1 Permutationen und Kombinationen

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1 Permutatioe ud Kombiatioe 3 Permutatioe ud Kombiatioe I diesem Kapitel beschäftige wir us mit der Auswahl vo Teilmege vo edliche Mege, dabei isbesodere mit der Frage, wie viele Möglicheite es prizipiell gibt, solche Auswahle zu treffe. Dabei uterscheide wir bei der Auswahl, ob Elemete ur eimal oder wiederholt ausgewählt werde öe ud ob die Reihefolge der Auswahl eie Rolle spielt. Nach dem Durcharbeite dieses Kapitels sollte Sie Lerziele Permutatioe mit ud ohe Wiederholug ee ud wisse, wie dere Azahl bestimmt wird, Darstellugsmethode für Permutatioe ee ud awede öe, die Stirligzahle erster Art ud Beispiele für dere Verwedug erläre öe, Kombiatioe mit ud ohe Wiederholug ee ud wisse, wie dere Azahl bestimmt wird, die Multiomialoeffiziete ud eiige ihrer elemetare Eigeschafte ee, herleite ud awede öe.. Permutatioe Die Aordug der Elemete bei eier aufzählede Darstellug eier edliche Mege ist uerheblich. Es gilt z.b. {,, 3 } { 3,, }. Falls die Aordug eie Rolle spielt, da wolle wir icht vo Mege, soder vo Folge spreche. Die Folge,, 3 besteht aus de Zahle, ud 3 i dieser Reihefolge ud ist verschiede vo der Folge 3,,, die aus de Zahle 3, ud i dieser Reihefolge besteht. I Folge öe Elemete auch mehrfach voromme: So ist,,,, 3, eie Folge, verschiede vo der Folge,,,,, 3. Allgemei wolle wir edliche Folge x,x,...,x, 0, betrachte, wobei die x i Elemete irgedeier - elemetige Mege M sei solle: x i M, i, M. Für 0 ist die Folge leer:. Der Eifachheit halber werde wir eie Mege M {,...,} auch eifach als M [,] otiere oder allgemeier für a, b N 0 mit a b astelle vo M {i N 0 a i b} auch M [a, b ] schreibe. K.-U. Witt, Elemetare Kombiatori für die Iformati, DOI 0.007/ _, Spriger Fachmedie Wiesbade 03

2 4 Permutatioe.. Permutatioe ohe Wiederholug -Permutatio ohe Wiederholug Fallede Fatorielle Wir betrachte zuächst die Auswahl vo Folge aus eier edliche Mege, i der jeweils ei Elemet höchstes eimal voromme darf. Defiitio. Sei M [,] ud N 0 mit 0. Eie - Permutatio vo M ist eie Folge x,...,x mit x i M ud x i x j für i j, mit i, j. Wir wolle mit P (, ) die Azahl der - Permutatioe bezeiche, die aus eier -elemetige Mege gebildet werde öe. Eie -Permutatio vo M etspricht eier geordete Ziehug vo Elemete aus M ohe Zurüclege: Die Reihefolge der Auswahl ist vo Bedeutug, ud ei eimal ausgewähltes Elemet a icht och eimal ausgewählt werde. Beispiel. Es sei M [, 3 ]. Die eizige 0-Permutatio ist die leere Folge. Es gilt also: P (3, 0). Im Übrige gilt für jedes N 0 : P (, 0). Die -Permutatioe vo M sid:, ud 3. Es gilt also: P (3, ) 3. Im Übrige gilt für jedes N 0 : P (, ). Die -Permutatioe vo M sid:,,, 3,,,, 3, 3, ud 3,. Es ist also: P (3, ) 6. Die 3-Permutatioe vo M sid:,, 3,, 3,,,, 3,, 3,, 3,, ud 3,,. Es ist also: P (3, 3) 6. Satz. Sei M [,] ud N 0 mit 0, da gilt P (, ) ( )( )...( +) i ( i) i +! ( )! i0 (.) Beweis Sei x,x,...,x eie -Permutatio vo M. Da alle x i, i, verschiede sid, gilt: Es gibt Möglicheite, x aus M auszuwähle, daach gibt es ( ) Möglicheite, x aus M auszuwähle, usw. Allgemei gibt es ( i +)Möglicheite x i auszuwähle für i. Das Produt ( 0)( )( )...( ( )) ( )( )...( +) (.) et ma die fallede Fatorielle vo ud spricht hoch falled. Ma setzt 0 für alle N 0. Es gilt! (.3) ( ) Zur Defiitio ud Eigeschafte des Produtsymbols siehe Ahag.

3 Permutatioe ud Kombiatioe 5 sowie P (, ) (.4) Etspreched et ma das Produt ( +0)( +)( +)...( +( )) ( +)( +)...( + ) (.5) die steigede Fatorielle vo ud spricht hoch steiged. Ma setzt 0 für alle N 0. Es gilt Steigede Fatorielle ( + ) (.6) Fallede ud steigede Fatorielle spiele eie wichtige Rolle i der disrete Mathemati, darauf werde wir a eiige Stelle des Buches och zurücomme. I der Literatur fidet ma für die fallede Fatorielle auch die Notatio ( ) sowie für die steigede Fatorielle auch die Notatio ( ). Ei Spezialfall vo Permutatioe eier -elemetige Mege sid die - Permutatioe. Aus obigem Satz ud (.3) folgt: Folgerug. Es gilt für alle N 0. P (, )! Jede -Permutatio x,...,x eier Mege M mit Elemete a als eie bijetive Abbildug vo M auf sich selbst betrachtet werde. Deshalb gilt Folgerug. Sei M eie Mege mit M. Da ist { π π : M M,π bijetiv }! d.h. die Azahl der mögliche bijetive Abbilduge eier -elemetige Mege auf sich ist!. Übugsaufgabe. Beweise Sie Folgerug.!

