R. Brinkmann Seite

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1 R. Brinkmann Seite Lösungen lineare Funktionen Teil XVI en: Eine Brauerei rechnet für die Auslieferung seiner Getränkekisten mit dem eigenen Verkaufsfahrzeug,8 pro iste bei monatlichen Fixkosten von 84. a) Erstellen Sie einen Term für die osten der Auslieferung von x isten. Welche osten entstehen für die Auslieferung von 25 isten? b) Ein Logistikunternehmen bietet die Auslieferung von Getränkekisten für 1,15 pro iste an. Erstellen Sie einen Term für die osten der Auslieferung von x isten. Für welche Auslieferungszahlen ist das Logistikunternehmen kostengünstiger? c) Unterbreiten Sie der Brauerei ein Angebot, sodass die osteneinsparung bei einem Absatz von 4 isten 68 beträgt. a) 1 ( x) =,8x isten: 1(x) =, = 284 Die Auslieferung von 25 isten kostet 284 b) 1(x) =,8x + 84 Brauerei, 2(x) = 1,15x Logistikunternehmen ostenunterschied: U(x) = 1(x) 2(x) =,8x ,15x =,35x + 84 Gewinn für die Brauerei wenn U(x) >,35x + 84 >,35x > 84 x < 24 Bis zu 24 isten ist das Logistikunternehmen kostengünstiger. c) Neue ostenfunktion für das Logistikunternehmen: 2(x) = a1x ostenunterschied: U(x) = 1(x) 2(x) =,8x + 84 a1x = (,8 a1) x + 84 Bei 4 isten soll der Gewinn 68 sein U(4) = (,8 a1) = 68,8 a1 = a1 =,84 4 (x) =,84x Das bedeutet,84 pro iste. 2 Erstellt von R. Brinkmann p1_lin_fkt_16_e.doc :38 Seite 1 von 5

2 R. Brinkmann Seite In einem volkswirtschaftlichen Modell sind die onsumausgaben linear vom verfügbaren Einkommen abhängig. Bei einem Einkommen von 1 betragen die onsumausgaben 9. Bei einem Einkommen von 18 betragen sie 146. a) Ermitteln Sie einen Funktionsterm für die onsumfunktion. b) Berechnen Sie die Höhe der onsumausgaben wenn das Einkommen 8, 25 bzw. 4 beträgt. c) Die onsumquote ist der Anteil des Einkommens das für den onsum aufgewendet wird. (onsumquote = onsum / Einkommen) Bestimmen Sie die onsumquote für die Einkommen aus b). Welcher allgemeiner Zusammenhang besteht zwischen onsumquote und Einkommen? d) Der Einkommenszuwachs betrage dx. Wie viel Prozent des Einkommenszuwachses wird für den onsum ausgegeben? e) Welche Funktion S beschreibt die Sparleistung in Abhängigkeit vom Einkommen. Stellen Sie die Funktion und S graphisch dar. Welche Bedeutung hat die Nullstelle von S? a) unabhängige Variable: x = Einkommen abhängige Variable y = (x) = onsumausgaben (linearer Zusammenhang) (x) = a x + a 1 Aus den gegebenen Bedingungen folgt: P 1 9 ; P y2 y a1 = = = =,7 (x) =,7x + a x2 x P 1 9 : (1) =,7 1 + a = 9 a = 2 1 (x) =,7x + 2 (8) =, = 76 P 8 76 b) (25) =, = 195 P (4) =, = 3 P 4 3 Erstellt von R. Brinkmann p1_lin_fkt_16_e.doc :38 Seite 2 von 5

