1. Ebene gerade Balken

1. Ebene gerade Balken Betrachtet werden gerade Balken, die nur in der -Ebene belastet werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-1

1. Ebene gerade Balken 1.1 Schnittlasten 1.2 Balken mit Einellasten 1.3 Balken mit Streckenlasten 1.4 Differenialbeiehungen 1.5 Föppl-Symbol 1.6 Balkensysteme Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-2

1.1 Schnittlasten Definition: Schnittlasten sind innere Kräfte und Momente, die die Beanspruchung des Balkens beschreiben. Sie werden durch Schnitte senkrecht ur Balkenachse freigelegt. Q N N Q Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-3

1.1 Schnittlasten Beeichnungen: Normalkraft N : Kraft in Richtung der Balkenachse Querkraft Q : Kraft senkrecht ur Balkenachse Biegemoment : Moment um y-achse Die Schnittlasten hängen von der Koordinate ab, an der der Balken geschnitten wird: N(), Q (), () In Technischer Mechanik 2 wird geeigt: Normalkraft und Biegemoment resultieren aus Normalspannungen und die Querkraft aus Schubspannungen. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-4

1.1 Schnittlasten Voreichen: Positives Schnittufer: Negatives Schnittufer: links vom Schnitt rechts vom Schnitt -Achse eigt aus Schnittfläche heraus -Achse eigt in Schnittfläche hinein Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-5

1.1 Schnittlasten Q N N Q positives Schnittufer negatives Schnittufer Positive Positive Schnittlasten eigen eigen am am positiven positiven Schnittufer Schnittufer in in positive positive Koordinatenrichtungen. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-6

1.1 Schnittlasten Die Schnittlasten werden aus den Gleichgewichtsbedingungen für den rechten oder den linken Teilbalken ermittelt. Dabei ist u beachten: Kräfte dürfen erst nach dem Freischneiden entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Momente dürfen erst nach dem Freischneiden an einen beliebigen Punkt des Freischnitts verschoben werden. Streckenlasten dürfen erst nach dem Freischneiden durch eine im Kräftemittelpunkt angreifende Einelkraft ersett werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-7

1.2 Balken mit Einellasten Beispiel: Kragbalken mit Einelkräften Gegeben: F 1 F 2 F1 = 5 kn, F 2 = 10 kn A α α = 60 a = 2 m, L = 3 m Gesucht: a L Lagerreaktionen Schnittlasten Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-8

1.2 Balken mit Einellasten Lagerreaktionen: F =0 : A F 1 cos(α)=0 A =F 1 cos(α) M A A A A a L F 1 F 2 α F =0 : A +F 1 sin (α)+f 2 =0 A =F 1 sin (α)+ F 2 M A =0 : M A a F 1 sin(α) L F 2 =0 M A =a F 1 sin(α)+l F 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-9

1.2 Balken mit Einellasten Zahlenwerte: A =F 1 cos(α)=5kn cos(60 )=2,5 kn A =F 1 sin(α)+f 2 =5kN sin(60 )+10 kn=14,33 kn M A =a F 1 sin(α)+l F 2 =2 m 4,33 kn+3 10 kn=38,66 knm Schnittlasten: Zur Ermittlung der Schnittlasten wird der Balken in wei Bereiche unterteilt. In jedem Bereich können die Schnittlasten aus den Gleichgewichtsbedingungen für den linken oder den rechten Teilbalken ermittelt werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-10

1.2 Balken mit Einellasten Bereich 1: 0 < < a F 1 F 2 M A A α A A M A A Q α F 1 F 2 A A Q N N L - Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-11

1.2 Balken mit Einellasten M A A My Q F 1 F 2 a - α A A X Q N N X L - F =0 : A +N ()=0 N ( )= A = 2,5 kn F =0 : N ( ) F 1 cos(α)=0 N ( )= F 1 cos(α)= 2,5 kn F =0 A +Q ( )=0 F =0 Q ( )+F 1 sin(α)+f 2 =0 Q ()=A =14,33 kn Q ()=F 1 sin(α)+f 2 =14,33 kn Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-12

