Differentialgleichungen

Differentilgleichungen Eine elementre Einführung Oliver Psson 4. September 2006 Inhltsverzeichnis 1 Einführung 2 1.1 Definition.................................... 2 1.1.1 Terminologie.............................. 2 1.2 Ein konzeptionelles Beispiel, Rnd bzw. Anfngsbedingungen....... 3 1.3 Eine wichtige Methode: Trennen der Vriblen................ 4 1.3.1 Nebenbemerkung: dx und x..................... 5 1.4 Wchstumsprozesse............................... 5 1.4.1 Diskussion der Lösung......................... 6 1.4.2 nicht linere Verllgemeinerung: logistisches Wchstum....... 6 1.4.3 Nichtlinerität und Chos....................... 8 2 DGL erster Ordnung 8 2.1 Freier Fll mit Reibung............................. 9 2.1.1 Alterntiver Lösungsweg........................ 10 2.2 Allgemeine Lösungstheorie für linere DGL erster Ordnung......... 12 2.2.1 homogener Fll (b(x)=0)........................ 14 2.2.2 llgemeiner Fll (b(x) 0)....................... 14 2.3 Allgemeine Eigenschften von lineren DGL................. 15 2.4 Der Störgliednstz............................... 15 3 DGL zweiter Ordnung 17 3.1 Allgemeine Lösungstheorie für linere DGL zweiter Ordnung........ 17 3.1.1 Komplexe Lösungen.......................... 17 3.1.2 Der homogene Fll........................... 18 3.1.3 Der inhomogene Fll: Störgliednstz................. 20 3.2 Hrmonische Schwingungen.......................... 20 3.3 Der gedämpfte hrmonische Oszilltor.................... 22 3.4 Die erzwungene Schwingung.......................... 26 3.4.1 Diskussion der Lösung......................... 27 4 Schlussbetrchtungen 28 1

1 Einführung Gott ist eine Differentilgleichung B. Russel Die Physik beschäftigt sich im llgemeinen mit Veränderungen bzw. Änderungsvorgängen (etw der Bewegung eines Körpers unter dem Einfluß einer Krft etc.pp.). Ntürlicherweise hben viele physiklischen Gesetzte deshlb die Form einer Differentilgleichung, denn Ableitungen sind die mthemtische Beschreibung von Änderungsvorgängen. Die Bedeutug von Differentilgleichungen in der Physik (und nderen Disziplinen) ist dbei eine Doppelte: Mn muß lernen, Differentilgleichungen zu lösen und ufzustellen. 1.1 Definition Eine Differentilgleichung ist eine Gleichung in der eine Funktion sowie mindestens eine Ableitung dieser Funktion vorkommen. Die gesuchte Unbeknnte ist hierbei lso die Funktion. Unter der Lösung einer Differentilgleichung versteht mn demzufolge ds Auffinden ller Funktionen die die Gleichung erfüllen. 1.1.1 Terminologie Differentilgleichungen (kurz DGL) können nch verschiedenen Gesichtspunkten klssifiziert werden. Klssifizierung nch Anzhl der Vriblen gewöhnliche DGL Die Ableitungen werden nur nch einer Vriblen gebildet! Beispiel: df(x) + dx f(x) = 0 prtielle DGL Ableitungen nch mehreren Vriblen treten uf. Bsp.: f(x,y) + f(x,y) = dx dy Klssifizierung nch Struktur der Terme linere DGL Die DGL ht (im gewöhnlichen Fll) die Form n n f n (x) = b(x). Dbei bedeutet f n die n te Ableitung der Funktion f. Es treten lso keine Terme wie f(x) f (x), (f ) 2 oder f(x) uf. nicht linere DGL Es treten nicht linere Terme (z.bsp. f(x) f (x), f(x) oder (f (x)) 2 ) uf. Klssifizierung nch Ordnung Unter der Ordnung einer DGL versteht mn die Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung. 2

DGL 1. Ordnung z.bsp. f (x) + f(x) + b = 0 DGL 2. Ordnung z.bsp. f (x) + f(x) + b = 0 DGL n ter Ordnung z.bsp. f (n) (x) + f(x) + b = 0 Klssifiktion nch Struktur der Koeffizienten Die Funktion bzw. ihre Ableitung gehen im llgemeinen mit Fktoren i ein, etw: f (x) + 1 f (x) + 2 f(x) = b konstnte Koeffizienten i sind konstnt (b knn jedoch von Vrible(n) bhängen) nicht konstnte Koeffizienten i sind Funktionen der Vriblen der gesuchten Funktion Klssifiktion nch Inhomogenität Die DGL f (x) + 1 f (x) + 2 f(x) = b ht einen Term b, der nicht mit der Funktion f bzw. einer Ableitung f (n) eingeht. Diesen bezeichnet mn ls Inhomogenität bzw. Störterm. homogene DGL b = 0 inhomogene DGL b 0 Übungsufgben Klssifizieren sie die folgenden DGL nch den obigen Ktegorien: ) ẍ(t) + ωox(t) 2 = 0 b) 1 2 u(x, t) 2 u(x, t) = 0 c 2 t 2 x 2 c) d 2 f df + x3 dx2 dx + f = x5 d) d 2 f df + f(x) dx2 dx = 0 In der Physik spielen fst nur linere DGL zweiter Ordnung eine Rolle, llerdings sowohl gewöhnliche, ls uch prtielle. Wir beschränken uns im folgenden lediglich uf gewöhnliche DGL. Die Lösungstheorie vereinfcht sich ddurch gnz erheblich. 1.2 Ein konzeptionelles Beispiel, Rnd bzw. Anfngsbedingungen Die Gleichung f (x) = 3

mit = const. ist sicherlich eines der einfchsten Beispiele für eine DGL ds mn ngeben knn. Die Lösung findet mn offensichtlich durch Integrtion: f(x) = dx + C = x + C Es erklärt sich ddurch folgende llgemeine Sprechweise: DGL lösen = integrieren Lösung einer DGL = Integrl freie Konstnte der Lösung = Integrtionskonstnte Zum letzten Punkt, der freien Konstnte der Lösung C: Unsere Funktion f(x) = x+c ist ttsächlich keine einzelne Funktion, sondern eine gesmte Lösungsschr. Schliesslich gewinnt mn für jeden C Wert eine ndere Funktion, die die DGL erfüllt. Ist hingegen ein sog. Anfngs oder Rndwert der gesuchten Funktion beknnt, knn die Lösung weiter eingeschränkt werden. Zum Beiepiel mg beknnt/gefordert sein, dß die Funktion n der Stelle x 0 gleich Null ist: Anfngswert: f(x 0 ) = 0 f(x 0 ) = x 0 + C = 0 C = 0 x 0 f(x) = x x 0 f(x) = (x x 0 ) Merke: Erst die Anfngs bzw. Rndbedingungen legen die Lösung einer DGL eindeutig fest. Anders ugedrückt enthält die Lösung einer DGL immer freie Konstnten, die erst durch zusätzliche Bedingungen festgelegt werden können. Die Anzhl der Integrtionskonstnten (= notwendiger Anfngsbedingungen) ist dbei gleich der Ordnung der DGL! In unserem Beispiel lso eine Konstnte, d die DGL erster Ordnung ist. 1.3 Eine wichtige Methode: Trennen der Vriblen Für ds einfche Beipiel f (x) = soll n dieser Stelle noch ein nderer Lösungsweg diskutiert werden. Ds Verfhren heißt us nheliegenden Gründen Trennen der Vriblen : Schreibt mn die Ableitung f (x) = df lutet die DGL: dx df dx = Forml knn mit den Ausdrücken df und dx umgeformt werden: df dx = df = dx 4

