Gleichstromschaltuge Seite 25 3 Gleichstromschaltuge 3.1 Strom ud Spaug im eifache Stromkreis Eifacher Stromkreis: Eie Spaugsquelle, ei Verbraucher VL 1 G R V VL 2 Symbol: 27 R = 27Ω 1.2 M R = 1,2MΩ Nur bei uedlich hoher Leitfähigkeit der Verbidugsleituge VL 1 ud VL 2 ist V am Verbraucher gleich G am Geerator. der Praxis: Widerstad der Verbidugsleitug ρ R R l L = ----------- A l = Läge, A = Querschitt ρ R = spezif. Widerstad. Ma dekt sich diese Widerstad i de Bauelemete R L1 ud R L2 vereiigt ud betrachtet die Symbole für Leituge (-----) als uedlich leitfähig. R L ersetzt also die Leituge ud heißt Ersatzwiderstad. R L1 2 3 L1 G R V L2 1 R L2 4 Stromkreis uter Berücksichtigug des Widerstads der Verbi-
Seite 26 GET-Skript dugsleituge Damit ergibt sich ierhalb des Stromkreises folgeder Potetialverlauf ϕ 1 G 2 L1 3 4 L2 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 1 G L1 L2 m Geerator: Ahebug des Potetials vo ϕ 1 auf ϕ 2. Auf ideale Verbidugsleituge: kostates Potetial. Über de Widerstäde: Abfall des Potetials vo ϕ 2 ϕ 3; ϕ 3 ϕ 4 ud ϕ 4 ϕ 1. Der Stromkreis schließt sich a Klemme 1 mit Potetial. D.h. bei mlauf vo eiem beliebige Afagspukt durch de Stromkreis zurück zu diesem Afagspukt ist die Potetialdifferez = Null. Also: Für mlauf i Zählpfeilrichtug (ZPR) des Stromes: 0 = G + L1 + + L2 Mit dem Ohm sche Gesetz lasse sich die Spauge durch die Widerstäde ausdrücke, also: L1 = R L1 ; = R V ; ud L2 = R L2. Da ist G = ( R L1 + R V + R L2 ) Damit läßt sich der Strom bereche zu = G ( R L1 + R V + R L2 ) ud die Spaug am Verbraucher ist = G L1 L2 = G ( R L1 + R L2 ) D.h.: folge der edliche Leitfähigkeit der Verbidugsdrähte sikt die Verbraucherspaug mit dem Strom ab. Festlegug der ZPR: m bisher verwedete Zählpfeilsystem war am Verbraucher Zählpfeil für ud i der gleiche Richtug. ϕ 1
Gleichstromschaltuge Seite 27 Dieses System heißt daher Verbraucherzählsystem. Legt ma dagege fest, daß die Zählpfeile vo ud am Geerator die gleiche Richtug habe solle, so spricht ma vom Geeratorzählpfeilsystem. 3.2 Zweipole Alle im Beispiel gezeigte Elemete des Stromkreises (Spaugsquelle, Widerstäde) habe zwei Aschlüsse ud werde deshalb als Zweipole bezeichet. Bei eiem Zweipol iteressiert ma sich - icht für Schaltugsdetails im ere, soder - ur für die Strom-Spaugscharakteristik = f(), die ma vo auße bestimme ka. Defiitio: Zweipole heiße liear, we die Beziehug = f() (Strom-Spaugs-Charakteristik) liear ist, d.h. we gilt = a + b oder = p + q. Ma uterscheidet och eimal Passive lieare Zweipole: d.h. es ist keie Strom- oder Spaugsquelle im Zweipol ethalte (passiv) ud es ist = G bzw. = R (liear). Beispiele: Ohm sche Widerstäde ud beliebige Kombiatioe daraus. Aktive lieare Zweipole: d.h. der Zweipol ka elektrische Eergie abgebe (aktiv) ud es ist = a + b bzw. = p+ q (liear). Beispiel: Realer Geerator, bei dem die Klemmespaug vom Strom abhägt. Ma ka eie reale Geerator durch ei Ersatzschaltbild aus eiem ideale Geerator ud eiem Widerstad darstelle. Eie solche Spaugsquelle zeigt vo auße die gleiche Strom-Spaugscharakteristik, ersetzt also die reale Spaugsquelle für usere Betrachtuge ud heißt deshalb Ersatzspaugsquelle. Es gilt: = G - R = G - R =a+ b, d.h. die Ersatzspaugsquelle ist ei liearer, aktiver Zweipol.
