Analysis II. Lutz Habermann

Anlysis II Lutz Hbermnn Oktober 2003

Inhltsverzeichnis Differentilrechnung in einer Veränderlichen 2. Differenzierbre Abbildungen.............................. 2.2 Differenzierbrkeit und reelle Funktionen........................ 9.3 Verllgemeinerungen des Mittelwertstzes und die Regel von de l Hospitl..... 4.4 Differentition von Funktionenfolgen und -reihen................... 9.5 Die Tylor-Entwicklung................................. 23 2 Differentilrechnung in mehreren Veränderlichen 29 2. Differenzierbre Abbildungen.............................. 29 2.2 Richtungsbleitungen und prtielle Differenzierbrkeit................ 33 2.3 Der Stz von Tylor und lokle Extrem........................ 4 2.4 Lokle Umkehrbrkeit und implizite Funktionen.................... 47 2.5 Extrem mit Nebenbedingungen............................ 56 3 Integrlrechnung 59 3. Ds unbestimmte Integrl................................ 59 3.2 Ds Riemnnsche Integrl................................ 64 3.3 Weitere Eigenschften des Riemnnschen Integrls.................. 73 3.4 Uneigentliche Riemnnsche Integrle.......................... 77 3.5 Kurven und Integrtion................................. 8 3.6 Mehrfche Integrle, Volumen und Integrlsätze.................... 87

Kpitel Differentilrechnung in einer Veränderlichen. Differenzierbre Abbildungen Im Folgenden bezeichne K den Körper R der reellen oder den Körper C der komplexen Zhlen und E den Vektorrum K n. Desweiteren sei I R irgendein Intervll. Definition.. Grenzwert (i) Eine Abbildung f : I E heißt differenzierbr in I : Der f(x) f() x x (..) existiert. Dieser Grenzwert wird dnn die Ableitung oder der Differentilquotient von f in gennnt und mit f () oder df () oder uch d dx dx f(x) bezeichnet. x= (ii) Eine Abbildung f : I E heißt differenzierbr : f ist in jedem I differenzierbr. Die Abbildung f : I E, x f (x), heißt dnn die (erste) Ableitung von f. Den Grenzwert (..) schreibt mn uch in der Form f( + h) f(). h 0 h Bemerkung..2 (i) Geometrisch knn mn die Ableitung folgendermßen interpretieren. Sei S,x die Seknte n den Grphen Grph(f) I E von f : I E durch die Punkte (, f()) und (x, f(x)) für, x I mit x. Dnn ist S,x = Grph(σ,x ), wobei σ,x : R E durch σ,x (t) := f(x) f() x (t ) + f() definiert ist. Die Steigung von S,x ist somit der so gennnte Differenzenquotient f(x) f() x 2.

Ist f in differenzierbr, so konvergiert dieser Quotient für x gegen die Ableitung f (). Die Gerde T := Grph(τ ), wobei τ : R E durch τ (t) := f ()(t ) + f() gegeben ist, ist dnn die Tngente in (, f()) n Grph(f). (ii) Die Ableitung wird vielfch zur mthemtischen Modellierung zeitbhängiger Größen benutzt. Beschreibe z.b. s : I R 3 die Bewegung eines Mssepunktes P, d.h. s(t) sei der Ort von P zur Zeit t. Dnn ist der Differenzenquotient s(t) s(t 0 ) t t 0 die mittlere Geschwindigkeit zwischen den Zeiten t und t 0. Somit gibt der Differentilquotient s (t 0 ) = t t0 s(t) s(t 0 ) t t 0, flls er existiert, die momentne Geschwindigkeit zur Zeit t 0 n. Beispiel..3 (i) Seien, b E und sei f : R E durch definiert. Dnn ist f differenzierbr und Ttsächlich ist (ii) Sei k N und sei f : R R durch f(x) := x + b f () = für lle R. f(x) f() (x ) = x x x x =. f(x) := x k gegeben. Mit Hilfe des binomischen Lehrstzes sehen wir, dss f( + h) f() = h 0 h h 0 Folglich ist f differenzierbr und k j= ( ) k k j h j = k k. j f () = k k für lle R. (iii) Sei λ C. Beknntlich gilt Hierus folgt für die Abbildung e λh = λ. h 0 h f : R C, f(x) := e λx, dss f( + h) f() e λh = e λ = λe λ. h 0 h h 0 h Also ist uch diese Abbildung differenzierbr, wobei f () = λe λ für lle R. Insbesondere erhlten wir, dss exp = exp. 3

Die nächsten beiden Sätze liefern äquivlente Definitionen der Differenzierbrkeit. Stz..4 Eine Abbildung f : I E ist genu dnn in I differenzierbr, wenn es eine in stetige Abbildung ˆf : I E mit gibt. In diesem Fll ist f () = ˆf(). f(x) f() = ˆf(x) (x ) für lle x I (..2) Beweis. (= ) Ist f in differenzierbr, so leistet die Abbildung ˆf : I E, ˆf(x) := f(x) f() x für x f () für x =, ds Gewünschte. ( =) Sei ˆf : I E eine in stetige Abbildung mit (..2), d.h. mit Dnn ist ˆf(x) = f(x) f() x für lle x I \ {}. f(x) f() = ˆf(x) = ˆf(). x x x Folglich ist f in differenzierbr und ˆf() = f (). Stz..5 Eine Abbildung f : I E ist genu dnn in I differenzierbr, wenn eine linere Abbildung L : R E mit f( + h) f() L(h) = 0 (..3) h 0 h existiert. In diesem Fll ist Beweis. (= ) Sei f in differenzierbr. Dnn ist L(h) = f ()h für h R. (..4) f( + h) f() f ()h f( + h) f() = f () = 0. h 0 h h 0 h Also erfüllt die durch (..4) definierte linere Abbildung L : R E die Bedingung (..3). ( =) Sei L : R E eine linere Abbildung mit (..3) und sei := L(). Dnn hben wir und L(h) = h für h R f( + h) f() f( + h) f() h = + h 0 h h 0 h f( + h) f() L(h) = + h 0 h =. Folglich ist f in differenzierbr und f () =, womit uch (..4) gilt. 4

Definition..6 Die durch Stz..5 bestimmte linere Abbildung L wird ds Differentil von f in gennnt. Die ffine Abbildung heißt linere Approximtion von f in. x R L(x ) + f() E Ds Differentil von f in bezeichnen wir mit Df(). Wegen (..4) gilt dnn Df()(h) = f ()h für h R. Stz..7 Ist die Abbildung f : I E in I differenzierbr, so ist sie in stetig. Beweis. Sei f : I E in differenzierbr. Dnn existiert nch Stz..4 eine in stetige Abbildung ˆf : I E mit f(x) = f() + ˆf(x) (x ) für lle x I. Hierus folgt, dss uch f in stetig ist. Folgerung..8 Ist die Abbildung f : I E differenzierbr, so ist sie stetig. Wir bemerken, dss es Funktionen f : R R gibt, die stetig, ber in keinem R differenzierbr sind. (Vgl. Königsberger, Anlysis, Abschnitt 9. oder Wlter, Anlysis, Abschnitt 2.26.) Im Folgenden sind wichtige Rechenregeln für differenzierbre Abbildungen zusmmengestellt. Stz..9 Seien f, f 2, f : I E und g : I K in I differenzierbr. Dnn gilt: (i) Summenregel: Die Abbildung f + f 2 : I E ist in differenzierbr und (f + f 2 ) () = f () + f 2(). (ii) Produktregel: Die Abbildung fg : I E ist in differenzierbr und (fg) () = f () g() + f() g (). (iii) Quotientenregel: Ist g(x) 0 für lle x I, so ist f/g : I E in differenzierbr und ( ) f () = f () g() f() g () g (g()) 2. Beweis. Für die Differenzenquotienten der Abbildungen f + f 2, fg und f/g gilt (f + f 2 ) (x) (f + f 2 ) () x (fg) (x) (fg) () x (f/g)(x) (f/g)() x = f (x) f () x + f 2(x) f 2 () x f(x) f() = g(x) + f() x [ f(x) f() = g() f() x, g(x) g() x g(x) g() x ] und g(x) g(). Hierus folgen mit Hilfe der Rechenregeln für Grenzwerte von Abbildungen und Stz..7 die Behuptungen. 5

