Die perfekte Rutsche

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1 Ptrick Ditz, 10. Juli 010 Die perfekte Rutsche (Brchistochrone Probleme) Einleitung Ws mn sich unter dem Titel perfekte Rutsche vorstellen könnte: Vermutlich jeder von uns ht in seiner Kindheit uf einer Rutsche gespielt und dbei wren die jeweiligen Vorlieben möglicherweise sehr unterschiedlich - der eine wollte eventuell eine sehr lnge Rutsche, der ndere eine möglichst schnelle, oder vielleicht doch eine, wo die Geschwindigkeit strk wechselt. Alle diese unterschiedlichen Frgestellungen würden ntürlich uch zu verschiedenen Modellierungsnsätzen führen. Wir wollen uns hierbei uf ds Problem konzentrieren, wie muss eine Rutsche ussehen, dmit mn sie m schnellsten hintersich bringen knn. Diese Frgestellung ist vielleicht us der Sicht des Benützers nicht immer eine Optimlitätsbedingung, ber wenn wir uns beispielsweise in die Lge eines Betreibers einer Rutsche versetzen und eventuell die Rutsche nicht nur für einen Prk sondern uch um diverse Dinge in einen Betrieb zu trnsportieren gebut wird, könnte diese Frgestellung von entscheidender Bedeutung sein. Problemstellung und Ziel Abstrkt könnte mn die Aufgbenstellung nun wie folgt formulieren: Ein Mssenpunkt gleitet unter dem Einfluss der Schwerkrft entlng einer Kurve y(x) reibungsfrei von einem Punkt A zu einem tiefergelegenen Punkt B. Dbei sei seine Anfngsgeschwindigkeit 0. Ziel ist es den schnellstmöglichsten Weg von A nch B zu finden. Dmit muss y(x) so bestimmt werden, dss die Zeit T, die ds Teilchen für den Weg benötigt, miniml wird. Ds Ergebnis ist dnn die gewünschte optimle Rutsche. Vorgehensweise Um die Zeit, die ein Mssenpunkt für den Weg von A nch B benötigt, zu bestimmen, muss mn ls erstes die Länge des Weges kennen. Diese Informtion knn mn dnn nützen Mithilfe der Energieerhltung (es wirkt nur die Schwerkrft) und der Definition der Geschwindigkeit eine Beziehung für die Lufzeit T zu bekommen. Nun ist es möglich für verschiedene Testfunktionen, welche mn us Beobchtungen und Erfhrungswerten gewinnt, die Zeit, die der Mssenpunkt für die jeweiligen unterschiedlichen Strecken benötigt, zu ermitteln. Dmit bekommt mn schon ein Gefühl dfür, welche Funktionen vorussichtlich gut geeingnet sind, sprich ein pssendes Verhältnis zwischen Anfngsschwung und Streckenlänge besitzen. Nun werden die empirischen Erkenntisse wieder beiseitegelegt um den schnellsten Weg zwischen A und B us der Minimlisierung des Funktionls der bereits bestimmten Lufzeit T zu ermitteln. Dieser Anstz führt zur Euler-Lgrnge-Gleichung, welche gleichbedeutend mit der Sttionrität des Funktionls und dmit eine notwendige Bedingung für ds Extremum ist. Mithilfe der Beltrm Identität ereicht mn weiters eine Vereinfchung der Differentilgleichung. Trotzdem ist die gewonnene Gleichung nicht ll zu leicht zu lösen, ws schon Implementierungsversuche in diversen Softwre-Appliktionen, wie Mthemtic und Mtlb, zeigt. Mn sieht ber ds eine Testfunktion, welche us den empirischen Ansätzen gewonnen wurde, eine Lösung für die Differentilgleichung drstellt. Ein pr geschickte Umformungen liefern dieses Ergebnis uch uf theoretischem Wege. Die Lösungskurve nennt mn Zykloide oder uch Rollkurve.

