Differenzil- und Integrlrechnung I Ingo Witt Wintersemester 20/2
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Inhltsverzeichnis Grundlgen 5. Mthemtische Logik......................... 5.. Mthemtische Aussgen und deren Verknüpfungen... 5..2 Quntoren und quntifizierte Aussgen.......... 8.2 Mengenlehre.............................. 9.2. Mengen und Mengenopertionen.............. 9.2.2 Äquivlenzreltionen..................... 2.2.3 Ordnungsreltionen..................... 2.2.4 Abbildungen......................... 3.3 Die reellen Zhlen.......................... 4.3. Die Axiome der Menge der reellen Zhlen......... 4.3.2 Konstruktion der reellen us den rtionlen Zhlen: Dedekindsche Schnitte..................... 6.3.3 Die Betrgsfunktion, Intervllschchtelungen und die Dezimldrstellung reeller Zhlen............... 7.4 Ungleichungen............................ 2.4. Ungleichungen zwischen verschiedenen Mitteln...... 2.4.2 Die Youngsche Ungleichung................. 22.4.3 Die Höldersche Ungleichung................. 23.4.4 Die Minkowski-Ungleichung................. 25 2 Folgen, Grenzwerte und Stetigkeit 27 2. Folgen................................. 27 2.2 Cuchyfolgen............................. 3 2.3 Die Limesmenge einer Folge..................... 33 2.4 Die Topologie von R......................... 34 2.5 Grenzwerte von Funktionen..................... 36 2.6 Stetigkeit............................... 39 2.7 Die Topologie von Teilmengen von R................ 43 2.8 Kompktheit............................. 46 2.9 Gleichmäßige Stetigkeit....................... 49 3 Differenzierbrkeit 5 3. Die Ableitung einer Funktion.................... 5 3.2 Einige Beispiele............................ 53 3.3 Die Kettenregel............................ 53 3.4 Die Bestimmung von Extremwerten I................ 55 3.5 Der Mittelwertstz.......................... 58 3
4 INHALTSVERZEICHNIS 3.6 Die Bestimmung von Extremwerten II............... 60 3.7 Konvexität.............................. 6 3.7. Wendestellen......................... 63 3.7.2 Die Jensensche Ungleichung (endliche Form)....... 64 3.8 Die l Hôspitlschen Regeln...................... 65 4 Integrtion 67 4. Ds Riemnn-Integrl........................ 67 4.2 Eigenschften des Riemnn-Integrls................ 68 4.3 Klssen Riemnn-integrierbrer Funktionen............ 70 4.4 Der Fundmentlstz......................... 74 4.5 Weitere Eigenschften des R-Integrls............... 75 4.5. Integrtion zusmmengesetzter Funktionen........ 75 4.5.2 Der Mittelwertstz der Integrlrechnung.......... 77 4.5.3 Prtielle Integrtion..................... 78 4.5.4 Substitution.......................... 79 4.6 Unbestimmte Integrle........................ 79 4.6. Integrtionsregeln...................... 80 4.6.2 Grundintegrle........................ 82 4.7 Integrtion einiger Funktionenklssen................ 82 4.7. Rtionle Funktionen.................... 82 4.7.2 Irrtionle Funktionen.................... 85 4.8 Uneigentliche Integrle........................ 87 4.9 Prmeter-Integrle......................... 9 4.0 Ungleichungen mit Integrlen.................... 95 4.0. Die Hölder-Ungleichung................... 95 4.0.2 Die Minkowski-Ungleichung................. 96 4.0.3 Die Jensensche Ungleichung................. 96 5 Unendliche Reihen 99 5. Grundlegende Begriffe und Eigenschften............. 99 5.2 Zwei Beispielklssen......................... 0 5.2. Die geometrische Reihe................... 0 5.2.2 Die α-hrmonische Reihe.................. 02 5.3 Ein Konvergenzkriterium...................... 03 5.4 Absolute Konvergenz......................... 04 5.5 Weitere Konvergenztests....................... 07 5.6 Ds Cuchyprodukt......................... 09 6 Funktionenfolgen und Funktionenreihen 6. Einige Beispiele............................ 6.2 Gleichmäßige Konvergenz...................... 3 6.3 Funktionenreihen........................... 6 6.4 Beispiele................................ 7 6.4. Definition der Exponentilfunktion............. 7 6.4.2 Der Weierstrsssche Approximtionsstz.......... 9 6.4.3 Eine überll stetige, nirgends differenzierbre Funktion.. 2 6.5 Potenzreihen............................. 22 6.6 Tylorreihen.............................. 27
Kpitel Grundlgen. Mthemtische Logik Wir geben hier wir eine kurze Einführung in ds mthemtische Schliessen... Mthemtische Aussgen und deren Verknüpfungen Mthemtische Schverhlte werden mittels mthemtischer Aussgen formuliert. Dbei ist eine Aussge ein Stz, der entweder whr (w) oder flsch (f) ist. Ds heißt, der Stz ist whr oder flsch und nicht beides gleichzeitig. Beispiele für Aussgen sind: Die Erde ist ein Plnet. (w) Alle Hsen sind grün. (f) 7 ist eine Primzhl. (w) Es gibt Sätze, die keine Aussgen sind: Wie heißt du? Hole die Milch. Dieser Stz ist flsch. Hllo! Mthemtische Ttschen (Theoreme, Sätze, Lemmt) werden mittels whrer Aussgen formuliert. Eine Aussge wird zum Theorem durch einen mthemtischen Beweis. Ein mthemtischer Beweis geht von ls whr erknnten Aussgen us und leitet drus die Aussge des Theorems durch zulässige mthemtische Schlüsse her. Es gibt mthemtische Aussge, deren Whrheitswert nicht beknnt oder noch nicht etbliert ist. Beispiele sind Vermutungen und Behuptungen. Gegebene Aussgen lssen sich zu neuen Aussgen verknüpfen. Dbei hängt der Whrheitswert der verknüpften Aussge nur von den Whrheitswerten der gegebenen Aussgen b. Schemtisch wird dies in Whrheitswertetbellen drgestellt. 5
6 KAPITEL. GRUNDLAGEN Definition.. Klssisch gibt es die Verknüpfungen. Negtion 2. Konjugtion 3. Disjunktion 4. Impliktion 5. Äquivlenz mit den folgenden Whrheitswertetbellen: A A w f f w A B A B w w w w f f f w f f f f A B A B w w w w f w f w w f f f A B A B w w w w f f f w w f f w A B A B w w w w f f f w f f f w A bedeutet nicht A. A ist whr, wenn A flsch, und flsch, wenn A whr ist. A B bedeutet A und B. A B ist whr, wenn A und B beide whr sind, ndernflls ist A B flsch. A B bedeutet A oder B.A B wird in nicht usschliessendem Sinn gebrucht, d. h. A B ist whr, wenn wenigstens eine der beiden Aussgen A und B whr ist, ndernflls ist A B flsch. A B bedeutet Wenn A, so B. A B ist flsch, wenn A whr und B flsch ist, in llen nderen Fällen ist A B whr. Ds heißt insbesondere, dss mn us etws Flschem immer schliessen knn. Die Whrheit von A B sgt lso nichts über die Whrheit von A. A heißt die Prämisse, B heißt die Konklusion. A B ist A genu dnn, wenn B. A B ist whr, flls A und B denselben Whrheitswert hben, ndernflls ist A B flsch. In der Umgngssprche können A, A B, usw. verschieden usgedrückt werden, z. B. ds Gegenteil von A, sowohl A ls uch B. Beispiel.2. Sttt A B knn mn uch sgen A impliziert B,
.. MATHEMATISCHE LOGIK 7 us A folgt B, A zieht B nch sich, A ht B zur Folge, flls A, so B, B ist eine Konsequenz von A. Im Weiteren soll ds Symbol die logische Äquivlenz zweier Aussgen kennzeichnen. Einige wichtige Äquivlenzen sind: ( A) A (A B) A B (A B) A B Beweis durch Whrheitstbelle: A B A B (A B) A B A B w w w f f f f w f w f f w f f w w f w f f f f f w w w w In der vierten und siebten Splte hben wir denselben Whrheitswerteverluf. (A B) A B (A B) A B A B B A A B (A B) (B A) Anmerkung. Es ist enorm wichtig zu verstehen, ws diese logischen Äquivlenzen inhltlich bedeuten. Sie werden häufig in mthemtischen Beweisen benutzt. Notwendige und hinreichende Bedingungen A und B seien zwei Aussgen und die Aussge A B sei whr. Dnn heißt A eine hinreichende Bedingung für B (d. h. flls A whr ist, so ist uch B whr) und B heißt eine notwendige Bedingung für A (d. h. A knn nur gelten, wenn uch B gilt) Beispiel.3. Wenn es regnet, dnn ist die Strße nss.
