Funktionentheorie. Dipl.-Ing. (FH) Alexander Kiebler Tel.:

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1 Fuktioetheorie Dipl.-Ig. (FH) Alexader Kiebler Tel.: Lustige Lebesweisheit Mit Glaube wird alles möglich. Mit Liebe wird alles eifach. Mit Hoffug wird alles gut. Fuktioetheorie - 59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

2 Ihaltsvereichis Part: I Holomorphie 4 che mit komplexe Zahle 4. Defiitio ud cheregel Die Koverge vo Folge ud ihe Wurelfolge Harmoische ihe Koverge der geometrische ihe iheetwicklug der Fuktio f() = Geometrische ihe ud Feedback Herleitug der Eulerreihe ud mometae Verisug Offee ud abgeschlossee Mege Stetigkeit Eigeschafte vo Fuktioe Stetigkeit der Fuktio i C Stetigkeit vo Polyome Zusammesetug weier Fuktioe Zusammesetug weier Potereihe Umkehrfuktio Die komplexe Expoetialfuktio Der Logarithmus Stetigkeit der komplexe Logarithmusfuktio Die Allgemeie Pote a b Die Wurel komplexer Zahle Kojugiert komplexe Nullstelle vo komplexe Polyome mit reelle Koeffiiete Symmetrie komplexer polyome mit reelle koeffiiete Die Nullstelle der geometrische ihe Die Nullstelle beliebiger Polyome Abspalte eier Nullstelle Differeiere Differeiere eier usammegesette Fuktio Komplexe Differeierbarkeit C-Liearität Ableite i R Begrüdug der Fuktioetheorie Potetialfuktioe Sat für impliite Fuktioe Umkehrfuktio eier Potereihe Itegratio im komplexe Stammfuktioe im komplexe Itegratio der Fuktio f() = che mit Logarithme Aalytischer Bereich eier usammegesette Fuktio Cauchy sche Itegralformel Fuktioetheorie 2-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

3 Awedug der Cauchy sche Itegralformel Verallgemeierug der Cauchy sche Itegralformel Sat vo Gauß-Lucas Sat ur Partialbrucherlegug Potereihe Der Potereihe Etwicklugssat Riema scher Hebbarkeitssat Lauretreihe Fourierreihe Komplexe Abbildug Part: II Ahag A 57 Beweise Sat des Pythagoras Spiegelug am Eiheitskreis Wurelfolge Fuktioetheorie 3-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

4 . Defiitio ud cheregel Holomorphie I che mit komplexe Zahle. Defiitio ud cheregel Die komplexe Zahle sid beim Löse vo Gleichuge etdeckt worde, dere Grad größer gleich wei ist. Zum Beispiel hat die Gleichug x 2 + = 0 im elle keie Lösug. Dabei mußte eie Zahl defiiert werde, welche Ausdrücke wie oder = 2 ulasse. Da es i R aus Symmetriegrüde keie Zahl gibt welche diese Bediug erfüllt, wurde die Mege der komplexe Zahle C eigeführt. Defiitio: Komplexe Zahle C Der Körper R ist ei Uterkörper vo C, (C := RXR). Für C gelte die Folgede cheregel: (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) () (a, b) (c, d) := (ac bd, ad + bc) (2) Mit a, b, c, d R. Dabei sid (, j) eie Basis vo C ud bilde ei Karthesisches Koordiatesystem. Es gilt j 2 =. So ka ma eie komplexe Zahl als Vektor schreibe: = a + jb Die Additio weier komplexer Zahle 0 ud ist äquivalet ur weidimesioale Vektoradditio: 0 = a + jb, = c + jd 0 + = (a + c) + j(b + d) Das kojugiert Komplexe eier komplexe Zahl bekommt ma durch Spiegelug a der reelle Achse = a + jb = a + j( b) Fuktioetheorie 4-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

5 . Defiitio ud cheregel () 0 + () 0 Additio weier komplexer Zahle Das kujugiert Komplexe vo Dabei sid alteil ud agiärteil eier komplexe Zahl defiiert als: = a + jb () = a () = b Wie ma sieht habe komplexe Zeiger eie Läge (äquivalet ur euklidische Norm i weidimesioale Raum). Somit ist der Betrag eier komplexe Zahl : = + R + Es stellt sich u die Frage, wie ma das Iverse u eier gegebee Zahl bildet. Hierfür eiget sich der folgede Ausdruck: = = 2 Ma erhält also das iverse Elemet u i dem ma desse kojugiert Komplexes bildet ud die Läge mit dem Quadrat der Läge vo dividiert. j Iverses Elemet eier komplexe ahl Lge vo Fuktioetheorie 5-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

6 . Defiitio ud cheregel Als ächstes wird die Multiplikatio geauer betrachtet. Sie ist war u Afag defiiert worde, jedoch weit etfert vo eier gute Vorstellug was dort geau passiert. Die aschauliche Vorstellug ur Multiplikatio weier komplexer Zahle erhält ma durch das Betrachte folgeder Ausdrücke: = x :=, mit = a + jb = x + jy = a a2 + b 2, ud y := a + jb a2 + b 2 ist : b a2 + b 2 Dabei ist der ormierte Vektor mit der Läge. Nachweis wobei sekrecht auf : ( ) 2 ( ) 2 x 2 + y 2 = = + Somit bildet der Zeiger mit dem Koordiateursprug ud der Projektio auf eier der beide Koordiateachse ei rechtwikliges Dreieck (äquivalete Aussage u steht sekrecht auf ) mit der Läge. Ud somit befidet sich jede beliebige Zahl auf dem Eiheitskreis. x = cos(ϕ), ud y = si(ϕ) mit ϕ [0 2π[ somit = = (x + jy) also = (cos(ϕ) + jsi(ϕ)) = (cos(ϕ) + jsi(ϕ)) 0 j j si(ϕ) cos(ϕ) ϕ 2 = 0 ϕ2 = ϕ0 + ϕ ϕ ϕ0 2 = 0 (cos(ϕ 0 + ϕ ) + jsi(ϕ 0 + ϕ )) als Kugelkoordiate Multiplikatio weier komplexer Zeiger 0 ud 2 = 0 = 0 (cos(ϕ 0 ) + jsi(ϕ 0 )) (cos(ϕ ) + jsi(ϕ )) = 0 (cos(ϕ 0 )cos(ϕ ) si(ϕ 0 )si(ϕ ) + j (cos(ϕ 0 )sie(ϕ ) + si(ϕ 0 )si(ϕ ))) = 0 (cos(ϕ 0 + ϕ ) + jsi(ϕ 0 + ϕ )) Fuktioetheorie 6-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

7 .2 Die Koverge vo Folge ud ihe Defiitio: Komplexe Zahl i Kugelkoordiate Jede komplexe Zahl ka als Drehstreckug des reelle Eiheitsvektors + j0 geschriebe werde. Dabei wird um das Argumet vo (arg()) i positiver mathematischer Richtug gedreht ud da um de Betrag vo ( = abs()) gestreckt. ( ) () = Abs() = () 2 + () 2 ϕ = Arg() = ta () (3) = (cos(ϕ) + jsi(ϕ)) (4) Defiitio: Multiplikatio Zwei komplexe Zahle werde multipliiert, i dem ma ihre Beträge multipliiert ud ihre Wikel addiert. 2 = 0 = 0 (cos(ϕ 0 + ϕ ) + jsi(ϕ 0 + ϕ )) (5) Die Multiplikatio sowie die cheregel für die trigoometrische Fuktioe lasse sich och besser durch Potereihe beschreibe oder geauer mit der komplexe Expoetialfuktio aufgefasst als Dreheiger. Dies hier ist also ei kleier Vorgriff..2 Die Koverge vo Folge ud ihe Der Kovergebegriff vo Folge ud ihe ist die Grudlage für stetige Fuktioe. I eiem erste Schritt wird eie Folge defiiert. Defiitio: Folge Eie Folge ist eie geordete Mege vo Zahle. Jeder atürliche Zahl N wird eie Zahl ugeordet. oder Dabei ist jedes ei Glied der Zahlefolge., 2, 3,...,,... (6) { k } k =, 2,... (7) Oft ist es so, dass ma i der Natur ur die Äderug eies Sachverhalts messe ka, ud ma fragt sich, wie sich der Sachverhalt weiteretwickel wird uter eier bestimmte Radbedigug. Gegebe sei folgede Etwicklug. Es wird eie Größe 0 gemesse. Nu stellt ma fest dass sich immer halbiert, um beispiel über eiem kostate Zeitschrit,Ortsschritt,Farbschritt etc. gemesse. Fuktioetheorie 7-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

