Fehlerrechnung und Datenauswertung
|
|
- Ralph Kerner
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Teil I Fehlerrechnung und Datenauswertung 1 Elementare Fehlerrechnung 1.1 Standardabweichung als Maß für die Streuung Eine Messung werde mal durchgeführt. Als P Maß für die Streuung einer Messgröße bezüglich ihres Mittelwertes = 1 dient die empirische Standardabweichung s P 1 = ( ) 2 (1) Der mittlere quadratische Fehler Je größer die Anzahl der Messungen ist, desto vertrauenswürdiger ist der arithmetische Mittelwert. Diese Tatsache wird berücksichtigt, wenn man anstelle der Standardabweichung 1 den mittleren statistischen Fehler = s P ( ) 2 ( 1) (2) verwendet (Standardabweichung des Mittelwertes). 1.3 Fehlerfortpflanzung Es sei = ( 1 2 ) eine Größe, die aus den Messwerten 1 2 mit den jeweiligen Messfehlern 1 2 zu berechnen ist. Die maximale Größe des Fehlers von schätzt man mit der Beziehung = (3) 1
2 ab. Wenn die Fehler der verschiedenen Messwerte voneinander statistisch unabhängig sind, dann gilt auch das Fehlerfortpflanzungsgesetz von Gauss v q ux ( ) 2 = t µ 2 ( ) 2 (4) 1.4 Ausgleichsrechnung: Anpassung einer Funktion an eine Messreihe Im einfachsten Fall, der linearen Regression, besteht ein linearer Zusammenhang = + (5) zwischen den verschiedenen Messwerten und. Es besteht die Aufgabe, die unbekannten Parameter und zu bestimmen. Sind Wertepaare [[ 1 1 ] [ 2 2 ] [ ]] gegeben, dann erhält man und aus einer Minimierung der Fehlerquadratsumme ( ) = ( ) 2 min (6) Die notwendigen Bedingungen ( ) =0und ( ) =0für ein Minimum von ( ) führen auf die Gleichungen = P P P P 2 (P ) 2 (7) und = 1 ³X X (8) 2 Beschreibende Statistik Es besteht die Aufgabe, statistische Aussagen über eine "Grundgesamtheit Ω "von Personen oder Objekte (bzw. auch Fehler bei der Fehlerrechnung) zu treffen. Bei der Datenerhebung wird eine Person oder ein Objekt der Grundgesamtheit als Untersuchungseinheit bezeichnet ( Ω). Untersucht man soziale Verhältnisse der Einwohner eines Landes, so besteht die 2
3 Grundgesamtheit Ω aus allen Einwohnern des Landes; eine Untersuchungseinheit Ω ist dann ein einzelner Einwohner. Im Falle von Messwerten, die in einer Fehlerrechnung beurteilt werden sollen, ist die Grundgesamtheit Ω die Menge aller Messwerte und ein einzelner Messwert. Die Grundgesamtheit Ω kann auch aus der Aufzeichnung von einer größeren Anzahl an Münzwürfen hervorgehen. Ein Münzwurf ist dann eine Untersuchungseinheit. Die Merkmale (z.b. Eigenschaften (1) ( )ª ), die an den Personen oder Objekten Ω der Grundgesamtheit auftreten und deren Häufigkeit mit statistischen Methoden untersucht werden, bezeichnet man als Merkmalsausprägungen. Hierzu zwei Beispiele, entnommen aus Knöpfel et al. [1]: 1. Erhebung zur Altersverteilung der Bevölkerung eines Landes: Ω sei die Menge aller Einwohner, = 0 = {1 2 3 } (Altersangabe in Jahre) und es wird eine Zuordnung Ω 0 erfasst. Hierdurch wird jedem einzelnen Einwohner sein Alter als "Merkmalsausprägung" zugewiesen. 2. Ist man an der Augenfarbe der Studierenden einer Vorlesung interessiert, so ist Ω = { ist Studierender der Vorlesung}, = {blau, grün, braun,..} und die Abbildung Ω weist jedem Studierenden die Augenfarbe zu. Dieses Beispiel zeigt, dass Merkmalsausprägungen nicht immer auf einer metrischen Skala liegen müssen. 2.1 Darstellung der Daten Die Daten der Grundgesamtheit oder einer Stichprobe davon (nummeriert durch von 1 bis ) können in einer Urliste [[ 1 1 ] [ 2 2 ] [ ] [ ]] (9) zusammengefasst werden, wobei Ω und = (1) ( )ª gilt. Es ist instruktiv, Daten in Diagrammen darzustellen. Wenn groß ist, wird die Darstellung bei sehr vielen Merkmalsausprägungen (1) ( )ª unübersichtlich. Deshalb teilt man in der Regel die Merkmalsausprägungen in Klassen ein. Bei endlichem wird folgende Regel häufig befolgt: Klassenanzahl ' für kleine (etwa 100), Klassenanzahl ' log 2 für große. Anstelle von verschiedenen Merkmalsausprägungen kann für ein Intervall von möglichen Werten einer Größe stehen. So z.b. kann in der Liste 9 ein bestimmtes Fahrzeug und (0 ) dessen Geschwindigkeit sein. Dann hat überabzählbar viele Elemente. In diesen Fällen lassen sich 3
4 die Merkmalsausprägungen entlang einer metrischen Skala ordnen. Hierbei kann man Reihenfolgen (Ordnen nach der Größe) und sogar Abstände zwischen Merkmalsausprägungen definieren, im vorliegenden Beispiel sind dies die Geschwindigkeitsdifferenzen. Liegen eine größere Anzahl ( ) an Geschwindigkeitsmessungen vor, ist für Diagrammdarstellungen eine Klasseneinteilung durch Aufteilung in Geschwindigkeitsintervalle erforderlich. Messfehler liegen ebenfalls auf einer metrischen Skala. Der zufällige Messfehler kann durch eine größere Anzahl an Wiederholungsmessungen reduziert werden. In diesem Fall führt man für Darstellungen in Diagrammen ebenfalls Klassen für die Messfehlergröße ein. Bei derartigen Klassenaufteilungen = (1) ( )ª sind ( ) die Teilintervalle, in denen die Messfehler liegen. 