8 KAPITEL. GRUNDLAGEN..2 Quntoren und quntifizierte Aussgen Wir betrchten SätzeP(x,y,z,...), die von gewissen (ungebundenen) Vriblen x,y,z,... us bestimmten Grundgesmtheiten ( Universen ) bhängen. Beispiel.4. x stehe für eine reelle Zhl (oder für eine rtionle Zhl oder uch für eine gnze Zhl). Dnn könnte P(x) der Stz x > sein. Diese Sätze sind n sich keine Aussgen, sondern werden zu Aussgen, indem mn die Vriblen quntifiziert (bindet). Die beiden wichtigsten Quntoren sind für lle (in Zeichen: ) und es gibt/ existiert ein (in Zeichen: ). Bemerkung. Weitere Quntoren sind es gibt genu ein (in Zeichen:!) und es gibt kein (in Zeichen: ). Beispiel.5. Wir können dnn die Aussgen x: x > und x: x > bilden. Erstere Aussge ist flsch, während die zweite Aussge whr ist. Ist mehr ls eine Vrible quntifiziert, so knn es uf die Reihenfolge der Quntoren nkommen. So sind im Allgemeinen die Aussgen x y: P(x,y) und y x: P(x,y) nicht logisch äquivlent. Beispiel.6. Eine Mutter mit drei Kindern, 2, 5 und 2 Jhre lt. Die Aussge der Mutter In diesem Schrnk gibt es für jeden von euch eine Hose, die psst. ist klr verschieden von In diesem Schrnk gibt es eine Hose, die euch llen psst. Erstere Aussge ht eine Chnce, whr zu sein, während die zweite Aussge gewiss flsch ist. -Quntoren llerdings dürfen beliebig vertuscht werden. Selbiges trifft uf - Quntoren zu: x y: P(x,y) y x: P(x,y) x y: P(x,y) y x: P(x,y) Negtion quntifizierter Aussgen Beim Negieren wird zu, und umgekehrt, ds Zeichen rutscht dbei von links nch rechts durch: x: P(x) x: P(x) x: P(x) x: P(x) Beispiel.7. Ein etws komplizierteres Beispiel ist: x y z: P(x,y,z) x y z: P(x,y,z)
.2. MENGENLEHRE 9 Anhng zu Abschnitt.: Die xiomtische Methode in der Mthemtik Es gibt Aussgen in der Mthemtik, die sich weder beweisen noch widerlegen lssen, und ds sind die Axiome. Ein beknntes Beispiel ist ds Prllelenxiom in der ebenen Geometrie: Zu jeder Gerden und jedem Punkt nicht uf dieser Gerden gibt es genu eine zu der gegebenen Gerden prllele Gerde durch diesen Punkt. Dieses Axiom ht sich ls unbhängig von den nderen in Euklids Elementen ngegebenen Axiomen herusgestellt. Die Geometrie lässt sich widerspruchsfrei ufbuen sowohl wenn mn dieses Axiom nnimmt (Euklidische Geometrie) ls uch wenn mn sein Gegenteil nnimmt (Nichteuklidische Geometrien). Ein Beispiel für Letztere ist die Geometrie uf einer Kugeloberfläche (sphärische Geometrie). Dort schneiden sich zwei beliebige, ber verschiedene Gerden (Großkreise) in zwei Punkten. Ds typische Vorgehen in der modernen Mthemtik besteht drin, dss einer Theorie die Ttschen ls Axiome vorngestellt werden, die mn ls whr nnehmen möchte und bei denen sich weder die Aussge selbst noch deren Gegenteil us nderen, vorherigen Axiomen bleiten lässt..2 Mengenlehre Wir geben hier keine exkte Einführung in die Mengenlehre, sondern erinnern n einige Grundttschen..2. Mengen und Mengenopertionen Im Folgenden bezeichnet N = {,2,3,... die Menge der ntürlichen Zhlen, N 0 = { 0,,2,3,... die Menge der nichtnegtiven gnzen Zhlen, Z die Menge der gnzen Zhlen, Q die Menge der rtionlen Zhlen, R die Menge der reellen Zhlen. Wir bezeichnen llgemein Mengen mit lteinischen Großbuchstben, z. B. mit M oder N. Für unsere Zwecke ist es usreichend, von einer Grundgesmtheit (Universum, Allmenge) von zur Verfügung stehenden Elementen uszugehen und Mengen durch die Angbe einer Eigenschft, die lle Elemente dieser Menge besitzen, zu spezifizieren. Beispielsweise M = { x P(x), wobei P(x) ein Stz im Sinne von Abschnitt..2 ist und die Vrible x us unserem Universum genommen wird. Die Menge M besteht dnn genu us den
0 KAPITEL. GRUNDLAGEN Elementen x, für die P(x) zu einer whren Aussge wird. Insbesondere erhält mn die leere Menge mittels eines widersprüchlichen Stzes: = { x x x. Ein Element x knn entweder zu einer Menge M gehören (wenn P(x) für dieses x whr ist) oder nicht (wenn P(x) für dieses x flsch ist). Im ersten Fll schreibt mn x M, während mn im zweiten Fll x / M schreibt. Beispiel.8. N 0 = { x x Z x 0. Dies schreibt mn kürzer ls N0 = { x Z x 0. Es seien die Mengen M = { x P(x) und N = { x Q(x) gegeben. Die Menge M heißt eine Teilmenge von N (in Zeichen: M N), wenn die Aussge x: P(x) Q(x) whr ist. Beispiel.9. N N 0 Z Q R. Mn knn die folgenden Mengen bilden: (Durchschnitt) M N = { x P(x) Q(x) Bechte die Ähnlichkeit der Nottionen und. (Vereinigung) M N = { x P(x) Q(x) (Differenz) M\N = { x P(x) Q(x) Im Fll N M heißt M\N uch ds Komplement von N in M. Diese Opertionen stellt mn in sogennnten Venn-Digrmmen dr, z. B. M N M N M \N M N M N M N Abbildung.: Venn-Digrmme In diesen Digrmmen stehen die Kreise für Mengen, während die Punkte in den Kreisen die Elemente der jeweiligen Menge symbolisieren. Es lssen sich Durchschnitte und Vereinigungen von beliebig vielen Mengen bilden. Ist {M ι ι I eine Fmilie von Mengen, indiziert durch eine Menge I, so schreibt mn ι I M ι für den Durchschnitt dieser Mengen und ι I M ι für deren Vereingung. Weitere Konstruktionen mit Mengen (Krtesisches Produkt) M N = { (x,y) P(x) Q(y), wobei (x,y) ein geordnetes Pr ist.
.2. MENGENLEHRE (Potenzmenge) Für ein gegebenes M ist 2 M die Menge ller Teilmengen von M, z. B. für M = {,2,3. 2 M = {,{,{2,{3,{,2,{,3,{2,3,{,2,3 Insbesondere 2 M = 8 = 2 3 f r M = 3, wobei M die Mächtigkeit von M bezeichnet. Allgemeiner 2 M = 2 M. Die Mächtigkeit einer Menge Definition.0. Zwei Mengen M,N heißen gleichmächtig, flls es eine bijektive Abbildung M N gibt. Beispiel.. Die Mengen N, Z und Q sind gleichmächtig: Gleichmächtigkeit von N und Z: 2 3 4 5 6 7... 0-2 -2 3-3... Gleichmächtigkeit von N und Q: Die Höhe der rtionlen Zhl p /q, p, q Z teilerfremd, q > 0, sei p +q. Es gibt nur endlich viele rtionle Zhlen einer gegebenen Höhe, z. B. Höhe : 0 = 0 /, Höhe 2: = /, = /, Höhe 3: 2 = 2 /, /2, /2, 2 = 2 /, usw. Eine mögliche Abzählung der rtionlen Zhlen ist dnn wie folgt: 2 3 4 5 6 7 8... 0-2 /2 /2-2 3... {{ Höhe {{ Höhe 2 {{ Höhe 3 {{ Höhe 4 Definition.2. Eine Menge heißt bzählbr unendlich, flls sie gleichmächtig ist mit der Menge der ntürlichen Zhlen N. Sie heißt bzählbr, flls sie endlich oder bzählbr unendlich ist. Andernflls heißt sie überbzählbr. Die Mächtigkeit (Anzhl der Elemente) einer endlichen Menge M bezeichnen wir mit M (uch #M ist gebräuchlich). Wir hben den folgenden wichtigen Stz: Stz.3. Die bzählbre Vereinigung bzählbrer Mengen ist bzählbr.