1.2 Balken mit Einellasten M A A My Q F 1 F 2 a - α A A X Q N N X L - M X =0 : ()+M A A =0 M X =0 : ( ) (a ) F 1 sin(α) (L ) F 2 =0 ( )= M A + A ( )=( a ) F 1 sin(α)+ ( L ) F 2 (0)= M A = 38,66 knm (a)= M A +a A = 10 knm (0)= a F 1 sin(α) L F 2 = 38,66 knm (a)=(a L ) F 2 = 10 knm Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-13

1.2 Balken mit Einellasten Bereich 2: a < < L F 1 F 2 M A A α A A F 1 F 2 M A A α Q A A Q N N L - Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-14

1.2 Balken mit Einellasten F 1 F 2 M A A α Q A A a X Q N N X L - F =0 : A F 1 cos(α)+ N ( )=0 N ( )= A +F 1 cos(α)=0 kn F =0 A +F 1 sin(α)+q ( )=0 Q ()=A F 1 sin(α)=10 kn F =0 : N ( )=0 N ( )=0 kn F =0 : Q ( )+F 2 =0 Q ()=F 2 =10 kn Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-15

1.2 Balken mit Einellasten F 1 F 2 M A A α Q A A a X Q N N X L - M X =0 : M A A + ( a ) F 1 sin(α)+ ()=0 ( )= M A + A ( a ) F 1 sin(α) (a)= M A +a A = 10 knm (L)= M A +L A (L a ) F 1 sin(α)=0 knm M X =0 : ( ) (L ) F 2 =0 (s)= (L ) F 2 (a)= ( L a ) F 2 = 10 knm (L)=0 knm Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-16

1.2 Balken mit Einellasten Ergebnis: Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-17

1.2 Balken mit Einellasten Beobachtungen: An den Stellen, an denen äußere Kräfte angreifen, sind Normalkraft und Querkraft unstetig. Die Gleichgewichtsbedingungen für den linken und den rechten Teilbalken führen auf die gleichen Schnittlasten. Die Berechnung der Schnittlasten kann daher anhand der Gleichgewichtsbetrachtungen für den Teilbalken erfolgen, für den die Berechnung einfacher ist. Bei diesem Beispiel werden die Lagerreaktionen für die Gleichgewichtsbedingungen des rechten Teilbalkens nicht benötigt. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-18

1.2 Balken mit Einellasten Beispiel: Balken mit Moment A a M B L Gegeben: M = 1800 Nm a = 3 m, L = 4 m Gesucht: Lagerreaktionen Schnittlasten Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-19

1.2 Balken mit Einellasten Lagerreaktionen: a A A M B L A B F =0 : A =0 M A =0 : M +L B =0 B = M L A =B = 1800 Nm 4 m =450 N F =0 : A B =0 A =B Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-20

1.2 Balken mit Einellasten Schnittlasten: Es müssen wieder wei Bereiche betrachtet werden. Bereich 1: 0 < < a (Gleichgewicht am linken Teilbalken) F =0 : A +Q ( )=0 A Q ()= A = 450 N M X =0 : ()+ A =0 A X Q ( )= A (0)=0 Nm (a)= a A = 1350 Nm Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-21

1.2 Balken mit Einellasten Bereich 2: a < < L (Gleichgewicht am rechten Teilbalken) F =0 : Q ( ) B =0 Q ()= B = 450 N M X =0 : ( )+ ( L ) B =0 Q X L - B B ( )=(L ) B (a)=(l a ) B =450 Nm (L)=0 Nm Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-22

1.2 Balken mit Einellasten Ergebnis: Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-23

1.2 Balken mit Einellasten Beobachtung: An der Stelle, an der das Moment angreift, ist das Biegemoment unstetig. Allgemeiner Fall: F i M j i j Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-24

1.2 Balken mit Einellasten Gleichgewichtsbedingungen für den linken Teilbalken: F =0 : N ( )+ i < F ( i )=0 i F i M j X N N ( )= i < F ( i ) j Q F =0 : Q ( )+ i < F ( i )=0 Q ( )= i < F ( i ) M X =0 : ( )+ i < ( i ) F ( i )+ j < M ( j )=0 ( )= i < ( i ) F ( i ) j < M ( j ) Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-25

1.2 Balken mit Einellasten Gleichgewichtsbedingungen für den rechten Teilbalken: F =0 : N ( )+ i > N ( )= i > F =0 : Q ( )+ i > F ( i )=0 F ( i ) F ( i )=0 N Q ( )= i > Q X j - M j i - F ( i ) F i M X =0 : ( ) i > ( i ) F ( i )+ j > M ( j )=0 ( )= i > ( i ) F ( i )+ j > M ( j ) Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-26