8 .2 Die Koverge vo Folge ud ihe Also + =. Es gilt also: 2 0 = Gemessee Größe = Z = Z = Z = Z = Z 0 2 Welche Wert wir am Afag für 0 gemesse habe scheit icht so wichtig u sei, da wir die Folge bereche köe ud aschließed mit der gemessee Größe Z 0 multipliiere köe, ohe das Ergebis u veräder. Deshalb sete wir 0 =. Wir erhalte die Folge: ( ) = 2 N >0 2, 4, 8, 6, 32,... (8) Schaut ma sich die Folge 8 a so stellt ma um Beispiel fest, dass das -te Elemet beliebig klei werde ka. Das heißt ma ka u jedem ɛ > 0 immer ei N fide, sodass das daugehörige N-te Glied kleier ist als das ɛ R +. Sid auch alle weitere Glieder mit > N kleier als ɛ so et ma die Folge eie Nullfolge. Defiitio: Nullfolge Eie Zahlefolge ist eie Nullfolge we es u jedem ɛ > 0 eie atürliche Zahl N gibt, so dass < ɛ für alle N (9) ɛ We alle Glieder der Folge mit N ierhalb des Kreises mit Radius ɛ > 0 liege, da ist die Folge eie Nullfolge. Dabei ka ɛ beliebig klei gewählt werde muß aber größer Null sei. Usere Beispielfolge 8 aus dem elle würde ma im komplexe wohl über de Betrag eier komplexe Zahl defiiere. Also r + = r. Ma erhält Kreise, dere Radius sich für jedes halbiert. Eie 2 solche Folge ist ei Beispiel für eie Nullfolge im Komplexe. Defiitio: Grewert oder Koverge eier Folge gege eie Zahl Eie Folge kovergiert gege eie komplexe Zahl, falls die differeefolge 0,, 2,... eie Nullfolge ist. Ma schreibt: = lim oder auch für (0) Fuktioetheorie 8-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

9 6.2 Die Koverge vo Folge ud ihe ɛ Eie Folge kovergiert gege eie Zahl we es u jedem ɛ ei N gibt, so dass alle Differee vo mit N ierhalb des Kreises mit Radius ɛ um liege. Auch hier darf ɛ beliebig klei gewählt werde aber icht ull sei. Wir stelle us vor, die Folge 8 sei eie Wachstumsrate We wir die eiele Werte der Folge über auftrage, so liegt ei Zusammehag mit de ueigetliche Itegrale sehr ahe. Da wir jett aber och keie Itegralbegriff habe, verschiebe wir diese Asicht auf später. = 0 = = 2 = 3 = 4 Das Wachstum halbiert sich also i jedem Schritt. Um u u wisse, wie weit das wachstum für ei festes = N fortgeschritte ist, müsse wir die eiele Glieder der Folge aufsummiere. We wir also vo C 0 agefage habe u messe, da erhalte wir folgede Etwicklug für fortlaufede : C 0 + N = 2 () Somit etsteht eie eue Folge S, die Folge der Partialsumme i dem ma C 0 = 0 sett. I userem Beispiel ergibt sich also: S := (2) S = 2 S 2 = S 3 = S = i i= S S 2 S 3 S 4 S = 2 4 Diese Folge S wird u ihe geat, welche der Folge ugeordet ist. Also lautet die der Folge 8 ugeordete ihe: S = i= 2 i S = S4 = S3 = S2 = S = 2 0 = = 2 = 3 = 4 Auch hier schaut es so aus, als ließe sich ei Itegralkriterium etwickel. Ma erket, dass es sich da aber um icht gaahlige hadel muss, um die Werte wische wei gaahlige stetig fortusete. i ituitiv sieht ma, dass die ihe auf der eie Seite die Zahl ie erreicht für edliche, aber Fuktioetheorie 9-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

10 .3 Wurelfolge ihr beliebig ahe kommt je grösser die Zahl gewählt wird. Die ihe S ka atürlich wieder als Folge aufgefasst werde, wofür wir die Koverge bereits defiiert habe. Kovergiert die ihe so schreibt ma: S := lim S S = i= 2 i (3) Kokret bedeutet das, dass die ihe gege die Zahl S kovergiert, we S S eie Nullfolge ist. Da hierfür die Zahl S edlich sei muß ist eie otwedige Bedigug für die Koverge eier ihe gegebe durch: Wobei hier die Folge ist, mit welcher ma eie ihe S gebildet hat. lim = 0 (4) Defiitio: Notwedige Bedigug für die Koverge eie ihe Die ihe S kovergiert ur da, we ihre Folge das Kriterium: erfüllt. lim = 0 (5).3 Wurelfolge Eie der älteste ud grudlegeste Folge der Mathematik ist die Wurelfolge oder das babyloische Wureliehe. Die Folge läßt sich aus eier eifache geometrische überlegug herleite. y0 = 3 A=3 x0 = y = 3 2 A=3 x = 2 Gegebe ist ei chteck mit de beide Seiteläge x 0 R ud y 0 R ud dem Flächeihalt A. We es us u geligt, das chteck so u veräder, dass aus dem chteck ei Quadrat wird ohe de Flächeihalt des chtecks u veräder, so erhalte wir: x 0 = y 0 = A A=3 A=3 Um u die beide Ausgagsseiteläge x 0, y 0 eiader auäher wird eifach der Mittelwert der beide Seiteläge berechet. y2 = 2 7 Für ih gilt: x2 = 7 4 y3 = 68 = x3 = = x = x 0 + y 0 2 x 2 = x + y 2... x = 2x mit 2 Um de Flächeihalt A icht u veräder gilt für y : x = y y = A x Fuktioetheorie 0-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

11 .5 Koverge der geometrische ihe Ud somit: x 2 = x + A x 2 Ud wir erhalte die Wurelfolge: x + = 2 (x + Ax ) (6) Geau mit der gleiche Vorgehesweise ka ma auch die dritte Wurel aus eier Zahl iehe. x = y = x 0 + y x 2 = y 2 = x + y x = y = 3x 3 Um das Volume A icht u veräder gilt für : mit x = y = = A x y = A x 2 Ud wir erhalte die Wurelfolge für 3 A: x + = 3 ( 2x + A ) x 2 (7) Wie ma sieht ka ma das auf die k-te Wurel verallgemeier: x + = k ( (k )x + A ) x k lim x k A (8).4 Harmoische ihe.5 Koverge der geometrische ihe Eie der wichtigste ihe der Mathematik ist die geometrische ihe. Defiitio: Koverge der geometrische ihe Die geometrische ihe kovergiert u: = = (9) =0 mit < (20) Fuktioetheorie - 59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

12 .6 iheetwicklug der Fuktio f() = Beweis: ( )( ) = ( ) + ( 2 ) + ( 2 3 ) ( + ) ( )( ) = + ( ) = + Nu wird die Bedigug < verwedet. Ud war ist der Grewert der Folge lim x 0für x < gleich Null. + lim = Beispiel für = 2 : f ( ) = 2 =0 ( ) = 2 2 = 2 Da die geometrische ihe die ullte Pote 0 = +... mit dau immt, ist dies äquivalet u dem vorherige Ergebis..6 iheetwicklug der Fuktio f() = Der Term hat besodere Eigeschafte. Ma erket die Besoderheit um Beispiel, we ma versucht de Term u itegriere: d. Auf Grud der Basis der Gleichug 9 köe wir de Term jedoch i eier ihe etwickel: w = mit w < (( )( )) = ( ) ( ), mit w = ( )( ) =0 =0 w ( + )) = ( ) ( ) =0 + = ( ) ( ) =0 = ( ) ( ) =0 Somit erhalte wir: Fuktioetheorie 2-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

