MaMaEuSch Maagemet Mathematics for Europea Schools http://www.mathematik.uikl.de/~mamaeusch/ Das eue Fließbad der Auto AG Silvia Schwarze 2 Horst W. Hamacher 3 Diese Veröffetlichug ist Teil des Buchprojektes Mathematik ud Ökoomie, das durch die BertelsmaStiftug uterstützt wird. Das Projekt MaMaEuSch wurde veröffetlicht mit Uterstützug durch die EU mittels eier teilweise Förderug im Rahme des Sokrates Programms. Der Ihalt des Projektes reflektiert icht otwedigerweise de Stadpukt der EU, och uterliegt es irgedeier Veratwortug seites der EU. Dieser Text ist Teil eies och icht fertiggestellte Buchprojektes, bitte etschuldige Sie die uvollstädige Kapitelummerierug. 2 Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik 3 Uiversität Kaiserslauter, Fachbereich Mathematik
2 KAPITEL X: Das eue Fließbad der Auto AG Stichwörter der Ökoomie - Arbeitsgag - Arbeitsstatioe - Auslastug - Badwirkugsgrad - Bearbeitugszeit - Fließbadfertigug - Produktiosmege - Tagesausstoß - Taktzeit Stichwörter der Schulmathematik - Biomialkoeffiziet - expoetielles Wachstum - Fakultät - Fuktioe, ~schar - Gleichseitige Hyperbel - Idexverschiebug - Kombiatorik - Kostate - Nullstelle - Parameter - Pascalsches Dreieck - Permutatio - Potezmege - Sprugstelle - Stichprobe, geordete/ugeordete - Teilmege - Umgekehrt proportioal - Ugerade Fuktio - Zulässige/optimale Lösug Leitfade für das X. Kapitel Das vorliegede Kapitel beschreibt die Plaugsvorgäge i der Fließbadfertigug ahad eies Beispiels aus der Autoidustrie. Produktiosplaug beihaltet immer auch kombiatorische Aufgabe. So beschreibt der erste Abschitt die Etstehug eier kombiatorische Fragestellug aus der ökoomische Awedug heraus. Im folgede zweite Abschitt wird die geschilderte Problematik auf mathematischem Gebiet erfasst, eue Begriffe werde hergeleitet. Die Utersuchuge bleibe währeddesse ahe a der wirtschaftliche Awedug. Der dritte Abschitt geht sehr ausführlich auf de Zusammehag zwische Biomialkoeffiziete ud dem Pascalsche Dreieck ei. Dabei stehe vor allem techische Aspekte im Vordergrud. Für de iteressierte Leser wurde hier zwei mathematische Beweise eigefügt. Der vierte Abschitt erklärt kurz das expoetielle Wachstum vo Fuktioe. A dieser Stelle wird ereut die Verbidug zwische Theorie ud Praxis
3 geküpft. Expoetielles Wachstum vo reale Aufgabe ist häufig veratwortlich für Schwierigkeite beim Umgag mit diese Aufgabe ud köe zum Versage der Lösugsalgorithme führe. Der füfte Abschitt wedet sich da wieder vollkomme der Produktiosplaug zu. Verschiedee Fachbegriffe aus der Fertigug werde eigeführt. Kezahle ud Diagramme diee als Hilfsmittel auf der Suche ach eiem Lösugsweg. Im abschließede sechste Abschitt wird das Problem der gazzahlige Lösuge besproche. Sie erschwert die eigags behadelte Fragestellug. Mittels Algorithme ka ma im gewählte Beispiel damit umgehe ud Lösuge fide. Der Prozess des mathematische Modellieres ist vielschichtig ud i der Praxis immer wieder mit Rückschläge behaftet. Das vorliegede Kapitel soll diese Vorgag beschreibe, soweit das i der gegebee Kürze möglich ist. Ausgehed vo der reale Aufgabestellug wird das Problem mit bekate oder eu erschlossee mathematische Methode formalisiert. Die gefudee Lösugsasätze müsse immer wieder durch Rückführug auf die Awedug erprobt werde. Dabei köe Schwäche i der Modellierug deutlich werde, möglicherweise werde eue Asätze gewählt. Am Ede des Modellierugsprozesses steht eie Lösug, die dem Kude präsetiert wird. I der Realität gibt ma sich oft, auch aus zeitliche Grüde, mit eier Kompromisslösug zufriede. Dieses Kapitel schließt, icht zuletzt um de Schüler ei Erfolgserlebis zu vermittel, mit eier zufriedestellede Lösug, die aber trotzdem weiterführede Fragestelluge offe lässt. X. Aruf bei der Auto AG Auch we es auf de erste Blick kaum daach aussieht, aber alle vier Kollege des Clever Cosultig Teams widme sich gerade ihrer Arbeit. Oliver steht mit eier Kaffeetasse zwei Türe weiter ud uterhält sich gerade über de eueste Star Trek Film; währed Nadie lage Liste schreibt, auf dee sich Eiträge wie Haselüsse, brauer Zucker ud Aubergie befide. Sebastia blättert im Iteret bei eiem Buch-, CD- ud Software-Versad ud hat offesichtlich ur die Seite mit de Import-CDs im Blick; uterdesse Selia am Telefo mit eiem Autohädler die aktuelle Sportwagemodelle bespricht. Selia: So, ich habe jetzt eiiges über die Produktio i der Auto AG ud über die geplate eue Produktiosliie erfahre. Nadie: Das klag aber eher, als wolltest du dir ei eues Auto kaufe. Selia: Das stimmt auch! Ud zwar eie schicke, azurblaue Sportwage! Dabei kam ich mit dem Autohädler is Plauder. Zufälligerweise war der Produktiosleiter der Auto AG gerade bei ihm zu Besuch. So erfuhr ich, dass demächst ei eues Sportwagemodell produziert werde soll, wofür die Auto AG ei eues Fließbad i Betrieb ehme möchte. Natürlich habe ich erwäht, dass wir Experte auf dem Gebiet der Produktiosplaug sid. Nadie: Was sid wir? Selia: Na, sieh es icht so eg! Gaz ahugslos sid wir icht, dek eimal a die Zusammearbeit mit der Firma SchokoLeb. Außerdem habe wir us immer schell i Themegebiete eigearbeitet. Es hat sich jedefalls geloht, ei bissche zu prahle, de am Ede kam der Produktiosleiter persölich a das Telefo! Sebastia: Hat er dir eifach so Firmeitera erzählt? Das sid doch sicherlich wichtige Iformatioe, die ma icht jedem sagt. Du hättest ja auch für die Kokurrez arbeite köe! Selia: Na, ei bissche überrede musste ich de Produktiosleiter scho. Ich habe ihm erzählt, wer wir sid ud a welche Projekte wir bereits gearbeitet habe. Es hat ih wohl beruhigt zu
4 höre, dass wir i der Vergageheit mit adere Firme erfolgreich zusammegearbeitet habe. Ich habe ihm agebote, dass wir eie Vorschlag für die Plaug des Fließbades ausarbeite werde. Nadie: Natürlich uverbidlich für ih, ehme ich a? Selia: Aders hätte ich ih icht überzeuge köe. Aber das ist eie große Chace. We ma i der Auto AG zufriede mit us ist, wird ma us bestimmt weitere Projekte avertraue, ud du kast dir gar icht vorstelle, was da alles geplat werde muss! Oliver: Jetzt erzähl doch edlich eimal vo dem eue Fließbad! Selia berichtet ihre Kollege sehr detailliert vo dem Telefoat mit Herr Wieder, dem Produktiosleiter der Auto AG. Das Uterehme plat, ei eues moderes Fließbad i Betrieb zu ehme. Produziert wird ei eues Sportwagemodell. Die Produktio eies Wages ist i elf Teilschritte, sogeate Arbeitsgäge zerlegt. Die Auto AG weiß, wie lage die eizele Arbeitsgäge auf de Maschie dauer werde. Diese Zeitdauer et ma die Bearbeitugszeit eies Arbeitsgages. Alle Arbeitsgäge werde etlag eies Fließbades abgearbeitet, das heißt etlag des Fließbades stehe Statioe, a dee die Arbeitsgäge erledigt