1.2 Balken mit Einellasten Ergebnis: Linker Teilbalken: Rechter Teilbalken: N ( )= i < F ( i ) N ( )= i > F ( i ) Q ( )= i < F ( i ) Q ( )= i > F ( i ) ( )= i < j < ( i ) F ( i ) M ( j ) ( )= i > + j > ( i ) F ( i ) M ( j ) Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-27

1.2 Balken mit Einellasten Schnittlastverläufe: Normalkraft und Querkraft sind abschnittsweise konstant. An den Stellen, an denen äußere Kräfte angreifen, treten Sprünge auf. Das Biegemoment ist abschnittsweise linear. An den Stellen, an denen äußere Kräfte angreifen, treten Knicke auf. An den Stellen, an denen äußere Momente angreifen, treten Sprünge auf. Am freien Ende sind alle Schnittlasten null. An Gelenken ist das Biegemoment null. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-28

1.2 Balken mit Einellasten Beispiel: Gegeben: A F M B a, F, M = 2aF a a a Gesucht: Schnittlasten A F M B Lagerkräfte: A a a a M A =0 : a F +2 a F 3a B =0 B = 1 3 F F =0 : A +F +B =0 A =B + F= 4 3 F B Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-29

1.2 Balken mit Einellasten Schnittlasten: A 1 F 2 M 3 B A a a a B Bereich 1: 0 < < a (Gleichgewicht am linken Teilbalken) Q ( )= ( A )=A = 4 3 F ()= ( A )= 4 3 F : (0)=0, (a)= 4 3 a F Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-30

1.2 Balken mit Einellasten Bereich 2: a < < 2a (Gleichgewicht am rechten Teilbalken) Q ( )=B = 1 3 F ()= (3a ) B + M= a F + 1 3 F +2 a F = ( a+ 1 3 ) F (a)= 4 3 a F, (2 a)= 5 3 a F Bereich 3: 2a < < 3a (Gleichgewicht am rechten Teilbalken) Q ( )=B = 1 3 F ()= (3a ) B = ( a 3 ) F : (2 a)= 1 3 a F, (3 a)=0 Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-31

1.2 Balken mit Einellasten Ergebnis: Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-32

1.2 Balken mit Einellasten Graphische Ermittlung: Querkraft: F A M B A B Q A F B Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-33

1.2 Balken mit Einellasten Biegemoment: Aus der Formel ur Berechnung des Biegemoments aus dem Gleichgewicht am linken Teilbalken folgt: d d ( )= F ( i )=Q ( ) i < Die gleiche Beiehung folgt auch aus der Formel ur Berechnung des Biegemoments aus dem Gleichgewicht am rechten Teilbalken. Die Querkraft gibt die Steigung des Biegemoments an. Damit lässt sich der Verlauf des Biegemoments ausgehend von Stellen mit bekanntem Biegemoment konstruieren. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-34

1.2 Balken mit Einellasten Q 4F/3 F/3 5aF/3 4aF/3 a 2a 3a -af/3 Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-35

1.3 Balken mit Streckenlasten Bei einfachen Streckenlasten kann ur Ermittlung der Schnittlasten die am betrachteten Teilbalken angreifende Streckenlast durch eine Einelkraft im Kräftemittelpunkt ersett werden. Beispiel: Konstante Streckenlast Gegeben: L, q0 Gesucht: Schnittlasten A Lagerreaktionen L q 0 Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-36

1.3 Balken mit Streckenlasten Schnittlasten: Die Schnittlasten können aus den Gleichgewichtsbedingungen für den rechten Teilbalken ermittelt werden, ohne dass die Lagerreaktionen bekannt sind. Dau darf die am rechten Teilbalken angreifende Streckenlast durch eine Einelkraft ersett werden. q 0 S F() Q X L - Q X L - F ( )=q 0 (L ), S = 1 2 (L ) Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-37

1.3 Balken mit Streckenlasten F =0 : Q ( )+F ( )=0 Q ( )=F ( ) S F() Q ( )=q 0 ( L )=q 0 L ( 1 L ) Q (0)=q 0 L, Q (L)=0 Q X L - M X =0 : ( ) S F ( )=0 ()= S F ( ) ()= 1 2 q 0 ( L ) 2 = 1 2 q 0 L 2 ( 1 L )2 (0)= 1 2 q 0 L 2, (L)=0 Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-38