2 KAPITEL. GRUNDLAGEN.2.2 Äquivlenzreltionen Definition.4. Eine Reltion R zwischen zwei Mengen M und N ist eine Teilmenge von M N, R M N. F r Pre (x,y) R schreibt mn x R y und sgt, dss x und y in der Reltion R zueinnder stehen. Definition.5. Es sei R eine Reltion zwischen M und sich selbst. Dnn heißt R eine Äquivlenzreltion uf M, flls () (Reflexivität) x M: x R x. (2) (Symmetrie) x M y M: x R y y R x. (3) (Trnsitivität) x M y M z M: x R y y R z x R z. Ist R eine Äquivlenzreltion, so schreibt mn uch x y (mod R) nstelle x R y. Stz.6. Eine Äquivlenzreltion R induziert eine disjunkte Zerlegung von M in sogennnte Äquivlenzklssen [x] R. Dbei ist [x] R = { y M y R x. Beweis. Es gilt x [x] R für lle x M und für zwei beliebige Elemente x M, y M gilt entweder [x] R = [y] R (wenn x R y ) oder [x] R [y] R = (wenn x R y ). x heißt ein Vertreter oder Repräsentnt der Äquivlenzklsse [x]. Die Menge der Äquivlenzklssen wird mit M/R bezeichnet. Es gibt dnn die knonische Abbildung M M/R, x [x] R. Beispiel.7. Sei M = Z, m N und x R y genu dnn, wenn m ein Teiler von x y ist (d. h. x y (mod m)). Der Rum M/R ist dnn offenbr der Ring Z/mZ = { [0], [],..., [m ] und besteht us genu m Elementen..2.3 Ordnungsreltionen Definition.8. Eine Ordnungsreltion R uf einer Menge M ist eine Reltion von M nch M mit den folgenden Eigenschften: () (Reflexivität) x: x R x. (2) (Antisymmetrie) x y: x R y y R x x = y. (3) (Trnsitivität) x y z: x R y y R z x R z. Im Flle einer Ordnungsreltion schreibt mn uch x R y oder x y nsttt x R y. x y und x y wird mit x < y usgedrückt. Ds Pr (M, ) heißt eine geordnete Menge. Beispiel.9. Die Enthltenseinreltion ist eine Ordnungsreltion uf der Potenzmenge 2 M einer Menge M. Ds kleinste Element bezüglich dieser Ordnungsreltion ist die leere Menge, ds größte Element ist M.
.2. MENGENLEHRE 3 Definition.20. Eine geordnete Menge(M, ) heißt totl geordnet (oder liner geordnet), flls für je zwei Elemente x, y M entweder x < y oder y < x oder x = y gilt. Beispiel.2. () Die Mengen N, N 0, Z, Q, R sind totl geordnet. (b) (2 M, ) ist nicht totl geordnet, flls M >..2.4 Abbildungen Eine Abbildung zwischen zwei Mengen M und N ordnet jedem Element in M genu ein Element in N zu. Definition.22. Eine Reltion F M N heißt eine Abbildung zwischen M und N, wenn es zu jedem x M genu ein y N gibt, so dss (x,y) F. In diesem Fll schreibt mn F: M N, M F N, usw. sowie y = F(x). Schemtisch: F M N Abbildung.2: Abbildung F von M nch N Beispiel.23. Die konstnte Abbildung mit Wert y 0 N ist M N, x y 0. Die identische Abbildung ist id M : M M, x x. Weitere Beispiele sind: F: N N, n 2n+, F: N Q, n n, F: R R, x +x 2. Abbildungen lssen sich zu neuen Abbildungen verknüpfen. Die Abbildungen F : M N, G: N O ergeben die Komposition (Ncheinnderusführung) G F: M O definiert durch (G F)(x) = G ( F(x) ) : G F: M F N G O (Bechte die Schreibweise in G F von rechts nch links.) Definition.24. () Die Abbildung F : M N heißt injektiv, flls für x, y M us F(x) = F(y) die Gleichheit x = y folgt. (b) Die Abbildung F : M N heißt surjektiv, flls y N x M: F(x) = y.
4 KAPITEL. GRUNDLAGEN (c) Die Abbildung F: M N heißt bijektiv, flls sie gleichzeitig injektiv und surjektiv ist. Stz.25. Die Abbildung F: M N ist genu dnn bijektiv, wenn es eine Abbildung G: N M mit G F = id M, F G = id N gibt. Die sogennnte Umkehrbbildung G ist dnn eindeutig bestimmt, mn schreibt G = F. Suprem und Infim Es sei (M, ) eine geordnete Menge, S eine Teilmenge von M. Definition.26. () Ein Element b M heißt eine obere (untere) Schrnke von S, flls x S: x b ( x S: x b) gilt. (b) S heißt nch oben (nch unten) beschränkt, flls es eine obere (untere) Schrnke gibt. S heißt beschränkt, flls S sowohl nch oben ls uch nch unten beschränkt ist. (c) Die kleinste obere Schrnke (größte untere Schrnke) von S (flls existent) heißt ds Supremum sup S (Infimum inf S). Bemerkung. ExistiertsupS (infs) und gehörtsups (infs) zu S, so heißt dieses Element ds Mximum (Minimum) von S (in Zeichen: mxs (mins)). Beispiel.27. (i) Sei M = Q und S = { x Q x < 2. Dnn ist S nch oben beschränkt (eine obere Schrnke ist beispielsweise 2), ber sups existiert nicht. (ii) Die Reltion p q (p ist ein Teiler von q) ist eine Ordnungsreltion uf der Menge N der ntürlichen Zhlen. Für jede endliche Teilmenge S N existiert bezüglich dieser Ordnungsreltion sup S (ds kleinste gemeinsme Vielfche), für jede (beliebige) Teilmenge S N existiert inf S (der größte gemeinsme Teiler)..3 Die reellen Zhlen Wir betrchten jetzt die Menge R der reellen Zhlen genuer..3. Die Axiome der Menge der reellen Zhlen Wir beginnen dmit, die Menge R der reellen Zhlen xiomtisch zu chrkterisieren. Arithmetik R ist ein Körper, d. h. uf R sind Opertionen +: R R R, : R R R, : R R, : R\{0 R\{0 und zwei usgezeichnete Elemente 0 und, 0, erklärt, so dss Folgendes gilt:
.3. DIE REELLEN ZAHLEN 5 Axiome der Addition (A) x, y R: x+y = y +x, (A2) x, y, z R: (x+y)+z = x+(y +z), (A3) x R: x+0 = 0+x = x, (A4) x R: x+( x) = ( x)+x = 0. Ds heißt, bezüglich der Addition bildet R eine kommuttive Gruppe mit neutrlem Element 0. Axiome der Multipliktion (M) x, y R: xy = yx, (M2) x, y, z R: (xy)z = x(yz), (M3) x R: x = x = x, (M4) x R, x 0: x x = x x =. Insbesondere ist bezüglich der Multipliktion R\{0 eine kommuttive Gruppe mit neutrlem Element. (D) Die Multipliktion ist distributiv über der Addition, d. h. x, y, z R: x(y +z) = xy +xz, (x+y)z = xz +yz. Ordnungsxiome Der Körper R ist totl geordnet, d. h. uf R gibt es eine Totlordnung mit den zusätzlichen Eigenschften (O) x, y R: x > 0, y > 0 impliziert x+y > 0. (O2) x, y R: x > 0, y > 0 impliziert xy > 0. (O3) x, y R: x > y genu dnn, wenn x y > 0. Diese Axiome unterscheiden die reellen Zhlen noch nicht von den rtionlen Zhlen. Wir benötigen dzu ds Vollständigkeitsxiom. Vollständigkeitsxiom: Jede nichtleere, nch oben beschränkte Menge S reeller Zhlen besitzt ein Supremum sups. Ds Beispiel.3 (i), zeigt, dss dieses Axiom in den rtionlen Zhlen nicht gilt.