Seite 28 GET-Skript. R L G 3.3 Die Kirchhoffsche Regel Beim Zusammeschalte mehrerer Zweipole ergebe sich etzartige Strukture, sogeate Netzwerke, z. B. Ei Netzwerk besteht aus: - Zweige vo Zweipole - Kote, a dee Zweige zusammestoße ud - Masche, das sid beliebige geschlossee Wege im Netzwerk, bei dee kei Zweig oder Kote mehrfach durchlaufe wird. Für die Kote ud Masche lasse sich eifache Gesetzmäßigkeite (Regel) formuliere, die die Berechug der Spauge ud Ströme i beliebige Netzwerke ermögliche.
Gleichstromschaltuge Seite 29 a) Die Kirchhoff sche Koteregel 2 Gummiball 1 5 4 3 Wasserströme eie Kote darf sich keie Ladug staue (wie z.b. Wasser i eiem Gummiball). Also muß gelte Summe aller auf eie Kote zufließede Ströme = Summe aller vom Kote wegfließede Ströme. Für eie mathematische Beschreibug dieser Regel muß ma eie für alle Ströme eiheitliche Bezugsrichtug festlege. - Der Strom i im Zweig i zählt positiv, we die techische Stromrichtug zum Kote hi zeigt. Dies ist der Fall bei ZPR zum Kote ud positivem Vorzeiche, oder bei ZPR weg vom Kote ud egativem Vorzeiche - Der Strom i im Zweig i, zählt egativ, we die techische Stromrichtug vom Kote weg zeigt. Dies ist der Fall bei ZPR zum Kote ud egativem Vorzeiche, oder bei ZPR weg vom Kote ud positivem Vorzeiche Mit dieser Vereibarug gilt i = 0 Kirchhoff sche Koteregel b) Die Kirchhoff sche Mascheregel: ϕ c 2 3 ϕ b ϕ d 1 4 ϕ a ϕ e 6 ϕ f 5
Seite 30 GET-Skript diesem Beispiel eier Masche habe die sechs Kote die Potetiale ϕ a, ϕ b, ϕ c, ϕ d, ϕ e ud ϕ f. Bezeichet ma die beteiligte Spauge mit ϕ a ϕ b, ϕ b ϕ c,... ud ϕ f ϕ a, so gilt: ( ϕ a ϕ b ) + ( ϕ b ϕ c ) + ( ϕ c ϕ d ) + ( ϕ d ϕ e ) +( ϕ e ϕ f ) + + ( ) = 0 ϕ f ϕ a weil ja die Potetialdifferez bei eiem beliebige mlauf i eier Masche zwische Afags- ud Edpukt (beides gleich!) Null ist. Für eie allgemeie mathematische Beschreibug des obige Beispiels muß ma eie mlaufrichtug festlege, auf die sich die ZPR der Spauge i bezieht. (siehe Abb.) - Eie Spaug zählt positiv, we sie positives Vorzeiche hat ud die ZPR mit der mlaufrichtug übereistimmt, oder we sie egatives Vorzeiche hat ud die ZPR der mlaufrichtug etgegegesetzt ist. - Eie Spaug zählt egativ, we sie egatives Vorzeiche hat ud die ZPR mit der mlaufrichtug übereistimmt, oder we sie positives Vorzeiche hat ud die ZPR der mlaufrichtug etgegegesetzt ist. Mit dieser Vereibarug gilt i = 0 Kirchhoff sche Mascheregel Die Kirchhoff sche Mascheregel gilt icht ur für geschlossee mläufe i Masche eies Netzwerks, soder für jede geschlossee mlauf. Beispiel: Ersatzspaugsquelle: R mlaufrichtug G R i = ( + G + R ) = 0 oder = G R
Gleichstromschaltuge Seite 31 3.4 Serie- ud Parallelschaltug vo Widerstäde 3.4.1 Serieschaltug R 1 1 R 2 2 = 0 R Mascheregel: i = 0 i = 0 + i = 0 oder 0 = i = i R i Koteregel: Alle Ströme i =sid gleich, weil im eifache Stromkreis zu jedem Kote ur zwei Zweige führe, dere Sröme i Summe gleich Null sid. Damit gilt 0 = i R = R i i = R i Bezeichet ma R = R i als Gesamtwiderstad der Reiheschaltug, ud = 0 als die Gesamtspaug, so gilt = R, Also: Bei eier Reiheschaltug addiere sich die Teilwiderstäde R i zu eiem Gesamtwiderstad R.
