Zusammenfassung zu Analysis I

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1 Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/03 Inhaltsverzeichnis Zusammenfassung zu Analysis I Sara Adams 9. August Die reellen Zahlen 3 Die komplexen Zahlen 3 Folgen 5 4 Reihen 7 5 Stetige Funktionen Winkelfunktionen 9 7 Folgen und Reihen von Funktionen 11 Diese Zusammenfassung basiert auf der Vorlesung Analysis I gehalten im Wintersemester 00/03 von Prof. Dr. Thomas Bartsch an der Justus-Liebig Universität Gießen 8 Integration 13 9 Differentiation Hauptsatz der Differential- und Integlalrechnung Lokale Approximation durch Polynome 17 1 Kurven in der Ebene 18 1

2 Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/ Die reellen Zahlen x, n 0 x 0 := 1, x n := x x n 1, n 1 0! := 1, n! := n (n 1!, n 1 ( n k := n! = k n j+1 k!(n k! j=1 j x falls x 0 Betrag x = x falls x < 0 Intervalle: x, y, x y [x, y] := z : x z y} geschlossenes Intervall [x, y := z : x z < y} halboffenes Intervall (x, y] := z : x < z y} halboffenes Intervall (x, y := z : x < z < y} offenes Intervall [x, := z : x z} (x, := z : x < z} (, y] := z : z y} (, y := z : z < y} A nach oben beschränkt : b : A (, b] (b obere Schranke A nach unten beschränkt : c : A [c, (c untere Schranke Vollständigkeitseigenschaft von A nach oben beschränkt! sup A : a sup A a A, [b obere Schranke von A b sup A] (sup A kleinste obere Schranke von A, Supremum A nach unten beschränkt! inf A : a inf A a A, [b untere Schranke von A b inf A] (inf A größte untere Schranke von A, Infimum sup A A sup A = maxa (Maximum von A inf A A inf A = min A (Minimum von A ist ein angeordneter Körper. ( ( n k = n 1 ( k 1 + n 1 k Allgemeine binomische Formel: (x + y n = n ( n k x n k y k Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/03 4 x, y x 0, x x, x = 0 x = 0 x y = x y, x + y x + y ist nach oben unbeschränkt. n a, n, a + 0! b + 0 : b n = a (b = n a n-te Wurzel von a ε > 0 b : a b < ε Die komplexen Zahlen i := 1 := x + yi : x, y } (x 1 + y 1 i + (x + y i := (x 1 + x + (y 1 + y i (x 1 + y 1 i (x + y i := (x 1 x y 1 y + (x 1 y + x y 1 i R :, x + yi x Realteil I :, xyi y Imaginärteil z = x + yi := x + y Betrag :, x + yi x yi komplexe Konjugation ist ein Körper, jedoch kein angeordneter Körper. x + yi 0 (x + yi 1 = w, z z 0, z = 0 z = 0 x x +y w z = w z, w + z w + z w z w z w + z = w + z, w z = w z z = z z y x +y i

3 Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/ Folgen : ε > 0 N (. n :, n a n Folge komplexer Zahlen (a n konvergent : a : a n a < ε n N (a n a, a Grenzwert bzw. Limes von (a n, a n (a n divergent : (a n nicht konvergent (a n monoton wachsend : a n a n+1 n (a n streng monoton wachsend : a n < a n+1 n (a n monoton fallend : a n a n+1 n (a n streng monoton fallend : a n > a n+1 n (a n n Folge reeller Zahlen lim(a n = : c N