1.3 Balken mit Streckenlasten Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-39

1.3 Balken mit Streckenlasten Lagerreaktionen: Die Lagerreaktionen stimmen mit den Schnittlasten an der Stelle = 0 überein. Dabei handelt es sich um ein negatives Schnittufer. A =Q (0)=q 0 L M A q 0 M A = (0)= 1 2 q 0 L 2 A A L Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-40

1.3 Balken mit Streckenlasten Beispiel: Lineare Streckenlast Gegeben: L, q 0 Gesucht: Lagerreaktionen Schnittlasten A L q 0 B Lagerreaktionen: Die Streckenlast auf dem gesamten Balken wird durch eine Einelkraft ersett. A A 2L/3 L q 0 L/2 B B Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-41

1.3 Balken mit Streckenlasten Schnittlasten: M A =0 : L B 2 3 L 1 2 q 0 L=0 B = 1 3 q 0 L F =0 : A + 1 2 q 0 L B =0 A = 1 2 q 0 L B = 1 6 q 0 L Die Schnittlasten werden aus den Gleichgewichtsbedingungen für den linken Teilbalken ermittelt. Dabei darf die am linken Teilbalken angreifende Streckenlast durch eine Einelkraft ersett werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-42

1.3 Balken mit Streckenlasten A q () A X X A Q A S F() Q q () q 0 = L q ( )=q 0 L F ( )= 1 2 q ( ) = 1 2 q 0 2 L = 1 2 q 0 L ( )2, L S = 2 3 Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-43

1.3 Balken mit Streckenlasten F =0 : A +F ( )+Q ( )=0 Q ()=A F ( )= 1 6 q 0 L 1 2 q 0 L ( )2 L = 1 L( 6 q ) 2 0 1 3 L 2 A A S F() X Q M X =0 : A +( S ) F ( )+ ()=0 ( )= A ( S ) F ()= 1 6 q 0 L 1 3 1 2 q 0 L ( )2 L = 1 6 q 0 L 2( L 3 L 3 ) =1 6 q 0 L 2 ( L )( 1 2 L 2 ) Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-44

1.3 Balken mit Streckenlasten Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-45

1.3 Balken mit Streckenlasten Allgemeine Streckenlast: Wenn keine Formeln ur Ermittlung der resultierenden Kraft und des Kräftemittelpunkts verfügbar sind, muss integriert werden. Zur Herleitung der allgemeinen Formeln wird die Streckenlast unächst durch eine Treppenfunktion approimiert: q () Δ k k Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-46

1.3 Balken mit Streckenlasten Die konstante Streckenlast in jedem Abschnitt wird durch eine Einelkraft ersett: Δ k F k k k Mit F k =q ( k ) Δ k lauten die allgemeinen Schnittlastformeln für den linken Teilbalken: Q ( )= k < q ( k )Δ k, ( )= k < ( k )q ( k )Δ k Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-47

1.3 Balken mit Streckenlasten Der Grenübergang auf infinitesimale Balkenelemente ergibt: Q ( )= q ( )d, ( )= ( ) q ( )d 0 0 Entsprechend folgt für den rechten Teilbalken: L Q ( )= L q ( )d, ( )= ( ) q ( )d Wirken usätlich noch Einelkräfte oder Einelmomente, so sind die entsprechenden Beiträge u addieren. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-48

1.3 Balken mit Streckenlasten Linker Teilbalken: Q ( )= i < ( )= i < F ( i ) 0 q ( )d ( i ) F ( i ) j < M ( j ) 0 ( ) q ( )d Rechter Teilbalken: Q ( )= i > ( )= i > L F ( i )+ q ( )d ( i ) F ( i )+ j > L M ( j )+ ( ) q ( )d Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-49

1.4 Differenialbeiehungen Die für Balken mit Einellasten gewonnene Differenialbeiehung wischen Querkraft und Biegemoment gilt auch für Balken mit Streckenlasten. Außerdem gilt eine weitere Differenialbeiehung wischen Querkraft und Streckenlast. Herleitung: Betrachtet wird ein beliebiger Balkenabschnitt, an dem keine Einellasten angreifen. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-50

