Ausgleichungsrechnung

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1 Wolfgang Niemeier Ausgleichungsrechnung Statistische Auswertemethoden 2., überarbeitete und erweiterte Auflage W DE G Walter de Gruyter Berlin New York

2 Inhaltsverzeichnis Vorwort v 1 Beurteilung von Messungsgrößen Zufallsvariable Messgrößen - Mittelwerte - Genauigkeiten Mittelwert-Parameter Genauigkeits-Maße Einführung zu Messunsicherheiten Als Fehler" zu bezeichnende Messabweichungen Klassische Bewertung von Messunsicherheiten Beschreibende Statistik Häufigkeitsverteilung Definition von Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeitsfunktionen Gleichverteilung Erwartungswerte Rechnen mit Erwartungswerten Der zweidimensionale Zufallsvektor Definitionen Kovarianz und Korrelation Berechnung von Kovarianzen und Korrelation Der m-dimensionale Zufallsvektor Definitionen Berechnung von Kovarianzen und Korrelationen Erwartungswerte für Funktionen der Zufallsvariablen Normalverteilung Definition und Eigenschaften Begründungen für die Normal Verteilung Standard-Normalverteilung Dichtefunktion der zwei- und mehrdimensionalen Normalverteilung Zeitabhängige Größen Einführung zu Zeitreihen Darstellung und Momente einer Zeitreihe Autokovarianzfunktion 45

3 Vlll Inhaltsverzeichnis Einführung zu Stochastischen Prozessen Stationäre Prozesse 48 2 Genauigkeitsmaße für abgeleitete und zusammengesetzte Größen Einführung Varianz-Fortpflanzung Varianz-Fortpflanzung für lineare Funktionen Herleitung über wahre Residuen Anwendungen: Summe und Differenz" Allgemeine Form des Varianz-Fortpflanzungs-Gesetzes Anwendungen: Lineare Funktionen mit Korrelation Arithmetisches Mittel bei Autokorrelation Varianz-Fortpflanzung bei nichtlinearen Funktionen Linearisierung Varianz-Fortpflanzung nach Linearisierung Alternative Formulierung Hilfsmittel: Differenzen-Quotienten Anwendungen: Nichtlineare Funktionen Messunsicherheit nach GUM Ausgangsüberlegungen Methodischer Ansatz des GUM Komponenten A und B Abschätzung der Einzelunsicherheiten Beispiel: Messunsicherheit nach GUM Einschätzung des GUM 79 3 Konfidenzbereiche und statistische Tests Vorbemerkung Testverteilung Die Chi-Quadrat-Verteilung (^-Verteilung) Die Student-Verteilung (t-verteilung) Die Fisher-Verteilung (F-Verteilung) Beziehungen zwischen F-, x 2 - und?-verteilung Nichtzentralität einer Verteilung Berechnung von Konfidenzbereichen Konfidenzbereich für \i mit bekanntem a Konfidenzbereich für ß mit nicht bekanntem a Konfidenzbereich für die Varianz CT Grundzüge der statistischen Testtheorie Ausgangsüberlegung Aufbau eines statistischen Tests Fehlschluss 1. und 2. Art Ein-und zweiseitige Fragestellung 100

4 Inhaltsverzeichnis ix 3.5 Differenztest für zwei Mittelwerte Testablauf bei bekannter Varianz o Testgüte Testablauf bei geschätzter Varianz Signifikanztest für zwei empirische Varianzen Grundlagen der Ausgleichungsrechnung Ausgangsüberlegungen Punktbestimmung in der Ebene Funktionale Zusammenhänge - Regression Transformation von Koordinaten Konzepte zur Modellbildung Messungsgrößen - Koordinaten/Parameter Funktionales Modell Linearisierung der Beobachtungsgleichungen Stochastisches Modell Koordinaten als Parameter in geodätischen Netzen Die Methode der kleinsten Quadrate Ausgleichungsansatz für ein Nivellementsnetz Schätzprinzipien Parameterschätzung für gleichgenaue Beobachtungen Optimaleigenschaften des Ausgleichungsprinzips Parameterschätzungen für Beobachtungen mit Kovarianzinformationen Kovarianzmatrix für den Parametervektor x Kovarianzmatrix für Funktionen der Parameter Ablauf der Berechnung und Proben Beispiele für Ausgleichungsaufgaben Bestimmung eines Neupunktes Beispiel Nivellementsnetz Vermittelnde Ausgleichung eines Netzes Beurteilung der Ausgleichungsansätze Genauigkeitsniveau der Messungen Zum Modellcharakter der Ausgleichungsansätze Globaltest des Ausgleichungsmodells Iterative Ausgleichung Bedingungen und Restriktionen im Ausgleichungsmodell Einführung und Begründung Der Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung Aufstellen des funktionalen Modells 173