4 6 Permutatioe Die Faultätsfutio! ist eie sehr star wachsede Futio. Eie Vorstellug ihres Wachstumsverhalte erhält ma mithilfe der Stirlig-Formel! π e Stirlig- Formel Euler-Zahl wobei e lim die Euler-Zahl ist. Eie Variate vo Permutatioe ohe Wiederholug ist, we die Mege M [,] partitioiert wird i Teilmege (Äquivalezlasse, siehe Ahag) M i, i. Es gilt also: M i M i mit M i M j, i j, i, j ud damit i, mit i M i, i i Beispiel. Wie viele verschiedee Buchstabeombiatioe der Läge lasse sich aus de Buchstabe des Wortes MISSISSIPPI bilde? Wir fasse alle Buchstabe i eier Multimege zusamme: M { I,I,I,I,M,P,P,S,S,S,S } Diese partitioiere wir i vier Teilmege, die jeweils die wiederholt vorommede Buchstabe ethalte. M { I,I,I,I }, M { S, S, S, S }, M 3 { P, P }, M 4 {M} Die Azahl verschiedeer Buchstabeombiatioe der Läge, i der jeder Buchstabe höchstes eimal voromme darf, ist P (, )!, i userem Fall also!. Gibt es u i Exemplare für eie Buchstabe a i,so gibt es P ( i, i ) i!mögliche Reihefolge (Permutatioe ohe Wiederholug) diese auszuwähle. Für eie Buchstabeombiatio der Läge ist es aber uerheblich, i welcher Reihefolge die i Exemplare des Buchstabes a i gewählt werde, sie ädert sich dadurch icht. Diese Überleguguge führe zum Satz. Die Azahl P (;,,..., ) vo Permutatioe vo Elemete, vo dee jeweils,,...,,, uuterscheidbar sid, so dass i i ist, ist P (;,,..., )! i ( i!)

5 Permutatioe ud Kombiatioe 7 Beispiel.3 (Forts. Beispiel.) MISSISSIPPI lasse sich also P (; 4, 4,, ) Aus de Buchstabe des Wortes! 4! 4!!! verschiedee Buchstabeombiatioe der Läge bilde. Im Abschitt.3. werde wir die Zahle P (;,,..., ) och aus eiem adere Zusammehag herleite... Stirligzahle erster Art -Permutatio eier Mege M [,], d.h. Bijetioe π vo M auf sich, öe wie folgt veraschaulicht werde: 3... π() π() π(3)...π ( ) π() Ei Elemet i mit der Eigeschaft π(i) i heißt Fixput vo π. Wir betrachte als Beispiel die folgede 0-Permutatio: (.7) Fixput eier Permutatio 3 ist ei Fixput dieser Permutatio. We ma eie Permutatio π mehrmals hitereiader auf ei Elemet awedet, etstehe Zyel. Es gilt z.b. π(π(π(π()))) π(π(π(5))) π(π()) π(8) Die Elemete, 5,, 8 bilde also eie Zyel. Dies otiere wir mit 5 8 Dieser Zyel ethält vier Elemete, ma spricht vo eiem Zyel der Läge vier. Fixpute sid Zyel der Läge eis. Übugsaufgabe. Bestimme Sie die weitere Zyel vo π sowie dere Läge!

6 8 Permutatioe Defiitio. Sei π eie -Permutatio der Mege M [,]. Gilt für i,i,...,i M: π(i j )i j+ für j ud π(i )i, da heißt i i... i ei Zylus der Läge vo π. Zylus eier Permutatio Wir öe u jede -Permutatio als Produt vo Zyle schreibe. So wird z.b. usere Beispiel-Permutatio eideutig durch π beschriebe. Dabei ommt es icht auf die Reihefolge a, i der die Zyel aufgeführt werde, ud ierhalb eies Zylus öe die Elemete zylisch ach rechts oder lis verschobe werde. So a die Beispiel-Permutatio auch als π geschriebe werde, währed die Darstellug Stirligzahle erster Art icht orret ist. Es ist umittelbar eisichtig, dass jeder Zylus der Läge auf Arte dargestellt werde a, da es geau verschiedee Verschiebuge um eie Positio gibt. Wir wolle u utersuche, wie viele -Permutatioe es mit Zyle gibt. Wir ee diese Azahl s,, eie adere i der Literatur gebräuchliche Notatio ist. Diese Zahle heiße Stirligzahle erster Art. Übugsaufgabe.3 Überlege Sie, wie groß s, sowie s, sid! Wir betrachte zuächst och vier weitere Spezialfälle ud gebe da ach eiem Beispiel eie allgemeie Formel für die Berechug vo s, a. Die vier Fälle sid: () Für >gilt s, 0, de eie -Permutatio a höchstes Zyle habe. () Für >0 gilt s,0 0, de da 0 ist, müsse die Elemete i midestes eiem Zylus liege. (3) Für 0 wird s 0,0 gesetzt. (4) Für <0 wird s, 0für alle 0gesetzt.

