgraph von g mit der Strandlinie übereinstimmt. Eine Abweichung der Funktionswerte von den gemessenen Werten (siehe Abbildung in der Anlage) von maximal 1 m soll akzeptiert werden. a) Bestätigen Sie durch Rechnung, dass der Zweifel des Projektleiters berechtigt ist. Begründen Sie, warum die nördliche Strandlinie nicht auf dem Graphen einer quadratischen Funktion (Parabel) liegen kann (siehe Abbildung in der Anlage). Die Planungsabteilung geht davon aus, dass die Strandlinie durch eine Funktion f dritten Grades modelliert werden kann. Zur Erstellung der Funktionsgleichung werden an den beiden Punkten C(0 15) und D(30 10) noch Winkelpeilungen vorgenommen: Am Punkt C hat die Strandlinie einen Winkel von 45 zur Ost- West-Achse, am Punkt D einen Winkel von 116,57 (siehe Abbildung). b) Bestätigen Sie, dass die Steigung der Strandlinie im Punkt C den Wert 1 und im Punkt D den Wert 2 aufweist. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion f, deren Graph den Verlauf der Strandlinie modelliert. (35 %) Medikation (Vorbereitungsheft HH grundlegend) (Seiten: 52, 60, 63) Nach Einnahme eines Medikamentes kann man dessen Konzentration im Blut eines Patienten messen. Für die ersten 6 Stunden beschreibt die Funktion f mit der Gleichung ( ) die im Blut vorhandene Menge des Medikamentes in Milligramm pro Liter in Abhängigkeit von der Zeit t. Nach 6 Stunden erfolgt der Abbau näherungsweise linear (siehe Graph in e)). a) Berechnen Sie die maximale Konzentration im Blut und den Zeitpunkt, zu dem sie vorhanden ist. b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem das Medikament am stärksten abgebaut wird. c) Der lineare Abbau nach 6 Stunden wird näherungsweise durch die Tangente k am Graphen von f im Punkt (6 f(6)) beschrieben. Bestimmen Sie die Geradengleichung der Tangente und damit den Zeitpunkt, zu dem das Medikament unter dieser Annahme vollständig abgebaut ist. (45 %) By Don Seite 52

54 USB-Sticks (Abitur HH 2012 erhöht) (Seiten: 53, 60, 63, 65) Die Firma RAM-Dir bringt den neuen USB- Stick Data 2.0 auf den Markt. Das Produkt durchläuft einen Produktlebenszyklus, den man in fünf Phasen unterteilen kann. Die abgebildete Kurve stellt die Entwicklung des momentanen Umsatzes im Laufe der Zeit graphisch dar. In der Einführungsphase führt das Unternehmen das Produkt mit Werbung auf dem Markt ein. In der Wachstumsphase steigt der momentane Umsatz stark, obwohl noch hohe Werbungskosten das Unternehmen belasten. Die anschließende Reifephase ist die ertragreichste Zeit, sie endet an der Maximumstelle der Funktion des momentanen Umsatzes. In der Sättigungsphase gehen die momentanen Umsätze zurück, das Produkt hat kein Marktwachstum mehr. Danach folgt die Rückgangsphase. Am Ende dieser Phase wird die Produktion eingestellt. Die Firma hat dabei als Vergleich das Vorgängermodell Data 1, bei dem sich der momentane Umsatz durch die Funktion mit der folgenden Gleichung beschreiben ließ: ( ) dabei steht t für die Zeit seit Produktionsbeginn in Monaten und ( ) für den momentanen Umsatz in 1000 pro Monat. a) Zeichnen Sie den Graphen von in das beigefügte Koordinatensystem ein. b) Bei der Firma gilt die Einführungsphase eines USB-Sticks als abgeschlossen, wenn der momentane Umsatz einen Betrag von pro Monat überschreitet. Geben Sie unter Verwendung Ihres Arbeitsergebnisses aus Teil a) diesen Zeitpunkt für den Data 1 an. Bestimmen Sie für den Data 1 mithilfe der Differentialrechnung die Zeitspanne vom Ende der Einführungsphase bis zum Beginn der Sättigungsphase. (30 %) By Don Seite 53

55 Intravenös (Abitur HH 2012 erhöht) (Seiten: 54, 61, 64, 66) Bei vielen Krankheitsverläufen ist die direkte Verabreichung von Medikamenten in ein venöses Blutgefäß unumgänglich. Dies geschieht meist mit Hilfe einer intravenösen Applikation, die an einen Tropf angeschlossen ist. Dieser enthält die zu verabreichenden Medikamente. Zu Behandlungsbeginn enthält der Organismus das Medikament noch nicht. Sobald die medikamentöse Zufuhr beginnt, erhöht sich die Menge des Medikaments im Körper. Gleichzeitig fängt der Körper jedoch mit der Verarbeitung und dem Abbau des Medikaments an. Die folgende Messwerttabelle zeigt die erste Stunde nach Anlegen des Tropfes bei einem bestimmten Patienten ( Patient S ) mit einem Gewicht von 60 kg. Es wurden alle 10 Minuten die verbliebene Menge im Tropf und die Medikamentenkonzentration im Körper gemessen; aus der Konzentration wurde die in der Tabelle angegebene Medikamentenmenge errechnet. a) Bestätigen Sie, dass der Inhalt des Tropfes linear von der Zeit abhängt, und geben Sie die Gleichung der entsprechenden linearen Funktion f an. Die im Körper verbliebene Medikamentenmenge lässt sich durch die Funktionsgleichung ( ) mit patientenabhängigen Parametern a und b beschreiben. Für einen bestimmten Patienten erhält man den Wert von a, indem man den Zahlenwert seines Gewichts (in kg) halbiert. Für den Patienten S ist also a = 30. Der Wert von b hängt von der Nierenleistung des Patienten sowie von der Konzentration bestimmter Substanzen in seinem Blut ab. b) Berechnen Sie den Wert des Parameters b für den Patienten S. Zur Kontrolle: b 0,05 Untersuchen Sie, wie sich die Medikamentenmenge im Körper des Patienten S bei kontinuierlicher Verabreichung langfristig entwickelt. Geben Sie an, um welche Form von Wachstum es sich handelt. c) Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung von f und von g. Zeichnen Sie die Graphen der Funktion g und ihrer Ableitung jeweils für sich in die gegebenen Koordinatensysteme. Für die t-achse wurde das Intervall [0; 120] gewählt. Legen Sie den Maßstab für die andere Achse jeweils sinnvoll fest. Interpretieren Sie die Werte ( ) und ( ) sowie allgemein die Bedeutung der Ableitungsfunktionen f ' und g' im Sachkontext. Interpretieren Sie den Verlauf des Graphen von g' im Sachkontext. By Don Seite 54

56 (50 %) Farbenproduktion (Vorbereitungsheft HH grundlegend) (Seiten: 55, 61, 64) Ein kleines Unternehmen produziert Farben für die Bauindustrie. Alle in der Aufgabe genannten Daten beziehen sich auf einen Produktionszeitraum von einem Monat. a) Aus den Daten einer Marktanalyse ist bekannt, dass der erzielbare Preis in Abhängigkeit von der zu verkaufenden Menge x durch die folgende Funktion p beschrieben werden kann: bzw. ( ) mit. Bestimmen Sie die Gleichung der Erlösfunktion E und zeigen Sie, dass E ein Maximum annimmt, wenn die produzierte Menge 33 Mengeneinheiten beträgt. b) Die Gesamtkosten für die Herstellung der Farben hängen von der zu produzierenden Menge x ab und werden beschrieben durch eine Kostenfunktion K. K lässt sich mit hinreichender Genauigkeit angeben durch: Zeigen Sie, dass K keine Extremstellen besitzt. Erläutern Sie die Bedeutung dieser Aussage für den Verlauf des Graphen von K. Interpretieren Sie dies im Sachkontext. Der Gewinn G in Abhängigkeit von der abgesetzten Menge x ist die Differenz aus dem Erlös E und den entstandenen Gesamtkosten K. Die möglichen Produktionsmengen, bei denen das Unternehmen keinen Verlust macht, für die der Gewinn also nicht negativ ist, bilden die so genannte Gewinnzone. c) Die nachfolgende Darstellung zeigt die vier Graphen der Funktionen p, E, K und G. Schreiben Sie die zugehörigen Funktionsnamen an die einzelnen Graphen. (50 %) By Don Seite 55

