Linere Gleichungssysteme lösen Eine Gleichung, die nur eine Unbeknnte ht, knn mn (in llen euch beknnten Fällen) nch dieser Unbeknnten uflösen und somit die Lösungsmenge bestimmen. Unter der Lösungsmenge sind lle Zhlen zu verstehen, die mn für die Unbeknnte einsetzen knn, so dss die Gleichung whr ist, lso "stimmt". Mnche Frgestellungen beinhlten jedoch zwei oder mehr Unbeknnte, wobei mn ber uch zwei oder mehr voneinnder unbhängige Gleichungen ufstellen knn. Zum Beispiel eine kleine Tetufgbe: Christin kuft vom Artikel A zehn Stück und zwölfml Artikel B. Dniel dgegen kuft fünfzehn Stück von A, ber nur zwei von B. Christin bezhlt 8 Euro, Dniel 9, Euro. Unbeknnt sind die Einzelpreise von A und B. D für beide Einkäufer die einzelnen Stückzhlen und der Gesmtpreis beknnt sind, knn mn zwei Gleichungen ufstellen, die beschreiben, wie sich der jeweilige Gesmtpreis zusmmensetzt. Der Einzelpreis von A wird hierbei durch die Vrible beschrieben und der Einzelpreis von B durch die Vrible b: + b = 8 () (Christins Einkuf) 5 + b = 9, () (Dniels Einkuf) Leider knn mn hier keine der einzelnen Gleichungen für sich genommen so nch einer Vriblen uflösen, dss mn den Einzelpreis blesen knn, denn mn bekommt die ndere Vrible nicht weg. Mn weiß ber, dss die zu findenden Lösungen für und b für beide Gleichungen gleichzeitig gelten müssen. Mn ht hier ddurch ein System zweier Gleichungen mit zwei Unbeknnten. Alle Verfhren, ds Problem zu kncken, beruhen druf, us den n Gleichungen mit n Unbeknnten (wobei mit n die Anzhl der Gleichungen und Vriblen gemeint ist) nur noch eine Gleichung mit einer Unbeknnten zu mchen. Es gibt dbei im Wesentlichen neben dem Errten und dem grphischen Lösungsverfhren vier lgebrische Verfhren: Gleichsetzungsverfhren Einsetzungsverfhren Additionsverfhren Elimintionsverfhren -59
Ht mn mehr ls zwei Gleichungen, dnn führt in jedem Verfhren immer jeder einzelne Schritt zu einer Gleichung, die jeweils eine Vrible weniger enthält. Gleichsetzungsverfhren Löst mn die Gleichung () us dem obigen Beispiel nch b uf, so erhält mn: b = -7,5 + 9,7. Diese umgeformte Gleichung nennen wir sinnvollerweise ('). D uf der rechten Seite noch ds vorkommt, hängt b lso von b. Immerhin knn mn hier für jeden Wert von sofort ein zugehöriges b berechnen. b = -7,5 + 9,7 beschreibt eine linere Funktion beschreibt mit der Steigung -7,5 und dem y-achsenbschitt 9,7. Zu dieser Funktion knn mn einen Grph zeichnen, der eine Gerde ist. Dsselbe knn mn uch mit der ersten Gleichung durchführen: Auflösen nch b und Zeichnen des zugehörigen Grphen b = -5/6 + 9/6 ('). Der Schnittpunkt beider Grphen ist der Punkt des gesuchten Lösungspres ( b), denn er liegt uf beiden Grphen, und seine Koordinten ( b) "pssen" somit in beide Gleichungen. Wenn mn einigermßen genu zeichnet, knn mn die Koordinten und dmit die Preise blesen. Den Schnittpunkt zweier linerer Funktionen berechnet mn indem mn die Funktionsterme gleich setzt. In unserem Beispiel sind die Funktionsterme -7,5 + 9,7 und -5/6 + 9/6. Mn setzt sie lso gleich und erhält ddurch eine Gleichung, die nur noch eine Unbeknnte enthält. Mn knn mit ihr lso die Lösung für bestimmen. Ds ist ds Gleichsetzungsverfhren: II' = I' -7,5 + 9,7 = -5/6 + 9/6 6-5 + 58, = -5 + 9 + 5 58, = + 9-9 9, = :,98 = Mit diesem Wert knn mn b leicht usrechnen: Mn muss nur in eine der beiden nch b umgeformten Gleichungen für den Wert,98 einsetzen: -59
Einsetzen in ('): b = -5/6 + 9/6 = -5/6,98 + 9/6 =,5 Einsetzen in ('): b = -7,5 + 9,7 = -7,5,98 + 9,7 =,5 Mn wählt sinnvollerweise die ngenehmere Gleichung, ws hier sicherlich (') ist. Definition : Ds Gleichsetzungsverfhren erfordert folgende Schritte: Löse beide Gleichungen nch der gleichen Vriblen uf. Setze die nderen Seiten der Gleichungen einnder gleich. Löse die so entstndene Gleichung nch der enthltenen Vriblen uf. Setze die Lösung in eine der umgeformten Gleichungen us Schritt ein und berechne so die ndere Vrible. Beispiel : Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen. 5+75y=58,5 und +y=9 Lösung: Beide Gleichungen werden nch y ufgelöst. 5+75y=58,5 und -5 75y=-5+58,5 :75 y=-5/75+58,5/75 y=-,6+,78 +y=9 - y=-+9 : y=- ½ +9/ y=-,5+,75 Deshlb wenden wir ds Gleichsetzungsverfhren n und setzen beide Gleichungen gleich und lösen sie nch uf. -,6+,78=-,5+,75 +,6,78=,+,75 -,75-59
,55=, =,55 Nun bruchen wir diesen -Wert nur noch in eine der beiden ufgelösten Gleichungen einzusetzen und y berechnen. =,55 y=,5 Fllunterscheidungen Beim Gleichsetzungsverfhren gibt es Fllunterscheidungen:. Möglichkeit /. Fll: Es gibt ein Schnittpunkt und die Aufgbe ht nur eine Lösung, bzw. die Gerden hben einen Schnittpunkt. g g. Möglichkeit /. Fll: Es gibt keine Lösung, die Grphen lufen prllel. g g. Möglichkeit /. Fll: Es gibt viele Lösungen, wenn überll ein Schnittpunkt ist, d.h. die Grphen und ihre Funktionsgleichungen sind identisch. -59