werde. Nadie: Aha, für die elf Arbeitsgäge gibt es also elf Statioe am Fließbad. Selia: Nei, so eifach ist es icht. Mache der Arbeitsgäge dauer sehr lage, mache sid sehr kurz. Das Fließbad muss a jeder Statio ahalte ud solage stehe bleibe, bis alle Statioe ihre Arbeite abgeschlosse habe. Die Igeieure vo Auto AG ee das die Taktzeit des Fließbades. A dieser Stelle wolle wir das Gespräch bei Clever Cosultig kurz verlasse ud us das gerade Besprochee eimal veraschauliche. Es gibt also elf Arbeitsgäge, die hitereiader bearbeitet werde solle: 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Abbildug X. Elf Arbeitsgäge sid für die Erstellug des Sportwages ötig. Die Läge der Blöcke zeigt die Bearbeitugszeit der Arbeitsgäge Würde für jede Arbeitsgag eie Statio am Fließbad eigerichtet werde, da köte elf Sportwage gleichzeitig auf dem Fließbad stehe, a jeder Statio eier. Das Fließbad stoppt a de Statioe ud läuft erst da weiter, we alle Statioe ihre Arbeit erledigt habe. Das würde bedeute, die Taktzeit wäre geau so lag, wie die Bearbeitugszeit des lägste Arbeitsgages. Selia ist im Gespräch gleich aufgefalle, dass das keie sehr gute Idee ist. Mache der Arbeitsgäge sid ämlich sehr kurz, z.b. Arbeitsgag 3. A der zugehörige Statio wäre ma viel scheller mit der Arbeit fertig als bei Arbeitsgag 8. Die Statio wäre also icht gut ausgelastet, der Arbeiter a dieser Statio hätte eie lage Wartezeit zwische zwei
5 Arbeitsgäge. Das gefällt atürlich der Uterehmesleitug überhaupt icht. Eierseits koste der Arbeiter ud die Maschie viel Geld, beides sollte icht ugeutzt stehe. Adererseits wäre es ja auch sehr ugerecht, we der Arbeiter auf Statio 3 städig Pause mache köte, währed Nummer 8 ohe Uterbrechuge arbeite müsste. Dass dies keie gute Lösug ist, ist leicht zu erkee. Was ka ma jedoch dagege uterehme? Oft ist die aheliegede Lösug auch die beste: Statioe, die icht geug ausgelastet sid, werde eifach mit weitere Arbeitsgäge belegt. Am Ede möchte ma, dass die Arbeit gerecht auf die Statioe verteilt ist. Lässt sich der Begriff gerecht de überhaupt mathematisch fasse? Um das kläre zu köe, muss ma sich überlege, was ma mit eier gerechte Aufteilug meit. Im allgemeie Sprachgebrauch bedeutet gerecht, dass jedem das Gleiche zusteht. Ob das u ei gleich großes Stück vom Kuche ist oder die gleiche Belastug mit Arbeit, ist gleichgültig. I userem Fall wäre also eie gleichmäßige Verteilug der Arbeitsgäge auf die Statioe wüscheswert. Da würde keie Statio darauf warte müsse, dass eie adere fertig wird. Die Statioe wäre besser ausgelastet ud die Taktzeit wäre kurz. A dieser Stelle wolle wir us wieder i das Gespräch der Clever Cosultig eischalte. Oliver: O.K., das habe ich verstade, wir müsse die Arbeitsgäge gruppiere, ud zwar möglichst so, dass die Bearbeitugszeite der eizele Statioe die gleiche Dauer habe ( Ü.X.). Dabei wird die Azahl der Statioe atürlich kleier als elf sei. Wie viele Statioe solle es de werde? Selia: Na, das wüsste die Auto AG ja gere vo us! Nadie: Lagsam! Das geht mir scho wieder viel zu schell!. Ist es de überhaupt immer möglich, dass ma die Arbeitsgäge so gruppiert, dass alle Statioe gleich ausgelastet sid? Sebastia: Hm, lass mich eimal überlege. Bei elf Arbeitsgäge sieht ma das icht so schell. Da muss ma relativ viele Möglichkeite durchprobiere. Nehme wir stattdesse ei eifacheres Beispiel: We wir ur zwei Arbeitsgäge hätte, sage wir, eie mit zwei Stude ud eie mit drei Stude Bearbeitugszeit, da ka ma die zwei Statioe gar icht gleich auslaste! Statio Statio 2 Oliver: Es sei de, ma bildet ur eie Statio, die beide Arbeitsgäge ethält ud füf Stude Bearbeitugszeit beötigt. Nadie: Na gut, damit macht ma es sich eifach. We ma ur eie Statio mit alle Arbeitsgäge bildet, da wird es keie Wartezeite a Statioe gebe. Das ist allerdigs keie gute Lösug. Ma köte i diesem Fall jeweils ur ei Auto auf dem gaze Fließbad stehe habe. Oliver: Das wäre da eher ei Stehbad als ei Fließbad...
6 Sebastia: Also gut, halte wir fest: Abgesehe vo der eifache Lösug, ur eie Statio zu bilde, muss es icht sei, dass es eie Lösug gibt, bei der alle Statioe gleich ausgelastet sid. Wir sollte also ach eier Lösug suche, bei der die Statioe möglichst gut ausgelastet sid. I dem Pukt sid sich alle vier eiig. Was u geau möglichst gut bedeutet ud wie ma möglichst gut mathematisch formuliert, darüber wird sich die Gruppe später Gedake mache müsse. Im weitere Gespräch erzählt Selia ihre Kollege och ei wichtiges Detail: Selia: Weil das Auto z.b. erst lackiert werde darf, we die Karosserie verschweißt wurde, ist es otwedig, die eizele Arbeitsgäge zu sortiere. Die Reihefolge der Arbeitsgäge ist für de Sportwage daher durch techische Voraussetzuge festgelegt. So müsse wir us zumidest darum keie Gedake mache, de diese Sortierug hat bereits die Techische Abteilug der Auto AG erstellt. Oliver: Mache es diese Vorgabe für us icht schwerer? Immerhi müsse wir deswege bei userer Plaug sehr aufpasse, dass die Reihefolge icht verädert wird. Sebastia: Nei, im Gegeteil! Es wird für us leichter gemacht, de wäre die Produktiosreihefolge icht festgelegt, müsste wir alle mögliche Reihefolge utersuche, um die beste herauszufide. Da gäbe es viel mehr Fälle zu utersuche. Wir sollte also froh sei ( Ü.X.2). Übugsaufgabe Ü.X. Gruppiere Sie die folgede Bearbeitugszeite uter Beibehaltug der Reihefolge auf zwei verschiedee Arte, sodass alle Statioe gleich ausgelastet sid: 3, 4, 5, 2, 7, 5,,. Bitte beachte Sie: We Sie eie Lösug gefude habe, sollte Sie sich diese geau asehe. Ü.X.2 Gruppiere Sie die folgede Bearbeitugszeite auf midestes zwei verschiedee Arte, sodass alle Statioe gleich ausgelastet sid. Dabei darf die Azahl der Statioe beliebig gewählt werde. Im Gegesatz zur Aufgabe Ü.X. darf die Reihefolge der Arbeitsgäge verädert werde. Bearbeitugszeite:,, 2, 2, 3, 3, 4, 4 X.2 Wie viel ist viel? Oliver: Wie viele Möglichkeite vo Gruppieruge gibt es eigetlich? Ageomme, das wäre eie überschaubare Mege, da köte wir ei Computerprogramm schreibe, dass alle Möglichkeite durchgeht ud us die beste Lösug als Ergebis liefert. Selia: Oh ei, solle wir jetzt alle Möglichkeite aufschreibe ud da durchzähle? Ohe mich! Nadie: Nei, atürlich icht. So etwas muss ma sich doch auch logisch erarbeite köe. Außerdem, we wir das auf diese Weise durchführe, wisse wir ur die Lösug für user Problem mit elf Arbeitsgäge. Es wäre schö, we wir ei Ergebis für jede dekbare Zahl vo Arbeitsgäge ermittel köte, also i Abhägigkeit vo eier Zahl, die für die Azahl der Arbeitsgäge steht. Oliver: Am beste zeiche wir us die Arbeitsgäge eimal auf. We ma das Problem vor Auge hat, fällt eiem leichter etwas dazu ei. Nadie: Bitteschö, hier ist Schmierpapier.