7 Permutatioe ud Kombiatioe 9 Beispiel.4 Gebe Sie alle 4-Permutatioe mit 3 Zyle a! Ma a diese Permutatioe bestimme, idem ma sie i zwei Klasse eiteilt. I der erste Klasse betrachte wir alle Permutatioe, bei dee das Elemet 4 alleie eie Zyel bildet: (.8) I der zweite Klasse sid die Permutatioe, i dee das Elemet 4 zu jeweils eiem der 3 Zyle der restliche Elemete hizugefügt wird: (.9) Die Azahl der 4-Permutatioe mit 3 Zyle ist also s 4,3 6. Die Idee, die Permutatioe i diese beide Klasse eizuteile, ist die Grudlage für de Beweis des folgede Satzes. Satz.3 Für, N mit gilt bzw. mit der adere Notatio s, s, +( ) s, (.0) +( ) Beweis Um die Azahl der -Permutatioe mit Zyle zu bestimme, teile wir diese i zwei Klasse ei. I der eie Klasse sid alle -Permutatioe mit Zyle, zu dee jeweils der Zylus hizugefügt wird. Die Azahl der so etstehede -Permutatioe mit Zyle ist deshalb gleich s,. Zur adere Klasse gehöre alle - Permutatioe mit Zyle, i dee das Elemet jeweils zu eiem Zylus hizugefügt wird. Da bei de Zyle die Reihefolge wichtig ist, gibt es für jede der Permutatioe Möglicheite, das Elemet hizuzufüge. Diese Klasse ethält somit ( ) s, Elemete. Da die beide Klasse disjut sid, folgt die behauptete Formel. Übugsaufgabe.4 Vollziehe Sie och eimal ach, dass die ombiatorische Überleguge im Beweis im Beispiel.4 oret agewedet werde: Die Permutatioe i der Zeile (.8) bilde die erste Klasse, ud die Permutatioe i der Zeile (.9) bilde die Permutatioe der zweite Klasse.

8 0 Permutatioe Stirlig- Dreiec erster Art Die Stirligzahle erster Art bilde das sogeate Stirlig-Dreiec erster Art: Dabei dee wir us die Zeile des Dreiecs vo obe ach ute mit 0,,,... ud die Eiträge i jeder Zeile mit 0,,,..., durchummeriert. Die Formel (.0) spiegelt da wider, dass sich der Wert a der -te Stelle i der Zeile ergibt, idem ma i der Zeile darüber de Wert lis davo mit dem ( )-fache des Wertes rechts davo addiert. So ergibt sich z.b. der Wert 35 a der dritte Stelle i der Zeile 5, also s 5,3, idem ma de Wert s 4, lis darüber mit dem 5 4-fache des Wertes s 4,3 6 rechts darüber addiert: Übugsaufgabe.5 () Bereche Sie s 5,4 ud bestimme Sie alle 5-Partitioe mit 4 Zyle, idem Sie wie im Beweis vo Satz.3 die beide Klasse agebe! () Zeige Sie, dass für s, gilt! (3) Zeige Sie, dass für ( ) s, ( )! gilt! (4) Zeige Sie, dass für 0! gilt! 0 s,

9 Permutatioe ud Kombiatioe..3 Typ eier Permutatio Defiitio.3 Sei π eie Permutatio vo M [,], b (π) die Azahl Typ eier Permutatio der Zyle vo π mit der Läge, ud b(π) sei die Azahl der Zyle vo π. Da heißt b(π) b(π)... b(π) der Typ vo π. Beispiel.5 Der Typ der Permutatio (.7) ist Alle Permutatioe im Beispiel.4 habe de Typ Aus der Defiitio folgt umittelbar Folgerug.3 Es sei π eie Permutatio vo M [,]. Da gilt a) b (π), b) b (π) b(π), c) b (π). Satz.4 Die Azahl der Permutatioe der Mege M [,]vomtyp b b... b ist gleich! b! b!... b! b b... b (.) Beweis Eie Permutatio π vom Typ b(π) b(π)... b(π) hat folgede schematische Gestalt, we wir die Zyle der Größe ach vo lis ach rechts orde: ( x )(x)...( x ) ( xx )(xx )...( xx )...( xx... x ) b b Es gibt isgesamt freie Plätze x, die mit Elemete vo M belegt werde öe. Dafür gibt es! viele Möglicheite. Wie wir bereits im vorige Abschitt überlegt habe, ist die Zyle-Darstellug eier Permutatio eierseits uabhägig vo der Reihefolge der Zyle ud adererseits uabhägig vo eier zylische Verschiebug ierhalb der Zyle. Wir wolle zwei Permutatioe äquivalet ee, we sie sich ur i der Vertauschug vo Zyle gleicher Läge ud durch zylische Verschiebug ihrer Elemete uterscheide. Für eie Zylus der Läge gibt es b!mögliche Reihefolge, ud ei Zylus der Läge a -mal zylisch verschobe werde. Für jede Zylus der Läge gibt es also geau b! b verschiedee Aorduge ierhalb eier Äquivalezlasse. Die Azahl der Der Ausdruc b(π) b(π)... b(π) ist icht als Produt vo Poteze i bi(π), i, zu verstehe, soder als formale Notatio für de Typ der Permutatio π. b

10 Permutatioe Elemete eier Äquivalezlasse eier Permutatio vom Typ b b... b ist also gleich! b! b!... b! b b... b was zu zeige war. Folgerug.4 s, b) Des Weitere gilt: a) Für -Permutatioe der Mege M [,] gilt: ( b,...,b ) N 0 P b P b! b! b!... b! b b... b! ( b,...,b ) N 0 P b! b! b!... b! b b... b Beweis a) Der Beweis erfolgt aalog zum Beweis vo Satz.4, we ma berücsichtigt, dass jetzt ur die Permutatioe mit Zyle betrachtet werde. b) Aus Übug.5 (4) wisse wir, dass! 0 s, gilt. Hieraus folgt mit a) umittelbar die Behauptug. Beispiel.6 Wir bereche s 6, mithilfe vo Folgerug.4: Für 6-Permutatioe mit Zyle gibt es die drei Type Damit ergibt sich (dabei führe wir 0! ud die Poteze mit dem Expoete 0 icht auf) s 6, 6!!! 5 + 6!!! 4 + 6!! 3 74 (vergleiche mit dem Stirlig-Dreiec erster Art). Übugsaufgabe.6 Bereche Sie mithilfe vo Folgerug.4 s 5,3!