2.2 Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit Häufigkeitsverteilungen, die aus Stichproben gewonnen wurden, sind sogenannte empirische Verteilungen, im Gegensatz zu den theoretischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die als mathematische Modelle von Grundgesamtheiten aufgefasst werden können. Aus den Daten der Stichprobe lassen sich Wahrscheinlichkeiten näherungsweise empirisch bestimmen. Wenn eine Stichprobe Elementen enthält, dann ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Merkmalsausprägung näherungsweise durch die relative Häufigkeit ( ) ' ( ) (10) gegeben, wobei ( ) die Anzahl der Elemente mit der Merkmalsausprägung in der Stichprobe ist. 2.3 Empirische Maße für Merkmalausprägungen Es sei nun immer vorausgesetzt, dass den Merkmalsausprägungen sinnvoll Zahlen zugeordnet werden können, d.h. eine metrische Skala existiert. Hierzu ist es manchmal erforderlich, eine Funktion einzuführen, die jeder möglichen Merkmalsausprägung eine Zahl zuordnet [1]. Aus jedem Datenelement [ ] der Liste 9 wird somit jeweils eine Zahl ([ ]) = erhalten. Eine Stichprobe (Datenliste 9) liefert die Zahlenwerte 1 = ([ 1 1 ]) 2 = ([ 2 2 ]) = ([ ]) (11) Die Indizes (1 2 ) nummerieren wieder die Untersuchungseinheiten ( Ω sind Personen oder Objekte) und bezeichnet die zutreffende Merk- 4
5 malsausprägung für. Dann lassen sich verschiedene Maße definieren, die aus der Stichprobe 11 gewonnen werden können: Empirischer Mittelwert = 1 = 1 ( ) (12) Streumaß: Empirische Varianz 2 1 = 1 1 ( ) 2 (13) Empirische Standardabweichung 1 = v q u 2 1 = t 1 1 ( ) 2 (14) Korrelation von zwei verschiedenen Merkmalen Es seien und zwei verschiedene Merkmale und es stellt sich die Frage, in wieweit die beiden Merkmale zueinander korreliert sind. Anstelle Liste 9 seien zwei Listen [ 1 = ([ 1 1 ]) 2 = ([ 2 2 ]) = ([ ])] (15) [ 1 = ([ 1 1 ]) 2 = ([ 2 2 ]) = ([ ])] bezogen auf die Stichprobe Ω = { 1 2 } vorgegeben. Man kann die beiden Listen 15 auch durch eine Liste [[ 1 1 ] [ 2 2 ] [ ]] (16) ersetzen. Der empirische Korrelationskoeffizient ist dann durch = 1 1 ( )( ) ( ) 1 ( ) 1 (17) 5
6 definiert, wobei die empirischen Mittelwerte ( bzw. ) mitvorschrift 12 und die empirischen Standardabweichungen im Nenner entsprechend der Vorschrift 14 berechnet werden. Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung Seit dem Axiomensystem von Kolmogorov (1933) ist die Wahrscheinlichkeitstheorie streng axiomatisch aufgebaut. Mathematische Grundlagen dazu liefern auch die Mengenlehre und die Maßtheorie. Die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsmaßes für ein Mengensystem, welches z.b. die Mengen von möglichen Ereignissen umfasst, wird als vorgegeben vorausgesetzt. Die Interpretation der Wahrscheinlichkeiten als relative Häufigkeiten einer Vielzahl von Versuchsausgängen oder der relativen Häufigkeiten von Merkmalsausprägungen ist hierbei nicht mehr zwingend erforderlich. 3 Axiomensystem von Kolmogorov 3.1 Menge der Elementarereignisse Ω Man bezeichnet mit Ω die Menge aller möglichen Versuchsausgänge eines Zufallsexperiments. Diese Versuchsausgänge werden auch als Elementarereignisse bezeichnet. 3.2 System von Teilmengen von Ω, die eine eine - Algebra bilden Ein System vonteilmengenvonω heißt Algebra, wenn gilt: 1) Ω, 2) =, d.h.wennmenge in enthalten ist, dann gilt dies auch für die Komplementärmenge 3) Wenn 1, 2, dann gilt auch S Die Mengen heißen Ereignisse oder messbare Mengen. Anmerkung: Mit der Definition der Algebra kann auch gezeigt werden, dass die Durchschnittsmenge beliebiger Mengen von zu gehört. 6
7 3.3 Axiomensystem von Kolmogorov Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω ) ist besteht aus einer nichtleeren Menge Ω der Elementarereignisse, einer Algebra über Ω und einer Funktion : [0 1], genannt Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit den Eigenschaften 1) ( ) 0 für alle Teilmengen aus (Nichtnegativität) 2) (Ω) =1(Normiertheit) 3) für abzählbar viele, paarweise disjunkte Teilmengen aus gilt µ S P = ( ) ( Additivität) Aufgabe Veranschaulichen Sie anhand von Venn-Diagrammen folgende Beziehungen: ( 1 2 )= ( 1 )+ ( 2 ) ( 1 2 ) ; ( )+ ( )=1; 3.4 Zufallsvariable und Erwartungswert Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung von einer Menge von Versuchsausgängen (oder Ereignissen) Ω in die Menge der reellen Zahlen. Eine genauere Definition geht von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω )aus: Eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω )isteine Funktion : Ω so dass für jedes Paar ( Menge der reellen Zahlen) mit gilt: { Ω ( ) } Beispiel für eine Zufallsvariable: Geschwindigkeit der Moleküle bei der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung. 3.5 Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Wahrscheinlichkeitsraumes (Ω ) kann auf die Zufallsvariable übertragen werden, so dass eine Verteilung für resultiert. Für eine Zufallsvariable, die nur diskrete Werte annehmen kann, gilt P ( ) = ( = ) (18) (Ω) mit 7
8 Diese Verteilung kann auch in der Form ( ) = P ( ) (19) dargestellt werden. Ein einfaches Beispiel ist die Bernoullische Verteilung zum Parameter mit [0 1]. Hierbei nimmt die Zufallsvariable die beiden Werte 0 und 1 an und es gilt ( =1)= und ( =0)=1 (20) Im Falle einer stetigen Zufallsvariablen, die beliebige Werte auf der Zahlengeraden annehmen kann, erhält man ( ) = Z ( ) (21) wobei ( ) die Dichte der Verteilung für die Zufallsvariable ist. Es gilt für ( ) die Normierungsbedingung Z ( ) =1 (22) Anstelle der Verteilungsdichte ( ) verwendet man häufig die Verteilungsfunktion ( ), diesichbeieinerintegrationüber ( ) ergibt ( ) = Somit folgt aus der Beziehung 21 Z ( ) (23) ( ) = ( ) ( ) (24) Offenbar ist ( ) eine monoton wachsende Funktion und es gilt ( ) =0 und ( ) =1.Einehäufig auftretende Verteilung ist die Normalverteilung (Gauss-Verteilung) Ã ( ) = 1 2 exp! ( )2 2 2 (25) mit dem Erwartungswert ( ) = und der Varianz ( ) = 2.Durch Standardisierung entsteht die Standardnormalverteilung mit der Wahrscheinlichkeitsdichte ( ) = 1 exp µ 2 (26) 2 2 8