7 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Nadie: We wir jetzt eie Eiteilug i Statioe vorehme, muss diese Reihefolge erhalte bleibe, oder? Sebastia: So ist es. Nadie: Gut, d.h., wir köe hier auf dem Zettel Statioe bilde, idem wir Striche zwische die Arbeitsgäge ziehe. Das geht schell ud ma muss icht städig die Zahle eu schreibe. Ich ka zum Beispiel drei Statioe bilde, idem ich zwei Striche ziehe: 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Nadie: Aufs Geratewohl habe ich die Statioe [, 2], [3, 4, 5, 6] ud [7, 8, 9, 0, ] gebildet. Ob das eie gute Lösug ist, spielt zuächst keie Rolle. Wir wolle ur sehe, wie viele Möglichkeite, Statioe zu bilde, wir überhaupt habe. Sebastia: Jetzt müsse wir ur och herausfide, wie viele Möglichkeite es gibt, zwei Striche zwische de Arbeitsgäge zu platziere. Da wisse wir, wie viele Möglichkeite es gibt, die Arbeitsgäge i drei Statioe zu teile ( Ü.X.3). Oliver: Geau! Eie ausgezeichete Idee! Das mache wir aschließed für alle mögliche Azahle vo Statioe, also vo eis bis elf, da habe wir s geschafft! Wie viele Möglichkeite gibt es, die zwei Striche zu platziere? Sebastia: Ich ka mich dukel a eie Formel erier, die wir im Studium verwedet hatte. Mit der kote ma erreche, wie viele Möglichkeite es gibt, k Elemete aus eier Mege vo Elemete zu etehme. Nadie: Ah, ich glaube, ich weiß, was du meist. Es ate sich k aus ud hatte etwas mit Stichprobe zu tu. Wichtig war außerdem, dass für die etommee Elemete die Reihefolge keie Rolle spielt. Selia: I userem Fall müsste wir also 2 aus 0 bilde, die Azahl der Möglichkeite, zwei Striche aus zeh Möglichkeite auszuwähle. Sebastia holt seie alte Formelsammlug hervor, um ach der geaue Defiitio zu suche. I der Zwischezeit wolle wir us mit der Defiitio vo k aus beschäftige: Wir stelle us folgede Frage: Wie viele Möglichkeite gibt es, k-elemetige Teilmege aus eier -elemetige Mege zu bilde, we die Reihefolge ierhalb der Teilmege keie Rolle spielt ud Elemete icht mehrfach beutzt werde dürfe? Abbildug X.2 illustriert diese Vorgag mit k = 6 ud = 8.
8 7 3 0 3 2 2 4 8 4 5 6 7 5 8 9 6 9 2 8 4 2 Abbildug X.2 Aus 8 Elemete werde sechs etomme, ohe die Reihefolge der Etahme zu berücksichtige ud ohe Wiederholuge Ugeordete Stichprobe ohe Zurücklege Die Azahl der Möglichkeite, aus Elemete eie k-elemetige ugeordete Stichprobe ohe Zurücklege zu etehme, beträgt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2! = =. k k k 2 2 k k 2 k! ( k)! k spricht ma: k aus. Diese Darstellug ist eie übliche Abkürzug für k die obe dargestellte Formel. Ma et diese Wert auch de Biomialkoeffiziete. Was habe die Ausrufezeiche im Biomialkoeffiziete zu bedeute?!, die Fakultät vo, ist eie geläufige Abkürzug für das Produkt der Zahle vo bis. Es gilt also:! = 2 3 ( 2) ( ). Ma spricht: Fakultät. Der Begriff der Fakultät ist ur für ichtegative gaze Zahle defiiert. Für = 0 gilt: 0! =. Damit ma sich zur Berechug der Fakultät besoders bei große icht die Figer wud tippe muss, habe viele Tascherecher diese Fuktio fest eigebaut. Warum ist der Biomialkoeffiziet gerade so defiiert?
9 Zuerst wolle wir herausfide, wie viele Möglichkeite es gibt, k Elemete aus Elemete zu etehme, we die Reihefolge der Etahme wichtig ist. Wir utersuche also die Azahl der geordete Stichprobe. Das bedeutet, dass z.b. die Kombiatioe, 2, 3 ud 2, 3, zu uterscheide sid ud eizel gezählt werde müsse. Für die erste Etahme gibt es Möglichkeite, da jedes der Elemete etomme werde ka. Bei der zweite Etahme stehe och Elemete zur Auswahl. Es gibt also - Möglichkeite. Mit jeder weitere Etahme verrigert sich die Mege der zur Auswahl stehede Elemete ud damit die Azahl der Möglichkeite um Eis. Bei der k-te Etahme stehe och k + Möglichkeite offe. Die Azahl der Möglichkeite, die bei k Züge auftrete köe, ergebe sich aus der Multiplikatio der Azahl der Möglichkeite i de eizele Züge. Das bedeutet, die Azahl der Möglichkeite, k aus Elemete mit Beachtug der Reihefolge zu wähle, beträgt ( ) ( 2) ( ) k + k +. Zählt ma die Möglichkeite eier geordete Stichprobe, erhält ma eie viel höhere Wert als bei eier ugeordete Stichprobe, da die Reihefolge eie Rolle spielt ud damit alle Möglichkeite, die etommee Elemete azuorde, mitgezählt werde. Eie Mege vo k Elemete lässt sich auf k! verschiedee Arte aorde, ma spricht hier vo Permutatioe. Das ka ma leicht achvollziehe, we ma sich vorstellt, dass ma aus eier Mege vo k Elemete alle, also k, etimmt, wobei die Reihefolge der Etahme wichtig ist. Nach der gerade etwickelte Azahlformel gibt es dafür ( ) k k 2 = k! Möglichkeite. Beim Etehme mit Berücksichtigug der Reihefolge habe wir jede ugeordete Stichprobe k! mal gezählt. Der Biomialkoeffiziet ergibt sich also als ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k + k + k k 2! = = = k k 2 k! k k 2 k! k! k ( Ü.X.4). I der Zwischezeit hat Sebastia die Erkläruge zum Biomialkoeffiziete i seie Uterlage gefude. Die vier Kollege versuche u herauszufide, ob der Biomialkoeffiziet für ihre Aufgabestellug tauglich ist. Sebastia: Also: Wir habe zeh Stelle, a dee Striche stehe köe. Zwei Striche möchte ich positioiere. Das heißt, ich suche mir aus de zeh Stelle zwei aus. Das ist geauso, als würde ich eie 2-elemetige ugeordete Stichprobe ohe Zurücklege bilde. Ohe Zurücklege, weil a jeder Stelle selbstverstädlich ur eimal ei Strich gezoge werde ka, jede Positio daher auch ur eimal i der Stichprobe auftauche darf. Selia: Ja, aber wieso ugeordet? Gerade habe wir doch och gesagt, die Reihefolge der Arbeitsgäge ist wichtig ud jetzt plötzlich icht mehr? Ich verstehe gar ichts mehr! Sebastia: Ugeordet heißt ja ur, dass es egal ist, ob eie Teilmege [, 2, 3] heißt oder [2,, 3]. I diesem Zusammehag ist es uwichtig, ob ich für die Striche die zweite ud die sechste Stelle aussuche oder die sechste ud die zweite. Verstehst du, was ich meie? Selia: Ich glaube, darüber muss ich och eimal achdeke. Aber mach erst eimal weiter. Nadie: Ich werde gleich mit dem Tascherecher ausreche, wie viele Möglichkeite es für zwei Striche gibt.