Stz..0 (Kettenregel) Seien I, I 2 R Intervlle, sei g : I I 2 in I differenzierbr und sei f : I 2 E in g() differenzierbr. Dnn ist f g : I E in differenzierbr und (f g) () = f (g()) g (). Beweis. Nch Vorussetzung und Stz..4 existieren eine in stetige Funktion ĝ : I R mit und eine in g() stetige Funktion ˆf : I 2 E mit g(x) g() = ĝ(x) (x ) für lle x I f(y) f(g()) = ˆf(y) (y g()) für lle y I 2, wobei g () = ĝ() und f (g()) = ˆf(g()). Dmit hben wir (f g)(x) (f g)() = f(g(x)) f(g()) = ˆf(g(x)) (g(x) g()) = ˆf(g(x)) ĝ(x) (x ) für lle x I. D die Abbildung x I ˆf(g(x)) ĝ(x) E in stetig ist, folgt wiederum mit Stz..4, dss f g in differenzierbr ist. Außerdem erhlten wir, dss (f g) () = ˆf(g()) ĝ() = f (g()) g (). Für die Ableitung der inversen Abbildung gilt folgende Regel. Stz.. Sei f : I R streng monoton und stetig. Ist f in I differenzierbr und ist f () 0, so ist f : f(i) I in f() differenzierbr und ( f ) (f()) = f (). Beweis. Wir benutzen wieder Stz..4. Sei f in differenzierbr und sei f () 0. Dnn existiert eine stetige Funktion ˆf : I R mit f(x) f() = ˆf(x) (x ) für lle x I, wobei f () = ˆf(). D f streng monoton ist und d f () 0, gilt ˆf(x) 0 für lle x I. Setzen wir lso x = f (y), so folgt f (y) f (f()) = (y f()) für lle y f(i). (..5) ˆf (f (y)) Desweiteren implizieren die Vorussetzungen, dss f stetig ist. Folglich ist Dies und (..5) liefern die Behuptung. in f() stetig. ˆf f Bemerkung..2 Stz.. ist ohne die Vorussetzung f () 0 flsch. Mn betrchte z.b. f : R R, f(x) := x 3. Diese Abbildung ist streng monoton wchsend und differenzierbr, wobei f (0) = 0. Die inverse Abbildung f : R R, f (x) = sgn(x) x /3, ist in f(0) = 0 nicht differenzierbr, denn wegen f (h) f (0) h existiert der Differentilquotient von f in 0 nicht. = sgn(h) h /3 sgn(h) h = h 2/3 6

In den nchfolgenden Beispielen berechnen wir die Ableitungen weiterer elementrer Funktionen. Beispiel..3 Nch Beispiel..3 und Stz..9 ist jedes Polynom p : R E, p(x) := m x m + m x m + + x + 0, mit Koeffizienten 0,,..., m E differenzierbr, wobei p (x) = m m x m + (m ) m x m 2 + + 2 2 x + für lle x R. Beispiel..4 Es gilt D cos (x) = sin(x) und sin (x) = cos(x) für lle x R. cos(x) = exp(ix) + exp( ix) 2 und sin(x) = exp(ix) exp( ix) 2i können wir nämlich mit Beispiel..3(iii) und Stz..9 schließen, dss cos (x) = i exp(ix) i exp( ix) 2 = sin(x), und Anlog sieht mn, dss sin (x) = i exp(ix) + i exp( ix) 2i = cos(x). cosh (x) = sinh(x) und sinh (x) = cosh(x) für lle x R. Beispiel..5 Die Exponentilfunktion exp : R R ist streng monoton wchsend und stetig. Nch Beispiel..3(iii) hben wir ußerdem exp (x) = exp(x) 0 für lle x R. Wir wenden Stz.. uf die inverse Funktion ln : R + R n und erhlten ln (x) = exp (ln(x)) = x für lle x R +. Beispiel..6 Sei R + und sei f : R R durch f(x) := x definiert. Dnn ist f (x) = ln() x für lle x R. Wegen x = exp(ln() x) gilt nämlich ufgrund der Kettenregel f (x) = ln() exp (ln() x) = ln() exp(ln() x) = ln() x. Wir erklären jetzt induktiv, ws mn unter höheren Ableitungen von Funktionen einer reellen Veränderlichen versteht. 7

Definition..7 Sei k = 2, 3,.... (i) Eine Abbildung f : I R heißt einml differenzierbr : f ist differenzierbr. Die Ableitung von f wird dnn uch mit f () bezeichnet. Eine Abbildung f : I R heißt k-ml differenzierbr : f ist (k )-ml differenzierbr und f (k ) ist differenzierbr. Die Ableitung von f (k ) wird dnn die k-te Ableitung von f gennnt und mit f (k) bezeichnet. (ii) Eine (k )-ml differenzierbre Abbildung f : I R heißt k-ml differenzierbr in I df (k ) : f (k ) ist in differenzierbr. Der Differentilquotient () heißt dnn die k-te dx Ableitung von f in. Er wird mit f (k) () oder dk f () bezeichnet. dxk Sttt f (2) und f (3) schreibt mn uch f bzw. f. Außerdem setzt mn f (0) := f. Beispiel..8 Die Abbildung f : R R, f(x) := sgn(x) x 2, ist differenzierbr. Sie ist ber nicht zweiml differenzierbr. Ttsächlich ist f (x) = 2 x für lle x R und f in 0 nicht differenzierbr. Stz..9 Sei k N und seien f, f 2, f : I E und g : I K k-ml differenzierbr. Dnn gilt: (i) Die Abbildung f + f 2 : I E ist k-ml differenzierbr und (f + f 2 ) (k) = f (k) + f (k) 2. (ii) Leibniz-Regel: Die Abbildung f g : I E ist k-ml differenzierbr und (fg) (k) = k j=0 ( ) k f (k j) g (j). j Beweis. Übung. Definition..20 (i) Sei k N. Eine Abbildung f : I E heißt k-ml stetig differenzierbr : f ist k-ml differenzierbr und f (k) ist stetig. (ii) Eine Abbildung f : I E heißt gltt oder beliebig oft differenzierbr : Für jedes k N ist f k-ml differenzierbr. Eine einml stetig differenzierbre Abbildung f : I E nennt mn uch einfch stetig differenzierbr. Wir bezeichnen die Menge ller k-ml stetig differenzierbren Abbildungen f : I E mit C k (I, E) und die Menge ller gltten Abbildungen f : I E mit C (I, E). Außerdem sei C 0 (I, E) die Menge ller stetigen Abbildungen f : I E. Offensichtlich trgen lle diese Mengen die Struktur eines K-Vektorrumes. Desweiteren gilt ufgrund von Folgerung..8 und C 0 (I, E) C (I, E) C 2 (I, E) C (I, E) = k N 0 C k (I, E). Ds nächste Beispiel zeigt, dss nicht jede differenzierbre Abbildung uch stetig differenzierbr ist. 8

Beispiel..2 Wir betrchten f : R R, f(x) := { x 2 sin(/x) für x 0 0 für x = 0. Diese Funktion ist differenzierbr. D { 2x sin(/x) cos(/x) für x 0 f(x) := 0 für x = 0, ist ber f in 0 unstetig und somit f C (R, R)..2 Differenzierbrkeit und reelle Funktionen Definition.2. Sei (X, d) irgendein metrischer Rum und sei f : X R. Mn sgt: (i) f ht in ξ X ein globles Mximum (bzw. globles Minimum) : f(x) f(ξ) (bzw. f(x) f(ξ)) für lle x X. (ii) f ht in ξ X ein lokles Mximum (bzw. lokles Minimum) : Es existiert eine Umgebung U von ξ mit f(x) f(ξ) (bzw. f(x) f(ξ)) für lle x U. (iii) f ht in ξ X ein isoliertes lokles Mximum (bzw. isoliertes lokles Minimum) : Es existiert eine Umgebung U von ξ mit f(x) < f(ξ) (bzw. f(x) > f(ξ)) für lle x U \ {0}. Ht f : X R in ξ X ein globles Mximum (bzw. globles Minimum), so besitzt f dort offensichtlich uch ein lokles Mximum (bzw. lokles Minimum). Die Umkehrung ist nicht richtig. Es gilt jedoch, dss f genu dnn in ξ ein lokles Mximum (bzw. lokles Minimum) ht, wenn es eine solche Umgebung U von ξ gibt, dss f U in ξ ein globles Mximum (bzw. globles Minimum) ht. Für globles Mximum (bzw. globles Minimum ) sgt mn uch einfch Mximum (bzw. Minimum ). Stz.2.2 Sei I R ein offenes Intervll, sei ξ I und sei f : I R. Ht f in ξ ein lokles Mximum oder ein lokles Minimum und ist f in ξ differenzierbr, so gilt f (ξ) = 0. Beweis. Hbe f in ξ ein lokles Mximum. Dnn gibt es eine Umgebung U I von ξ mit f(x) f(ξ) für lle x U. Dmit gilt und f(x) f(ξ) x ξ f(x) f(ξ) x ξ Ist f in ξ differenzierbr, so folgt d.h. f (ξ) = 0. 0 für lle x U ]ξ, + [ 0 für lle x U ], ξ[. f f(x) f(ξ) (ξ) = 0 und f f(x) f(ξ) (ξ) = 0, x ξ+ x ξ x ξ x ξ Ht f in ξ ein lokles Minimum, so verfährt mn nlog. 9

