Bestimmung der Deklination und Inklination der Zifferblattebene durch Höhenmessungen Rolf Wieland, Satteldorf, 1996, 2011.

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1 Bestimmung der Deklination und Inklination der ifferblattebene durch öhenmessungen Rolf Wieland, Satteldorf, 1996, 2011 usammenfassung Die Anwendung nautischer Methoden zur Ortsbestimmung durch öhenmessungen auf Probleme der nomonik bietet eine elegante und bequeme Möglichkeit, sowohl die Deklination als auch die Inklination eines ebenen Sonnenuhrenzifferblatts aus der einfachen Messung zweier estirnhöhen zu berechnen. Inhalt 0. Einleitung 1 1. Theoretische rundlagen 4 2. Abweichung einer senkrechten Wand 7 3. öhenmessinstrumente 9 4. Schnittpunkte der öhengleichen Fehlerbetrachtung Berechnungsbeispiel Julianisches Datum Deklination, Rektaszension, eitgleichung Sternzeit Einleitung Die Aufgabe, die Lage einer beliebig orientierten Ebene im Raum zu bestimmen, erscheint nicht ganz einfach zu sein: erstens kann die Ebene in der orizontalen aus der Ost-West-Richtung abweichen (deklinieren), und zweitens kann die Ebene auch noch gegen die Vertikale geneigt sein (inklinieren). Die Orientierung einer Ebene ist bestimmt durch ihre zwei Richtungsvektoren u r und v r. Die Orientierung einer Ebene kann aber auch mit nur einem Vektor festgelegt werden, nämlich mit ihrem Normalenvektor n r (Abb. 2.1). Der Normalenvektor weist zum enit des ifferblatts. 1

2 u Die Orientierung der Ebene ist bestimmt durch ihre zwei Richtungsvektoren u r und v r. v ifferblatt Abb. 2.1 Die Orientierung der Ebene kann auch mit nur einem Vektor, ihrem Normalenvektor n r, oooo festgelegt werden. n ifferblatt Unter der Deklination d des ifferblatts verstehen wir das Südazimut nach Westen, unter der Inklination i die öhe des Normalenvektors der ifferblattebene. i n Abb. 2.2: Deklination d und Inklination i des ifferblatts d: Südazimut nach Westen des Normalenvektors n r i: öhenwinkel des Normalenvektors n r der ifferblattebene : enit der ifferblattebene : enit der orizontebene d S Beispiele: Vertikale Süduhr: d=0 und i=0, orizontaluhr: d unbestimmt und i=90, polare Ostuhr: d= 90 und i=0, äquatoriale Norduhr: d=180 und i=ϕ, äquatoriale Süduhr: d=0 und i= ϕ, vertikale Norduhr: d=180 und i=0. 2

3 öhenmessinstrumente, die man auf eine beliebig orientierte Ebene stellen kann, um die öhe eines estirns über dieser Ebene zu messen Kreuzquadrant Ableseeinrichtungen mit Nonius Spiegeloktant 3

4 1. Theoretische rundlagen Jede beliebig orientierte ifferblattebene kann parallel so verschoben gedacht werden, dass sie Tangentialebene in einem bestimmten Ort B an die Erdkugel wird. Am Ort B liegt das ifferblatt dann horizontal und der Normalenvektor geht durch den Erdmittelpunkt (Abb. 4). Diese Überlegung wird gerne Versetzungsregel genannt. n i d n B M Abb. 4: Parallelverschiebung des ifferblatts an den Berührort B Die Umkehrung dieser Überlegung besagt: Sind die Koordinaten des Berührorts bekannt, so können daraus die Deklination d und die Inklination i des ifferblatts berechnet werden. Die geographischen Koordinaten von B werden durch astronomische Bestimmung des Punktes B mit den Methoden der Nautik zur Ortsbestimmung ermittelt. Die Projektion des nautischen Dreiecks auf die Erdkugel zeigt, dass die geographischen Koordinaten der estirnprojektion ' den astronomischen Koordinaten des estirns entsprechen, also nur zeitbedingt sind und nicht vom Standort B des Beobachters abhängen (Abb. 5.1). 4