0 Währed Nadie die Zahle i de Tascherecher tippt, sehe wir us ebefalls die Berechug a. 0 0! 0! 0 9 2 3628800 = = 45 2 = = = 2! (0 2)! 2! 8! 2 8 7 2 2 40320 Nadie: Es gibt 45 verschiedee Möglichkeite, zwei Striche a zeh Stelle zu platziere. Oliver: Oder aders gesagt: Es gibt 45 Möglichkeite, drei Statioe aus elf Arbeitsgäge zu bilde ( Ü.X.5). Selia: Ich bi beeidruckt. So eifach ist das. Na gut, ud das müsse wir zehmal mache ud die Ergebisse addiere? Sebastia: Wir müsse das sogar elfmal mache! Es köe ull bis zeh Striche platziert werde! Das macht elf Berechuge. Selia: Was? Du machst mich gaz verrückt mit deie Idee. Was heißt ull Striche platziere? So ei Blödsi! Sebastia: Nei, überlege doch erst eimal! Null Striche heißt, dass ma icht uterteilt, also ur eie Statio bildet. Die muss da alle Arbeitsgäge ethalte ud es gibt auch ur eie Möglichkeit, so eie Statio zu bilde. Trotzdem muss ma diese Möglichkeit berücksichtige. Nadie: Okay, lagsam. Wir sollte das vielleicht erst als Formel aufschreibe, sost verliere ich de Überblick. Wir habe Arbeitsgäge ud wolle k Statioe bilde, korrekt? Selia: Korrekt. Nadie: Gut, da weiter. Um k Statioe zu bilde, brauche ich k Striche. Diese ka ich auf Stelle positioiere. Also reche ich k aus. Währeddesse hat Nadie folgede Formel zu Papier gebracht:... Azahl Arbeitsgäge k... Azahl Statioe Die Azahl der Möglichkeite, k Statioe zu bilde, beträgt k. Nadie: Ud u fasse wir vo diese Biomialkoeffiziete zusamme. Wir müsse für k = bis k = diese Werte erreche ud addiere. Der erste Summad steht für k =, also für eie Statio bilde, bzw. für ull Striche ziehe. Der zweite Summad steht für zwei Statioe bilde usw.
Azahl der Möglichkeite Statioe für Arbeitsgäge zu bilde: + + + + 0 2. Selia: Schö sieht sie aus, deie Summe! Aber ma muss sehr viel i de Tascherecher eitippe, bis ma die Lösug hat. Würde mich icht wuder, we ich mich dabei städig vertippe ( Ü.X.6). Sebastia: Es steht sicherlich och mehr i meie Aufzeichuge vom Studium. Machmal ka ma solche Formel vereifache, vielleicht fide ich was. Oliver: Für heute habe ich jedefalls geug Biomialkoeffiziete gesehe. Ich werde jetzt heimgehe. Selia: Gute Idee. Da bis morge! Währed die Experte vo Clever Cosultig de Heimweg atrete, wolle wir us geauer asehe, ob ma diese Summeformel wirklich och vereifache ka. Übugsaufgabe Ü.X.3 Wie viele Möglichkeite gibt es, vier Statioe bei siebe Arbeitsgäge zu bilde? Stelle Sie alle Statioe durch Striche zwische Zahle dar. Ü.X.4 Gegebe sei die Mege {, 2, 3, 4, 5}. a) Bilde Sie alle geordete Stichprobe 3 aus 5. Wie viele sid es? b) Bilde Sie u alle Möglichkeite für eie geordete Stichprobe 3 aus 3. Wie viele sid es? c) Bilde Sie alle ugeordete Stichprobe 3 aus 5. Wie viele sid es? Tipp: Bilde Sie i b) ud c) icht eu, soder wähle Sie geschickt aus a) aus. d) Bereche Sie die Azahl der ugeordete Stichprobe 3 aus 5 als Quotiete der Ergebisse vo a) ud b) ud mit Hilfe der Biomialkoeffiziete. Ü.X.5.a) Überprüfe Sie Ihr Ergebis aus Ü.X.3 mit Hilfe vo Biomialkoeffiziete. b) Bereche Sie folgede Biomialkoeffiziete: 5 47 47 9 0 8 9 4 6 9,,,,,,,,, 3 0 47 4 6 4 0 2 2 5 Ü.X.6 Wie viele Möglichkeite gibt es, Statioe bei siebe Arbeitsgäge (also eis bis siebe Statioe) zu bilde? X.3 Biomialkoeffiziete ud das Pascalsche Dreieck Das Pascalsche Dreieck Um de Biomialkoeffiziete äher kee zu lere, hole wir etwas weiter aus ud gehe zurück i der Mathematikgeschichte. Wir blicke i das 7. Jahrhudert, als i Frakreich der Mathematiker, Theologe ud Philosoph Blaise Pascal (623-662) lebte. Ihm wird das sogeate Pascalsche Dreieck zugeschriebe, das wir us u geauer asehe wolle.
2 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 20 5 6 7 2 35 35 2 7 Abbildug X.3 Pascalsches Dreieck Die obige Abbildug zeigt ei Pascalsches Dreieck. Was fällt bei diesem Dreieck auf? Nu, erst eimal ist es symmetrisch zu eier sekrechte Spiegelachse. Weiterhi sid der like ud der rechte Rad der Pyramide gesäumt vo Eise. We ma etwas geauer hischaut, wird eiem vielleicht auffalle, dass direkt uterhalb der Eise, etlag des Seiterades, sich die Folge der atürliche Zahle zeigt, also, 2, 3, 4,.... Wie bildet ma dieses Dreieck ud was hat es damit auf sich? Das Pascalsche Dreieck wird tatsächlich ach eier Recheregel gebildet ud ma ka es um beliebig viele Zeile erweiter. Das Bildugsgesetz lautet: Jeder Eitrag des Dreiecks ergibt sich aus der Summe der Eiträge, die i der vorige Zeile schräg über dem Eitrag stehe. Zur Veraschaulichug soll das Bildugsgesetz am Beispiel vorgeführt ud daach i eier mathematische Schreibweise dargestellt werde. 2 3 3 4 6 = 3+ 3 Abbildug X.4 Beispiel für das Bildugsgesetz des Pascalsche Dreiecks Im Weitere ist zu beachte, dass die Nummerierug der Zeile ud Zeileelemete im Pascalsche Dreieck jeweils bei Null begit. Wie ma sehe ka, ergibt sich das zweite Elemet der vierte Zeile, idem die beide direkt darüber ageordete Elemete addiert werde. Bei der Berechug des ullte ud letzte Elemets jeder Zeile stellt ma sich vor, dass a der leere Stelle darüber eie Null steht. Damit ist auch scho das erste Rätsel gelöst: a de Räder des Dreiecks köe sich immer ur Eise bilde, de es ergibt sich für diese Elemete immer wieder: + 0 = ( Ü.X.7).