Seite 32 GET-Skript 3.4.2 Parallelschaltug Kote = 0 = 0 1 2 1 2 1 2 = 0 Kote Koteregel: Für jede der Kote also z. B. für de uterer Kote gilt i = o i = o + i = 0 oder 0 i = = i G i Mascheregel: Alle Spauge i =sid gleich, weil beliebige Paare vo Widerstäde Masche mit zwei Zweige bilde, dere Spauge i Summe Null sid. Somit gilt o = i G i = G i = G i Bezeichet ma G = G i als de Gesamtleitwert der Parallelschaltug, ud = 0 als de Gesamtstrom, so gilt = G, Also: Bei eier Parallelschaltug addiere sich die Leitwerte G i bzw. die Kehrwerte 1/R i der Widerstäde zum Leitwert G bzw. Kehrwert 1/R des Gesamtwiderstades.
Gleichstromschaltuge Seite 33 3.4.3 Eifache Widerstadsetzwerke Beispiel: R 1 2? R 7 R 6 R 5 R 4 R 2 R 3 R 1 Der Gesamtwiderstad R zwische de Klemme 1 ud 2 ka bereits mit de bekate Regel für Reihe- ud Parallelschaltug schrittweise berechet werde. Schritte: R 123 = R 1 + R 2 + R 3 (Reiheschaltug) 1 1 1 1 -------------- = --------- + ----- + ----- (Parallelschaltug) R 12345 R 123 R 4 R 5 R 123456 = R 12345 + R 6 (Reiheschaltug) 1 -- R = 1 1 ---------------- + ----- R 123456 R 7 (Parallelschaltug) 3.5 Ersatzquelle 3.5.1 Ersatzspaugsquelle Ersatzschaltbild des lieare aktive Zweipols R i 0 Ri Das Klemmeverhalte = 0 R i (Strom-Spaugs-Charakteristik) eier reale Spaugsquelle wird durch obige Ersatz-
Seite 34 GET-Skript spaugsquelle richtig beschriebe. Ma et : Klemmespaug : Klemmestrom 0 : Quellespaug ud R i : ewiderstad Betrachtet ma die Ersatzspaugsquelle als Zweipol, so sid 0 ud R i vo auße icht zugäglich ud müsse durch Messug vo ud bestimmt werde. Die lieare Strom-Spaugs-Keliie = 0 R i ka durch zwei beliebige Meßwertpaare (,) festgelegt werde, besoders vorteilhaft sid jedoch Messuge bei Leerlauf ud Kurzschluß. Leerlauf: Betriebszustad, i dem kei Strom fließt ( = 0). L : Leerlaufspaug = Klemmespaug bei = 0. Mit =0wird der Spaugsabfall am ewiderstad R i zu Null ud die Quellspaug wird als Klemmespaug meßbar: o = L = ( = 0) Kurzschluß: Betriebszustad, i dem beide Klemme auf gleichem Potetial liege ( = 0). K : Kurzschlußstrom = Strom bei Klemmespaug = 0. Mit =0liegt die gesamte Quellspaug am ewiderstad ud dieser wird als Quotiet aus Quellspaug ud Kurzschlußstrom meßbar: K = 0 R i = ( = 0), ud damit R i = 0 K = L K
Gleichstromschaltuge Seite 35 3.5.2 Ersatzstromquelle Ersatzschaltbild des lieare aktive Zweipols. G 0 1 G i = ---- R i Das Klemmeverhalte = 0 G i (Strom-Spaugs-Charakteristik) eier reale Stromquelle wird durch obige Ersatzstromquelle richtig beschriebe. Ma et : Klemmespaug : Klemmestrom 0 : Quellstrom ud G i : Leitwert des ewiderstads Betrachtet ma die Ersatzstromquelle als Zweipol, so sid 0 ud G i =1/R i vo auße icht zugäglich ud müsse durch Messug vo ud bestimmt werde. Die lieare Strom-Spaugs-Keliie = 0 G i ka durch zwei beliebige Meßwertpaare (,) festgelegt werde, besoders vorteilhaft sid jedoch Messuge bei Leerlauf ud Kurzschluß. Kurzschluß: Betriebszustad, i dem beide Klemme auf gleichem Potetial liege ( = 0). K : Kurzschlußstrom = Strom bei Klemmespaug = 0. Mit =0ist G = G i = 0 ud der gesamte Quellstrom fließt am ewiderstad vorbei, wird also als Kurzschlußstrom direktmeßbar: 0 = K = ( = 0) Leerlauf: Betriebszustad, i dem kei Strom fließt ( = 0). L : Leerlaufspaug = Klemmespaug bei = 0.