lim(a n = : c N : a n c n N : a n c n N Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/03 6 (a n Folge in, a, b a n a a n a z > 1 ( z n n divergent ( z n n divergent (z n n divergent z < 1 z n = z n 0 (a n n konvergent (a n n beschränkt (a n n, (b n n konvergent, a n a, a n b a = b (a n + b n n konvergent, lim(a n + b n = lim(a n + lim(b n (a n b n n konvergent, lim(a n b n = lim(a n lim(b n lim(b n 0 N (a n n a R(a n R(a I(a n I(a : b n 0 n N, ( a n bn konvergent, lim( a n n N bn = lim(a n lim(b n (a nk k Teilfolge von (a n n : (a n n Folge, n k < n k+1 k (a n n, (b n n konvergent, a n b n n lim(an lim(bn a, } Häufungspunkt von (ann : (ankk : ank k a M, } kleinste obere Schr. falls M nach oben beschränkt sup(m := falls M nicht nach oben beschr. od. M falls M = } größte untere Schr. falls M nach unten beschränkt inf(m := falls M nicht nach unten beschr. od. M falls M = } (a n n Folge reeller Zahlen, H, } Menge aller Häufungspunkte lim sup = lim := sup(h Limes superior lim inf = lim := inf(h Limes inferior (a n n Cauchy-Folge : ε > 0 N : a m a n < ε m, n N (a n n monoton und beschränkt (a n n konvergent a n a a nk k a Jede Folge reeller Zahlen besitzt eine monotone Teilfolge. Bolzano-Weierstraß: Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge. Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge bzw. hat einen Häufungspunkt in. (a n n Folge reeller Zahlen (a n n besitzt einen Häufungspunkt in, } (a n n reelle Folge, S := lim sup(a n, s := lim inf(a n, a 1. a ist Häufungspunkt von (a n n. ε > 0 I 3. ε > 0, N, I = : a n a < ε n I m, m N : a m a < ε (a n n reelle Folge: a n a lim sup(a n = lim inf(a n = a Dann sind äquivalent: (a n n Cauchyfolge (a n n konvergent

4 Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/ Reihen (A n n n0 Reihe : (a k k Folge, A n = n k=n 0 a k (A n n n0 konvergent: k=n 0 a k := lim(a n a n absolut konvergent : an konvergent exp : z, z n=0 Exponentialfunktion n! e := exp(1 Eulersche Zahl k=n 0 a k konvergent a n 0 Geometrische Reihe: z < 1 n=0 zn = 1 1 z z 1 n=0 zn divergent ( k=n 0 a k := (A n n n0 n n 0 a n, n n 0 b n konvergent, λ n n 0 (a n ± b n, n n 0 (a n ± b n = n n 0 a n ± n n 0 b n, n n 0 λa n = λ n n 0 a n n n 0 λa n konvergent, Cauchy sches Konvergenzkriterium n n 0 a n konvergent ε > 0 N : n k=m a k < ε m, n N Majorantenkriterium (1. Version b n a n 0 n n 0 : n n 0 b n konvergent n n 0 a n konvergent ( b n Majorante von a n Quotientenkriterium (1. Version a n > 0 n n 0, 0 < α < 1 : \I, I < n n 0 konvergent Leibnitzkriterium a n a n+1 0 n : a n absolut konvergent a n konvergent, a n a n exp(z := z n n=0 absolut konvergent n! Majorantenkriterium (. Version a n b n, konvergent a n+1 a n α n ( 1 n a n konvergent a n 0 b n < a n absolut Quotientenkriterium (. Version a n 0 n n 0, an+1 a n < α < 1 n n 0 a n absolut