Offensichtlich setzt sich die gesuchte Funktion f us den infinitesimlen Stücken df zusmmen, lso f = df. Dies knn entweder ls unbestimmtes Integrl ufgefsst werden, oder ls bestimmtes Integrl 1 : f(x) df dx = df = dx x df f(x 0 ) = dx x 0 f(x) f(x 0 ) = (x x 0 ) f(x) = (x x 0 ) + f(x 0 ) Dies ist ber (für f(x 0 ) = 0) gerde die selbe Lösung wie wir sie oben gefunden hben. Bei dieser Rechnung tritt keine Integrtionskonstnte C uf, d mn die Informtion über f(x 0 ) direkt verwendet! 1.3.1 Nebenbemerkung: dx und x In Ntur und Ingenieurswissenschften ist der Anspruch n mthemtischer Strenge und Genuigkeit eingeschränkt. Dies findet zum Beipiel seinen Ausdruck in dem recht sorglosen Umgng mit dem Symbol dx, wie er etw bei der Methode Trennen der Vriblen ngewendet wird. Strenggenommen ist es unsinnig (d nicht definiert) mit den Differentilen dx, dy etc. Rechenopertionen durchzuführen ls wenn es sich um gewöhnliche Zhlen bzw. Vriblen hndeln würde. Nur ls Differentilquotient dy kommt ihnen dx eine wohl definierte Bedeutung zu. Dss diese Umformungen trotzdem zu sinnvollen Ergebnissen führen knn in der Regel ddurch gerechtfertigt werden, dß mn sie sich n endlichen x durchgeführt denkt, und durch einen Grenzübergng lim x 0 m Ende ds selbe Resultt gewinnt. In diesem Sinne hndelt es sich bei formlen Rechenopertionen mit Differentilen um eine Kurzschreibweise, die den entsprechenden Grenzübergng unterdrückt. 1.4 Wchstumsprozesse In diesem Abschnitt betrchten wir die DGL die exponentielle Wchstumsprozesse beschreibt. An diesem Beispiel illustrieren wir zudem ds Aufstellen einer DGL. Wir betrchten z.bsp. eine Anzhl von Lebewesen. Deren Anzhl zu einem bestimmten Zeitpunk sei N 0. Unsere Lebewesen etw eine Bkterienpopultion in einer Nährflüssigkeit vermehren sich. Gesucht ist nun die Funktion N(t), die die Grösse der Popultion ls Funktion der Zeit beschreibt. Es ist sicherlich nicht unvernünftig, die Änderungsrte N = N(t + t) N(t) für eine kurze Zeitspnne t ls proportionl zur Grösse der Popultion N(t) und der verstrichenen Zeitspnne t nzunehmen: N N t (1) 1 Wir erluben uns die Nchlässigkeit, Integrtionsvrible und Integrtionsgrenzen teilweise identisch zu bezeichnen. 5

Diese Beziehung ist jedoch nur für eine kurze Zeitspnne t sinnvoll, d die Beeinflussung des Wchstums durch die hinzukommenden Bkterien vernchlässigt wird. Sicherlich ist es jedoch schwierig den Begriff kurz zu präzisieren. Deshlb ist es nheliegend folgendes Verhältnis zu betrchten: N t = λn Nun knn ein Grenzübergng t 0 durchgeführt werden, sodß mn beliebig kurze Zeitintervlle betrchtet. Ddurch wird mn jedoch uf die folgende DGL geführt: dn dt = λn (2) Unsere Herleitung illustriert einen nderen Punkt, der die Bedeutung von Differentilgleichungen usmcht: Durch eine lokle Eigenschft der gesuchten Funktion N(t) nämlich einer Änderungsrte für kleine t gemäss Gleichung 1 knn eine Bestimmungsgleichung für die globle Funktion bgeleitet werden. Modellnnhmen über ds Verhlten im Kleinen, sind ber sicherlich leichter zu formulieren und zu prüfen. Die Lösung dieser DGL soll nun nch dem bereits behndelten Verfhren Trennen der Vriblen durchgeführt werden: dn dt = λn N, t trennen dn N = λdt Integrtion! ln N = λt + C nch N(t) uflösen N(t) = e λt+c Mit der Bedingung N(t = 0) = N 0 findet mn: C = ln N 0. Die eindeutige Lösung lutet lso: N(t) = N 0 e λt 1.4.1 Diskussion der Lösung Bei dieser DGL ist die Änderungsrte proportionl zur Funktion selbst, und ntürlch werden wir uf eine e Funktion ls Lösung geführt. Schliesslich ht die e Funktion die erstunliche Eigenschft, ihre eigene Ableitung zu sein! Eine solche DGL beschreibt häufig Wchstums bzw. Zerfllsprozesse (je nch Vorzeichen der Konstnte λ). Die Verzinsung ist ein nderes Beispiel für exponentielles Wchstum nur leider nicht uf meinem Konto. Für λ > 0 beschreibt diese DGL lso einen unbegrenzten Wchstumsprozess! Dieser ist sicherlich niergends in der Ntur relisiert. Durch eine einfche Modifiktion von Gleichung 2 knn dies jedoch korrigiert werden. 1.4.2 nicht linere Verllgemeinerung: logistisches Wchstum Die Funktion e λt wächst für positives λ über lle Grenzen. Denkt mn etw n die eingngs erwähnte Bkterienpopultion, wird dieses Verhlten sicherlich durch einen begrenzten 6

Vorrt n Nährflüssigkeit unterbunden. Gnz llgemein wird mn nnehmen, dß durch beschränkte Ressourcen eine mximle Schrnke K existiert uch Trägerkpzität gennnt die nicht überschritten werden knn. Dnn ist es ber wiederum nheliegend nzunehmen, dß ds Wchstum N proportionl zum verbliebenen Spielrum K N(t) ist. Wir werden lso uf folgende modifizierte DGL geführt: dn dt = λn(k N) (3) Diese Gleichung wird logistische Gleichung gennnt, und wurde von P.F. Verhulst schon 1838 zur besseren Modellierung von Wchstumsprozessen vorgeschlgen. Ttsächlich hndelt es sich um eine nichtlinere DGL (es tritt ein Term N 2 uf). Die Lösung der logistischen Gleichung lutet 2 : N(t) = K 1 + ( K P 0 1 ) e λkt Überschreitet die Popultion den Wert von K/2 schwächt sich ds Wchstum b ( Vitlitätsknick ), um schliesslich dem symptotischen Wert K zuzustreben. Abbildung 1 illustriert den Verluf dieses Grphen. Bei geeigneter Prmeterwhl knn diese Funktion ttsächlich zhlreiche Wchstumsprozesse beschreiben etw ds Längenwchstum von Sonnenblumen, oder die Gewichtszunhme von Rtten. N(t) 10 8 6 4 2 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 t Abbildung 1: Lösung der logistischen Gleichung für K = 10, N 0 = 1 und λ = 2 2 Die Lösung dieser nichtlineren DGL ist untypisch leicht zu finden: Mn substituiert N = 1 M, und findet d(1/m) dt = d(1/m) dm dm dt = 1 dm M 2 dt = λ ( K M ) 1 M. Multipliziert mn den M 2 uf die ndere Seite 2 sieht mn sofort, dß die DGL in der neuen Vriblen liner ist! Mit der Trennen der Vriblen Methode ist diese leicht zu lösen. 7