3 2 3 3 0 4 6 4 Abbildug X.5 Bildug der Radelemete des Pascalsche Dreiecks Wie ageküdigt folgt die mathematische Schreibweise dieser Recheregel: Bildugsregel zur Erzeugug eies Pascalsche Dreiecks Das k-te Elemet der -te Zeile im Dreieck sei d k. Da gilt: d = d + d d k, k, k 00 0 = d = ; d = für alle. ( Ü.X.8) Die zweite Bedigug dieser Formulierug ist otwedig, um das Dreieck zu iitialisiere, d.h. dem Dreieck eie Start zu ermögliche. Ebeso stehe die beide Bediguge i der dritte Zeile für die Iitialisierug der eizele Zeile. Diese drei Bediguge sid otwedig, da die Bildugsregel sost auf Elemete zugreife würde, die es icht gibt. Bei der obige Formulierug ist darauf zu achte, dass beim Zähle der Zeile ud Zeileelemete jeweils mit Null begoe wird. Was hat das Pascalsche Dreieck mit dem Biomialkoeffiziete zu tu? Das Besodere am Pascalsche Dreieck ist: Jedes Elemet des Dreiecks ist ei Biomialkoeffiziet! Das Elemet d k hat de Wert des Biomialkoeffiziete k aus. Ma köte das Pascalsche Dreieck auch so schreibe: 0 0 0 2 2 2 0 2 3 3 3 3 0 2 3 Abbildug X.6 Pascalsches Dreieck aus Biomialkoeffiziete Eie beliebige -te Zeile des Pascalsche Dreiecks lässt sich demach wie folgt schreibe:
4. 0 k k k + ( Ü.X.9+0) Dass die Elemete des Pascalsche Dreiecks d k tatsächlich de Biomialkoeffiziete k aus etspreche, köe wir für die erste Zeile des Pascalsche Dreiecks ohe Probleme achreche. Das allei ist aber och kei Beweis für die allgemeie Gültigkeit userer Etdeckug. Um diese zu zeige, muss bewiese werde, dass die Biomialkoeffiziete de Bildugsregel des Pascalsche Dreiecks geüge. Für iteressierte Leser ist dieser Beweis im folgede Exkurs dargestellt. Übugsaufgabe Ü.X.7 Das Pascalsche Dreieck ethält etlag der Seiteräder direkt uterhalb der Eise die Folge der atürliche Zahle. Wie lässt sich das erkläre? Gilt diese Beobachtug für jedes Pascalsche Dreieck (mit beliebig viele Zeile)? Ü.X.8 Bilde Sie die ullte bis zehte Zeile des Pascalsche Dreiecks. Ü.X.9 Bilde Sie die 3. Zeile des Pascalsche Dreiecks mit Hilfe der Biomialkoeffiziete. Ü.X.0 Bereche Sie die folgede Elemete des Pascalsche Dreiecks: d,2, d,4, d,7, d 2,3, d 2,5 ud d 2,8. Beweis*: Biomialkoeffiziete bilde das Pascalsche Dreieck Wir wolle beweise, dass die Bildugsregel des Pascalsche Dreiecks Biomialkoeffiziete k aus erzeugt. Oder aders gesagt, dass die Biomialkoeffiziete der Bildugsregel für das Pascalsche Dreieck geüge. Wiederhole wir zuerst eimal die Bildugsregel für das Pascalsche Dreieck. d = d + d d k, k, k 00 0 ( ) ( ) ( ) = 2 d = ; d = für alle 3 Begie wir mit der eifachste Regel, ämlich mit (2). Dass diese für Biomialkoeffiziete gilt, zeige wir durch Eisetze. 0 0! 0 = = = d 0 0! (0 0)! 0 = Nu zu Regel (3). Wir müsse zeige, dass 0 aus ud aus für jedes beliebige Eis ergebe:!!! = = = = für alle d0 0 0! ( 0 )!!! 0 =,!!!! = = = = = für alle d! ( )!!0!!! =. Wieder ist us dies relativ eifach durch Eisetze ud Ausreche der Biomialkoeffiziete geluge. Etwas mehr Rechekust erfordert es, die Bedigug () zu prüfe. 00
5 Wir müsse zeige, dass folgede Gleichug gilt: oder ausführlicher: ( ) = + k k k ( ) ( ) (( ) ( )) ( ) (( ) )!!! = +. k! k! k! k! k! k! Wir begie mit der rechte Seite der Gleichug ud versuche durch Umforme, die like Seite der Gleichug zu erhalte. + = k k (! ) (! ) + = ( k! ) ( ( ) ( k ))! ( k)! ( ( ) k)! ( ) ( 2) ( k + ) ( k) ( k ) ( ) ( 2) ( k ) ( k ) + ( k! ) ( k) ( k ) 2 k! ( k ) 2 2 2 Bisher wurde die Brüche ur umgeformt ud Fakultäte wurde ausgeschriebe. Dies wurde uteromme, damit ma erkee ka, wo sich die Brüche kürze lasse. Die rot gedruckte Terme lasse sich u gegeeiader kürze ud die Brüche vereifache sich zu: ( ) ( ) ( ) ( k ) ( ) ( ) ( ) 2 k + 2 k +.! k! Im ächste Schritt brige wir die Brüche durch Erweiter auf de gleiche Neer, um die Additio durchzuführe, de schließlich soll am Ede ur ei Bruch stehe bleibe. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2) ( k + ) k + ( ) ( 2) ( k ) 2 k + k 2 k + = k!k k! k! Jetzt fällt auf, dass die Summade im Zähler gleiche Terme ethalte. Diese lasse sich also ausklammer. ( ) ( 2) ( k + ) k + ( ) ( 2) ( k + ) ( k) ( ) ( k ) [ k k] + + k! k ( ) ( + ) k! k! = Nu sid wir icht mehr weit vo userem Ziel etfert. Erweiter des Bruches führt us zum Ziel: =
( ) ( ) ( ) k! ( k) k + k 2 = 2.! = + = k! ( k)! k k k k Mit der Bestätigug der letzte der drei Bildugsregel köe wir usere Beweis abschließe. 6 Vereifachte Berechug der Biomialkoeffiziete Wir habe de Zusammehag zwische dem Pascalsche Dreieck ud de Biomialkoeffiziete k aus dargestellt. Doch was habe wir durch diese Beziehug gewoe? Zum Eie wisse wir, dass wir Biomialkoeffiziete gaz eifach mit Hilfe des Pascalsche Dreiecks erzeuge köe. Ist die -te Zeile des Pascalsche Dreiecks bekat, lässt sich durch eifache Additio die (+)-te Zeile erzeuge. Diese Rechug köte ma sehr leicht auf eiem Blatt Papier oder sogar im Kopf durchführe. Dagege führt die ursprügliche Berechug der Biomialkoeffiziete zu Multiplikatioe mit sehr große Zahle, bei dee i der Regel der Tascherecher beötigt wird ( Ü.X.). Die Symmetrie des Pascalsche Dreiecks Eie weitere Eigeheit des Pascalsche Dreiecks lässt sich ausutze: die Symmetrie. Wie wir wisse, ist das Pascalsche Dreieck symmetrisch zu der sekrechte Achse. Das bedeutet, es gilt: dk d, k =. Oder mit Hilfe der Biomialkoeffiziete ausgedrückt: = k k. Diese Eigeschaft der Biomialkoeffiziete leuchtet ei, we ma ei Beispiel aus dem tägliche Lebe betrachtet: Muss ma aus füf eue CDs zwei aussuche, weil ma sich ur zwei Stück leiste ka, da ist es dasselbe, als würde ma die drei aussuche, die ma ebe icht kaufe wird: 5 5 5 = =. 2 5 2 3 Relativ eifach, durch Eisetze ud Umforme, lässt sich hier zeige, dass diese Regel für Biomialkoeffiziete stimmt: ( Ü.X.2)!!! = = = =. k k! k! k! k! k! k! k ( ) ( ) ( ) ( ( ))