57 Bevölkerungsentwicklung (Vorbereitungsheft HH grundlegend) (Seiten: 56, 61, 64) Die Funktion f hat die Funktionsgleichung ( ) ( ). Für einen Teil des Definitionsbereichs ist der Graph der Funktion gegeben: a) Der Funktionsterm ist die Summe von drei Termen, zwei mit positivem Vorzeichen, einem mit negativem Vorzeichen. Beschreiben Sie, ausgehend vom Graphen, das Verhalten der Funktion im Hinblick auf folgende Fragen: Wie arbeiten die drei Terme für den Funktionswert bei x = 0 zusammen? Warum fällt die Funktion für kleine x? Warum steigt die Funktion wieder? Warum bestimmt der Term 6 das Verhalten der Funktion für große x? b) Die Gleichung f (x) = 0 ist äquivalent zu der Gleichung und damit auch äquivalent zu der Gleichung 0,5x = ln(6) 3x. Untersuchen Sie unter Verwendung dieses Hinweises die Funktion f auf Extrempunkte. c) Untersuchen Sie die Funktion f auf Wendestellen. (Verwenden Sie zur Berechnung die in b) vorgestellte Methode). (50 %) Neubesiedlung von Biotopen (Vorbereitungsheft HH erhöht) (Seiten: 56, 61, 64, 66) Eine Forschergruppe beobachtet in den Tropen die natürliche Neubesiedlung von Seen bei Überschwemmungen durch bisher in diesen Seen nicht vorhandene Ruderfußkrebse. Ihre Untersuchungen und theoretische Überlegungen legen nahe, dass für diesen Fall die lokale Änderungsrate der Krebsdichte im Wasser einer Funktion des Typs ( ) mit ( ) folgt, d.h. ( ) gibt zum Zeitpunkt t (in Monaten) die Zuwachsrate in Krebsen pro Kubikmeter Wasser pro Monat an, Letzteres näherungsweise, da ganzzahlige Funktionswerte die Ausnahme sind. Zunächst sollen Sie diese Funktionenschar untersuchen und Ihre Ergebnisse dann im oben geschilderten Sachkontext deuten. By Don Seite 56

58 a) Begründen Sie, dass die Graphen der Funktionenschar keine Nullstellen aufweisen, und zeigen Sie, dass gilt: ( ) für. Berechnen Sie die Extrempunkte und bestimmen Sie die Wendepunkte von im oben angegebenen Definitionsbereich. ( ) Hinweis: Sie können dabei ohne Nachweis ( ) verwenden. ( ) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f 40 im Bereich 0 t 10 in das Koordinatensystem. - Ende Teil 1 (Basics Analysis) - (30 %) Ausschnitte Abituraufgaben Fortgeschritten: Der Teil mit den Aufgaben, deren Punkte einen in den Bereich der sicheren Drei bis hoch zur glatten Zwei oder sogar zur Zwei Plus tragen, erfordert einige verbindende Überlegungen für die nötigen Berechnungen und ein gutes Verständnis und Fachwissen für die Interpretation bzw. Erklärung der Sachverhalte. Mit ein wenig Übung sollte es gelingen, in diesem Bereich zumindest einen Großteil der Aufgaben zu lösen. Gerade hier ist eine gute Leserführung auch für die Ordnung der eigenen Gedanken enorm wichtig. Darrieus-Windkraftanlage (Abitur SH 2011) (Seiten: 48, 57, 62, 65) Verwenden Sie für Ihre weiteren Berechnungen die Nullstellen und. c) Berechnen Sie den Winkel, den die Blätter mit der Rotorachse einschließen. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Punktes P in der Rotorblattmitte bei einer Drehzahl von 80 Umdrehungen pro Minute in km/h. Bei einer Darrieus-Windkraftanlage ist die so genannte Wirkfläche die Fläche zwischen den beiden Rotorblättern. Diese Darrieus-Windkraftanlage leistet pro Quadratmeter der Wirkfläche 125Watt. Berechnen Sie die Wirkfläche in und die Leistung dieser Anlage in Watt. (30 %) By Don Seite 57

59 Hefewachstum (Abitur HH 2010 erhöht) (Seiten: 49, 58, 62, 65) d) In einer Versuchsreihe ist der Anfangswert a = 100 mg, der Wachstumsfaktor w = 0.3 und der Hemmungsfaktor h = Bestimmen Sie unter diesen Voraussetzungen den Extrempunkt im Verlauf der Hefeentwicklung und zeichnen Sie den Graphen von m im Intervall [0; 30] in das gegebene Koordinatensystem. Hinweis: Mit dem hier bereits dargestellten Graphen wird sich Aufgabe f) beschäftigen. e) Ermitteln Sie bei festen Werten für a (= 100 mg) und w (= 0.3) den Extrempunkt der Hefemasse- Funktion m in Abhängigkeit von h. Zeigen Sie, dass die Extrempunkte auf dem Graphen von ( ) liegen und skizzieren Sie diesen Graphen in das vorgegebene Koordinatensystem in der Anlage. Beschreiben Sie ausgehend von der Skizze die Wirkung des Hemmungsfaktors h auf die maximale Masse der Hefekultur. (40 %) Tunnelbohrung (Abitur HH 2009 Zweittermin grundlegend) (Seiten: 49, 58, 62) c) Bestimmen Sie für beide Tunnel A und B die Koordinaten des jeweils tiefsten Punktes und skizzieren Sie die beiden Graphen in das beigefügte Koordinatensystem. By Don Seite 58

60 d) Der Betrag des Gefälles bzw. der Steigung darf einen Wert von 0.3 nicht überschreiten. Wird diese Vorgabe nicht eingehalten, so müssen Stufen eingebaut werden. Ermitteln Sie, auf welchen Streckenabschnitten bei der Alternative A Stufen eingebaut werden müssen. (45 %) Fischexperiment (Abitur HH 2009 Zweittermin grundlegend) (Seiten: 50, 59, 62) d) Die Funktion hat für t = 0 einen Wendepunkt. Dieser kann nicht mit den üblichen Mitteln bestimmt werden. Begründen Sie, dass für t = 0 ein Wendepunkt vorliegt und beschreiben Sie die Bedeutung des Wendepunktes für die Entwicklung der Fischpopulation. e) Bestimmen Sie die durchschnittliche Fischanzahl für den Zeitraum [ 20; 0[ sowie für den Zeitraum [ 20; 20]. (30 %) Smartphones (Abitur HH 2013 erhöht) (Seiten: 51, 59, 63, 65) c) Bestätigen Sie, dass gilt: ( ) ( ). Berechnen Sie, an welchem Tag die meisten Smartphones S2013 verkauft werden, und berechnen Sie die entsprechende Verkaufszahl. Hinweis: Da aus der Abbildung deutlich wird, dass der einzige Extrempunkt ein Hochpunkt ist, reicht die Untersuchung der notwendigen Bedingung. Eine Stammfunktion V von v hat die Gleichung ( ) ( ). d) Ermitteln Sie den Wert des Integrals ( ). Interpretieren Sie das Integral im gegebenen Anwendungskontext. (30 %) By Don Seite 59

61 Halbinsel (Abitur HH 2013 erhöht) (Seiten: 51, 60, 63, 65) Im Folgenden wird die in Aufgabenteil b) genannte Funktion f genutzt. c) Berechnen Sie, wie weit die Halbinsel in Nordrichtung in den See ragt. d) Ein Plan sieht vor, dass auf dem Gebiet der Halbinsel eine Fläche in Form eines rechtwinkligen Dreiecks abgeteilt und bepflanzt werden soll, die im Punkt V auf die Strandlinie trifft. Die abgeteilte Dreiecksfläche soll maximal werden. Bestimmen Sie den maximalen Inhalt der Dreiecksfläche und die Koordinaten des zugehörigen Punktes V. (40 %) Medikation (Vorbereitungsheft HH grundlegend) (Seiten: 52, 60, 63) d) Beschreiben Sie, wie Sie die mittlere Konzentration des Medikamentes bis zum vollständigen Abbau berechnen würden. Bestimmen Sie eine grobe Abschätzung dieser mittleren Konzentration, z. B. mithilfe der Grafik im Aufgabenteil e). e) Ein Patient nimmt das Medikament 4 Stunden nach der ersten Einnahme in gleicher Dosierung ein weiteres Mal ein. Nehmen Sie in einem vereinfachenden Modell an, dass sich die Konzentrationen im Blut dieses Patienten addieren und dass der Abbau (und damit auch der Übergang in die lineare Zone ) für beide Medikationen unabhängig voneinander erfolgt. Skizzieren Sie zur Grafik im Koordinatensystem die Darstellung der Gesamtkonzentration bis zum vollständigen Abbau nach dem eben beschriebenen Modell. (30%) USB-Sticks (Abitur HH 2012 erhöht) (Seiten: 53, 60, 63, 65) Nun wird der gesamte Lebenszyklus des Produkts betrachtet. Die Firma nimmt einen USB-Stick vom Markt, wenn der momentane Umsatz auf 1000 pro Monat sinkt. By Don Seite 60