5 P P' B ' M Abb. 5.1: Projektion des nautischen Dreiecksauf die Erdkugel In der Nautik werden Ortsbestimmungen durch Messen der öhen von estirnen über dem orizont durchgeführt. Durch Auswertung einer öhenmessung wird der Standort B an die estirnprojektion ' angeschlossen. Die Ortslinie aller Erdpunkte B, von denen aus das estirn unter dem öhenwinkel h erscheint, ist der Kleinkreis um ' (öhengleiche) mit einem Radius, der gleich der enitdistanz 90 h ist (Abb. 5.2). B h h ' öhengleiche h M h ' öhengleiche h Abb. 5.2: öhengleiche als Ortslinie aller Erdorte mit konstanter enitdistanz 5

6 Durch eine zweite öhenmessung nach einem anderen estirn erhält man eine zweite öhengleiche für den Beobachtungsort B. Aus zwei öhenmessungen nach zwei estirnen und den Beobachtungszeiten ergibt sich die Lage des Beobachtungsorts als Schnittpunkt der beiden öhengleichen (weihöhenproblem von Carl Friedrich auß ( ). Die Entscheidung zwischen den beiden Schnittpunkten wird im Allgemeinen leicht möglich sein (Abb. 6.1). B 1 öhengleiche zu ' öhengleiche zu ' 1 ' 2 2 B 2 ' 1 Abb. 6.1: weihöhenproblem von Carl Friedrich auß ur Ermittlung der Lage des ifferblatts sind die öhen h der estirne über der ifferblattebene zu messen und nicht die öhen h über dem orizont (Abb. 6.2). Abb. 6.2: n r Normalenvektor der ifferblattebene h : öhe des estirns über dem ifferblatt z: enitdistanz z n h z ifferblatt 6

7 ierzu benötigt man ein geeignetes Winkelmessinstrument, das man beim Messen gegen das ifferblatt halten kann. Mit dem Spiegelsextant werden Winkel gegen die orizontale gemessen. ur Messung der öhenwinkel gegen die ifferblattebene eignet sich zum Beispiel das bekannte Nagelbrett. Man misst die Nagellänge e und die Schattenlänge s und erhält daraus den öhenwinkel h der Sonne e über der Wand (Abb. 7): tan h =. s h e s h z Nagelbrett e Spiegelsextant tan h = s Abb. 7: öhenmessinstrumente Spiegelsextant und Nagelbrett 2. Bestimmung der Abweichung bei einer senkrechten Wand Bei einem ifferblatt bekannter Inklination i liegt der enit auf dem öhenkreis in der öhe i (Abb. 8.1). Beispiele sind eine Dachfläche bekannter Neigung oder eine senkrechte Wand, bei der auf dem orizont liegt. Also genügt zur Ortsbestimmung eine weitere öhengleiche. Bei bekannter Inklination i lässt sich die Deklination d mit nur einer öhenmessung bestimmen. 7

8 a a Almukantarat 90 i 90 h 90 h öhengleiche i n ifferblatt S d Abb. 8.1: Senkrechtes ifferblatt Ein senkrecht in die Wand geschlagener Nagel genügt zur groben Bestimmung der öhe der Sonne über der Wand. Oft findet man auch noch andere Realisierungen eines Nagelbretts, die sich in natürlicher Weise an fast jeder Fassade eines ebäudes befinden: ein senkrecht vorspringender Fenstersims, ein Feststellriegel für den Fensterladen, eine überstehende Deckplatte eines Pfeilers oder Mauervorsprungs und andere mehr (Abb. 8.2). e s e s e s s Abb. 8.2: Oft erfüllen schon vorhandene Bauteile die Funktion eines Nagelbretts 8

9 Man braucht nur mit einem Meterstab die Nagellänge e und die Länge s seines Schattens zu messen, um einen groben Näherungswert für die Wandabweichung d zu erhalten. 3. Kreuzquadrant und Spiegeloktant Die beschriebene Methode zeichnet sich durch ihre einfache andhabung aus. Sie hat den Vorteil, dass die tatsächliche Abweichung und Neigung des ifferblatts an der betreffenden Stelle gemessen werden kann und nicht irgendein Mittelwert der mehr oder weniger krummen Wand wie bei der Streiflichtmethode oder mit dem Theodoliten. Der Vorteil der einfachen Bauweise des Nagelbretts wird mit einem Nachteil erkauft: bei kleinem h ist der Schatten lang und unscharf. Dadurch verliert die Messung an enauigkeit. Überlegungen zur Verbesserung des Messergebnisses waren der Anlass, einen Kreuzquadrant mit den folgenden Eigenschaften zu bauen (Abb. 10.1): 1. Die Skala wird gegen die Wand unter 45 geneigt, so dass die Inklination weder bei h =0 noch bei h =90 weit entfernt erfolgt. Die Präzisionsuhren von Philipp Matthäus ahn ( ) zeigen, dass für hohe enauigkeit keine großen Abmessungen nötig sind; im Allgemeinen genügen 15 bis 20 cm. Sonst macht sich die zunehmende Unschärfe des Schattenrands negativ bemerkbar. Die Anzeige sollte punktsymmetrisch sein. Dann wird nicht der Schattenrand bestimmt, sondern der Mittelpunkt mit einem auf der Skala verschiebbaren Läufer mit Strichkreuz und konzentrischem Einstellkreis zur exakten Justierung und Nonius zur genauen Ablesung. 2. Der Quadrant trägt daher ein Öhr für eine punktsymmetrische Anzeige, das in einer zur Skala parallelen Ebene liegt, wodurch auf der Skala stets ein kreisförmiges Sonnenbild entsteht. 9

