Crsten Schütt SS. Es sei f : [, ]! R durch f(x) = x definiert. Zeige nur unter der Benutzung der Definition des Riemnn-Integrls, dss diese Funktion Riemnn-integirerbr ist und berechne ds Integrl.. Es seien f, g : [, b]! R integrierbre Funktionen und c R. Dnn gelten (i) f + g ist integrierbr und (ii) f g ist integrierbr. (iii) cf ist integrierbr und f + gdx = cfdx = c fdx + fdx gdx 3. Es sei f : [, )! R f(x) = ( flls x = x x flls x > (i) f ist di erenzierbr uf (, ). (ii) f ist uf [, ) stetig. (iii) Existiert die rechtseitige bleitung von f in? (iv) Gebe lle loklen Extrem von f n. (v) Skizziere den Verluf von f. (vi) Benutze die obigen Ergebnisse, um zu entscheiden, welche der beiden Zhlen und die größere ist. bgbe: Freitg, 3.4.
Crsten Schütt SS 4. (i) Ist f(x) = x uf (, ) gleichmäßig stetig? (ii) Ist f(x) = x uf R gleichmäßig stetig? (iii) Ist e x uf R gleichmäßig stetig? 5. Es sei f : [, ]! R durch < flls x = f(x) = : flls x n n +, n, n N definiert. Zeige nur mit der Definition der Integrierbrkeit, dss f integrierbr ist und berechne ds Integrl. 6. (i) Flls f uf X gleichmäßig stetig ist, dnn ist f uf X stetig. (ii) f(x) = x ist uf R gleichmäßig stetig. (iii) f(x) = ist uf (, ) nicht gleichmässig stetig. x (iv) f(x) = p x ist uf [, ) gleichmäßig stetig. (ufgbe 6 muss nicht schriftlich berbeitet werden. Sie steht im Skript und soll so durchgerbeitet werden, dss sie n der Tfel vorgerechnet werden knn.) bgbe: Freitg, 3.4.
Crsten Schütt SS 7. Berechne die folgenden Integrle mittels Substitution oder prtieller Integrtion. (i) Z (x + ) 5 dx (ii) (iv) Z 4 Z 6 3 x p x 3 + 9dx ( + p x) 4 p x dx (v) Z (iii) Z 5 3 t p + tdt x (3 x ) dx. (i) Berechne die Fläche, die von den beiden Funktionen f(x) = x und g(x) = 6 x eingeschlossen wird. (ii) Berechne die Fläche, die von den beiden Funktionen f(x) = x und g(x) = x eingeschlossen wird. Fertige Zeichnungen von den Flächen n. 9. Es sei f : [, b]! R integrierbr und c [, b]. Dnn gilt f(x)dx = Z c f(x)dx + c f(x)dx bgbe: Freitg, 7.5. 3
Crsten Schütt SS. Für lle x, y R gilt sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y = sin x + cos x. Wir bezeichnen die Zhl mit. Weiter definieren wir ` : [ Z, ]! R p x dx `(x) = Z x p t dt Zeige: (i) `() = und `( ) =. (ii) ` ist eine stetige, strikt fllende, beschränkte Funktion. (iii) ` ist uf (, ) di erenzierbr und es gilt `(x) = p x. Es sei f : [, ]! R durch < x sin flls x > f(x) = x : flls x = gegeben. Dnn ist f eine stetige Funktion, die uf (, ) di erenzierbr ist. Ist der Grph von f rektifizierbr? Fertige eine Zeichnung des Grphen n. bgbe: Freitg, 4.5. 4
Crsten Schütt SS 3. Welche der folgenden Reihen konvergieren und welche divergieren? (i) (ii) X n=3 X n=3 (iii) n ln(n) ln(ln(n)) n ln(n)(ln(ln(n))) X n= p n 4. Berechne (i) e x lim x! sin x (iv) lim x! x (ii) Z x x + ln x lim x! + cos x e t dt (v) lim x! x 3 (iii) Z x 5. Es sei f : R! R durch x f(x) = cos flls x 6= x flls x = sin t dt gegeben. Wo ist f stetig? Wo ist f di erenzierbr? Wo ist f stetig? Fertige eine Skizze der Funktion n. sin x lim x! x + x bgbe: Freitg,.5. 5
Crsten Schütt SS 6. Berechne die Tylorreihe von ( + x) R im Punkt x =. Wo stellt die Tylorreihe die Funktionen dr? 7. (i) Berechne die ersten sechs Summnden der Tylorreihe von x x mit Entwicklungspunkt. (ii) Berechne die ersten vier Summnden der Tylorreihe von sin(sin x) mit Entwicklungspunkt.. Es sei < für x [, n] f n (x) = n : für x (n, ) Konvergiert die Folge f n punktweise oder gleichmäßig? Gilt Z lim f n(x)dx = lim n! n! Z f n (x)dx? bgbe: Freitg, 4.6. 6
