Coputational Biology: Bioeletroagnetisus und Bioechani Finite Eleente Methode I
Gliederung Wiederholung Gewöhnliche Differentialgleichungen Finite Eleente Methode Direte Methode Extrealprinzipien Methode von Galerin Forfuntionen Zusaenfassung Seite
Motivation Finite Eleente Methode erlaubt nuerische Berechnung diverser Feldproblee unter Berücsichtigung von Anisotropie Inhoogenität Nichtlinearität Gesucht: Orts-/zeitabhängige Funtion, die Randbedingungen und Anfangswerte erfüllt Bereiche Eletrostati (Quasi-)stationäre eletrische Felder Ausbreitung eletroagnetischer Wellen Teperaturverteilung Kontinuusechani Koerzielle Prograpaete Ansys EMAS... Seite 3
Übersicht über Finite Eleente Methode Matheatische Beschreibung des Feldprobles Aufstellen der Eleentatrix Einbringen von Randbedingungen Aufstellen/Lösen von Gleichungssysteen (Systeatrix) Disretisierung des Feldgebiets Zerlegung in finite Eleente Bestiung der Ansatzfuntion für Eleente Feldfuntion u(x, y, z) Seite 4
Finite Eleente Methode: Erstellung der Eleentatrix Direte Methode Wahl der Integralgleichung Wahl des Eleenttyps und der Ansatzfuntion Eleentfuntion u e (x, y, z) Methode von Galerin Extrealprinzipen Wahl der Differentialgleichung Eleentatrix Seite 5
Direte Methode Wahl von Energie-/Leistungsteren, bspw.: W W e e : = Ú ee dv V gespeicherte eletrische Energie E: eletrische Feldstäre e: Dieletrizitätszahl P L P : L = Ú se dv V eletrische Leistung E: eletrische Feldstäre s: eletrische Leitfähigeit Welast = Ú Ee dv W elast : V Elastische Energie E: Elastizitätodul e: Relative Dehnung Seite 6
Extrealprinzipien: Aufgabenstellung Klassische Randwertaufgabe Ê ˆ Á Ë + Ê ( ) ˆ Á x x y u x y Ë x y u,, V xy, u fxy, y ( ) + ( ) = ( ) c 3 G c c, Œ ( ) f Œ C ( G) Œ ( ) «( ) C G V, u C G C G G = G» C Stetigeitsanforderungen C=c»c»c 3 it Dirichletschen und allgeeinen Cauchyschen Randbedingungen für C bzw. C Seite 7
Extrealprinzipien: Lösung I Mache Ê u u = ( x y) Ê ˆ Á + ( x y) Ê ˆ ˆ Á Á xy u fxy u dxdy G Ë Ë x Ë y - ÚÚ ( ) + ( ),, V,, + Ú a( ) - ( ) C stationär! s u g s u ds Analogie: I ~ Energieter Ableiten nach Freiheitsgraden liefert Kräfte F. Syste i Gleichgewicht für F=. Beweis ittels Variationsrechnung (siehe Schwarz Methode der finiten Eleente, S. 3) Seite 8
Methode von Galerin: Ritz-Ansatz Aufgabe: Bestiung einer Lösungsfuntion u für Differentialgleichungen ausgehend von linear unabhängigen, probleangepassten Funtionen f und Randbedingungen ux c ( ) = f + Â f : f : : = Indiretes Verfahren, d. h., nicht ( ) + ( ) = fux, qux, c f Potentialfuntion, erfüllt inhoogene Randbedingungen u ( x) = c Potentialfuntion, erfüllt hoogene Randbedingungen u ( x) = zu bestiende Koeffizienten u: Potentialfuntion q: Quellter f: Differentialgleichung x: Variable wird gelöst, sondern (Methode der gewichteten Residuen) Seite 9
Methode von Galerin II II Ú Rw dx = Residuu: Rux, fux, qux, Gewichtungsfuntion: ( ) = ( ) + ( ) w( x) Galerins Idee: Setze Gewichtungsfuntion gleich probleangepassten Funtionen ( ) wx Galerin-Methode liefert für lassische Randwertaufgabe gleiche Ergebnisse wie Extrealprinzipien! Ê f Á Á Ëf M ˆ Seite
Beispiel: Ströung einer Flüssigeit Ströung: stationär Flüssigeit: visos/inopressibel Ausgangsgleichungen: - + p Ê u u ˆ Á = (Moentengleichung) x Ë x y - Ê Á + p v v ˆ = y Ë x y u + v = (Kontinuitätsgleichung) x y u,v: Geschwindigeit in x - bzw. y - Richtung : Zähigeit p: Druc Seite
ÚÚ G Bespiel: Grundfuntionen und Einsetzen Linearobinationen der Grundfuntionen: uxy, j xy, u j xy, vxy, y xy, v y xy, pxy, c xy, p c xy, ( ) = ( ) + Â ( ) ( ) = ( ) + Â ( ) ( ) = ( ) + Â ( ) = = q = Einsetzen in Ausgangsgleichung: ÚÚ È q c c Ê ˆ Í + Âp - ÁDf + Â f Î Ë f = u D dxdy j, K, j x = x = È q c c Ê ˆ Í + Âp - ÁDy + Â y v D Î Ë y dxdy j =, K, j y = y = È f f + u + y y Í Â + Âu c j dx dy j =, K, q Î x = x y = y G ÚÚ G Seite
