Theoretische Grundlagen der zerstöru ngsfreien MateriaIprüfu ng mit Ultraschall

Transkript

1 Theoretische Grundlagen der zerstöru ngsfreien MateriaIprüfu ng mit Ultraschall von Karl-Jörg Langenberg, Rene Marklein und Klaus Mayer OldenbourgVerlag München

2 Inhaltsverzeichnis 1 Inhalt Einleitung Inhalt als Flussdiagramm Mathematische Grundlagen Skalar-, Vektor- und Tensorfelder Ortsvektor Skalar- und Vektorfelder Produkte von Vektoren Tensorfelder Vektor- und Tensoranalysis Nabla-Operator: Gradientendyade, Gradient, Divergenz, Rotation Anwendung des Nabla-Operators auf Produkte von Feldgrößen; Kettenregeln; Delta-Operator Integralsätze von Gauß; Integralformeln von Green Zylinder- und Kugelkoordinaten Zeitliche und räumliche Spektralanalyse mittels Fourier-Transformation Komplexe Zahlen und komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen Zeitliche Spektralanalyse Abbildungsgesetze der Fourier-Transformation Hilbert-Transformation und analytisches Signal Räumliche Spektralanalyse Delta-Funktion Delta-Funktion als Distribution Rechenregeln für die Delta-Funktion Delta-Funktion und Fourier-Transformation Delta-Funktion im Dreidimensionalen Singuläre Funktion einer Fläche Elastodynamische Grundgleichungen Newton-Cauchy'sche Bewegungsgleichung und Deformationsratengleichung im Zeitund im Frequenzbereich Physikalische Begründung Massenerhaltung Konvektive zeitliche Differentiation Impulserhaltung: Newton-Cauchy'sche Bewegungsgleichung Drehimpulserhaltung: Symmetrie des Spannungstensors, Deformationsratengleichung Newton-Cauchy'sche Bewegungsgleichung und Deformationsratengleichung der linearen Elastodynamik 86

3 x Inhaltsverzeichnis 3.3 Übergangs- und Randbedingungen Homogene und inhomogene Übergangsbedingungen an einer SprungsteIle elastischer Materialeigenschaften Randbedingungen an einer unendlichen SprungsteIle elastischer Materialien Homogene und inhomogene Übergangsbedingungen an der Trennfläche elastischer und fluider Materialien Homogene und inhomogene Übergangsbedingungen an der Trennfläche zweier elastischer Materialien mit Flüssigkeitskopplung Materialgleichungen; elastodynamische Grundgleichungen; Energiesatz Materialgleichungen Lineare nichtdissipative Materialien: Cauchy-Hooke'sches Gesetz Anisotrope Materialien; Voigt-Notation; transversal-isotrope Materialien Isotrope Materialien Elastodynamische Grundgleichungen, Energiesatz im Zeit- und Frequenzbereich für nichtdissipative Materialien Elastodynamischer Poynting-Vektor im Zeitbereich Komplexer elastodynamischer Poynting-Vektor im Frequenzbereich, Lineare dissipative Materialien Maxwell-Modell Elastodynamischer Energiesatz: Dissipationsenergie Rayleigh- und Kelvin-Voigt-Modell Relaxationsmodelle Piezoelektrizität und Magnetostriktion Piezoelektrizität Magnetostriktion Akustik 121 Grundgleichungen der Akustik Übergangs- und Randbedingungen Wellen- und Schwingungsgleichungen " 123 Ebene longitudinale Druckwellen Akustische Quellenfelder in homogenen Materialien: Punktquellensynthese 127 Green'sche Funktionen für Druckquellenfelder 127 Green'sche Funktionen für Teilchengeschwindigkeitsquellenfelder 128 Begründung des Distributionsterms im akustischen Green'schen Tensor zweiter Stufe, 131 Huygens'sches Prinzip für akustische Streufelder in homogenen Materialien 132 Huygens'sches Prinzip Akustische Streufelder schallweicher und schallharter Körper; Kirchhoff-Näherung 133 Akustische Streufelder penetrabler Streukörper; Born'sche Näherung Elektromagnetismus Maxwell'sche Gleichungen; Poynting'scher Satz; Lorentzkraft Maxwell'sche Gleichungen, Maxwell'sche Gleichungen im Vakuum 144