62 c) Bestätigen Sie zeichnerisch, dass der Produktlebenszyklus des Data 1 rund 7.6 Monate dauerte. Ermitteln Sie eine Stammfunktion zu mit der Bedingung ( ) und interpretieren Sie die Bedeutung von im Kontext der Aufgabe. Bestimmen Sie ohne Rechnung die Wendestelle(n) von. Zeigen Sie, dass die Firma mit dem Data 1 während seines Lebenszyklus einen Gesamtumsatz von etwa erzielte. (30 %) Intravenös (Abitur HH 2012 erhöht) (Seiten: 54, 61, 64, 66) d) Wenn die Konzentration des Medikaments im Körper zu niedrig ist, lässt es sich nicht nachweisen. Ermitteln Sie rechnerisch den Zeitpunkt, an dem die Medikamentenmenge im Körper des Patienten S die Nachweisgrenze von 3 ME überschreitet. Ermitteln Sie rechnerisch den Zeitpunkt, an dem die Änderungsrate der Medikamentenmenge im Körper des Patienten S nur noch beträgt. e) Bestimmen Sie die Werte der Integrale ( ) und ( ). Interpretieren Sie die Werte im Sachkontext. (25 %) Farbenproduktion (Vorbereitungsheft HH grundlegend) (Seiten: 55, 61, 64) d) Aufgrund verschiedener Produktionsmengen aus der Vergangenheit ist der Unternehmensleitung bekannt, dass mit Gewinn produziert wird, wenn die hergestellten Mengen zwischen 5 und 45 Mengeneinheiten liegen. Ferner ist bekannt, dass der Gewinn bei einer Produktion von 30 Mengeneinheiten maximal ist. Aus der Abbildung kann man erkennen, dass diese Aussagen grob zutreffen. Zeigen Sie, dass für die Gleichung der Gewinnfunktion G gilt: ( ) Zeigen Sie durch Rechnungen, dass die beiden Aussagen für die Funktion G genau zutreffen, und berechnen Sie den maximalen Gewinn. (35 %) Bevölkerungsentwicklung (Vorbereitungsheft HH grundlegend) (Seiten: 56, 61, 64) Eine Situation, für die diese Funktion ein Modell liefern könnte, ist folgende: In einer Kleinstadt hat der einzige große industrielle Arbeitgeber sein Werk geschlossen. Daraufhin ziehen viele qualifizierte Arbeitskräfte mit ihren Familien aus dieser Kleinstadt weg. Die Politiker versuchen durch Schaffung von Arbeitsplätzen in anderen Bereichen langfristig neue Bewohner zu gewinnen. Es dauert allerdings eine gewisse Zeit, bis diese Maßnahme erste Erfolge zeigt. Die Statistiker tragen die Einwohnerzahl regelmäßig in eine Grafik ein, wobei die Einteilung der x-achse in Jahrzehnten erfolgt und die der y-achse in zehntausend Einwohner. d) Interpretieren Sie die Bedeutung des Extremwertes und die Bedeutung der Wendestelle im Sachzusammenhang der Aufgabe. e) Begründen Sie, warum die angegebene Funktion f zur Modellierung der beschriebenen Situation zumindest nicht ganz fern liegt. (15 %) Neubesiedlung von Biotopen (Vorbereitungsheft HH erhöht) (Seiten: 56, 61, 64, 66) b) Interpretieren Sie Ihre in Teilaufgabe a) gewonnenen Erkenntnisse über die Funktionenschar in Bezug auf die Entwicklung der Krebsdichte im Wasser. Gehen Sie dabei auch auf die langfristige Entwicklung der Dichte ein. c) Bestätigen Sie, ( ) eine Stammfunktion von ist. d) Bei einem der beobachteten Seen ergaben die Untersuchungen durch Kontrollentnahmen, dass drei Monate nach dem ersten Auftauchen der Ruderfußkrebse in diesem See von einer Dichte von Krebsen pro Kubikmeter auszugehen war. By Don Seite 61

63 Ermitteln Sie aus dieser Beobachtung den Parameter k der Modellierung. Weisen Sie zunächst nach, dass sich für die Dichte ergibt: ( ) ( ). Bestimmen Sie mit diesem Modell, wie viele Ruderfußkrebse pro Kubikmeter in der ersten Woche (also im ersten Viertelmonat) ungefähr in den See gelangt sind. Bestimmen Sie, wie groß mit diesem Modell die Dichte der Krebse nach langer Zeit in dem See sein wird. (25 %) - Ende Teil 2 (Fortgeschritten Analysis) - Ausschnitte Abituraufgaben Profi: Die Teile der Abituraufgaben für den Profi. Mal einfach aber manches Mal auch wirklich zum Haare raufen. Um auch noch die letzten Punkte zu der Eins Plus heraus zu kitzeln, bedarf es sehr guter Kenntnisse der Basisfähigkeiten und ein tiefes Verständnis der Materie. Ein übersichtlicher und durchschaubarer Lösungsaufbau ist hier noch wichtiger als in den bisherigen Teilbereichen. Mit viel Übung sollte es allerdings möglich sein, auch hier einen Großteil der gestellten Aufgaben zu lösen. Darrieus-Windkraftanlage (Abitur SH 2011) (Seiten: 48, 57, 62, 65) d) Eine weitere Möglichkeit der näherungsweisen Beschreibung der Blattform der Darrieus- Windkraftanlage soll der Graph der Funktion g mit ( ) ( ) mit liefern. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Rotoren bei diesem Rechenmodell und geben Sie die prozentuale Abweichung zum ursprünglichen Flächeninhalt in Teilaufgabe b) an. Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion g in diesem Intervall keine Wendepunkte besitzt. (30 %) Hefewachstum (Abitur HH 2010 erhöht) (Seiten: 49, 58, 62, 65) Hefezellen in einem Weinfass vergären unter Luftabschluss Zucker zu Alkohol. Der Alkohol wird also nicht zugesetzt, sondern von der Hefe selbst erzeugt. Mit zunehmendem Wachstum der Hefe steigt auch die Alkoholproduktion, was zu einer zunehmenden Selbstvergiftung führt. Die folgende Differentialgleichung soll diese Selbstvergiftung berücksichtigen, s bezeichnet dabei die Masse der Hefekultur (mit Selbstvergiftung). Die Zeit t wird in Stunden gemessen. ( ) ( ) ( ); ( ) Differentialgleichung 2 f) Setzen Sie voraus, dass die Lösungen der Differentialgleichung 2 von der Form ( ) sind, und bestimmen Sie d in Abhängigkeit von a, w und h. Im Koordinatensystem ist der Graph für a = 100 mg, w = 0.3, h = 0.03 und d = vorgegeben. Interpretieren Sie im Vergleich die Verläufe der Hefeentwicklungen bei den beiden verschiedenen Modellannahmen aus den Teilaufgaben d) und f). (15 %) Tunnelbohrung (Abitur HH 2009 Zweittermin grundlegend) (Seiten: 49, 58, 62) e) Zeigen Sie, dass G mit ( ) ( ) eine Stammfunktion von g(x) ist. f) Bestimmen Sie, wie viele Meter die Tunnelvariante B, über die gesamte Tunnellänge gesehen, im Mittel tiefer liegt als die Variante A. (25 %) Fischexperiment (Abitur HH 2009 Zweittermin grundlegend) (Seiten: 50, 59, 62) f) Die Ergebnisse der Forschung sollen veröffentlicht werden. Hierfür scheint es sinnvoller zu sein, die Funktion so zu formulieren, dass die Fische zum Zeitpunkt t = 0 ausgesetzt werden und dementsprechend die Phase II zum Zeitpunkt t = 20 beginnt. Bestimmen Sie die Funktionsvorschrift, die für die Veröffentlichung benötigt wird. By Don Seite 62