Bemerkung.2.3 (i) Aus f (ξ) = 0 folgt nicht zwingend, dss f in ξ ein lokles Extremum ht. Mn betrchte z.b. f : R R, f(x) := x 3. Für diese Funktion ist f (0) = 0, ber f ht in 0 kein lokles Extremum. (ii) Ht f : [, b] R in oder b ein lokles Extremum und ist f dort differenzierbr, so gilt nicht notwendig f () = 0 bzw. f (b) = 0. Zum Beispiel ht die Abbildung f : [, b] R, f(x) := x, in ein globles Minimum und in b ein globles Mximum, ber f () = f (b) =. Stz.2.4 (Stz von Rolle) Sei f : [, b] R stetig, sei f ], b[ differenzierbr und gelte f() = f(b). Dnn existiert ein ξ ], b[ mit f (ξ) = 0. Beweis. D f stetig und [, b] kompkt ist, existieren nch dem Stz von Weierstrss ξ, ξ 2 [, b] derrt, dss f in ξ ein globles Minimum und in ξ 2 ein globles Mximum ht.. Fll: ξ, ξ 2 {, b}. Wegen f() = f(b) hben wir in diesem Fll f() = f(ξ ) f(x) f(ξ 2 ) = f() für lle x [, b], d.h. Dies impliziert, dss f(x) = f() für lle x [, b]. f (x) = 0 für lle x ], b[. 2. Fll: ξ ], b[ oder ξ 2 ], b[. Nch Stz.2.2 gilt dnn f (ξ ) = 0 oder f (ξ 2 ) = 0. Der Stz von Rolle ist ein Spezilfll von Stz.2.5 (Mittelwertstz der Differentilrechnung) Sei f f ], b[ differenzierbr. Dnn existiert ein ξ ], b[ mit : [, b] R stetig und sei f (ξ) = f(b) f() b. (.2.) Beweis. Für die Abbildung ϕ : [, b] R, ϕ(x) := f(x) f(b) f() b (x ), gelten die Vorussetzungen von Stz.2.4. Somit existiert ein ξ ], b[ mit ϕ (ξ) = 0, d.h. mit (.2.). Der Mittelwertstz bedeutet geometrisch, dss es ein ξ ], b[ derrt gibt, dss die Steigung der Tngente in (ξ, f(ξ)) n Grph(f) mit der Steigung der Seknte durch die Punkte (, f()) und (b, f(b)) übereinstimmt. Aus dem Mittelwertstz leiten wir folgende Monotoniekriterien b. Stz.2.6 Sei I R ein Intervll und sei f : I R differenzierbr. Dnn gilt: (i) Gilt f (x) 0 für lle x I, so ist f monoton wchsend. 0

(ii) Gilt f (x) 0 für lle x I, so ist f monoton fllend. (iii) Gilt f (x) > 0 für lle x I, so ist f streng monoton wchsend. (iv) Gilt f (x) < 0 für lle x I, so ist f streng monoton fllend. (v) Gilt f (x) = 0 für lle x I, so ist f konstnt. Beweis. Seien, b I mit < b. Indem wir Stz.2.5 uf f [, b] nwenden, erhlten wir, dss f(b) f() = f (ξ)(b ) für ein ξ ], b[. (.2.2) Gilt nun f (x) 0 für lle x I, so folgt wegen b > 0, dss f(b) f() 0, d.h. f() f(b). Also ist f in diesem Fll ttsächlich monoton wchsend. Genuso erhält mn us (.2.2) die restlichen Behuptungen. Bemerkung.2.7 Wie mn sofort sieht, gelten von den Behuptungen (i), (ii) und (v) des Stzes.2.6 uch die Umkehrungen. Für die Behuptungen (iii) und (iv) trifft ds nicht zu. Zum Beispiel ist f : R R, f(x) := x 3, streng monoton wchsend, ber f (0) = 0. Die nächsten beiden Sätze liefern hinreichende Kriterien für Extrem. Stz.2.8 Sei I R ein offenes Intervll und sei ξ I. Desweiteren sei f : I R differenzierbr und f (ξ) = 0. Dnn gilt: (i) Ist f (x) 0 für lle x I ], ξ[ und f (x) 0 für lle x I ]ξ, + [, so ht f in ξ ein Minimum. (ii) Ist f (x) 0 für lle x I ], ξ[ und f (x) 0 für lle x I ]ξ, + [, so ht f in ξ ein Mximum. Beweis. (i) Lut Vorussetzungen und Stz.2.6 ist f uf I ], ξ] monoton fllend und uf I [ξ, + [ monoton wchsend. Dies ergibt sofort die Behuptung. (ii) Anlog. Stz.2.9 Sei I R ein offenes Intervll und sei ξ I. Sei f : I R differenzierbr und in ξ zweiml differenzierbr. Außerdem sei f (ξ) = 0. Dnn gilt: (i) Ist f (ξ) < 0, so ht f in ξ ein isoliertes lokles Mximum. (ii) Ist f (ξ) > 0, so ht f in ξ ein isoliertes lokles Minimum. Beweis. (i) Sei f (ξ) < 0. Dnn existiert ein ε > 0 derrt, dss ]ξ ε, ξ + ε[ I und f (x) f (ξ) x ξ < 0 für lle x ]ξ ε, ξ + ε[ \ {0}. Dmit gilt f (x) > f (ξ) für lle x ]ξ ε, ξ[ und f (x) < f (ξ) für lle x ]ξ, ξ + ε[. D f (ξ) = 0, folgt mit Stz.2.6, dss f uf ]ξ ε, ξ[ streng monoton wchsend und uf ]ξ, ξ +ε[ streng monoton fllend ist. Hierus und us der Ttsche, dss f in ξ stetig ist, erhlten wir f(x) < f(ξ) für lle x ]ξ ε, ξ + ε[ \ {0}. (ii) Anlog.

Beispiel.2.0 Zu gegebenen,..., m R soll ein R so bestimmt werden, dss der Ausdruck ( ) 2 + + ( m ) 2 miniml ist. Zu untersuchen ist lso, in welchen Punkten die Funktion f : R R, f(x) := (x ) 2 + + (x m ) 2, ein Minimum ht. Solche Punkte müssen nch Stz.2.2 Nullstellen von f sein. D ( f (x) = 2(x ) + + 2(x m ) = 2m x ) + + m, m gilt f (x) = 0 genu dnn, wenn x = := + + m m, d.h. wenn x ds rithmetische Mittel von,..., m ist. D ußerdem f (x) < 0 für x < und f (x) > 0 für x >, folgt mit Stz.2.8, dss f in ttsächlich miniml ist. Bei der Untersuchung des Verlufs von reellen Funktionen sind neben den Extrem und der Monotonie uch die folgenden Eigenschften von Bedeutung. Definition.2. Seien I R und J I Intervlle und sei f : I R. (i) f heißt konvex : (ii) f heißt konkv : x, x 2 I s ]0, [ : f(sx + ( s)x 2 ) sf(x ) + ( s)f(x 2 ). x, x 2 I s ]0, [ : f(sx + ( s)x 2 ) sf(x ) + ( s)f(x 2 ). (ii) f heißt konvex (bzw. konkv) uf J : f J ist konvex (bzw. konkv). Geometrisch bedeuten diese Begriffe folgendes. Eine Abbildung f : I R ist genu dnn konvex (bzw. konkv), wenn für lle x, x 2 I die Verbindungsstrecke der Punkte (x, f(x )) und (x 2, f(x 2 )) oberhlb (bzw. unterhlb) von Grph(f) liegt. Beispiel.2.2 nämlich (i) Die Abbildung f : R R, f(x) := x 2, ist konvex. Für x, x 2, s R gilt (sx + ( s)x 2 ) 2 sx 2 + ( s)x 2 2 s 2 x 2 + 2s( s)x x 2 + ( s) 2 x 2 2 sx 2 + ( s)x 2 2 0 ( s s 2) x 2 2s( s)x x 2 + ( ( s) ( s) 2) x 2 2 0 s( s)(x x 2 ) 2. D s( s) > 0 für s ]0, [, ergibt sich hierus die gewünschte Abschätzung. (ii) Die Abbildung g : [0, + [ R, g(x) := x, ist konkv. Dies folgt us (i) und der Ttsche, dss g monoton wchsend ist. Stz.2.3 Sei I R ein Intervll und sei f : I R differenzierbr. Dnn ist f genu dnn konvex (bzw. konkv), wenn f monoton wchsend (bzw. monoton fllend) ist. 2

Beweis. Wir beweisen die Aussge für Konvexität. Für Konkvität schließt mn nlog. (= ) Sei f konvex. Wir fixieren x, x 2 I mit x < x 2 und setzen x(s) := sx + ( s)x 2 für s ]0, [. Dnn gilt f(x(s)) sf(x ) + ( s)f(x 2 ). (.2.3) Dies ist äquivlent zu lso uch zu d.h. zu Die letzte Ungleichung impliziert und s(f(x(s)) f(x )) ( s)(f(x 2 ) f(x(s))), f(x(s)) f(x ) ( s)(x 2 x ) f(x 2) f(x(s)), s(x 2 x ) f(x(s)) f(x ) x(s) x f(x 2) f(x(s)) x 2 x(s). (.2.4) f f(x(s)) f(x ) f(x 2 ) f(x(s)) (x ) = = f(x 2) f(x ) s x(s) x s x 2 x(s) x 2 x f(x 2 ) f(x ) x 2 x Folglich ist f (x ) f (x 2 ). f(x(s)) f(x ) f(x 2 ) f(x(s)) = = f (x 2 ). s 0+ x(s) x s 0+ x 2 x(s) ( =) Sei f monoton wchsend und seien x, x 2 und x(s) wie oben. Nch dem Mittelwertstz existieren ξ ]x, x(s)[ und ξ 2 ]x(s), x 2 [ mit f (ξ ) = f(x(s)) f(x ) und f (ξ 2 ) = f(x 2) f(x(s)). x(s) x x 2 x(s) D ξ < ξ 2 und f monoton wchsend ist, folgt (.2.4), ws, wie bereits gezeigt, zu (.2.3) äquivlent ist. Folgerung.2.4 Sei I R ein Intervll und sei f : I R zweiml differenzierbr. Dnn ist f genu dnn konvex (bzw. konkv), wenn f (x) 0 (bzw. f (x) 0) für lle x I. Beweis. Nch Stz.2.3 ist f genu dnn konvex (bzw. konkv), wenn f monoton wchsend (bzw. monoton fllend) ist, ws nch Stz.2.6 und Bemerkung.2.7 bedeutet, dss f (x) 0 (bzw. f (x) 0) für lle x I. Wie der Beweis des folgenden Stzes illustriert, knn mn us der Konvexität bzw. Konkvität von Funktionen eine Reihe wichtiger Ungleichungen bleiten. Stz.2.5 (Youngsche Ungleichung) Seien p, q R + mit p + q =. Dnn gilt x /p y /q x p + y q für lle x, y R +. (.2.5) Beweis. D der ntürliche Logrithmus wegen ln (x) = x 2 < 0 für lle x R + nch Folgerung.2.4 konkv ist, gilt ln(x) p + ln(y) q ln ( x p + y ) q Durch Anwendung der Exponentilfunktion folgt (.2.5). für lle x, y R +. 3