10 Beim Kreuzquadrant gilt für den öhenwinkel der Sonne über der s ifferblattebene h = ho + arctan. e h e s h 0 α h Abb. 10.1: Kreuzquadrant mit Öhr Abb. 10.2: Spiegeloktant mit Sucherfernrohr und drehbarem Spiegel Mit einem entsprechend konstruierten Spiegeloktant (Abb. 10.2) lässt sich die enauigkeit weiter verbessern, indem man in einem Sucherfernrohr mit Fadenkreuz zum Beobachtungszeitpunkt ein relativ zur Erde günstig positioniertes (vgl. 5. Fehlerbetrachtung) estirn anpeilt. Man ist dann nicht mehr auf den durch den Beobachtungszeitpunkt bestimmten Stundenwinkel und eine estirndeklination zwischen 23,5 und +23,5 festgelegt wie bei der Sonne. Beim Spiegeloktant gilt für den öhenwinkel des estirns über der ifferblattebene: h = 90 2 α. Mit beiden eräten erhält man aus zwei öhenmessungen sowohl die Deklination als auch die Inklination der ifferblattebene, was für die Praxis selbst bei vermeintlich senkrechen Wänden von Vorteil ist, da bei höherer enauigkeitsanforderung fast jede Fläche von der Idealrichtung in Deklination und Inklination abweicht. 10

11 4. Berechnung des Berührorts als Schnittpunkt 1 oder 2 der beiden öhengleichen Berechnungsschema: emessen werden die öhen z 1 und z 2 der estirne 1 und 2 über der ifferblattebene und die Beobachtungszeitpunkte in ME. egeben sind die geographischen Koordinaten (λ ϕ) des Standorts und die astronomischen Koordinaten (α 1 δ 1 ) und (α 2 δ 2 ) der estirne und die Sternzeiten st 1 und st 2 für die Beobachtungszeitpunkte. Berechnet werden die Stundenwinkel t 1 =st 1 α 1 und t 2 =st 2 α 2 und daraus die astronomischen Koordinaten (a 1 h 1 ) und (a 2 h 2 ) der estirne im orizontsystem mit den bekannten Transformationsformeln: Äquatorebene orizontebene (Abb. 12): sinh = sinϕ sinδ + cos ϕ cosδ cos t sina cos h = cos δ sin t cosa cos h = sinϕ cosδ cos t cosϕ sinδ Die erste leichung folgt aus dem Seiten-Kosinussatz, die zweite leichung aus dem Sinussatz und die dritte aus dem Sinus- Kosinussatz im sphärischen Dreieck PS. Für Winkel α, deren Beträge größer als 90 sein können, werden zwei trigonometrische Funktionen x=cosα und y=sinα angegeben. Daraus lässt sich der Winkel α mit der Funktion atn(x, y) über den halben Winkel eindeutig bestimmen: 180 für x = 1 α = atn(x, y) = y 2 arctan 1 + x für x 1 Aus z 1, z 2, h 1, h 2, a 1, a 2 können dann die Abweichung d und die Inklination i wie im Folgenden beschrieben berechnet werden. 11

12 P 90 -ϕ t a 90 δ 90 -h S Abb. 12: System der Äquatorebene mit Pol P 4.1 Allgemeiner Fall (Abb. 13): Seiten-Kosinus-Satz in Dreieck 1 2 mit 0 e 180 : cos e = sin h sin h + cos h cos h cos a ( ) a1 Seiten-Kosinus-Satz in Dreieck mit 0 ν 180 : sinz2 sinz1 cose cosν = cos z1 sine Sinus-Satz und Seiten-Kosinus-Satz in Dreieck 1 2 mit 180 <ω 180 : sinω sine = cosh sin a a 2 ( ) sinh1 cose sinh cosω sine = cosh Seiten-Kosinus-Satz in Dreieck 1 1/2 mit 90 i 90 : sini = sin z1 sin h1 cos z1 cos h1 cos( ω ± ν)