Ds Einsetzungsverfhren Gegeben sei ds Gleichungssystem 5 - = y () 7 - y = 5,5 () Wenn mn eine der beiden Gleichungen nch einer Vriblen ufgelöst ht, so weiß mn ihren Wert in Abhängigkeit von der nderen Vriblen. In unserem Beispiel ist Gleichung () bereits nch y ufgelöst. Alle y, die Lösung des Gleichungssystems sein wollen, müssen gleich 5 - sein. Wenn mn nun in der nderen Gleichung lle y durch diesen Term ersetzt, der nch der ersten Gleichung gleich y ist, so erhält mn eine Gleichung, die nur noch enthält: (): 7 - y = 5,5 Für ds y wird (5 - ) eingesetzt: () in (): 7 - (5 - ) = 5,5 Achtung: Mn muss den Term in Klmmern setzen, denn sonst würde mn nicht ds "komplette" y (lso 5 - ) ml - nehmen, sondern nur die 5. Nun knn mn wie oben die Gleichung nch uflösen und ds Resultt in () einsetzen, um y zu berechnen: 7 - (5 - ) = 5,5 Klmmer uflösen 7-5 + = 5,5 Zusmmenfssen 9-5 = 5,5 + 5 9 = 66,5 : 9 =,5 In (): y = 5 - = 5 -,5 = -9 Definition : Ds Einsetzungsverfhren erfordert folgende Schritte: Löse eine der Gleichungen nch einer Vriblen uf. (Eventuell liegt eine gegebene Gleichung schon pssend vor. Verfhren Sie sonst so, dss Sie möglichst keine oder zumindest "einfche" Brüche erhlten.) Setze den Term für diese Vrible in die ndere Gleichung ein. Löse die so entstndene Gleichung nch der enthltenen Vriblen uf. 5-59
Setze die Lösung in die umgeformte Gleichung us Schritt ein und berechne so die ndere Vrible. Beispiel : Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen. () =y- und () -9y= Lösung:. Schritt: Einsetzen von in I (y-)-9y= y-8-9y= +8 y=9 : y=. Einsetzen von y in I = -=9-=7. Angbe der Lösungsmenge L={7; } Additionsverfhren Ds Additionsverfhren dient dzu, ein "System" von zwei Gleichungen zu lösen, d.h. heruszubekommen, welche Zhlen mn für die beiden vorkommenden Vriblen einsetzen muss, dmit die beiden Gleichungen ufgehen. Zum Beispiel könnte mn bei der Gleichung + y = für = einsetzen und für y=, und dnn würde die Gleichung ufgehen. Mn könnte ber uch für = einsetzen und für y=-, und es würde uch gehen. Es gibt bei einer Gleichung zumeist unendlich viele solcher Lösungen, wenn sie zwei Unbeknnte ht. Wenn die Lösung, lso die Werte für und y, llerdings noch eine zweite Gleichung erfüllen sollen, dnn gibt es in den meisten Fällen nur eine einzige Möglichkeit. Solche zwei zusmmengehörenden Gleichungen nennt mn dnn "Gleichungssystem". Beispiel : + y = -5y = - 9 Jetzt formt mn erst ml beide Gleichungen so um, dss lle Vriblen uf der linken Seite stehen, d.h. bei der zweiten Gleichung müssen die uf die linke Seite gebrcht werden: 6-59
+ y = -5y = - 9 - + y = - - 5y = -9 Durch irgendein Verfhren muss nun us diesen ZWEI Gleichungen, die jeweils BEIDE Vriblen enthlten, eine einzige gemcht werden, die nur noch eine enthält. Beim Additionsverfhren werden beide Gleichungen entweder ddiert oder voneinnder subtrhiert, ds kommt uf die Fktoren n. Dzu später mehr. Beim Addieren zweier Gleichungen müssen die Fktoren vor den Vriblen und die Zhlen getrennt behndelt werden: Wenn mn die beiden Gleichungen + y = und - - 5y = -9 ddiert, dnn ddiert mn lso die beiden Fktoren vor dem getrennt: + (-) = - = Für y sieht es so us: + (-5) = - 5 = -; und für die einzelnen Zhlen so: + (-9) = - 9 = -9. Die Addition der beiden Gleichungen ergibt dmit: + y = + - - 5y = -9 = - y = -9 Dmit ist ber, wie mn sieht, keine Vrible verschwunden, d.h. wir hben immer noch eine Gleichung mit zwei Unbeknnten! Ds gnze sähe ber schon viel besser us, wenn z.b. bei der zweiten Gleichung vor dem eine - stehen würde, dnn fiele nämlich ds herus, denn + (-) = - =! Und so multipliziert mn einfch die komplette zweite Gleichung mit : + y = - - 5y = -9 + y = - - y = -8 7-59
Addieren ergibt jetzt: - 7y = -8 lso: -7y = -8 Dmit knn y bestimmt werden: -7y = -8 : (-7) y = Jetzt wird dieser Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen für y eingesetzt, und diese Gleichung wird nch ufgelöst: + y = + = + = - = - : = -,5 Zur Probe die herusgefundenen Werte in beide Gleichungen einsetzen und überprüfen, ob es stimmt:. Gleichung: + y = (-,5) + = - + = stimmt.. Gleichung: - - 5y = -9 - (-,5) - 5 = -9 - = -9 stimmt uch. Beispiel : + y = - - 7y = Ein immer funktionierender Trick ist bei solchen Situtionen, jede Gleichung ml den entsprechenden Fktor in der nderen Gleichung zu nehmen. Die erste Gleichung wird lso ml genommen, weil in der zweiten Gleichung uftreten. Die zweite Gleichung wird ml genommen, d in der ersten uftreten: 8-59