Crsten Schütt SS 9. Mn zeige, dss die Reihe X n= x ( + x ) n } gle- überll punktweise konvergiert und für lle > uf der Menge {x x ichmäßig konvergiert.. Es sei f : R! R durch < exp flls x 6= f(x) = x : flls x = gegeben. Dnn gilt für lle n =,,,... f (n) () = und R n (x, ) = f(x) Diese ufgbe brucht nicht schriftlich berbeitet werden. Sie findet sich im Skript. Sie soll ber so durchgerbeitet werden, dss sie n der Tfel vorgerechnet werden knn.. Berechne die Tylorreihe von (i) ln( + x) im Punkt (ii) rctn im Punkt. bgbe: Freitg,.6. 7
Crsten Schütt SS. (i) Sind die Funktionen f(x) = e x, g(x) = xe x, h(x) = im Rum C(R) der stetigen Funktionen uf R liner bhängig oder liner unbhängig? (ii) Es sei P n der Rum der Polynome, deren Grd kleiner oder gleich n ist. Mn zeige, dss B = {, x, x, x 3,..., x n } eine Bsis von P n ist. (iii) Der Vektorrum der stetigen Funktionen uf R ht keine endliche Dimension. 3. (i) Es seien < B =, : 3, 9 = < ; und C = :, und Id die identische bbildung von R 3 nch R 3. Berechne, 9 = ; (ii) Es seien B =, [Id] B,C. und =. Berechne [T ] B,B 4. Es sei P n der Rum der Polynome, deren Grd kleiner oder gleich n ist. Es sei D die Di erentitionsbbildung Df = f. Es sei B die Bsis {, x, x, x 3,..., x n } von P n. Finde [D] B,B. Ws ist der Rng von D? bgbe: Freitg,.6.
Crsten Schütt SS 5. Sind die folgenden Mtrizen digonlisierbr? Wenn j, digonlisiere die Mtrizen. Flls nicht, beweise, dß sie nicht digonlisierbr sind. Berechne die Eigenräume. (i) (iii) 3 (ii) (iv) 3 3 3 6. Zu welchen der folgenden Mtrizen gibt es eine orthogonle Mtrix U, so dss UU t eine Digonlmtrix ist? Gebe U n, flls U existiert und berechne UU t. 3 B 4 4 4 4 4 4 7 C 7. Finde eine orthonormle Bsis für den Teilrum von R 4, der von den Vektoren v = (,,, ) v = (,,, ) v 3 = (,,, ) ufgespnnt wird. Finde eine Bsis des Teilrumes von R 4, der durch gegeben ist. {v i =,, 3 : < v i, v >= } bgbe: Freitg, 5.6. 9
Crsten Schütt SS. Berechne die Richtungsbleitungen von sin(xy) im Punkt (, ) in Richtung (, ),(, ) und ( p, p ). 9. (i) Wo ist f : R! R, f(x, y) = sin(xy), di erenzierbr? Berechne die Tngentilhyperebenen für die Punkte (, ), (, ) und ( p, p ). 4 (ii) Wo ist f : (, ) R! R, f(x, y) = x y, di erenzierbr? Berechne die Tngentilhyperebene für (,). 3. Es sei f : R! R < flls x = y = f(x, y) = : xy x y x + y sonst Zeige: f ist in (, ) di erenzierbr, die prtiellen bleitungen zweiter Ordnung existieren für lle (x, y) R und sind unstetig in (, ) und f xy (, ) 6= f (, ) yx bgbe: Freitg,.7.
Crsten Schütt SS 3. Es seien f : R 3! R und g : R! R 3 mit Berechne die bleitung x y f(x, y, z) = y + xz und g(u, v) = d(g f) d(x, y, z) im Punkt (,, ) mit und ohne Kettenregel. sin(uv) e u e v 3. Es sei f : R! R < flls x = y = f(x, y) = : xy x y x + y sonst f ist uf R di erenzierbr. Die prtiellen bleitungen zweiter Ordnung existieren uf R und es gilt f xy (, ) 6= f (, ) yx Die prtiellen bleitungen f xy und f yx 33. Finde die Tylorreihen von im Punkt (, ). sind in (, ) nicht stetig. sin(xy) cos(x + y ) Es lebte einst ein Mnn, der ds Drchentöten erlernte und der lles hergb, ws er besß, um diese Kunst zu erlernen. Nch drei Jhren wr er ein Meister dieser Kunst. Leider fnd er keine Gelegenheit, seine Fähigkeiten nzuwenden. Dschung Dsi Drufhin begnn er zu unterrichten, wie mn Drchen tötet. bgbe: Freitg, 9.7. René Thom