1.4.3 Nichtlinerität und Chos Die logistische Gleichung des vorherige Abschnittes ist ds einzige Beispiel für eine nichtlinere DGL die wir in dieser Arbeit diskutieren. Deshlb soll sie zum Anlß genommen werden wenigstens einige skizzenhfte Bemerkungen über die Phänomene zu mchen, die beim Studium von nichtlineren Systemen ufreten. Dies ist eng mit dem Schlgwort Chos verknüpft. Chrkteristisch für chotisches Verhlten ist die sensible Abhängigkeit eines Systems von seinen Prmetern. Eine qulittive Änderung des Verhltens unter Vrition eines Prmeters bezeichnet mn ls Bifurktion. Unsere kontinuierliche logistische Gleichung zeigt in diesem Sinne kein chotisches Verhlten. Ihre diskretisierte Form: y n+1 = ky n (1 y n ) (4) zählt jedoch zu den Lehrbuchbeispielen der Bifurktionstheorie. Gleichung 4 liefert bei gegebenem Anfngswert y 0 eine Folge von y i Werten. Ein interessntes Studienobjekt ist nun die Abhängigkeit der Entwicklung von dem kontinuierlichen Prmeter k. Für k zwischen 1 und 3 wird die Folge sich einem festen Wert nnähern. Für k = 3 tritt plötzlich Periodizität uf, d.h. die y i Werte lternieren zwischen zwei festen Werten. Die Periode ht lso den Wert 2. Mit k = 3.4494... verdopplet sich dieser Zyklus uf 4, d.h. lle vier Itertionen wiederholt sich ds Verhlten der Folge. Weitere Periodenverdoppelungen treten bei 3.5441..., 3.5644..., 3.5687... u.s.f. uf. Bei k = 3.5699... trit chotisches Verhltern uf, d.h die Folge nimmt keine feste Periode n, bzw. ht eine unendliche Periodizität. Ds selbe gilt für die meisten Werte zwischen 3.57 und 4. Abbildung 2 zeigt y n ls Funktion der Itertionen n für y 0 = 0.005 und k = 2.9 bzw. k = 3.9. Offensichtlich zeigt sich ds qulittiv sehr verschiedene Verhlten. Für die Eigenschft der periodischen Verdoppelung bei der Annäherung n chotisches Verhlten ist die logistische Gleichung nur ds einfchste Beipiel. Ein fundmentles Resultt der Bifurktionstheorie lutet, dß ds Verhältnis der Abstände benchbrter Prmeterwerte für die eine Periodenverdoppelung uftrit einem Grenzwert zustrebt, der sog. Feigenbumkonstnten (δ = 4.6692... im Flle der logistischen Gleichung). Mit nderen Worten wird jede periodische Region um einen Fktor 4.67 kleiner ls die Vorngegngene, bis schliesslich nicht periodisches Verhlten einsetzt. 2 DGL erster Ordnung In diesem Abschnitt behndeln wir (linere und gewöhnliche) DGL erster Ordnung. Durch die Einschränkung uf diese spezielle Klsse ergeben sich nturgemäss zhlreiche Vereinfchungen. Denoch verllgemeinern sich viele Methoden und Ergebnisse in nheliegender Weise uch uf DGL höherer Ordnung. Drüberhinus sind DGL erster Ordnung nicht ohne Anwendungen in interessnten Fällen. Dies shen wir bereits im Flle des exponetiellen Wchstums, und ls ein weiteres Beispiel diskutieren wir den freien Fll mit Reibung im nächsten Abschnitt. Nch dieser konkreten Anwendung gehen wir zur Formulierung einer llgemeinen Lösungstheorie über. 8

y_n 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 n Abbildung 2: Diskrete logistische Gleichung für y 0 = 0.005 und die k Werte 2.9 und 3.9. Während die Folge für den Wert < 3 einem festen Wert zustrebt ist ds Verhlten für k = 3.9 noch nicht einml periodisch! 2.1 Freier Fll mit Reibung Wir betrchten ls weiteres physiklisches Beispiel den freien Fll (mẍ = mg) mit Reibung (mẍ ẋ). Dbei wird ds Verfhren Trennen der Vriblen noch einml ngewendet. Eine llgemeine Lösungstheorie (für DGL erster und zweiter Ordnung) soll erst später entwickelt werden. Die BWGl für v(t) = ẋ lutet: mg v(t) = m v(t) v(t) + m v(t) = g Diese DGL ist lso erster Ornung in v(t). Um den Ort ls Funktion der Ort zu gewinnen, muß die Lösung später noch einml integriert werden. Wichtig ist ds reltive Vorzeichen zwischen der Erdnziehungskrft mg und der Reibungskrft v. Die eine beschleunigt, die ndere bremst b! An dieser Stelle ist der inhomogene Term ( g ) störend, und wir substituieren 3 v(t) = u(t) + mg. Ddurch erhltern wir in der Vriblen u die Bewegungsgleichung: u + mg (u + m ) g = 0 u + m u = 0 3 Durch diesen Trick vereinfcht sich die Rechnung, llerdings knn die DGL uch direkt gelöst werden! Siehe hierzu ds nächste Kpitel ( Alterntiver Lösungsweg ) 9

In der folgenden Schreibweise ist die Vriblenseprtion besonders intuitiv: nun können beide Seiten integriert werden: u(t ) u(0) du dt + m u = 0 1 du u dt + m = 0 1 u du = m dt (1/u)du = (/m) ln u(t ) ln u(0) = (/m)t T 0 dt ln u(t ) = (/m)t + ln u(0) u(t ) = u(0) e (/m) T Mit Hilfe der Beziehung u(t) = v(t) mg knn wieder zur ttsächlichen Geschwindigkeit v rücksubstituiert werden, und mn findet (für T ist nun wieder t geschrieben): v(t) mg = (v 0 mg ) e (/m) t v(t) = v 0 e (/m) t + mg (1 e (/m) t ) Die Abbildung 3 zeigt den Grphen dieser Funktion für v 0 = 0 und mg = 1. Mn erkennt, dß die Funktion sich der Grenzgeschwindigkeit v g = mg nnähert. Diese Geschwindigkeit knn ber gerde us der Bedingung mg = v (sprich: Reibung und Erdnziehung hlten sich die Wge) bgelesen werden! v g = mg wird immer grösser je kleiner der Reibungskoeffizient ist, und schliesslich unendlich für 0. Hier geht die Bewegung in den freien Fll ohne Reibung über. Integrieren der Geschwindigkeit liefert (für v 0 = 0) den Ort ls Funktion der Zeit: x(t) x 0 = t 0 v g (1 e (/m) t )dt x(t) = x 0 v g (m/) + v g t + v g (m/)e (/m) t x(t) = x 0 + v g [t + (m/)e (/m) t (m/)] Die Abbildung 4 zeigt den Grphen dieser Funktion für x 0 = 0 und wiederum mg = 1. Mn erkennt, dß die Funktion sich einer Gerden mit der Steigung v g nnähert! Im Limes t geht der Ausdruck in der eckigen Klmmer nämlich gegen t. 2.1.1 Alterntiver Lösungsweg In obiger Lösung wurde durch die Substitution v(t) = u(t)+ mg ein gewisser Rechenvorteil erzielt. Wer Zweifel drn ht uf diesen Trick uch selber gekommen zu sein mg es beruhigend finden, dß mn die selbe Lösung uch direkt gewinnen knn: 10

v(t) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 t Abbildung 3: Geschwindigkeit des freien Flles mit Reibung für v 0 = 0 und mg = 1. Unser Ausgngspunkt wr die Gleichung m v(t) = mg v(t) löst mn nch der Ableitung uf gewinnt mn: dv dt = mg v(t) m Nun knn wieder die Trennung der Vriblen vorgenommen werden: [ v(t) v(0) ln mg v dv = dt mg v m dv t = mg v 0 ] v(t) v(0) mg v(t) ln mg v(0) mg v(t) mg v(0) = t m dt m = m t = e m t mg v(t) = (mg v(0))e m t Schließlich findet mn (für v(0) ist wieder v 0 geschrieben worden) die selbe Lösung: v(t) = v 0 e (/m) t + mg (1 e (/m) t ) In diesem Lösungsweg ist lso die einzige Schwierigkeit, die Stmmfunktion von 1 mg v zu finden. 11