.3 Verllgemeinerungen des Mittelwertstzes und die Regel von de l Hospitl Stz.3. (Verllgemeinerter Mittelwertstz der Differentilrechnung) Seien die Funktionen f, g : [, b] R stetig, seien f ], b[ und g ], b[ differenzierbr und gelte g (x) 0 für lle x ], b[. Dnn ist g() g(b) und es existiert ein ξ ], b[ mit f (ξ) f(b) f() g = (ξ) g(b) g(). Beweis. Wäre g() = g(b), so würde nch dem Stz von Rolle ein ξ ], b[ mit g (ξ) = 0 existieren. D ds den Vorussetzungen widerspricht, gilt g() g(b). Der Rest der Behuptung folgt nlog zum Beweis von Stz.2.5 durch Betrchtung der Funktion ϕ : [, b] R, ϕ(x) := f(x) f(b) f() (g(x) g()). g(b) g() Bemerkung.3.2 Offensichtlich erhält mn Stz.2.5 us Stz.3., indem mn g(x) = x setzt. Die Bestimmung von f(x)/g(x) für zwei reelle Funktionen f und g knn sich recht schwierig x gestlten, flls f(x) = g(x) = 0. Sind f und g jedoch zusätzlich in differenzierbr und x x gilt g () 0, so ht mn f(x) f(x) f() = g(x) g(x) g() = f(x) f() x g(x) g() x f () g () für x. Eine Verllgemeinerung dieser Überlegung ist Stz.3.3 (Regel von de l Hospitl) Seien f, g : ], b[ R differenzierbr und sei g (x) 0 für lle x ], b[. Außerdem gelte einer der beiden folgenden Fälle: () f(x) 0 und g(x) 0 für x +, (b) f(x) + und g(x) + für x +. Existiert dnn f (x)/g (x), so existiert uch f(x)/g(x) und x + x + f(x) x + g(x) = f (x) x + g (x). Beweis. Es gelte der Fll (). Wir setzen f und g durch f() := 0 und g() := 0 zu stetigen Funktionen uf [, b[ fort. Nch Stz.3. gibt es dnn zu jedem x ], b[ ein ξ(x) ], x[ mit f(x) g(x) = f (ξ(x)) g (ξ(x)). D mit x + uch ξ(x) + gilt, folgt hierus die Behuptung. 4

Es gelte jetzt der Fll (b). Sei f (x) α := x + g (x) und sei ε > 0 beliebig. Dnn existiert ein c ], b[ derrt, dss f (x) g (x) α < ε für lle x ], c[. Nch Stz.3. gilt dmit f(x) f(c) g(x) g(c) α < ε für lle x ], c[. (.3.) Wegen f(x) + und g(x) + für x +, können wir o.b.d.a. nnehmen, dss Somit hben wir D nch (.3.) und d f(x) 0 und g(x) 0 für x ], c]. f(x) f(x) f(c) f(x) f(c) = g(x) g(x) g(c) g(x) g(c) ( ) g(c)/g(x) f(c)/f(x) f(x) f(c) g(x) g(c) < α + ε für lle x ], c[ g(c)/g(x) x + f(c)/f(x) =, für x ], c]. existiert folglich ein d ], c] mit f(x) f(x) f(c) g(x) g(x) g(c) < ε für lle x ], d[. (.3.2) Aus (.3.) und (.3.2) erhlten wir mittels Dreiecksungleichung f(x) g(x) α < 2ε für lle x ], d[. Dmit ist die Behuptung uch für den Fll (b) bewiesen. Stz.3.4 Seien f, g : ], + [ R differenzierbr, sei g (x) 0 für lle x ], + [ und gelte Existiert f(x) = x + g(x) = 0 oder f(x) = x + x + f (x)/g (x), so existiert uch f(x)/g(x) und x + x + Beweis. Wir setzen vorus, dss f (x)/g (x) existiert, nehmen o.b.d.a. > 0 n und defi- x + nieren f, g : ]0, /[ R durch D dnn f(x) x + g(x) = f (x) x + g (x). g(x) = +. x + f (y) := f f (y) = y 2 f ( ) y ( ) y und und g (y) := g ( ). y g (y) = y 2 g ( y und somit f (y) f (/y) y 0+ g = (y) y 0+ g (/y) = f (x) x + g (x), erhält mn die Behuptung, indem mn Stz.3.3 uf f und g für y 0+ nwendet. ) 5

Bemerkung.3.5 Offensichtlich gelten die Sätze.3.3 und.3.4 für x b bzw. x in nloger Form. Dmit knn die Regel von de l Hospitl uch zur Berechnung von Grenzwerten f(x)/g(x) benutzt werden. Außerdem knn mn leicht einsehen, dss die oben gennnten x ξ Sätze uch gültig bleiben, wenn f (x)/g (x) gegen ± konvergiert. Dzu ist lediglich der Beweis von Stz.3.3 für den Fll (b) zu modifizieren (vgl. Wlter, Anlysis, Abschnitt 0.). Beispiel.3.6 und (i) Es ist ln( + x) ( + x) = = x 0 x x 0 ln(x) x = x + x x + = 0. (ii) Zur Berechnung von x ln(x) knn mn x 0+ schließen. ln(x) x ln(x) = x 0+ x 0+ x = x = x 0+ x 2 x = 0 x 0+ (iii) Es ist denn x 0 cos(x)/x = exp x 0 x 0 cos(x)/x =, ( ln cos(x) /x) ln(cos(x)) sin(x) = = x 0 x 0 x x 0 cos(x) = 0, worus sich ufgrund der Stetigkeit der Exponentilfunktion ( ( ln cos(x) /x)) = exp ( ( ln cos(x) /x)) = exp(0) = x 0 ergibt. Ein Anwendungsbereich der Regel von de l Hospitl ist die Untersuchung des symptotischen Vehltens von Funktionen. Definition.3.7 Sei M R mit sup M = +. Zwei Funktionen f, g : M K heißen symptotisch gleich für x + (in Zeichen: f(x) g(x) für x + ) : Anlog für x. f(x) x + g(x) =. Beispiel.3.8 Wir zeigen, dss e ( + ) x e x 2 x für x +. Dzu substituieren wir x = /y. Es ist dnn zu verifizieren, dss e ( + y) /y y 0+ y = e 2. 6

Diesen Grenzwert erhält mn durch zweimlige Anwendung von Stz.3.3. Es ist nämlich e ( + y) /y y 0+ y = ( + ( + y 0+ y)/y y) y ln( + y) y 2 ln( + y) ( + y) y = e y 0+ y 2 und ln( + y) ( + y) y ( + y) 2 y 0+ y 2 = = y 0+ 2 2. Beispiel.3.8 zeigt u.., dss die Konvergenz von ( + /x) x gegen e für x + lngsm ist. Wir wollen jetzt der Frge nchgehen, inwieweit mn den Mittelwertstz für komplex- und vektorwertige Funktionen, lso für Funktionen f : I C bzw. f : I E verllgemeinern knn. Dbei sei hier und im Folgenden wieder E = K n. Beispiel.3.9 Die Abbildung f : [0, 2π] C, f(x) := e ix, ist differenzierbr und es gilt f(0) = f(2π) =. Es ist ber f (x) 0 für lle x [0, 2π], denn f (x) = ie ix. Also gilt Stz.2.5 nicht für komplex- und vektorwertige Funktionen. Mn knn jedoch folgende Abschätzung beweisen, die für Funktionen f : I R sofort us Stz.2.5 folgt. Stz.3.0 Sei f : [, b] E stetig, sei f ], b[ differenzierbr und gelte f (x) d für lle x ], b[ (.3.3) mit einem d R. Dnn ist f(b) f() d(b ). (.3.4) Beweis. Seien ε > 0 und y ], b[ beliebig und sei M die Menge ller ξ [y, b] mit f(x) f(y) (d + ε)(x y) für y x ξ. Dnn ist M beschränkt und nichtleer, denn M [y, b] und y M. Also existiert c := sup M. D f stetig ist, ist c M. Somit gilt f(x) f(y) (d + ε)(x y) für y x c. (.3.5) Wir wollen zeigen, dss c = b. Dzu nehmen wir n, dss c < b. Aufgrund der Differenzierbrkeit von f ], b[ können wir dnn ein δ > 0 so wählen, dss c + δ b und d.h. D wegen (.3.3) f(x) f(c) x c f (c) ε für lle x ]c, c + δ], f(x) f(c) f (c)(x c) ε(x c) für lle x ]c, c + δ]. f(x) f(c) d(x c) f(x) f(c) f (c) (x c) f(x) f(c) f (c)(x c), für x [c, b], folgt f(x) f(c) (d + ε)(x c) für lle x ]c, c + δ]. 7