9 wobei der Erwartungswert ( ) =0und die Varianz ( ) =1ist. Es können auch gemeinsame Verteilungen ( ) zweier Zufallsgrößen und (oder auch beliebig vieler Zufallsgrößen) eingeführt werden [1]. Zwei Zufallsgrößen und sind unabhängig voneinander, wenn für die gemeinsame Verteilungsfunktion die Gleichung ( ) = ( ) ( ) erfüllt ist, wobei ( ) die Verteilungsfunktion von und ( ) die Verteilungsfunktion von ist. Entsprechend gilt dann für die Wahrscheinlichkeitsdichte der gemeinsamen Verteilung ( ) = ( ) ( ). 3.6 Erwartungswert, Varianz und Kovarianz Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen ist durch ( ) = P ( ) (27) gegeben, wobei ( ) die Wahrscheinlichkeit für den Wert der Zufallsvariablen ist. Dementsprechend gilt für eine kontinuierlichen Zufallsvariable ( ) ( ) = Z Die Varianz der Zufallsvariablen ist durch ( ) (28) ( ) = [ ( )] 2 (29) definiert. Die Wurzel aus der Varianz = p ( ) wird als Standardabweichung bezeichnet. Die Kovarianz zweier Zufallsvariablen und wird aus ( )= [( ( )) ( ( ))] (30) erhalten. Teil III Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Die Wahrscheinlichkeitsrechnung schließt von der Grundgesamtheit auf die Stichprobe, hingegen die beurteilende Statistik von der Stichprobe auf die 9
10 Grundgesamtheit. Allerdings werden die grundlegenden Beziehungen der beschreibenden Statistik mit den mathematisch fundierten Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung hergeleitet. Eine große Rolle spielen Grenzwertsätze über Summen von Zufallsvariablen, wobei in vielen Fällen die Gausssche Verteilung (Normalverteilung) eine zentrale Rolle spielt. 4 Der zentrale Grenzwertsatz Es seien die Zufallsvariablen 1, 2 voneinander unabhängig und sie besitzen die gleiche Verteilung. Der zentrale Grenzwertsatz trifft danneine Aussage über die Summe = (31) von Zufallsvariablen. Zentraler Grenzwertsatz: Für jedes seien die Zufallsvariablen 1, 2 voneinander unabhängig und sie besitzen die gleiche Verteilung. Bezeichnet man den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen mit = ( ) bzw. 2 = ( ), dann gilt µ = 1 Z 2 2 für den Grenzübergang =. exp µ 2 (32) 2 Beispiel: Wenn einer Bernoulliverteilung mit dem Parameter genügt, dann gilt wegen = und 2 = (1 ) für = Ã! p = 1 Z exp µ 2 (33) (1 ) Vertrauensintervall bei der Fehlerrechnung In der Fehlerrechnung, zur Bewertung experimenteller Daten, kann man häufig die Größe von zufälligen Messfehlern von Einzelmessungen aus Plausibilitätsbetrachtungen abschätzen und damit Standardabweichungen sinnvoll vorgeben. Wenn eine genügende Anzahl von Wiederholungsmessungen vorliegen, kann auch die empirische Varianz verwendet werden. Es besteht die Frage, wie groß das Vertrauen darin ist, dass ein erwartbares Fehlerintervall eine 10
11 bestimmte Größe nicht überschreitet, nachdem mehrere Wiederholungsmessungen durchgeführt und die Mittelwerte der Messwerte bestimmt worden sind. Durch die Mittelwertbildung wird der zufällige Fehler reduziert. Unter sehr allgemeinen Voraussetzungen sind die Messfehler der Einzelmessungen normal verteilt (Gauss-Verteilung). Es werden Messungen einer Größe durchgeführt. Da zufällige Messfehler bei den Messungen auftreten, soll jede Messung der Größe auch als Realisierung einer Zufallsvariable aufgefasst werden. Der empirische Mittelwert und die empirische Varianz sind wieder mit der Stichprobe (bestehend aus den Werten für die Messungen) aus den Beziehungen = 1 bzw. 2 1 = 1 1 ( ) 2 (34) bestimmbar. Daraus erhält man Schätzwerte für Mittelwert = ( ) und Varianz 2 = ( ) der Zufallsvariablen : ( ) ' = 1 (35) und 2 ( ) ' 2 1 = 1 1 ( ) 2 (36) Aus dem zentralen Grenzwertsatz [2] folgt, dass für genügend große Werte von die Verteilung der standardisierte Zufallsgröße = P 2 (37) gleich der Normalverteilung mit dem Erwartungswert 0 und der Varianz 1 ist. Die Zufallsgröße dient dazu, die erwartbaren Abweichungen des empirisch bestimmten Mittelwertes vom wahren Messwert zu bestimmen. Es sei nun die Zahl gleich der Wahrscheinlichkeit ( ) dafür, dass die normierte Fehlerabweichung innerhalb eines gewählten Intervalls [ ] liegt. Mit dem zentralen Grenzwertsatz folgert man ( )= Z 1 2 exp( 2 2) = (38) Für ( ) können wir offenbar auch alternative Bezeichnungswei- 11
12 sen ( ) = µ + = µ + = µ + verwenden. Mit Gleichungen 38 und 23 zeigt man leicht die folgende Beziehung zwischen und : ( ) = 1+ (39) 2 mit ( ) = Z 1 2 exp( 2 2) (40) In der Praxis wählt man für häufig diewerte0 95 oder 0 99 (Konfidenzniveau). Dann wird mit Gleichung 40 der Wert von für das gewählte Konfidenzniveau bestimmt. Schließlich können mit der Beziehung 37 die Fehlerschranken für den erhaltenen Mittelwert =( P ) angegeben werden. Bei einer vorgegebenen Zuverlässigkeit (Vorgabe des Parameters für das Vertrauensniveau) liegt dann der wahre Wert der Messgröße innerhalb eines Intervalls + (41) 6 Aufgaben 1) Eine Zellspannung wurde 12-mal bestimmt (Angaben in Millivolt): [110], [103], [102], [107], [101], [102], [106], [104], [105], [106], [105], [106] a) Bestimmen Sie Mittelwert und empirische Varianz der Zellspannung. b) Geben Sie die Vertrauensintervalle für =90%und = 95% an. (Mit der Wahrscheinlichkeit soll die wahre Zellspannung innerhalb des jeweiligen Vertrauensintervalls [ min max ] liegen.) 2) Der elektrische Widerstand = eines Drahtes wird durch 6 Messungen [ ] der Spannung in mv und der Stromstärke in ma bestimmt: [ ], [ ], [ ], [ ], [ ], [ ] 12