13 a 2 a a 1 90 h 2 90 z z 1 i ν 1 e ω 2 90 h 1 S d 2 Abb. 13: Berechnung der Schnittpunkte 1 und 2 zweier öhengleichen Sinus-Satz und Seiten-Kosinus-Satz in Dreieck 1 1/2 mit 180 <a 180 : sina cosi = cos z sin ω ± ν d = a + a ( ) sinz1 sini sinh1 cosa cosi = cosh 1 Für Winkel a zwischen 180 und +180 sind zwei trigonometrische Funktionen x=cosα und y=sinα angegeben. Daraus lässt sich der Winkel α mit der auf Seite 11 beschriebenen Funktion atn(x,y) eindeutig bestimmen

14 4.2 Spezialfall: Wand bekannter Inklination i (Abb. 8.1): liegt dann auf dem öhenkreis mit der öhe i, also genügt zur Ortsbestimmung eine weitere öhengleiche. Bei bekannter Inklination lässt sich die Deklination mit nur einer öhenmessung bestimmen. Im Kugeldreieck gilt nach dem Seiten-Kosinus-Satz für den Winkel a, um den sich die Deklination d und das Azimut a mit 0 a 90 unterscheiden: sinh sini sinh cosa = cosi cosh Also ist die Wandabweichung d=a ±a. Bei einer vertikalen Wand ist i=0 und man erhält aus obiger leichung für 0 a 90 : sin h cos a = und daraus d=a ±a. cos h 5. Fehlerbetrachtung P 90 ϕ t a a 90 i a z 90 h 90 h z i d S Abb. 14: Fehlerbetrachtung 14

15 5.1 Fehler bei einer Wand bekannter Inklination i: Eine Fehlerdiskussion der leichung sin h sin i sin h cos a = ergibt cos i cos h cos h h a = h =, sin a cos i cos h sin a cos i denn nach dem Sinus-Satz gilt sina cos h = sina cosh. ierin ist a das Azimut in der ifferblattebene bezüglich der Falllinie. Wird berücksichtigt, dass die Inklination der Wand auch mit einer Unsicherheit i behaftet ist, so ergibt die Fehlerbetrachtung der obigen leichung h sinh sin i sin h a = i 2 cos i sin a sina cos i cos h h = cosi sin a i + cos i tan a Für sina =±1 und tana =±, also für a =±90, wird der Fehlerbetrag am kleinsten. Messungen zur Bestimmung der Deklination d sollten daher nicht im Meridian der Falllinie, sondern in der Nähe des 1. Vertikals zur Falllinie der ifferblattebene durchgeführt werden. 5.2 Fehler bei einer Wand bekannter Deklination d: Eine Fehlerdiskussion der leichung sinh = sini sinh + cosi cos h cosa ergibt cos h h = ( cosi sinh sini cos h cosa) i cos h h i = h =, cosi sinh sini cosh cosa cosa denn nach dem Sinus-Kosinus-Satz gilt cosh cosa = sinh cosi - cosh sini cosa. 15

16 Berücksichtigt man, dass die Deklination der Wand auch mit der Unsicherheit a behaftet ist, so ergibt die Fehlerbetrachtung wie oben h i = + cosi tana a. cosa Der Einfluss von h und a auf i wird ein Minimum, wenn cosa =1 und tana =0 ist, also für a =0. Messungen zur Bestimmung der Inklination i sind in der Nähe des Meridians der Falllinie des ifferblatts durchzuführen. 6. Berechnungsbeispiel bei einer senkrechten Wand a) Beobachtungsdatum ; Ort: Freiburg λ= 7,9 ; ϕ=48,0 Um ME=14 h 12 m =14,2 h wird die öhe h =13,54 der Sonne über der Wandebene gemessen. b) Man berechnet zunächst nach Teil 7 die Differenz T T 0 der julianischen Daten des Beobachtungszeitpunkts 1. Mai 2011, UT=13,2 h und des Perihelzeitpunkts 3.Jan2010, UT=16 h zu T T 0 =482,88 und damit nach Teil 8 auf Seite 18 die Rektaszension r=38,33 und die Deklination δ=15,05 und die eitgleichung zg=2,9 m. Wie in Teil 9 beschrieben wird, berechnet man die Sternzeit Θ=65,02 für UT=13,2 h und λ= 7,9. Der Stundenwinkel t der Sonne ist t=θ r=26,69. c) Berechnung von öhe h und Azimut a der Sonne bezüglich der orizontebene mit den Transformationsformeln Äquatorebene orizontebene auf Seite 11: a = 57,33 und h = 49,40. d) Berechnung der Wandabweichung d sin h Aus cos a = folgt mit 0 a 90 : a=68,46. cos h Aus d=a ±a folgt d=111,32 oder d= 25,60. 16