konvergent Umordnungsgesetz A := konvergiert gegen A 0, n (σ1(n, σ(n Bijek- b 0 σ (n absolut konvergent 0 tion an, b 0 n absolut konvergent, σ : ( 0( aσ1(n b σ(n = a n absolut konvergent jede Umordnung der Reihe 0 a σ 1(n 0 ( 0 Funktionalgleichung von exp exp(z 1 + z = exp(z 1 exp(z z 1, z Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/03 8 exp(0 = 1, exp(z 0 z exp( z = 1 exp(z z x exp(x + x < y exp(x < exp(y, x, y e = 1 n=0 = lim n! (1 + 1 n n 5 Stetige Funktionen f(z] stetig an der Stelle z D : (z n stetig : f stetig in z z D D : [z n z f(z n ln := (exp 1 : (0,, x ln(x logaritmus naturalis a (0, :, z az := exp(z ln a Exponentialfunktion zur Basis a A B A offen in B : a A ε > 0 : U ε (a B = z B : z a < ε} A A abgeschlossen in B : B\A offen in B A kompakt : jede Folge in A hat einen Häufungspunkt in A r > 0, a : U r (a := z : z a < r} offene r-umgebung um a B r (a := U r (a = z : z a r} abgeschlossener Ball vom Radius r um a gleichmässig stetig f(a f(z < ε] ε > 0 δ > 0 : [ a, z D : a z < δ f, g : D C, f, g stetig in z 0 D: f ± g : D, z f(z ± g(z stetig in z0 f g : D, z f(z g(z stetig in z0 g(z 0 0 f f(z : z D : g(z 0}, z stetig in z g g(z 0 f : D f, g : Dg, f(df Dg, f stetig in z0, g stetig in f(z0 g f : D f, z g(f(z stetig in z0 exp : \0} stetig Zwischenwertsatz: f : [a, b] stetig y [f(a, f(b] [f(b, f(a] x [a, b] : f(x = y

5 Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/03 9 Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/03 10 n + 1, a 0,..., a n, a n 0, f :, x n a kx k surjektiv D Intervall, f : D stetig: f injektiv f streng monoton Satz von der Umkehrfunktion: D Intervall, f : D stetig, injektiv f(d Intervall, f streng monoton, f besitzt stetige, streng monotone Umkehrfunktion f 1 : f(d D Einige Eigenschaften vom Logarithmus exp(ln x = ln(exp x = x x > 0 ln(1 = 0, ln(e = 1 0 < x < y ln(x < ln(y ln stetig ln(x y = ln(x + ln(y (Funktionalgleichung von ln a z = e z lna, a w+z = a w a z w, z, a (0, (0,, x a x bijektiv, Umkehrfunktion log a : (0, Logaritmus zur Basis a A B : D A abgeschlossen in B [(a n n A, a n a a A] A kompakt A beschränkt und abgeschlossen in, f : D : f stetig [A offen f(a 1 abgeschlossen in D] [A abgeschlossen f(a 1 abgeschlossen in D] gleichmässig stetig f stetig kompakt, f : D stetig f gleichmässig stetig D kompakt, f : D stetig f(d kompakt, z 0, z 1 D : f(z 0 = inf f(d, f(z 1 = sup f(d D, f : D : f stetig ε > 0 δ > 0 : [z D, z a < δ f(z f(a < ε] D 6 Winkelfunktionen cos : [ 1, 1], x R(e ix = 1 (eix + e ix sin : [ 1, 1], x I(e ix = 1 i (eix e ix Pi: α [0, ] : cos(α = 0 : π := α = infx > 0 : cos(x = 0} Polarkoordinaten von z : (r, +0 ϕ : z = r eiϕ Argument von z : arg(z = ϕ, falls ϕ [0, π, r 0 : z = r eϕi (Oft wird statt [0, π das Intervall [ π, π verwendet. n-te Einheitswurzeln: e kπi n, k = 0,..., n 1 \π + kπ : k }, z Tangens: tan : Cotangens: tan : : exp(z = exp(z \kπ : k } x exp(ix = e ix = 1, z sin(z cos(z cos(z sin(z Eulersche Formel: e iz = cosz + i sin z z : cos( z = cos(z, cos ist gerade Funktion : sin( z = sin(z, sin ist ungerade Funktion cos (z + sin (z = 1 z Additionstheoreme: w, z cos(w + z = cos(w cos(z sin(w sin(z sin(w + z = sin(w cos(z + cos(w sin(z w, z : cos(w cos(z = sin( w+z sin(w z sin(w sin(z = cos( w+z sin(w z sin, cos : stetig : cos(z = zk ( 1k, sin(z = (k! sin(z lim z 0 = 1 z sin(z z 0 z f :, z 1 z = 0 [0, ] : stetig, x cos(x streng monoton fallend cos(0 = 1, cos( < 0 ( π wohldefiniert (stetig (stetig zk+1 ( 1k (k+1! (absolut konvergent Cosinus: cos :, z 1(eiz + e iz 0 < x : Sinus: sin :, z 1i(eiz e iz 1 x < cos(x < 1 x + x4 4

6 Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/03 11 x x3 6 < sin(x < x, insb. sin(x > 0 e i π = i, e iπ = 1, e i3π = i, e πi = 1 cos( π = 0, cos(π = 1, cos(3π = 0, cos(πi = 1 i = ez : sin( π = 1, sin(π = 0, sin(3π = 1, sin(πi = 0 z : ez+ π i = i ez ez+πi = ez ez+3π = i ez, ez+πi z cos(z + π = sin(z, cos(z + π = cos(z, cos(z + π = cos(z sin(z + π = cos(z, sin(z + π = sin(z, sin(z + π = sin(z z : cos(z = 0 k : z = π + kπ z π π sin(z = 0 k : z = kπ z π : [e z = 1 k : z = kπi] cos : [0, π], sin : [ π, π ] stetig, streng monoton (cos fallend, sin wachsend + \0}, (r, ϕ r eiϕ stetig, surjektiv, π-periodisch in ϕ + [0, π \0}, (r, ϕ r eiϕ bijektiv n : z n = 1 z e kπi n : k = 0,..., n 1} : tan(z + π = tan(z, tan( z = tan(z tan ( π, π streng monoton wachsend, Umkehrfunktion arctan: ( π, π 7 Folgen und Reihen von Funktionen Sei D, f n : D, n (f n n konvergiert punktweise gegen f : D : fn(z f(z z D z D, ε > 0 N z : f n (z f(z < ε n N z Supremumsnorm: f : D : f := sup f(x : x D} [0, ] beschränkt : f < (f n n konvergiert gleichmässig gegen f : D : fn f 0 ε > 0 N : f n (z f(z < ε n N, z D n-te Partialsumme: F n := n k=1 f k k=1 f k pkt.weise bzw. gl.m. konvergent : (F n n pkt.weise bzw. gl.m. konvergent Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/03 1 : z < R} 0: Potenzreihe:, z n=0 a nz n (a i Konvergenzradius von n=0 a nz n : R := supr 0 : [0, ] n=0 a nr n konvergent} Konvergenzkreis von n=0 a nz n : U R (0 := z trigonometrisches Polynom vom Grad n n, x k= n c ke ikx, c i B := f : D stetig, D kompakt f beschränkt : f beschränkt} f = 0 f = 0 λ, f B : λ f = λ f f, g B : f + g f + g (Dreiecksungleichung (f n n konvergiere gleichmässig gegen f : f n stetig n f stetig f n : D beschränkt, n fn < n f n(z konvergiert absolut z D F : D, z n fn(z n fn konvergiert gl.m. gegen F f n stetig n F stetig z 0, n=0 a nz0 n konvergent n=0 a nz n z z 0 konvergent z U R (0 n=0 a nz n absolut konvergent z > R n=0 a nz n divergent R = ( lim sup n a n 1 (hier: 1 0 =, 1 = 0 n=0 a nz n konvergiert gl.m. auf B r (0 r < R, f : U R (0, z n=0 a nz n stetig p, q trigonometrische Polynome, Grad(p m, Grad(q n p + q, p q trigonometrische Polynome, Grad(p + q maxm, n}, Grad(p q m + n p(x x c k = c k k a k := c k + c k = R(c k b k := i(c k c k = I(c k p(x = a0 + n ( k=1 ak cos(kx + b k sin(kx k c k < k c ke ikx konvergent, gl.m. gegen, x k ckeikx

