Systemtheorie Teil A - Zeitkontinuierliche Signale und Systeme - Musterlösungen Manfred Strohrmann Urban Brunner
Inhalt 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen 6. Approximation eines periodischen Signals mit einer Fourier-Reihe... 6. Fourier-Transformation geometrischer Signale... 4 6. Fourier-Transformation einer zeitlich begrenzten harmonischen Schwingung... 5 6.4 Bestimmung des Spektrums eines Signals über Rechenregeln... 6 6.5 Betrag und Phase der Fourier-Transformierten... 6 6.6 Inverse Fourier-Transformation... 7 6.7 Inverse Fourier-Transformation mit einer abschnittsweise definierten Funktion... 8 6.8 Zusammenhang Fourier-Reihe und Fourier-Transformation... 9 6.9 Unschärfeprinzip der Fourier-Transformation... 6. Spektrum der periodischen Impulsfunktion... 6. Bestimmung des Klirrfaktors eines Messsystems... 6. Spektrum des Gauß-Impulses... Inhalte 4 5
6 Musterlösungen Spektrum von Signalen 6. Approximation eines periodischen Signals mit einer Fourier-Reihe a) Darstellung des Schaubilds von x(t) in dem Intervall t = -. Funktion Approximation N = 5 Signal - b) Die approximierte Fourier-Reihe ergibt sich aus der endlichen Summe 5 5 jn t jn ( = = + t + jn t) x t A e A A e A e 5 n n n n= 5 n= mit den Fourier-Koeffizienten T / jn t An = x( t) e dt T T / Aus der Periodendauer T = folgt die Grundschwingung mit der Kreisfrequenz = = = π T Da die Funktion x(t) stückweise definiert ist, muss das Integral für die Fourier-Koeffizienten in zwei Integrale aufgetrennt werden. jn t jn t jn t jn t An = e dt + e dt = e + e j n j n e e j n j n j n j n jn jn = + + jn jn j j = + ( e + e ) = cos n j n j n n n ( ) ( ) cos n cos n = j = j n n n Für n = ist der Bruch nicht definiert, sodass das Integral separat berechnet werden muss. A = dt + dt = - - Zeit
4 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen Damit können die Koeffizienten bestimmt werden zu n 4 5 A n j.. j π j 5 Mit den berechneten und den dazu konjugiert komplexen Fourier-Koeffizienten ergibt sich die approximierte Fourier-Reihe zu x t A e j e e j e e j e e π 5 5 jn t j t j t j t j t j5 t j5 t = = ( ) + ( ) + ( ) 5 n n= 5 4 4 4 = sin π t sin t sin 5 t π 5 c) Das Ergebnis ist bereits in das Bild aus Teilaufgabe a) eingezeichnet. 6. Fourier-Transformation geometrischer Signale a) Das Signal A kann geschlossen dargestellt werden als A = σ( ) σ( ) x t t T t T Mit der Definitionsgleichung der Fourier-Transformation ergibt sich die Fourier-Transformierte zu j t A ( ) = xa ( t) e dt T T j t j t j T j T = e dt = e = e + e j j j T ( T) sin = ( e e ) e = e j T j T j T j T j T b) Das Signal B kann geschlossen dargestellt werden als xb t t t t T t T t T T T = σ ( ) σ( ) σ( ) Die Berechnung der Fourier-Transformierten mit der Definitionsgleichung ergibt T T j t j t j t B B T T T j t+ = x t e dt = t e dt = t e dt = e j t T j T+ j T j j T j T e e e = = + T T T c) Das Signal C kann geschlossen dargestellt werden als C = σ ( + ) σ( ) +σ( ) x t t T t T t 4 T Zur Berechnung der Fourier-Transformierten wird das Fourier-Integral in Teilbereiche zerlegt
6 Musterlösungen Spektrum von Signalen 5 T 4T T j t j t j t j t j t C C = x t e dt = e dt e dt = e e j j T T T T = e + e + e e j j j j j T j T j 4 T j T = j j = e j j T j T j T j 4 T ( e e ) ( e e ) j 5 j T j T j T j T j T ( e ) e e e sin T sin( T) = e 5 j T 4T 6. Fourier-Transformation einer zeitlich begrenzten harmonischen Schwingung a) Das Signal kann geschlossen dargestellt werden als = σ + σ x t coσ 4 t t t b) Die Berechnung des Spektrums über die Definitionsgleichung der Fourier-Transformation ergibt / j t j t ( ) = x( t) e dt = cos ( 4 T) e dt / j t e = + + 6 π j j ( j cos ( 4 t) 4 sin( 4 t) ) e = + + 6 π ( j cos ( ) 4 sin( )) e + + 6 π j = + 6 π ( j cos ( ) 4 sin( )) sin j j e = e 6 c) Alternativ ergibt die angegebene Korrespondenz sin ( + 4 ) sin ( 4 ) sin ( ) = + = + 4 4 6 / /