6 KAPITEL. GRUNDLAGEN.3.2 Konstruktion der reellen us den rtionlen Zhlen: Dedekindsche Schnitte Wir zeigen jetzt konstruktiv, dss die Axiome us dem vorigen Abschnitt in sich konsistent (widerspruchsfrei) sind, indem wir ein Modell der reellen Zhlen us den rtionlen Zhlen konstruieren. Die grundlegende Idee ist einfch: Wir identifizieren eine reelle Zhl ᾱ mit der Menge(,ᾱ) Q = { r Q r < ᾱ (Intervlle(,ᾱ) reeller Zhlen werden unten diskutiert). D wir die reellen Zhlen ᾱ n dieser Stelle noch nicht hben (sondern erst einführen wollen), geben wir eine intrinsische Chrkterisierung der Mengen { r Q r < ᾱ in der folgenden Definition, führen dnn die notwendigen Opertionen und Reltionen uf diesen Mengen ein und weisen schliesslich nch, dss die Axiome erfüllt sind. Definition.28. Ein Dedekindscher Schnitt ist eine Teilmenge α von Q mit den folgenden Eigenschften: () α und α Q. (b) Aus r α und r Q mit r < r folgt r α. (c) α enthält kein größtes Element. R sei dnn die Menge ller Dedekindscher Schnitte. Die rtionlen Zhlen Q betten in die so definierte Menge R vermöge der Abbildung Q R, r { r Q r < r ein. (Letzteren Dedekindschen Schnitt bezeichnen wir wiederum mit r.) Nochmls: Wir müssen jetzt die Opertionen Addition und Multipliktion sowie die Ordnungsreltion uf R erklären und überprüfen, dss erstens die Axiome erfüllt und zweitens diese Opertionen verträglich mit denen uf Q sind. Ordnungsreltion α β (ls reelle Zhlen) α β (ls Teilmengen von Q). Addition α+β = { r+s r α, s β. Ds inverse Element α zu α bezüglich der Addition ist durch α = { s Q r+s < 0 für eine obere Schrnke r von α gegeben. Multipliktion Gilt α > 0, β > 0, so definiert mn αβ = { t Q r α Q +, s β Q + : t rs,
.3. DIE REELLEN ZAHLEN 7 wobei Q + die Menge der positiven rtionlen Zhlen bezeichnet, und setzt dnn in llen nderen Fällen α 0 = 0 α = 0, (α( β)), flls α > 0, β < 0, αβ = (( α)β), flls α < 0, β > 0, ( α)( β), flls α < 0, β < 0. Wir wollen hier nicht lle Axiome überprüfen (dss eine Totlordnung uf R ist und dss die Axiome (A) (A4), (M) (M4), (D) und (O) (O3) erfüllt sind, folgt leicht us der Gültigkeit der entsprechenden Aussgen in Q), sondern lediglich die Gültigkeit des Vollständigkeitsxioms nchweisen. Ds geht wie folgt: Es sei S R eine nichtleere, nch oben beschränkte Teilmenge. Insbesondere gibt es ein r 0 Q, ds obere Schrnke für lle α S (betrchtet ls Teilmenge von Q) ist. Wir setzen α 0 = α Sα und behupten, dss α 0 = sups. Beweis. Offenbr α α 0 für lle α S und us α β für lle α S und ein β Q folgt α 0 β. Dmit genügt es zu zeigen, dss α 0 eine Dedekindscher Schnitt ist. Wegen S ist α 0, und die Existenz von r 0 zeigt, dss α 0 Q. Eigenschft (b) us der Definition eines Dedekindschen Schnittes ist offenbr gleichflls erfüllt, und für jedes r α 0 gibt es ein α S mit r α, lso uch ein r α mit r < r (α ist ein Dedekindscher Schnitt) und r α 0. Folglich gilt uch Eigenschft (c)..3.3 Die Betrgsfunktion, Intervllschchtelungen und die Dezimldrstellung reeller Zhlen Ab sofort vergessen wir wieder, dss wir die reellen Zhlen ls Dedekindsche Schnitte eingeführt htten und rbeiten nur noch mit den Axiomen. Insbesondere gilt Q R. Definition.29. Der (bsolute) Betrg x einer reellen Zhl x ist die Zhl x, flls x 0, und x, flls x < 0. Der Abstnd zweier reellen Zhlen x, y ist x y. Beispiel.30. 3 = 3, 2 = 2, 0 = 0. Es sei [0, ) die Menge der nichtnegtiven reellen Zhlen. Stz.3. Die Betrgsfunktion : R [0, ) ht die folgenden Eigenschften: () Aus x = 0 folgt x = 0. (b) x = x. (c) (Dreiecksungleichung) x + y x + y. Beweis. Lediglich (c) bedrf eines Beweises. D die Ungleichung symmetrisch in x, y ist und d (b) gilt, dürfen wir x = x y nnehmen. Dnn gilt jedoch und der Beweis ist geführt. x+y = x+y x + y,
8 KAPITEL. GRUNDLAGEN Anmerkung. Ersetzt mn x, y durch x y, y z, so erhält mn ( ) Aus x y = 0 folgt x = y. (b ) x y = y x. (c ) x z x y + y z. Die Eigenschften ( ) (c ) werden so zusmmengefsst, dss mn sgt, dss die Funktion d: R R [0, ), (x,y) x y (lso d(x, y) = x y ) eine Metrik uf R ist. Intervlle in R Definition.32. Ein Intervll I ist eine nichtleere Teilmenge von R mit der Eigenschft, dss us c, d I, c < d, folgt, dss { x R c x d I gilt. {{ =[c,d] Es seien, b R mit < b ( b im vierten Fll). Dnn gibt es die folgenden Typen von Intervllen: (,b) = { x R < x < b, [,b) = { x R x < b, (,b] = { x R endliche Intervlle < x b, [,b] = { x R x b, (,) = { x R x <, (,] = { x R x, (b, ) = { x R b < x, [b, ) = { x R b x, (, ) = R. Die Intervlle (, b), (, ), (b, ) sind offen, die Intervlle [, b), (, b] hlboffen und die Intervlle [,b], (,], [b, ) bgeschlossen. Eine runde Klmmer heißt lso, dss der Endpunkt nicht zum Intervll dzugehört, eine eckige Klmmer heißt, der Endpunkt gehört zum Intervll. Vernschulicht mn die reellen Zhlen uf der Zhlengerden (wie Sie dies us der Schule kennen), so knn mn und ls ideelle Punkte n den beiden Enden der Zhlengerde verstehen. b ist die Länge des Intervlls in den ersten vier Fällen (im Fll eines endlichen Intervlls). unendliche Intervlle Ds Vollständigkeitsxiom ist zu der folgenden Aussge äquivlent: Intervllschchtelungsprinzip Stz.33. Es seien I, I 2, I 3,... endliche bgeschlossene Intervlle mit I m I m+ für jedes m N. Dnn ist m= I m nichtleer.