13 .7 Geometrische ihe ud Feedback Defiitio: iheetwicklug vo Der Term lässt sich i eier ihe Etwickel: = ( ) ( ) mit < (2) =0 Isbesodere im Hiblick auf die Itegrierbarkeit ist das ei Gewi. d = ( ) ( ) + mit < (22) + =0 d = ( ) ( ) ( ) (23) =.7 Geometrische ihe ud Feedback Ei weiterer wichtiger Aspekt ist der Zusammehag wische der geometrische ihe ud rückgekoppelte Systeme. Daher betrachte wir u eie eifache Sigalflussgrafe mit Feedback: x + x A y Wir köe folgede Gleichuge aufstelle: B Durch Eisete erhalte wir: y = Ax x = x + By y = A (x + By) (24) y = Ax + ABy (25) y( AB) = Ax (26) y = Ax AB (27) Wie ma sieht hadelt es sich auch hier um die geometrische ihe. Wir köe also schreibe: A y = AB x (28) ( = ) y = A A B x (29) =0 (30) Fuktioetheorie 3-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

14 .8 Herleitug der Eulerreihe ud mometae Verisug We wir hieru de Sigalflussgrafe eiche erhalte wir: x B Bx B B 2 x B B B x A A 2 A N A x + ABx x + ABx + (AB) 2 x N=0 (AB) x = =0 (AB) x y=a = =0 (AB) x A Bei techische Aweduge ist die Variable B oft ei UitDelay was oft ei gespeicherter Abtastwert darstellt. Mathematisch wird der Operator wie folgt beschriebe: Defiitio: Uit Delay k Der Uitdelay operator ka im Zeitbereich defiiert als k [x j ()] = x j ( k) (3) Bei gleichbleibed diskrete Abtastwerte ist es also der k Abtasteit alte Wert des Sigals. Später werde wir sehe, dass er sich mathematisch aus der diskretisierte Laplacetrasformierte etwickelt hat. Ma bekommt Ih mit Hilfe des Verschiebugssates: k = e kt s (32) Dabei ist s die uabhägige Variable der Laplacetrasformierte ud T die Abtasteit. Damit ist ei Rückgekoppeltes System ei System mit uedlichem Gedächtis. Auch hier ählt die hireichede Bedigug für Stabilität: AB < (33) Nur damit erhält ma abkligede Werte für beliebige Eigagssigale ach dem Abschalte..8 Herleitug der Eulerreihe ud mometae Verisug Gegebe ist ei Afagsbetrag a(0) sowie ei Zissat p. Zu jedem diskrete Zeitpukt t soll u eu verist werde. Demach etwickelt sich Betrag wie folgt: a(0) = a(0) a() = a(0) + a(0) p = a(0) ( + p) a(2) = a() + a() p = a(0) ( + p) + a(0) ( + p) p = a(0) ( + p) ( + p) a(3) = a(2) + a(2) p = a(0) ( + p) ( + p) + a(0) ( + p) ( + p) p = a(0) ( + p) ( + p) ( + p) a(t + ) = a(t) + a(t) p = a(0) ( + p) t+ Damit gilt geerell: a() = a(0) ( + p) (34) Fuktioetheorie 4-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

15 .9 Offee ud abgeschlossee Mege We wir u kotiuierlich verise, also u jedem Zeitpukt, im Gegeug aber de Zissat gege ull gehe lasse erhalte wir die eulersche Zahl: ( e = lim + (35) ) Diese Ausdruck betrachte wir u etwas geauer. Hierfür verwede wir de biomische Lehrsat: ( ) (a + b) = a k b k (36) k Wir erhalte mit a = ud b = : e = lim k=0 ( k ) ( k=0 ) k = lim Der Term! ka auch geschriebe werde als: ( k)! k=0! k!( k)! ( ) k (37)! ( ) ( 2) ( k + ) ( k) ( k ) ( k 2) ( ) = ( k)! ( k) ( k ) ( k 2) ( )! = ( ) ( 2) ( k + ) ( k)! Mit dieser Umstellug erhalte wir: ( + ) = + ( ) ( ) + 2! = ( ) 2! ( = + + ( ) 2! ( ) 2 ( ) ( ) ( 2) 3 ( ) (38) 3! ) ( ) ( 2 ) ( ) 3 ( ) + + (39) 3! + ( ) ( 2 ) ( ) + + (40) 3! Zulett bilde wir de Limes ud erhalte die aschauliche Darstellug der eulersche Zahl: Defiitio: Eulersche Zahl Die Eulersche Zahl ergibt sich auf atürliche Weise aus der mometae Verisug: ( e = lim + ) = + + 2! + 3! + 4! + =! =0 (4).9 Offee ud abgeschlossee Mege Eie komplexe Mege D heißt offe, falls ma i jedem Pukt der Mege eie Kreis mit eiem Radius größer Null eiche ka, welcher och ga i D ethalte ist. Kokret bedeutet das, dass ma de Rad der Mege als Grewert defiiert, wobei der Grewert selbst icht mehr Bestadteil der Mege ist. Fuktioetheorie 5-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

16 .0 Stetigkeit Defiitio: Offee Mege Eie Mege D heißt offe, falls es u jedem Pukt p D eie Zahl ɛ > 0 gibt so dass die ɛ-umgebug: U ɛ (p) := R 2 ; a p < ɛ ga i D ethalte ist. Beispiel: Die Mege M o aller Pukte im iere des Eiheitskreises, wobei die Mege der Pukte des Eiheitskreises icht Bestadteil der Mege sid, ist offe. M O := C; < Defiitio: Abgeschlossee Mege Eie Mege D heißt abgeschlosse, we ihr Komplemet offe ist, oder we sich der Grewert des Rades Bestadteil der Mege ist. Beispiel: Die Mege M a aller Pukte im iere des Eiheitskreises, wobei die Mege der Pukte auf dem Eiheitskreises Bestadteil der Mege sid, ist abgeschlosse. M A := C;.0 Stetigkeit Die Stetigkeit ist eie Eigeschaft, welche eie Fuktio ierhalb ihres Defiitioisbereiches D erfülle ka. Sie ist auf wei uterschiedliche Betrachtugsebee defiiert welche jedoch das Selbe bedeute. Die ɛ δ-stetigkeit ist ei Eischlusskriterium. Um die Stetigkeit i eiem Pukt p u prüfe wählt ma uerst ei ɛ > 0 ud eichet eie Kreis um de Pukt f(p) mit Radius ɛ. Nu muss es eie Kreis mit dem Radius δ > 0 um p gebe, so dass alle Pukte welche sowohl im Kreis mit dem Radius δ um p, als auch im Defiitiosbereich D liege ga is iere des Kreises um f(p) mit dem Raidus ɛ abgebildet werde. Ma ka also die Werte f() f(p) i eiem Kreis mit dem radius ɛ eischließe durch geeigete Wahl der Pukte um p durch de Radius δ. Isbesodere ka ma das ɛ um de Pukt f(p) uedlich klei forder, ud es muss ei δ dau gebe. Defiitio: ɛ-δ-stetigkeit eier Fuktio Eie Fuktio f() ist stetig im Pukt p falls u jedem ɛ > 0 ei δ > 0 existiert für welches gilt: We f() f(p) < ɛ da gibt es ei δ p < δ,, p D Fuktioetheorie 6-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