5 Inhaltsverzeichnis Lösung der Ausgleichungsaufgabe nach Lagrange Genauigkeitsmaße und Kofaktormatrizen Bedingte Ausgleichung Aufstellen des funktionalen Modells Lösungsalgorithmus Funktionen der ausgeglichenen Beobachtungen Beispiel: Ausgleichung eines Nivellementsnetzes Restriktionen und Hypothesentests Einführung Allgemeine Form einer linearen Hypothese Herleitung der Teststatistik Implizite Hypothesenformulierung Bedingungen als fiktive Beobachtungen" Allgemeiner Modellansatz Rechtwinkelbedingungen als fiktive Beobachtungen Geradheitsbedingungen als fiktive Beobachtungen Koordinaten als fiktive Beobachtungen 200 Robuste Parameterschätzung Einführung Ausgangsbetrachtungen Schätzfunktionen Einflussfunktionen Verlustfunktionen Modellansätze der robusten Parameterschätzung Das stochastische Modell Herleitung der Schätzfunktion M-Schätzer L-Schätzer LS-Norm-Schätzer Eigenschaften robuster Schätzverfahren Hebelpunkte/Hebelbeobachtungen Bruchpunkte Modifizierte M-Schätzer Praktische Handhabung der modifizierten M-Schätzer 222 Datumsproblematik Singulare Ausgleichungsmodelle Einführung Pragmatische Lösung für ein Höhennetz Datumsdefekte und freie Datumsparameter Konfigurationsdefekte 232

6 XI Pragmatische Lösung für ein Lagenetz Lösung durch Spektralzerlegung Beziehungen zwischen den Bedingungsgleichungen G und B Datumsfreies Konzept Ausgangsüberlegung Einführung von Zusatzparametern Datumsparameter aus Messgrößen in praktischen Netzen Kombinierte Ausgleichung von terrestrischen und GPS- Messungen Konzepte für Datumsfestlegungen in geodätischen Netzen Zwangsfreie Lagerung Gesamtspurminimierung Teilspurminimierung Hierarchische Ausgleichung Weiche Lagerung Lösung eines singulären Ausgleichungsproblems mit Bedingungen Zusatzbedingungen im Modell der parametrischen Ausgleichung Herleitung der Submatrizen Optimaleigenschaften von Qu Hauptlösung x S-Transformation Herleitung der S-Transformationen Anwendung der S-Transformation für ein Höhennetz 268 Qualitätsbeurteilung Der Begriff Qualität" Beurteilung der Genauigkeit Ausgleichungsmodell und Kovarianzmatrix Y, X x Lokale Genauigkeitskriterien Globale Genauigkeitskriterien Kriteriumsmatrizen Beurteilung der Zuverlässigkeit Einführung in das Konzept der Zuverlässigkeit Redundanzanteile und Ausreißertests Minimal auf deckbare Ausreißer Teststatistik für zusätzliche Parameter Eindimensionale Alternativhypothesen Abstimmung des Testniveaus Maße für die äußere Zuverlässigkeit 304