6 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen 6.4 Bestimmung des Spektrums eines Signals über Rechenregeln Um die Rechenregeln der Fourier-Transformation anwenden zu können, muss das Signal y(t) umgeformt werden. y t sin t x t cos 4 t x t x t cos 4 t x t = ( ) = ( ) = ( ) Mit dieser Umrechnung kann das Spektrum Y() mithilfe der Linearitäts-, Modulations- und Faltungsregel berechnet werden zu Y 4 4 ( ) = δ( ) ( δ( + ) +δ( ) ) ( ) Die Faltung eines Spektrums mit einem Impuls verschiebt das Spektrum an die Stelle des Impulses. Damit ergibt sich das gesuchte Spektrum Y() zu Y 4 4 ( ) = π ( ) ( ( + ) + ( ) ) = + 4 + 4 4 ( ) 6.5 Betrag und Phase der Fourier-Transformierten Die Funktion y t ( t) sin = t hat die Fourier-Transformierte Y ( ) = ( σ( + ) σ( ) ) Mit der Verschiebungsregel ergibt sich für die Zeitfunktion x t ( ( + )) ( + ) sin t T = t T die Fourier-Transformierte e j ( ) = ( σ( + ) σ( ) ) T Sie hat denselben Betrag wie die nicht verschobene Funktion, aber eine andere Phase. Betrag und Phase sowie Real- und Imaginärteil sind in dem folgenden Bild dargestellt.
6 Musterlösungen Spektrum von Signalen 7. π Betrag Phase -π - -5 5 Kreisfrequenz /π - -5 5 Kreisfrequenz /π.. Realteil Imaginärteil -. -. - -5 5 Kreisfrequenz /π - -5 5 Kreisfrequenz /π 6.6 Inverse Fourier-Transformation a) Die Laplace-Transformierte ( s) 5 ( s+ ) 5 s+ 5 = = s + s + 7 s+ + 4 hat ein konjugiert komplexes Polpaar mit dem Realteil -. Damit liegt die imaginäre Achse im Konvergenzbereich der Laplace-Transformierten, sodass die Fourier-Transformierte = 5 j + 5 j + j + 7 dieselbe Zeitfunktion hat wie die Laplace-Transformierte, nämlich die Funktion mit x = t (t) 5 e coσ(4 t) σ t b) Die Fourier-Transformierte ( ) sin = kann auf bekannte Korrespondenzen zurückgeführt werden. Ihr entspricht im Zeitbereich die Funktion x t t t 4 = ( σ ( + ) σ( )) c) Die Fourier-Transformierte ( ) sin =
8 6 Musterlösungen Spektrum von Signalen kann dargestellt werden als das Produkt von zwei Fourier-Transformierten ( ) ( ) sin sin = Ein Produkt im Frequenzbereich entspricht der Faltung im Zeitbereich, sodass sich folgende Zeitfunktion ergibt: 4 + t für 4 < t x ( t) = ( σ ( t+ ) σ( t ) ) ( σ ( t+ ) σ( t ) ) = 4 t für < t < 4 4 4 6 σonσt 6.7 Inverse Fourier-Transformation mit einer abschnittsweise definierten Funktion Das Spektrum ist in folgendem Bild dargestellt. Spektrum () Mit der Definitionsgleichung der inversen Fourier-Transformation und der Stammfunktion ax ax e x e dx = a x a x + a ergibt sich - Kreisfrequenz x( t) e d e d e d π e d 9 9 j t j t j t j t = = + = + j t e = ( t j t+ ) + e 9 j t π j t j t jt jt e e = ( 9 t 6 j t+ ) 9 9 t + 6 j t+ + j t j t e e π j t j t 6 j t jt jt = 9 t e e e + e + e e + e e j 9 π t j t jt jt jt jt jt jt jt jt sin t 4 cos t 4 sin t sin t = + + π t t 9 t π t 4 sin t 4 cos t = 9 t t