7 Summe vo Biomialkoeffiziete Eie letzte Nutze wolle wir aus dem Pascalsche Dreieck och ziehe, da er für us der iteressateste ist. Im letzte Gespräch der Clever Cosultig war Selia mit folgeder Formel weiger glücklich: + + + + 0 2. We ma icht über eie modere Tascherecher mit Summefuktio verfügt, muss ma jede Summade eizel erreche ud ka sich leicht vertippe. Es wäre also schö, köte ma diese Summe vereifache. Betrachte wir doch och eimal die Elemete eier beliebige -te Zeile des Pascalsche Dreiecks:. 0 k k k + Die Biomialkoeffiziete i dieser Reihe erier stark a die ebe betrachtete Summade. Der Uterschied: wurde durch ersetzt. Die Summade userer Formel etspreche also de Elemete der ( )-te Zeile des Pascalsche Dreiecks. Betrachte wir trotzdem die -te Zeile. Was für diese gilt, lässt sich auf die ( )-te Zeile übertrage, solage > ist. Us iteressiert die Summe der Elemete eier beliebige -te Zeile im Pascalsche Dreieck. Am beste sehe wir us dies erst eimal am Beispiel der erste Zeile a: 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 Summe der Zeileeiträge 2 4 8 6 32 Etwas fällt hier auf: Die Summe der Zeileeiträge verdoppelt sich vo Zeile zu Zeile! Lässt sich aus dieser Beobachtug bereits eie geerelle Regel ableite? Nei, de die Beobachtug köte ur für das betrachtete Beispiel gelte, ma muss die Eigeschaft für de allgemeie Fall beweise. Überlege wir also, wora die Verdopplug der Zeilesumme liege köte ud betrachte wir die Erzeugug des Pascalsche Dreiecks geauer. Im Folgede wird die Zeile = 4 aus der Zeile = 3 erzeugt: 3 3 4 = + 3 6 = 3+ 3 4 = 3 + Ma sieht, dass jeder Eitrag aus der obere Zeile geau zweimal als Summad (bzw. als eigeer Eitrag a de Räder) auftaucht. Dieses Verhalte lässt sich für beliebige Zeile achvollziehe. Weil jeder Eitrag aus der vorige Zeile zweimal i der folgede Zeile auftaucht, als Summad oder als eigeer Eitrag, verdoppelt sich die Zeilesumme vo eier zur ächste.
8 Wer a eiem Beweis für dieses Verhalte iteressiert ist, sei auf de Beweis am Ede dieses Kapitels verwiese. Nee wir die Zeilesumme der -te Zeile für weitere Betrachtuge ZS, mit ZS = d 0 + d +... + d,- + d. Die Zeilesumme der Zeile Null kee wir, es gilt: ZS 0 =. Die Zeilesumme der erste Zeile müsse wir icht mehr kee, wir köe sie erreche: ZS = ZS0 2= 2= 2. Die Zeilesumme der dritte Zeile errechet sich auf gleichem Wege: Für die -te Zeile gilt da: ZS = ZS 2= ZS 2 2= 2 2=4. 2 0 ZS = ZS 2 = ZS 2 2 = ZS 2 = 2 für. 0 0 Wie verhält es sich jedoch mit der ullte Zeile? 2 0 = = ZS 0. Die Regel gilt also auch für die ullte Zeile ud damit geerell: ZS = d + d2 + + d, + d = 2 für 0. Die Vereifachug der Summeformel ist damit geluge. Es gilt: Zeile 0 Zeile 2 Zeile 2 2 4 Zeile 3 3 3 8 Zeile 4 4 6 4 6 Zeile 5 5 0 0 5 32 Zeile Summe der Zeileeiträge = 2 0 = 2 = 2 2= 2 0 = 2 2= 2 2= 2 2 = 4 2= 2 2= 2 2 3 = 8 2= 2 2= 2 3 4 = 6 2= 2 2= 2 = 2 4 5 + + + + + + = 2 0 k. ( Ü.X.3) Gehe wir och eimal zurück zur ursprügliche Bedeutug des Biomialkoeffiziete. Die Azahl der Möglichkeite, k-elemetige Teilmege aus eier -elemetige Mege zu bilde, ist k aus. Was erhält ma, we ma diese Größe für alle dekbare k vo ull bis errechet ud aschließed summiert? Nu, da hat ma ullelemetige, eielemetige, zweielemetige usw. bis -elemetige Teilmege gebildet, d.h. i jeder sivolle Größe. 2 steht damit für die
9 Azahl aller Teilmege, die ma aus eier -elemetige Mege gewie ka. Die Mege aller Teilmege et ma Potezmege. Die Potezmege hat 2 Elemete. Beispiel: Die Mege {, 2, 3, 4} hat vier Elemete. Es lasse sich also 2 4 = 6 Teilmege bilde: ( Ü.X.4) 4 4! = = 0 0! 4! 0-elemetig (leere Mege) 4 4! = = 4! 3! -elemetig {}, {2}, {3}, {4} 4 4! = = 6 2-elemetig 2 2! 2! {, 2}, {, 3}, {,4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} 4 4! = = 4 3 3!! 3-elemetig {, 2, 3}, {, 2, 4}, {, 3, 4}, {2, 3, 4} 4 4! = = 4 4! 0! 4-elemetig {, 2, 3, 4} Übugsaufgabe Ü.X. Die 7. Zeile des Pascalsche Dreiecks lautet: 7 36 680 2380 688 2376 9448 2430 2430 9448 2376 688 2380 680 36 7 Bereche Sie die 8. Zeile des Pascalsche Dreiecks ohe eie Tascherechers zu beutze ud uter ausschließlicher Verwedug der Additio. Kotrolliere Sie Ihr Ergebis für die Elemete d 8,4, d 8,3, d 8, ud d 8,8 mit Hilfe des Tascherechers, durch Berechug er Biomialkoeffiziete. Ü.X.2 Welche der folgede Gleichuge ud Ugleichuge sid richtig, welche sid falsch? 8 8 9 9 9 9 7 7 7 7 9 0 =, =,, =,,, 3 5 3 5 3 6 0 7 3 5 0 0 9 9 3 43 4 4 5 5 43 43 23 23 =, =, =,,, =, 4 5 0 0 2 4 2 3 42 9 4 35 35 4 4 43 43 50 50 47 47 3 3,,, =, =, =, 7 8 3 23 2 30 0 5 32 4 9 2 2 2 2,, 23 23 22 22 8 8 7 7 =,,, = 5 7 6 6 9 9 3 9 0 7 0 Ü.X.3 Überprüfe Sie das Ergebis aus Ü.X.5. Gebe Sie zusätzlich die Summe aller Elemete der 0. ud 3. Zeile des Pascalsche Dreiecks a. Ü.X.4 Fülle Sie folgede Teilmege-Tabelle für die Mege {,2,3,4,5} aus:
20 Azahl der Teilmege Azahl der Elemete je Teilmege Teilmege() 5 5! = = 0-elemetig (leere Mege) 0 0! 5! Beweis*: Zeilesumme im Pascalsche Dreieck verdoppel sich I diesem kleie Exkurs soll gezeigt werde, dass sich die Zeilesumme im Pascalsche Dreieck vo eier Zeile zur ächste verdoppel. Zuächst schreibe wir die -te Zeilesumme auf: d + d + + d + d = d. 0, k k = 0 Durch die Bildugsregel für das Pascalsche Dreieck wisse wir, dass d k aus de Elemete der vorige Zeile gebildet werde ka: d k =d -,k- +d -,k. Diese Gleichug setze wir ei ud beachte dabei die Soderfälle d 0 ud d : ( ) d = d + d + d + d k 0, k, k k= 0 k= Die Summe ka i zwei Summe geteilt werde, für d 0 ud d setze wir dere Werte ei. + d = + d + d k, k, k k= 0 k= k= Betrachte wir u die Summe. Die zweite Summe sieht fast aus wie die Zeilesumme der ( - )-te Zeile. Der Uterschied: Sie begit mit k =, währed die erwähte Zeilesumme mit k = 0 begit. Us fehlt der erste Summad d -,0. Da dieser de Wert Eis hat, beutze wir eifach eie der beide Eise i der Summe. Wir ziehe diese Eis als d -,0 i die zweite Summe ud erhalte so die Zeilesumme der ( )-te Zeile. d = + d + d k, k, k k= 0 k= k= 0.