13 Es wird vorausgesetzt, dass die Messungen von und voneinander unabhängig sind. a) Schätzen Sie aus den Daten die mittleren Fehlerquadrate ( ) 2 und ( ) 2 mit Hilfe der empirischen Varianz ab. b) Verwenden Sie das Gausssche Fehlerfortpflanzungsgesetz q und die Ergebnisse für ( ) 2 und ( ) 2,um( ) 2 bzw. ( ) 2 abzuschätzen (Fehler von ). 3) Eine Zufallsvariable ist im Intervall gleich verteilt. Bestimmen Sie Erwartungswert = ( ) und Varianz 2 = ( ) von. 4) Bestimmen Sie Erwartungswert = ( ) und Varianz 2 = ( ) für die Bernoullische Verteilung (siehe Definitionsgleichungen 20). 5) Bei einer Bürgermeisterwahl mit zwei Kandidaten und werden mehr als 7000 Stimmen abgegeben. Vor der Auszählung wurde eine Stichprobe von 200 Stimmzetteln zufällig ausgewählt. Dabei zeigte sich, dass für Kandidat insgesamt 110 und für Kandidat die restlichen 90 Stimmen abgegeben wurden. a)wiegenauisteineprognosedeswahlausgangesmitderstichprobe, wenn eine Vertrauenswahrscheinlichkeit von =0 95 zugrunde gelegt wird? b) Schätzen Sie aus den Angaben der Stichprobe die Wahrscheinlichkeit dafür ab, dass Kandidat doch noch die Bürgermeisterwahl gewinnt! 6) In einer repräsentativen Umfrage haben 400 von 1200 Befragten für eine Partei votiert. Wie genau ist der Schätzwert für das Wahlergebnis dieser Partei, wenn die Befragten rein zufällig ausgewählt und Vertrauenswahrscheinlichkeiten von a) =0 90 und von b) =0 95 zugrunde gelegt werden? 7) Bestimmen Sie die Ausgleichsgerade für einen vermuteten linearen Zusammenhang = + der Größen und unter Verwendung folgender Daten [ ]: [1 4] [2 2] [3 1] [4 4] Wie groß ist der empirische Korrelationskoeffizient zwischen den Größen und, wenn man die vorliegenden Daten zugrunde legt? Ist eine Korrelation zwischen und zu erwarten? 13
14 8) Bestimmen Sie Erwartungswert = ( ) und Varianz 2 = ( ) für die Binomialverteilung und die Poisson-Verteilung. 9) In einem klassischen Gas sei die Teilchengeschwindigkeit (in km/s) folgendermaßen verteilt (Maxwell-Verteilungsdichte bei einer bestimmten Temperatur): ( ) = 4 2 exp( 2 ) für 0 a) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz für die Zufallsvariable Geschwindigkeit! b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Geschwindigkeit eines Teilchens größer als 0 5 (in km/s) ist? Anmerkung: Es gilt mit der Fehlerfunktion erf : ( ) = erf 2. Gleichung 39 kann mit Marlab durch (@( )1 2 (1 + erf( (2))) (1 + ) 2 1) gelöst werden, wobei für der gewünschte Zahlenwert (Wahrscheinlichkeitswert) des Vertrauensintervalls eingesetzt werden muss. [1] H. Knöpfel, M. Löwe, Stochastik-Struktur im Zufall, Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH 2007, ISBN [2] J. A. Rosanow, Stochastische Prozesse, Akademie-Verlag, Berlin 1975 [3] B. W. Gnedenko, Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Akademie-Verlag, Berlin 1979 [4] Henze, Stochastik für Einsteiger, Vieweg Verlag,Wiesbaden
I. Deskriptive Statistik 1
I. Deskriptive Statistik 1 1. Einführung 3 1.1. Grundgesamtheit und Stichprobe.................. 5 1.2. Merkmale und Verteilungen..................... 6 1.3. Tabellen und Grafiken........................
MehrGrundlegende Eigenschaften von Punktschätzern
Grundlegende Eigenschaften von Punktschätzern Worum geht es in diesem Modul? Schätzer als Zufallsvariablen Vorbereitung einer Simulation Verteilung von P-Dach Empirische Lage- und Streuungsparameter zur
Mehr4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren)
4. Schließende Statistik (Inferenzstatistik, konfirmatorische Verfahren) 4.1. Einführung Schätzen unbekannter Parameter im Modell, z.b. Wahrscheinlichkeiten p i (Anteile in der Gesamtmenge), Erwartungswerte
MehrEinführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Ingenieure Von Prof. Hubert Weber Fachhochschule Regensburg 3., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit zahlreichen Bildern, Tabellen sowie
MehrBachelor BEE Statistik Übung: Blatt 1 Ostfalia - Hochschule für angewandte Wissenschaften Fakultät Versorgungstechnik Aufgabe (1.1): Gegeben sei die folgende Messreihe: Nr. ph-werte 1-10 6.4 6.3 6.7 6.5
MehrDiskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Worum geht es in diesem Modul? Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsverteilungen Maßzahlen theoretischer Verteilungen Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz
MehrKeine Panik vor Statistik!
Markus Oestreich I Oliver Romberg Keine Panik vor Statistik! Erfolg und Spaß im Horrorfach nichttechnischer Studiengänge STUDIUM 11 VIEWEG+ TEUBNER Inhaltsverzeichnis 1 Erstmal locker bleiben: Es längt
MehrDeskriptive Statistik 1 behaftet.
Die Statistik beschäftigt sich mit Massenerscheinungen, bei denen die dahinterstehenden Einzelereignisse meist zufällig sind. Statistik benutzt die Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Fundamentalregeln:
MehrZufallsgröße. Würfelwurf mit fairem Würfel. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten
Zufallsgrößen Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt 0 Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 3 Statistische Inferenz 4 Hypothesentests
Mehr1.1.1 Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten Formale Definition der Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente...