6 Musterlösungen Spektrum von Signalen 9 Zur Veranschaulichung ist der Signalverlauf x(t) im folgenden Bild dargestellt. Signal x(t) -4-4 Zeit t 6.8 Zusammenhang Fourier-Reihe und Fourier-Transformation a) Die Fourier-Transformierte ist definiert über das Integral j t x t e dt ( ) = In diesem Fall ergibt sich x t e dt e dt e e j j j t j t j t j ( ) = = = = ( ) j j j j = e e e = e sin j b) Der Betrag ergibt sich für den hier benötigten Bereich von aus ( ) = sin c) Die Periodendauer des Signals y(t) ist T = 4. Damit ergeben sich die komplexen Fourier- Koeffizienten für n zu T n T n j t j t n n j t j t T T 4 4 4 An = y( t) e dt = y( t) e dt = e dt = j e T T 4 4 n T n n n n n j = j j = j j j = j n 4 4 4 4 4 e e e e e sin π n n π n 4 Der Koeffizient A ergibt sich aus dem zeitlichen Mittelwert und beträgt A = 4 Die Frequenzen n, für die die Koeffizienten A n gelten, ergeben sich aus π n = n = n 4 d) Der Betrag der Fourier-Koeffizienten A n errechnet sich analog zu Aufgabenteil b) zu
6 Musterlösungen Spektrum von Signalen A n n = sin π π n 4 In den dargestellten Frequenzbereich fallen die Frequenzen 4. Die Frequenzen und die zugehörigen Beträge der Fourier-Koeffizienten lauten: n 4 n π/ π / A n.5.5.59.75 4 A n.9.64. e) An den Stelle n berechnet sich der Betrag der Fourier-Transformierten zu n n T n 4 n ( n ) = sin = sin = sin = sin n n n T n 4 Die Fourier-Koeffizienten A n der periodischen Funktion x(t) entsprechen an den Stelle n bis auf einen Faktor /T dem Spektrum ( n ) der nicht periodischen Funktion. In dem folgenden Bild sind die Beträge der beiden Spektren dargestellt. Fourtier-Transformierte Fourier-Koeffizienten 4. Fourier-Koeffizienten Betrag.5 π/ π π/ π Kreisfrequenz 6.9 Unschärfeprinzip der Fourier-Transformation a) Mit der inversen Fourier-Transformation ergibt sich j t j t x( t) = ( ) = π ( δ( + ) +δ( )) e δ e δ Um die Ausblendeigenschaft der Fourier-Transformation anwenden zu können, wird das Integral aufgeteilt. j t j t ( ) j t j t x( t) = δ( +) e δ+ δ( ) e δ j t j t = e δ( +) δ+ e δ( ) δ = e + e = cos t
6 Musterlösungen Spektrum von Signalen b) Die zeitlich begrenzte Beobachtung kann im Zeitbereich mit Sprungfunktionen beschrieben werden. t t = = σ + σ xw t x t w t x t t t Dieser Vorgang wird als Fensterung (Windowing) bezeichnet. c) Eine Multiplikation im Zeitbereich entspricht im Frequenzbereich der Faltung. Die Faltung des Spektrums W() der Fensterfunktion mit den beiden Impulsen des Spektrum () führt zu einer Verschiebung des Spektrums W() an die Stelle der Impulse. Damit ergibt sich für das gefensterte Signal W W W W ( ) = ( ( + ) + ( )) = ( ( + ) + ( )) W Mit dem Spektrum der Fensterfunktion t sin t W ( ) = t ergibt sich t t sin ( +) sin ( ) t ( ) = + W t t ( +) ( ) t t sin ( +) sin ( ) t = + t t ( +) ( ) d) Das zeitlich begrenzte Signal x W (t) weist höhere Signalanteile auf, da durch das Ausschneiden Signalflanken entstehen, die unendlich steil sind und damit unendlich hohe Frequenzen besitzt. e) Das zeitlich begrenzte Signal, das über die Summe zweier harmonischer Schwingungen beschrieben wird, weist wegen der Linearität der Fourier-Transformation folgendes Spektrum auf W t t t t sin ( +) sin ( +) sin ( ) sin ( ) t = + + + t t t t ( +) ( +) ( ) ( ) f) Die Maxima liegen nicht an den Stelle = und =, da sich die unterschiedlichen Summanden überlagern und die sin(x)/x-funktion nicht schnell genug abklingt, um benachbarte Maxima nicht zu beeinflussen. Mit steigender Beobachtungszeit t klingt die sin(x)/x-funktion schneller ab, die benachbarten Maxima werden weniger verfälscht. g) Teilaufgabe f) beschreibt weitgehend das Unschärfeprinzip. Mit steigender Beobachtungszeit nimmt die sin(x)/x-funktion schneller ab, die unscharfe Abbildung des Impulses an den Stellen ± beziehungsweise ± wird zunehmend schärfer. Für genaue Aussagen im Frequenzbereich muss ein Signal demnach lange beobachtet werden.