Bespiel: Bedingungsgleichungen nach einigen Uforungen (siehe Schwarz Methode der finiten Eleente S. 54-):  u f f dxdy + p j = G =  v y y dxdy + p j = G =  = u ÚÚ ÚÚ ÚÚ G j j j c x c y f y c j dx dy + Âv ÚÚ c x y q  q  = G ÚÚ G ÚÚ G j f j y dx dy + R = j dx dy + S = dx dy + T = RST,, : Zusaenfassung sonstiger Tere j j j Anschließend: Erstellung der Koeffizientenatrix des Systes Seite 3
Forfuntionen: Motivation Feldgrößen sind zueist nur an Knotenpunten beannt Berechnung von Flächen-/Voluenintegralen erfordert Interpolation der Feldgrößen über Fläche/Voluen Uwandlung von Koordinatensysteen Natürliche Koordinaten Weltoordinaten u u u(x,y,z)? u 3 u Seite 4
r ux K- = r un x ( ) = Â ( ) Interpolation zueist it Polynoen Anforderung an Forfuntion Forfuntionen u: Ansatzfuntion in Abhängigeit von Ortsvariable r x: Ortsvariable u: Feldvariable a - ten Knotenpunt N : Forfuntion in Abhängigeit von Ortsvariable r N x ( ) = Ï Ì Ó an Position von Knotenpunt an Position von Knotenpunt j, jπ Seite 5
Herleitung Forfuntionen: Natürliche Koordinaten i i Dreiec r N x i ( ) = r Fx i ( ) r Fx 3 Â j = j ( ) P F P F 3 P 3 F r r r N x N x N x ( ) + ( ) + ( ) = 3 P r N x ( ) = Ï Ì Ó an Position von P an Position von P, jπ j Seite 6
Forfuntionen D: Linear Interpolation ( ) = + ux a bx.8 N N ( ) = ( -x) ( ) = x ( ) = ( - ) + N x N x ux xu xu u: Feldvariable in Abhängigeit von Ortsvariable x: Ortsvariable u, u : Feldvariable an Knotenpunt bzw..6.4...4.6.8 u u Seite 7
Berechnung einer Forfuntion: Beispiel Linearer Ansatz D ( ) = + ux a bx Einsetzen an Knotenpunten ( ) = + = fi = ( ) = + = fi + = u a bx u a u u a bx u a b u Lineares Gleichungssyste, Invertieren A A a u a = Ê A u A Ë Á ˆ Ê Á ˆ = Ê Ëb Ë Á ˆ fi Ê u Ë Á ˆ Ê ˆ = Á b Ëu = Ê ˆ - - : it Á Ë - Forfuntion ux ( ) = u + (- u + u ) x = ( -x) u + xu Seite 8
Forfuntionen D: Quadratische Interpolation ( ) = + + ux a bx cx ( ) = ( - )( - ) ( ) = ( - ) ( ) = - ( - ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) N x x x N x 4x x N x x x ux N xu N x u N x u.8.6.4. N N N 3..4.6.8 x: Ortsvariable u, u, u : Feldvariable an Knotenpunt der Position,.5 bzw. u u u Seite 9
Forfuntionen D: D: Kubische Interpolation it it Steigung in in Knotenpunten ( ) = + + + 3 ( ) = ( - ) ( + ) ( ) = ( - ) ( ) = ( - ) 3 ( ) = - ( - ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ux a bx cx dx N x x x N x x x N x x 3 x N x x x ux N xu N xu N x u N x u 3 x: Ortsvariable u,u : Feldvariable an Knotenpunt bzw. u,u: Ableitung der Feldvariable an Knotenpunt bzw..8 N N.6.4. N..4.6.8 N 3 u / u u / u Seite
Forfuntionen D: D: quadratisches Grundgebiet, bilineare Interpolation ( ) = + + + uxy, a bx cy dxy N 3 ( ) = ( - )( - ).75.5 ( ) = ( - ).5 ( ) = ( -x) y 3 ( ) = xy ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) N x, y x y N x, y x y N x, y N x, y uxy, N xy, u N xy, u N xy, u N xy, u. 3 3 x,y: Ortsvariablen.4 x u.6.8.4. u.8.6 y u,u,u,u: Feldvariable an Knotenpunt (,), 3 (,), (,) bzw. (,) u u 3 Seite
Forfuntionen D: D: quadratisches Grundgebiet, quadratische Interpolation ( ) = + + + + + + + ux, y a bx cy dxy ex fy gx y hxy N ( ) = ( - )( - )( - - ) ( ) = - ( - )( - + ) ( ) = ( - - ) N x, y x y x y N x, y x y x y N x, y xy 3 x y K ( ) = Â ( ) uxy, N xy, 7 = u.75.5.5 -.5 x,y: Ortsvariablen u -u: 7 Feldvariable an Knotenpunt (,),(.5,) - (,)..4 x.6 u u 7 u 3.8 u 4 u 6.4. u u 5 u.8.6 y Seite
Forfuntionen 3D: ubisches Grundgebiet, trilineare Interpolation ( ) = + + + + + + + uxyz,, a bx cy dz exy fyz gxz hxyz ( ) = ( - )( - )( - ) N x, y, z x y z M u u 4 u u 5 ( ) = N x, y, z 7 xyz ( ) = Â ( ) uxyz,, N x, y, z 7 = u x, yz, : Ortsvariablen u u 6 u 3 u 7 u -u: 7 Feldvariable an Knotenpunt (,,) - (,,) Seite 3
Forfuntionen 3D: ubisches Grundgebiet, trilineare Interpolation z= z=.5 z= ubischer Hexaeder it Länge N x, y, z xyz 7 ( ) = Seite 4
Zusaenfassung Wiederholung Gewöhnliche Differentialgleichungen Finite Eleente Methode Direte Methode Extrealprinzipien Methode von Galerin Forfuntionen Seite 5