7 Xll Inhaltsverzeichnis 9 Spezielle Aspekte Eliminieren von Parametern Aufgabenstellung Eliminierung durch Blockzerlegung Mittlere Verbesserungsgleichung Fingierte Verbesserungsgleichungen nach Schreiber Einfügen weiterer Beobachtungen - Sequentielle Ausgleichung Typische Aufgabenstellungen Auswirkung auf das Ausgleichungsergebnis Varianzkomponentenschätzung Schätzung eines Varianzfaktors Schätzung der einzelnen Varianzkomponenten Praktischer Berechnungsablauf Bestimmung von Näherungskoordinaten Problemstellung Herkömmliche Ansätze für die Bestimmung von Näherangskoordinaten Spezielle Modelle: Direkter Ansatz Strategie für 3D-Netze Optimierung geodätischer Netze Einführung in die Aufgabenstellung Zielfunktionen und Restriktionen Sequentielle Optimierungsstrategie Optimierung der Zuverlässigkeit Netzsimulation und Optimierung Transformationen Einleitung Modelle für Koordinatentransformationen Helmert-Transformation Affin-Transformation Polynomiale Transformation Dreidimensionale Helmert-Transformation Schätzung der Transformationsparameter Schätzung der Parameter der Helmert-Transformation Näherungswerte für die Parameterschätzung bei der 3D-Helmert-Transformation Ausreißertests bei der Helmert-Transformation Direkte Transformation von GPS-Datensätzen Zweistufige Integration von GPS-Datensätzen Robuste Transformationen Allgemeines 365

8 Inhaltsverzeichnis xiii Ll-Schätzung LMS-Schätzung Modifizierter M-Schätzer (BIBER) Nachbarschaftstreue Anpassung Problemstellung Maschenweise Affin-Transformation Abstandsgewichte Multiquadratische Interpolation Numerisches Beispiel Ausgangsdaten Helmert-Transformation Affin-Transformation Maschen weise Affin-Transformation LI-Helmert-Transformation LMS-Schätzung Aproximation von Funktionen - Regression Einführung Lineare Regression bei zwei Variablen Ausgangsmodell Parameterschätzung Genauigkeitsabschätzung der linearen Regression Numerische Lösung mit schwerpunktbezogenen Größen Regression von x auf y Beispiel: Regressionsgerade Multiple lineare Regression Ausgangsmodell und Skalen Qualitative Merkmale Nichtlinearitäten Beispiel: Regressionsebene Qualitätsbeurteilung der Regression Bestimmtheitsmaß Globaltest der Regressionsparameter Signifikanztests für einzelne Parameter Merkmalsabstand - Versuchsplanung Orthogonale Regression Modellansatz Parameterschätzung Beispiel Geradenapproximation mittels orthogonaler Approximation Orthogonale Kreisapproximation Beispiel Orthogonale Kreisapproximation 407

9 xiv Inhaltsverzeichnis 12 Interpolationsverfahren Einführung Deterministische Interpolationsmethoden Gleitende Mittelbildung Polynominterpolation Spline-Interpolation Dreiecksvermaschung Delaunay-Triangulation Oberflächenmodell Thiessen-Polygone Prädiktion nach kleinsten Quadraten Einführung Kovarianzfunktion Modell und Parameterschätzung der Prädiktion Kriging Das Variogramm Kriging-Interpolation Numerisches Beispiel zum Kriging Kongruenzuntersuchungen Geometrische Veränderungen Deformationsmodelle Kongruenztest bei 2 Epochen Ausgangssituation Globaler Kongruenztest für zwei Epochen Implizite Hypothesenformulierung Berücksichtigung einer unterschiedlichen Konfiguration Bestimmung der Verschiebungen Referenzpunkte Lokalisierung von Einzelpunktverschiebungen Beispiel für eine Kongruenzanalyse Weitergehende Betrachtungen Kaiman-Filterung Zeitlich ablaufende Prozesse Bewegungen von Körpern im Raum Berechnungsablauf der diskreten Kalman-Filterung Ausgangsbeziehungen Bestimmung des Schätzwertes zum Zeitpunkt k Praktischer Ablauf Verträglichkeit der Innovation mit der Systemgleichung 466

10 Inhaltsverzeichnis xv 14.5 Beispiel: Bewegungsmodell eines Fahrzeugs Weitergehende Betrachtungen 469 A Tafeln der Verteilungen 471 Literatur 477 Index 489