+ y = - - 7y = + 6y = -8 - y = 6 Nun bringt Addieren in diesem Flle nichts, denn ddurch bekäme mn. Hier muss nun subtrhiert werden! Wir ziehen die zweite von der ersten Gleichung b und erhlten: Bei : Bei y: - =, fällt lso weg! 6y - (-y) = 6y + y = 7y Bei den Zhlen: -8-6 = lso: + 6y = -8 - y = 6 = 7y = - :7 y = - Einsetzen in zweite Gleichung: Probe: - 7y = - 7 (-) = + = - = : =. Gleichung: + y = - + (-) = - - = - stimmt.. Gleichung: - 7y = - 7 (-) = Definition : Ds Additionsverfhren erfordert folgende Schritte: 9-59
Beide Gleichungen so umformen, dss die Vriblen (mit ihren Fktoren) uf einer Seite (links) vom Gleichheitszeichen stehen und uf der nderen Seite (rechts) eine einzelne Zhl. Suche jeweils ds kleinste gemeinsme Vielfche der Fktoren vor und vor y. Wähle die Vrible us, bei der ds kleinere kgv uftritt, und multipliziere beide Gleichungen so, dss vor dieser Vriblen jeweils gleiche Fktoren stehen (ds ist dnn nämlich ds kleinste gemeinsme Vielfche). Mn knn uch ohne Umschweife die erste Gleichung mit dem Fktor vor dem der zweiten Gleichung multiplizieren und umgekehrt. Flls die (betrgsmäßig gleichen) Fktoren ds selbe Vorzeichen hben, dnn subtrhiere die Gleichungen voneinnder. Wenn sie unterschiedliche Vorzeichen hben, dnn ddiere sie. Dies geschieht komponentenweise, d.h. die Fktoren vor werden untereinnder ddiert, die Fktoren vor dem y (oder entsprechenden nderen Vriblen), und die einzelnen Zhlen werden für sich behndelt. Ddurch entsteht eine Gleichung mit nur einer Vriblen. Diese wird nun durch normle Äquivlenzumformungen nch der Vriblen ufgelöst. Der erhltene Wert wird in eine der ursprünglichen Gleichungen für die jeweilige Vrible eingesetzt, wodurch wieder eine Gleichung entsteht, die nur noch eine Vrible, nämlich die ndere, enthält. Nch dieser uflösen! Probe mchen, indem die Lösungen in beide Gleichungen eingesetzt werden. Die Lösungen stimmen nur dnn, wenn beide Gleichungen "ufgehen". Definition : Der Grd gibt n, wie viele Gleichungen und wie viele Unbeknnte ds Gleichungssystem ht; im Flle lso drei Gleichungen mit drei Unbeknnten. Beispiel 5: - b = c + c = - b b + c = Es kommt reltiv häufig vor, dss nicht in llen Gleichungen lle Vriblen vorkommen. Hier fehlt z.b. in III ds. Mn knn nun diese. Gleichung usnutzen, -59
um in I und II c zu eliminieren (eliminieren = uslöschen). Dzu lösen wir sie zunächst nch c uf, um sie dnn in I und II einzusetzen: III: b + c = - b III': c = - b in I: - b = c - b = - b +b + b = in II: + c = - b + ( - b) = - b + - b = - b +b - = Dmit sind zwei Gleichungen mit insgesmt zwei Unbeknnten ( und b) entstnden, lso dieses Gleichungssystem: - b = - b = Freundlicherweise kommt in der zweiten Gleichung gr kein b mehr vor, womit die Lösung für schon beknnt ist und in die erste eingesetzt werden knn, um b zu berechnen: + b = + b = -6 b = -5 Mit den nunmehr beknnten Werten für und b knn c berechnet werden. b llein reicht dfür uch schon us, d in III' kein vorkommt: in III': c = - b c = - (-5) = + = Gleichungssysteme mit unendlich vielen Lösungen oder ohne Lösung Ds folgende Gleichungssystem ht keine Lösung: - z = y - 5 y - + z = 6 + y = - z I: - z = y - 5 +z -59
I': = y + z - 5 in II: y - (y + z - 5) + z = 6-7y - z + = 6 - II': -7y - z = - in III: (y + z - 5) + y = - z 7y + z - = - z +z 7z + z - = - (-) -7z - z + = - - III' -7y - z = - Vergleiche II' mit III'. Die linken Seiten sind identisch, die rechten jedoch nicht. Weiteres Gleichsetzen führt uf die flsche Aussge - = -. In solchen Fällen eistiert keine Lösung. Wäre dgegen ds Gleichungssystem so gegeben: - z = y - 5 y - + z = 7 + y = - z dnn bekommt mn mit nlogen Schritten... II': -7y - z = -... III' -7y - z = - Also zwei identische Gleichungen. Mn sgt in einem solchen Fll, die Gleichungen sind liner bhängig. Ttsächlich erhält mn III, wenn mn I+ II bildet. Mn ht demnch eigentlich nur zwei unbhängige Gleichungen mit drei Unbeknnten und knn keine eindeutige Lösung ermitteln. Mn geht in diesen Fällen von einer freien Vriblen us, z.b. z, und beschreibt die übrigen in Abhängigkeit von ihr: y = - /7 z, = /7 z -. Beispiel 6: -59
Gleichungssystem mit vier Unbeknnten lösen I: 6p - q + m = n - 5 II: -q - 8 = -6p + 8n - m III: m = n - p + 5 IV: p = 9 + n + q Gleichung IV nch q uflösen: p = 9 + n + q IV': q = p - n - 9 IV' in I: 6p - q + m = n - 5 6p - (p - n - 9) + m = n - 5 6p - p + n + 9 + m = n - 5 +5 -n I': p + + m = 8n IV' in II: -q - 8 = -6p + 8n - m -(p - n - 9) - 8 = -6p + 8n - m -6p + 8n + 8-8 = -6p + 8n - m -8n +6p = -m :(-) -5 = m sehr schön! in I': p + + (-5) = 8n p + 9 = 8n p = 8/n - III: m = n - p + 5 (-5) = n - (8/n - ) + 5 - = n - 8n + 9 + 5 - = -n + - -59