Wir schließen weiter, dss f(x) f(y) f(x) f(c) + f(c) f(y) (d + ε)(x c) + (d + ε)(c y) = (d + ε)(x y) für lle x ]c, c+δ]. Dies und (.3.5) implizieren, dss c+δ M, ws im Widerspruch zu c = sup M steht. Also ist c = b. Dmit hben wir gezeigt, dss Wegen der Stetigkeit von f folgt f(b) f(y) (d + ε)(b y) für lle ε > 0 und y ], b[. f(b) f() (d + ε)(b ) für lle ε > 0. Die letzte Aussge ist äquivlent zu (.3.4) und der Stz ist bewiesen. Stz.3.0 wird gelegentlich uch ls Mittelwertstz zitiert. Als Konsequenzen dieses Stzes hben wir: Stz.3. Sei f : [, b] E stetig differenzierbr. Dnn ist f Lipschitz-stetig. Beweis. D f : [, b] E stetig und [, b] kompkt ist, ist uch f ([, b]) kompkt und dmit insbesondere beschränkt. Also existiert ein α R mit Durch Anwendung von Stz.3.0 erhält mn f (x) α für lle x [, b]. f(x ) f(x 2 ) α x x 2 für lle x, x 2 [, b]. Stz.3.2 Sei I R ein Intervll, sei f : I E differenzierbr und gelte f (x) = 0 für lle x I. Dnn ist f konstnt. Beweis. Nch Vorussetzung gilt f (x) = 0 für lle x I. Mit Stz.3.0 folgt d.h. f(x ) f(x 2 ) 0 für lle x, x 2 I, f(x ) = f(x 2 ) für lle x, x 2 I. Stz.3.2 verllgemeinert Stz.2.6(v). Als Anwendungen hben wir: Folgerung.3.3 Sei I R ein Intervll, sei f : I E differenzierbr und gelte f (x) = für lle x I mit einem E. Dnn ist mit einem b E. f(x) = x + b für lle x I (.3.6) 8

Beweis. Die Abbildung ϕ : I E, ϕ(x) := f(x) x, erfüllt die Vorussetzungen von Stz.3.2. Folglich gibt es ein b E mit ϕ(x) = b für lle x I, d.h. mit (.3.6). Folgerung.3.4 Sei λ C, sei f : R C differenzierbr und gelte f (x) = λf(x) für lle x R. Dnn ist f(x) = f(0)e λx für lle x R. Beweis. Mn betrchte ϕ : R C, ϕ(x) := f(x)e λx, und nutze wieder Stz.3.2..4 Differentition von Funktionenfolgen und -reihen Wir beginnen mit zwei Beispielen. Beispiel.4. Seien f k : R R, k N, durch f k (x) := x 2 + k definiert. Dnn sind lle f k differenzierbr, die Folge (f k ) ist gleichmäßig konvergent, ber deren Grenzfunktion f : R R, f(x) := x, ist nicht differenzierbr. Beispiel.4.2 Seien f k : R R, k N, durch f k (x) := k sin(kx) definiert. Dnn sind lle f k differenzierbr, die Folge (f k ) konvergiert gleichmäßig gegen 0, ber (f k ) ist nicht ml punktweise konvergent, denn f k (x) = cos(kx) und folglich ist z.b. (f k (π)) divergent. Sei wieder E = K n. Stz.4.3 Seien f k : [, b] E, k N, differenzierbr und gelte: () Es existiert ein x 0 [, b] derrt, dss (f k (x 0 )) konvergent ist. (2) Die Folge (f k ) ist gleichmäßig konvergent. Dnn konvergiert die Folge (f k ) gleichmäßig gegen eine differenzierbre Abbildung f : [, b] E und f (x) = f k(x) für lle x [, b]. (.4.) k Beweis. Sei ε > 0. Nch Eigenschft () können wir ein x 0 [, b] so wählen, dss (f k (x 0 )) konvergent und somit eine Cuchy-Folge ist. Dnn existiert ein k N mit f k (x 0 ) f l (x 0 ) < ε 2 für lle k, l k. (.4.2) Wegen der Eigenschft (2) existiert ußerdem ein k 2 N mit f k(x) f l (x) < ε 2(b ) für lle x [, b] und k, l k 2. (.4.3) 9

Indem wir Stz.3.0 uf f k f l nwenden, erhlten wir us (.4.3), dss f k (x) f l (x) f k (ξ) f l (ξ) worus sich weiter ε 2(b ) x ξ für lle x, ξ [, b] und k, l k 2, (.4.4) f k (x) f l (x) f k (ξ) f l (ξ) ε 2 für lle x, ξ [, b] und k, l k 2 (.4.5) ergibt. Sei k 0 := mx {k, k 2 }. D f k (x) f l (x) f k (x) f l (x) f k (x 0 ) f l (x 0 ) + f k (x 0 ) f l (x 0 ), liefern (.4.2) und (.4.5), dss f k (x) f l (x) < ε für lle x [, b] und k, l k 0. (.4.6) Folglich ist (f k (x)) für jedes x [, b] eine Cuchy-Folge. D E vollständig ist, ist dnn (f k (x)) für jedes x [, b] konvergent. Wir definieren f : [, b] E durch f(x) := k f k(x). Aus (.4.6) folgt durch Bildung des Grenzwertes für l, dss Also konvergiert (f k ) gleichmäßig gegen f. f k (x) f(x) ε für lle x [, b] und k k 0. Es bleibt zu zeigen, dss f differenzierbr ist und (.4.) gilt. Wir fixieren ein ξ [, b] und definieren ϕ k : [, b] E, k N, durch f k (x) f k (ξ) für x ξ ϕ k (x) := x ξ. f k (ξ) für x = ξ Dnn sind lle ϕ k stetig. Außerdem gilt wegen (.4.4) für x ξ und k, l k 2 ϕ k (x) ϕ l (x) x ξ f ε k(x) f l (x) f k (ξ) + f l (ξ) 2(b ). Aufgrund der Setigkeit von ϕ k ϕ l gilt diese Abschätzung uch für x = ξ. Also hben wir ϕ k (x) ϕ l (x) ε 2(b ) für lle x [, b] und k, l k 2. Dmit ist (ϕ k (x)) für jedes x [, b] eine Cuchy-Folge und wie oben sieht mn, dss (ϕ k ) gleichmäßig gegen die Abbildung ϕ : [, b] E, ϕ(x) := ϕ k(x), konvergiert. Hierus und k us der Stetigkeit der ϕ k folgt, dss uch ϕ stetig ist. Somit gilt ϕ(ξ) = ϕ(x) = ϕ f k (x) f k (ξ) f(x) f(ξ) k(x) = =. x ξ x ξ k x ξ k x ξ x ξ x ξ Also ist f in ξ differenzierbr und f (ξ) = ϕ(ξ) = k ϕ k(ξ) = k f k(ξ). Eine im wesentlichen nur ndere Formulierung von Stz.4.3 ist 20

Stz.4.4 Seien f k : [, b] E, k N, differenzierbr und gelte: () Es existiert ein x 0 [, b] derrt, dss f k (x 0 ) konvergent ist. (2) Die Reihe f k k= k= ist gleichmäßig konvergent. Dnn konvergiert die Reihe f k gleichmäßig gegen eine differenzierbre Abbildung f : [, b] E und k= f (x) = f k(x) für lle x [, b]. (.4.7) k= Die Beziehungen (.4.) und (.4.7) knn mn uch in der Form d dx f d k = k k dx f k bzw. d dx f k = k= k= d dx f k schreiben, lso ls Vertuschungsregel zwischen Grenzwert von Folgen bzw. Reihen und Ableitung. Als Anwendung von Stz.4.4 hben wir Stz.4.5 Sei f(x) = k (x x 0 ) k eine Potenzreihe mit Zentrum x 0 R, Koeffizienten k K k=0 und Konvergenzrdius ρ > 0. Dnn ist f : ]x 0 ρ, x 0 + ρ[ K differenzierbr und f (x) = k k (x x 0 ) k für lle x ]x 0 ρ, x 0 + ρ[. k= Beweis. Sei δ ]0, ρ[ und seien f k : [x 0 δ, x 0 + δ] K, k N, durch f k (x) := k (x x o ) k definiert. Die Abbildungen f k sind offensichtlich differenzierbr, wobei f 0(x) = 0 und f k(x) = k k (x x 0 ) k für k N. Außerdem ist f k (x 0 ) konvergent. Sei ρ der Konvergenzrdius von k k (x x 0 ) k. Dnn ist k=0 ρ = ρ, denn die Konvergenzrdien von k k (x x 0 ) k und k k (x x 0 ) k stimmen überein k= und folglich gilt ( ) ( ρ k k = sup kk = sup ) ( ) k k k k = sup k = ρ. k k k Dmit konvergiert k k (x x 0 ) k uf [x 0 δ, x 0 + δ] gleichmäßig, d.h. k= konvergent. Mit Stz.4.4 folgt, dss f [x0 δ, x 0 + δ] differenzierbr ist und k=0 k= f k k= ist gleichmäßig f (x) = k k (x x 0 ) k für lle x ]x 0 δ, x 0 + δ[. k= D dies für lle δ ]0, ρ[ gilt, ist dmit der Stz bewiesen. 2