.3. DIE REELLEN ZAHLEN 9 Bemerkung.. Die Forderung, dss die IntervlleI m endlich sind, knn nicht fortgelssen werden. Beispiel: m= [m, ) =. Dies folgt us dem Archimedischen Axiom: x > 0 y R n N: nx > y. Letzteres wiederum ist eine Konsequenz der übrigen Axiome der Menge der reellen Zhlen. 2. In den rtionlen Zhlen gilt ds Intervllschchtelungsprinzip nicht. Sei beispielsweisei m = [ 2 m, 2+ m ] fürm =, 2, 3,... undj m = I m Q. Die Länge von J m ist 2 m, wird lso für große m beliebig klein. Dennoch gilt m J m =. (Es gilt m I m = { 2, ber 2 ist irrtionl.) Wir können ds Intervllschchtelungsprinzip benutzen, um die Dezimldrstellung reeller Zhlen einzuführen. Beispiel.34. Wir betrchten die Zhl x = 3,56742...= 0+3 +5 0 +6 0 2 +7 0 3... Dnn {x = k=0 I k mit I 0 = [ 0,2 0 ], I = [3 0 0,4 0 0 ], I 2 = [35 0,36 0 ], I 3 = [356 0 2,357 0 2 ], usw. Ds bedeutet, wir konstruieren sukzessive geschchtelte Intervlle der Längen 0 k für k = 0,,2,..., die sich uf x = 3,56742... zusmmenziehen. Im Allgemeinen verfährt mn wie folgt: Es sei x > 0. (Ist x < 0, so nehmen wir die Dezimldrstellung von x und versehen diese mit einem Minuszeichen.) Es sei x = 0... {{ m, m+ m+2... = 0 0 m + 0 m +... m + Stellen vor dem Komm im Fll m 0 und x = 0, 00...00 {{ 0 2... = 0 0 m + 0 m +... m Stellen nch dem Komm im Fll m < 0 die Dezimldrstellung von x mit k { 0,,2,...,9 für lle k und 0 > 0. Die gnze Zhl m ist durch 0 m x < 0 m+ eindeutig bestimmt. Anlog dem obigen Beispiel hben wir {x = k=0 I k, wobei I k = [ b k 0 m k, (b k +) 0 m k] für k = 0,,2,... Die k, b k ergeben sich wie folgt: Es gilt [ x ] 0 = 0 m, b 0 = 0,
20 KAPITEL. GRUNDLAGEN wobei [y] den gnzen Teil einer reellen Zhl y 0 bezeichnet, d. h. [y] N 0 und [y] y < [y]+, und wurde b k bereits konstruiert, so [ x bk 0 m k ] k+ =, b k+ = 0b k + k+. 0 m k Bemerkung. In Dezimlschreibweise sind die rtionlen Zhlen genu diejenigen, die endliche oder periodische Dezimldrstellungen hben. Beispiel.35. 4 = 0,25, 7 = 0,4285742857...= 0,42857. Bemerkung. Es gibt die Nichteindeutigkeit = 0, 9 in der Dezimldrstellung der Zhl, bgeleitet dvon /4 = 0,25 = 0,249, usw. Obiger Algorithmus jedoch liefert eine eindeutige Drstellung. Stz.36. Die Menge der reellen Zhlen ist überbzählbr. (Insbesondere gibt es viel mehr irrtionle ls rtionle Zhlen.) Beweis. Angenommen, R ist bzählbr. Sei Φ: N R eine Abzählung (Bijektion). Wir setzen [ 0,b 0 ] = [0,] und wählen induktiv für k =,2,3,... Intervlle [ k,b k ] mit [ k,b k ] [ k,b k ] und Φ(k) / [ k,b k ]. Nch dem Intervllschchtelungsprinzip gilt [ k,b k ]. Für x [ k,b k ] gilt jedoch x Φ(k) für lle k =, 2, 3,... Ds ist ein Widerspruch zur Surjektivität von Φ. Folglich ist R überbzählbr. Anhng zu Abschnitt.3: Äquivlenz des Vollständigkeitsxioms und des Intervllschchtelungsprinzips Wir beweisen, dss ds Vollständigkeitsxiom und ds Intervllschchtelungsprinzip einnder bedingen. () Sei ds Vollständigkeitsxiom erfüllt und sei I I 2 I 3... mit I m = [ m,b m ] eine geschchtelte Folge beschränkter bgeschlossener Intervlle in R. Lut Vorussetzung 2 3 b 3 b 2 b. Ds Vollständigkeitsxiom liefert die Existenz von = sup m, b = inf b m m m (bechte b = sup m ( b m )) und offenbr Dmit und m I m. 2 3... b b 3 b 2 b. m= [ m,b m ] (2) Umgekehrt gelte ds Intervllschchtelungsprinzip und S R sei eine nichtleere, nch oben beschränkte Teilmenge. Die Menge B der oberen Schrnken von S ist dnn nichtleer und nch unten beschränkt (nämlich durch die Elemente
.4. UNGLEICHUNGEN 2 von S), während die Menge A der unteren Schrnken von B nichtleer und nch oben beschränkt ist; S A. Offenbr b für lle A und b B sowie R = A B. (Ist / B für ein reelles, so < s für wenigstens ein s S und dher < s b für lle b B, lso A.) Dnn gibt es nur zwei Möglichkeiten: Entweder A B = oder A B enthält genu ein Element. Wir wollen zeigen, dss die zweite Möglichkeit eintritt: Ist nämlich A B = {c, so ist c ds kleinste Element in B, folglich c = sups. Dzu konstruieren wir induktiv Folgen, 2, 3... in A und b,b 2,b 3,... in B mit 2 3 b 3 b 2 b. und b m m = b 2 m für lle m. Wir wählen A und b B beliebig. Sind m A und b m B für ein m bereits gewählt, so setzen wir flls ( m +b m )/2 B, und m+ = m, b m+ = m +b m, 2 m+ = m +b m, b m+ = b m 2 ndernflls. Aus dem Intervllschchtelungsprinzip erhlten wir, dss der Durchschnitt m= [ m,b m ] genu ein Element c enthält. Diese Element c gehört offenbr zu A B..4 Ungleichungen Wir beweisen in diesem Abschnitt verschiedene Ungleichungen, die mn in der Anlysis häufig benötigt..4. Ungleichungen zwischen verschiedenen Mitteln Es seien, 2,..., n positive reelle Zhlen. Dnn führen wir Mittelwerte wie folgt ein: Stz.37. Es gilt n H = + 2 + + n G = n 2... n A = + 2 + + n n 2 Q = + 2 2 + +2 n n hrmonisches Mittel geometrisches Mittel rithmetisches Mittel qudrtisches Mittel min i=,...,n i H G A Q mx i=,...,n i.
22 KAPITEL. GRUNDLAGEN Weiterhin gilt = 2 = = n genu dnn, wenn in dieser Kette von Ungleichungen n wenigstens einer Stelle die Gleichheit gilt. Bemerkung. Betrchtet mn lediglich G, A, Q, so knn i 0 gelten. Beweis. Es sei m = min i=,...,n i und M = mx i=,...,n i. D für m = M in llen obigen Ungleichungen Gleichheit gilt, nehmen wir m < M n und zeigen die Gültigkeit strikter Ungleichungen. (m < H): Es gilt H = n / + +/ n > n = m. /m+ +/m {{ n-ml (H < G): Mit dem folgenden Beweisschritt (G < A) gilt n dieser Stelle H = A(/,...,/ n ) < G(/,...,/ n ) = G. (G < A): Wir beweisen dies durch Induktion nch n. n = : Es ist nichts zu zeigen. n n+: O. B. d. A. sei n < A < n+. Dnn 0 < (A n )( n+ A), lso n n+ < A( n + n+ A) und nch Induktionsvorussetzung A = + + n +( n + n+ A) n n... n ( n + n+ A) > n... n n n+ A = G+/n A /n. Folglich gilt A > G. (A < Q): Folgt us der Hölderschen Ungleichung und wird später gezeigt. (Q < M): Es gilt 2 Q = + + 2 n n Ds beendet den Beweis. < M2 + +M 2 n = M..4.2 Die Youngsche Ungleichung Sei p (, ) und q = p p, d. h. p + q =. Stz.38. Für lle nichtnegtiven reellen Zhlen, b gilt b p p + bq q. Gleichheit gilt dnn und nur dnn, wenn p = b q.
.4. UNGLEICHUNGEN 23 Beweis. Im nichtnegtiven Qudrnten der x, y-ebene betrchten wir die Kurve x p = y q (d. h.y = x p bzw.x = y q ). Die Fläche unter dieser Kurve vonx = 0 bis x = ist gleich p p (= 0 xp dx = xp p 0 ), nlog ist die Fläche links dieser Kurve von y = 0 bis y = b gleich bq q (s. Abbildung.3). y x p = y q b x Abbildung.3: Zum Beweis der Youngschen Ungleichung Diese beiden Flächen zusmmen sind offenbr wenigstens gleich der Fläche b des Rechtecks mit den Ecken (0,0), (,0), (,b) und (0,b), lso ist b p p + bq q, wobei Gleichheit genu für p = b q gilt..4.3 Die Höldersche Ungleichung Sei p (, ) und q = p p. Stz.39. Für lle nichtnegtiven reellen Zhlen x,...,x n und y,...,y n gilt x y + +x n y n (x p + +xp n) /p (y q + +yq n) /q. Gleichheit gilt genu dnn, wenn es Konstnten α 0, β 0 mit für lle i =,...,n gibt. 2 αx p i = βyq i Beweis. Wir dürfen x p + +xp n = und y q + +yq n = nnehmen, d für x = = x n = 0 bzw. für y = = y n = 0 die Ungleichung trivilerweise erfüllt ist und wir für x p + +xp n > 0 und yq + +yq n > 0 sttt der Zhlen x,...,x n,y,...,y n die Zhlen x,..., x n,ȳ,...,ȳ n mit x i = x i (x p + +xp n) /p, ȳ i = y i (y q + +yq n) /q Flächeninhlte werden wir später in diesem Kurs berechnen. Es gibt uch elementre Beweise der Youngschen Ungleichung. 2 Wir können nicht einfch y p i = αx p i für lle i und ein gewisses α 0 schreiben, d j x = = x n = 0 sein könnte, während y i 0 für wenigstens ein i ist.