Seite 36 GET-Skript Mit =0fließt der gesamte Quellstrom durch de ewiderstad R i ud dieser wird als Quotiet aus Leerlaufspaug ud Kurzschlußstrom vo auße messbar: R i = L 0 = L K 3.5.3 Allgemeie Ersatzquelle Ersatzspaugsquelle ud Ersatzstromquelle sid gleichwertig ud lasse sich eideutig ieiader umreche. Ersatzspaugsquelle Ersatzstromquelle R i = L K R i = L K = L R i = K G i weil ist oder L = R i K weil K = L /R i = R i ( K ) ist = ( L ) R i = K oder R i = L G i = K G i = L R i Spezialfälle: Ersatzspaugsquelle Ersatzstromquelle mit R i = 0 ist uabhägig vo, also deale Spaugsquelle mit G i = 0 ist uabhägig vo, also deale Stromquelle
Gleichstromschaltuge Seite 37 mit 0 = 0 (Kurzschluß) mit 0 = 0 (terbrechug) = R i = G i R i 0 =0 R i 0 =0 oder im Verbraucherzählpfeilsystem = R i = G i R i R i Das etspricht dem passive lieare Zweipol (Ohm scher Widerstad) 3.5.4 Spaugsteiler Zur Erzeugug eier Teilspaug aus der Quellspaug verwedet ma die Spaugsteilerschaltug. 0 G G R 1 R 2 Verbraucher R
Seite 38 GET-Skript Spaugsteiler im Leerlauf Bei = 0, äherugsweise bei 0 also bei R» R 1, R 2 gilt G = G ( R 1 + R 2 ) ud im Leerlauf ist L = G R 2, also L G = R 2 R 1 + R 2 ( ) oder Teilspaug/Gesamtspaug = = Teilwiderstad/Gesamtwiderstad Belastete Spaugsteiler G = G R 1 + mit G = + R 2 G = ( + R 2 ) R 1 + = R 1 + 1 + ----- R 1 R 2 oder R 2 = G ------------------ R 1 + R 2 R 1 R ------------------ 2 R 1 + R 2 = 0 R i Diese lieare Beziehug zwische ud etspricht eiem aktive lieare Zweipol mit Quellspaug 0 = G R 2 ( R 1 + R 2 ) ud ewiderstad R i = R 1 R 2 ( R 1 + R 2 ) oder R i = R 1 R 2 Bestimmt ma für de Spaugsteiler Leerlaufspaug ud Kurzschlußstrom ud wedet die bekate Regel zur Bestimmug des ewiderstades ud der Quellspaug eier Ersatzquelle a, so erhält ma das gleiche Ergebis für 0 ud R i Leerlauf: L G = R 2 R 1 + R 2 oder L = G R 2 ( R 1 + R 2 ) Kurzschluß: K = G R 1 also 0 = L = G R 2 ( R 1 + R 2 ) ud R i = L K = R 1 R 2 ( R 1 + R 2 )
Gleichstromschaltuge Seite 39 Damit ka der Spaugsteiler durch folgedes Ersatzschaltbild dargestellt werde: R 1 G R 2 0 = ------------------ R 1 + R 2 R 2 3.6 Eergieumsetzug im Stromkreis 3.6.1 Eergie ud Leistug S ds da E dv = ds da l Die Laduge dq im Volume dv erfahre im Feld E die Kraft F = dq E ud verrichtet beim Durchlaufe des Weges ds die- Arbeit dw = F ds = dq E ds. Weil dq = ρ dv = S da dt ist, gilt dw = S da E ds dt = S E dv dt, Die Arbeit dw = S E dv dt im Volumeelemet dv muß u über de gesamte Verbraucher aufsummiert werde. (a) Erst über Scheibe der Dicke kostat ist, also ds, wobei überall E ds = d dw Scheibe = E ds S da dt A
Seite 40 GET-Skript ud weil bei tegratio über die Fläche sowohl E ds auch dt kostat sid, ist dw Scheibe = d dt S da = d dt A = d, als ds E S da Gesamtfläche A d = E ds (b) Aufsummiere über de gesamte Verbraucher der Läge l Weil d = ist, ist W l 0 l d l W Scheibe dt d 0 0 = = = dt Bezeichet ma die pro Zeiteiheit verrichtete Arbeit dw/dt mit Leistug P, so ist dw P = ------- = Elektrische Leistug dt Als abgeleitete Eiheit für die Größe Leistug ergibt sich [ P] = [ ] [ ] = V A Wege der Wichtigkeit hat [ P] eie eigee Name, ämlich 1 Watt. 1 Watt = 1 W = 1 VA = 1 Joule/s = 1 kg m 2 /s 3 der Elektrotechik hat die Arbeit W die Eiheit 1 Wattsekude [ W ] = 1Wattsekude = 1Ws; 3.6 10 6 Ws = 1KWh