1.4 Differenialbeiehungen Gleichgewichtsbedingungen: ( A ) q () ( B ) O A Q ( A ) Q ( B ) B B F =0 : Q ( B ) Q ( A )+ q ( )d=0 A M O =0 : ( B ) ( A ) ( B Q ( B ) A Q ( A )) A Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-51 B q ( )d=0

1.4 Differenialbeiehungen Mit B Q ( B ) Q ( A )= A dq B d d, ( B ) ( A )= A d d d und B B Q ( B ) B Q ( A )= A d d ( Q )d folgt: B ( dq )) A d +q ( d=0 B [ d A d d d ( Q ) q ( )] d=0 Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-52

1.4 Differenialbeiehungen Die beiden Integrale sind nur dann für beliebige Intervalle null, wenn die Integranden null sind: dq d +q ( )=0 dq d = q ( ) 0= d d d d ( Q ) q ( )= d d ( dq d +q ( ) ) Q ( ) d d =Q ( ) Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-53

1.4 Differenialbeiehungen Ergebnis: In Balkenabschnitten, in denen keine Einellasten angreifen, gelten die Differenialbeiehungen d d =Q, d 2 d 2 = dq d = q Für einfach u integrierende Streckenlasten können daraus Querkraft und Biegemoment durch wei Integrationen ermittelt werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-54

1.4 Differenialbeiehungen Beispiel: Lineare Streckenlast Gegeben: L, q 0 Gesucht: Schnittlasten Lagerreaktionen A L q 0 B Schnittlasten: Integrationen: q ()=q 0 L Q ( )= q ()d+c 1 = 1 2 q 0 ()= Q ( )d+c 2 = 1 6 q 0 2 L +c 1 3 L +c 1 +c 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-55

1.4 Differenialbeiehungen Die Integrationskonstanten werden aus den Randbedingungen bestimmt: (0)=0 : c 2 =0 (L)=0 : 1 6 q 0 L 2 +c 1 L=0 c 1 = 1 6 q 0 L Ergebnis: Q ( )= q 0 L( 1 2 2 L 2 + 1 6 ) = 1 6 q 0 L( 1 3 2 L 2 ) 2( ()= 1 6 q 3 0 L L 3 ) L =1 6 q 0 L 2 ( L )( 1 2 L 2 ) Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-56

1.4 Differenialbeiehungen Lagerreaktionen: Lager A: negatives Schnittufer A =Q (0)= 1 6 q 0 L A A L q 0 B B Lager B: positives Schnittufer B = Q (L)= 2 6 q 0 L= 1 3 q 0 L Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-57

1.4 Differenialbeiehungen Beispiel: Sinusförmige Streckenlast Gegeben: L, q ()=q 0 sin(π / L) q () Gesucht: Schnittlasten, Lagerkräfte Schnittlasten: Integrationen: A L B q ()=q 0 sin ( π L ) Q ( )= q 0 sin ( π L ) d+c 1= q 0 L π cos ( π L ) +c 1 ()= q 0 L π cos ( π L ) d+c 1 +c 2 = q 0 L 2 π 2 sin ( π L ) +c 1 +c 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-58

1.4 Differenialbeiehungen Die Integrationskonstanten werden aus den Randbedingungen bestimmt: (0)=0 : c 2 =0 (L)=0 : c 1 L=0 c 1 =0 Ergebnis: Q ( )= q 0 L π cos ( π L ), ( )= q 0 L 2 π 2 sin ( π L ) Lagerreaktionen: q () A =Q (0)= 1 π q 0 L B = Q (L)= 1 π q 0 L A A L B B Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-59

1.4 Differenialbeiehungen Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-60

1.5 Föppl-Symbol Motivation: Aufgrund der bei Einellasten auftretenden Unstetigkeiten können die Schnittlasten bislang nur bereichsweise angegeben werden. Mithilfe des Föppl-Symbols lassen sich bereichsweis stetige Funktionen einfach mathematisch beschreiben. Damit lassen sich auch abschnittsweise definierte Streckenlasten einfach angeben. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-61

1.5 Föppl-Symbol Definition: Das von August Föppl eingeführte Föppl-Symbol ist folgendermaßen definiert: a n ={ 0 für <a ( a ) n für >a, n 0 Beispiele: a 0 ={ 0 für <a 1 für >a, a = { 0 für <a a für >a Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-62