2 Im Prizip geschieht mit der erste Summe das gleiche. Allerdigs stört us i der erste Summe der Idex k bei d -,k-. Um das zu veräder, beutze wir eie Trick, de ma i der Mathematik hi ud wieder bei Umrechuge beutzt: die Idexverschiebug. Wir führe eie eue Idex r ei. Für r gilt: r = k. Das bedeutet, k ka durch r + ersetzt werde. I der folgede Umrechug ist der Effekt zu sehe. Daach wird die verbliebee Eis als d -,- i die Summe gezoge, um diese zu komplettiere. 2 d = d + d + d k,, r, k k= 0 r=0 k= 0 d + d = 2 d, r, k, k r= 0 k= 0 k= 0 d = 2 d k,, k k= 0 k= 0 Durch Umrechug sid wir zu dem gewüschte Ergebis gekomme. = X.4 Expoetielles Wachstum Am ächste Morge trifft sich die Clever Cosultig, um am Problem der Auto AG weiterzuarbeite. Nur eier der Kollege sieht besoders müde aus. Nadie: Mesch Sebastia, wie siehst du de aus? Hast du die Nacht durchgefeiert? Oliver: Ach was, user Workaholic doch icht. Wahrscheilich hast du die gaze Nacht über deie Bücher gesesse, was? Sebastia: Ach, lasst mich i Ruhe. Seid froh, dass weigstes eier Eisatz zeigt! Ich habe gester och i meie Studieaufzeichuge herumgesucht. Oliver: War ja klar! Sebastia: Ud ich habe auch etwas gefude! Ma ka usere Summeformel vo gester richtig gut vereifache. Selia: Wirklich? Lass sehe! Sebastia: Nei, ich hole mir jetzt erst eimal eie Kaffee, da dürft ihr euch gaz lieb etschuldige ud vielleicht erzähle ich euch daach vo meie Ergebisse. Sebastia hat also die gleiche Vereifachug etdeckt, die wir i de letzte Kapitel ausführlich erarbeitet habe. Nach zwei Tasse Kaffee ud mit besserer Laue erklärt Sebastia seie Etdeckuge zu Biomialkoeffiziete. Sebastia: So, ud diese Vereifachug der Summeformel köe wir ebefalls für user gestriges Ergebis verwede. Nadie, hast du de Zettel vo gester dabei? Nadie legt ach kurzem Wühle i ihrer Tasche eie Zettel mit folgeder Formel auf de Tisch: + + + + 0 2.
22 Sebastia: Seht ihr? Wir bilde hier die Summe mit Elemete der ( )-te Zeile, das heißt, usere Summe ergibt 2 -. Die Azahl der Möglichkeite, Arbeitsgäge, dere Reihefolge vorgegebe ist, zu Statioe zusammezufasse, beträgt: + + + + = 0 2 2. ( Ü.X.5) Oliver: Na gut, das heißt, wir müsste für die Auto AG 2 0 Fälle utersuche. Kast du das eimal kurz i deie Tascherecher eitippe? Nadie: Scho geschehe: 024 Möglichkeite. Oliver: Na, das geht doch och. Da schreibe wir ei Programm für de Computer ud der soll us da alle Möglichkeite durchreche. Weiterhi soll er die Möglichkeite agebe, bei der die Statioe möglichst gleichmäßig ausgelastet sid. Nadie: Hm, das hört sich so eifach a. Aber die Azahl der Möglichkeite wächst sehr schell, icht wahr? We wir jetzt 20 Arbeitsgäge hätte, da wäre es scho 524.288 Möglichkeite. Ud bei 00 Arbeitsgäge wäre es... oh, mei Tascherecher ka die Zahl gar icht mehr komplett darstelle, es wäre 6,338*0 29 Möglichkeite! Das ist eie 30stellige Zahl! Das eorme Wachstum, das die vier Kollege festgestellt habe, et ma expoetielles Wachstum. Der Begriff bezieht sich darauf, dass bei 2 - die variable Größe im Expoete zu fide ist. Dort beschleuigt sie das Wachstum eorm. Vergleiche wir die Ergebisse für = 0, = 20, = 00 ud = 200. 2-0 52 20 524.288 00 6,33825*0 29 200 8,03469*0 59 Eie Verdopplug vo = 0 auf = 20 erzeugt eie 024-fach höhere Wert vo 2 -. Eie Verdopplug vo = 00 auf = 200 erzeugt eie.26765*0 30 -fach höhere Wert vo 2 -. Der Wert vo 2 - wächst also sehr viel scheller als die Variable.