24 KAPITEL. GRUNDLAGEN betrchten können. Sei lso x p + + xp n = yq + + yq n Ungleichung =. Dnn gilt mit der Youngschen x y + +x n y n xp p + yq q + + xp n p + yq n q = p + q =. Letzteres wollten wir zeigen. Dbei gilt Gleichheit genu dnn, wenn x p i = yq i für lle i. Folgerung.40. Sei 0 < p < q und seien x,...,x n nichtnegtive reelle Zhlen. Dnn ( x p ) /p ( + +xp n x q ) /q + +xq n, n n wobei Gleichheit genu für x = = x n gilt. Bemerkung. Für p = und q = 2 ist dies die Ungleichung zwischen dem rithmetischen und geometrischen Mittel. Beweis. Es gilt x p + +xp n = x p n n + +xp n n p/q( ((x p )q/p + +(x p n )q/p) n ) ( (q p)/q x q ) p/q = + +xq n, n q/(q p) n worus die Behuptung folgt. Wir hben die folgende llgemeinere Form der Hölderschen Ungleichung: Seien p, q, r > 0, wobei r = p + q. Stz.4. Seien x,x 2,...,x n und y,y 2,...,y n beliebige reelle Zhlen. Dnn gilt ( n ) /r ( n ) /p( n ) /q x i y i r x i p y i q. i= Gleichheit gilt genu dnn, wenn es Konstnten α 0, β 0 mit für lle i =,...,n gibt. i= α x i p = β y i q Bemerkung. Im Fll p = q = 2, r = heißt diese Ungleichung uch die Cuchy- Schwrtzsche Ungleichung. Beweis. Wegen p/r + q/r = gilt nch der Hölderschen Ungleichung ( n n n ) r/p( n ) r/q x i y i r = x i r y i r ( x i r ) p/r ( y i r ) q/r i= i= i= i= i= i= ( n ) /p( n ) /q r x i p ( y i q, und drus folgt die Behuptung. i=
.4. UNGLEICHUNGEN 25.4.4 Die Minkowski-Ungleichung Wir betrchten jetzt eine Folge x,...,x n von n reellen Zhlen ls Vektor x = ( x,...,x n ) R n. Für p definieren wir Stz.42. Für lle x,y R n gilt ( n ) /p x p = x i p. i= x+y p x p + y p. Beweis. Für p = ist dies die Dreiecksungleichung, es gilt x i +y i x i + y i für lle i. Sei deshlb p >. Dnn gilt mit der Hölderschen Ungleichung lso n x i +y i p i= i= n ( x i + y i ) x i +y i p i= ( )( ( n x i p) /p ( n n ) (p )/p + y i p) /p ( xi +y i p ) p/(p ), und x+y p x p + y p. i= i= ( x+y p ) p ( x p + y p )( x+y p ) p Bemerkung. Diese Ungleichung bleibt für p = richtig, wenn mn setzt. x = mx i=,...,n x i
26 KAPITEL. GRUNDLAGEN
Kpitel 2 Folgen, Grenzwerte und Stetigkeit 2. Folgen Definition 2.. Eine Folge reeller Zhlen ist eine Abbildung : N R. Anstelle (n) schreibt mn uch n. Die Folge selbst wird mit, 2, 3,... oder mit { n n= bezeichnet. n heißt ds n-te Glied der Folge. Bemerkung. Mnchml beginnt der Zählindex mit einer gnzen Zhl verschieden von, z. B. in der Folge b 2, b, b 0, b,... Beispiel 2.2., 2, 3, 4, 5,..., 0,,,, 0,,,... Bechte, dss dieselbe reelle Zhl mehr ls einml (und sogr unendlich oft) in einer Folge vorkommen knn. Folgen { n sind dher von ihren Wertebereichen { n= n n N R begrifflich zu unterscheiden. Im zweiten Beispiel ist der Wertebereich die endliche Menge {, 0,. Folgen { können durch die Angbe des llgemeinen Gliedes definiert werden, z. B. n 2n ist die Folge n= 3, 2 5, 3 7,... mit dem llgemeinen Glied n = n 2n. Sie können uch rekursiv definiert sein, z. B. ist die Fiboncci-Folge,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89,... durch =, 2 = und n+2 = n + n+ für lle n N gegeben. Definition 2.3. () Die Folge { n heißt beschränkt (nch oben beschränkt, nch unten beschränkt), flls es ein M R mit n M ( n M, M n ) für lle n= n N gibt. In diesem Fll heißt M eine Schrnke (obere Schrnke, untere Schrnke) von { n. n= (b) Die Folge { n n= heißt monoton wchsend (monoton fllend), flls n n+ ( n n+ ) für lle n N gilt. Sie heißt strikt monoton wchsend (strikt monoton fllend), flls diese Ungleichungen strikt sind. 27
28 KAPITEL 2. FOLGEN, GRENZWERTE UND STETIGKEIT (c) Die Folge { n heißt nichtnegtiv (positiv), flls ihre Glieder nichtnegtiv (positiv) sind. n= (d) Die Folge { n heißt lternierend, flls ihre Glieder bwechselnd nichtnegtiv und nichtpositiv sind. n= Beispiel 2.4. Die Folge, 2, 3, 4, 5,... mit dem llgemeinem Glied n monoton fllend und beschränkt. ist strikt Die Folge, 2, 3, 4, 5,... mit dem llgemeinem Gliednist strikt monoton wchsend und nch unten, ber nicht nch oben beschränkt. Diese beiden Folgen sind zudem positiv. Die Folge,,,,... mit llgemeinem Glied ( ) n+ ist lternierend und beschränkt. Definition 2.5. Die Folge, 2, 3,... konvergiert gegen eine Zhl R, flls ǫ > 0 N = N(ǫ) n N: n ǫ. heißt dnn der Grenzwert dieser Folge. Mn schreibt = lim n n. +ǫ ǫ 2 3... N N + Abbildung 2.: Konvergenz einer Folge gegen In diesem Fll heißt die Folge { n konvergent, ndernflls divergent. Sie heißt bestimmt divergent gegen (gegen ), flls M R N = N(m) n N: n M ( n M). Mn schreibt dnn lim n n = (lim n n = ). Andernflls heißt die Folge unbestimmt divergent. Beispiel 2.6. Die Folge { n 3n+2 konvergiert gegen n= 3. Beweis. Betrchte 3 n = (3n+2) 3n = 2 3n+2 3(3n+2) 9n+6 < 4n wählen wir eine gnze Zhl N 4ǫ und erhlten 3 n Stz 2.7. 3n+2. Zu gegebenem ǫ > 0 < ǫ für n N. () Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. (b) Konvergente Folgen sind beschränkt.
2.. FOLGEN 29 Beweis. () Die Folge { n hbe die beiden Grenzwerte und b. Sei ǫ > 0 gegeben. n= Dnn n ǫ und b n ǫ für hinreichend großes n. Dnn uch b n + b n 2ǫ. D dies für beliebiges ǫ > 0 gilt, erhlten wir b = 0 und = b. (b) sei der Grenzwert der Folge { n undn = N(). Dnn ist eine Schrnke von { n= n gegeben durch n= mx {, 2,..., N, +, d für n N. n n + + Stz 2.8. Die Folge { n n= und { b n seien konvergent mit den Grenzwerten bzw. b. Dnn n= gilt: () lim n c n = c für jedes c R. (b) lim n ( n ±b n ) = ±b. (c) lim n n b n = b. (d) lim n n bn = b, flls b 0. Bemerkung. Die Aussge beispielsweise in (b) ist so zu lesen, dss us der Konvergenz der Folgen { n und { bn die Konvergenz der Folge { n + b n folgt und dss deren Grenzwert gleich +b ist. Anlog für die Folge { n b n. Zu (d): Gilt b 0, so b n 0 für n N mit einem gewissen N, so dss b diesem Index N die Folgenglieder n b n wohldefiniert sind. Beweis. Wir beweisen lediglich (c), der Rest ist nlog. Sei sup n = A <. Weiterhin sei für ǫ > 0 ein N = N(ǫ) mit n ǫ und b b n ǫ für n N gewählt. Dnn b n b n b n b + n b n b n = n b + n b b n b ǫ+aǫ = (A+ b )ǫ. D (A+ b ǫ) für geeignetes ǫ > 0 beliebig klein gewählt werden knn, folgt die Behuptung. Diese Regeln gelten teilweise uch für bestimmt divergente Folgen, wenn mn definiert: c+ = für jedes c R, + =, c = für jedes c > 0, =, ( ) =, c = 0 für jedes c R.