11 Permutatioe ud Kombiatioe 3..4 Permutatioe mit Wiederholug Wir wolle u Permutatioe mit Wiederholug betrachte, d.h. Elemete öe mehrfach i eier Permutatio voromme. Defiitio.4 Sei M eie Mege mit -Elemete. Jede Folge vo -Permutatio mit Elemete x,x,...,x aus M, x i M, i, 0, heißt eie (geordete) -Permutatio mit Wiederholug über M. Wir wolle mit Wiederholug P (, ) die Azahl der -Permutatioe mit Wiederholug bezeiche, die aus eier -elemetige Mege gebildet werde öe. Eie -Permutatio vo M mit Wiederholug etspricht eier geordete Ziehug vo Elemete aus M mit Zurüclege: Die Reihefolge der Auswahl ist vo Bedeutug, ud ausgewählte Elemete öe wiederholt ausgewählt werde. Ma überlegt leicht, dass es für jedes der Elemete eier -Permutatio über eier -elemetige Mege jeweils Möglicheite gibt. Somit gilt folgeder Satz. Satz.5 Die Azahl P (, ) der -Permutatioe mit Wiederholug über eier -elemetige Mege ist P (, ) Beispiel.7 Wie viele Buchstabefolge der Läge drei öe über dem deutsche Alphabet (ohe Uterscheidug vo Groß- ud Kleischreibug) gebildet werde? Für jede der drei Buchstabe habe wir 6 Möglicheite. Damit ergibt sich die Azahl der Wörter der Läge drei über eiem 6- buchstabige Alphabet als P (6, 3) Übugsaufgabe.7 () Wie viele Möglicheite gibt es, 3 (verschiedee) Spielarte zu mische? () Ei Passwort bestehe aus zwei Buchstabe gefolgt vo vier Ziffer, wobei Ziffer, aber icht Buchstabe mehrfach auftrete dürfe. Wie viele verschiedee Passwörter sid möglich?

12 4 Permutatioe..5 Zusammefassug Eie -Permutatio ist die Auswahl eier -elemetige Folge ohe Wiederholug aus eier -elemetige Mege, es gibt P (, )! ( )! solcher Permutatioe. Die fallede Fatorielle ist defiiert durch ( i ) i0 die steigede Fatorielle; durch ( + i ) i0 Bei Permutatioe mit Wiederholug öe Elemete mehr als eimal ausgewählt werde, es gibt P (, ) Permutatioe mit Wiederholug. Die Azahl vo Permutatioe vo Elemete, vo dee jeweils,,...,,, uuterscheidbar sid, so dass i i ist, ist P (;,,..., )! i ( i!) -Permutatioe öe als Mege vo Zyle otiert werde. Die Azahle der -Permutatioe mit -Zyle sid durch die Stirligzahle erster Art festgelegt: s 0,0, s. s, +( ) s, Diese Reursio lässt sich als Stirlig-Dreiec erster Art veraschauliche. Ist b (π) die Azahl der Zyle eier -Permutatio π mit der Läge, da heißt b(π) b(π)... b(π) der Typ vo π. Die Azahl der -Permutatioe vom Typ b b... b ist gleich! b! b!... b! b b... b

13 Permutatioe ud Kombiatioe 5. Kombiatioe Bei de bisher betrachtete Permutatioe spielte die Reihefolge der Elemete eie Rolle. Zwei Permutatioe mit deselbe Elemete, aber i uterschiedlicher Reihefolge, sid verschiede. We wir vo der Ordug der Elemete absehe, die Reihefolge also eie Rolle spielt, spreche wir vo ugeordete Permutatioe oder vo Kombiatioe. Eie Kombiatio stelle wir deshalb icht als Folge vo Elemete über eier Mege M dar, soder als Teilmege über M... Kombiatioe ohe Wiederholug Defiitio.5 Sei M [,] ud N 0,0. Eie -Kom- -Kombiatio biatio (ohe Wiederholug) über M ist eie Teilmege vo M mit Elemete. Mit K(, ) bezeiche wir die Azahl der -Kombiatioe, ohe Wiederholug die über der Mege M gebildet werde öe. Beispiel.8 Beim Lottospiel 6 aus 49 bedeutet für die Spieler die Ziehug 3, 5, 7,, 48, 3 dasselbe wie die Ziehug 7,, 5, 48, 3, 3, da die Reihefolge der gezogee Zahle für die Gewiausschüttug eie Rolle spielt. Wir öe also diese ud alle mögliche weitere Ziehuge mit diese Zahle als Mege darstelle: { 5,, 3, 7, 3, 48 }. Ma a eie -Kombiatio { x,...,x } über eier -elemetige Mege auch als eie Äquivalezlasse betrachte, die alle -Permutatioe dieser Elemete ethält. Im Beispiel.8 ist { 5,, 3, 7, 3, 48 } die Äquivalezlasse, die als Elemete alle Folge, die aus diese Elemete gebildet werde öe, ethält. Die Azahl der Elemete eier solche Äquivalezlasse ist P (, )!. Aus dieser Überlegug öe wir die Azahl der -Kombiatioe K(, ) über eier -elemetige Mege ableite: Es gibt P (, ) geordete - Permutatioe ohe Wiederholuge, ud zu jeder dieser gibt es P (, ) Permutatioe, die wir zu eier Äquivalezlasse, der etsprechede - Kombiatio, zusammefasse. Es gilt also: P (, ) K(, ) P (, ) (.) Damit gilt der Satz.6 Die Azahl K(, ) vo Kombiatioe über eier -elemetige Mege wird durch bestimmt. K(, ) P (, ) P (, )!! ( )!! (.3)