Inhaltsverzeichnis 0 Einführung 1 1 Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten 5 1.1 Zufallsvorgänge.......................... 5 1.1.1 Ergebnismengen..................... 6 1.1.2 Ereignisse und ihre Verknüpfung............
MehrStatistik II. Statistische Tests. Statistik II
Statistik II Statistische Tests Statistik II - 12.5.2006 1 Test auf Anteilswert: Binomialtest Sei eine Stichprobe unabhängig, identisch verteilter ZV (i.i.d.). Teile diese Stichprobe in zwei Teilmengen
MehrTabellarische und graphie Darstellung von univariaten Daten
Part I Wrums 1 Motivation und Einleitung Motivation Satz von Bayes Übersetzten mit Paralleltext Merkmale und Datentypen Skalentypen Norminal Ordinal Intervall Verältnis Merkmalstyp Diskret Stetig Tabellarische
MehrÜber den Autor 7. Teil Beschreibende Statistik 29
Inhaltsverzeichnis Über den Autor 7 Einführung Über dieses Buch - oder:»... für Dummies«verpflichtet! Wie man dieses Buch benutzt 22 Wie ich Sie mir vorstelle 22 Wie dieses Buch aufgebaut ist 23 Teil I:
MehrBiometrie und Methodik (Statistik) - WiSem08/09 Probeklausur 1
Biometrie und Methodik (Statistik) - WiSem08/09 Probeklausur 1 Aufgabe 1 (10 Punkte). 10 Schüler der zehnten Klasse unterziehen sich zur Vorbereitung auf die Abschlussprüfung einem Mathematiktrainingsprogramm.
MehrStatistik. Datenanalyse mit EXCEL und SPSS. Prof. Dr. Karlheinz Zwerenz. R.Oldenbourg Verlag München Wien. Von
Statistik Datenanalyse mit EXCEL und SPSS Von Prof. Dr. Karlheinz Zwerenz R.Oldenbourg Verlag München Wien Inhalt Vorwort Hinweise zu EXCEL und SPSS Hinweise zum Master-Projekt XI XII XII TEIL I GRUNDLAGEN
MehrEinführung in die Fehlerrechnung und Messdatenauswertung
Grundpraktikum der Physik Einführung in die Fehlerrechnung und Messdatenauswertung Wolfgang Limmer Institut für Halbleiterphysik 1 Fehlerrechnung 1.1 Motivation Bei einem Experiment soll der Wert einer
MehrStochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4
Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik Stochastik und Statistik für Ingenieure Vorlesung 4 30. Oktober 2012 Quantile einer stetigen Zufallsgröße Die reelle Zahl
MehrStatistik eindimensionaler Größen
Statistik eindimensionaler Größen Michael Spielmann Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabe der eindimensionalen Statistik 2 2 Grundbegriffe 2 3 Aufbereiten der Stichprobe 3 4 Die Kennzahlen Mittelwert und Streuung,
MehrEine zweidimensionale Stichprobe
Eine zweidimensionale Stichprobe liegt vor, wenn zwei qualitative Merkmale gleichzeitig betrachtet werden. Eine Urliste besteht dann aus Wertepaaren (x i, y i ) R 2 und hat die Form (x 1, y 1 ), (x 2,
Mehr8. Stetige Zufallsvariablen
8. Stetige Zufallsvariablen Idee: Eine Zufallsvariable X ist stetig, falls ihr Träger eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen R ist. Beispiel: Glücksrad mit stetigem Wertebereich [0, 2π] Von Interesse
MehrMathematische und statistische Methoden II
Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung Wallstr. 3, 6. Stock, Raum 06-206 Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de lordsofthebortz.de lordsofthebortz.de/g+
MehrDatenanalyse. (PHY231) Herbstsemester Olaf Steinkamp
Datenanalyse (PHY31) Herbstsemester 015 Olaf Steinkamp 36-J- olafs@physik.uzh.ch 044 63 55763 Einführung, Messunsicherheiten, Darstellung von Messdaten Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik
Springer-Lehrbuch Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik von Karl Mosler, Friedrich Schmid Neuausgabe Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Mosler / Schmid schnell und portofrei
MehrLEHRPLAN MATHEMATIK SPORT- UND MUSIKKLASSE
LEHRPLAN MATHEMATIK SPORT- UND MUSIKKLASSE STUNDENDOTATION GF EF 3. KLASSE 1. SEM. 4 2. SEM. 4 4. KLASSE 1. SEM. 3 2. SEM. 3 5. KLASSE 1. SEM. 3 2. SEM. 3 6. KLASSE 1. SEM. 3 2 2. SEM. 3 2 7. KLASSE 1.
MehrStandardisierte Vorgehensweisen und Regeln zur Gewährleistung von: Eindeutigkeit Schlussfolgerungen aus empirischen Befunden sind nur dann zwingend
Standardisierte Vorgehensweisen und Regeln zur Gewährleistung von: Eindeutigkeit Schlussfolgerungen aus empirischen Befunden sind nur dann zwingend oder eindeutig, wenn keine alternativen Interpretationsmöglichkeiten
MehrStatistik. Jan Müller
Statistik Jan Müller Skalenniveau Nominalskala: Diese Skala basiert auf einem Satz von qualitativen Attributen. Es existiert kein Kriterium, nach dem die Punkte einer nominal skalierten Variablen anzuordnen
Mehr1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie
H.-J. Starkloff Unendlichdimensionale Stochastik Kap. 01 11. Oktober 2010 1 1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie 1.1 Messbare Räume Gegeben seien eine nichtleere Menge Ω und eine Menge A von Teilmengen
MehrKonfidenzintervall für den Anteilswert θ. Konfidenzintervalle. Jost Reinecke. Universität Bielefeld. 13. Juni 2005
Universität Bielefeld 13. Juni 2005 Einführung Einführung Wie kann die Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Parameter einer Stichprobe dazu verhelfen auf die wahren Werte der Grundgesamtheit
MehrWas ist Physik? Modell der Natur universell es war schon immer so
Was ist Physik? Modell der Natur universell es war schon immer so Kultur Aus was sind wir gemacht? Ursprung und Aufbau der Materie Von wo/was kommen wir? Ursprung und Aufbau von Raum und Zeit Wirtschaft
MehrMathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 9. Dezember 2010 1 Konfidenzintervalle Idee Schätzung eines Konfidenzintervalls mit der 3-sigma-Regel Grundlagen
MehrFüllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge
2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten
MehrK8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis
K8 Stetige Zufallsvariablen Theorie und Praxis 8.1 Theoretischer Hintergrund Wir haben (nicht abzählbare) Wahrscheinlichkeitsräume Meßbare Funktionen Zufallsvariablen Verteilungsfunktionen Dichten in R
MehrWebinar Induktive Statistik. - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stichprobentheorie
Webinar Induktive Statistik - Wahrscheinlichkeitsrechnung - Stichprobentheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Aufgabe : Zwei Lieferanten decken den Bedarf eines PKW-Herstellers von 00.000 Einheiten pro Monat.
MehrBedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit
Kapitel 5 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Mitunter erhält man über das Ergebnis eines zufälligen Versuches Vorinformationen. Dann entsteht die Frage, wie sich für den Betrachter, den man
MehrBestimmen von Quantilen
Workshop im Rahmen der VIV-Begabtenförderung Bestimmen von Quantilen Wie Rückwärtsdenken in der Stochastik hilft Leitung: Tobias Wiernicki-Krips Samstag, 10. Januar 2015 1 / 29 Motivation Wie bestimmt
MehrUnivariates Datenmaterial
Univariates Datenmaterial 1.6.1 Deskriptive Statistik Zufallstichprobe: Umfang n, d.h. Stichprobe von n Zufallsvariablen o Merkmal/Zufallsvariablen: Y = {Y 1, Y 2,..., Y n } o Realisationen/Daten: x =
Mehr6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen
6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,
MehrSatz 16 (Multiplikationssatz)
Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.
MehrWahrscheinlichkeits - rechnung und Statistik
Michael Sachs Mathematik-Studienhilfen Wahrscheinlichkeits - rechnung und Statistik für Ingenieurstudenten an Fachhochschulen 4., aktualisierte Auflage 2.2 Eindimensionale Häufigkeitsverteilungen 19 absolute
MehrÜbungsaufgaben zu Statistik II
Übungsaufgaben zu Statistik II Prof. Dr. Irene Prof. Dr. Albrecht Ungerer Die Kapitel beziehen sich auf das Buch: /Ungerer (2016): Statistik für Wirtschaftswissenschaftler Springer Gabler 4 Übungsaufgaben
Mehr1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6
Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 Bedingte
Mehr8. Konfidenzintervalle und Hypothesentests
8. Konfidenzintervalle und Hypothesentests Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Beispiel. Sie wollen den durchschnittlichen Fruchtsaftgehalt eines bestimmten Orangennektars
Mehr8. Statistik Beispiel Noten. Informationsbestände analysieren Statistik
Informationsbestände analysieren Statistik 8. Statistik Nebst der Darstellung von Datenreihen bildet die Statistik eine weitere Domäne für die Auswertung von Datenbestände. Sie ist ein Fachgebiet der Mathematik
MehrKlausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester Aufgabe 1
Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik II (mit Kurzlösung) Sommersemester 2013 Aufgabe 1 In einer Urne
MehrInferenzstatistik (=schließende Statistik)
Inferenzstatistik (=schließende Statistik) Grundproblem der Inferenzstatistik: Wie kann man von einer Stichprobe einen gültigen Schluß auf di Grundgesamtheit ziehen Bzw.: Wie groß sind die Fehler, die
MehrAnleitung: Standardabweichung
Anleitung: Standardabweichung So kann man mit dem V200 Erwartungswert und Varianz bzw. Standardabweichung bei Binomialverteilungen für bestimmte Werte von n, aber für allgemeines p nach der allgemeinen
MehrHydrologie und Flussgebietsmanagement
Hydrologie und Flussgebietsmanagement o.univ.prof. DI Dr. H.P. Nachtnebel Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau Gliederung der Vorlesung Statistische Grundlagen Etremwertstatistik
MehrDer Zentrale Grenzwertsatz
QUALITY-APPS Applikationen für das Qualitätsmanagement Der Zentrale Grenzwertsatz Autor: Dr. Konrad Reuter Für ein Folge unabhängiger Zufallsvariablen mit derselben Verteilung und endlichem Erwartungswert
MehrETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
ETWR Teil B 2 Ziele Bisher (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen Ziel des Kapitels
MehrDie Varianz (Streuung) Definition
Die (Streuung) Definition Diskrete Stetige Ang., die betrachteten e existieren. var(x) = E(X EX) 2 heißt der Zufallsvariable X. σ = Var(X) heißt Standardabweichung der X. Bez.: var(x), Var(X), varx, σ
MehrRegression ein kleiner Rückblick. Methodenseminar Dozent: Uwe Altmann Alexandra Kuhn, Melanie Spate
Regression ein kleiner Rückblick Methodenseminar Dozent: Uwe Altmann Alexandra Kuhn, Melanie Spate 05.11.2009 Gliederung 1. Stochastische Abhängigkeit 2. Definition Zufallsvariable 3. Kennwerte 3.1 für
MehrFragenkatalog Kapitel 1 Fehleranalyse
Teil 1: Numerik katalog Kapitel 1 Fehleranalyse 1. Zwischen was besteht ein funktionaler Zusammenhang z i? Welche Form hat er? 2. Welche 4 Typen von Fehlerquellen gibt es? Nenne Beispiele! 3. Wie berechnet
MehrKapitel 5. Stochastik
76 Kapitel 5 Stochastik In diesem Kapitel wollen wir die Grundzüge der Wahrscheinlichkeitstheorie behandeln. Wir beschränken uns dabei auf diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ω. Definition 5.1. Ein diskreter
MehrStatistik I für Betriebswirte Vorlesung 5
Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 PD Dr. Frank Heyde TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 07. Mai 2015 PD Dr. Frank Heyde Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 1 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition
MehrVorlesung Wirtschaftsstatistik 2 (FK ) Wiederholungen deskriptive Statistik und Einleitung Normalverteilungsverfahren. Dipl.-Ing.
Vorlesung Wirtschaftsstatistik 2 (FK 040637) Wiederholungen deskriptive Statistik und Einleitung Normalverteilungsverfahren Dipl.-Ing. Robin Ristl Wintersemester 2012/13 1 Vorlesungsinhalte Wiederholung:
Mehrdie wir als Realisationen von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen
Kapitel 8 Schätzung von Parametern 8.1 Schätzmethoden Gegeben seien Beobachtungen Ü Ü ¾ Ü Ò die wir als Realisationen von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen ¾ Ò auffassen. Die Verteilung
Mehrdiskrete und kontinuierliche Verteilungen
Vorlesung: Computergestützte Datenauswertung Wahrscheinlichkeit, Günter Quast Fakultät für Physik Institut für Experimentelle Kernphysik diskrete und kontinuierliche Verteilungen SS '16 KIT Die Forschungsuniversität
MehrAufgabenblock 4. Da Körpergröße normalverteilt ist, erhalten wir aus der Tabelle der t-verteilung bei df = 19 und α = 0.05 den Wert t 19,97.