1.5 Föppl-Symbol Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-63

1.5 Föppl-Symbol Rechenregeln: Ableitung: Integration: Skalierung: d d a n =n a n 1 a n d= a n+1 n+1 c ( a ) n =c n a n +C Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-64

1.5 Föppl-Symbol Anwendung: Mithilfe des Föppl-Symbols lauten die aus den Gleichgewichtsbetrachtungen am linken Teilbalken gewonnenen Gleichungen für die Schnittlasten: N ( )= i 0 F ( i ) Q ( )= i 0 F ( i ) ( )= i F ( i ) j 0 M ( j ) Wirken usätlich noch Streckenlasten, so muss ihr Beitrag addiert werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-65

1.5 Föppl-Symbol Beispiel: F A M q 0 B a a a a Gegeben: a, q0 Gesucht: Schnittlasten F = q0 a/2, M = 2q 0 a 2 Lagerkräfte Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-66

1.5 Föppl-Symbol F A M q 0 B A a a a a Streckenlast: q ( )=q 0 3a 0 B Querkraft: Biegemoment: Q ( )= ( A + a 0 F +q 0 3a ) ( )= A a F 2 a 0 M 1 2 q 0 3a 2 Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-67

1.5 Föppl-Symbol Die noch unbekannte Lagerkraft A wird aus der Randbedingung bei B bestimmt: (4 a)=0 : 4 a A 3a F 1 2 q 0 a2 M =0 A = 3 4 F + 1 8 q 0 a+ M 4 a Die Lagerkraft im Punkt B kann aus der Querkraft ermittelt werden: B = Q (4 a)= A + F +q 0 a= 1 4 F + 7 8 q 0 a M 4 a Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-68

1.5 Föppl-Symbol Ergebnis: A = ( 3 8 + 1 8 + 1 2 ) q 0 a=q 0 a, B = ( 1 8 + 7 8 1 2 ) q 0 a= 1 2 q 0 a Q ( )=q 0 a( 1 1 0 2 a 1 a 3 ) 2( ( )=q 0 a a 1 2 a 1 1 2 a 2 2 3 a 2 0) Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-69

1.5 Föppl-Symbol Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-70

1.6 Balkensysteme Balken treten oft als Teile von mehrteiligen Tragwerken auf. Zunächst werden die am Balken angreifenden Lasten bestimmt. Anschließend können die Schnittlasten ermittelt werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-71

1.6 Balkensysteme Beispiel: Gerberträger F q 0 A B α C a a a Gegeben: a = 1 m, tan(α) = 4/3 Gesucht: Lagerreaktionen F = 15 kn q0 = 4 kn/m Geometrie: Schnittlasten 1 cos(α)= 1+(4/3) =3 2 5, sin(α)= 4 3 3 5 = 4 5 Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-72

1.6 Balkensysteme Lagerreaktionen: A F q 0 a A B α B C B A B B M a a A a/2 B a/2 C Balken BC: M B =0 : 2 ac 3 2 a q 0 a=0 C = 3 4 q 0 a F =0 : B =0 M C =0 : 2 a B + a 2 q 0 a=0 B = 1 4 q 0 a Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-73

1.6 Balkensysteme Balken AB: F F =0 : A F cos(α)=0 A A B α A =F cos(α)= 3 5 F M A A a B F =0 : A +F sin(α)+ B =0 A =F sin(α)+b = 4 5 F + 1 4 q 0 a M A =0 : M A a F sin(α) a B =0 M A =a (F sin(α)+b )=a ( 4 5 F + 1 4 q 0 a ) =a A Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-74

1.6 Balkensysteme Zahlenwerte: A =15kN 3 =9 kn 5 B =0 kn A =15 kn 4 5 + 1 4 4 kn m 1 m=13 kn B = 1 4 4 kn m 1 m=1 kn M A =1 m 13 kn=13 knm C = 3 4 4 kn m 1 m=3kn Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-75

1.6 Balkensysteme Schnittlasten: 1 2 3 A F q 0 A B α B C A B B C M a a a A Bereich 1: 0 < < a (Gleichgewicht am linken Teilbalken) N ()= A = F cos(α), Q ()= A =F sin(α)+b ()= M A + A = (a ) ( F sin(α)+b ) : (0)= a (F sin(α)+b ), (a)=0 Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-76