Beispiel.4.6 Die so gennnte Zet-Funktion ζ : ], + [ R ist durch ζ(s) := k s definiert. Wir wollen zeigen, dss diese Funktion differenzierbr ist und ζ ln(k) (s) = k s für lle s ], + [. k=2 Dzu fixieren wir ein δ > 0 und ein ε ]0, δ[. Wir setzen := δ ε und definieren g : [, + [ R durch g(x) := ln(x) x. D > 0 und g (x) = ln(x) x + für lle x [, + [, ht g ein Mximum und ist somit nch oben beschränkt. Also gibt es ein c R + mit k= ln(x) x c für lle x [, + [. Dmit schließen wir, dss für lle s [ + δ, + [ und lle k N ln(k) k s = ln(k) k s ln(k) k +δ = ln(k) k k +ε c k +ε. Diese Abschätzung impliziert, dss die Reihe k=2 ln(k) k s uf dem Intervll [ + δ, + [ gleichmäßig konvergiert. Mit Stz.4.4 erhlten wir, dss ζ [ + δ, + [ differenzierbr ist und ζ (s) = k=2 ln(k) k s für lle s ] + δ, + [. D dies für lle δ > 0 gilt, folgt die gewünschte Aussge. Beispiel.4.7 Wir entwickeln rctn : R ] π/2, π/2[ um 0 in eine Potenzreihe. D hben wir rctn (x) = + x 2 für lle x R, rctn (x) = Für die Potenzreihe g(x) = k=0 g (x) = ( ) k x 2k für lle x ], [. k=0 ( ) k 2k + x2k+ gilt nch Stz.4.5 ebenflls ( ) k x 2k für lle x ], [. k=0 D ußerdem rctn(0) = g(0), folgt ( ) k rctn(x) = 2k + x2k+ für lle x ], [. k=0 Diese Reihenentwicklung liefert zusmmen mit der so gennnten Mchinschen Formel ( ) ( ) π 4 = 4 rctn rctn 5 239 gute Näherungen für π (vgl. Königsberger, Anlysis, Abschnitt 8.). 22

.5 Die Tylor-Entwicklung Bezeichne wieder I ein Intervll in R. Definition.5. Sei x 0 I und sei f : I K k-ml differenzierbr. Dnn heißt T k (f, x 0 ) : R K, T k (f, x 0 )(x) := k-tes Tylor-Polynom von f in x 0 und k-tes Restglied von f in x 0. k j=0 f (j) (x 0 ) j! (x x 0 ) j, R k (f, x 0 ) : I K, R k (f, x 0 )(x) := f(x) T k (f, x 0 )(x), Bemerkung.5.2 Wie mn unmittelbr sieht, ist T k (f, x 0 ) ds eindeutig bestimmte Polynom p : R K vom Grd höchstens k mit p (j) (x 0 ) = f (j) (x 0 ) für j = 0,,..., n. Stz.5.3 (Stz von Tylor) Sei x 0 I und sei f : I R (k + )-ml differenzierbr, k N 0. Dnn gilt: (i) Cuchy-Form des Restgliedes: Zu jedem x I existiert ein s ]0, [ mit R k (f, x 0 )(x) = f (k+) (x 0 + s(x x 0 )) k! ( s) k (x x 0 ) k+. (.5.) (ii) Lgrnge-Form des Restgliedes: Zu jedem x I existiert ein t ]0, [ mit R k (f, x 0 )(x) = f (k+) (x 0 + t(x x 0 )) (k + )! Beweis. Sei x I fixiert, gelte o.b.d.a. x x 0 und sei ϕ : I R durch ϕ(y) := f(x) T k (f, y)(x) (x x 0 ) k+. (.5.2) definiert. Dnn ist ϕ differenzierbr und es gilt ϕ(x) = 0 und ϕ(x 0 ) = R k (f, x 0 )(x). Nch dem Mittelwertstz der Differentilrechnung existiert demnch ein s ]0, [ mit D ϕ (y) = k j=0 R k (f, x 0 )(x) = ϕ (x 0 + s(x x 0 ))(x x 0 ). f (j+) (y) j! folgt (.5.) und (i) ist bewiesen. (x y) j + k j= Zum Beweis von (ii) betrchten wir zusätzlich die Abbildung Auch diese Abbildung ist differenzierbr, wobei f (j) (y) (j )! (x y)j = f (k+) (y) (x y) k, k! ψ : I R, ψ(y) := (x y) k+. ψ (y) = (k + )(x y) k. 23

Außerdem gilt ψ(x) = 0 und ψ(x 0 ) = (x x 0 ) k+. Dmit existiert nch dem verllgemeinerten Mittelwertstz der Differentilrechnung ein t ]0, [ mit R k (f, x 0 )(x) (x x 0 ) k+ = ϕ (x 0 + t(x x 0 )) ψ (x 0 + t(x x 0 )) = f (k+) (x 0 + t(x x 0 )), (k + )! d.h. mit (.5.2). Bemerkung.5.4 Offensichtlich ergibt der Stz von Tylor für k = 0 gerde wieder den Mittelwertstz der Differentilrechnung. Als erste Anwendung von Stz.5.3 betrchten wir Beispiel.5.5 Wir berechnen 3 9 mit einer Fehlerdifferenz kleiner ls 0 3. Dfür benutzen wir folgende Überlegung. Sei ]0, [ und sei f : ], + [ R durch f(x) := ( + x) gegeben. Dnn ist f beliebig oft differenzierbr und es gilt f(0) = und Somit ist f (j) (x) = ( ) ( j + )( + x) j für j N. f(x) = k j=0 ( ) x j + R k (f, 0)(x) für k N 0. j Sei k N und sei x R. Nch der Lgrnge-Form des Restgliedes ist mit einem t ]0, [. D R k (f, 0)(x) = f (k+) (tx) (k + )! x k+ = ( ) ( + tx) k x k+ k + ( + tx) k < für x > 0 und t ]0, [ und ( ) 2 k = 2 k = k + (k + )! (k + )! k +, folgt Sei jetzt = /3. Wegen (.5.3) und R k (f, 0)(x) k + xk+ für k N und x > 0. (.5.3) f ( ) = 8 ( ) /3 9 = 8 3 9 2 hben wir dnn Also ist 3 2 ( ) /3 9 2 j 8 j 2 9 8 3 = 2304 < 0 3. 2 j=0 2 ( /3 j=0 j ) 8 j = 2 ( + 3 8 ) = 599 9 64 288 eine Näherung von 3 9 mit einem Fehler kleiner ls 0 3. 24

Eine weitere Anwendung von Stz.5.3 ist die folgende Verllgemeinerung von Stz.2.9. Stz.5.6 Sei I offen, sei x 0 I und sei f : I R k-ml differenzierbr, k 2. Außerdem gelte f (j) (x 0 ) = 0 für j =,..., k. (.5.4) Ist dnn k gerde und f (k) (x 0 ) < 0 (bzw. f (k) (x 0 ) > 0), so ht f in x 0 Mximum (bzw. isoliertes lokles Minimum). ein isoliertes lokles Beweis. Sei k gerde und sei f (k) (x 0 ) < 0. D f (k ) (x 0 ) = 0 und somit f (k) (x 0 ) = x x 0 f (k ) (x) x x 0, existiert dnn ein ε > 0 derrt, dss ]x 0 ε, x 0 + ε[ I und f (k ) (x) x x 0 < 0 für lle x ]x 0 ε, x 0 + ε[ \ {x 0 }. Also ist f (k ) (x) > 0 für lle x ]x 0 ε, x 0 [ und f (k ) (x) < 0 für lle x ]x 0, x 0 + ε[. D k gerde ist, gilt dnn uch f (k ) (x 0 + t(x x 0 ))(x x 0 ) k < 0 für lle x ]x 0 ε, x 0 + ε[ \ {x 0 } und t ]0, [. (.5.5) Nch Stz.5.3 und wegen (.5.4) existiert zu jedem x I ein t ]0, [ mit Hierus und us (.5.5) folgt f(x) = f(x 0 ) + f (k ) (x 0 + t(x x 0 )) (k )! (x x 0 ) k. f(x) < f(x 0 ) für lle x ]x 0 ε, x 0 + ε[ \ {x 0 }, ws bedeutet, dss f in x 0 ein isoliertes lokles Mximum ht. Der Beweis für f (k) (x 0 ) > 0 verläuft völlig nlog. Schut mn sich den letzten Beweis noch einml n, so sieht mn, dss in der Sitution von Stz.5.6 für ungerdes k und f (k) (x 0 ) 0 in x 0 kein lokles Extremum vorliegt. Stttdessen ht f in diesem Fll in x 0 einen so gennnten Wendepunkt. Definition.5.7 Sei I offen und sei f : I R. Mn sgt, f ht in x 0 I einen Wendepunkt : Es existiert ein ε > 0 derrt, dss ]x 0 ε, x 0 +ε[ I und eine der Abbildungen f ]x0 ε, x 0 ] und f [x0, x 0 + ε[ konvex und die ndere konkv ist. Stz.5.8 Sei I offen, sei x 0 I und sei f : I R differenzierbr. Dnn ht f genu dnn in x 0 einen Wendepunkt, wenn f in x 0 ein lokles Extremum ht. Beweis. Die Behuptung ist eine unmittelbre Schlussfolgerung us Stz.2.3. Stz.5.9 Sei I offen, sei x 0 I und sei f : I R k-ml differenzierbr, k 3. Außerdem gelte f (j) (x 0 ) = 0 für j = 2,..., k. Ist dnn k ungerde und f (k) (x 0 ) 0, so ht f in x 0 einen Wendepunkt. 25