Aufgabenblock 4 Aufgabe ) Da s = 8. cm nur eine Schätzung für die Streuung der Population ist, müssen wir den geschätzten Standardfehler verwenden. Dieser berechnet sich als n s s 8. ˆ = = =.88. ( n )
MehrKapitel VI - Lage- und Streuungsparameter
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie
Mehr12 Die Normalverteilung
12 Die Normalverteilung Die Normalverteilung ist eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Praxis, weil aufgrund des sogenannten zentralen Grenzwertsatzes in vielen Situationen angenommen
MehrInstitut für Physik Physikalisches Grundpraktikum. Einführung in die Messung, Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physik
Institut für Physik Physikalisches Grundpraktikum Einführung in die Messung, Auswertung und Darstellung experimenteller Ergebnisse in der Physik (Fortsetzung) Schätzung von Messunsicherheiten für eine
MehrDieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen.
Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel 2.5-2. besser zu verstehen. Frage Wir betrachten ein Würfelspiel. Man wirft einen fairen, sechsseitigen Würfel. Wenn eine oder eine 2 oben liegt, muss man 2 SFr zahlen.
MehrScheinklausur Stochastik 1 für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik
Universität Karlsruhe (TH) Institut für Stochastik Dr. Bernhard Klar Dipl.-Math. oec. Volker Baumstark Name Vorname Matr.-Nr.: Scheinklausur Stochastik für Studierende des Lehramts und der Diplom-Pädagogik
MehrDr. I. Fahrner WiSe 2016/17 Fakultät Grundlagen Hochschule Esslingen Übungsblatt 2. Statistik
Dr. I. Fahrner WiSe 2016/17 Fakultät Grundlagen 6.10.2016 Hochschule Esslingen Übungsblatt 2 Statistik Stichworte: arithmetischer Mittelwert, empirische Varianz, empirische Standardabweichung, empirischer
MehrKapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion
Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen 12.1. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion stetig Verteilungsfunktion Trägermenge T, also die Menge der möglichen Realisationen, ist durch ein Intervall gegeben Häufig
MehrBeispiel für Anwendung: z-tabelle kann genutzt werden, um z.b. Poissonverteilung näherungsweise zu integrieren. Beispiel: wie wahrscheinlich ist es
Beispiel für Anwendung: z-tabelle kann genutzt werden, um z.b. Poissonverteilung näherungsweise zu integrieren. Beispiel: wie wahrscheinlich ist es beim radioaktiven Zerfall, zwischen 100 und 110 Zerfälle
MehrMathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester ARBEITSBLATT Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Die Begriffe Varianz und Standardabweichung sind uns bereits aus der Statistik bekannt
Mehr2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit
2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,
MehrÜ b u n g s b l a t t 15
Einführung in die Stochastik Sommersemester 07 Dr. Walter Oevel 2. 7. 2007 Ü b u n g s b l a t t 15 Hier ist zusätzliches Übungsmaterial zur Klausurvorbereitung quer durch die Inhalte der Vorlesung. Eine
MehrKapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Definition 2.77: Normalverteilung & Standardnormalverteilung Es sei µ R und 0 < σ 2 R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X die Dichte f(x) = 1 2 πσ 2 e 1 2 ( x µ σ ) 2, x R, so heißt X normalverteilt
Mehr5. Schließende Statistik. 5.1. Einführung
5. Schließende Statistik 5.1. Einführung Sollen auf der Basis von empirischen Untersuchungen (Daten) Erkenntnisse gewonnen und Entscheidungen gefällt werden, sind die Methoden der Statistik einzusetzen.
Mehr2. Deskriptive Statistik 2.1. Häufigkeitstabellen, Histogramme, empirische Verteilungsfunktionen
4. Datenanalyse und Modellbildung Deskriptive Statistik 2-1 2. Deskriptive Statistik 2.1. Häufigkeitstabellen, Histogramme, empirische Verteilungsfunktionen Für die Auswertung einer Messreihe, die in Form
Mehr1 Zahlen... 1 1.1 Anzahlen... 1 1.2 Reelle Zahlen... 10 1.3 Dokumentation von Messwerten... 12 1.4 Ausgewählte Übungsaufgaben...
Inhaltsverzeichnis 1 Zahlen... 1 1.1 Anzahlen... 1 1.2 Reelle Zahlen... 10 1.3 Dokumentation von Messwerten... 12 1.4 Ausgewählte Übungsaufgaben... 14 2 Beschreibende Statistik... 15 2.1 Merkmale und ihre
MehrJost Reinecke. 7. Juni 2005
Universität Bielefeld 7. Juni 2005 Testtheorie Test für unabhängige Stichproben Test für abhängige Stichproben Testtheorie Die Testtheorie beinhaltet eine Reihe von Testverfahren, die sich mit der Überprüfung
MehrÜbungsblatt 9. f(x) = e x, für 0 x
Aufgabe 1: Übungsblatt 9 Basketball. Ein Profi wirft beim Training aus einer Entfernung von sieben Metern auf den Korb. Er trifft bei jedem Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/2. Die Zufallsvariable
MehrMuster für einen Studienbericht (in Auszügen) im Fach Mathematik LK
Muster für einen Studienbericht (in Auszügen) im Fach Mathematik LK Name: Zur Vorbereitung verwendetes Hilfsmittel GTR (Modell und Typbezeichnung sind vom Bewerber anzugeben. ) (Modell und Typ sind mit
MehrStetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch
6 Stetige Verteilungen 1 Kapitel 6: Stetige Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch dargestellt. 0.2 6
MehrMathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 19. Januar 2011 1 Nichtparametrische Tests Ordinalskalierte Daten 2 Test für ein Merkmal mit nur zwei Ausprägungen
MehrPrüfungstutorat: Angewandte Methoden der Politikwissenschaft. Polito Seminar Carl Schweinitz 10.12.2014
Prüfungstutorat: Angewandte Methoden der Politikwissenschaft Polito Seminar Carl Schweinitz 10.12.2014 Übersicht 1. Einheiten und Variablen 2. Skalen und ihre Transformation 3. Deskriptive Statistik 4.