- = -n :(-) 6 = n p = 8/n - p = 8/ 6 - p = (siehe oben) IV': q = p - n - 9 = - 6-9 = 6 Derrtige Gleichungssysteme löst mn systemtischer mit dem Gußschen Verfhren Aufgbe : Berechnen Sie die Schnittpunkte der beiden Gleichungen mit dem Gleichsetzungsverfhren. ) y=+ und y=5+ Lösung: L={; } b) y=+8 und y=,5+ Lösung: L = { 5 ; 5 } c) +y=8 und 7-y= Lösung: L = { 9 ; 7 9 } d) 8-y=- und -y=8,5 Lösung: L = {; } Lösung: ) y=+ und y=5+ +=5+ - +8=5-8= : = +=+= L={; } b) y=+8 und y=,5+ +8=,5+ - +6=,5-6=-,5 :(-,5) -59
=- /5 ( 5 )+8= L = { 5 ; 5 } c) -7 +8= 5 5 +y=8 und 7-y= +y=8 - y=-+8 : y=-+9 7-y= -7 -y=-7+ (-) y=7- -+9=7- + -+=7 + =9 :9 = 9 8 - +9=- +9= 9 9 9 L = { 9 ; 7 9 } d) 8-y=- und -y=8,5 8-y=- -8 -y=-8- :(-) y=+ ¾ -y=8,5 - -y=-+8,5 :(-) + ¾ =7- y=7-,5 =7-5 7 - ¾ -7-5=-5 :(-5) 5-59
= + ¾ = ¾ L = {; } Aufgbe : Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Gleichungen. -7y+= und 6-5y=- Lösung: L = { ; } Lösung:. Schritt: Auslösen der beiden Gleichungen nch y: -7y+= - -7y=- - 6-5y=- -6-7y=-- :(-7) y= + 7 7-5y=-6- :(-5) y= + 5 5. Gleichsetzen von I und II und Auflösen der Gleichung nch : + = + - 7 7 5 5 7 6 = - - 7 5 5 5 8 6 8 =- : 5 5 5 =-. Einsetzen von in I 6 y= (- )+ =- + =- =- 7 7 8 8 8. Angbe der Lösungsmenge L = { ; } Aufgbe : Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen. 6-59
6y=9-8 und 6-y= Lösung: L={} Lösung:. Schritt: Rechnung: 6y=9-8 :6 y= ½ - ½ 6-y= -6 -y=-6+ :(-) y=- ½ -. Gleichsetzen von I und II ½ - ½ = ½ - + ½ ½ = ½ + ½ - ½ ½=. Angbe der Lösungsmenge L={} Aufgbe : Berechne den Schnittpunkt der beiden Gleichungen -7y= und 5+y=6 Lösung: L = { ; 8 7 } Lösung:. Schritt: -7y= - -7y=-+ :(-7) 6 y= +5 7 7 5+y=6-5 y=-5+6 : y=- +. Gleichsetzen von I und II 7-59
6 6-5 =- + +5 7 7 7 6 =- +6 + 7 7 7 68 7 = : 7 =. Einsetzen von in I 6 6-5 = -5 =-5 7 7 7 7 7. Angbe der Lösungsmenge L = { ; 8 7 } Fllunterscheidung mit Beispielen Die Fllunterscheidungen gibt es uch bei dem Gleichsetzungsverfhren. Hier möchte ich Ihnen die gnzen Fälle mit Beispielen zeigen. Möglichkeit: Es gibt einen Schnittpunkt und die Gleichung ht nur eine Lösung. g g Beispiel 7: 6+y+8= und 8y=-9. Schritt: Rechnung: 6+y+8= -8 6+y=-8-6 y=-6-8 : y=- - 7 7 8y=-9 :8 y= - 8 8 8-59
. Gleichsetzen von I und II - - = - 56 7 7 8 8 --=7-6 + -=7- -7 -=- :(-) =. Einsetzen von in I - - =- - =- 7 7 7 7. Angbe der Lösungsmenge L={; -}. Möglichkeit: Es gibt keine Lösung, die Grphen lufen prllel. g g Die Lösungsmenge ist dnn L={}. Beispiel 8: 6y=9-8 und 6-y=. Schritt: Rechnung: 6y=9-8 :6 y= ½ - ½ 6-y= -6 -y=-6+ :(-) y= ½ -. Gleichsetzen von I und II ½ - ½ = ½ - + ½ ½ = ½ + ½ - ½ =. Angbe der Lösungsmenge 9-59
L={} Wenn die Funktionsgleichungen ds gleiche m, ber ein unterschiedliches b hben, verlufen die Grphen prllel.. Möglichkeit: Es gibt viele Lösungen, wenn überll ein Schnittpunkt ist. D.h. die Grphen und ihre Funktionsgleichungen sind identisch. Und die Grphen liegen ufeinnder. Die Lösungsmenge ist dnn L={(; y) y=8+; R } Beispiel 9: + y= und +7,5y=. Schritt: Rechnung: + y= - y=-+ : y=- +8 +7,5y= - 7,5y=-+ :7,5 y=- +8. Gleichsetzen von I und II - +8 =- +8 + 8 =8 L={(; y) y=- +8} Aufgbe 5: Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Gleichungen.,5+y=9 und,5+6y= Lösung:. Schritt: Rechnung: -59
,5+y=9 und,5+6y=,5+y=9 -,5 y=-,5+9 : y=- ¾ +,5,5+6y= -,5 6y=-,5+ :6 y=- ¾ +5. Gleichsetzen von I und II - ¾ +,5=- ¾ +5 + ¾,5=5. Angbe der Lösungsmenge L={} Aufgbe 6: Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Gleichungen. +y=8 und 7,5+y= Lösung:. Schritt: Rechnung: +y=8 - y=-+8 : y=- ¾ + 7,5+y= -7,5 y=-7,5+ : y=- ¾ +. Gleichsetzen von I und II - ¾ +=- ¾ + + ¾ =. Angbe der Lösungsmenge L={(; y) y=- ¾ +; Aufgbe 7: R } Geben Sie die Lösungsmenge des Systems n. -59
I +9y=5 und II 8-9y= Lösung: Wenn +9y=5 und 8-9y= dnn ist uch (+9y)+(8-9y)=5+ und dnn ist: =5 =,5 I +9y=5 II 8-9y= I +9y=5 I+II +y= I +9y=5 I+II =,5 Hier können wir blesen, welche Zhl für eingesetzt werden muss. I,5+9y=5 Hier setzen wir für in Gleichung I die Zhl,5 ein und lösen nch y uf I y= I+II L={,5; } Aufgbe 8: =,5 Geben Sie die Lösungsmenge des Systems n. +y=57 -y=9 Lösung: L={; } Lösung:. Schritt:Rechnung:Auflösen von I und II+y=57 - y=-+57y=9 - -y=-+9 (-) y=-9. Gleichsetzen von I und II-+57=-9-57 -=-66 - -=66 : =. Einsetzen von in I- +57=. Angbe der LösungsmengeL={; }Merkregeln zur Anwendung der einzelnen Verfhren I -7y=8 II -=y -59