Beweis. Indem mn Stz.5.6 uf f nwendet, erhält mn, dss f in x 0 ein lokles Extremum ht. Nch Stz.5.8 ht f dmit in x 0 einen Wendepunkt. Definition.5.0 Sei x 0 I und sei f C (I, K). Dnn heißt die Potenzreihe Tylor-Reihe von f in x 0. T (f, x 0 )(x) := j=0 f (j) (x 0 ) j! (x x 0 ) j Selbst wenn T (f, x 0 )(x) für ein x x 0 konvergent ist, muss T (f, x 0 )(x) nicht notwendig gegen f(x) konvergieren. Wir geben dzu ds folgende Beispiel n. Beispiel.5. Die Funktion f : R R, f(x) := { exp( /x) für x > 0 0 für x 0, ist beliebig oft differenzierbr und f (j) (0) = 0 für lle j N 0. Folglich ist T (f, 0)(x) = 0 für lle x R, ber f(x) 0 für x > 0. Existiert eine Umgebung U I von x 0 derrt, dss T (f, x 0 )(x) für lle x U gegen f(x) konvergiert, so sgt mn uch, dss f in x 0 eine Tylor-Entwicklung besitzt. Stz.5.2 Seien x 0, x I und sei f C (I, K). Dnn konvergiert T (f, x 0 )(x) genu dnn gegen f(x), wenn k R k(f, x 0 )(x) = 0. Beweis. Dies folgt drus, dss T k (f, x 0 )(x) die k-te Prtilsumme von T (f, x 0 )(x) ist und dss R k (f, x 0 )(x) = f(x) T k (f, x 0 )(x). Beispiel.5.3 Wir betrchten die Funktion f : ], + [ R, f(x) := ln( + x). Diese Funktion ist gltt und es gilt f(0) = 0 sowie Demnch ist f (j) (x) = ( )j+ (j )! ( + x) j für lle j N. T (f, 0)(x) = ( ) j+ x j. j Sei x ], [. Nch der Cuchy-Form des Restgliedes hben wir für ein s ]0, [. Mittels R k (f, 0)(x) = f (k+) (sx) k! j= ( s) k x k+ = ( ) k ( + sx) k+ ( s)k x k+ + sx s x x > 0 und s s x < 26

leiten wir b. Dies impliziert, dss Nch Stz.5.2 gilt somit R k (f, 0)(x) = ( s)k x k+ ( ) k ( + sx) k+ x k+ s x k+ x s x x R k(f, 0)(x) = 0 für lle x ], [. k ln( + x) = ( ) j+ x j für lle x ], [. j j= Die obige Gleichung bleibt uch für x = richtig, d.h. es gilt ( ) j+ ln(2) = j j= = 2 + 3 4 +. (.5.6) Um dies einzusehen, benutzen wir die Lgrnge-Form des Restgliedes. Dnch ist R k (f, 0)() = f (k+) (t) (k + )! = ( ) k (k + )( + t) k+ für ein t ]0, [. Es folgt Dies liefert und (.5.6) ist gezeigt. R k (f, 0)() k +. R k(f, 0)() = 0 k In engem Zusmmenhng mit der Tylor-Entwicklung steht der Begriff der nlytischen Funktion. Definition.5.4 Sei I offen. Eine Abbildung f : I K heißt (reell) nlytisch : Zu jedem x 0 I existieren ein ε > 0 mit ]x 0 ε, x 0 + ε[ I und eine Potenzreihe Zentrum x 0 und Koeffizienten k K derrt, dss f(x) = k (x x 0 ) k für lle x ]x 0 ε, x 0 + ε[. k=0 k=0 k (x x 0 ) k mit Die Menge ller nlytischen Abbildungen f : I K wird üblicherweise mit C ω (I, K) bezeichnet. Wie mn leicht sieht, ist C ω (I, K) ein K-Vektorrum. Stz.5.5 Sei I offen. Eine Abbildung f : I K ist genu dnn nlytisch, wenn f gltt ist und zu jedem x 0 I ein ε > 0 mit ]x 0 ε, x 0 + ε[ I und existiert. f(x) = T (f, x 0 )(x) für lle x ]x 0 ε, x 0 + ε[ (.5.7) Beweis. (= ) Sei f : I K nlytisch und sei x 0 I. Dnn gilt f(x) = k (x x 0 ) k für lle x ]x 0 ε, x 0 + ε[ (.5.8) k=0 27

mit gewissen k K und einem ε > 0. Hierus folgt durch wiederholtes Anwenden von Stz.4.5, dss f im Intervll ]x 0 ε, x 0 + ε[ beliebig oft differenzierbr ist und dss f (j) (x) = k(k ) (k j + ) k (x x 0 ) k j für lle x ]x 0 ε, x 0 + ε[ und j N 0. k=j Insbesondere ist Aus (.5.8) und (.5.9) folgt (.5.7). ( =) Ds ist offensichtlich. j = f (j) (x 0 ) j! für lle j N 0. (.5.9) Beispiel.5.6 (i) Jedes Polynom p : R K, p(x) := ist nlytisch, denn für lle x 0, x R gilt m m p(x) = k (x x 0 + x 0 ) k = k=0 = k=0 k m k x k, k=0 k ( ) k (x x 0 ) l x k l 0 l l=0 ( m m l=0 k=l ( k l ) k x k l 0 (ii) Die Exponentilfunktion exp : R R ist nlytisch. Wir hben nämlich exp(x) = exp(x 0 ) exp(x x 0 ) = exp(x 0 ) ) (x x 0 ) l. (x x 0 ) k k=0 k! für lle x 0, x R. Den ntürlichen Rhmen zur Untersuchung nlytischer Funktionen bildet die komplexe Anlysis, genuer die so gennnte Funktionentheorie. In diesem Kontext knn mn reltiv einfch beweisen, dss, neben der Summe und dem Produkt, uch die Verkettung nlytischer Funktionen und ds Reziproke eine nirgends verschwindenden nlytischen Funktion wieder nlytisch sind. Außerdem knn mn zeigen, dss, wie im letzten Beispiel in Spezilfällen nchgewiesen, eine Potenzreihe mit Zentrum x 0 R und Konvergenzrdius ρ > 0 uf ]x 0 ρ, x 0 + ρ[ nlytisch ist. Ntürlich können diese Aussgen uch uf entsprechende Resultte für Potenzreihen zurückgeführt werden (vgl. z.b. Königsberger, Anlysis, Abschnitt 4.2). 28

Kpitel 2 Differentilrechnung in mehreren Veränderlichen 2. Differenzierbre Abbildungen Im Folgenden sei U eine offene Teilmenge von R m. Desweiteren sei wieder E = K n, wobei K = R oder K = C. Definition 2.. (i) Eine Abbildung f : U E heißt differenzierbr in U : Es existiert eine linere Abbildung L : R m E mit f( + v) f() L(v) = 0. (2..) v 0 v (ii) Eine Abbildung f : U E heißt differenzierbr : f ist in jedem U differenzierbr. Bemerkung 2..2 Nch Stz..5 ist Definition 2.. eine Verllgemeinerung von Definition... Lemm 2..3 Sei f : U E und sei U. Dnn existiert höchstens eine linere Abbildung L : R m E mit (2..). Beweis. Seien L, L 2 : R m E liner und gelte f( + v) f() L (v) f( + v) f() L 2 (v) = = 0. v 0 v v 0 v Für jedes v R n \ {0} hben wir dnn L (v) L 2 (v) v L (tv) L 2 (tv) = t 0+ tv = t 0+ f( + tv) f() L 2 (tv) tv f( + tv) f() L (tv) = 0, t 0+ tv lso L (v ) = L 2 (v 2 ). Definition 2..4 Ist f : U E in U differenzierbr, so wird die durch (2..) bestimmte linere Abbildung L : R m E ds Differentil von f in gennnt und mit Df() bezeichnet. 29