14 6 Kombiatioe Übugsaufgabe.8 a) Vollziehe Sie die obige Beweisidee für de Satz.6 ahad der Bestimmug vo K(4, 3) ach! b) Versuche Sie eie formale Beweis für Satz.6! Biomialoeffiziet De Ausdruc (.3) et ma auch Biomialoeffiziet ud otiert ih wie folgt:!! ( )! (.4)! Ma spricht über. Auf eiige grudlegede Eigeschafte ud Verwedugsmoglicheite des Biomialoeffiziete gehe wir im Kapitel.3 ei. Beispiel.9 Wie viele Möglicheite gibt es beim Lotto, 6 Zahle aus 49 zu ziehe? Es gilt: K(49, 6) 49 49! 6 6! (49 6)! 49! 6! 43! ! Somit ist die Wahrscheilicheit, sechs Richtige zu tippe : Aus Satz. ud Gleichug (.4) folgt umittelbar P (, )!.. Kombiatioe mit Wiederholug -Kombiatio mit Wiederholug Wir wolle bei Kombiatioe jetzt auch Wiederholuge zulasse, d.h. wir betrachte -elemetige Multiteilmege über -elemetige Mege M. Die Elemete vo M öe also wiederholt auf die Teilmege verteilt werde. Um die Azahl K (, ) der -Kombiatioe mit Wiederholug über eier -elemetige Mege zu bestimme, überlege wir, dass wir beim Auswähle eier solche Kombiatio Elemete (alle, bis auf das letzte) wieder auswähle öe. We wir us vorstelle, dass diese Elemete vo voreherei zur Auswahl zur Verfügug stehe, da öe wir die Auswahl als Kombiatio ohe Zurüclege betrachte. Damit hätte wir eie - Kombiatio ohe Wiederholug über eier + -elemetige Mege. Somit ergibt sich mit der Festlegug (.4) ud Satz.6

15 Permutatioe ud Kombiatioe 7 Satz.7 Die Azahl K (, ) vo-kombiatioe mit Wiederholug (vo -Multimege) über eier -elemetige Mege M wird bestimmt durch + K ( + )! (, ) K( +,)! ( )!! Beweis Nebe der obige iformelle Begrüdug gebe wir och folgede formale Beweis für die Behauptug. Sei dazu A die Mege aller -Multimege über M [,], es ist also A K (, ). Sei B die Mege aller -Kombiatioe (ohe Wiederholug) über der Mege M {,...,,+,...,+ } [,+ ], damit ist B K( +,). We wir u zeige öe, dass A B ist, da ist die Behauptug gezeigt. A B gilt, we wir eie bijetive Abbildug f : A B agebe öe (siehe Abschitt 3..). Für { a,...,a } A mit a i a j für i<j(a i a j ist möglich, da die Mege { a,...,a } eie Multimege ist) defiiere wir f ({ a,...,a }){ a +0,a +,...,a +( ) } Es gilt: () a < a + <... < a +( ) +, d.h. es ist f ({ a,...,a }) B. () f ist offesichtlich eie totale Futio. (3) f ist offesichtlich ijetiv. (4) f ist surjetiv. Sei dazu { b,...,b } B. Damit ist b i <b j für i<j (b i b j ist icht möglich, da die Mege { b,...,b } eie Multimege ist) sowie b ud b +. Für { b,b,...,b ( ) } gilt da b b... b ( ), also { b,b,...,b ( ) } A, ud f ({ b,b,...,b ( ) }) { b,...,b }.Zu jedem Elemet aus B existiert also ei Urbild vo f i A, damit ist f surjetiv. Aus () - (4) folgt, dass f eie Bijetio vo A ach B ist, womit A B ud damit die Behauptug gezeigt ist. Beispiel.0 Wie viele Zahleombiatioe a ma mit vier Würfe würfel? Eiem Wurf etspricht die Auswahl eies Elemetes aus der Mege M [, 6 ], wobei die Reihefolge der gewählte Zahle eie Rolle spielt. Da bei jeder Auswahl außer bei der letzte alle Elemete wieder ausgewählt werde öe, hadelt es sich um eie (6, 4)-Kombiatio mit Wiederholug. Somit a ma mit vier Würfe K (6, 4) 9! 4 4 4! 5! 6

16 8 Multiomialoeffiziete Zahleombiatioe werfe. I Kapitel 4 omme wir och eimal auf die Bestimmug vo Kombiatioe zurüc. Übugsaufgabe.9 () Wie viele Möglicheite gibt es, im Mau-Mau-Spiel a vier MitspielerIe jeweils füf Karte auszugebe ud eie Karte aufzudece? () Wie viele verschiedee Mehrheitsbilduge gibt es i eier füföpfige Kommissio?..3 Zusammefassug Eie -Kombiatio ist die Auswahl eier -elemetige Teilmege aus eier -elemetige Mege, es gibt K(, )! solcher Kombiatioe. Sid als Teilmege Multimege erlaubt, d.h. dürfe Elemete mehrfach ausgewählt werde, spricht ma vo Kombiatioe mit Wiederholug. Es gibt K (, ) K( +, )! -Kombiatioe mit Wiederholug..3 Multiomialoeffiziete De Biomialoeffiziete habe wir bereits bei der Bestimmug der Azahl K(, ) der -Kombiatioe eier -elemetige Mege eegelert: K(, ). Der Biomialoeffiziet spielt i viele Abzähl- ud