64 g) Die Fische werden aus dem See komplett abgefischt, um das Experiment zu wiederholen. Bei der zweiten Durchführung des Experimentes soll den Fischen ständig mehr Futter zur Verfügung stehen. Es ist eine biologische Gesetzmäßigkeit, dass eine Erhöhung des Futterangebots zu einer Vergrößerung der Population führt. Bestimmen Sie eine mögliche Funktionsvorschrift, die Sie für das neue Experiment bei gleichen Anfangsbedingungen erwarten. Wählen Sie dabei die Zahlenwerte in der Funktionsvorschrift sinnvoll und begründen Sie die Wahl. (30 %) Smartphones (Abitur HH 2013 erhöht) (Seiten: 51, 59, 63, 65) Für die Firma PEAR ist es aus verschiedenen Gründen sinnvoll, den Produktzyklus (d. h. die Zeit vom ersten bis zum letzten verkauften Smartphone) zu begrenzen. Zur Vereinfachung der Prognose der insgesamt in den Verkauf gehenden Smartphones S2013 setzt die Planungsabteilung ab dem Wendepunkt der Verkaufszahlenentwicklung eine lineare Abnahme der täglichen Verkaufszahlen an, d. h. man ersetzt ab dem Wendepunkt der Funktion v den weiteren Verlauf des Funktionsgraphen durch die Wendetangente. Die Koordinaten des Wendepunkts sind gerundet W( ). e) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente. Zeichnen Sie die Wendetangente in das Koordinatensystem in der Anlage. Ermitteln Sie den Zeitpunkt, ab dem nach diesem Modell keine Smartphones mehr verkauft werden. Bestimmen Sie die Anzahl der Smartphones, die nach diesem Modell ab dem Zeitpunkt insgesamt noch verkauft werden. (20 %) Halbinsel (Abitur HH 2013 erhöht) (Seiten: 51, 60, 63, 65) Wegen lang anhaltender Trockenheit ist der Wasserstand des Sees abgesunken. Dadurch hat sich die weiterhin durch die Punkte C und D führende Strandlinie so verändert, dass ihr Verlauf im Intervall durch den Graphen einer Sinusfunktion h der Form ( ) ( ) angenähert werden kann (a > 0). e) Beschreiben Sie die Wirkung der Parameter a und d auf den Verlauf des Graphen der Funktion h. Bestimmen Sie die Parameter a und d und runden Sie Ihre Ergebnisse auf ganze Zahlen. (10 %) Medikation (Vorbereitungsheft HH grundlegend) (Seiten: 52, 60, 63) f) Ein Patient muss mit starken Nebenwirkungen rechnen, wenn die Konzentration des Medikamentes im Blut 10 Milligramm pro Liter übersteigt. Entscheiden Sie, ob der Patient aus Aufgabenteil e) gefährdet ist. Um das Medikament in seiner Wirksamkeit zu verbessern, verändert der Hersteller seine Zusammensetzung. Die Konzentration des Medikamentes im Blut wird wieder durch eine Funktion der Form ( ) mit a > 0 und b > 0 beschrieben. t ist wiederum die Zeit in Stunden nach der Einnahme und g(t) wird in der Einheit (Milligramm pro Liter) gemessen. g) Bestimmen Sie die Konstanten a und b, wenn die Konzentration genau vier Stunden nach der Einnahme ihren größten Wert von 10 erreichen soll. (25 %) USB-Sticks (Abitur HH 2012 erhöht) (Seiten: 53, 60, 63, 65) Damit das neue Produkt einen längeren Lebenszyklus hat, hat die Entwicklungsabteilung mehrere Verbesserungen in den Data 2.0 eingebaut. Aufgrund von Marktbeobachtungen erwartet die Firma, dass sie dadurch nach der gleichen Zeitspanne für die ersten drei Phasen eine längere Sättigungsphase erreichen kann. Man geht außerdem davon aus, dass sich der gleiche maximale momentane Umsatz wie beim Vorgängermodell erzielen lässt. Unter diesen Annahmen wird der momentane Umsatz beim Data 2.0 durch die Funktion beschrieben: By Don Seite 63

65 ( ) wobei t für die Zeit in Monaten seit Produktionsbeginn des Data 2.0 steht. Der Graph von ist im Koordinatensystem bereits dargestellt. d) Bestimmen Sie die Parameter a und b. Hinweis: Die Sättigungsphase beginnt nach 5 Monaten. Zur Kontrolle: ( ) ( ). e) Bestätigen Sie, dass über einen längeren Zeitraum hinweg auch der momentane Umsatz beim Data 1 in guter Näherung durch die Funktion beschrieben worden wäre, und entscheiden Sie, welche Phasen der Entwicklung in diesem Zeitraum lagen. (30 %) Intravenös (Abitur HH 2012 erhöht) (Seiten: 54, 61, 64, 66) Für eine Langzeitstudie über die Nebenwirkungen des Medikaments wird in allen Krankenhäusern ermittelt, wie hoch die durchschnittliche Menge im Körper des Patienten in der ersten Stunde ist. f) Ermitteln Sie diese Menge für den Patienten S. (10 %) Farbenproduktion (Vorbereitungsheft HH grundlegend) (Seiten: 55, 61, 64) e) Den Wert K(0) bezeichnet man als Fixkosten. Auf Grund eines neuen Pachtvertrages für das Firmengrundstück steigen die Fixkosten des Unternehmens von 3375 Geldeinheiten auf 4000 Geldeinheiten. In der Firmenleitung entsteht eine Diskussion über die Auswirkungen dieser Veränderung. Ein Firmenmitglied behauptet, dass man nach wie vor 30 Mengeneinheiten produzieren sollte, um den Gewinn zu maximieren. Ist diese Aussage richtig? Begründen Sie Ihre Antwort. (15 %) Bevölkerungsentwicklung (Vorbereitungsheft HH grundlegend) (Seiten: 56, 61, 64) f) Bestimmen Sie k so, dass F mit ( ) eine Stammfunktion von f ist. Bestimmen Sie das Integral von f über dem Intervall [0; 1,5]. Mit diesem Wert sollen Sie folgende Aufgabe bearbeiten: 15 Jahre nach der Werkschließung konnte die Stadt Fördergelder beantragen. Diese richteten sich nach der durchschnittlichen Einwohnerzahl (auf Tausend gerundet) der Stadt in diesen 15 Jahren. Bestimmen Sie die Höhe der Fördermittel, die die Stadt damals erhielt, wenn es für jeden Einwohner 1000 an Fördergeldern gab. g) Skizzieren Sie den weiteren Verlauf des Graphen von f (s. Skizze) und geben Sie unter der Bedingung, dass sie weiterhin der Funktion f genügt, eine begründete Prognose über die weitere Entwicklung der Einwohnerzahl ab. Ermitteln Sie die größtmögliche Einwohnerzahl, mit der unter diesen Bedingungen die Stadtentwickler rechnen müssten. Beschreiben Sie Gründe, warum sich die Einwohnerzahl vermutlich anders entwickeln wird. (30 %) Neubesiedlung von Biotopen (Vorbereitungsheft HH erhöht) (Seiten: 56, 61, 64, 66) e) Die Kollegen der Forscher im Heimatland wollen untersuchen, ob diese Änderung der Dichte an Ruderfußkrebsen auch bei bereits besiedelten Seen zu beobachten ist, deren Besiedlungsdichte durch äußeren Einfluss erhöht wird. Sie arbeiten daher mit der Stammfunktion D von mit ( ) ( ). Beschreiben Sie, was an diesem Modell gegenüber jenem aus Aufgabenteil d) geändert wurde. Begründen Sie durch Interpretation von, welche Voraussetzungen im Sachkontext gegeben sein müssen, damit dieses Modell für bereits besiedelte Seen sinnvoll sein kann. (10 %) ( ) - Ende Teil 3 (Profi Analysis) - By Don Seite 64