17 . Eigeschafte vo Fuktioe w = f() = p δ f(p) ɛ Weil es oft sehr wichtig ist, dass ma das ɛ beliebig klei forder darf komme wir auf eie weite Defiitio der Stetigkeit, das Folgekriterium. Wir habe gesehe dass eie Folge p gege eie Zahl p kovergiert, we die Differeefolge p p eie Nullfolge ist. Da eie Folge kovergiert, we Ihre Beträge kovergiere erhatle wir: lim p p 0 We wir u eige köe dass lim f(p ) f(p) da ist die Fuktio f im Pukt p stetig. Defiitio: Stetigkeit eier Fuktio (Folgekriterium) We für jede Folge mit der Eigeschaft: gilt: lim p p lim f(p ) f(p) Da ist die Fuktio im Pukt p stetig. Isbesodere sid Kovergepukte eideutige Pukte. Das Problem am Folgekriterium ist, dass ma hier für jede mögliche Folge beweise müsste, dafür ka ma oft leicht eie Gegebeweis erbrige.. Eigeschafte vo Fuktioe Fuktioe oder Abbilduge habe bestimmte Eigeschafte. Merkmale eier Fuktio sid uter aderem Ijektivität, Surjektivität ud Bijektivität. Diese Eigeschafte werde hier defiiert. We jedes Elemet des Defiitiosbereiches eier Fuktio auf geau ei Elemet des Abbildugsbereiches fällt,da ist die Fuktio ijektiv. Fuktioetheorie 7-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

18 .3 Stetigkeit vo Polyome Defiitio: Ijektivität Eie Fuktio f : D F ist ijektiv falls gilt: W e : 2, 2 D Da gilt : f( ) f( 2 ) Surjektivitä ist eigetlich eie Eigeschaft, welche ma oft scho impliit aimt. Sie besagt, dass we eie Fuktio durch das Abbilde ihres Defiitiosbereiches D jedem Elemet des Ergebisbereiches F midestes ei Elemet uordet, da ist die Fuktio surjektiv. Defiitio: Surjektivität Eie Fuktio f : D F ist surjektiv falls gilt: f(d) = F Die Bijektivität ist u eie Kombiatio vo beidem. Defiitio: Bijektivität Eie Fuktio f : D F ist bijektiv falls sie ijektiv ud surjektiv ist.2 Stetigkeit der Fuktio i C Das Symbol C steht für die i dem Pukt 0+j0 = 0 gelochte komplexe Ebee. Es ist leicht eiusehe dass gelte muss: Defiitio: Stetigkeit der Fuktio Die Fuktio: i C f() = : C C (42) ist i der i 0 gelochte komplexe Ebee stetig. Die iheetwicklug der Fuktio ist kei Polyom, soder eie uedliche ihe..3 Stetigkeit vo Polyome Jedes Polyom der Form: P () = a 0 + a + a 2 + a a (43) ist stetig. Das ist ei sultat aus de Stetigkeitssäte: Fuktioetheorie 8-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

19 .5 Zusammesetug weier Potereihe Defiitio: Stetigkeitssäte Die Summe, Differe ud das Produkt weier stetiger Fuktioe sid stetig. Polyome habe im Gegesat u ihe eie edliche Grad.4 Zusammesetug weier Fuktioe Gegebe sid wei Fuktioe f ud g: f : D f W f ud g : D g W g (44) Dabei bildet die Fuktio f ihre Defiitiosbereich D f auf ihre Wertebereich W f = f(d f ) ab, ud die Fuktio g bildet ihre Defiitiosbereich D g auf ihre Wertebereich W g = g(d g ) ab. We gilt: W f D g (45) Also we der Wertebereich vo f im Defiitiosbereich vo g ethalte ist, da ka ma eie Zusammesetug defiiere: b() = g(f()) (46) Defiitio: Stetigkeit vo usammegesette Fuktioe Die Zusammesetug weier stetiger Fuktioe ist stetig. Gegebe ist eie Fuktio f : D f W f welche keie Nullstelle hat. Da ist auch die usammegesette Fuktio: setetig. We also g() = : C C, da gilt: geau da, we W f = f(d f ) keie Nullstelle hat. f : D f W f (47) W f D g (48) Defiitio: Ustetigkeitsstelle eier Ratioale Fuktio Polstelle sid die eiigeste Ustetigkeitsstelle ratioaler Fuktioe. f() = a a + a a b b + b b (49) Die Nullstelle des Neerpolyoms sid Polstelle des usammegesette Polyoms. Fuktioetheorie 9-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

20 .6 Umkehrfuktio.5 Zusammesetug weier Potereihe Es solle u wei Potereihe P () ud Q() mit Q(0) = 0 gegebe sei. P () = a 0 + a + a a a (50) Q() = b + a b b (5) Gesucht sid die Koeffiiete c der Potereihe Z() = P (Q()). Z() = P (Q()) = c 0 + c + c c c (52) Dadurch dass ei Polyom all durch seie Ableituge bestimmt ist, verwede wir de Asat: Wir etwickel also das Polyom Z() um de Etwicklugspukt 0. (53) Z () (0) = P (Q(0)) () (54) c 0 = P (Q(0)) = a 0 (55) c = P (Q(0))Q (0) = a b (56) ( ) 2 2c 2 = P (Q(0)) Q (0) + P (Q(0))Q (0) = 2a 2 b 2 + 2a b 2 (57) ( ) 3 6c 3 = P (Q(0)) Q (0) + 3P (Q(0))Q (0)Q (0) + P (Q(0))Q (0) = 6a 3 b 3 + 2a 2 b b 2 + 6a b 3 (58)... (59) Somit laute die Koeffiiete des usammegesette Polyoms Z() = P (Q()): Z() = a 0 + a b + (a 2 b 2 + a b 2 ) 2 + (a 3 b 3 + 2a 2 b b 2 + a b 3 ) (60).6 Umkehrfuktio Eie Fuktio f ist eie eideutige Abbildug. Das bedeutet, dass sie jedem Elemet aus ihrem Defiitiosbereich D f ei Elemet aus ihrem Wertebereich W f uordet. Ma schreibt da: f : D f W f ; x y (6) Eie Fuktio ordet also jedem x geau ei y u. Dabei köe aber wei uterschiedliche x, x 2 dem Selbe y-wert ugeordet werde, oder allgemei gilt: uterschiedliche {x } köe geau eiem Wert y ugeordet werde. Jedoch darf uter keie Umstäde eiem x wei uterschiedliche y, y 2 ugeordet werde. Defiitio: Fuktio Eie Fuktio ist eie Eideutige Abbildug des Defiitiosbereichs D f auf ihre Wertebereich W f. f : D f W f ; x y Fuktioetheorie V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

21 .6 Umkehrfuktio f(x) Als Beispiel schaue wir us ei Polyom dritte Grades i R a : 36 f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (; 32) Wir forder vo dem Polyom wei Extrema. Ei Maxima bei f() = 32 ud ei Miima bei f(2) = f() = 32 f () = 0 f(2) = 4 f (2) = Wir habe also vier Gleichuge für die vier ubekate a, b, c, d womit wir die Koeffiiete erhalte: 4 (2; 4) f(x) = 56x 3 252x x 08 2 x A dem graue Bereich ka ma gut erkee, dass eiige x mehrfach auf die Zahle wische [4; 32] abgebildet werde Da mehrfache Abbilduge des Defiitiosbereiches D f auf de Wertebereich W f ulässig sid, ud kei x wei verschiedee y ugeordet ist, ist f(x) eie Fuktio. Die Fuktio f(x) ist aber auf Grud des graue bereiches icht ijektiv. Wir wolle us jett wei Dige klar mache: ist außerhalb der Nullstelle vo f() stetig. 2) Die Zusammesetug b() = ist icht die Umkehrfuktio vo f(). f() Die erste Behauptug folgt umittelbar aus dem Sat für usammegesette Fuktioe ud der Stetigkeit vo f() = mit C. Für die weite Behauptug müsse wir erst die Umkehrfuktio charakterisiere. ) Die Zusammesetug b() = f() Defiitio: Umkehrfuktio Gegebe ist eie Fuktio f() : D f W f. Da gilt für die daugehörige Umkerhfuktio f : D f W f : f(f ( )) = W f, f (f( 2 )) = 2 2 D f Die Umkehrfuktio bildet also de Wertebereich W f auf de Defiitiosbereich D f ab. Weil die Umkehrfuktio eie Fuktio ist, muss diese Umkehrug, also das Abbilde vo W f auf D f eideutig sei. Hierfür muss die Fuktio f : D f W f ijektiv sei. Da usere Beispielfuktio auf Grud der Werte im graue Bereich 4 y = f(x) 32 diese Eigeschaft icht erfüllt, ka es keie globale Umkehrfuktio gebe, welche auf ihrem gesamte Defiitiosbereich stetig ist. We wir jedoch de Defiitiosbereich i mehrere Defitiosbereiche {D 0,0, D 0,, D 0,2 } erlege, so köe wir ijektive Teilbereiche Bestimme. Wir betrachte u ocheimal das Abbild userer Beispielfuktio: Fuktioetheorie 2-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