17 Permutatioe ud Kombiatioe 9 Auswahlprobleme eie wichtige Rolle. Eiige seier grudlegede Eigeschafte ud Awedugsmöglicheite sowie seie Verallgemeierug zum Multiomialoeffiziete werde wir i diesem Kapitel betrachte..3. Biomialoeffiziete De Biomialoeffiziete habe wir bereits i der Festlegug (.4) eigeführt. Für 0 gilt!! ( )! (.5) Für de Fall, dass >oder <0ei sollte, was gelegetlich bei Summe voromme a, setze wir 0. Im Kapitel 6 werde wir Verallgemeieruge der Faultätsfutio ud damit auch des Biomialoeffiziete betrachte, bei dee R oder sogar C sei a. Im Folgede betrachte wir ei paar grudlegede Eigeschafte ud Verwedugsmöglicheite des Biomialoeffiziete. Es lässt sich mit der Defiitio (.5) umittelbar ausreche, dass für alle N 0 gilt:, 0,, Diese Gleichuge sid Spezialfälle der folgede symmetrische Idetität (.6) Symmetrische Idetität die sich ebefalls umittelbar aus (.5) ergibt. Die Biomialoeffiziete lasse sich wie folgt reursiv defiiere: 0 +, (.7)

18 0 Multiomialoeffiziete Weiterhi gelte die folgede Beziehuge: +, (.8), (.9) ( ) (.0) (.) Übugsaufgabe.0 Beweise Sie die Beziehuge (.7 -.)! Pascalsches Dreiec I der Aordug der Biomialoeffiziete i das sogeate Pascalsche Dreiec 3 spiegelt sich die Gleichug (.8) wider: Beat ach Blaise Pascal (63-66), Religiosphilosoph, Mathematier ud Physier. Scho i juge Jahre lieferte Pascal Beiträge zu Kegelschitte ud zur Kostrutio eier Rechemaschie. Weitere Arbeite beschäftigte sich mit Kombiatori ud Wahrscheilicheitstheorie, ud er verwedete das Prizip der vollstädige Idutio. Des Weitere wies er ach, dass der Luftdruc i der Höhe abimmt, ud er gilt als der größte religiöse Deer des euzeitliche Frareich.

19 Permutatioe ud Kombiatioe Tabelle. stellt das Dreiec als (utere) Dreiecsmatrix dar. Die Gleichug (.8) drüct aus, dass sich der Biomialoeffiziet i der ( + )-te Zeile ud der ( + )-te Spalte ergibt, we ma de i der -te Zeile ud de i der ( +)-te Spalte zu dem i der -te Zeile ud -te Spalte addiert Tabelle. Pascalsches Dreiec Die Bezeichug Biomialoeffiziet resultiert aus Überleguge die Biome (a + b), 0 (für a, b C) betreffed: Biom (a + b) 0 (a + b) a + b (a + b) a +ab + b Wie lässt sich allgemei die Potez (a + b) 3 a 3 +3a b +3ab + b 3. (a + b) (a + b)(a + b)... (a + b) -mal als Summe darstelle? Beim Ausmultipliziere dieses Produtes ergebe sich die Summade a b, 0. We ma die Fatore (a+b) mit,...,durchummeriert, a ma die a s aus der Fatore auswähle. Die Nummer der

20 Multiomialoeffiziete Biomische Formel ausgewählte Fatore bilde eie Teilmege (auf die Reihefolge ommt es icht a) vo [,]. Die Azahl dieser Teilmege ist K(, ), also gibt es Möglicheite, de Summade a b zu bilde. Aus diese Überleguge ergibt sich die sogeate Biomische Formel: Satz.8 Es gilt: (a + b) 0 a b 0 + a b b a b + a 0 b 0 a b (.) für alle a, b C ud alle N 0. Wege der Symmetrie des Biomialoeffiziete folgt umittelbar (a + b) a b (.3) 0 Aus der Biomische Formel folgt umittelbar für x C (x +) (+x) x (.4) ud hieraus für x (+) (.5) sowie für x 00 ( ) 0 ( ) ( ) ( )

21 Permutatioe ud Kombiatioe 3 Aus dieser Beziehug folgt umittelbar: 0 U + 0 G + Mithilfe der Gleichug (.5) lässt sich umittelbar ableite, dass für die Potezmege P(M), d.h. der Mege aller Teilmege, eier -elemetige Mege M gilt: P(M) De gemäß Festlegug (.4) ud Satz.6 folgt, dass die Azahl der Teilmege mit Elemete eier Mege mit Elemete gleich K(, ) ist. Die Azahl aller Teilmege vo M ergibt sich daraus wie folgt K(, 0) + K(, ) K(, ) 0 K(, ) Daraus ergibt sich, dass die Azahl der Teilmege eier -elemetige Mege gleich ist. Diese Zahl etspricht der Summe der Elemete i der -te Zeile im Pascalsche Dreiec (siehe Tabelle.). Die Teilmege A P(M) eier -elemetige Mege M { a,...,a } lasse sich durch Bitvetore x A (x,...,x ) {0, } repräsetiere: x i wird gleich gesetzt geau da, we a i A ist, alle adere Kompoete vo x werde 0 gesetzt. Aus dieser eieideutige Zuordug vo P(M) ud { 0, } folgt P(M) { 0, }, womit wir ebe dem obige Beweis mithilfe der biomische Formel eie weitere Beweis für diese Aussage gefude habe. Wir betrachte u die Summe der erste Elemete i der Spalte des Pascalsche Dreiecs (siehe Tabelle.), diese ist gleich i i +, 0 (.6) + Bitvetore bzw. we wir i 0für >isetze i +, 0 (.7) + i0 Die Summe der erste Elemete der -te Spalte ergebe also das Elemet i der + -te Zeile ud + -te Spalte.