Mehr4. Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung
4. Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung Dr. Antje Kiesel Institut für angewandte Mathematik WS 2010/2011 In der beschreibenden Statistik haben wir verschiedene Kennzahlen (Statistiken) für Stichproben
MehrGrundlagen der Mengenlehre
mathe plus Grundlagen der Mengenlehre Seite 1 1 Grundbegriffe Grundlagen der Mengenlehre Def 1 Mengenbegriff nach Georg Cantor (1845-1918) Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener
MehrFehlerrechnung. Einführung. Jede Messung ist fehlerbehaftet! Ursachen:
Fehlerrechnung Einführung Jede Messung ist fehlerbehaftet! Ursachen: Ablesefehler (Parallaxe, Reaktionszeit) begrenzte Genauigkeit der Messgeräte falsche Kalibrierung/Eichung der Messgeräte Digitalisierungs-Fehler
MehrZeit zum Kochen [in min] [10, 20[ [20, 30[ [30, 40[ [40, 50[ [50,60[ [60, 100] Hi
1. Susi und Fritzi bereiten ein Faschingsfest vor, dazu gehört natürlich ein Faschingsmenü. Ideen haben sie genug, aber sie möchten nicht zu viel Zeit fürs Kochen aufwenden. In einer Zeitschrift fanden
MehrDiskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - Probeklausur
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie - robeklausur Sommersemester 2007 - Lösung Name: Vorname: Matrikelnr.: Studiengang: Hinweise Sie sollten insgesamt Blätter erhalten haben. Tragen Sie bitte Ihre Antworten
MehrÜbungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006
1 3.34 1.1 Angabe Übungsrunde 7, Gruppe 2 LVA 107.369, Übungsrunde 7, Gruppe 2, 28.11. Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 U sei auf dem Intervall (0, 1) uniform verteilt. Zeigen
MehrFachrechnen für Tierpfleger
Z.B.: Fachrechnen für Tierpfleger A10. Statistik 10.1 Allgemeines Was ist Statistik? 1. Daten sammeln: Durch Umfragen, Zählung, Messung,... 2. Daten präsentieren: Tabellen, Grafiken 3. Daten beschreiben/charakterisieren:
MehrBegriffe aus der Informatik Nachrichten
Begriffe aus der Informatik Nachrichten Gerhard Goos definiert in Vorlesungen über Informatik, Band 1, 1995 Springer-Verlag Berlin Heidelberg: Die Darstellung einer Mitteilung durch die zeitliche Veränderung
MehrMafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur) Gruben)
Musterlösung zum. Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur Gruben. Wahrscheinlichkeiten I ( Punkte Die Seiten von zwei Würfeln sind mit den folgenden Zahlen
MehrEs gibt insgesamt 14 Grundkompetenzpunkte: Je einen für jede der 12 Teil-1-Aufgaben und jede der beiden mit A gekennzeichnete Aufgaben aus Teil 2.
Prototypische Schularbeit 2 Klasse 8 Autor: Mag. Paul Schranz Begleittext Die vorliegende Schularbeit behandelt größtenteils Grundkompetenzen der Inhaltsbereiche Analysis und Wahrscheinlichkeitsrechnung
MehrJahrgangscurriculum 11.Jahrgang
Jahrgangscurriculum 11.Jahrgang Koordinatengeometrie Geraden (Lage von Geraden; Schnittwinkel) Abstände im KOSY Kreise Kreise und Geraden Parabeln und quadratische Funktionen (Parabel durch 3 Punkte, Anwendungsaufgaben)
MehrBiostatistik Erne Einfuhrung fur Biowissenschaftler
Matthias Rudolf Wiltrud Kuhlisch Biostatistik Erne Einfuhrung fur Biowissenschaftler PEARSON Studium Inhaltsverzeichnis Vorwort xi Kapitel 1 Einfiihrung 1 1.1 Biostatistik als Bestandteil biowissenschafllicher
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung mathematische Statistik und statistische Qualitätskontrolle
Wahrscheinlichkeitsrechnung mathematische Statistik und statistische Qualitätskontrolle Dr. rer. nat. Regina Storm 5., verbesserte Auflage 72 Bilder, 21 Tafeln und einer Beilage VEB Fachbuchverlag Leipzig
MehrWahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Für Ingenieurstudenten an Fachhochschulen von Michael Sachs erweitert Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Sachs schnell und portofrei erhältlich bei beck-shopde
Mehrb) Bestimmen Sie die Varianz der beiden Schätzer. c) Ist ein oder sind beide Schätzer konsistent? Begründen Sie!
Aufgabe 1 (3 + 3 + 2 Punkte) Ein Landwirt möchte das durchschnittliche Gewicht von einjährigen Ferkeln bestimmen lassen. Dies möchte er aus seinem diesjährigen Bestand an n Tieren schätzen. Er kann dies
Mehr10. Vorlesung. Grundlagen in Statistik. Seite 291. Martin-Luther-Universität Halle/Wittenberg
. Vorlesung Grundlagen in Statistik Seite 29 Beispiel Gegeben: Termhäufigkeiten von Dokumenten Problemstellung der Sprachmodellierung Was sagen die Termhäufigkeiten über die Wahrscheinlichkeit eines Dokuments
MehrBeurteilende Statistik
Beurteilende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung und Beurteilende Statistik was ist der Unterschied zwischen den beiden Bereichen? In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten
MehrSchulinternes Curriculum Mathematik SII
Schulinternes Curriculum Mathematik SII Koordinatengeometrie Gerade, Parabel, Kreis Lösen von LGS mithilfe des Gaußverfahrens zur Bestimmung von Geraden und Parabeln 11 Differentialrechnung ganzrationaler
Mehr1 1. Übung. Einleitung. 1.1 Urnenmodelle. 1.2 Beispiele. 1.3 Aufgaben
Einleitung Dieses sind die kompletten Präsenzaufgaben, die bei der Übung zur Vorlesung Einführung in die Stochastik im Sommersemester 2007 gerechnet wurden. Bei Rückfragen und Anmerkungen bitte an brune(at)upb.de
MehrStatistische Grundlagen I
Statistische Grundlagen I Arten der Statistik Zusammenfassung und Darstellung von Daten Beschäftigt sich mit der Untersuchung u. Beschreibung von Gesamtheiten oder Teilmengen von Gesamtheiten durch z.b.
MehrPrüfgröße: Ist die durch eine Schätzfunktion zugeordnete reelle Zahl (etwa Mittelwert 7 C).
Statistik Grundlagen Charakterisierung von Verteilungen Einführung Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsverteilungen Schätzen und Testen Korrelation Regression Einführung Aus praktischen Gründen
Mehr