7 Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/ Integration Menge der integrierbaren Funktionen: Ia b f : [a, b] } (Lebesgue-integrierbare Funktionen: I b a Riemann-integrierbare Funktionen: R b a I b a Integral: b a : Ib a, f b a f = b a f(xdx 1. f(x = c x b f = c (b a a. a < c < b, f Ia b f [a,c] Ia c, f [c,b] Ic b, b f = c f + b f (Intervalladditivität a a c 3. f, g I b a f + g I b a, b a (f + g = b a f + b a g (Additivität 4. f I b a, λ λf Ib a, b a λf = λ b a f (Homogenität 5. f, g Ia, b f g b f b g (Monotonie a a Lipschitz-Stetigkeit von f : D : L > 0 : f(x f(y L x y x, y D Treppenfunktion f : [a, b] k = 1,..., n : a 0 = a < a 1 <... < a n = b : f (ak 1,a k = c k minimale Zerlegung a 0 <... < a n : c k 1 c k k = 1,..., n Menge allen Treppenfunktionen: T b a f T b a, a 0 <... < a n minimale Zerlegung: b a f := n k=1 c k(a k a k 1 f : [a, b] beschränkt: b f := inf b ψ : ψ T b a a a, f ψ} Oberintegral von f b f := sup b ψ : ψ T b a a a, f ψ} Unterintegral von f Riemann-int.bare Funktionen: Ra b := f : [a, b] : f Ra b : b f := b a a f : [a, b] : f = b f Integral von f über [a, b] a a b f := b a f f beschränkt, b f = b f} a a a < b, }, f : (a, b, c < d (a, b : f [c,d] Rc d, lim d c a,d b f c b f := lim d a c a,d b f uneigentliches Integral von f c f : [a, b] : f Rba( : R(f, I(f Rba b a f := b a R(f + i b a I(f Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/03 14 f Ia b, f(x M x [a, b] F a : [a, b], x x f stetig (unbestimmtes Integral von f a F b : [a, b], x b f stetig x f Ia b, f (a,b = c b f = c (b a a T b a R b a b a : Rb a ist Integral (erfüllt also f, g R b a maxf, g} : [a, b], x maxf(x, g(x} Rb a minf, g}, : [a, b], x minf(x, g(x} R b a f R b a f R b a, b a f b a f f n R b a n f : [a, b] :, f n f gl.m. f Ra, b b f = b lim b a a f n = lim f stetig f monoton R b a n f n : [a, b] f Ra, b b f = b a a f Ra b f Ra b, f = f n gleichmässig konvergent f n = b f a n Mittelwertsatz der Integralrechnung: f : [a, b] stetig ξ [a, b] : f(ξ = 1 b f b a a f : [a, b] 9 Differentiation stetig, p R b a f p Rb a D offen, f : D, a D : f(x f(a f(a+h f(a f differenzierbar in a : lim = lim x a x a h 0 h f (a = df (a := lim dx x a f(x f(a Ableitung von f in a x a f differenzierbar : f differenzierbar in a a D f stetig differenzierbar : f differenzierbar, f : D stetig f n-mal stetig diff.bar : f (n 1-mal diff.bar, (n 1. Abl. stetig diff.bar f bel. oft diffbar (glatt : f n-mal stetig diff.bar n f von rechts diff.bar in a : f +(a := lim h 0 f(a+h f(a h f von links diff.bar in a : f (a := lim h 0 f(a+h f(a h a f n