Am besten geeignet ist ds Einsetzungsverfhren, weil mn die II Gleichung nur noch durch dividieren muss. I 6+y= II --7y= Am besten geeignet ist ds Additionsverfhren, weil mn die II Gleichung nur noch mit multiplizieren muss. I +=y II y=-5 Am besten geeignet ist ds Gleichsetzungsverfhren, weil mn die beiden Gleichungen gleichsetzen knn, sie sind schon nch y umgeformt. I y=-7 II -y=9 Am besten geeignet ist ds Einsetzungsverfhren, weil mn y gleich in die II Gleichung einsetzen knn. I -9y= II -8-y= Am besten geeignet ist ds Additionsverfhren, weil mn die I Gleichung nur noch mit multiplizieren muss. I =-y+9 II -7y-8= Am besten geeignet ist ds Gleichsetzungsverfhren, weil mn die Gleichung gleichsetzen knn. I -7-9y= II 7-8y= Am besten geeignet ist ds Additionsverfhren, weil mn y gleich uflösen knn. I 9-y=8 II -8y-=7 Am besten geeignet ist ds Gleichsetzungsverfhren, weil mn die Gleichungen gleichsetzen knn. Allgemeines zu Lineren Gleichungssystemen Beispiel: (Verflechtungsbilnz) Es werden die Produkte P, P,..., Pn hergestellt. Für herzustellende Produkte werden einzelne ndere Produkte benötigt. Ddurch entsteht eine innerbetriebliche Verflechtung. X, X,..., Xn sind die Herstellungsmengen und W, W,..., Wn die -59
-59 Abstzmengen. Der Verflechtungskoeffizient ij sgt us, wie viele Einheiten von Pi für die Herstellung einer Einheit PJ benötigt werden., *... * * *... * * *... * * n n n n n n n n n n n X X X X W X X X X W X X X X W Es entsteht lso ein System von lineren Gleichungen. n n n n n n n n n n X X X ges W X X X X W X X X X W X X X X ;...; ;.:... * * *............ *... * * *... * * Mtrizenschreibweise: W X A E * A: Mtri der Verflechtungskoeffizienten X: Produktionsvektor W: Abstzvektor Ein System von Gleichungen der Form b A b b b m n mn m m n n n n * *... * *............ *... * * *... * * heißt ein lineres Gleichungssystem A: Koeffizientenmtri; b: Vektor der rechten Seite; : Vektor der Unbeknnten Spezilfll: Homogenes Gleichungssystem: b= (Nullvektor) Sonst: Inhomogenes Gleichungssystem b Jeder Vektor, der ds Gleichungssystem erfüllt, heißt eine Lösung des Gleichungssystems Die Gesmtheit ller Lösungen ergibt die Lösungsmenge Die Lösungsmenge ändert sich nicht bei folgenden Opertionen: beim Vertuschen von Gleichungen
bei der Multipliktion mit einem Fktor ungleich Null bei der Addition bzw. Subtrktion von Gleichungen wenn ds Vielfche einer Gleichung zu einer nderen ddiert wird Durch diese Prinzipien wird die Bsis für die direkten Lösungsverfhren für Gleichungssysteme gelegt. Der Guß sche Algorithmus Dieses Verfhren dient zur Lösung von lineren Gleichungssystemen Es eignet sich zur Bestimmung einer speziellen Lösung ls uch zur Angbe der gesmten Lösungsmnnigfltigkeit. Durch moderne Rechnernlgen lässt sich ds Guß sche Elimintionsverfhren sehr gut durchführen und ht deshlb n Bedeutung gewonnen. Seine Idee besteht drin, us einem System von m lineren Gleichungen mit n Vriblen m- Gleichungen so umzuformen, dss eine der Vriblen, etw, in diesen m- Gleichungen nicht mehr vorkommt, lso eliminiert wird. Aus m- von diesen m- neuen Gleichungen lässt sich nun z.b. entfernen. Indem mn so fortfährt, erhält mn schließlich eine einfch zu lösende Gleichung, die nur noch eine Vrible n ufweist. Ds Gleichungssystem lässt sich dnn einfch nch llen nderen Vriblen uflösen, d immer nur eine unbeknnte Vrible vorhnden ist. Rechenschem: 5-59
' ' ' ' ' ' ' '' '' ' ' ' ' ' '' '' ' '' b b b b b b ' b ' b ' b b ' b '' b '' b b ' b '' b ''' ' ' ' ' '' '' '' '' ''' ''' ''' ''' Im llgemeinen Teil wird ein Gleichungssystem mit Vriblen vernschulicht: ( ) erhlten wir durch Division von () durch (Vor. ) Dnn multiplizieren wir ( ) mit und subtrhieren von () und erhlten ( ). Dnn multiplizieren wir ( ) mit und subtrhieren von () und erhlten ( ). Entsprechend erhält mn ( ) Anschließend wird ( ) zu ( ) vereinfcht und zur Umformung von ( ) in ( ) und von ( ) in ( ) verwendet. Dies wird nlog bis ( ) fortgesetzt, so dss mn nch der Vriblen uflösen knn. 6-59
7-59 Beispiel : * * * * * 5* * * * * 5 5 5 5 5 7 5 5 6 () () 6 () () b b b b b
8-59 Sonderfälle: Unlösbre Gleichungssysteme Gleichungssystem unlösbr Widerspruch b b b b 5 7 6 5 5 5 7 5 5 7 5 5 Entsteht bei einer Umformung ein Widerspruch, so ist ds Gleichungssystem unlösbr. Hndelt es sich bei dem Gleichungssystem um ein homogenes System (rechte Seite = ), so knn dieser Fll nicht uftreten.
9-59 Ds Gleichungssystem ht mehrere Lösungen wählbr frei ist b b b b 5 7 5 5 5 7 5 5 7 6 5 p p p p p 7 5 Gleichungen, die uf beiden Seiten sind, können gestrichen werden. Reichen die verbleibenden Gleichungen nicht us zur Auflösung, so sind eine oder mehrere Vriblen frei wählbr.