x(t) 2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 t Abbildung 4: Ort ls Funktion der Zeit beim freien Fll mit Reibung (mit x 0 = 0 und v g = mg = 1) Der Grph nähert sich einer Gerden mit der Steigung v g n. 2.2 Allgemeine Lösungstheorie für linere DGL erster Ordnung Wir hben nun die llgemeine Lösung der DGL y +y = b für und b konstnt gefunden. Die nheliegende Verllgemeinerung besteht drin, nun uch vrible Koeffizienten zuzulssen, lso = (x), b = b(x) stetige Funktionen der Vriblen nch der bgeleitet wird 4. Inhltlich knn mn sich etw vorstellen, dß der Luftreibungskoeffizient us der freien Fll Aufgbe eine Funktion des Luftdrucks, und dmit der Höhe ist. Zur Diskussion der Lösungstheorie verändern wir unsere Schreibweise etws: Die gesuchte Funktion soll nun immer y(x) heissen, und deren Ableitung y = dy. Ds Auffinden der dx llgemeinen Lösung für den bereits behndelten Fll mit konstnten Koeffizienten und b liest sich lso wie folgt: y + y = b dy dx = b y dy = dx b y y(x) dy x = dx = x y 0 b y 0 ln b y(x) + ln b y 0 = x ln b y 0 b y(x) = x 4 In der Regel wird nur ls Koeffizient bezeichnet. b ist die Inhomogenität, die uch bei DGL mit konstnten Koeffizienten von x bhängen drf. 12

b y 0 b y(x) = e x Die letzte Zeile knn jedoch leicht nch der gesuchten Funktion ufgelöst werden, sodß die llgemeine Lösung lutet: y(x) = b e x (b y 0 ) Der Leser sollte diese Rechnung noch einml nchvollziehen. Verwendet werden elementre Umformungen, einfche Integrtion sowie Logrithmen Gesetzte. Ist der inhomogene Term b = 0 vereinfcht sich die Lösung lso zum ltbeknnten Ausdruck: (5) y(x) = y 0 e x (6) Wie unterscheiden sich homogene und inhomogene Lösung qulittiv? Die Abbildung 5 zeigt den Grph beider Lösungsfunktionen für die Prmeterwerte y 0 = 10, = 1 und b = 0 (untere Kurve) bzw. b = 5 (obere Kurve). Beide Grphen zeigen den typischen exponentiellen Abfll (d positiv ist). Im homogene Fll fällt die Kurve gegen Null, wohingegen im inhomogenen Fll symptotisch der Wert b ngenommen wird. Zudem ist der Abfll der inhomogenen Lösung schwächer. y(x) 10 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x Abbildung 5: Vergleich der beiden Lösungen 5 und 6. Wir diskutieren nun den Fll vribler Koeffizienten. 13

2.2.1 homogener Fll (b(x)=0) Wir können wieder die Vriblen trennen: dy dx + (x)y = 0 dy = (x)dx y ln y = (x)dx = A(x) + C y = Ce A(x) Ds Integrl über die Funktion (x) wird hier ls A(x) bgekürzt. Wegen der vorusgesetzten Stetigkeit der Funktion existiert es, muß ber nicht elementr usführbr sein! Die Betrgsstriche von y können übrigens weggelssen werden, d die e-funktion immer positiv ist! 2.2.2 llgemeiner Fll (b(x) 0) Wenden wir uns nun dem llgemeinen Fll einer inhomogenen DGL zu! Ds Verfhren ds hier vorgestellt werden soll wird ls Vrition der Konstnten bezeichnet. Mn mcht nämlich folgenden Anstz für die Lösung: y(x) = u(x)e A(x) Dies entspricht der Lösung des homogenen Flles, nur dß die Konstnte C durch eine noch zu bestimmende Funktion u(x) ersetzt wurde. Wie muß u(x) nun gewählt werden, um die DGL zu lösen? Leiten wir hierzu den Anstz b: y = u (x)e A(x) (x)u(x)e A(x) y = u (x)e A(x) (x)y(x) Es muß lso Gerde der erste Term hinter dem Gleichheitszeichen gleich b(x) sein, dmit unser Anstz die DGL zu löst. Dies ist jedoch nicht nderes ls eine weitere DGL zur Bestimmung der Funktion u(x): u (x)e A(x) = b(x) du dx = b(x)e+a(x) u(x) = b(x)e +A(x) dx Mn bechte, dß A(x) mit der Seite uch ds Vorzeichen wechselt! D die Stmmfunktion von b(x)e +A(x) dx nur bis uf eine Konstnte bestimmt ist lutet die llgemeine Lösung: y(x) = e A(x) ( ) b(x)e +A(x) dx + C 14

mit: A(x) = (x)dx. Ntürlich ist uch die (x) Integrtion nur bis uf eine Konstnte bestimmt, mn überzeugt sich llerdings leicht dvon, dß A(x) A(x) + C 1 gerde C Ce C 1 entspricht. Wir hben lso ttschlich nur über eine Konstnte zu verfügen. D unsere DGL jedoch uch nur 1. Ordnung ist reicht dies uch voll und gnz. Übung Löse die DGL y + xy = x nch der Vrition der Konstnten Methode! Lösung (x) = x, b(x) = x, A(x) = xdx = x 2 /2 e A(x) b(x) = e x2 /2 xdx = e x2 /2 y(x) = Ce x2 /2 1 2.3 Allgemeine Eigenschften von lineren DGL Wir hben gesehen, dß die Lösung y = Ce A(x) der homogenen DGL (b = 0) ein Summnd der llgemeinen Lösung (b 0) ist. Diese Eigenschft gilt für linere DGL immer und ht wichtige Auswirkungen für die Lösungsmethoden. Wir formulieren diesen Schverhlt gleich für DGL beliebiger Ordnung: Eine homogene DGL n ter Ordnung ht die Form: (H) y n + n 1 y n 2 + + 1 y + 0 = 0 Aus der Linerität folgt, dß für y 1, y 2 Lösungen dieser Gleichung uch die Linerkombintion y = λy 1 + µy 2 Lösung von (H) ist. Die inhomogene Gleichung ht die llgemeine Form: (L) y n + n 1 y n 2 + + 1 y + 0 = b(x) Es gilt ufgrund der Linerität offensichtlich: Sind y 1, y 2 Lösungen von (L), so ist y = y 1 y 2 eine Lösung von (H). Mit nderen Worten, unterscheiden sich verschiedene Lösungen der inhomogenen Gleichung nur um Lösungen der entsprechenden homogenen Gleichung! Ddurch gliedert sich ds Auffinden von Lösungen von (L) in zwei Schritte: 1. Bestimme lle Lösungen y i der homogenen Gleichung. 2. Bestimme wenigstens eine Lösung y p der inhomogenen Gleichung. Die llgemeine Lösung gewinnt mn dnn durch Addition der speziellen Lösung y p zu einer beliebigen Linerkombintion der homogenen Lösungen: y = y p + i C i y i. Im folgernden Abschnitt diskutieren wir ein Verfhren zum Auffinden spezieller Lösungen y p. 2.4 Der Störgliednstz Der letzte Abschnitt ht uf den wichtigen Zusmmenhng zwischen der llgemeinen Lösung und der Lösung des homogenen Flles hingewiesen. Ist die Lösung des homogenen Flles y h beknnt, muß lediglich eine spezielle Lösung y p gefunden werden. Die llgemeine Lösung gewinnt mn dnn durch Kombintion dieser Beiden. 15