22 4 Multiomialoeffiziete Übugsaufgabe. () Überprüfe Sie diese Gleichug ahad der Tabelle.! () Beweise Sie die Gleichug (.6) bzw. (.7)! Für de Spezialfall gilt eierseits i i + ud adererseits mit (.6) i i i Somit folgt für die Summe der erste atürliche Zahle die (beate) Gleichug: + ( +) i (.8) i Wir wolle Gleichug (.7) verwede, um die Summe i0 i der erste Qudratzahle zu bereche: Wir überlege zuächst, dass i (i i)+i i(i ) + i i(i ) + i i + i i ist. Mit (.7) folgt i i0 i0 i + i i0 i + i0 i ( +)( +) 6

23 Permutatioe ud Kombiatioe 5 Übugsaufgabe. Bestimme Sie mit der vorgestellte Methode die Summe erste Kubizahle ud zeige Sie, dass i 3 i i0 i0 i0 i3 der gilt! Zuächst stelle wir fest, dass gilt. Wege (.4) gilt ud somit Damit ergibt sich i 3 6 i0 i 3 i(i )(i ) + 3i(i ) + i i 3 +3i + i i0 i i! i i i i 3 3! +3! +! 3 i +6 3 i0 i + i0 i mithilfe (.7) ( + +) 4 ( +) i mithilfe (.8) i0 I Kapitel 6.4 werde wir die Summe der Quadratzahle ud die Summe der Kubizahle och mit adere Methode bestimme.

24 6 Multiomialoeffiziete Übugsaufgabe.3 () Zur Begrüßug gebe sich Persoe paarweise die Had. Wie viele Hädepaare habe sich isgesamt geschüttelt? () Es sei N 0. Beweise Sie, dass die Formel m m + m m gilt! Gebe Sie eie aschauliche Iterpretatio dieser Formel ahad des Pascalsche Dreiecs! m Wir wolle och eie weitere Beziehug für Biomialoeffiziete, die sogeate Vadermodesche Idetität, 4 betrachte. Dazu betrachte wir folgedes Beispiel: I eier Quizshow seie weibliche ud m mäliche Zuschauer. Wie viele Möglicheite hat die Moderatori, vo diese Kadidatie ud Kadidate für eie Fragerude auszuwähle? Wir öe die Azahl der Möglicheite auf zwei Arte bestimme. Da es sich offesichtlich um eie -Kombiatio aus m + Elemete hadelt, gilt gemäß Satz.6 ud Gleichug (.4) zum eie, dass es m + Vadermodesche Idetität Möglicheite gibt. Zum adere öe wir die Azahl der Möglicheite auch bestimme, idem wir die Auswahlmöglicheite für Kadidatie ud Kadidate getret betrachte: Es seie l der Ausgewählte weiblich. Für jedes l {0,,...,} gibt es l Möglicheite, Kadidatie auszuwähle, ud m l Möglicheite, Kadidate auszuwähle. Mit diese Überleguge ergebe sich also l0 m l l Möglicheite für die Auswahl vo Kadidatie ud Kadidate aus isgesamt m + Zuschauerie ud Zuschauer. 4 Beat ach Alexadre-Théophile Vadermode, , eiem frazösische Musier ud Mathematier, der sich u.a. mit der Lösug vo Gleichuge höhere Grades beschäftigte.

25 Permutatioe ud Kombiatioe 7 Aus diese Überleguge ergibt sich die Beziehug m + l0 m l l (.9) Im Kapitel 4 gebe wir eie Beweis der Vadermodsche Idetität mithilfe vo erzeugede Futioe..3. Multiomialoeffiziete Wir verallgemeier u Überleguge aus dem vorige Abschitt ud betrachte die Multiome t (a a t ) a j (.30) j Multiom für t ud 0; für t hadelt es sich um Biome, für die wir mit (.3) bzw. (.) Summedarstelluge ee. Das Ausmultipliziere vo (.30), d.h. vo (a a t ) (a a t )... (a a t ) -mal (.3) ergibt Summade der Art a a...a t t (.3) mit 0 j, j t, ud t j j, d.h. wir habe Fächer, aus dee jeweils eis der a j ausgewählt wird, isgesamt j -mal; die Gesamtazahl vo Auswahle muss atürlich gleich sei. Für die Summedarstellug 0,..., t P tj j f ;,..., t a a...a t t für (.30) müsse wir die Koeffiziete f ;,...,t bestimme, d.h. die Azahl, mit der der Summad a a...a t t aus de -Fächer gezoge werde a: Für a gibt es Möglicheite, für a da och

26 8 Multiomialoeffiziete Möglicheite, allgemei für a j, j t,... j j Möglicheite, d.h. schließlich für a t... t Möglicheite. Isgesamt ergibt sich daraus... t f ;,...,t... t t!!( )!!!!... t! ( )!!( )! durch Vergleich mit Satz. erhalte wir umittelbar ( )! 3!( 3 )!... (... t )! t!(... t )! Folgerug.5 Es gilt f ;,..., t P (;,..., t ) Hierauf hätte wir auch durch etsprechede Überleguge omme öe: We wir us (.3) asehe, da suche wir ach der Azahl vo Wörter der Läge, die mit de Buchstabe a,...,a t gebildet werde öe, wobei jeder Buchstabe a j geau j -mal vorommt (da wir es hier mit Zahle zu tu habe, fasse wir im Uterschied zu Wörter gleiche Fatore a j, die j -mal voromme, zu Poteze a j j zusamme ud sortiere diese Poteze so, dass a j vor a j+ steht. Für f ;,..., t bzw. für schreibe wir auch P (;,..., t ),..., t!!!... t! (.33)