Linere Systeme von Gleichungen mit Vriblen Aufgbe 9: Bestimmen Sie die Lösung dieses LGS. I +y+z=6 II y+z= III z= Lösung: L={; ; } Lösung: III in II : y+= - y= y= und z= in I ++=6 - = Angbe der Lösungsmenge L={; ; } -59
Determinntenverfhren nch Crmer Gbriel Crmer (7-75, von Beruf Mönch) entwickelte ein strk formlisiertes Lösungsverfhren für LGS. (Bedingung: Gleichviel Vriblen und Gleichungen) Ein Zhlenschem der Form: heißt Determinnte (n-reihig). Die Entwicklung von Determinnten (Wie rechnet mn den Wert einer Determinnte us?) Eine -reihige Determinnte wird folgendermßen berechnet: Huptdigonle (links oben nch rechts unten) Nebendigonle (links unten nch rechts oben)" Eine beliebige Determinnte wird nun nch einer Zeile oder Splte entwickelt. Am Beispiel: (Entwicklung nch der. Zeile) Mn nimmt die Elemente der. Zeile ls Fktoren vor Unterdeterminnten, die entstehen, wenn mn die Zeile und Splte streicht, in der der jeweilige Fktor steht. Die Produkte us Fktor und Unterdeterminnte wird ddiert oder subtrhiert. Ds Vorzeichen wird nch Zeilennummer/Spltennummer bestimmt. Mn ddiert die Zeilen- und Spltennummer: Ergebnis gerde: +, ungerde: - (Ein Beispiel: Entwicklung nch der 6. Zeile: Ds erste Element steht in der 6. Zeile,. Splte, 6+=7, ungerde, lso wird mit - begonnen.) Ds gleiche Beispiel nch der. Zeile entwickelt: -59
Eine dieser Unterdeterminnten knn dnn weiter entwickelt werden, z. B.: Die entstndenen -reihigen Determinnten lssen sich mit obiger Methode berechnen, z. B.: Obiges Beispiel im letzten Entwicklungsschritt: Insgesmt werden zwölf -reihige Determinnten berechnet! Wer ds Beispiel nchrechnen möchte: Für die Berechnung von -reihigen Determinnten knn mn die Regel von Srrus hernziehen, die die Entwicklung der -reihigen und nschließende Berechnung von -reihigen Determinnten bereits enthält: Bsp.: Die ersten zwei Splten rechts dnebenschreiben, dnn: -59
Huptdigonlen - Nebendigonlen Die Crmersche Regel () Bilde die Koeffizientendeterminnte: Ist D, so ht ds LSG eine eindeutige Lösung. (Ist D= und lle Di=, so gibt's eine Prmeterlösung. Ist D= und ein Di, so gibt's keine Lösung.) () Bilde lle Formdeterminnten Di: Die. Splte wird durch die rechte Seite (die b s) ersetzt. Die. Splte wird durch die rechte Seite ersetzt. usw. () Berechne die Lösungen:... Beispiel : -59
Es eistiert eine eindeutige Lösung Aufgbe : Bestimmen Sie die Lösung dieser Gleichungssysteme mit Hilfe der Crmerschen Regel. ) I: - y + z = 5 II: - + y + z = 5 III: 5 - y + z = 6 b) I: - y + z = II: + y - z = -6 III: - y - z = -5-59
c) I: + y + z = II: 7 + y - 7z = 9 III: + y + z = d) I: y - z = 7 II: - y + z = - III: + y = - e) I: + 7y - z = II: 7 - y + z = -9 III: - y + z = -5 f) I: - y - 6z = II: - - y + z = -6 III: 7 + y + 6z = Lösungen: ) ( / - / 5) b) (,7 / -, /,) c) unendlich viele Lösungen d)(-8 / / ) e) L = { } f) (6 / - / -) Aufgbe : Bestimmen Sie die Lösung dieses Gleichungssystems. 5 Lösung: =; = Lösung: 5-59
Aufgbe : Bestimmen Sie die Lösung dieser Gleichungssysteme. ) I: + y = II: - y = b) I: - - y = II: + 5y = 9 c) I: - 6y = 6 II: 5 + y = d) I: + y = II: -6 + y = e) I: + y = 8 II: 6-7y = - f) I: - y = II: -9 + y = - g) I: - 8y = II: - + 5y = 6 h) I: 8 + y = - II: 7 - y = 676 i) I: - y = II: -8 + 7y = -7 Lösungen: ) (5 / -) b) (- / ) c) (7,5 /,5) 6-59
d) (-,5 / 6,5) e) (, /,) f) ( /9 / /6) g) (5 / 5) h) (8 / -,5) i) (-7 / -9) Aufgbe : Bestimmen Sie die Lösung dieser Gleichungssysteme. ) I: + y + 5 = 5 + 6y - II: - y - = - y b) I: ( + 5) = (y - ) II: ( - 6) = (y + ) c) I: 5( + y) = (y - 5) + II: 6(8 - y + 6) = (y - ) - d) I: ( + y) = ( - y) + 5 II: ( - y) = ( + y) - e) I: ( + 5)(y + ) = ( + 8)(y - ) II: ( - )(y - ) = ( - )(y + ) f) I: ( + )(y - ) = ( - )(y + ) II: ( - 6)(y + 9) = ( + )(y - 5) Lösungen: ) (6 / -) b) (5 / 8) c) ( / ) d) unendlich viele Lösungen e) (- / 7) f) L = { } Aufgbe : Bestimmen Sie die Lösung dieses Gleichungssystems. I +y+z=6 II y+z= III z= 7-59
Lösung: L={; ; } Lösung: III in II : y+= - y= y= und z= in I ++=6 - = Angbe der Lösungsmenge L={; ; } Aufgbe 5: Bestimmen Sie die Lösung dieses Gleichungssystems. I -y+z=- II -y+5z=7 III -5y+,5z=-6,5 Lösung: L={; ; } Lösung: I -y+z=- II -y+5z=7 5 III -5y+,5z=-6,5 I -y+z=- II -y+5z=7 III 6z=8 6z=8 :6 z= III in II : -y+5 =7-5 -y=-8 :(-) y= y= und z= in I - + =- -+6=- +6 8-59