1.6 Balkensysteme Bereich 2: a < < 2a (Gleichgewicht am linken Teilbalken) N ()=0, Q ()= ( B )=B ()=( a ) B : (a)=0, (2 a)=a B Bereich 3: 2a < < 3a (Gleichgewicht am rechten Teilbalken) N ()=0 Q ( )=q 0 (3a ) C : Q (2 a)=q 0 a C, Q (3a)= C ()=(3 a ) C 1 2 (3 a )2 q 0 =(3 a ) ( C 1 2 (3a ) q 0) (2 a)=a ( C 1 2 q 0 a ), (3a)=0 Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-77

1.6 Balkensysteme Zahlenwerte: 0< <a : N ()= 15 kn 3 = 9 kn 5 Q ( )=15 kn 4 5 +1 kn=13 kn (0)= 1 m ( 15kN 4 5 +1 kn ) =13kNm, (a)=0 knm (linear) Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-78

1.6 Balkensysteme a< <2 a : N ()=0 Q ( )=1 kn (a)=0 kn, (2 a)=1 m 1 kn=1 knm (linear) 2 a< <3 a : N ()=0 Q (2 a)=4 kn 3 kn=1kn, Q (3 a)= 3 kn (linear) (2 a)=1 m ( 3 kn 1 2 4 kn ) =1 knm, (3a)=0 (parabolisch) Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-79

1.6 Balkensysteme Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-80

1.6 Balkensysteme Beispiel: Gegeben: b a a = 2 m q 0 b = 5 m h = 4 m A B C q0 = 240 kn/m Gesucht: h Schnittlasten im Balken AC F E α D a b Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-81

1.6 Balkensysteme Geometrie: tan(α)= Balken AC: h b a = 4 3 cos(α)= 1 1+(4/3) =3 2 5, sin(α)= 4 5 A (a+b)/2 q 0 (a+b) A α 1 B C A B C b a 1 Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-82

1.6 Balkensysteme M A =0 : a+b 2 q 0 (a+b )+b B sin (α) (a+b )C =0 4 5 b B ( a+b )C = 1 2 ( a+b ) 2 q o (1) F =0 : A + B cos(α)=0 A = 3 5 B (2) F =0 : A +q 0 ( a+b ) B sin (α)+c =0 A =q 0 (a+b ) 4 5 B+C (3) Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-83

1.6 Balkensysteme Balken DF: F F 2 E α B C D a b F 2 M F =0 : a B sin (α)+( a+b )C =0 4 5 a B+ (a+b )C =0 (4) Die Kräfte im Lager F können aus den beiden Kräftegleichgewichten ermittelt werden. Sie werden hier nicht benötigt. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-84

1.6 Balkensysteme Auflösen der Gleichgewichtsbedingungen: (1)+(4) 4 5 ( b a ) B= 1 2 ( a+b ) 2 q 0 B= 5 8 q 0 (a+b ) a+b b a (4) C = 4 5 a a+b B= 1 2 q 0 (a+b ) (2) A = 3 5 B= 3 8 q 0 ( a+b ) a+b b a a b a (3) A =q 0 (a+b ) ( 1 1 2 a+b b a + 1 2 a b a ) =q 0 ( a+b ) ( 1 1 2 b ) b a Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-85

1.6 Balkensysteme Zahlenwerte: q 0 (a+b )=240 kn/ m 7m=1680 kn a+b b a = 7 m 5m 2 m = 7 3, a b a = 2 m 3 m = 2 3, b b a = 5 m 3m = 5 3 B= 5 8 1680 kn 7 3 =2450 kn, C = 1 2 1680 kn 2 =560 kn 3 B =B cos(α)= 3 5 B= 3 8 7 1680 kn=1470 kn 3 B =B sin(α)= 4 5 B= 1 2 7 1680 kn=1960 kn 3 A = 3 8 1050 kn 7 3 =1470 kn, A =1050 kn ( 1 5 ) =280 kn 6 Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-86

1.6 Balkensysteme Schnittlasten im Balken AC: A q 0 A 1 A B C 1 b B B a C N ( 1 )= ( A + 1 b 0 B ) Q ( 1 )= (q 0 1 A 1 b 0 B ) ( 1 )= ( 1 2 q 0 1 2 A 1 1 b B ) Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-87

1.6 Balkensysteme Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-88