Lösungen zum 7 Aufgbentt zur Vorlesung Mthemti für Informtier II Miel Ndolsi) Abgbe: bis Freitg, den 0Juni 0, 05 Uhr Häufungspunte ) Sei n ) eine reellwertige Folge mit Grenzwert sei b n ) eine beschränte reellwertige Folge Zeigen Sie dss lle Häufungspunte der Produtfolge n b n ) die Form x hben, wobei x ein Häufungspunt von b n ) ist b) Bestimmen Sie lle Häufungspunte der Folgen n n [5 ) n + ) n+ ] ) + ) n cosnπ/)) n>0 n + ) Beweis Sei y ein Häufungspunt der Folge n b n ) Ohne Einschränung ist 0, weil sonst uch n b n ) eine Nullfolge ist y = 0 = 0 x für lle Häufungspunte x von b n ) n folgt Weil y ein Häufungspunt von n b n ) ist, existiert eine Teilfolge b n ) 0 mit b n y für Weil 0 gilt, gibt es nur mximl endlich viele Indizies n mit n = 0 Folglich ist ) 0 ohne Einschränung eine Teilfolge mit 0 für lle N Setze y := b n Dnn gilt y y Weil n ) eine onvergente Folge ist, onvergiert jede Teilfolge, insbesondere uch ) 0 gegen Dnn ist die Folge y ) 0 onvergiert gegen y Folglich gilt ls Multiplition onvergenter Folgen onvergent b n = n b n = y y y ist lso Häufungspunt von b n) es gilt y = y b) Es gilt n := n n [5 ) n + ) n+ ] = n n 3) n 3) n ) n ist beschränt ht die Häufungspunte 3 3 n n ) n onvergiert gegen Nch Aufgbenteil ) ht n ) n lso die Häufungspunte 3 3 Betrchte b n := + ) n cosnπ/) n +
+ n+) n onvergiert gegen e cosnπ/) ist beschränt ht die Häufungspunte, 0 Die Häufungspunte von b n ) n sind lso e, 0 e Konvergent oder divergent? ) Untersuchen Sie die folgenden Folgen uf Konvergenz Begründen Sie Ihre Antworten urz ) ) ) + 4n log n + n3 n + 5n) n ln = n = n b) Betrchten Sie die Folge reeller Zhlen definiert durch 0 = für n + > 0 sei n+ = 5+n) 6+ n Untersuchen Sie diese Folge uf Konvergenz bestimmen Sie gegebenenflls ihren Grenzwert ) Die erste Folge onvergiert, denn es gilt n 3 ) n + + 4n n + 5n = n3 + 4n n 3 + n + 5n n + = + 4 n n 3 + n + 0 + 0 + 0 + 5 + n + 5 = + 5 = 6 für n + 0 Betrchten wir nun die Folge n = ) n Diese ist nicht onvergent, denn für gilt Es folgt für lle n N die Abschätzung = = Für n gilt ber n =, lso uch n = Für die letzte Folge betrchten wir die Ungleichung ln für lle N, lso Wir erhlten die Abschätzung ln = ln = Somit divergiert uch diese Folge für n b) Zunächst beobchten wir, dss n > 0 für lle n N gilt Unter der Annhme, dss n ) n einen Grenzwert R besitzt, bestimmen wir diesen Für gilt dnn die Gleichung 5 + ) =,
lso 5 + ) 0 = = 5 Nullstellen des Polynoms 5 entsprechen möglichen Kndidten für den Grenzwert Diese sind = > 0 = + < 0 Weil n ) n eine Folge mit positiven Folgegliedern ist, nn nur der Grenzwert sein, lso = Es eibt zu zeigen, dss n ) n onvergiert Dfür zeigen wir, dss die Folge nch oben beschränt monoton steigend ist Wir zeigen nun durch vollständige Indution die Ungleichung n für lle n N Für n = 0 gilt 0 = 79 Angenommen es gilt n für ein n N Dnn folgt für n+ die Abschätzung n+ = 5 + n) n = 5 n 5) n = 5 n) 5 n = 5 5 n 5 5 5 + ) = = Also gilt n für lle n N Wir betrchten nun n+ n = 5 + n) n n = 5 n n n Weil 0 < n < gilt, folgt n > 0 uch 5 n n > 0, denn n liegt j zwischen den Nullstellen dieses Polynoms, welches nch unten gerümmt ist Also gilt n+ n > 0 Alles zusmmen ergibt, dss n ) n onvergent ist 3 Gebrochen rtionle Funtionen Seien px) = i=0 ix i qx) = l i=0 b ix i Polynome us R[x] ungleich dem Nullpolynom Untersuchen Sie ds symptotische Verhlten der Folgen ) ) pn) p n) qn) q n)
in Abhängigeit vom Grd der Polynome bestimmen sie ggf die Grenzwerte Wir fssen lle Fälle in einer Tbelle zusmmen Zunächst für ds symptotische Verhlten von pn) qn) für n Dbei sind grdp) = grdq) = l < l = l > l < 0 0 > 0 0 + Betrchten wir nun ds symptotische Verhlten von p n) q n) Für den Fll, dss l gerde ist, erhlten wir die selbe Tbelle wie oben Flls l ungerde ist, ergibt sich < l = l > l < 0 0 + > 0 0 4 Nochmehr Grenzwerte Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen Es gelten n + n + ) + + ) n) n + ) n ) 4 n n n + n + ) + + n) n + ) n = n + n 0 für n + ) n 4 = + ) ) n 8 n n e 8 für n 5 Verständnis Sind die beiden folgenden Aussgen über reellwertige Folgen richtig? Begründung! ) Ds Produt us einer beschränten Folge einer Nullfolge ist eine Nullfolge b) Ds Produt us einer beschränten Folge einer onvergenten Folge ist eine onvergente Folge ) Diese Aussge ist whr
Beweis Sei n ) n eine Nullfolge b n ) n beschränt mit der Schrne b > 0, lso b n b für lle n N Sei ε > 0 gegeben n 0 N derrt, dss für lle n n 0 die Ungleichung n < ε b gilt Dieses n 0 gibt es, d n ) n eine Nullfolge ist Dnn gilt uch für lle n n 0 die Ungleichung n b n n b < ε b b = ε Ds heißt ber gerde, dss n b n ) n eine Nullfolge ist b) Diese Aussge ist flsch: Sei n ) n die Konstnte -Folge, lso n = Diese onvergiert gegen b n ) n sei die Folge b n = ) n, welche beschränt ist, ber nicht onvergiert Dnn ist n b n = b n, lso ist n b n ) n = b n ) n nicht onvergent