8 Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/03 15 Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/03 16 x 0 D lokales Maximum von f : D : ε > 0 : [x D, x x 0 < ε f(x f(x 0 ] ε > 0 : [x 0 x D, x x 0 < ε f(x < f(x 0 ] : x 0 striktes lokales Maximum x 0 D lokales Minimum von f : D : ε > 0 : [x D, x x 0 < ε f(x f(x 0 ] ε > 0 : [x 0 x D, x x 0 < ε f(x > f(x 0 ] : x 0 striktes lokales Minimum D, f : D, I D Intervall: f konvex in I : x 0, x 1 I, λ (0, 1 : f ( (1 λx 0 + λx 1 (1 λf(x0 + λf(x 1 f strikt konvex in I : x 0, x 1 I, λ (0, 1 : f ( (1 λx 0 + λx 1 < (1 λf(x 0 + λf(x 1 f konkav in I : f konvex f strikt konkav in I : f strikt konvex [ D offen, f : D stetig: x 0 D Wendepunkt : ε > 0 : f konvex in (x 0 ε f konkav in (x 0, x 0 + ε ] [ f konkav in (x 0 ε f konvex in (x 0, x 0 + ε ] D offen, f : D : F : D Stammfunktion von f : F diff.bar, F = f ϕ : D f, g : D f(x f(a x a, x x a stetig in a f : D diff.bar in a D f (a x = a in a diff.bar f in a vor rechts und links diff.bar, f (a = f +(a in a diff.bar f in a stetig in a D diff.bar: f ± g in a diff.bar, (f ± g (a = f (a ± g (a f g in a diff.bar, (f g (a = f (a g(a + f(a g (a (Produktregel g(a 0 f in a diff.bar, ( f (a = f (a g(a f(a g (a g g g(a (Quotientenregel Kettenregel: f : D f, g : D g, D f, D g offen, f(d f D g : f in a D f, g in f(a D g diff.bar g f in a diff.bar, (g f (a = g (f(a f (a Ableitung der Umkehrfunktion: f : D stetig, streng monoton: f in a D diff.bar, f (a 0 f 1 in f(a diff.bar, (f 1 ( f(a = 1 f (a in x 0 D diff.bar, x 0 lokalen Extremum von f f (x 0 = 0 Mittelwertsatz der Differentialrechnung: f : [a, b] stetig, f (a,b diff.bar ξ (a, b : f (ξ = f(b f(a b a Satz von Rolle: f : [a, b] stetig, f (a,b diff.bar, f(a = f(b ξ (a, b : f (ξ = 0 f : [a, b], f (a,b diff.bar f(b f(a max f (x : a < x < b} (b a f : [a, b] stetig, f (a,b diff.bar: f konstant f 0 f : diff.bar, c : f(x = a e cx x Monotoniekriterium: f : (a, b f (x = c f(x f(0 = a diff.bar: x f (x > 0 x (a, b f streng monoton wachsend f (x < 0 x (a, b f streng monoton fallend f (x 0 x (a, b f monoton wachsend f (x 0 x (a, b f monoton fallend f : (a, b diff.bar, x 0 (a, b, f (x 0 = 0 ε > 0 : f (x 0 x (x 0 ε, x 0 f (x 0 x (x 0, x 0 + ε x 0 lokales Maximum ε > 0 : f (x > 0 x (x 0 ε, x 0 f (x < 0 x (x 0, x 0 + ε x 0 striktes lokales Maximum ε > 0 : f (x 0 x (x 0 ε, x 0 f (x 0 x (x 0, x 0 + ε x 0 lokales Minimum ε > 0 : f (x < 0 x (x 0 ε, x 0 f (x > 0 x (x 0, x 0 + ε x 0 striktes lokales Minimum f -mal stetig diff.bar: f (x 0 < 0 x 0 striktes lokales Maximum f -mal stetig diff.bar: f (x 0 > 0 x 0 striktes lokales Minimum f : [a, b] stetig, f (a,b diff.bar, f monoton wachsend f konvex in [a, b] f : [a, b] stetig, f (a,b diff.bar, f streng mon. wachsend f strikt konvex in [a, b] f : [a, b] stetig, f (a,b -mal stetig diff.bar: f (x 0 x (a, b f konvex f (x > 0 x (a, b f streng konvex f : [a, b] stetig, f (a,b diff.bar: f konvex f(x f(x 0 + f (x 0 (x x 0 x 0, x (a, b f : (a, b -mal diffbar: x 0 Wendepunkt f (x 0 = 0 f : (a, b 3-mal diffbar, x 0 (a, b : f (x 0 = 0, f (x 0 0 x 0 Wendepunkt