4 Inhaltsverzeichnis XI Poynting'scher Satz Lorentzkraft Übergangs- und Randbedingungen Materialgleichungen Permittivität, Permeabilität Suszeptibilitätskerne " Leitfähigkeit Wellen- und Schwingungsgleichungen Wellengleichungen " Schwingungsgleichungen Ebene transversale Wellen Nichtdissipative Materialien Dissipative Materialien Elektromagnetische Quellenfelder in homogen-isotropen Materialien Elektrisches skalares Potential und magnetisches Vektorpotential Elektrischer Green'scher Tensor zweiter Stufe Fernfeldnäherung Hertz'scher Dipol Magnetischer Green'scher Tensor zweiter Stufe Elektromagnetische Streufelder: Huygens'sches Prinzip Elektromagnetische Fassung des Huygens'schen Prinzips Elektromagnetische Streufelder ideal elektrisch leitender Streukörper: EFIE und MFIE Kirchhoff-Näherung Elektromagnetische Streufelder penetrabler Streukörper: Lippmann-Schwinger- Integralgleichungen Born'sche Näherung Streutensor Zweidimensionaler Elektromagnetismus: TM- und TE-Entkopplung, TM-Feld " TE-Feld Vektorielle Wellengleichungen Wellengleichungen für anisotrope und isotrope nichtdissipative Materialien Inhomogen-anisotrope Materialien Homogen-anisotrope Materialien Homogen-isotrope Materialien Inhomogen-isotrope Materialien Helmholtz-Zerlegung für homogen-isotrope Materialien: Druck- und Scherwellen Entkopplung skalarer SH-Wellen für inhomogen-isotrope zweidimensionale Materialien Schwingungsgleichungen für nichtdissipative und dissipative Materialien Schwingungsgleichungen für nichtdissipative Materialien Schwingungsgleichungen für dissipative Materialien 183

5 XII Inhalt&~rzeichnis 8 Ebene elastische Wellen in homogenen Materialien Homogene ebene Wellen in isotropen nichtdissipativen Materialien Ebene Wellen im Eindimensionalen: Primäre Longitudinal- und sekundäre Transversalwellen Ebene Wellen im Dreidimensionalen: Primäre longitudinale Druck- und sekundäre transversale Scherwellen " Inhomogene ebene Wellen in isotropen nichtdissipativen Materialien Ebene Wellen in anisotropen nichtdissipativen Materialien Ebene Wellen in anisotropen Materialien Ebene Wellen in transversal-isotropen Materialien Ebene Wellen in isotropen dissipativen Materialien " Homogene ebene Wellen Inhomogene ebene Wellen Reflexion, 'Iransmission und Modekonversion ebener elastischer Wellen Spannungsfreie ebene Grenzfläche eines elastischen Halbraums Einfallende primäre longitudinale Druckwelle Einfallende sekundäre transversal-vertikale Scherwelle Einfallende sekundäre transversal-horimntale Scherwclle Ebene Trennflächc zweier homogen-isotroper nichtdissipativer elastischer Halbräume. Einfallende SH-Welle. Einfallende P- bzw. SV-Welle. Ebene Trennfläche eines isotropen und eines transversal-isotropen Halbraums. Inhomogene ebene elastische Wellen in isotropen Materialien. Inhomogene ebene SH-Wellen in transversal-isotropen Materialien. Reflexion und Transmission ebener SH-Wellen an der ebenen Trennfläche zwischen homogen-ü,otropen und homogen-transversal-isotropen nichtdissipativen Materialien '"..,. Reflexion, Transmission und Modekonversion einer ebenen SV-Welle an der ebencn Trennfläche zwischen homogen-isotropen und homogen-transversal-isotropen nichtdissipativen Materialien Rayleigh'sche Oberflächenwellen 323 Ebene Grenzflächcn. 323 Schwach gekrümmte Grenzflächen. 326 Räumliches Spektrum ebener Wellen Räumliches Spektrum akustischer ebener Wellen. Räumliches Spektrum ebener Wellen. Propagator als Raumfilter. Näherungsauswertung mit der Methode der Stationären Phase. Räumliches Spektrum elastischer ebener Wellen

6 Inhaltsverzeichnis XIII Ultraschallstrahlen und Wellenpakete Gauß'sche Strahlen als paraxiale Näherung eines Spektrums ebener 'Wellen. Gepulste Strahlen als exakte Lösungen einer approximierten Wellengleichung. Gepulste Strahlen als Näherungslösungen von Eikonal- und Transportgleichungen Eikonal- und Transportgleichungen akustischer Strahlen. Eikonal- und Transportgleichungen elastischer Strahlen felder Punktquellen im homogen-isotropen Vollraum; elastodynamische Quellen- 363 Skalare Green'sche Funktion des homogenen unendlichen Raumes 363 Zeitharmonische Green'sche Funktion 363 Green'sche Funktion im Zeitbereich 369 Fernfeldnäherung der Green'schen Funktion 373 Punktquellensynthese skalarer Quellenfelder mit der skalaren Green'schen Funktion376 Green'sche Tensoren der Elastodynamik im homogen-isotropen unendlichen Raum 379 Green'scher Tensor zweiter Stufe 379 Teilchenverschiebung einer punktförmigen Kraftdichtequelle; Punktrichtwirkungen 384 Green'scher Tensor dritter Stufe 392 Teilchenverschiebung einer punktförnügen Deformationsratenquelle; Punktrichtwirkungen Green'scher Tensor vierter Stufe: Spannungstensor punktförmiger Deformationsratenquellen 398 Zwei- und dreidimensionale elastodynamische Quellenfelder 404 Elastodynamische Punktquellensynthese Fernfeldnäherungen dreidimensionaler elastodynamischer Quellenfelder Fernfeldnäherungen zweidimensionaler elastodynamischer Quellenfelder Beispiele drei- und zweidimensionaler elastodynamischer und akustischer Quellenfernfelder: flächig-rechteckige, flächig-runde und flächig-streifenförmige Kraftdichteverteilungen mit konstanter Amplitude 413 Elementare Kugelwellen und ebene Wellen 425 Dreidimensionale skalare Green'sche Funktion als Spektrum ebener Wellen: Weyl'sche Integraldarstellung Dreidimensionale skalare Green'sche Funktion als Spektrum von Zylinderwellen: Sommerfeld'sche Integraldarstellung Flächenquellen auf homogen-isotropen Halbräumenj Prüfkopfschallfelder429 Akustische Halbräume mit schallweichen oder schallharten Oberflächen AFIT-Wellenfronten des linien- und streifenförmigen fest eingespannten Aperturstrahlers Skalare Halbraum-Green-Funktionen; Rayleigh-Sommerfeld-Integrale; spektrale Zerlegung nach ebenen Wellen (Integraldarstellungen vom Weyl'schen Typ) 430 Fernfeldauswertung von Rayleigh-Sommerfeld- und Weyl-Integralen 440 Streifenförrnige Normal- und Tangentialkräfte auf der Oberfläche eines Halbraums 441 EFIT-Wellenfonten des linien- und streifenförmigen Aperturstrahlers auf der spannungsfreien Oberfläche eines elastischen Halbraums, 441 Streifenförmige Normal- und Tangentialkraftdichteverteilung auf der spannungsfreien Oberfläche eines elastischen Halbraums