Beispiel 2..5 Sei L : R m E liner. Aus L( + v) L() L(v) = 0 für lle, v R m folgt, dss L differenzierbr ist und DL() = L für lle R m. Beispiel 2..6 Sei Φ : R k R l E biliner, d.h. für lle (x, y ), (x 2, y 2 ) R k R l und α, α 2, β, β 2 R ist Φ(α x + α x 2, β y + β y 2 ) Wir zeigen, dss Φ differenzierbr ist und = α β Φ(x, y ) + α β 2 Φ(x, y 2 ) + α 2 β Φ(x 2, y ) + α 2 β 2 Φ(x 2, y 2 ). DΦ(, b)(v, w) = Φ(v, b) + Φ(, w) für lle (, b), (v, w) R k R l. D Φ stetig und M := {(x, y) R k R l : x = y = } kompkt ist, existiert ein c > 0 mit Außerdem gilt Φ(x, y) c für lle (x, y) M. (v, w) 2 = v 2 + w 2 2 v w für lle (v, w) R k R l. Somit ist Φ( + v, b + w) Φ(, b) Φ(v, b) Φ(, w) (v,w) (0,0) (v, w) Φ(v, w) = (v,w) (0,0) (v, w) v w (v,w) (0,0) c v w 2 (v,w) (0,0) = 0, 2 ( v Φ v, w w ) ws die gewünschte Aussge liefert. Stz 2..7 Ist f : U E in U differenzierbr, so ist f in stetig. Beweis. Sei f : U E in U differenzierbr. Dnn ist D Df() stetig ist und somit folgt (f( + v) f() Df()(v)) = 0. v 0 Df()(v) = 0, v 0 (f( + v) f()) = (f( + v) f() Df()(v)) + Df()(v) = 0. v 0 v 0 v 0 Offensichtlich gilt 30

Stz 2..8 (Summenregel) Seien f, f 2 : U E in U differenzierbr. Dnn ist uch f + f 2 : U E in U differenzierbr und Als weitere Rechenregeln hben wir: D(f + f 2 )() = Df () + Df 2 (). Stz 2..9 (Kettenregel) Sei U eine offene Teilmenge von R k und U 2 eine offene Teilmenge von R l. Sei g : U U 2 in U differenzierbr und sei f : U 2 E in g() differenzierbr. Dnn ist f g : U E in differenzierbr und D(f g)() = Df(g()) Dg(). Beweis. Wir setzen sowie L := Dg() und K := Df(g()) R(v) := g( + v) g() L(v), S(w) := f(g() + w) f(g()) K(w), T (v) := f g( + v) f g() K L(v) für v V R k und w V 2 R l, wobei V und V 2 genügend kleine Umgebungen von 0 sind. Nch Vorussetzung ist R(v) v 0 v = 0 (2..2) und Wir müssen zeigen, dss Dzu bemerken wir, dss S(w) w 0 w = 0. (2..3) T (v) v 0 v = 0. T (v) = f(g() + g( + v) g()) f(g()) K(L(v)) = f(g() + L(v) + R(v)) f(g()) K(L(v) + R(v)) + K(R(v)) = S(L(v) + R(v)) + K(R(v)). Wegen (2..2) ist Es bleibt zu zeigen, dss Nch (2..3) ist die Abbildung K(R(v)) = 0. v 0 v S(L(v) + R(v)) = 0. (2..4) v 0 v S : V 2 E, in 0 stetig, ws zusmmen mit (2..2) S(w) := S(w) w für w 0 0 für w = 0 S(L(v) + R(v)) = 0 (2..5) v 0 3

liefert. Außerdem können wir ein c > 0 und ein ε > 0 derrt wählen, dss und ws L(v) + R(v) v L(x) c für x = R(v) v ( v L v impliziert. Hierus und us (2..5) folgt für 0 < v < ε, ) + R(v) v S(L(v) + R(v)) L(v) + R(v) = v 0 v v 0 v c + für 0 < v < ε S(L(v) + R(v)) = 0. Dmit ist (2..4) gezeigt und der Stz ist bewiesen. Stz 2..0 (Produktregel) Seien f : U E und g : U K in U differenzierbr. Dnn ist uch fg : U E in U differenzierbr und D(fg)()(v) = Df()(v) g() + f() Dg()(v) für lle v R m. Beweis. Seien ϕ : U E K und Φ : E K E durch ϕ(x) := (f(x), g(x)) und Φ(y, z) := yz definiert. Die Abbildung ϕ ist nch Vorussetzung in differenzierbr und Mit Beispiel 2..6 und Stz 2..9 folgt Dϕ() = (Df(), Dg()). D(fg)()(v) = D(Φ ϕ)()(v) = DΦ(ϕ()) Dϕ()(v) = DΦ(f(), g())(df()(v), Dg()(v)) = Φ(Df()(v), g()) + Φ(f(), Dg()(v)) = Df()(v) g() + f() Dg()(v) für v R m. Stz 2.. (Mittelwertstz der Differentilrechnung) Sei f : U R differenzierbr und seien, b U derrt, dss Dnn existiert ein ξ S(, b) mit Beweis. Sei ϕ : [0, ] U durch S(, b) := { + t(b ) : t ]0, [} U. f(b) f() = Df(ξ)(b ). ϕ(t) := + t(b ) definiert und sei F := f ϕ. D F stetig und F ]0, [ differenzierbr ist, existiert nch Stz.2.5 ein ϑ ]0, [ mit F () F (0) = F (ϑ). 32

Wir setzen ξ := ϕ(ϑ) S(, b). D (vgl. Stz..5) F (ϑ) = DF (ϑ)() und ϕ (ϑ) = Dϕ(ϑ)(), erhlten wir durch Anwendung der Kettenregel f(b) f() = F () F (0) = DF (ϑ)() = Df(ϕ(ϑ)) Dϕ(ϑ)() = Df(ξ)(ϕ (ϑ)) = Df(ξ)(b ). Stz 2..2 Sei U R m offen und zusmmenhängend und sei f : U E differenzierbr. Dnn ist f genu dnn konstnt, wenn Beweis. (= ) Ds ist offensichtlich. ( =) Es gelte (2..6). Sei U fixiert und sei Df(x) = 0 für lle x U. (2..6) M := {x U : f(x) = f()}. Dnn ist M, denn M. Sei x M. D U offen ist, existiert ein ε > 0 mit B ε (x) U. Sei ξ B ε (x) und sei ϕ : [0, ] B ε (x) durch ϕ(t) := x + t(ξ x) definiert und sei F := f ϕ. Dnn ist F stetig, F ]0, [ differenzierbr und F (t) = DF (t)() = Df(ϕ(t))(Dϕ(t)()) = 0 für lle t ]0, [, ws nch Stz.3.2 impliziert, dss F konstnt ist. Folglich gilt f(ξ) = f(x) = f() für lle ξ B ε (x), d.h. B ε (x) M. Also ist M eine offene Teilmenge von R m. Aufgrund der Setigkeit von f ist M ußerdem eine bgeschlossene Teilmenge von U und somit U \ M eine offene Teilmenge von R m. D U nch Vorussetzung zusmmenhängend ist, folgt M = U, d.h. f(x) = f() für lle x U. 2.2 Richtungsbleitungen und prtielle Differenzierbrkeit In den folgenden Überlegungen sei t R. Definition 2.2. Sei f : U E, sei U und sei v R m. Existiert der Grenzwert f( + tv) f(), t 0 t so wird er die Richtungsbleitung von f in in Richtung v gennnt und mit vf() bezeichnet. 33

Bemerkung 2.2.2 Die Richtungsbleitung von f : U E in U in Richtung v R m existiert offensichtlich genu dnn, wenn die durch ϕ(t) := f( + tv) für t nhe 0 definierte Funktion ϕ in 0 differenzierbr ist. In diesem Fll ist ws mn uch in der Form vf() = ϕ (0), vf() = d dt f( + tv) t=0 schreibt. Stz 2.2.3 Sei f : U E in U differenzierbr. Dnn existieren lle Richtungsbleitungen von f in und vf() = Df()(v) für lle v R m. Beweis. Sei v R m \ {0}. Dnn gilt f( + tv) f() t 0 Df()(v) t f( + tv) f() Df()(tv) = v = 0, t 0 tv lso D trivilerweise ist dmit der Stz beweisen. f( + tv) f() = Df()(v). t 0 t 0 f() = 0 = Df()(0), Ds folgende Beispiel zeigt, ds mn von der Existenz ller Richtungsbleitungen in einem Punkt nicht uf Stetigkeit und somit uch nicht uf Differenzierbrkeit in diesem Punkt schließen knn. Beispiel 2.2.4 Sei f : R 2 R durch f(x, x 2 ) := x x 2 2 x 2 + x4 2 für (x, x 2 ) 0 0 für (x, x 2 ) = 0 definiert. Dnn ist f in 0 unstetig. Es existieren ber lle Richtungsbleitungen von f in 0, denn für t 0 und v = (v, v 2 ) R 2 \ {0} gilt worus folgt. f(tv) f(0) t vf(0) = = f(tv) t = v v 2 2 v 2 + t2 v 4 2 v2 2 v für v 0 0 für v = 0, Als Rechenregeln für die Richtungsbleitung hben wir u..: Stz 2.2.5 Für f, f, f 2 : U E, g : U K, U, v R m und α R gilt: (i) Existiert vf(), so existiert uch αvf() und αvf() = α vf(). 34