22 .9 Stetigkeit der komplexe Logarithmusfuktio f(x) Wir köe u die drei Defiitiosbereiche D0,0 =] ;[ D0, =];2[ D0,2 =]2; [ (; 32) D 0,0 =] ; [ offe D 0, =]; 2[ offe D 0,2 =]2; [ offe defiiere. Es ist leicht eiusehe, dass die Kree der ijektive Defiitiosbereiche eier Fuktio f() geau a de Stelle liege müsse bei welche f () = 0 gilt. Dadurch etsteht folgeder Sat: I eiem Pukt a 6 a D gelte f (a) für eie Fuktio f mit stetiger Ableitug i D. Da gibt es eie offee Mege: 4 (2; 4) D 0, D 0 D, a D 2 x so dass die Eischräkug f D 0 ijektiv ist Die komplexe Expoetialfuktio.8 Der Logarithmus.9 Stetigkeit der komplexe Logarithmusfuktio Wir sid auf der Suche ach dem komplexe Logarithmus, für welche gelte soll: Log(e ) =, Log(ab) = Log(a) + Log(b) Zur Kostruktio der Logarithmusfuktio ist die Betrachtug der Expoetialfuktio hilfreich. Zeichet ma i de Defiitiosbereich der Expoetialfuktio ei Gitter, so ka ma sich de Abgebildete Bereich gut vorstelle, ohe Berechuge durchführe u müsse: w = e = e x+jy = e x e jy = e x (cos(y) + jsi(y)) (62) mit C (63) Wir wähle de Defiitiosbereich der Expoetialfuktio: f : D F D C π π User Defiitiosbereich ist also auf der reelle Achse offe, ud auf der imagiäre Achse abgeschlosse. Das der Defiitiosbereich auf der reelle Achse offe ist liegt dara, dass ma ie erreiche ka. Wir bilde u die Mege der Pukte: = a + jb a = 0 π b π Fuktioetheorie V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

23 .9 Stetigkeit der komplexe Logarithmusfuktio durch die Expoetialfuktio ab. Dabei fällt us auf, dass gilt: ej π = ejπ = f (0 ) = f ( ) 0 6= woraus folgt, dass die Abbildug icht ijektiv ist. Siehe roter Pukt i der Zeichug. w w = f () = e π = f (w) = Log(w) π Da eie Fuktio, welche icht ijektiv ist keie eideutige Umkehrabbildug besitt, muss der Defiitiosbereich eigeschräkt werde. Wir mache de Defiitiosbereich der Expoetialfuktio bei der egative imagiäre Achse offe: f :D F D C π < π Nu gehört die Mege der Pukte für = π icht mehr um Defiitiosbereich ud somit gilt: ejπ = Wir hätte auch mit Hilfe der stetigkeit argumetiere köe. Dabei Zeiche wir mal Kreise i der w ebee mit dem Radius δ mit Mittelpukt auf der egative reelle Achse. Ud siehe da, das daugehörige muss beide Pukte i der Ebee umschließe. Ud somit gibt es kei δ welches u eiem < 2π führt. Auch hier merke wir, dass der Defiitiosbereich i der -Ebee bei = π eigeschräkt werde muss. Nach dem Wir de Defiitiosbereich der Expoetialfuktio also eigeschräkt habe werfe wir eie weite Blick auf die Stetigkeit. w π w = f () = e π Fuktioetheorie = f (w) = Log(w) V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

24 .9 Stetigkeit der komplexe Logarithmusfuktio Versuche wir eie Kreis um de Pukt p u iehe, so erhalte wir wieder eie Puktemege bei π.wähle wir für p = 0 also de Radius 0 oder = p erhalte wir für f() f(p) = 0 ud so gibt es u jedem ɛ > 0 ei δ > 0 so dass f() f(p) < ɛ we p < δ. Also hätte wir jett Stetigkeit erreicht. Es stellt sich jett die Frage ob es ei δ gibt welches uter Breücksichtigug vo p < δ u p = 0 führt. Hierfür macht ma sich ochmal de Begriff eies offe Gebietes klar. Ma stellt fest, p < δ ist ei offees Gebiet, ud somit giebt es ur die Aährug a de Rad ud streg geomme wische jedem Pukt ud dem Rad uedlich viele Pukte. Das Heißt es gibt kei δ welches u p = 0 führt. Somit muss der Defiitiosbereich der Expoetialfuktio ochmal eigeschräkt werde, i dem wir das Gebiet auch i Richtug +π offe mache. f : D F D C π < < π w π ɛmax w = f() = e π = f (w) = Log(w) Nu ist die Stetigkeit erfüllt, da für jedes ɛ ei δ existiert für welches gilt: We f() f(p) < ɛ da ist p < δ. Wie ma sieht, ist die Logarithmusfuktio auf Grud der Pukte auf der egative reelle Achse icht stetig. w π w = f() = e a b c b a π = f (w) = Log(w) c Die Expoetialfuktio bildet also de Streife pi < () < pi auf eie Zahleebee ab, welche a der egative reelle Achse geschlitt ist. Des Weitere sieht ma, dass alle Zahle mit egativem alteil durch die Expoetialfuktio i das Iere des Eiheitskreises abgebildet werde (a) ud alle Zahle mit positivem alteil werde außerhalb des Eiheitskreises abgebildet (c). Ist der alteil eier Zahl Null, so wird diese auf de Fuktioetheorie V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

25 .9 Stetigkeit der komplexe Logarithmusfuktio Eiheitskreis abgebildet (b). Ei weiterer iteressater Pukt ist die Null. TODO!!! Eie wichtige Erketis ergibt sich aus der Betrachtug der iheetwicklug des Logarithmus. ( ) l( + ) = = ( ) l() = ( ) = l ( ) () = ( ) = l () = ( ) ( ) = l () = Wir supstituiere u de Term ( ) = w: ( ) ( ) =o w + w 2 w 3 + w 4 w w = =Gerade (w) =Ugerade ( w) =o (w) Die gerade Terme kovergiere u: ( + w 2 + w 4 + w w )( w 2 ) = ( w 2 ) + (w 2 w 4 ) + (w 4 w 6 ) (w w +2 ) ( + w 2 + w 4 + w w ) = w+2 w 2 Für die ugerade Terme gibt es wei Möglichkeite. Etweder ist die lette Pote eie gerade oder eie ugerade Zahl. I beide Fälle kovergiere die ihe. Für de Fall dass eie gerade Zahl ist gilt: (w + w 3 + w 5 + w w )( w 2 ) = (w w 3 ) + (w 3 w 5 ) + (w 5 w 7 ) (w w + ) Damit kovergiert die ihe: (w + w 3 + w 5 + w w ) = w w+ w 2 w + w 2 w 3 + w 4 w w = ( w) =o w +2 w + w + = w + w+ ( w) w 2 ( w)( + w) + w + + w Mit der Bedigug w < erhalte wir für die hier betrachtete ihe: + w + lim + w = + w Fuktioetheorie V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