66 Ausschnitte Abituraufgaben Zusatzteile erhöhtes Anforderungsniveau: Selbst Schuld! Wer sich das ausgesucht hat. In diesen Teilaufgaben müssen verschiedene mathematische Disziplinen verknüpft werden oder komplexe Zusammenhänge in der jeweiligen Materie bearbeitet, verstanden und verständlich interpretiert und erklärt werden. Übung macht den Meister! Darrieus-Windkraftanlage (Abitur SH 2011) (Seiten: 48, 57, 62, 65) e) Die Länge eines Rotorblatts (nach dem Modell mit der Funktion f) soll bestimmt werden. Ersetzen Sie dazu das halbe Rotorblatt über dem Intervall [0 ; 8.75] durch 2 Strecken und ermitteln Sie so näherungsweise die Rotorblattlänge. Beschreiben Sie eine Weiterentwicklung des Verfahrens, so dass die Länge eines Rotorblatts möglichst genau berechnet werden kann. (20 %) Hefewachstum (Abitur HH 2010 erhöht) (Seiten: 49, 58, 62, 65) g) Es ist klar, dass die Maxima der Masse von Hefekulturen bei der zweiten Modellierung entscheidend durch den Wachstumsfaktor w und die Hemmungskonstante h bestimmt sind. Zeigen Sie: Das Maximum der Hefemasse s hängt nur vom Startwert a und dem Quotienten ab und beträgt immer. (15 %) Smartphones (Abitur HH 2013 erhöht) (Seiten: 51, 59, 63, 65) Aus Erfahrung weiß die Planungsabteilung, dass sie die Verkaufszahlenfunktion v in regelmäßigen Abständen variieren muss, um sie an das sich verändernde Verbraucherverhalten anzupassen. Bereits für das Nachfolgemodell von dem hier betrachteten Smartphone S2013 ist damit zu rechnen, dass schon am 40. Tag das Verkaufszahlenmaximum von Smartphones erreicht wird. Die Planungsabteilung verwendet den allgemeinen Ansatz f) Bestimmen Sie a und b so, dass die neue Verkaufszahlenfunktion die Prognose für den Zeitpunkt und den Wert des Verkaufszahlenmaximums für das Nachfolgemodell erfüllt. g) Ermitteln Sie, welchen Einfluss der Parameter a auf die Lage der Maximalstelle von hat. Ermitteln Sie, welchen Einfluss der Parameter b (für einen festen Wert des Parameters a) auf den Wert des Maximums von hat. (25 %) Halbinsel (Abitur HH 2013 erhöht) (Seiten: 51, 60, 63, 65) Rechnen Sie im Folgenden mit dem Kontrollergebnis ( ) ( ). f) Bestimmen Sie mit Hilfe einer Stammfunktion von h den Inhalt der durch den Rückgang des Wassers im Norden der Halbinsel freigelegten Fläche im Intervall. Hinweis: Gehen Sie vereinfachend davon aus, dass es außer x = 0 und x = 30 keine weiteren Schnittstellen gibt. (15 %) USB-Sticks (Abitur HH 2012 erhöht) (Seiten: 53, 60, 63, 65) f) Bestimmen Sie mit einem geeigneten Verfahren näherungsweise den Gesamtumsatz, den die Firma mit dem Data 2.0 erwartet. Beachten Sie hierbei, dass auch dieses Produkt vom Markt genommen wird, wenn der momentane Umsatz unter 1000 fällt. Vergleichen Sie die Gesamtumsätze der beiden Modelle miteinander. (10 %) By Don Seite 65

67 Intravenös (Abitur HH 2012 erhöht) (Seiten: 54, 61, 64, 66) In der oben gegebenen Funktionsgleichung für g sind die Parameter a und b patientenabhängig. g) Beurteilen Sie, wie sich der Parameter b ändert, wenn der Körper eines anderen Patienten, der ebenfalls 60 kg wiegt, das Medikament deutlich schneller abbaut. Geben Sie die Gleichung der Funktion gh für einen Patienten an, der 100 kg wiegt und für den b = 0.1 ist ( Patient H ). Die gewünschte Wirkung des Medikaments tritt ein, wenn die Medikamentenmenge im Körper des Patienten 75 % des jeweiligen Wertes von a erreicht. Untersuchen Sie, ob die Wirkung beim Patienten S oder beim Patienten H schneller eintritt. (15 %) Neubesiedlung von Biotopen (Vorbereitungsheft HH erhöht) (Seiten: 56, 61, 64, 66) f) In einem der Seen beobachteten die Forscher eine Sterblichkeitsrate der Krebse, die nicht mehr dem bisherigen Modell entsprach: Die Sterblichkeitsrate war im Wesentlichen proportional zu der Dichte, die aktuell nach dem alten Modell zu erwarten war. (Dieser Proportionalitätsfaktor möge mit s bezeichnet werden.) Weisen Sie nach, dass die Änderungsrate nun durch die Funktion ( ) ( ( ) ( )) beschrieben werden kann. Begründen Sie für s = 0.04, dass die Dichte der Ruderfußkrebse in diesem Fall nach etwa 4 Monaten ein Maximum erreicht. Führen Sie die nötigen Berechnungen exakt oder näherungsweise durch. (25 %) 6.) Länderübergreifender Aufgabenteil (Hilfsmittelfrei): Zum ersten Mal im Jahr 2014 gibt es im schriftlichen Abitur im Fach Mathematik einen länderübergreifenden Aufgabenteil. Dieser Aufgabenteil wird ohne Hilfsmittel bearbeitet. Die maximale Bearbeitungsdauer für diesen Teil beträgt 45 Minuten. In diesem Teil werden einfache Rechenfertigkeiten und ein tieferes Verständnis der Materie erwartet. 20 von 120 Bewertungseinheiten entfallen auf vier Aufgaben in diesem Aufgabenteil. Übersicht der Inhalte: Einfache Rechnungen, Interpretationen und Argumentationen aus den drei Schwerpunktbereichen (Analysis, lineare Algebra und Stochastik) Einfache Rechnungen mit Parametern und kurze Nachweise Zusätzlich für erhöhtes Niveau: Rechnungen mit Parametern und kurze Nachweise mit erhöhter Anforderung Beschreibung von Lösungswegen (ohne Durchführung) Grundlegender Kompetenzbereich: Hier gilt: Nicht lange nachdenken, sondern machen! Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion ( ) ( ). a) Begründen Sie, warum ( ) für alle gilt. b) Berechnen Sie ( ). Geben Sie an, um wie viele Einheiten der Graph von f mindestens nach oben verschoben werden muss, wenn dieses Integral einen ganzzahligen Wert annehmen soll, und begründen Sie Ihre Angabe. c) Geben Sie begründet das Symmetrieverhalten des Schaubildes von f(x) an. Aufgabe 2: Gegeben ist die Funktion ( ) ( ). Ihr Graph ist auf der nächsten Seite abgebildet. By Don Seite 66

68 a) Der einzige Wendepunkt der Funktion f liegt im Ursprung des Koordinatensystems. Bestimmen Sie die Steigung im Wendepunkt. b) Die Extrempunkte der Funktion f liegen an den Stellen x = 1und x = -1. Skizzieren Sie im Koordinatensystem unten rechts den Graphen von ( ). Beachten Sie dabei die Lage der Extrempunkte und die Steigung im Wendepunkt. Aufgabe 3: Gegeben ist das eindeutig lösbare Gleichungssystem LGS1 a) Berechnen Sie den Lösungsvektor ( ) von LGS1. b) Das Lineare Gleichungssystem LGS1 werde abgewandelt in das nachfolgende Gleichungssystem LGS2: Bestimmen Sie a so, dass das neue Lineare Gleichungssystem einen Widerspruch enthält. Aufgabe 4: Für ein Insekt mit den Entwicklungsstadien E, L und K ist die Übergangsmatrix M für einen Entwicklungszyklus gegeben durch ( ), bezogen auf einen Populationsvektor ( ). a) Skizzieren Sie den Übergangsgraphen für einen Entwicklungszyklus. b) Geben Sie den Wert der Matrix ( ) an und interpretieren Sie diesen im Sachkontext. By Don Seite 67

69 Aufgabe 5: In einer Urne befinden sich 6 rote und 4 blaue Kugeln. a) Es wird dreimal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis : Unter den gezogenen Kugeln ist höchstens eine blaue Kugel. b) Es wird zehnmal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Als Ereignis werde betrachtet : Unter den Aufgabe 6: gezogenen Kugeln sind genau k blaue Kugeln ( ). Geben Sie eine Formel für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses an. a) Entscheiden Sie, von welcher der beiden Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeitsverteilung abgebildet ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung. b) Begründen Sie, warum ( ) ( ) für alle gilt. Aufgabe 7: Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit ( ) ( ). a) Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Gleichung nur genau eine Lösung hat. b) Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen von f. Aufgabe 8: Gegeben sind die Matrix ( ) und der Vektor ( ). a) Es gelte mit. Berechnen Sie. b) Bestimmen Sie den Vektor ( ) mit den kleinstmöglichen Werten x, y und z { } so, dass gilt. By Don Seite 68

70 Aufgabe 9: Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0.6. a) Geben Sie begründet an, welche der Abbildungen das Histogramm die Verteilung von X darstellt. b) Geben Sie mithilfe der von Ihnen gewählten Abbildung näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P(4<X<7) und die Wahrscheinlichkeit ( ) an. Aufgabe 10: Es gibt 2x2 -Matrizen, die besondere Eigenschaften bezüglich ihrer Quadrate besitzen. a) Für jeden Wert t ( ) ist eine Matrix M t durch ( ) gegeben. Ermitteln Sie, welche besondere Eigenschaft die Matrizen M t bezüglich ihrer Quadrate haben. b) Für eine Matrix ( ) mit (a, b, c und d ) und gilt ( ). Untersuchen Sie, welche Werte für die Elemente der Matrix A in Frage kommen. Aufgabe 11: Verteilungen von Zufallsgrößen werden durch Parameter charakterisiert. a) In den Klassen 10a und 10b, die jeweils aus 25 Schülern bestehen, wurden die Leistungen jedes Schülers im Weitsprung ermittelt. Die Zufallsgrößen A und B ordnen jeweils einem zufällig ausgewählten Schüler der Klasse 10a bzw. 10b seine Sprungweite in Meter zu. Für die Erwartungswerte der beiden Zufallsgrößen gilt E(A)= E(B), für die Standardabweichungen σ(a) < σ(b). Erklären Sie anschaulich, was diese beiden Beziehungen für die Verteilungen der Sprungweiten bedeuten. b) Eine Zufallsgröße X kann fünf unterschiedliche Werte annehmen. Geben Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X so an, dass der Erwartungswert zwischen dem kleinsten und dem zweitkleinsten Wert dieser Zufallsgröße liegt. Aufgabe 12: Gegeben ist die Funktion ( ) ( ) mit. a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f. b) Zeichnen Sie die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x -Achse sowie den Scheitelpunkt ein und skizzieren Sie den groben Verlauf des Funktionsgraphen. By Don Seite 69