7 XIV Inhaltsverzeichnis Spektrale Zerlegung nach ebenen Wellen des zweidimensionalen Green'schen Tensors zweiter Stufe, 447 Fernfeld-Richtwirkungen für linienförmige Normal- und Tangentialkraftdichten auf einem spannungsfreien Halbraum Kreisförmige Normalkraft auf der Oberfläche eines Halbraums: Punktrichtwirkungen451 Integraldarstellung vom Sommerfeld-Typ Punktrichtwirkungen Schallfelder piezoelektrischer Prüfköpfe Streukörper im homogen-isotropen nichtdissipativen Vollraum 475 Huygens'sches Prinzip 476 Mathematische Begründung des elastodynamischen Huygens'schen Prinzips aufgrund physikalischer Argumentation Mathematische Herleitung des Huygens'schen Prinzips skalarer akustischer Felder 482 Mathematische Herleitung des Huygens'schen Prinzips elastodynamischer Felder. 486 Integralgleichungen für die äquivalenten Quellen eines spannungsfreien Streukörpers489 Integralgleichungsbeziehung zwischen sekundären Quellen Streukörper mit spannungsfreier Oberfläche: Displacement Field Integral Equation und Stress Held Integral Equation Kirchhoff-Näherung in der Elastodynamik " 500 Integralgleichungen für die äquivalenten Quellen eines penetrablen Streukörpers. 506 Integralgleichungen für die äquivalenten Volumenquellen inhomogen-anisotroper Streukörper Born'sche Näherung für inhomogen-anisotrope Streukörper 508 System gekoppelter Integralgleichungen für die äquivalenten Flächenquellen homogenisotroper Streukörper 509 Streutensor; Strellfernfelder 510 Streutensor 510 Zweidimensionale skalare Streuprobleme: SH-Impuls-Streufernfelder des kreiszylindrischen Hohlraums und des streifenförmigen Risses " 514 Zweidimensionale Streuprobleme: P-SV-Impuls-Streufcrnfelder des kreiszylindrischen Hohlraums und des streifenförmigen Risses 525 Dreidimensionale Streuprobleme: P-S-Impuls-Streufernfelder des kugelförmigen Hohlraums D-Systemmodell der Ultraschallimpulsstreuung in Kirchhoff-Näherung 554 Inverse Streuung: Abbildende US-zfP-Verfahren 567 SAFT: Synthetic Aperture Focusing Technique. 567 FT-SAFT: Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique. Skalare sekundäre Quellen: Kontrastquellen. Kontrastquelleninversion (esi): Contrast SOUTce Inversion. Verallgemeinerte Holographie. FT-SAFT: Fourier Transform Synthetic Aperture Focusing Technique. Exakte Herleitung der Impuls-Echo-Version von SAFT für ebene Messflächen A Formelsammlung 593 A.1 Vektoridentitäten 593

8 Inhaltsverzeichnis xv A.2 Tensoridentitäten A.2.1 Permutationstensor, 594 A.2.2 Produkte A.2.3 Spuren " 598 A.2.4 Determinanten A.2.5 Adjungierte und Inverse A.3 Koordinatensysteme A.3.1 Kartesische Koordinaten 602 A.4 Orthogonale krummlinige Koordinaten 605 A.5 Zylinderkoordinaten A.6 Kugelkoordinaten 611 A.7 Nabla-Identitäten 616 A.7.1 Allgemeine Skalar-, Vektor- und Tensorfelder 616 A.8 Spezielle Ortsvektorfelder 619 B Literaturverzeichnis 623 Index 635