17 e) Fehlerabschätzung Der Fehler in der Wandabweichung beträgt bei einer Messgenauigkeit von ±0,03 für h : a=±0,05. Berücksichtigt man auch in der Wandneigung eine Ungenauigkeit h i von ±0,03, so ist a = + = ± 0, 09. sin a tan a Wenn die Sonne im 1. Vertikal steht, dann ist nach 5.1 der günstigste eitpunkt für die Bestimmung der Deklination. Dann ist Dreieck rechtwinklig mit a ±90 und es gilt für den Stundenwinkel der Sonne cos t = tanϕ tanδ, also t=±107,37 =±7 h 09,5 m. Da nach b) zg=2,9 m und λ=28,4 m ist, steht die Sonne um ME=19 h 35 m oder ME=5 h 16 m im 1. Vertikal des ifferblatts, der bei einer senkrechten Wand allerdings mit dem orizont zusammenfällt. Die Messung sollte wegen der Refraktion bei einer estirnhöhe h >30 stattfinden, um eine brauchbare enauigkeit zu erzielen. 7. Das julianische Datum jd ur Berechnung von T T 0 in Teil 8 und der Sternzeit in Teil 9 braucht man die eitdifferenz zwischen dem Beobachtungsdatum und dem Periheldatum 3. Januar 2010, UT=16 h. Dafür ist eine fortlaufende Tageszählung sehr geschickt. Das julianische Datum gibt die Anzahl der Tage an, die seit dem 1. Januar des Jahres 4713, UT=12 h, vergangen sind. Die folgende Formel gilt vom 1. März 1900 bis 28. Februar 2100: jd=int( y)+int(30.6. (m+1)) d+ut/24 y steht für das Jahr, m für den Monat, d für den Tag und UT für den Berechnungszeitpunkt in Weltzeit. In den Monaten Januar und Februar ist m um 12 zu erhöhen und y um 1 zu erniedrigen. 17

18 8. Berechnung von Deklination δ und Rektaszension r und den zugehörigen Werten der eitgleichung zg Nach Montenbruck, rundlagen der Ephemeridenrechnung, , Seite 86, lassen sich die Werte der Mittelpunktsgleichung durch Fourierentwicklung nach der mittleren Anomalie berechnen: µ = 1, 9146 sinm + 0, 0200 sin2m + 0, 0003 sin3m +... _ T T0. Die mittlere Anomalie M = 360 ist die Länge einer gleichförmigen mittleren Sonne vom Perigäum Ta aus. T 0 ist die Perihelzeit und L 0 die zugehörige Länge der Sonne, z.b. T 0 =2010Jan3,67 und L 0 =283,112. T a =365,2596 (anomalistisches Jahr) ist die Umlaufdauer der Erde, UT der Berechnungszeitpunkt in Weltzeit und e=23,44 die Schiefe der Ekliptik. Mittlere ekliptikale Länge der Sonne: l = M + L 0 Wahre ekliptikale Länge der Sonne: l 0 = l + µ Rektaszension der wahren Sonne: r = atn ( cos l 0, sin l 0 cose ) eitgleichung: zg = arcsin ( sin (l r)) 4min Deklination: sinδ = sin l 0 sine 9. Sternzeit ur Berechnung des Stundenwinkels t braucht man die Sternzeit Θ. Sie ist jeweils gleich dem augenblicklichen Stundenwinkel des Frühlingspunkts. Die Sternzeit Θ ist eine lokale Ortszeit und daher von der geographischen Länge λ abhängig. Die folgende Formel gibt die mittlere Sternzeit Θ in rad an. Dabei ist jd0 das julianische Datum um UT=0 h. Θ = (jd ) UT λ. 18