30 KAPITEL 2. FOLGEN, GRENZWERTE UND STETIGKEIT Beispielsweise bedeutet die Regel c + =, dss für Folgen { n, { bn und lim n n = c, lim n b n = die Folge { n + b n bestimmt gegen divergiert; lim n ( n +b n ) =. Andere Regeln lssen sich us diesen Regeln bleiten, z. B. ( ) = ( ) =, c = ( c+ ) =. Ausdrücke wie, 0, bleiben unbestimmt. Um zu sehen, weshlb etw der Ausdruck unbestimmt ist, betrchten wir die Folgen { { n, bn mit n = n 2 +c n, b n = n 2, wobei die Folge { c n der Bedingung c n n für große n genügt. Dnn lim n n = lim n b n =. Jedoch ist für ds Konvergenzverhlten der Folge { { n b n = cn lles möglich (Konvergenz gegen ein beliebig vorgegebenes c R, bestimmte Divergenz gegen ±, unbestimmte Divergenz). Stz 2.9. () Konvergente, nichtnegtive Folgen hben einen nichtnegtiven Grenzwert. (b) Gilt n [α,β] b einem gewissen Index N (d.h. für n N) und konvergiert die Folge { n, so gehört ihr Grenzwert zum Intervll [α,β]. Beweis. Es sei { n n= eine konvergente Folge, = lim n n. () Gilt n 0 b einem Index N, so gilt n n n für n N, und dies kommt der Null für große n beliebig nhe. Also 0. (b) Die Folge { n ist nichtnegtiv für große n, lso α 0 und α. Die Folge { β n ist nichtnegtiv für große n, lso β 0 und β. Bemerkung. Strikte Ungleichungen bleiben im Limes im Allgemeinen nicht erhlten. So ist die Folge { n positiv, jedoch limn n = 0. Stz 2.0. Beschränkte monotone Folgen sind konvergent. Beweis. O. B. d. A. (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) sei die Folge { n monoton wchsend. Gemäß des Vollständigkeitsxiomes existiert = sup n n. Sei ǫ > 0. Dnn ist ǫ keine obere Schrnke der Folge { n (d die kleinste obere Schrnke ist), lso ǫ < N für ein gewisses N. Dnn jedoch ǫ < N N+ N+2, insbesondere n = n < ǫ für lle n N und = lim n n. Beispiel 2.. Definiere b = 3 und b n+ = bn 2 + 3 b n für n N. Mn berechnet b = 3, b 2 = 2,5, b 3 = 2,45, b 4 = 2,4495, usw. Wir behupten, dss die Folge { b n strikt monoton fllend ist und gegen 6 konvergiert.
2.2. CAUCHYFOLGEN 3 Beweis. () b n > 6 für lle n. Dies ist klr für n = und folgt induktiv für lle nderen n: b n > 6 impliziert b 2 n 2 6b n + 6 = (b n 6) 2 > 0, lso b n+ = bn 2 + 3 b n > 6. (b) Dnn jedoch ist b n+ b n = bn 2 + 3 b n = 6 b2 n 2b n < 0. (c) Somit ist die Folge { b n strikt monoton fllend und nch unten beschränkt (beispielsweise durch 6). Also existiert b = lim n b n, und indem wir in der Beziehung b n+ = b n 2 + 3 b n zur Grenze für n übergehen, erhlten wir b = b 2 + 3 b. Folglich b 2 = 3 b, b2 = 6 und b = 6 (letzteres wegen b 6). 2.2 Cuchyfolgen Definition 2.2. Eine Folge { n heißt Cuchyfolge, flls ǫ > 0 N n= m,n N: m n ǫ. Lemm 2.3. Jede konvergente Folge ist eine Cuchyfolge. Beweis. Sei lim n n =. Für ein gegebenes ǫ > 0 wählen wir N, so dss n ǫ/2 für lle n N. Dnn gilt für lle m, n N. m n m + n ǫ Unser erstes Huptresultt in dieser Vorlesung wird sein, dss umgekehrt jede Cuchyfolge konvergiert. Bemerkung. Dieses Resultt benutzt ds Vollständigkeitsxiom (beim Beweis, dss monotone beschränkte Folgen konvergent sind) und gilt nicht in den rtionlen Zhlen. Ein derrtiges Resultt ist sehr nützlich, knn mn doch uf die Konvergenz einer Folge schließen, ohne ttsächlich ihren Grenzwert zu kennen. Beispiel 2.4. Die Folge { n mit n = n k konvergiert. 2 Beweis. Sei ǫ > 0. Wir wählen N N mit /N ǫ. Dnn gilt für n > m N: n m = n k=m+k 2 < n k=m+k(k ) = ( n k=m+ k ) k ( = m ) ( + m+ m+ ) ( + m+2 m+2 ) +... m+3 ( + n ) = n m n < N ǫ.
32 KAPITEL 2. FOLGEN, GRENZWERTE UND STETIGKEIT Folglich ist { n eine Cuchyfolge und wir können uf die Konvergenz dieser Folgen schließen, sobld der erwähnte Stz bewiesen ist. Bemerkung. Es ist viel schwieriger zu zeigen, dss die Folge { n gegen π 2 6, 6449 konvergiert (L. Euler, 735 & 74). Wie im Fll konvergenter Folgen beweist mn: Stz 2.5. Jede Cuchyfolge ist beschränkt. Definition 2.6. Es sei { n n= eine Folge reeller Zhlen und { n k n= eine strikt monotone Folge ntürlicher Zhlen. Dnn heißt { nk eine Teilfolge von { n n=. Beispiel 2.7. Ist n = 2, n 2 = 3, n 3 = 7, n 4 =,..., so erhlten wir die Teilfolge 2, 3, 7,,... von, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, 0,,,... Allgemein ist ds k-te Glied der Teilfolge { nk ds n k-te Glied der Folge { n n=. Offenbr gilt: Ist eine Folge konvergent, so konvergiert jede ihrer Teilfolgen (gegen denselben Grenzwert). Umgekehrt hben wir: Stz 2.8. Ist eine Teilfolge einer Cuchyfolge konvergent, so konvergiert bereits die Cuchyfolge. Beweis. { n n= sei eine Cuchyfolge und { nk eine konvergente Teilfolge mit lim k nk =. Sei ǫ > 0. Dnn gibt es ein N, so dss m n ǫ/2 für lle m, n N. Zudem gibt es ein K N mit nk ǫ/2 für lle k K. D jedoch n k k, so gilt für lle k K: Folglich konvergiert { n gegen. n= k nk + nk k ǫ. Wir kommen jetzt zum Beweis des ngekündigten Stzes. Wir benötigen dzu folgendes Lemm: Lemm 2.9. Jede Folge reeller Zhlen besitzt eine monotone Teilfolge. Beweis. Sei { n n= eine beliebige Folge reeller Zhlen. Es sei P = { n N m > n für lle m > n. Ist P eine unendliche Menge, P = { nk mit n k < n k+ für lle k, so ist die Folge { nk strikt monoton wchsend. Ist P hingegen endlich, so sei n > supp. Wegen n / P gibt es ein n 2 > n mit n2 n. Wegen n 2 / P gibt es ein n 3 > n 2 mit n3 n2. Indem mn so fortfährt, erhält mn eine monoton fllende Folge { nk. Als eine unmittelbre Folgerung drus und dem Vollständigkeitsxiom erhlten wir den wichtigen Stz von Bolzno-Weierstrss: Theorem 2.20 (Bolzno-Weierstrss). Jede beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge.
2.3. DIE LIMESMENGE EINER FOLGE 33 Ist insbesondere { n [,b] (diese Schreibweise bedeutet, dss n [,b] für lle n), so enthält diese Folge eine Teilfolge { nk, die gegen einen Grenzwert in [, b] konvergiert. Theorem 2.2. Eine Folge ist genu dnn konvergent, wenn sie eine Cuchyfolge ist. Beweis. ( ) Diese Richtung htten wir bereits gezeigt. ( ) Cuchyfolgen sind beschränkt. Dnn benutzen wir den Stz von Bolzno- Weierstrss und die Aussge, dss eine Cuchyfolge, die eine konvergente Teilfolge enthält, konvergiert. 2.3 Die Limesmenge einer Folge, oberer und unterer Grenzwert Eine lterntive Schreibweise für lim n n = ist n für n oder uch n R = R {, ist die Menge der erweiterten reellen Zhlen. Wir setzen (R, ) uf R fort, indem wir x für lle x R setzen (d. h. es gilt infr =, supr = ). Insbesondere: Jede Teilmenge von R besitzt ein Supremum und ein Infimum in den erweiterten reellen Zhlen. Definition 2.22. R heißt (eigentlicher) Häufungswert einer Folge { n n=, flls ǫ > 0 N n N: n ǫ. (Bechte die im Vergleich mit der Definition eines Grenzwertes von zu geänderte Quntisierung.) Anlog werden ± ls uneigentliche Häufungswerte eingeführt. Lemm 2.23. R ist Häufungswert der Folge { n genu dnn, wenn eine Teilfolge { nk mit limk nk = existiert. Beweis. ( ) Sei zuerst R. Wählen eine Folge { ǫ k R+ (= (0, )) mit lim k ǫ k = 0 und für jedes k ein n k mit n k > n k für k 2, so dss nk ǫ k. Dnn gilt lim k nk =. Die Fälle = ± sind nlog. ( ) Dies ist offensichtlich. Definition 2.24. () Die Limesmenge Lim { n ist die Menge ller Häufungswerte der Folge { n ; Lim { n R. (b) Der obere Grenzwert limsup n n ist der größte Häufungswert von { n ; limsup n n = sup Lim { n. Der untere Grenzwert liminfn n ist der kleinste Häufungswert von { n ; liminfn n = inf Lim { n. (Alterntive Schreibweisen sind lim n n bzw. lim n n.)