= Angbe der Lösungsmenge L={; ; } Aufgbe 6: Bestimmen Sie die Lösung dieses Gleichungssystems. I -y+z= II -y+z=5 III 6-y+z=6 Lösung: L={; -; } Lösung: I -y+z= (-) II -y+z=5 (-) III 6-y+z=6 I -y+z= II 5y+z=- III -y-5z=-8 5 + I -y+z= II 5y+z=- III -z=-6 -z=-6 :(-) z= III in II : 5y+=- - 5y=-5 :5 y=- y=- und z= in I -(-)+ = -9 = : = Angbe der Lösungsmenge L={; -; } Aufgbe 7: 9-59
Bestimme die Lösungsmenge des Systems. I -y+z= II -y+z = III -y+5z=5 Lösung: L={; -; } Lösung: I -y+z= (-) II -y+z = III -y+5z=5 (-) I y+z= II -y+z= + III -y+5z=5 (-) I y+z= II -y+z= III y-z=- (-) III in I: y+= - y=- : y=- y=- und z= in II -(-)+ = -9 = : = Angbe der Lösungsmenge L={; -; } Aufgbe 8: Die Differenz zweier Zhlen beträgt. Subtrhiere ich vom Neunfchen der größeren Zhl ds Fünffche der kleineren Zhl, so erhlte ich 7. Bestimme die beiden Zhlen. Lösung: (;) Lösung: Gleichung: 9-5(-)=7-59
<-> 9-5+5=7 <-> +5 = 7 <-> = 56 <-> = - = - = Aufgbe 9: Tick, Trick und Trck sind zusmmen Jhre lt. Trick ist Jhre älter ls Tick, Trck ist 6 Jhre älter ls Trick. Bestimme ds jeweilige Alter der drei. Lösung: (; ; 69) Lösung: Gleichung: +(+)+(+)+6 = <-> +++++6 = <-> + 9 = <-> = <-> = + = += +6 = 69 Aufgbe : Ein Grundstück wird unter drei Fmilien ufgeteilt, Fmilie Weber erhält ein Drittel, Fmilie Schulz drei Achtel und Fmilie Schmidt den Rest des Grundstückes. Der Anteil der Fmilie Schmidt ist 5 qm groß. Bestimme die Größe (genuer: den Flächeninhlt) des gesmten Grundstückes vor seiner Aufteilung. Lösung: 5 qm Lösung: Gleichung: = (/)+(/8)+5qm <-> = (7/)+5 qm <-> (7/)=5 qm <-> = qm -59
Aufgbe : Bestimme die zwei Zhlen, deren Summe und deren Differenz 8 ist. Lösung: Die gesuchten Zhlen luten 5 und -. Lösung: I: +y= II: -y=8 L={(5;-)} Antwort: Die gesuchten Zhlen luten 5 und -. Aufgbe : Bestimme die beiden Zhlen, die die Summe ergeben und bei denen die Differenz doppelt so groß ist wie die kleiner der beiden Zhlen. Lösung: Die gesuchten Zhlen luten 8 und Lösung: I: +y= II: -y=y L={;8)} Antwort: Die gesuchten Zhlen luten 8 und. Aufgbe : Die bsolut identischen Hnsen-Zwillinge und die Schulz-Drillinge wiegen zusmmen 8 kg 75 g. Stellt sich jedoch nur ein Hnsen-Zwilling mit zwei der Schulz-Drillinge uf die Wge, so zeigt diese lediglich kg n. Frgestellung: Wie viel wiegen die einzelnen Zwillinge? Lösung: Ein Hnsen-Zwilling wiegt 67,5 kg, ein Schulz-Drilling wiegt 7,5 kg. Lösung: I: +y=8,75 kg II: +y= kg L={(67,5 kg ; 7,5 kg)} Antwort: Ein Hnsen-Zwilling wiegt 67,5 kg, ein Schulz-Drilling wiegt 7,5 kg. Aufgbe : Bei einem Rechteck beträgt der Umfng 9, cm, die eine Seite ist um, cm länger ls die ndere. Bestimme den Flächeninhlt des Rechteckes! Lösung: Ds Rechteck mit den Seitenlängen 6,5 cm und, cm ht einen Flächeninhlt von,8 cm. Lösung: Vribeln: und b für die Seitenlängen. -59
I: +b=9, cm II: =b+, cm L={(6,5 cm;, cm)} Flächeninhlt: b=6,5cm,cm=,8cm Antwort: Ds Rechteck mit den Seitenlängen 6,5 cm und, cm ht einen Flächeninhlt von,8 cm². Aufgbe 5: Lösen Sie linere Gleichungssysteme mit Hilfe des Guß schen Algorithmus. (e) 5-+= -+=5 +-=5 ++5= Lösung: ) keine Lösung b) keine Lösung c) -59
d) e) Lösung: ) b) -59
c) 5-59
d) 6-59
e) 7-59
Aufgbe 6: Christ und Juli hben sich verbredet. Sie strten beide um 5 Uhr mit ihren Fhrrädern in ihren km voneinnder entfernten Heimtorten. Christ schfft in jeder Stunde, Juli 6 km. Wie weit von Christs Heimtort entfernt treffen sie sich? Lösung: 8-59
Aufgbe 7: Zwei Autofhrer strten gleichzeitig in 55 km voneinnder entfernten Ortschften. Der erste legt 75, der zweite 9 km pro Stunde zurück. Wie weit vom Strtort des ersten Fhrers entfernt treffen sie sich? Lösung: 9-59
Aufgbe 8: Onkel Josef möchte seine Nichte Crmen besuchen. Er kommt im 6 km von Crmens Heimtdorf entfernten Bhnhof n und ruft seine Nichte n, um von ihr bgeholt zu werden. Die setzt sich sofort in ihr Auto und fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 5 km/h zum Bhnhof. D Onkel Josef nicht wrten will, gehr er Crmen entgegen. er schfft km pro Stunde. Wie weit muss der Onkel gehen, bis er von seiner Nichte getroffen wird? 5-59
Lösung: Aufgbe 9: Ale und Fred wohnen in den km voneinnder entfernten Orten A und F. Die beiden hben sich verbredet und fhren jeweils mit dem Fhrrd einnder entgegen. Ale fährt um Uhr mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 8 km/h los. Minuten später strtet Fred in F. Er schfft km pro Stunde. Wie weit von A entfernt treffen sie sich? Lösung: 5-59
5-59
Beispiel : Beispiel : 5-59
Beispiel : Beispiel 5: 5-59