9 Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/ Hauptsatz der Differential- und Integlalrechnung Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: D offenes Intervall, f : D stetig, x 0 D F : D, x x x 0 f diff.bar, F = f D offen, f n : D stetig diff.bar n, (f n n gl.m. konvergent f stetig diffbar, f = lim f n a kx k Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0 f : ( R, R, x a kx k beliebig oft diff.bar, f (x = k=1 ka kx k 1 mit Konvergenzradius R partielle Integration: f, g : D stetig diff.bar, [a, b] D b a fg = [fg] b a b a f g Transformationssatz bzw. Substitutionsregel: f : D f, g : D g stetig diff.bar, [a, b] D g, g([a, b] D f b f( g(t g (tdt = g(b f(xdx a g(a 11 Lokale Approximation durch Polynome D offen, a D, f : D n-mal diff.bar in a: n-tes Taylor-Polynom von f : Ta nf :, x n f (k (a (x a k k! f, g : D : f, g stimmen bei a D in n-ter Ordnung überein : ϕ : D : ϕ stetig, f(x g(x = (x a n ϕ(x [f(x = g(x+hot 1 ] f, g : D f(x, lim x a = 0 : f ist für x a von der Ordnung o(h g(x D Intervall, f : D bel. oft diff.bar, a D : T a (x := f (n (a (x a n n! Taylorreihe von f in a analytisch : f C, a D r > 0 : x (a r, a+r : f(x = T a f(x, D offenes Intervall in, f (n + 1-mal stetig diff.bar in a D, R n+1 (x := f(x Ta n f(x R n+1 (x = 1 x (x n! a tn f (n+1 (tdt x D f (n + 1 mal stetig diff.bar, D offenes Intervall x D ξ [a, x] [x, a] : R n+1 (x = f(n+1 (ξ (n+1! (x a n+1 n-mal diff.bar, a D, f (a = 0,..., f (n 1 = 0, f (n : n, f (n < 0 a striktes lokales Maximum n, f (n > 0 a striktes lokales Minimum n + 1 a kein lokales Extremum f C(D, f(x = T n a f(x+hot f C(D, f T n a f(x = o( x a n für x a 1 higher order terms Sara Adams Zusammenfassung zu Analysis I - WS 00/ Kurven in der Ebene euklidischer Abstand: d :, (x, y (x 1 y 1 + (x y euklidische Norm:. : + 0, x x 1 + x = d(x, 0 parametrisierte Kurve in : D, γ : D stetig γ differentierbar : γ 1, γ differentierbar γ C 1 regulär : γ (t 0 t D I, J Intervalle: σ : I J C k -Parametertransformation : σ bijektiv, σ, σ 1 k- mal stetig diff.bar D Intervall: γ : D C 1 nach der Bogenlänge parametrisiert : γ (x = 1 x D Länge des Weges [a, b], x γ(x : b a (a < b D γ : D reguläre C 1 -Kurve, [a, b] D : Länge der Kurve γ zwischen a und b : L(γ [a,b] := b a γ (t dt x y = d(x, y x, y x = x 1 + x i x I, J Intervalle, γ : J C k -Kurve, σ : I J C k -Parametertransformation γ σ : I C k -Kurve γ : D reguläre C k -Kurve, k 1 σ : D I : σ C k -Parametertransformation, γ σ : I nach der Bogenlänge parametrisiert t 0 D σ(t := t t 0 γ (s ds mögliche Parametertransformation