Der Anstz in Form eines Störgliedes erlubt gerde, für spezielle Typen von Inhomogenitäten b(x) eine spezielle Lösung y p zu finden. Dieses Verfhren setzt llerdings in seiner einfchsten Form konstnte Koeffizienten vorus! Wir diskutieren zunächst ein Beispiel, und formulieren dnn die llgemeine Regel. Beispiel: Wir betrchten die DGL y 2y = 1 + x 2. Die Inhomogenität b(x) ist lso ein Polynom 2. Gerdes. Als Anstz für die Lösung wählt mn nun gerde ebenflls ein Polynom vom Grd zwei. Offensichtlich sind seine Koeffizienten jedoch zunächst unbestimmt: y p (x) = A 0 + A 1 x + A 2 x 2 Setzt mn diesen Anstz in die DGL ein gewinnt mn: A 1 + 2A 2 x = 2(A 0 + A 1 x + A 2 x 2 ) + 1 x 2 Die A i können nun durch einen Koeffizientenvergleich bestimmt werden. Dzu klmmert mn die Anteile in x 0, x und x 2 uf beiden Seiten us. Offensichtlich müssen die Koeffizienten der selben Potenzen in x identisch sein. Drus liest mn sofort folgende Bedingungen für die A i b: A 1 = 2A 0 + 1 2A 2 = 2A 1 2A 2 + 1 = 0 Diese drei Gleichungen in drei Unbeknnten hben die eindeutige Lösung: A 0 = 3 4 A 1 = 1 2 A 2 + 1 = 1 2 Die spezielle Lösung luten lso y p = 3 4 1 2 x 1 2 x2. Im llgemeinen gilt, dß für Störfunktionen b(x) die us Polynomen, trigonometrischen oder e Funktionen bestehen Ansätze in diesen Funktionen uf eine spezielle Lösung führen. Wie in unserem Beispiel müssen die zunächst unbeknnten Koeffizienten durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden. Eine wichtige Fllunterscheidung rührt dher, ob die Konstnte gleich oder ungleich null ist. Störfunktion b(x) Anstz b 0 + b 1 x + + b n x n A 0 + A 1 x + + A n x n für 0 x(a 0 + A 1 x + + A n x n ) für = 0 (b 0 + b 1 x + + b n x n )e bx (A 0 + A 1 x + + A n x n )e bx für b x(a 0 + A 1 x + + A n x n )e bx für = b Übungsufgben: Finde für folgende DGL mit Störgliednstz eine spezielle Lösung: 16

1. y 5y = x 2x 2 2. y 3y = e 2x Hinweis: D = 3 vom Koeffizienten des Exponenten der e Funktion verschieden ist lutet der Anstz y p = A 0 e 2x 3. y 3y = e 3x. Hinweis: D = 3 gleich dem Koeffizienten des Exponenten der e Funktion ist, lutet der Anstz y p = xa 0 e 3x. 3 DGL zweiter Ordnung Wir betrchten nun linere DGL zweiter Ordnung. Zunächst diskutieren wir Elemente einer llgemeinen Lösungstheorie, bevor wir zwei physiklisch relevnte Anwendungen besprechen. Unweigerlich werden zhlreiche Schverhlte in verschiedenen Zusmmenhängen wiederholt. Die Absicht ist dbei eine Vertiefung des Stoffes. 3.1 Allgemeine Lösungstheorie für linere DGL zweiter Ordnung Wir beschränken uns im Folgenden uf DGL mit konstnten Koeffizienten. Ihre llgemeine Form lutet lso: y + 1 y + 0 = b(x) Wiederum unterscheiden wir zwischen dem homogenen Fll b(x) = 0 und dem inhomogenen Fll b(x) 0. D die DGL liner ist, können wir die llgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung durch Linerkombintion ller homogenen Lösungen plus einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung gewinnen (siehe dzu Abschnitt 2.3). Mit nderen Worten ht der homogene Fll lso uch für inhomogene Gleichungen Bedeutung. 3.1.1 Komplexe Lösungen Es erweisst sich ls günstig im llgemeinen komplexe Funktionen y(x) = u(x) + iv(x) (bzw. y(x) = Re iωx mit R, ω R oder y(x) = e λx mit λ C) ls Lösungen nzusetzen. Ein komplexer Anstz vereinfcht die Rechnung und führt im Flle einer homogenen und lineren DGL uf zwei reelle Lösungen: Rel- und Imginärteil der komplexen Lösung. Dies sieht mn n folgender Betrchtung: Sei D ein linerer Differentilopertor 5, und y(x) = u(x) + iv(x) eine komplexe Lösung, so gilt: Dy(x) = 0 D(u(x) + iv(x)) = 0 Du(x) + idv(x) = 0 ( 5 Lutet unsere DGL etw d2 y dx + dy 2 dx = 0 ist eine übliche Schreibweise uch: Klmmerusdruck knn ls (Differentil )Opertor D = d2 y(x) ngewendet wird. 17 dx + d 2 dx d 2 dx 2 ) + d dx y = 0. Der gedeutet werden, der uf die Funktion

Offensichtlich müssen lso die Funktionen u(x) und v(x) beides Lösungen sein! Als Anstz verwenden wir typischerweise die komplexe e Funktion y(x) = e λx mit λ C. Wie im reellen ist deren erste Ableitung y (x) = λe λx = λ y(x), die zweite Ableitung y (x) = λ 2 y(x) etc.. Zum Aufsplten in Rel und Imginärteil verwendet mn die Euler Reltion e ±iωt = cos ωt ± i sin ωt Weitere Kentnisse über Funktionen komplexer Veränderlicher sind nicht erforderlich! 3.1.2 Der homogene Fll Wir wenden uns zunächst der homogenen Gleichung y + 1 y + 0 = 0 zu. Wir suchen eine Lösung mit Hilfe des Anstzes: Einsetzen führt uf die Gleichung: y(x) = e λx mit : λ C e λx (λ 2 + 1 λ + 0 ) = 0 D die e Funktion immer positiv ist knn diese Gleichung nur erfüllt werden wenn der Klmmerusdruck verschwindet: (λ 2 + 1 λ + 0 ) = 0 Diese Gleichung wird uch chrkteristische Gleichung der DGL gennnt. Die Lösung dieser qudrtischen Gleichung knn sofort ngegeben werden: λ 1/2 = 1 2 ± (1 ) 2 0 An dieser Stelle zeigt sich ein nderer Vorteil des komplexen Anstzes, denn d λ C finden sich in jedem Fll lle Nullstellen des chrkteristischen Polynoms. Es ist jedoch sinnvoll die Fälle zu unterscheiden, in denen beide Nullstellen reell, komplex bzw. entrtet sind. Diese Fllunterscheidung wird uns später ls schwche Dämpfung, strke Dämpfung und periodischer Grenzfll bei der Behndlung des hrmonischen Oszilltors begegnen. λ 1/2 zwei verschiedene reelle Nullstellen Wenn die Wurzel positiv ist gewinnen wir zwei verschiedene reelle Nullstellen. Diese entsprechen den beiden Lösungen y 1 = e λ 1x und y 2 = e λ 2x. Die llgemeine Lösung ergibt sich lso durch reelle Linerkombintion dieser Beiden: 2 y = A 1 e λ 1x + A 2 e λ 2x Die A i lssen sich durch die Anfngsbedingungen usdrücken. Fordert mn etw y(0) = y 0 sowie y (0) = v 0, gewinnt mn: y 0 = A 1 + A 2 v 0 = A 1 λ 1 + A 2 λ 2 18