2 Durchlufzeit T Länge eines Kurvenstücks: Für die Berechnung der Länge s unseres Kurvenstücks in einem gegebenen Intervll mit den Grenzen und b benötigt mn die Stetigkeit der Ableitung f. Nch der äquidistnten Diskretisierung des Ausgngsintervlls berechnet mn die Länge s i der Seknte zwischen zwei unterschiedlichen Punkten uf der Kurve mithilfe des Stzes von Pythgors: s i = (Δx) + (Δy i ) = Δx Der gesmte Sekntenzug ergibt sich dmit zu s Sekntenzug = Δx n 1 + i=1 1 + ( ) Δyi Δx ( ) Δyi Δx welcher eine Näherungslösung für die Länge der Kurve drstellt. Für n (und dmit Δx 0) nähert sich einerseits der Sekntenzug dem Kurvenstück n und Δy i Δx strebt gegen y (x). Dmit ergibt sich für die Länge des Kurvenstücks schließlich b s Kurvenstück = 1 + (y (x)) (1) Für Funktionen in Prmeterform ergibt sich b ( ) b ( y s = 1 + = 1 + ) (t) x (t) b = x (t) + y (t) 1 t x (t) = x (t) + y (t) dt grvittionsbedingte Beschleunigung: Weiters müssen wir die Schwerkrft berücksichtigen, wobei diverse Reibungskräfte vernchlässigt werden. Wegen Energieerhltung ist die kinetische Energie (Bewegungsenergie) des Mssenpunkts gleich 1 mv = mgy oder v = gy () mit der Msse m, der Geschwindigkeit v und der Erdbeschleunigung g. Mn bechte, dss dmit die positive Richtung der y-achse zum Erdmittelpunkt festgelegt ist. D die Geschwindigkeit v definiert ist ls Weg s pro Zeit t, erhält mn mit dem Zusmmenhng v = ds dt und den bereits hergeleiteten Zusmmenhängen [1-] die endgültige Formel für die Durchlufzeit T in Abhängigkeit von y (x) ls ds b T = v = 1 + (y (x)) gy (x) Der Vollständigkeit hlber geben wir die Formel uch für Funktionen in Prmeterform n t (x T = (t)) + (y (t)) dt gy (t) t 1 t 1

3 Empirische Lösungsnsätze Im folgenden werden wir einige Bhnen vorgeben und diese bezüglich der Lufzeit nlysieren. Dfür wählen wir für lle Wege den Anfngspunkt A = (0, 0) und den Endpunkt B = (π, 4). Die Whl der Punkte erleichtert nur die Formulierung der jeweiligen Beispiele und ändert nichts n der Allgemeinheit. Funktion Definition Weglänge Durchlufzeit T Gerde f (x) = 4 π x 7,45 m 1,68 s Wurzel f (x) = 4 π x 7,78 m 1,43 s Prbel 4 (x π) + 4 7,71 m 1,479 s (π) Sinus 4 sin x 4 7,64 m 1,519 s Ellipse x (t) = π cos t + π, y (t) = 4 sin t, t [ π, π] 8,18 m 1,44 s Zykloide x (t) = (t sin t), y (t) = (1 cos t), t [0, π] 8 m 1,419 s Abbildung 1: Testfunktionen Die Grphen in der Abbildung 1 suggerieren, dss die geeigneten Kurven diejenigen sind, welche m Anfng steiler bfllen und die ufgenommene Geschwindigkeit nutzen um schneller die Stecke zu überwinden. Bei der Ellipse scheint es hingegen, dss der Anfngsschwung nicht usreicht um die längere Stecke zu kompensieren. Minimierung der Lufzeit Nun soll y (x) so bestimmt werden, dss die Zeit T, die ds Teilchen für den Weg von A nch B brucht, miniml wird. Wie bereits hergeleitet ist die minimlisierende Zeit T ein Funktionl von y (x). Die Problemstellung lutet dmit welche Funktion y (x) mcht ds Funktionl b 1 + (y T = (x)) b =: f ( y, y ) gy (x) miniml? Die Euler-Lgrnge-Gleichung der Vritionsrechnung ist eine Differentilgleichung für die gesuchte Funktion y (x): f y d ( ) f y = 0 (3)