71 c) Geben Sie den Bereich der Funktion an, in dem der Wert des Integrals über die Funktion f maximal ist, und begründen Sie Ihre Angabe. Aufgabe 13: Eine Urne enthält genau zehn Kugeln, die sich nur in ihrer Farbe unterscheiden. Fünf der Kugeln sind rot, drei weiß und zwei gelb. a) Es werden genau drei Kugeln nacheinander mit Zurücklegen zufällig gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man keine gelbe Kugel erhält. b) Nun werden genau zwei Kugeln ohne Zurücklegen zufällig gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben. - Ende Teil 1 (Grundlegender Bereich hilfsmittelfrei) - Erweiterter Kompetenzbereich: Hier ist ein wenig Denkarbeit und ein Verständnis der Materie gefordert. Aufgabe 1: In den Teich eines Botanischen Gartens werden 20 Koi-Karpfen ausgesetzt. Die Anzahl der Koi in Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren seit dem Aussetzen) werde durch die Modellfunktion b beschrieben. Der Modellfunktion liegen folgende Annahmen zu Grunde: Die Maximalzahl, die sich einstellen wird, ist S =80. Der jährliche Zuwachs [b(t+1)-b(t)] ist proportional zu der Differenz [S-b(t)] am Beginn eines Jahres. Zeigen Sie, dass die Modellfunktion ( ) ( ) der Anfangsbedingung und der Modellannahme entspricht. Aufgabe 2: Gegeben ist die Matrix ( ) und der Vektor ( ). a) Bestimmen Sie die Produkte und. b) Für einen Vektor ( ) gelte ( ) ( ). Bestimmen Sie den Vektor ( ). By Don Seite 70

72 Aufgabe 3: Gegeben ist die Matrix ( ). a) Berechnen Sie und. b) Die Matrix M ist ein Spezialfall der Matrix ( ( ) ). Definieren Sie die Funktion f(x) mit möglichst großem Definitionsbereich so, dass ist. Aufgabe 4: Eine Zufallsgröße X habe die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Aufgabe 5: Das Rechteck ABCD mit A(1 0), B(4 0), C(4 2) und D(1 2) wird durch den Graphen der Funktion f mit ( ) in zwei Teilflächen zerlegt. Ermitteln Sie das Verhältnis der Inhalte der beiden Teilflächen. Aufgabe 6: Betrachtet werden die Matrizen A und B mit ( ) und ( ) sowie eine Matrix C. a) Zeigen Sie, dass B die zu A inverse Matrix ist. b) Für die Matrix C gilt: ( ) ( ) und ( ) ( ). Begründen Sie, dass gilt: ( ) ( ). Aufgabe 7: In den Urnen U 1 und U 2 befinden sich Kugeln, die sich nur in der Farbe unterscheiden: U 1 : 6 rote und 4 blaue Kugeln. U 2 : 1 rote und 4 blaue Kugeln. a) Aus der Urne U 1 werden zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen zufällig gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben. b) Es wird eine der beiden Urnen zufällig ausgewählt. Aus dieser wird eine Kugel zufällig gezogen. Die gezogene Kugel ist rot. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Kugel aus der Urne U 1 stammt. Aufgabe 8: Für jeden Wert von a ( ) ist eine Funktion f a gegeben durch ( ) ( ). Zeigen Sie, dass die Tangente t a an den Graphen der Funktion f a im Punkt P a (1 f a (1)) durch die Gleichung ( ) ( ) beschrieben werden kann. Aufgabe 9: Eine verbeulte Münze wird mehrfach geworfen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Wurf Wappen fällt, beträgt p. a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse A und B an: A: Bei fünf Würfen fällt genau dreimal Wappen. B : Bei fünf Würfen fällt genau dreimal Wappen, darunter bei den ersten beiden Würfen zweimal. b) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei drei Würfen dreimal Wappen fällt, ist Untersuchen Sie, ob das Ergebnis Wappen wahrscheinlicher ist als das Ergebnis Zahl. By Don Seite 71

73 Aufgabe 10: Die Nutzer einer Kantine werden hinsichtlich der Auswahl eines Menüs in drei Gruppen eingeteilt: Esser des Nudelgerichts (N), Esser des Fleischgerichts (F) und Esser des vegetarischen Gerichts (V). Der nebenstehende Graph gibt die Übergänge zwischen den Gruppen von Tag zu Tag an. Es soll davon ausgegangen werden, dass die Gesamtanzahl der Nutzer dieser Kantine konstant bleibt. Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH a) Geben Sie die in der zugehörigen Übergangsmatrix M fehlenden Werte an. b) Geben Sie den Wert a 22 der Matrix: ( ). Interpretieren Sie die Bedeutung des Wertes a 22 im Sachzusammenhang. Aufgabe 11: Über eine Zufallsgröße X liegen widersprüchliche Wahrscheinlichkeitsaussagen vor. Einigen Aussagen zufolge müsste die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Abbildung 1 entsprechen, anderen Aussagen zufolge der Abbildung 2. a) Begründen Sie, warum keine der beiden Abbildungen die wahre Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X wiedergeben kann. b) Eine gründliche Neuuntersuchung der Zufallsgröße X liefert folgende Erkenntnisse: P(X = 0) = 0.20; P(X = 1) = 0.24; P(X = 2 )= Die Zufallsvariable X kann ganzzahlige Werte von 0 bis 4 annehmen; Der Erwartungswert der Zufallsvariablen X beträgt Bestimmen Sie P(X = 3) und P(X = 4). By Don Seite 72

74 Aufgabe 12: Gegeben ist das eindeutig lösbare Gleichungssystem LGS1 a) Berechnen Sie den Lösungsvektor ( ) des LGS1.. b) Begründen Sie, warum die Lösungsmenge des gegebenen Gleichungssystems LGS1 eine echte Teilmenge von der Lösungsmenge des nachfolgenden Gleichungssystems LGS2 ist. - Ende Teil 2 (Erweiterter Bereich hilfsmittelfrei) - Profiaufgaben: Wer die Themen wirklich verstanden und sich gut vorbereitet hat, sollte auch mit diesen Aufgabenteilen klarkommen. Alle anderen sollten sich lieber mehr Zeit für die anderen Aufgabenteile erarbeiten, indem sie jetzt abgeben. Aufgabe 1: Für jeden Wert von a ( ) ist eine Funktion gegebene durch ( ) ( ). Bestimmen Sie a und b so, dass die Tangente an dem Graphen von im Punkt P(1 ( )) durch die Gleichung ( ) beschrieben werden kann. Aufgabe 2: Eine Abteilung eines Industriebetriebs verarbeitet die Rohstoffe R 1, R 2 und R 3 zu den Zwischenprodukten Z 1 und Z 2. Aus diesen Zwischenprodukten wird das Endprodukt E hergestellt. Der Materialfluss in Mengeneinheiten (ME) ist durch die folgenden Matrizen gegeben: Die Rohstoff/Zwischenproduktmatrix ( R Z ) ist ( ) die ( )-Matrix ist ( ). a) Skizzieren Sie den Gozintographen. b) Berechnen Sie die Matrix. Interpretieren Sie die Bedeutung des ersten Matrixelements von C im Kontext. Aufgabe 3: Der Kulturverein einer Kleinstadt bietet seinen Mitgliedern regelmäßig drei Veranstaltungen zur Auswahl an: Konzert (K), Theater (T) und Kino (C). Aus Mitglieder-Befragungen sind die folgenden Entscheidungswechsel bekannt: Von den Konzertbesuchern wählen beim nächsten Mal 50% Theater und 30% Kino. Von den Theaterbesuchern wählen beim nächsten Mal 30% Konzert und 40% Kino. Von den Kinobesuchern wählen beim nächsten Mal 25% Konzert und 35% Theater. Die Anzahl der Mitglieder, die eine der drei Veranstaltungen besucht, ist als konstant zu betrachten. a) Skizzieren Sie den Übergangsgraphen. b) Die Übergangsmatrix ist ( ), bezogen auf einen Verteilungsvektor ( ). Begründen Sie aus dem Kontext heraus die Einträge in der Hauptdiagonalen der Matrix M. By Don Seite 73