26 .20 Die Allgemeie Pote a b Durch resubstitutio vo w = ( ) ergibt sich: l () = mit < (64) Defiitio: Der komplexe Logarithmus Der komplexe Logarithmus wird durch de sogeate Hauptweig defiiert mit π < () < π, < () <. Dort ist er komplex differeierbar ud es gilt: Log(e ) = e = w C y R; y 0 (65) Als besoders iteressat wird sich im Zusammehag mit dem Cauchy- Riemasche Itegralsat herausstelle dass gilt: Log () = (66) bijektive Hauptweig ist das Argumet eideutig defiiert: Log() = Log(re jϕ ) = Log(r) + Log(e jϕ ) = log( ) + iarg() (67) Allgemei gilt aber: Log() = log( ) + i(arg() + 2πk) mit k Z (68).20 Die Allgemeie Pote a b Durch de Logarithmus lasse sich Potee verallgemeier. Ud war defiiert ma die Pote a b durch: Wir erhalte: Defiitio: Potee Durch Logarithme lasse sich Potee verallgemeier: a b := e b log(a) (69) {a b } := e b(log a +jarg(a)+j2πk) mit a, b C k Z (70) Für ei gaes b erhalte wir um Beispiel wieder die u etwas erweiterte Formel vo Moivre {a b } := e b log a {cos(barg(a) + 2πkb) + jsi(barg(a) + 2πkb)} (7) mit a C b N k Z (72) Fuktioetheorie V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

27 .2 Die Wurel komplexer Zahle Allgemei gilt aber: a (x+jy) = e x log a Arg(a)y 2πky {cos(xarg(a) + 2πkx + y log( a )) + jsi(xarg(a) + 2πkx + y log( a ))} (73) Für positive gae a ist diese Darstellug auch iteressat, da Arg(a) ull wird (ζ Fuktio). a (x+jy) = e x log a 2πky {cos(2πkx + y log( a )) + jsi(2πkx + y log( a ))} (74).2 Die Wurel komplexer Zahle I diesem Abschitt geht es darum, wie ma die -te Wurel aus de komplexe Zahle ieht. Es geht also um die Berechug des Ausdrucks = a C a C. Um dieses Problem augehe wird uächst die Gleichug = C N 0 gelöst. Wir suche also icht die Wurel eier beliebige komplexe Zahl C, soder frage us, welche ud wieviele verschiedee Zahle ζ C es gibt, welche die Gleichug = erfülle. Betrachtet ma eie bliebige Zahl ζ i Form der Kugelkoordiate, so wird klar, dass sich desse Löge für ζ = beim Poteiere icht ädert. Wäre ζ > so wäre auch jede Pote ζ >. Wäre ζ < so wäre auch jede Pote ζ <. Daraus folgt, dass sich jede vo us gesuchte Zahl ζ auf dem Eiheitskreis befidet ud sich somit desse Läge icht äder ka. Was sich beim Poteiere jedoch äder ka, ist der Wikel. Dies eigt die Formel vo Moivre, welche sich eideutig aus dem Multiplikatiosgeset ergibt: (cos(ϕ) + jsi(ϕ)) = cos(ϕ) + jsi(ϕ) N 0 Wie bereits beschriebe, werde komplexe Zahle multipliiert, idem ma ihre Beträge multipliiert, ud ihre Wikel addiert. Somit wird aus der -te Pote eier Zahl ζ mit der Läge eis eie Multiplikatio des Wikels mit. Der Betrag ergibt sich u =. Um also eie Zahl = + j0 C N 0 u fide muss die Forderug ( ) = 0 erfüllt werde. ( ) = si(ϕ) =! 0 Dies führt u der eifache lieare Gleichug: ( ) = cos(ϕ)! = + ϕ = 2π ϕ = 2π Beispielhaft wird i der folgede Abbildug geeigt, welche Zahl die Gleichug 2 = löst. Hieru wird das Argumet ϕ = 2π berechet ud da poteiert. 2 = cos( 2π ϕ = 2π 2 2 ) + jsi( 2π 2 ) = 0 = welche 2 = erfuellt Potee vo Fuktioetheorie V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

28 .2 Die Wurel komplexer Zahle Es stellt sich u die Frage, wieviele solche Zahle gibt es, welche die Gleichug 2 = erfülle. Wir wähle eie weite Zahl 2 für welche gelte soll 2 2 =. Dau wähle wir ihr Argumet u ϕ 2 = 2 2π. 2 2 = cos(2 2π 2π ) + jsi(2 ) ϕ 2 = 2 2π = 0 2 = welche 2 2 = erfuellt Potee vo 2 Auch für diese Zahl ist die Gleichug erfüllt. So gibt es mehrere Lösuge für diese Gleichug = C N 0. Geerell ka ma sage, ma erhält die erste Lösuge durch Bilde des Argumets ϕ für eie feste Pote : Alle weitere Lösuge erhlält ma da durch ϕ = 2π ϕ m = ϕ m ϕ = ϕ m m m N 0 Ma erhält also uedlich viele Lösuge m durch Eisete: ϕ m = 2πm Für diese uedlich viele Lösuge ka jedoch festgestellt werde, dass sie sich ab m = auf dem Eiheitskreis wiederhole. Lediglich das Argumet steigt liear. Die komplexe Zahl als Zeiger uterscheidet sich da icht mehr. Deshalb kret ma de Defiitiosbereich vo m ei, ud ma kommt u folgeder Defiitio: Defiitio: Eiheitswurel Es gibt u jedem N geau verschiedee -te Eiheitswurel: ζ ν = cos ( ) ( ) 2πν 2πν + jsi ν 0 ν < Diese löse die Gleichug =. Achtug, die uedlich viele komplexe Eiheitswurel lasse sich als komplexe Zahl durch Aufspalte i al ud agiärteil icht mehr eideutig uterscheide, wohl aber durch ihre Betrag ud ihr Argumet. Somit kommt es wie scho geeigt beim abbilde der gesamte komplexe Zahleebee durch die Expoetialfuktio u Überlappuge. Dies liegt dara, dass die Potereihe der komplexe Expoetialfuktio immer wieder u de selbe Zahle kovergiert, periodich u 2π. Wichtig wird das, we ma versucht eie Fuktio eideutig umkehrbar u mache. Vorrausgesett es falle wei Zahle aus dem defiitiosbereich im abgebildete Bereich usamme, so ist diese ahl icht mehr eideutig umkehrbar, ud die Defiitio eier Fuktio ist verlett. Fuktioetheorie V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

29 .22 Kojugiert komplexe Nullstelle vo komplexe Polyome mit reelle Koeffiiete Nach dem die -te Eiheitswurel aschaulich dargestellt worde sid, geht es jett urück um eigetliche Problem der -te Wurel: = a C a C. Hierfür überlege wir us wieder, wie wohl die erste Zahl aussehe muss, um diese allgemeiere Gleichug u erfülle. Zuächst sei die komplexe Zahl a i Kugelkoordiate gegebe: a = r (cos (ϕ) + jsi (ϕ)) Der Betrag vo muss ach der -te Pote r sei. Somit erhalte wir de Betrag u : Für das Argumet ϕ vo muss wieder gelte: Somit erhalte wir für ei beliebiges u: = ( r cos = r ϕ a = ϕ ϕ = ϕ a ( ϕa ) + jsi ( ϕa )) a = r ( cos( 2π 6 ) + jsi( 2π 6 )) 4 = a ϕa = 2π 6 3 Beliebige Zahl a 4 Die vier vierte Wurel vo a Potee vo Auch hier ka ma sich die Frage stelle, ob es och weitere Zahle gibt, welche die Gleichug = a läst. Dau macht ma sich klar, dass sich die Zahl icht ädert, we ma sie mit eier Zahl ζ = + j0 multipliiert.die Aforderuge a die Zahl ζ sid somit geau die selbe, wie die Aforderuge a die -te Eiheitswurel. Somit erhalte wir die Lösuge für die allgemeiere Gleichug u: ζ Allgemei ν = ζ ν Ma erhält uter Eischräkug des Defiitiosbereiches vo ζ ν Defiitio: -te Wurel Es gibt u jedem N geau verschiedee -te Wurel für jede komplexe Zahl a: ( ) ( )) ζ Allgemei ν = ϕa + 2πν ϕa + 2πν r a (cos + jsi ν 0 ν < Diese löse die Gleichug = a mit a = r a e jϕa. Fuktioetheorie V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