mit der eindeutigen Lösung 6 : A 1 = y 0 A 2 A 2 = v 0 y 0 λ 1 λ 2 λ 1 λ 1/2 zwei verschiedene komplexe Nullstellen Wird die Wurzel negtiv, findet mn zwei konjugiert komplexe Nullstellen! Der Imginärteil ist beide Mle α = 2 1 4 0. Die beiden Nullstellen hben lso die Form λ 1/2 = 1 2 ± iα. Die Lösung lutet lso: y(x) = C 1 e 1 2 1x e +iαx + C 2 e 1 2 1x e iαx y(x) = e 1 2 1x (C 1 e +iαx + C 2 e iαx ) y(x) = e 1 2 1x (C 1 (cos αx + i sin αx) + C 2 (cos αx i sin αx)) y(x) = e 1 2 1x ((C 1 + C 2 ) cos αx + i(c 1 C 2 ) sin αx) An dieser Stelle erzwingt die Forderung reeller Rndbedingungen eine reellwertige Lösung. Diese Rechnung ist in Abschnitt 3.3 ngegeben. Eine ndere Möglichkeit ist es, Rel und Imginärteil der Lösung zu bilden: R(y(x)) = e 1 2 1x (C 1 + C 2 ) cos αx I(y(x)) = e 1 2 1x (C 1 C 2 ) sin αx Die llgemeine Lösung findet mn uch hier wieder duch Linerkombintion: y(x) = e 1 2 1x (B 1 cos αx + B 2 sin αx) Der Zusmmenhng zwischen den Koeffizienten B i und den Rndbedingungen wird ebenflls in Abschnitt 3.3 diskutiert. λ 1/2 zwei gleiche reelle Nullstellen Zuletzt knn der Fll uftreten, dß die Wurzel verschwindet und somit nur eine doppelte reelle Nullstelle λ 1 vorliegt. Die Lösung y 1 = A 1 e λ 1x lleine knn jedoch nicht beliebigen Anfngsbedingungen ngepsst werden. Mit dem Vrition der Konstnten Verfhren gewinnt mn jedoch eine weitere Lösung y 2 = (A 2 x+a 3 )e λ 1x. Die llgemeine Lösung ht lso die Form: y = (A 1 + A 2 x)e λ 1x Die reellen Koeffizienten A i sind wieder durch die Anfngsbedingungen festgelegt. Übungsufgben: Löse die folgenden DGL: 1. y + 4y 5y = 0 2. y + 4y + 4y = 0 3. y + 4y + 13y = 0 6 Die Lösung ist uch wenn die Rndbedingungen nicht in dieser einfchen Form gegeben sind immer eindeutig und reell. 19

3.1.3 Der inhomogene Fll: Störgliednstz Wie für DGL erster Ordnung knn eine inhomogene Gleichung zweiten Grdes häufig durch einen Anstz gelöst werden der die gleiche Struktur wie die Inhomogenität besitzt. Dieses Verfhren funktioniert für Polynomene, trigonometrische und e Funktionen ls Störglieder. Unsere Diskussion beschränkt sich uf den Fll eines Polynoms. Sei y + 1 y + 0 y = p n gegeben, mit i konstnt und p n ein Polynom n ten Grdes. Dnn existiert ein Polynom gleichen Grdes q n, sodß gilt: y p = q n flls 0 0 y x p = q n flls 0 = 0 und 1 0 y 2 xp = q n flls 0 = 1 = 0 Die Koeffizienten des Polynoms q n = c 0 +c 1 x+c 2 x 2 bestimmt mn wieder durch Einsetzen des Anstzes und Koeffizientenvergleich. Übungsufgben: Finde eine prtikuläre Lösung: 1. y + y 2y = x 2 2. y + y = x 2 3.2 Hrmonische Schwingungen Gesucht ist die Lösung der Schwingungsgleichung mẍ + Dx = 0. Sie ist chrkteristisch für lle Vorgänge bei denen die Auslenkung x proportionl zur rücktreibenden Krft mẍ ist. Der Proportionlitätsfktor ist lso gerde D. Anders formuliert ist die Potentilfunktion dieser Systeme prbolisch (V x 2 F = V x). Ein beliebiges Potentil knn in der Nähe eines Minimums jedoch durch eine Prbel näherungsweise usgedrückt werden. Somit regiert bei kleinen Auslenkungen us dem Potentilminimum ( klein heisst hier, dss die Prbelnäherung noch funktioniert) jedes System mit hrmonischen Schwingungen. Dies erklärt die grosse Bedeutung des hrmonischen Oszilltors. Wir bringen die DGL durch Division mit m uf die Stndrdform: ẍ + D m x = 0 Üblich ist nun die Definition ω0 2 = D, denn wir werden später ls Lösung eine Schwingung m mit der Kreisfrequenz ω 0 finden. Ds Problem ist erst eindeutig definiert, wenn zusätzlich die Rndbedingungen beknnt sind. Deren Anzhl entspricht gerde der Ordnung der DGL. In unserem Fll können etw x(0) = x 0 und ẋ(0) = v 0 vorgegeben sein. 20

Anstz: x(t) = A sin ωt + B cos ωt Einsetzen in die DGL führt uf: ẋ = Aω cos ωt Bω sin ωt ẍ = ω 2 (A sin ωt + B cos ωt) = ω 2 x ω 2 x + ω 2 0x = 0 x(ω 2 0 ω 2 ) = 0 D diese Gleichung für lle Zeiten ( Werte von t ) erfüllt sein soll, gilt offensichtlich ω 2 = ω0. 2 Die Prmeter A und B werden erst duch die Forderung bestimmter Rndbedingungen eindeutig festgelegt. Die Forderung eines bestimmten Ortes zur Zeit t = 0 führt uf: x 0 = A sin 0 + B cos 0 und nlog für v 0 : B = x 0 v 0 = Aω cos 0 Bω sin 0 A = v 0 /ω Anstz: x(t) = C sin ωt + φ Ds eine Linerkombintion von Sinus und Cosinus äquivlent zu einem Anstz mit sin ωt und Phse φ ist, ersieht mn unmittelbr der Beziehung: sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β Durch zweimliges Ableiten und Einsetzen des Anstzes wird mn wiederum unmittelbr uf die Beziehung ω 2 = ω0 2 geführt. Nun müssen lso noch C und die Phse durch die Anfngsbedingungen usgedrückt werden. Mn findet tn φ = ωx 0 v 0 und C = x 0 sin φ Anstz: x(t) = Ae iωt + Be iωt Wiederum ergibt Einsetzen der Ableitungen ω 2 = ω0. 2 Die i.llg. komplexen Koeffizienten A und B sollen wiederum durch die (reellen) Anfngswerte x 0 und v 0 usgedrückt werden. Die Bestimmungsgleichungen luten: x 0 = A + B v 0 = iω(a B) Wenn jedoch die Summe zweier komplexer Zhlen eine reelle Zhl ergibt, und ihre Differenz eine rein Imginäre, sind sie offensichtlich zueinnder komplex konjugiert. Es gilt lso A = B. Wir lesen sofort b: x 0 = A + B = 2 Re(A) v 0 = iω(a B) = 2ω Im(A) es gilt somit Re(A) = (1/2)x 0 und Im(A) = (v 0 /2ω). Aus der Beziehung A = B ersieht mn ebenflls, dß x(t) = Ae iωt +Be iωt reell ist, und somit die Aufspltung in Imginär- und Relteil zwecks Gewinnung einer physiklischen Lösung in diesem Beispiel trivil ist. 21