75 Aufgabe 4: In einer Reisegruppe sind 37.5% männliche Reisende (M), von diesen sind 80% im Alter von 60 und mehr (60+). Insgesamt sind 70% der Reisenden im Alter 60+. a) Bestimmen Sie den Anteil der weiblichen Reisenden im Alter 60+ in der gesamten Reisegruppe. b) Insgesamt gibt es 10 mehr weibliche als männliche Reisende in der Gruppe. Bestimmen Sie die Personenanzahl der gesamten Reisegruppe. Aufgabe 5: Ein quaderförmiges Speicherbecken für eine Flüssigkeit hat eine Grundfläche von 5 m 2 und ist zunächst leer. Der nebenstehende Graph gibt die Zufluss- bzw. Abflussrate in der Flüssigkeit über einen Zeitraum von 5 Stunden wieder. a) Bestimmen Sie näherungsweise das Volumen der in den ersten drei Stunden zufließenden Flüssigkeit. b) Skizzieren Sie in das nebenstehende Koordinatensystem einen möglichen Graphen, der die Höhe (in m) des Flüssigkeitsstandes im Speicherbecken in Abhängigkeit von der Zeit (in h) beschreibt. Aufgabe 6: Betrachtet werden Funktionen, deren Graph jeweils punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. a) Geben Sie die Gleichung einer in definierten Funktion f an, deren Graph punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Berechnen Sie ( ) für die von Ihnen ausgewählte Funktion. b) Der Graph einer in definierten Funktion f sei punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Begründen Sie allgemein, dass dann für alle a > 0 gilt: ( ). By Don Seite 74

76 Aufgabe 7: In einer Urne befinden sich vier Kugeln, die mit Zahlen beschriftet sind. Es wird zweimal nacheinander eine Kugel ohne Zurücklegen gezogen. Das Baumdiagramm zeigt die möglichen Ergebnisse mit den Wahrscheinlichkeiten der Zweige. Die zweimalige Ziehung werde benutzt, um nacheinander die Koordinaten x 1 und x 2 eines Punktes A(x 1 x 2 ) durch Ablesen der Zahl auf der gezogenen Kugel zu bestimmen. Berechnen Sie den Erwartungswert für den Betrag des Ortsvektors von A. Aufgabe 8: Nach Einnahme eines Medikamentes wird dessen Konzentration im Blut des Patienten gemessen. Für die ersten 8 Stunden beschreibt die Funktion f mit der Gleichung ( ) die im Blut vorhandene Menge des Medikamentes in Milligramm pro Liter in Abhängigkeit von der Zeit t. a) Zeigen Sie, dass für die erste Ableitung die Gleichung ( ) ( ) gilt. b) Die Funktion f hat im Intervall t [0; 8] ein globales Maximum (siehe Abbildung). Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die maximale Konzentration im Blut gemessen wird. Aufgabe 9: Ein Zoologisches Institut hält eine Käfer-Art unter künstlichen Bedingungen in einem abgeschlossenen Schaukasten. Die Käfer-Art durchläuft drei Entwicklungsstadien: Eier (E), Larven (L) und Käfer (K). Die Übergangsmatrix für einen Entwicklungszyklus von drei Wochen ist ( ), bezogen auf den Populationsvektor ( ). Darin bedeutet e die durchschnittliche Anzahl der Eier, die pro Käfer in einem Entwicklungszyklus gelegt werden. Das Institut möchte die Population möglichst konstant halten. Es kann über Beleuchtung und Temperatur die Anzahl e beeinflussen. Bestimmen Sie die Anzahl e so, dass es möglich ist, eine Käfer-Population einzurichten, die sich in Zusammensetzung und Gesamtzahl in jedem Zyklus reproduziert. By Don Seite 75

77 Aufgabe 10: Über die Studierenden einer Seminargruppe sind folgende Informationen bekannt: 60 % der Studierenden sind Männer. Die Hälfte der Studierenden ist höchstens 1,75 m groß. Von den Studierenden, die höchstens 1,75 m groß sind, sind 60 % Frauen. a) Ermitteln Sie den Anteil der Männer in dieser Seminargruppe, die größer als 1,75 m sind und den Anteil der Frauen in dieser Seminargruppe, die größer als 1,75 m sind. b) Eine Studentin wächst etwas und wechselt von der Gruppe derer, die höchstens 1,75 m groß sind, in die Gruppe derer, die über 1,75 m groß sind. Dadurch sinkt der Anteil der Frauen unter den Studierenden, die höchstens 1,75 m groß sind, auf. Bestimmen Sie die Anzahl der Studierenden, die nun noch höchstens 1,75 m groß sind. 7.) Lösungsansätze und Lösungen zu den Übungen und Aufgaben: Für die Basicsübungen habe ich meistens nur die Lösungen notiert, wenn nötig auch wichtige Zwischenergebnisse. Die Lösungen der Abituraufgaben sind immer als Ganzes zusammenhängend dem Erwartungshorizont entnommen. Die Formulierungen und auch die Lösungswege können und dürfen abweichen, so lange dasselbe Ergebnis bzw. sich derselbe Inhalt ergibt. 7.1) Lösungen Lineare Algebra: Lösungen zu den Übungen zu den Basics: Aufgabe 1: a) {( )} b) { } c) {( )} d) {( )} e) {( )} f) {( )} Aufgabe 2: {( )} {( )} Aufgabe 3: a) ( ) mit a ist MS, b ist OS b) und c ist US. a) 0.05 b) 0.2 Aufgabe 4: a) ( ) b) ( ) c) ( ) By Don Seite 76

78 Aufgabe 5: a) ( ) b) ( ) c) Nicht berechenbar. d) ( ) e) ( ) f) ( ) g) ( ) h) ( ) Aufgabe 6: a) ( ) b) Nicht invertierbar, da nicht n x n. c) ( ) Aufgabe 7: ( ) ( ) Die Matrix ergibt die Einheitsmatrix E. Die Populationszahlen wiederholen sich über drei Zeitschritte zyklisch. Nach dem dritten Zeitschritt ergibt sich somit wieder die Startpopulation. Aufgabe 8: a) ( ) Gesamtzahl: 91 ( ) Gesamtzahl: ( ) Gesamtzahl: 85 ( ) Gesamtzahl: 91 ( ) Gesamtzahl: ( ) Gesamtzahl: 85 Diese Entwicklung verläuft zyklisch, da der Bevölkerungsübergang nach drei Zeitschritten die Einheitsmatrix ergibt. Es sind maximal 91 Säugetiere im Park By Don Seite 77

79 b) ( ) Gesamtzahl: 94 ( ) Gesamtzahl: 89.4 ( ) Gesamtzahl: 95.2 ( ) Gesamtzahl: ( ) Gesamtzahl: ( ) Gesamtzahl: Die Population im ersten Zeitschritt zu, fällt dann wieder ein wenig, um im dritten Zeitschritt im Vergleich zum Ausgang angewachsen zu sein. Dies wiederholt sich immer wieder, so dass die Population immer weiter wächst. c) Nach spätestens sechs Jahren, da sich nach sieben Jahren der Populationsvektor ( ) ergibt, was einer Gesamtpopulation von entspricht. Zusätzlich erhöhtes Anforderungsniveau: Aufgabe 1: Determinante von M: ( ) ( ) ( ) Eigenwerte von M: ( ) ( ) Es ergibt sich: (Der Term wird charakteristisches Polynom genannt.) Die Eigenwerte ergeben sich als Lösung dieser Gleichung:, und Eigenvektoren von M: ( ) ( ) Es ergeben sich als kleinste ganzzahlige Eigenvektoren : ( ), ( ) und ( ) Aufgabe 2: a) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) Aufgabe 3: a) Gozintograph: Übergangsmatrix M: ( ) By Don Seite 78

80 b) Gegeben ist: ( ) ( ) ( ) ( ) c) Für den Fixvektor muss gelten: Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH Es ergibt sich als Fixvektor. ( ) Es ergibt sich als Grenzmatrix. ( ) c) Der Fixvektor ergibt sich als sich auf lange Sicht einstellende Verteilung. ( ) By Don Seite 79