30 .24 Die Nullstelle der geometrische ihe.22 Kojugiert komplexe Nullstelle vo komplexe Polyome mit reelle Koeffiiete I diesem Abschitt geht es darum, wiso komplexe Nullstelle vo Polyome mit reelle Koeffiiete ueiader kojugiert auftrete. Gegebe ist das Polyom P (): P () = a + a + a a a + a 0 0 (75) mit C a R. Wir gehe davo aus dass ζ eie Nullstelle des Polyoms ist P (ζ) = 0. Da muss auch das kujugiert komplexe ζ des Polyoms eie Nullstelle sei we die Koeffiiete a reel sid P (ζ) = 0. Da usere veräderlieche Variable komplex ist, läßt sie sich auch als komplexer Zeiger darstelle. Wir erhalte: P (ζ) = a ζ + a ζ + a 2 ζ a 2 ζ 2 + a ζ + a 0 ζ 0 P ( ζ, ϕ) = a ζ (cos(ϕ ζ ) + jsi(ϕ ζ )) + a ζ (cos(ϕ ζ ( )) + jsi(ϕ ζ ( ))) + + a 2 ζ 2 (cos(ϕ ζ 2) + jsi(ϕ ζ 2)) + a ζ (cos(ϕ ζ ) + jsi(ϕ ζ )) + a 0 ζ 0 (cos(ϕ ζ 0) + jsi(ϕ ζ 0)) Wie uschwer u erkee ist, ka ma das Polyom als Überlagerug vo gewichtete Sius- ud Cosiusterme auffasse. Gehe wir mal davo aus wir sete ei beliebiges ζ = a + jb ei, ud erhalte als Ergebis P (ζ) = θ = c + jd. Was bekomme wir u wohl für P (ζ) = P (a jb) heraus? P (ζ) = P ( ζ, ϕ) = a ζ (cos(ϕ ζ ) jsi(ϕ ζ )) + a ζ (cos(ϕ ζ ( )) jsi(ϕ ζ ( ))) + + a 2 ζ 2 (cos(ϕ ζ 2) jsi(ϕ ζ 2)) + a ζ (cos(ϕ ζ ) jsi(ϕ ζ )) + a 0 ζ 0 (cos(ϕ ζ 0) jsi(ϕ ζ 0)) Somit ist P (ζ) das a der reelle Achse gespiegelte vo P (ζ) ud somit gilt P (ζ) = P (ζ) i userem Fall also P (ζ) = θ = c jd. Ist u P (ζ) = 0, so muß auch P (ζ) = 0 gelte. ζ ζ Auf der like Seite befidet sich eie Abbildug i welcher die eiele Terme für ei festes ζ überlagert dargestellt sid. Dabei ist ζ als eie Nullstelle gewählt worde. Wie ma sieht ist da auch P (ζ) = 0. P () = Ma köte auch sage, we eie Spiegelug eie Multiplikatio ist, da ist sie distributiv. Das bedeutet so viel wie: Ich ka etweder erst alle a ζ überlagert male, ud da spiegel, oder aber alle gespiegelte a ζ überlager ud ich bekomme das selbe Ergebis. Ud das icht ur für die Nullstelle. Somit erhalte wir eie Symmetrie..23 Symmetrie komplexer polyome mit reelle koeffiiete Defiitio: Symmetrie komplexer Polyome mit reelle koeffiiete Jedes Polyome mit reelle koeffiiete ist spiegelsymmetrisch ur reelle Achse. Fuktioetheorie V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

31 .25 Die Nullstelle beliebiger Polyome.24 Die Nullstelle der geometrische ihe Zum Verstädis komplexer Polyome fide ich die Betrachtug der geometrische ihe iteressat: P () = N Wo köte hier wohl die Nullstelle liege? Wir wechsel die Perspektive, um us ei aschauliches Bild mache u köe: N P () = (76) P (r, ϕ) = =0 N r cos(ϕ) + jr si(ϕ) (77) Damit läßt sich die Aufgabe ach der Nullstellesuche umformuliere i: =0 P (r, ϕ) = 0 (78) N N r cos(ϕ) = 0 r si(ϕ) = 0 (79) =0 Wir köe die Gleichug 77 also als Additio vo Zeiger auffasse desse Argumet sich liear erhöht. We wir also bei das Argumet ϕ habe, da habe wir bei das Argumet ϕ. Da der erste Zeiger 0 im Koordiateursprug begit, ud wir die Bedigug P () = 0 erfülle wolle müsse Afags ud Edpukte der Zeigersumme gleich sei. Wir habe es also mit eier geschlossee Kurfe u tue. Da die Vektoradditio kummutativ ist, die ihefolge der Additio der eiele Therme das Gesamtergebis also icht beeiflusst, geügt die Betrachtug eier eiele geschlossee Kurfe aus alle Permutatioe welche sich aus gleichem Argumet ϕ ud gleichem Radius r bilde lasse. j j 0 2π 0 2π j j F () = 0 0 2π F () = π =0 2π 2π Die Exakte Lösug beüglich der Nullstelle der geometrische ihe erhalte wir durch die bereits erläterte Umstellug: ( ) = + Wir erhalte: j 2π 0 j F () = π 2π + = 0 + = j 2π 0 j F () = π 2π Alle Nullstelle der geometrische ihe erhält ma also aus der Kreisteilugsgleichug. Dabei fällt jeweils die als Nullstelle heraus, weil sie ebefals als Nullstelle des Neers auftritt. Defiitiosbereich sid die Nullstelle als rote Pfeile eigeeichet. j j F () = π 0 2π 2π Fuktioetheorie 3-59 V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

32 .25. Abspalte eier Nullstelle.25 Die Nullstelle beliebiger Polyome.25. Abspalte eier Nullstelle Defiitio: Abspalte eier Nullstelle, R. Descartes 637 Ei beliebiges Polyom P () der Form P () = a + a a a + a 0 mit dem Grad N ka als Produkt aus eiem weite Polyom g() mit dem Grad ud eier Nullstelle 0 wie folgt geschriebe werde: Mit a,, 0 C P () = ( 0 )P () Wir gehe vo der folgede Gleichug mit P ( 0 ) = 0 aus: P () = P () P ( 0 ) = (a + a a a + a 0 ) (a 0 + a a a 0 + a 0 ) = a ( 0 ) + a ( 0 ) a 2 ( 2 0) 2 + a ( 0) (Nebebei bemerkt reduiert sich die Aahl der Gewichtugsfaktore we ma eie Nullstelle 0 ket um eis, ämlich um a 0.) Wir eige u, dass vo jedem Faktor k 0 k ei Faktor ( 0) abgespalte werde ka. Hierfür führe wir die Polyomdivisio (k k 0 ) 0 durch ud eige, das diese immer ohe st aufgeht. ( k k 0 ) : ( 0 ) = (k ) + 0 (k 2) k k 0 (80) ( k k 0 ) 0 + k 0 k 0 (82) ( k 0 k 2 2 0) Demach gilt: (8) (83) 0 + k k 0 (84). 0 + k (k 2) k 2 0 k 0 (86) ( k (k 2) k 2 0 k (k ) k 0 ) (87) 0 + k (k ) k 0 k 0 (88) 0 + k (k ) k 0 k 0 (89) 0 (90) ( k k 0 ) = ( 0 )( (k ) + 0 (k 2) (k 3) k 3 0 x + k 2 0 x + k 0 ) = ( 0 )g k (, 0 ) Dabei ist das Polyom g k (, 0 ) vom Grad k. Es gilt k N + ud g (, 0 ) =. Für user Polyom P () erhalte wir u: P () P ( 0 ) = a ( 0 ) + a ( 0 ) a 2 ( 2 2 0) + a ( 0) = ( 0 )(a g (, 0 ) + a g (, 0 ) + a 2 g 2 (, 0 ) a 2 g 2 (, 0 ) + a ) = ( 0 )P (, 0 ) (85) (9) Fuktioetheorie V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