Anstz: x(t) = Ce iωt+φ Die Bedingung ω 2 = ω 2 0 findet mn wiederum direkt durch Einsetzen. Die (komplexen) Koeffizienten C und φ durch die Anfngsbedingungen uszudrücken ist jedoch sehr länglich... 3.3 Der gedämpfte hrmonische Oszilltor Gesucht wird die reelle und differenzierbre Funktion x(t), die die Differentilgleichung ẍ + ẋ + ω 2 0x = 0 (7) löst. Wir hben lso einen zusätzlichen Dämpfungsterm ẋ eingeführt. Zusätzlich gelten die Anfngsbedingungen x(0) = x 0 und ẋ(0) = v 0. Die Koeffizienten und ω 0 sollen reell und positiv sein. Wir wählen den komplexen Anstz x(t) = e ρt, ρ C, den wir in Abschnitt 3.1.2 schon behndelt hben. Wir werden lso uf ds selbe chrkteristische Polynom geführt, und müssen die selbe Fllunterscheidung hinsichtlich der Nullstellen der qudrtischen Gleichung treffen: ρ 1/2 = 2 ± ( 2 ) 2 ω 2 0 (8) In diesem Abschnitt diskutieren wir deshlb vor llem den Zusmmenhng zu den Anfngsbedingunegn etws genuer. 1. Fll: (/2) 2 < ω 2 0 (schwche Dämpfung) Hier wird die Wurzel negtiv, und ρ 1/2 können geschrieben werden ls mit ω = wir ρ 1/2 = (/2) ± iω (9) ω 2 0 (/2) 2. Setzen wir diese Form in die llgemeine Lösung ein finden x(t) = C 1 e ( (/2)+iω)t + C 2 e ( (/2) iω)t x(t) = e (/2)t ( C 1 e +iωt + C 2 e iωt) Mit Hilfe der Eulerschen Formel e ±iωt = cos ωt ± i sin ωt, und nch Ausklmmern der sinus und cosinus Terme gewinnt mn schließlich: x(t) = e (/2) (C 1 (cos ωt + i sin ωt) + C 2 (cos ωt i sin ωt) x(t) = e (/2) [(C 1 + C 2 ) cos ωt + i(c 1 C 2 ) sin ωt] Die noch unbeknnten Koeffizienten C 1/2 können jedoch eindeutig us den Anfngs (bzw. Rndbedingungen) bgeleitet werden. Es gilt nämlich x 0 = C 1 + C 2 v 0 = (/2)(C 1 + C 2 ) + iω(c 1 C 2 ) 22

x(t) 1 0.8 0.6 0.4 x(t) exp-term 0.2 0-0.2-0.4-0.6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t Abbildung 6: Lösung der Differentilgleichung 7 für den Fll (/2) 2 < ω 2 0. Die Prmeterwerte sind = 1, ω 2 0 = 25.25 (ds entspricht einem ω von 5). Als Anfngsbedingungen wurde x 0 = 1 und v 0 = 0 gewählt. mn findet lso: C 1 + C 2 = x 0 C 1 C 2 = v 0 + (/2)x 0 iω Setzt mn diese Werte ein, gewinnt mn ls vollständige Lösung: x(t) = e (/2)t [ x 0 cos ωt + v 0 + (/2)x 0 ω sin ωt ] Mn bechte, dß diese Lösung reell, d C 1 C 2 rein imginär ist. Die Lösung ist lso eine Linerkombintion us sinus und cosinus Schwingungen mit der Kreisfrequenz ω, wobei die Amplitude exponentiell gedämpft wird 7. Abbildung 6 zeigt den typischen Verluf dieser Lösung. Flls = 0 ist (keine Reibung) fehlt der dämpfende e Term, und die Schwingung erfolgt mit der Kreisfrequenz ω 0. 2. Fll: (/2) 2 = ω 2 0 (symptotischer Grenzfll) Hier ht die Qudrtische Gleichung 8 nur eine Lösung, d der Rdiknt den Wert Null ht. Wir gewinnen ls eine Lösung lso u 1 (t) = C 1 e (/2)t (10) 7 Es sei nocheinml drn erinnert, dß die Koeffizienten und b der Differentilgleichung positiv sind. Ddurch ist der Exponent der e Funktion lso immer negtiv. 23

D nch Vorrussetzung jedoch positiv und reell ist, beschreibt diese Funktion einen exponentiellen Abfll. Mn sieht jedoch gleich, dß dies noch nicht die llgemeine Lösung sein knn. Ddurch ds nur eine Integrtionskonstnte eingeht, knn 10 nicht beliebigen Anfngsbedingungen ngepsst werden 8. Ttsächlich findet mn ls eine 2. unbhängige Lösung die Funktion u 2 (t) = C 2 t e (/2)t (11) Die llgemeine Lösung wird dmit zu x = u 1 + u 2, und die Koeffizienten C i können wiederum eindeutig durch die Anfngswerte usgedrückt werden. Dmit lutet die vollständige Lösung: x(t) = ( ( x 0 + v 0 + ) ) 2 x 0 t e (/2)t Ihr Verluf ist in Abbildung 7 drgestellt. Je nch Whl der Rndbedingungen knn die Lösung durch die Nulllge schwingen, bevor ds exponentielle Abklingen dominiert. x(t) 1 0.8 0.6 x 0 =1 v 0 =0 x 0 =1 v 0 =-1 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t Abbildung 7: Lösungen der Differentilgleichung 7 für den Fll (/2) 2 = ω 2 0. Die Prmeterwerte sind = 2 und ω 2 0 = 1. Für die volle Linie sind die Anfngswerte x 0 = 1 und v 0 = 0 gewählt worden, wohingegen die gestrichelte Lösung die Anfngsbedingungen x 0 = 1 und v 0 = 1 erfüllt. 3. Fll: (/2) 2 > ω 2 0 (strke Dämpfung) In diesem Fll sind beide Wurzeln reell (und negtiv), die Lösung knn sofort ls x(t) = C 1 e ρ 1t + C 2 e ρ 2t (12) 8 mn findet, dß nur bei x 0 = 2v0 die Anfngswertbedingungen erfüllbr sind 24

geschrieben werden. Die zunächst beliebigen C i hängen mit den Anfngsbedingungen zusmmen: Mn liest b: x 0 = C 1 + C 2 v 0 = C 1 ρ 1 + C 2 ρ 2 C 1 = v 0 x 0 ρ 2 ρ 1 ρ2 C 2 = x 0ρ 1 v 0 ρ 1 ρ 2 In 12 eingesetzt führt dies uf die vollständige Lösung: x(t) 2 0-2 -4 x 0 =1 v 0 =0 x 0 =1 v 0 =-1-6 -8 0 2 4 6 8 10 t Abbildung 8: Lösung der Differentilgleichung 7 für den Fll (/2) 2 < ω 2 0. Die Prmeterwerte sind = 4 und ω 2 0 = 1. Für die durchgezogene Lösung sind die Anfngswerte x 0 = 1 und v 0 = 0 gewählt worden, wohingegen die gestrichelte Lösung die Anfngsbedingungen x 0 = 1 und v 0 = 1 erfüllt. x(t) = v 0 x 0 ρ 2 ρ 1 ρ2 eρ 1t + x 0ρ 1 v 0 e ρ 2t ρ 1 ρ 2 Ds Verhlten dieser Funktion ist im Gegenstz zum 1. Fll (und wie im 2.) periodisch. Ihr Verluf ist in Abbildung 8 für verschiedene Anfngswerte drgestellt. 25