Gleichstromschaltuge Seite 41 3.6.2 Leistugsapassug ud Wirkugsgrad Bei der Kombiatio eies aktive Zweipols (Ersatzquelle) ud eies passive Zweipols (Verbraucher) wird am Verbraucher R ud am ewiderstad R i der Quelle Leistug verbraucht. R i 0 R Quelle Verbraucher Wa ist die Leistug P am Verbraucher, maximal? Hiweis: R = 0: = 0 = K also P = = 0 R : = L = 0 also P = = 0 Dazwische Maximum. Allgemei: P = ud weil = 0 ( R i + R) ud = R = 0 R ( R i + R), ist 2 P = = 0 R ( R i + R) 2 also: P = 0 für R = 0 ud R Das Maximum liegt bei P R = 0. A dieser Stelle ist R=R i (Beweis durch Differeziere!) 2 Dort ist P max 0 R i ( 2R i ) 2 1 2 = = --. 4 0 Ri Trägt ma P/P max über R/R i auf, so ergibt sich P/P max 1 0 0 1 2 3 R/R i 1 2 Bei R = R i ist P = P max = -- 4 0 Ri Ma spricht hier vo Leistugsapassug.
Seite 42 GET-Skript Die Gesamtleistug vo Quelle ud Verbraucher ist 2 P ges = 0 = 0 ( + R) R i Ermittelt ma das Verhältis zwische Verbraucherleistug ud Gesamtleistug P P ges, so erhält ma de Wirkugsgrad η mit η = P P ges = R ( R + R i ) = ( R R i ) ( 1 + R R i ) über R/R i auf, so erhält ma de Verlauf des Wir- Trägt ma η kugsgrades. η 1,5 0 1 2 3 R/R i Bei R = R i : η = 05, (Leistugsapassug) Bei R : η = 1 (maximaler Wirkugsgrad) 3.7 Schaltug mit ichtlieare Zweipole Es gelte weiterhi - Koteregel für Ströme - Mascheregel für Spauge aber: es sid Bauelemete (Zweipole) ethalte, für die keie lieare Beziehug = a + b vorhade, für die jedoch eie eideutige Beziehug = f() gilt. Diese Beziehug zwische ud ist etweder kt - explizit bekat, z. B. Diode: ------ D, e 1 = l + ---- - als Keliie aufgeomme (Graphik) 0 - für die i der Schaltug ethaltee lieare Zweipole weiterhi durch = R gegebe. Die Schaltuge lasse sich daher eideutig, oft aber icht mehr geschlosse, soder ur graphisch oder umerisch bereche. Beispiel: Schaltug mit eier Diode.
Gleichstromschaltuge Seite 43 R i 0 Ri R R D Mascheregel: 0 + Ri + R + D = 0 Durch alle Bauelemete fließt ud es gilt k ---------- T D e 1 = l + ---- 0 ichtliearer Zweipol Ri = R i R = R Ohm sches Gesetz k also: [ 0 + ( R i + R) ] ---------- T e 1 + l + ---- 0 = 0 Hierfür läßt sich keie geschlossee Lösug fide. Graphische Lösug: Wir stelle die obige Beziehug um ud suche de Strom, bei dem der rechte ud der like Term gleich werde. kt ------ e 1 l + ---- = [ 0 ( R i + R) ] 0 Diodekeliie Widerstadsgerad Der like Term stellt eie passive ichtlieare Zweipol (Diode) dar, der rechte eie aktive lieare Zweipol (Quelle mit ewiderstad R=R i ). Beide Zweipole sid miteiader verbude, sodaß Spaug ud Strom bei beide übereistimme muß. Zeichet ma für beide die Strom-Spaugs-Keliie, so ist diese Bedigug am Schittpukt erfüllt. Dieser Schittpukt heißt Arbeitspukt ( DA, A ) ud i diesem Pukt sid alle Bediguge
Seite 44 GET-Skript der Schaltug erfüllt. A Widerstadsgerade Diodekeliie Arbeitspukt 0 DA 0 R + Ri