81 Lösungen zu den Aufgaben: Vegetation Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 80

82 Schwarzwild Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 81

83 By Don Seite 82

84 Käferpopulation Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 83

85 Kastanien-Miniermotte Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 84

86 By Don Seite 85

87 Wanderung Borstenschweine Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 86

88 Fruchtsäfte Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 87

89 By Don Seite 88

90 Insektenpopulation Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 89

91 By Don Seite 90

92 By Don Seite 91

93 Einkommensgruppen Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 92

94 By Don Seite 93

95 Libellenentwicklung Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 94

96 Geckos Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 95

97 By Don Seite 96

98 Studentinnen und Studenten Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 97

99 By Don Seite 98

100 Ferien-Club Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 99

101 By Don Seite 100

102 By Don Seite 101

103 Pinguine Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 102

104 By Don Seite 103

105 Straßenkatzen Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 104

106 By Don Seite 105

107 Landschaf Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 106

108 By Don Seite 107

109 Lachse Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 108

110 By Don Seite 109

111 Industriehallen Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 110

112 Kosten und Gewinne Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 111

113 7.2) Lösungen Stochastik: Lösungen zu den Übungen zu den Basics: Aufgabe 1: a) Laplaceverteilung b) Hypergeometrische Verteilung (Für sehr große Grundmenge mit Binomialverteilung annährbar) c) Binomialverteilung d) Hypergeometrische Verteilung (Für sehr große Grundmenge mit Binomialverteilung annährbar) e) Laplaceverteilung f) Normalverteilung g) Binomialverteilung mit Approximation durch Normalverteilung h) Andere Verteilung i) Andere Verteilung j) Binomialverteilung k) Normalverteilung Aufgabe 2: X ist die Augensumme zweier Würfel. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet: ( ) By Don Seite 112

114 Histogramm: Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH Aufgabe 3: a) Augenzahl Strichliste Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit b) c) Die theoretische Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl beträgt bei einem normalen Spielwürfel. Nur für die Augenzahl 2 trifft dieses genau zu. Die Häufigkeiten der anderen Augenzahlen weichen um bis zu von der theoretischen Wahrscheinlichkeit ab. d) Bei geringer Stichprobengröße (hier: 60) können die erzielten Ergebnisse noch zum Teil deutlich von den theoretisch erwarteten Ergebnissen abweichen. Bei einer sehr großen Stichprobengröße nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse den theoretischen Wahrscheinlichkeiten immer mehr an (Empirisches Gesetz der großen Zahl). By Don Seite 113

115 Aufgabe 4: ( ) ( ) ( ) ( ) Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) (( ) ( ) ( ) ) Aufgabe 5: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Aufgabe 6: a) A: Person ist weiblich. B: Person trägt eine Brille Da ( ) ( ) gilt, sind die Eigenschaften A und B stochastisch abhängig. ( ) ( ) ( ) By Don Seite 114

116 b) A: Person ist infiziert. B: Test ist positiv. Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Da ein positiver Test zu mehr als 60 % bedeutet, dass man nicht infiziert, empfiehlt sich im Anschluss ein weiterer Test mit allen positiv getesteten Personen, um diese Wahrscheinlichkeit deutlich zu senken. Die 0.34 % der Infizierten mit negativem Ergebnis haben leider Pech, da der Erreger nicht erkannt wurde und es auch keinen Sinn macht, alle Personen auch ein zweites Mal zu testen (Kostenfaktor). Hier kann die Krankheit erst bekämpft werden, sobald sie ausbricht. c) A: Fehlverhalten des PKW-Fahrers. B: Nicht angepasste Geschwindigkeit. 1 ( ) ( ) ( ) Aufgabe 7: a) ( ) b) c) d) e) Aufgabe 8: ( ) ( ) Aufgabe 9: a) ( ) By Don Seite 115

117 b) Der zweite Weitspringer springt viel konstanter. Dadurch hat er zwar kaum Ausreißer nach unten, aber leider auch seltener Ausreißer nach oben. Diese wesentlichen größeren Abweichungen weist der erste Springer auf. Aufgabe 10: ( ) berechnet alle Möglichkeiten aus einer Gruppe von 7 Elementen genau 2 auszuwählen. Es ergeben sich genau gleichviele verschiedene Fünfergruppen. Die Anzahl aller Fünfergruppen wird auch mit ( ) ausgerechnet. Die Ergebnisse sind daher gleich. Sie beschrieben dasselbe Ereignis aus den beiden verschiedenen Sichtweisen. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) Zusätzlich erhöhtes Anforderungsniveau: Aufgabe 1: a) Nein. b) Nein. c) Ja. d) Ja. Aufgabe 2: ( ), ( ) und ( ). ( ) entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 8 und höchstens 12 bei einem Zufallsexperiment einer normalverteilten Zufallsgröße mit μ = 10 und σ = 4 auftritt. Aufgabe 3: n = 150 Sind maximal 12 Ausschussteile in der Stichprobe, soll die Behauptung des Herstellers weiterhin beibehalten werden. By Don Seite 116

118 Lösungen zu den Aufgaben: Ventilschäden Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 117

119 By Don Seite 118

120 Wassertaxis Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 119

121 Gewinnprognose Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 120

122 Ein-Euro-Münzen Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 121

123 Telefonieren am Steuer Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 122

124 Marketing Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 123

125 By Don Seite 124

126 Billigflüge Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 125

127 By Don Seite 126

128 Glasschüsseln Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 127

129 By Don Seite 128

130 Ernährungsstudie Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 129

131 By Don Seite 130

132 7.3) Lösungen Analysis: Lösungen zu den Übungen zu den Basics: Aufgabe 1: a) b) c) ( ) d) e) ( ) f) ( ) g) ( ) h) Aufgabe 2: a) b) c) d) e) Nicht lösbar. f) g) h) i) j) k) ( ) ( ) Aufgabe 3: a) ( ) ( ) Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) ( ) g) ( ) ( ) h) ( ) ( ) ( ) ( ) i) ( ) ( ) ( ) ( ) j) ( ) ( ) k) ( ) ( ) l) ( ) ( ) m) ( ) ( ) ( ) n) ( ) ( ) ( ) ( ) o) ( ) ( ) ( ) p) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) By Don Seite 131

133 Aufgabe 4: a) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) ( ) g) ( ) h) ( ) ( ) i) ( ) j) ( ) ( ) k) ( ) ( ) l) ( ) ( ) m) ( ) ( ) n) ( ) ( ) Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH Aufgabe 5: a) ; Achsensymmetrie zur Ordinate; ( ) ; ( )( ); ( ) und ( ); ( ), ( ) und ( ); monoton steigend im Intervall ( ), monoton fallend im Intervall ( ), monoton steigend im Intervall ( ) und monoton fallend im Intervall ( ); ( ) und ( ); rechtsgekrümmt im Intervall ( ), linksgekrümmt im Intervall ( ) und rechtsgekrümmt im Intervall ( ). b) ; Achsensymmetrie zur Ordinate; ( ) ; ( )( ); ( ) und ( ); ( ); monoton steigend im Intervall ( ) und monoton fallend im Intervall ( ); kein Wendepunkt; durchgehend rechtsgekrümmt. By Don Seite 132

134 Aufgabe 6: a) ( ) b) ( ) c) ( ) Aufgabe 7: a) ( ) b), da die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung (0 0) verläuft und die Flächenbilanz in gleichem Abstand vom Ursprung somit immer Null beträgt. c) ( ) d) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) ( ) ( ) g) b = 3 h) ( ) i) ( ) ( ) Aufgabe 8: By Don Seite 133

135 Aufgabe 9: a) ( ) b) und Zusätzlich erhöhtes Anforderungsniveau: Aufgabe 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; Es liegt weder eine Ordinaten- noch eine Ursprungssymmetrie vor; ( ), daher gibt es im negativen Bereich eine Asymptote mit ( ) und ( ) ; ( )( ); ( ); ( ); monoton steigend im Intervall ( ) und monoton fallend im Intervall ( ); ( ); linksgekrümmt im Intervall ( ) und rechtsgekrümmt im Intervall ( ). Ortskurve (bzw. Ortslinie) des Wendepunktes: ( ). Aufgabe 2: ( ) ( ) ( ) Aufgabe 3: ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) Aufgabe 4: a) ( ) b) ( ) c) ( ( ) ) By Don Seite 134

136 Lösungen zu den Aufgaben: Darrieus-Windkraftanlage Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 135

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138 Hefewachstum Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 137

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140 Tunnelbohrung Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 139

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142 Fischexperiment Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 141

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144 Smartphones Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 143

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147 Halbinsel Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 146

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150 Medikation Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 149

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152 USB-Sticks Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 151

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154 Intravenös Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 153

155 By Don Seite 154

156 Farbenproduktion Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 155

157 Bevölkerunsgentwicklung Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 156

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159 Neubesiedlung von Biotopen Aufgaben und Hinweise Abitur 2014 HH By Don Seite 158

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