3.4 Die erzwungene Schwingung Wir verllgemeinern nun ds Problem des vorherigen Abschnittes zu einer inhomogenen Gleichung, ws in der physiklischen Interprettion einer erzwungenen Schwingung entspricht. Im Flle einer periodischen Anregung wird mn uf Resonnzphänomene geführt. Ds einfchste Beispiel ist dbei eine hrmonische Anregung (d.h. mittels einer sinus bzw. cosinus förmigen Funktion). Gesucht wird lso die reelle und differenzierbre Funktion x(t), die die Differentilgleichung mẍ + kẋ + Dx = F 0 cos Ω t (13) löst. Zusätzlich werden die Anfngsbedingungen x(0) = x 0 und ẋ(0) = v 0 gefordert. Die Koeffizienten k, D und Ω sollen reell und positiv sein. Im folgenden suchen wir nur eine spezielle Lösung. Die llgemeine Lösung knn wie üblich durch Kombintion mit den homogenen Lösungen gefunden werden. Wiederum bietet sich ein komplexer Anstz n. Wir wählen z(t) = Ae i(ωt φ) (A R). Im homogenen Fll gewinnt mn wie erwäht durch einen komplexen Anstz zwei reelle Lösungen. Im inhomogenen Fll ist offensichtlich nur der Relteil eine Lösung, d wir mit einem reellen Störglied F 0 cos Ωt rbeiten. Es erweist sich jedoch ls günstig, die DGL zu komplexifizieren, indem wir die Inhomogenität durch F 0 e iω t ersetzen. Als Lösungen gewinnen wir m Ende der Rechnung wiederum den Relteil der Funktion z(t). Es gilt nähmlich für eine Lösung z(t) = x(t) + iy(t): m z + kż + Dz = F 0 e iω t (mẍ + kẋ + Dx) + i(mÿ + kẏ + Dy) = F 0 (cos Ω t + i sin Ω t) Rel und Imginärteil der Gleichung müssen übereinstimmen, weshlb der Relteil die gesuchte Lösung unseres Problems ist. Dieser Anstz ist lso vom Typ eines Störgliednstzes, d er der äusseren Anregung entspricht. Allerdings ist im Exponenten eine zusätzliche Phse φ enthlten. Mit nderen Worten erlubt mn, dß die Auslenkung des Systems verzögert zur äusseren Anregung uftritt. Einsetzten unseres Anstzes führt uf die Gleichung: mω 2 + ikω + D = F 0 A eiφ (14) (D mω 2 ) + i(kω) = F 0 A eiφ (15) Zwei komplexe Zhlen stimmen jedoch gerde dnn überein, flls Rel und Imginärteil identisch sind, bzw. Betrg und Phse. Die letzte Gleichung vermischt ber gerde die beiden verschiedenen Drstellungsrten komplexer Zhlen, sodß mn sich erinnern muß, dß für eine beliebige komplexe Zhl z folgende Beziehungen gelten: z = + ib z = 2 + b 2 ( ) b φ = rctn z = z e iφ 26

Drus liest mn b: F 0 A = (D mω 2 ) 2 + (kω) 2 φ = rctn ( kω D mω 2 ) Unsere endgültige Lösung gewinnt mn nun durch Bildung des Relteiles, ws in der e- Drstellung besonders einfch ist. Die spezielle Lösung der Differentilgleichung 13 lutet: x(t) = A(Ω) cos [Ωt φ(ω)] (16) Die Schreibweise A(Ω) und φ(ω) soll betonen, dß es sich bei Amplitude und Phse um Funktionen der Anregungsfrequenz Ω hndelt. Aus den Gleichungen 14 liest mn b: A(Ω) = F 0 (D mω 2 ) 2 + (kω) 2 (17) Die Beziehung für die Phse ist oben schon ngegeben. Hinzukommen die Lösungen der homogenen Gleichung, die wie wir gesehen hben jedoch lle mit t exponentiell bklingen. Deshlb wird für große t die Gleichung 16 unser System beschreiben. Amplitude 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Anregungsfrequenz Abbildung 9: Der Grph der Funktion 17 für verschiedene Werte des Prmeters k ( Dämpfung). 3.4.1 Diskussion der Lösung Betrchten wir zuerst die Amplitude A(Ω). Für Ω 0 nimmt sie den Wert F 0 /D n, und für Ω geht sie gegen Null. Wir suchen ußerdem die Anregungsfrequenz, die 27

zu einer mximlen Amplitude führt. Dies liegt offensichtlich bei einem Minimum des Nenners vor, weshlb wir dessen erste Ableitung untersuchen: d (D mω dω 2 ) 2 + (kω) 2 = 2k2 Ω 4mΩD + 4m 2 Ω 3 2 (D mω 2 ) 2 + (kω) 2 Dessen Nullstelle liegt bei Ω R = D k2. Einige Vereinfchungen bieten sich n: Die m 2m 2 Eigenfrequenz unseres Systems ist beknntlich ω 0 = D. Mn definiert nun ls Güte m des Systems den Ausdruck Q = ω 0m. Die Güte ist umgekehrt proportionl zu dem Energieverlust pro Periode. Dmit lutet die Frequenz für die die Amplitude mximl wird: k Ω R = ω 0 1 1. 2Q 2 Für die Wurzel sind wiederum drei Fälle zu unterscheiden: 1. Fll: k 2 < 2mD Der Rdiknt ist positiv, und es liegt ein Mximum bei Ω R (etws unterhlb der Frequenz ω 0 ) vor. Mn spricht, ds sich ds System in Resonnz befindet. 2. Fll: k 2 > 2mD Der Rdiknt ist negtiv, und somit gibt es keine reelle Nullstelle. Die Amplitudenfunktion fällt monoton b. 3. Fll: k = 0 Ohne einen Dämpfungsterm ht die Funktion sogr einen Pol bei Ω R = ω 0. Mn spricht uch von einer Resonnzktstrophe. Die Abbildung 9 zeigt den typischen Verluf der Amplitude ls Funktion der Anregungsfrequenz in diesen drei Fällen. Die Phse der Funktion 16 ist ebenflls eine Funktion der Frequenz Ω, im llgemeinen schwingt ds Sytem lso zur äußeren Anregung verschoben. Für Ω 0 geht φ dbei gegen Null, und für Ω gegen π. Bei Ω R beträgt der Phsenunterschied gerde π, 2 sodß die Auslenkung 1 Zyklus hinter der Anregung zurück ist. 4 4 Schlussbetrchtungen Wir hben uf den vorngehenden Seiten im Wesentlichen 3 verschiedene DGL diskutiert: y = λy y(x) e λt (18) y + ω 2 y = 0 y(x) sin ωt (19) y + 1 y + ω 2 y = 0 y(x) e 1 2 t (C 1 sin ωt + C 2 cos ωt) flls :( 2 1 4 < ω2 ) (20) Gleichung 18 führte uf eine exponentielle Dämpfung und Gleichung 19 uf eine hrmonische Schwingung. Ds Erste ist chrkteristisch für eine Änderung die proportionl zur betrchteten Grösse selbst ist, ds Zweite für eine Änderung (z.bsp. Auslenkung) 28

die proportionl zur 2. Ableitung (lso Krft) ist. Gleichung 20 kombiniert nun diese beiden Merkmle und führt folgerichtig uf eine exponentiell gedämpfte Schwingung. Ausserdem hben wir inhomogene Gleichungen studiert. In physiklischen Situtionen entspricht dies typischerweise einer äusseren Krft uf ds System. Im Fll einer Schwingungsgleichung spricht mn deshlb von einer erzwungener Schwingung. Eine spezielle Lösung findet mn in der Regel durch einen Anstz der die selbe Struktur wie ds Störglied ht. Die llgemeine Lösung enthält ebenflls die Lösungen der entsprechenden homogenen Gleichung. Ht die betrchtete DGL einen Dämpfungsterm sterben die homogenen Lösungen jedoch rsch us, sodß für grosse Zeiten der Zustnd des Systems durch die Störfunktion gegeben ist. Ist die äussere Anregung periodisch mit einer Frequenz Ω können zusätzlich Resonnzphänomene uftreten. Die Bedingung dfür lutet Ω ω 0 mit ω 0 der Frequenz des ungestörten Systems. 29