Aufgbe : Bestimmen Sie die Lösungsmenge. Wählen Sie selbst einen Lösungsweg! Lösung: ) (/), b) (75/5), c) (/ /8), d) (/), e) (/), f) (5/ ), g) (5/), h) ( 5/5), i) (./.). Aufgbe : ) Suchen Sie zwei Zhlen, deren Summe und deren Differenz 6 ist. b) Eine Zhl ist um 8 grösser ls eine ndere, ber nur hlb so groß wie deren Dreifches. Um welche beiden Zhlen hndelt es sich? 55-59
c) Gibt es zwei ntürliche Zhlen mit dem Mittelwert 7, von denen die eine doppelt so groß ist wie die ndere. Lösung: 9, 5, b) 6,, c) nein Aufgbe : Die Summe zweier gesuchter Zhlen ist zehnml so gross wie ihre Differenz, die Summe ihrer reziproken Werte ber zehnml so groß wie ds Produkt ihrer reziproken Werte. Lösung:.5, 5.5 Aufgbe : Zwei Ziffern bilden eine ntürliche Zhl, die vierml so groß ist wie ihre Quersumme und um 9 kleiner ls ihre Spiegelzhl. Bestimmen Sie die Zhl! Lösung: Aufgbe : Vor 5 Jhren wr der Vter 5ml so lt wie der Sohn. In Jhren wird er ml so lt sein wie der Sohn. Wie lt sind die beiden jetzt? Lösung: J. und 5 J Aufgbe 5: Mrie ist jetzt Jhre lt, doppelt so lt wie Ann wr, ls Mrie so lt wr, wie Ann jetzt ist. Wie lt ist Ann jetzt und wnn wr Mrie gerde so lt? Lösung: Ann ist 8 J Aufgbe 6: An einer Tombol kostet ein blues Los Fr.., ein rotes, mit der fchen Gewinnchnce, Fr.. Am Nchmittg werden für diese Lose Fr 78. eingenommen. Am Abend werden 5 blue Lose weniger verkuft, dfür ber 9 mehr von den roten. Dmit ergben sich n diesem Tg us der Tombol Einnhmen von Fr 89.. Wie viele rote und blue Lose wurden m Nchmittg verkuft? Lösung: mehrere Lösungen z.b. 56 blue, rote Lose Aufgbe 7: Ein Kpitl wird zu % verzinst, ein nderes zu 5%. Dies Summe der beiden Jhreszinsen beträgt Fr.. Wird nch einem Jhr jeder Zins zu seinem Kpitl geschlgen, so werden die beiden Kpitlien gleich groß. Wie groß wren sie m Anfng? Lösung: Fr 5'75. und Fr 5'6. Aufgbe 8: 56-59
Ein Kufmnn mischt zwei Kffeesorten. Nimmt er von der billigeren Sort e doppelt so viel wie von der teuren, so kommt ds Kilo uf Fr 7. zu stehen, im umgekehrten Fll uf Fr 8.5. Berechnen Sie die Kilopreise der beiden Sorten. Lösung: Fr 5.7 und Fr 9.9 Aufgbe 9: Zwei Rdfhrer fhren uf einer m lngen Rennbhn mit prktisch konstnten Geschwindigkeiten. Der zweite strtet Sekunden nch dem ersten, 5 Sekunden später holt er ihn zum ersten Ml ein und weitere 5 Sekunden später zum zweiten Ml. Wie schnell fhren die beiden? Lösung: 8 m/s und 9.8 m/s. Aufgbe : In ein m lnges und 5 m breites quderförmiges Wsserbecken münden zwei Zuleitungen. Sind beide während einer Stunde geöffnet, so steigt der Wsserspiegel um.8 m. ist ber die erste nur 5 min lng geöffnet und die zweite dfür 7 min lng, so steigt er um.5 m. Wie viele Liter liefert jede Leitung pro Minute? Lösung: 75 l/min und 55 l/min. Aufgbe : Bestimmen Sie die Lösungsmenge. Lösung: 57-59
) (//), b) (5//), c) ( // ), d) (././.5), e) (// ), f) (7.5/.5/), g) (5/6/7), h) (5// ), i) (/ / / / /), j) (/6/), k) (//), l) (/ / ). Aufgbe : ) Suchen Sie drei Zhlen, sodss sich die Summen bzw. bzw. ergeben, wenn mn je zwei von ihnen ddiert. b) Bei drei Zhlen, y und z knn mn von jeweils zweien den Mittelwert bilden. Ist es möglich, dss sich dbei jedesml der Wert ergibt, obwohl die drei Zhlen, y und z verschieden sind? Lösung: ).5, 5.5, 6.5, b) nein. Aufgbe : Ermitteln Sie die vierstellige Zhl mit folgenden Eigenschften: Die Quersumme beträgt. Die Summe von Tusender- und Einerziffer ist gleich der Summe von Hunderterund Zehnerziffer. Die Summe von Tusender- und Hunderterziffer ist gleich der Summe von Zehner- und Einerziffer. Die Tusenderziffer ist um grösser ls die Einerziffer. Lösung: Aufgbe : Eine Bergbhn verlngt für Berg- und Tlfhrt zusmmen Fr., für die Bergfhrt llein Fr.5 und für die Tlfhrt llein Fr 5.. An einem Sonntg fuhren im gnzen 68 Zhlende hinuf und 5 hinb. Es wurden Fr 9.65. eingenommen. Wie viele Billette jeder Art wurden gelöst? Lösung: 6 B&T, B, 6 Aufgbe 5: Ein Wsserbehälter knn durch drei Zuleitungen gefüllt werden, und zwr durch A und B zusmmen in 6, durch A und C zusmmen in 5 und durch B und C zusmmen in 6 Minuten. In wie vielen Minuten wird der Behälter durch jede Leitung einzeln gefüllt, in wie vielen durch lle drei gemeinsm? Lösung: 8 min, 9 min, 6 min, gemeinsm min. Aufgbe 6: Ein Rdfhrer ht eine Geschwindigkeit von 5 km/h uf ebenem Gelände, von 5 km/h bergufwärts und von km/h bwärts. Wie viel ebenen, nsteigenden und bsteigenden Weg enthält unter diesen Vorussetzungen eine km lnge Strße, wenn der Rdfhrer h min brucht um sie in der einen Richtung, und h 6 min, um sie in der nderen Richtung zu durchfhren? Lösung: 5 km eben, km nsteigend, 8 km bfllend. 58-59
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