33 .25. Abspalte eier Nullstelle Weil die gewichtete Summe aus Polyome vom Typ g (, 0 ) höchstes vom Grad ist, habe wir die Behauptug aus der Defiitio beweise. Ma eriere sich bitte a diese Beweis im Zusammehag mit dem Cauchy-Itegralsat. Ei weiterer iteressater Aspekt ist dass sich hierraus umittelbar der fudametalsat der Algebra ergibt: Defiitio: Fudametalsat der Algebra Über dem Körper der komplexe Zahle ka ma jedes Polyom -Te grades als ei Produkt aus Liearfaktore der From ( 0,k ) schreibe. Dabei ist 0,k die k-te Nullstelle des Polyoms. (Liearfaktorerlegug) P () = ( 0,k ) (92) k= Diese Schreibweise lässt eie weitere geometrische Ierprätatio u: P () = ( 0,k ) = R R 2... R e j(φ+φ2+...+φ) (93) k= Ma ka also das Polyom P () a der Stelle auswerte, i dem ma alle Abstäde wische de Nullstelle ud dem Pukt miteiader multipliiert, ud alle Wikel aus de Vektore 0,k aufsummiert. R φ 0, R 2 φ 2 0,2 0,3 R 4 R 3 φ 4 φ 3 0,4 φ φ 2 φ 3 φ 4 R R 2 R 3 R 4 f() Fuktioetheorie V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

34 .26 Differeiere.26 Differeiere Beim Differeiere sucht ma ach der Äderugsrate oder der Tagete eier Fuktio f i eiem Pukt 0. Um diese Tagete fehlerlos u bereche, schaut ma sich uächst eie Näherug a die Tagete im Pukt 0 a. Diese Näherug ist die Sekate ud führt auf dem direkte Weg u de fiite Differee. Defiitio: Die etrierte fiite Differe Die etrierte fiite Differe eier Fuktio f im Pukt 0 ist gegebe durch: f ( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 ) 2 (94) f( 0 + ) f( 0 ) f( 0 ) Als Beispiel ehme wir die Fuktio f() = a ud wir bereche die Ableitug a eier beliebige stelle 0. Wir erhalte: f ( 0 ) = a ( 0 + ) a ( 0 ) 2 Nach dem biomsche Lehrsat erhalte wir: (95) f ( 0 ) = (96) a ( ( ) k=0 k k 0 ( ) k) a ( ( ) k=0 k k 0 ( ) k) 2 (97) We wir die Summe ausschreibe, so sehe wir dass sich alle Terme mit geradem k aufhebe. f ( 0 ) = a{ 0 (( ) 0 ( ) 0 ) + ( ) 0 (( ) ( ) ) + ( ) (( ) 2 ( ) 2 ) +...} 2 (98) Durch Weglasse aller Nullglieder erhalte wir: f ( 0 ) = 2a{( ) 0 ( ) + ( ) ( ) 3 + ( ) ( ) } 2 (99) Ud durch Küre ergibt sich: ( ) { ( ) ( ) f ( 0 ) = a 0 + a 3 0 ( ) 2 + a 3 5 ( ) f ( 0 ) = a 5 0 ( ) } (00) 0 + O(, ( ) 2 ) (0) f ( 0 ) = a 0 + O(, ( ) 2 ) (02) Wie wir sehe erhalte wir eie quadratische Fehlerfuktio O(, ( ) 2 ). Es gilt für ei fests : lim 0 O(, ( )2 ) = 0 (03) Fuktioetheorie V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

35 .27 Differeiere eier usammegesette Fuktio Natürlich lasse sich auch höhere Ableituge defiiere. So kommt ma u Beispiel auf die weite etrale fiite Differe durch Eisete i 94: f ( 0 ) = f ( 0 + ) f ( 0 ) 2 Für die -te Ableitug der Fuktio f( 0 ) schreibe wir f ( 0 ). = f( ) 2f( 0 ) + f( 0 2 ) 4( ) 2 (04).27 Differeiere eier usammegesette Fuktio Um die Parametrisierug komplexer Kurveitegrale u verstehe ist die Ketteregel sehr ütlich. Ud war geht es um das Differeiere eier usammegesette Fuktio f() = u(v()). Uter Verwedug vo 94 erhalte wir: f ( 0 ) = u(v( 0 + )) u(v( 0 )) 2 (05) Zuächst schaue wir us de Term v( 0 + ) geauer a. Ud war ka der Term geschriebe werde als: { } v( 0 + ) = v( 0 ) + v ( 0 ) + v () ( 0 )( ) (06) v( 0 + ) = v( 0 ) + v ( 0 ) + O v (, ) mit lim 0 O v(, ) = 0 (07) =2 Durch die gleiche Vorgehesweise erhalte wir: v(0) + v (0) v(0 + ) v(0) v(0) v (0) v(0 ) v( 0 ) = v( 0 ) v ( 0 ) + O v (, ) (08) mit lim 0 O v(, ) = 0 (09) Wie ma sieht ka ma de Wert a der Stelle v( 0 ) durch eie Summe ausdrücke. Dabei breche wir ach der lieare Näherug ab ud fasse de st i dem Fehlerterm O v (, ± ) usamme Nu betrachte wir de Term u(v( 0 + )): ( { }) u(v( 0 + )) = u v( 0 ) + v ( 0 ) + v () ( 0 )( ) Wir substituiere die Terme: Wir erhalte: =2 (0) { } v ( 0 ) + v () ( 0 )( ) = 2+ () =2 { } v ( 0 ) v () ( 0 )( ) = 2 (2) =2 u(v( 0 + )) = u (v( 0 ) + 2+ ) (3) u(v( 0 )) = u (v( 0 ) 2 ) (4) Fuktioetheorie V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

36 .27 Differeiere eier usammegesette Fuktio Das köe wir u wieder als Summe schreibe: { } u(v( 0 + )) = u (v( 0 ) + 2+ ) = u(v( 0 )) + u (v( 0 )) 2+ + u () (v( 0 )) ( 2+ ) { } u(v( 0 )) = u (v( 0 ) 2 ) = u(v( 0 )) u (v( 0 )) 2 + u () (v( 0 )) ( 2 ) Durch substitutio erhalte wir: =2 =2 (5) (6) u(v( 0 + )) = u(v( 0 )) + u (v( 0 ))v ( 0 ) + (7) { } { ( { }) } u (v( 0 )) v () ( 0 )( ) + u () (v( 0 )) v ( 0 ) + v () ( 0 )( ) (8) =2 =2 u(v( 0 )) = u(v( 0 )) u (v( 0 ))v ( 0 ) + (9) { } { ( { }) } u (v( 0 )) v () ( 0 )( ) + u () (v( 0 )) v ( 0 ) + v () ( 0 )( ) =2 =2 =2 =2 (20) Damit erhalte wir dir Formel für die verkettete Ableitug wobei wir die Fehlerterme usammegefasst habe: f ( 0 ) = u(v( 0 + )) u(v( 0 )) 2 = u (v( 0 ))v ( 0 ) + O( ) (2) Auch hier gilt für de Fehlerterm lim 0 O( ) = 0. Defiitio: Differeiere verketteter Fuktioe Eie verkettete Fuktio der Form f() = u(v()) ka ach der gel: f ( 0 ) = u (v( 0 ))v ( 0 ) (22) abgeleitet werde. Fuktioetheorie V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207

37 .28 Komplexe Differeierbarkeit.28 Komplexe Differeierbarkeit komplexe ist die Ableitug eier Fuktio äquivalet ur Ableitug im elle defiiert. Es geht darum für eie diskrete Pukt a C eie Zahl l C u fide, so dass gilt: f() = f(a) + l( a) + r() (23) r() lim a a = 0 (24) Da gilt: l = f (a). Besoders wichtig ist, dass für jede Pukt im Defiitiosbereich der Fuktio (hier am Beispiel a) ur geau eie Zahl l existiert, ud dass l C gilt. Aus diesem Grud schreibt ma auch l(a). Der st r() geht streg mooto gege 0 für die Aäherug aus eier beliebige Richtug a a Log() -a a f() f()-f(a) f(a) Log ()=/ f() f(a) ( a) f (a)=l Dadurch ergibt sich die defiitio der Ableitug: Defiitio: Komplexe Differeierbarkeit Eie komplexe Fuktio heißt ableitbar i a we der Grewert: f() f(a) lim a a, a C existiert ud eideutig ist. Weil die Ableitug eier Fuktio i eiem Pukt a geau eie komplexe Zahl l = f (a) ist, ist die Fuktioetheorie V 0.0 B 0.0, 6. Deember 207