34 KAPITEL 2. FOLGEN, GRENZWERTE UND STETIGKEIT Beispiel 2.25. Für die Folge,, 0,, 2, 0,, 3, 0,, 4, 0,, 5, 0,... gilt Lim { n = {, 0,, liminfn n =, limsup n n =. Offenbr gilt liminf n n limsup n n und lim n n existiert genu dnn, wenn liminf n n = limsup n n. In diesem Fll ist lim n n gleich diesem gemeinsmen Wert. Weiterhin ist liminf n n > genu dnn, wenn die Folge { n nch unten beschränkt ist. Wir hben die folgende Chrkterisierung: Lemm 2.26. limsup n n = inf m sup n m n, liminf n n = sup m inf n m n. Beweis (für limsup n n ). Flls die Folge { n nicht nch oben beschränkt ist, so ist sup n m n = für lle n, und wir sind fertig. Sei lso { n nch oben beschränkt. Dnn ist { bm mit bm = sup n m n eine monoton fllende Folge und b = inf m b m = lim m b m R { existiert. Sei { nk eine konvergente Teilfolge von { n ; limk nk =. Dnn gilt b nk nk für lle k und b = lim k b nk lim k nk =. Somit dominiert b jeden Häufungswert von { n. Umgekehrt ist b Häufungswert, denn für eine gegebene Folge { ǫ k R+ mit lim k ǫ k = 0 finden wir gemäß der Definition der b m eine strikt monotone Folge { n k N mit 0 bnk nk ǫ k für lle k, lso lim k nk = b. 2.4 Die Topologie von R Definition 2.27. Eine Menge A R heißt offen, flls A ǫ > 0 mit ( ǫ,+ǫ) A. Eine Menge D R heißt bgeschlossen, flls R\D eine offene Menge ist. Beispiel 2.28. (), R sind offen und bgeschlossen. (b) Offene Intervlle (, b), (, ), (, b) sind offen. (c) Abgeschlossene Intervlle [, b], [, ), (, b] sind bgeschlossen. Stz 2.29. () Beliebige Vereinigungen und endliche Durchschnitte offener Mengen sind offen. (b) Endliche Vereinigungen und beliebige Durchschnitte bgeschlossener Mengen sind bgeschlossen. i I Beweis. () Folgt direkt us der Definition. (b) Seien D i für i I bgeschlossene Mengen. Dnn ist R \ D i = (R \ i I i I D i ) offen, lso ist D i bgeschlossen. Ds Argument für endliche Vereinigungen bgeschlossener Mengen ist ähnlich. Die Struktur offener Mengen in R ist recht einfch, während die Struktur bgeschlossener Mengen in R kompliziert sein knn.
2.4. DIE TOPOLOGIE VON R 35 Stz 2.30. Jede offene Teilmenge A R ist die Vereinigung bzählbr vieler, disjunkter offener Intervlle. Beweis. Es genügt zu zeigen, dss A die Vereinigung disjunkter offener Intervlle ist. D jedes offene Intervll eine rtionle Zhl enthält und die Menge der rtionlen Zhlen bzählbr ist, folgt dnn, dss diese Vereinigung bzählbr ist. Für x A sei A x ds größte offene Intervll, ds x enthält und gnz in A enthlten ist.a x ist die Vereinigung ller offenen Intervlle in A, die x enthlten. D A offen ist, ist A x nichtleer. Gilt A x A y für x, y A, so ist A x A y ein offenes Intervll in A, ds x enthält, folglich A x A y A x und A y A x. Anlog A x A y und dmit A x = A y. Somit liefert A = x A A x die gesuchte disjunkte Vereinigung. Definition 2.3. Es sei R. () Jede Menge U, für die es eine offene Menge A mit A U gibt, heißt eine Umgebung von. (b) Eine punktierte Umgebung von ist eine Menge der Form U \ {, wobei U eine Umgebung von ist. (c) Eine (punktierte) Umgebung von ist eine Menge U, die ein Intervll der Form (c, ) enthält. Anlog für. Als Nächstes diskutieren wir bgeschlossene Mengen. Definition 2.32. Es sei B R. () b R heißt Häufungspunkt von B, flls B V für jede punktierte Umgebung V von b. (b) b B heißt isolierter Punkt von B, flls b kein Häufungspunkt von B ist. Beispiel 2.33. () Q ht keine isolierten Punkte. Jede reelle Zhl ist Häufungspunkt von Q. (b) Z besteht nur us isolierten Punkten und ht keine Häufungspunkte. (c) { n n N besteht nur us isolierten Punkten und 0 ist einziger Häufungspunkt. In Anlehnung n die Sitution für Folgen bezeichnen wir ls uneigentlichen Häufungspunkt von B, flls B nicht nch oben beschränkt ist, und ls uneigentlichen Häufungspunkt von B, flls B nicht nch unten beschränkt ist. Sei B R. Dnn gibt es eine kleinste bgeschlossene Menge B, die B enthält. B ist der Durchschnitt ller bgeschlossenen Mengen, die B enthlten und heißt der Abschluss von B. Stz 2.34. () Die Menge B ller Häufungspunkte von B ist bgeschlossen. (b) B = B B. Insbesondere ist B genu dnn bgeschlossen, wenn B B. Ds folgt bespielsweise us der Dezimldrstellung reeller Zhlen, wo wir zeigten, dss jede reelle Zhl beliebig genu durch rtionle Zhlen pproximiert werden knn.
36 KAPITEL 2. FOLGEN, GRENZWERTE UND STETIGKEIT Beweis. () Wir zeigen zuerst, dss B genu dnn bgeschlossen ist, wenn B B. ( ) Sei B bgeschlossen, d. h. R \ B ist offen. Sei R \ B. Dnn ist U = R \ B eine Umgebung von mit U B = und ist kein Häufungspunkt von B. Folglich B B. ( ) Sei B B und R \B. Dnn ist kein Häufungspunkt von B, d. h. es existiert eine Umgebung U von mit U B = bzw. U R\B. Also ist R\B offen. (2) Wir zeigen ls Nächstes (). Sei b ein Häufungspunkt von B, d. h. in jeder offenen punktierten Umgebung U \ { b von b liegt ein Punkt d us B. D d Häufungspunkt von B und U \ { b Umgebung von d ist, gilt (U \ { b ) B. Also B = (B ) B, und B ist bgeschlossen. (3) Den Beweis, dss B B bgeschlossen und dmit gleich B ist, überlsse ich Ihnen. Definition 2.35. Es seien A B Teilmengen von R. Dnn heißt A dicht in B, flls A B. Beispielsweise sind die rtionlen Zhlen Q dicht in den reellen Zhlen R. 2.5 Grenzwerte von Funktionen Eine reelle Funktion ist eine Abbildung einer Teilmenge von R nch R. Definition 2.36. Sei f: I R eine Funktion, b ein (eigentlicher oder uneigentlicher) Häufungspunkt von I, und L R. Dnn ht f den Grenzwert L n der Stelle b, flls für jede Umgebung V von L eine punktierte Umgebung U \ { b von b existiert mit der Eigenschft, dss f (( U \{b ) I ) V. Eine äquivlente Bedingung ist: Für jede Folge { x n I \{b mit xn b für n gilt f(x n ) L für n. Mn schreibt: lim f(x) = L. x b x I Bemerkung. Sind b, L endlich, so bedeutet obige Bedingung: ǫ > 0 δ > 0 x I: x b δ, x b = f(x) L ǫ. Beispiel 2.37. () lim x 2 x 2 = 4. (b) Sei f(x) = x+ für x, f() =. Dnn lim x f(x) = 2, obwohl f() 2 ist. (c) lim x 0 x =. (d) lim sin x 0 x existiert nicht.