4 Die Gleichung ist gleichbedeutend mit der Sttionrität des Funktionls. Sie ist dmit eine notwendige Bedingung für ein Extremum. Weiters hängt die Funktion f (y, y ) nicht explizit von x b, ws weitere Vereinfchungen ermöglicht. Zuerst berechnen wir die Ableitung von f nch x df = f y y + f y y + f x (4) Nun multipliziert mn [3] mit y und setzen für f y y die entsprechnenden Terme us [4] ein D f x = 0 gilt, erhält mn d und schließlich df f y y f x d y f x + d ( ) f y = 0 ) = 0 ( f y f y ( f y f ) y = 0 mit C ls Integrtionskonstnte. Nun benötigt mn noch f y = dmit mn us [5] mittels weniger Vereinfchungen f y f y = C (5) y 1 + y gy y gy = C erhält. Qudrieren und Umformen liefert [ ( ) ] 1 + y = 1 =: k gc oder Diese Gleichung wird von = k y y (6) x (t) = k y (t) = k (t sin t) (1 cos t) gelöst, ws einem Zykloide entspricht. Für die Herleitung definiert mn sich zuerst tn θ = k = y y Mithilfe des Pythgoräischen Lehrstzes ergibt sich weiters sin θ = k y k y = k ( 1 sin θ ) = k (1 + cos θ)

5 Für die Ableitungen bezüglich des Winkels θ ergibt sich dθ dθ = k sin θ = k sin θ cos θ = dθ = cot θk sin θ cos θ = k cos θ = k (cosθ + 1) Nch Integrtion erhält mn x = k (sin θ + θ + c) mit c ls Integrtionskonstnte. Nun definiert mn t := π θ und c := π. Dies ergibt die gewünschte Lösung Zykloide: y (t) = k x (t) = k (1 + cos (π t)) = k (1 cos t) (sin(π t) + π t + c) = k (sin t t) D die Lösung unseres Problems durch die Rollkurve beschrieben wird, wollen wir diese Kurve herleiten. Am Anfng befindet sich ein Punkt P eines Kreises im Ursprung des Koordintensystems. Dieser Kreis mit dem Rdius r rollt in x-richtung. Diese Rollbewegung bedeutet, dss sich der Mittelpunkt M des Kreises prllel zur x-achse bewegt, wodurch sich der Punkt P entlng einer Kurve bewegt, die unsere gesuchte Rollkurve ist. Für die Drstellung dieser Kurve wählt mn den Winkel t ls Prmeter. Die folgende Abbildung zeigt den Punkt P nch einer gewissen Zeit t. Abbildung : Zykloide D die Strecke UM x der Kreisbogenlänge M x P entspricht, nämlich r t, erhält mn x = rt r sin t = r (t sin t) y = r r cos t = r (1 cos t)

6 Zusmmenfssung und Ausblicke Für unser konkretes Modell ht sich die Rollkurve ls optimle Lösung herusgestellt. Dmit ht mn mit den gewählten Vorusetzungen eine Anleitung für die schnellste Rutsche bekommen. Wenn mn nun beispielsweise die Lufzeit von einer einfchen gerden Rutsche mit unserer Optimlen vergleicht (wobei die Endpunkte wie im Skript gewählt wurden), ergibt sich, ds die optimle Rutsche nur c. 84% der Zeit benötigt. Für den Einstz in diversen Fbriken ls Pketrutschen oder Ähnliches knn mn ddurch möglicherweise entscheidende Zeiteinsprungen erzielen. Dennoch sei druf hingewiesen, dss diese Lösung nur für die speziell gewählten Anfngskonstelltionen stimmt. In mnchen Anwendungen könnten diese Annhmen nicht mehr usreichend sein. Fktoren wie Reibungskräfte, Luftwiederstände oder unterschiedliche Anfngsgeschwindigkeiten sind hier noch nicht berücksichtigt worden, welche ber durchus für konkrete Probleme usschlggebend sein könnten.