3 R. Brinkmann Seite c) onsum (x) onsumquote = = Einkommen x 76 Einkommen 8 onsumquote = =,95 95% Einkommen 25 onsumquote = =,78 78% 25 3 Einkommen 4 onsumquote = =,75 75% 4 Allgemeiner Zusammenhang: (x),7x onsumquote = = =,7 + x x x Bemerkung: Je höher das Einkommen, desto mehr nähert sich die onsumquote dem Wert,7, das bedeutet, mindestens 7% des verfügbaren Einkommens wird für den onsum ausgegeben. Der Rest kann gespart werden. d) Anastz: altes Einkommen x (x) =,7x + 2 neues Einkommen x + dx (x + dx) =,7(x + dx) + 2 Einkommenszunahme x + dx x (x + dx) (x),7(x+ dx) + 2,7x+ 2 =,7dx Folgerung: 7% des Einkommenszuwachses wird für den onsum ausgegeben. Das entspricht der Steigung von (x). Erstellt von R. Brinkmann p1_lin_fkt_16_e.doc :38 Seite 3 von 5

4 R. Brinkmann Seite e) Alles was nicht konsumiert wird, wird gespart. S(x) = x (x) = x,7x + 2 =,3x x Sx Ex Es bedeuten: (x) = onsumfunktion ; S(x) = Sparfunktion ; E(x) = Einkommen Nullstelle von S(x) : S(x) =,3x 2 = x = 666,6 Bedeutung der Nullstelle: Erst ab einem Einkommen von 666,67 kann gespart werden. Die 666,67 bilden in diesem Modell das Existenzminimum. Unterhalb des Existenzminimums werden Schulden gemacht, denn Mensch muss ja irgendwo von leben. x Ein Eisenträger hat die Länge l = 85 m und einen Ausdehnungskoeffizienten α= ( Grad elvin) Ein Funktionsterm l( Δ t) = l +α l Δ t beschreibt die Länge des Eisenträgers in Abhängigkeit von der Temperaturdifferenz Δ t in. a) Geben Sie den Funktionsterm für die Länge dieses Eisenträgers an. b) Berechnen Sie die Länge des Eisenträgers für folgende Temperaturänderungen: 3 ; 6 ; 4. c) Wie lang müsste ein Eisenträger sein, der bei einer Temperaturerhöhung um 25 eine Längenänderung von 25 mm erfährt? Erstellt von R. Brinkmann p1_lin_fkt_16_e.doc :38 Seite 4 von 5

5 R. Brinkmann Seite a) m l( Δ t) = l +α l Δ t = 85 m + 85 m Δ t = 85 m +,12 Δt Δ t = 3 : l 3 = 85 m +,12 3 m = 85,36 m b) Δ t = 6 : l 6 = 85 m +,12 6 m = 85,612 m Δ t = 4 : l 4 = 85 m +,12 4 m = 85,48 m c) Längenänderung: Δ= l 25 mm =,25 m Temperaturänderung: Δ= t 25 l Δ t = l +,25m Δ = +α Δ + = +α Δ = α Δ l t l l t l,25m l l t l 3 3,25 m t,25 m,25 m 25 1 m 1 m 1 3 l = = = = = 1 = 83,3m α Δt Ein Eisenträger der Länge 83,33 m dehnt sich bei einer Temperaturerhöhung von 25 um 25 mm aus. Der elektrische Widerstand eines Leiters verursacht einen Spannungsabfall. Die Spannung U, die dem unden zur Verfügung steht, wird mit folgender Formel berechnet: U() I = U R I Daten: U = 2 V ; R = 1,17 Ω Dabei bedeuten: U = Generatorspannung in Volt R = Leitungswiderstand in Ohm und Uv = R I = Spannungsabfall in Volt a) Welche Spannung steht dem Verbraucher bei einem Strom von 25 A zur Verfügung? Wie hoch ist der Spannungsabfall? b) Welche physikalische Bedeutung hat die Nullstelle von U? Wie groß muss dafür der Strom sein? a) Rechnung ohne Einheiten: U(I) = U R I = 2 1,17 I Verbraucherspannung bei I = 25 A : U(25) = 2 1,17 25 = 197,75 (Volt) Spannungsabfall bei I = 25 A : U = 1,17 25 = 29,25 (Volt) b) 2 U(I) = 2 1,17 I = I = = 179,4 (Ampere) 1,17 Bei einem Stromfluss von 179,4 A kommt beim Verbraucher keine Spannung mehr an. V Erstellt von R. Brinkmann p1_lin_fkt_16_e.doc :38 Seite 5 von 5