27 Permutatioe ud Kombiatioe 9 Im Allgemeie erhalte wir die Multiomische Formel t a j,..., t j 0,..., t P tj j 0,..., t P tj j! t j j t j a a...a t t a j j (.34) Multiomische Formel Für de Spezialfall t erhalte wir, we wir setze, woraus sich ergibt: f ;, P (;, ),!!( )! (.35) K(, ) Ersetze wir hier durch +, da erhalte wir + P ( + ;, ), ( + )!!( )! + (.36) K (, ) Beispiel. Eie Familie mit sechs Persoe etschließt sich ach eiem Sotagsausflug, ei Fast Food-Restaurat zu besuche, welches vier Meüs abietet. Der Vater, Mathematier vo Beruf, a es icht lasse, seie Liebe auch a diesem Tag mit eier Aufgabe zu foppe: Wer mir sage a, wie viele Bestellmöglicheite wir habe, dem spediere ich eie Cola. Da es ichts Besseres zu tu gibt, ud alle wisse, wie sehr sich der Vater freut, überbrüce alle die Zeit, idem sie sich mit der Aufgabe beschäftige. Mutter H. ud Soh P. stelle die folgede Tabelle auf, i

28 30 Multiomialoeffiziete der i de Zeile beispielhaft Möglicheite für Meüauswahle der sechs Familiemitglieder eigetrage werde. Die Persoe bee sie dabei mit p,p,...,p 6, ud die vier Meüs otiere sie mit,, 3, 4. Ihre Tabelle sieht wie folgt aus: p p p 3 p 4 p 5 p Der Vater schaut zu ud sagt: Schö macht Ihr das! Aber wie behaltet Ihr de Überblic? Seid Ihr sicher, eie Möglicheit zu vergesse oder eie mehrfach aufzuführe? Ud wie lage braucht Ihr, bis die Tabelle fertig ist? Tochter S. ud der jügste Soh Da. habe zugeschaut ud bemere: Wir wolle doch ur die Azahl wisse, dabei spielt die Reihefolge eie Rolle, ud sie stelle eie Tabelle auf, i der jede Meüauswahl aufsteiged ach Meüummer sortiert aufgelistet ist:,,, 3, 4, 4,,,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 3, 3, 3, 3, 3, 3. Das hilft sicher, die Übersicht zu behalte, sagt der Vater, aber bis Ihr alles aufgeschriebe habt, ist user Esse lägst alt geworde geht s icht scheller? Da meldet sich Soh Do., der wie immer bei solche Momete still vor sich higegrübelt ud eiiges auf die bereitliegede Serviette geritzelt hat: Ich a das och eifacher aufschreibe, sagt er ud malt folgede Zeicheette auf:. x xx x xx xxx x xx x x xxxx xxxxxx. Eie Meüauswahl stelle ich als eie Zeicheette aus de zwei Zeiche x ud dar. I jeder Zeicheette omme geau eu Zeiche vor, ämlich geau sechs x ud geau drei. Die Zeicheette bestehe immer aus vier Gruppe vo x, die durch jeweils drei getret sid; die Azahl der x i der i-te Gruppe gibt a, wie oft das Meü i bestellt wird, erläutert Do. Ja, toll, moiere sich die adere, was brigt das de? Das ist..

29 Permutatioe ud Kombiatioe 3 doch eher omplizierter! Na ja, sagt Do., jetzt müsse wir ur och überlege, wie viele Zeicheette der Läge eu mit de beide Symbole x ud gebildet werde öe, i dee jeweils geau sechs x ud drei voromme. Prima, sagt der Vater, jetzt esse wir aber erst, ud da überlege wir weiter bei eiem Glas Cola, dass ich jedem vo Euch spediere. Diese leie Geschichte stellt ei Beispiel dar für de Zusammehag (.36) zwische Kombiatioe mit Wiederholug ud Permutatioe, i dee verschiedee Elemete mit eier jeweils festgelegte Häufigigeit voromme. Wir habe eierseits 4 Elemete, aus dee 6 Elemete mit Wiederholug gezoge werde, wobei die Reihefolge eie Rolle spielt. Mit Satz.7 ergebe sich 9 K (4, 6) 84 6 Möglicheite. Adererseits habe wir zweibuchstabige Zeicheette der Läge + 9, i dee ei Buchstabe sechs- ud der adere dreimal voromme. Mit Satz. ergebe sich P (9; 6, 3) 9! 6! 3! , 3 Möglicheite. Übugsaufgabe.4 Wie viele Lösuge x,...,x 0 mit x i N 0, i 0, besitzt die Gleichug x x 0 5? Aus Übug.4 öe wir umittelbar die folgede Folgerug ableite. Folgerug.6 mit, N 0 besitzt Die Gleichug P ( + ;, ) x x ( + )!! ( )! K (, ) viele Lösuge x,...,x mit x i N 0, i.

30 3 Multiomialoeffiziete.3.3 Zusammefassug Die Zahle!!( )! heiße Biomialoeffiziete. Sie sid die Koeffiziete der Summade a b des Bioms (a + b).für die Biomialoeffiziete gilt die Reursio welche sich als Pascalsches Dreiec veraschauliche lässt. Für die Biomialoeffiziete gelte vielfältige Summebeziehuge, z.b. über Zeile, Spalte ud Diagoale. Die Spaltebeziehug a zur Berechug der Summe i0 im verwedet werde. Als Verallgemeierug der Biomialoeffiziete ergebe sich die Multiomialoeffiziete!,..., t!... t! Sie sid die Koeffiziete der Summade a a...a t des Multioms ( a + a +...a t ). Als eie Awedug ergibt sich, dass die Gleichug x x mit, N 0 +, ( + )!! ( )! P ( + ;, ) K (, ) viele Lösuge x,...,x, x i N 0, i, besitzt.

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