6 Musterlösungen Spektrum von Signalen 6. Spektrum der periodischen Impulsfunktion Die Funktion x(t) ist ein periodisches Signal mit der Periodendauer T. n= = δ( ) x t t T n Das Signal kann damit als Fourier-Reihe dargestellt werden. Die Fourier-Koeffizienten ergeben sich zu T / jn t An = δ( t) e δt T T / Wegen der Ausblendeigenschaft der Impulsfunktion gilt: T / T / jn t jn An = δ( t) e δt = e δ ( t ) δt = T T T T / T / Das Spektrum ist damit an allen Stellen null A() =, nur an den Stellen n weist es den Wert /T auf. Der Zusammenhang zwischen den Fourier-Koeffizienten A n und der Fourier-Transformierten (n ) ergibt sich aus n = A n Damit kann das Spektrum der idealen Abtastfunktion dargestellt werden als ( ) = δ( n ) = δ n T T T n= n= 6. Bestimmung des Klirrfaktors eines Messsystems a) Wird das Eingangssignal u(t) in die Gleichung für das Ausgangssignal y(t) eingesetzt, ergibt sich nach Umrechnung mit Additionstheorem für Winkelfunktionen = ( π ) + ( ( π )) = ( π ) + ( + ( )) y t cos t. cos t cos t. cos t =.5 + cos π t +.5 cos t Durch Anwendung der Eulerschen Formel kann der Ausdruck in eine komplexe Fourier-Reihe überführt werden. y t cos t cos t e e e e j ( t j t j = + π + = + + ) + ( t + j t) = e + e + + e + e 4 4 j t j t j t j t b) Um den Klirrfaktor zu berechnen, werden die Leistungen der Oberschwingungen zur Leistung der Gesamtschwingungen ins Verhältnis gesetzt. K = A + A +... A + A + A +... In diesem Beispiel ergibt sich mit den oben berechneten Werten
6 Musterlösungen Spektrum von Signalen.5 K = =.499 +.5 Oft wird der Klirrfaktor in Prozent angegeben. Der berechnete Klirrfaktor entspricht einem Wert von K =.499 %. Es gibt viele Möglichkeiten nichtlineare Verzerrungen beziehungsweise Güte von Systemen zu beschreiben. Neben dem Klirrfaktor wird in der Literatur auch der Kennwert Total Harmonic Distortion (THD) diskutiert. Im Audiosektor wird meistens der Klirrfaktor zur Bewertung der Nichtlinearität von Systemen verwendet, da sich dieser historisch gefestigt hat. Allerdings ist der Klirrfaktor als alleinige Angabe über den kompletten Frequenzbereich eines Verstärkers eine schlechte Angabe. Da das menschliche Gehör im niederfrequenten Bereich gegenüber dem Brillanzbereich von khz bis 4 khz für Verzerrungen nicht so empfindlich ist. Im Brillanzbereich sind unter bestimmten Bedingungen Verzerrungen unter K =.5 % noch hörbar. Daher wird im HiFi-Sektor zum Klirrfaktor oder dem THD-Kennwert meist der Frequenzbereich angegeben. 6. Spektrum des Gauß-Impulses a) Gesucht wird das Spektrum der Funktion π t = x t e Für die Transformation dieses Signals wird die Ableitung der Zeitfunktion gebildet. Es ergibt sich die Differentialgleichung dx dt π = t = t e t x t Diese Gleichung kann mit den Rechenregeln der Fourier-Transformation in den Frequenzbereich transformiert werden. d j = j d Eine Trennung der Veränderlichen sowie eine Integration führt zu In( ( )) = + k 4 beziehungsweise 4 = e e k Die Konstante lässt sich bestimmen über: π t = = = = k e x t dt e dt Damit muss k = sein, und es ergibt sich die Fourier-Transformierte = e 4 b) Bei dem Gauß-Impuls handelt es sich um ein Signal, das im Zeit- und Frequenzbereich den gleichen Funktionsverlauf aufweist.