23 500 400 300 200 00 2 4 6 8 0 Abbildug X.8 Fuktio y = 2 - A der Abbildug X.8 ka ma sehr deutlich erkee, dass 2 - icht ur mit wächst, soder dass sich dieses Wachstum mit steigedem beschleuigt. Solche Aufgabe erreiche relativ schell eie Größe, i der sie auch mit Eisatz moderster Computertechik icht mehr bearbeitet werde köe. Die Azahl der Möglichkeite ist da so groß, dass diese icht mehr i eiem agemessee Zeitrahme durchgerechet werde köe. Auf Aufgabe solcher Art trifft ma heutzutage auch, we ma beispielsweise Codes etziffer möchte. I diese Fälle ist ma allerdigs froh, dass diese Aufgabe och icht bewältigt werde köe, de sost würde Verschlüsselugssysteme, wie ma sie für Kreditkarte oder für Iteretverbiduge beötigt, keie Sicherheit mehr biete. Oliver: O.K. Die Größe der Aufgabe wächst sehr schell a. Trotzdem sid die 024 Möglichkeite im Fall Auto AG durchaus zu bewältige. Sebastia: Das mag ja sei, aber ich fide das icht gut. Es muss doch ei effektiveres Verfahre gebe, als alle mögliche Lösuge durchzuprobiere? Ich meie, darauf wäre die Auto AG sicher auch selbst gekomme! Nadie: Hm, vielleicht sollte wir eimal zusammefasse, was wir alles wisse, also welche Problemgröße vorgegebe ud welche och zu erreche sid. Nadie schreibt folgede Liste auf eie Schmierzettel:
24 Gegebe: Azahl der Arbeitsgäge: Arbeitsgagummer: i, i=... Bearbeitugszeit des Arbeitsgages i: b i Gesucht: Azahl der Statioe: k, mit Statiosummer j Bearbeitugszeit der Statio j: s j Taktzeit: T Zuordug: Arbeitsgäge zu Statioe Sebastia: Die Taktzeit T ist zwar icht bekat, aber zumidest wisse wir, dass sie geauso lag ist, wie die lägste Bearbeitugszeit der Statioe. T = max s j=,, k j Selia: Was bedeutet diese Schreibweise? Dieses max mit dem j daruter? Sebastia: Das ist icht weiter kompliziert. Es bedeutet, dass uter alle s j, die es gibt, ämlich vo j = bis j = k, das mit dem maximale Wert gewählt wird. Selia: Ah, o.k. Das werde ich mir merke ( Ü.X.6). Nadie: Ich fide, wir sollte eie Größe eiführe, die die Abweichug vo eier vollstädige Auslastug misst, damit wir feststelle köe, welche Lösug u gut ist. Oliver: Das ist ei Pukt, de wir ubedigt mit de Veratwortliche der Auto AG abspreche müsse. Woher solle wir de wisse, welche Lösug ma dort gut fidet? O.K., die Auslastug soll möglichst groß sei, am beste eie vollstädige Auslastug. Die erreicht ma aber icht immer. Ist es da besser, we die Wartezeit aller Statioe zusamme möglichst gerig ist, damit ma Koste eispart? Oder ist es wichtig, dass die Wartezeite möglichst gleich auf die eizele Statioe verteilt sid, damit sich kei Arbeiter ugerecht behadelt fühlt? Das sid zwei uterschiedliche Stadpukte ud bestimmt gibt es och adere. Oliver ist hier a eiem gaz wichtige Pukt agelagt: Der Defiitio eies Zieles. Was will Clever Cosultig bzw. die Auto AG eigetlich erreiche? Begriffe, wie möglichst gute Auslastug, sid icht kokret geug. Selia vereibart kurzerhad eie Besprechugstermi i der Auto AG, um diese Pukt zu diskutiere. Die Chace, die Sportwageproduktio vor Ort zu sehe, will sie sich atürlich keiesfalls etgehe lasse!
25 Übugsaufgabe Ü.X.5 Wie viele Möglichkeite gibt es, 3, 8, 3, 5 oder 20 Arbeitsgäge, dere Reihefolge vorgegebe ist, zu Statioe zusammezufasse? Ü.X.6 Bitte gebe Sie max m i=,, k i für folgede Mege M mit Elemete m i a: a) M = {, 2, 3, 4} mit k = 4 b) M = {4, 6, -3, -0, 3} mit k = 5 c) M = {8, -20, 46, 43} mit k = 4 d) M = {8, 3, -60, 4, 0} mit k = 5 e) M = {4, 9, 243, 34} mit k = 4 f) M = {8,-200, 34, 9} mit k = 4 X.5 Ausgelastete Fließbäder ud der Badwirkugsgrad Eie Woche später trifft das Clever Cosultig Team zum verabredete Termi i de Werkshalle der Auto AG ei. Dort herrscht reges Treibe. Am Lieferateeigag staue sich die Lastwage, eiige Leute gestikuliere wild ud wirke aufgeregt. Offesichtlich habe sich Lieferate falsch eigereiht ud brige das ausgeklügelte System der Just-i-Time-Lieferug durcheiader. Ob das auch ei Fall für eie Optimierug durch Clever Cosultig wäre? Noch bevor sich die vier Kollege darum Gedake mache köe, kommt ihe Herr Wieder mit eiem strahlede Lächel etgege. Herr Wieder: Gute Tag! Sie müsse das Beraterteam vo Clever Cosultig sei. Schö, sie hier zu habe. Ud mit wem hatte ich am Telefo die Ehre? Selia: Gute Tag, Herr Wieder. Mei Name ist Selia Malik. Dake für die Eiladug. Herr Wieder: Habe Sie Lust, eie kleie Rudgag durch usere Produktio zu mache, bevor wir i mei Büro gehe? Sebastia: Gere! Es ist immer besser, we ma auch gesehe hat, wovo ma sost ur spricht. Selia: Außerdem ka ich da gleich herausfide, welches Sportwagemodell für mich das richtige ist. Nadie: Wie viele Autos produziere Sie durchschittlich am Tag? Herr Wieder: Das hägt vo der Auftragslage ab, aber so um die 20 Stück sollte das Fließbad scho schaffe, das ist user Tagesausstoß. Währed des Rudgags erläutert Herr Wieder die Abläufe der Fertigug. Gaz offesichtlich ist Herr Wieder sehr stolz, dass die Produktio wie am Schürche läuft. Er erklärt, dass Störuge a irgedeier Stelle des Bades atürlich das komplette Fließbad lahm lege köe. Solche Ausfälle sid für die Auto AG eie kostspielige Agelegeheit, da Maschie ud Persoal da icht produktiv tätig sei köe. Deshalb sid zu jeder Zeit Techiker vor Ort, die bei Störuge blitzschell eigreife köe. Als die Gruppe am Ede der Produktiosstraße akommt, rollt gerade ei ageleuer blauer Sportwage i der Luxusausführug vom Fließbad. Selia: Oh! Geau so eie hätte ich gere! Herr Wieder, ich glaube, ich weiß, wie Sie usere Leistuge vergüte köte. Herr Wieder: Na, darüber köe wir bei Abschluss Ihrer Arbeite rede. Allerdigs: Für dieses Sportwagemodell müsste Sie us vermutlich och eiige adere Abläufe optimiere.
26 Oliver: Das war eie gute Idee, sich die Produktio vor Ort azusehe. Viele Dak für die Führug, Herr Wieder. Herr Wieder: Ger geschehe. Sie scheie die Sache ja wirklich ersthaft i Agriff zu ehme. Ich bi gespat auf Ihre Ergebisse. We Sie us weiterhelfe, köte wir mit der Geschäftsleitug über eie Beratugsvertrag zwische Clever Cosultig ud der Auto AG spreche. Ich deke, wir fide hier och eiige Aufgabe für Ihr Uterehme. Ich habe i der Zwischezeit mit usere Verfahrestechiker bezüglich der Zielsetzug gesproche. Die Kollege beutze als Maßzahl für die Auslastug de sogeate Badwirkugsgrad. Der Badwirkugsgrad ist das Verhältis zwische der Summe der Bearbeitugszeite ud dem Produkt aus Taktzeit ud Azahl der Statioe. Izwische ist die Gruppe im Büro vo Herr Wieder agekomme. Währed Herr Wieder spricht, schreibt er folgede Formel a ei Flipchart: b + b + + b + b BWG = T k 2 Badwirkugsgrad:. Herr Wieder: Der Badwirkugsgrad zeigt die Auslastug des Bades, er soll möglichst hoch sei. Am beste sehe Sie sich das i Ruhe a. Ich möchte Sie zwar icht hiauswerfe, aber ich habe gleich eie wichtige Termi. Nadie: Ja, wir wolle Sie icht läger aufhalte, viele Dak für Ihre Uterstützug. Herr Wieder: Ach, ud ehe ich es vergesse: Usere Techiker habe mir eie Liste mit de Bearbeitugszeite gegebe. Die ist für sie, ohe die Zahle köe Sie ja gar icht starte. Die Eiheite der Werte sid übriges Miute. b = 8 b 2 = 5 b 3 = b 4 = 3 b 5 = 7 b 6 = 4 b 7 = 2 b 8 = 9 b 9 = 2 b 0 = 5 b = 7 Beeidruckt vo dem riesige Produktiosgeläde ud voller Tatedrag macht sich die Clever Cosultig auf de Weg is Büro. Oliver: Habt ihr diese Formel verstade? Ich jedefalls icht. Nadie: Am beste setze wir die Werte ei, die wir scho habe. Das sid die Bearbeitugszeite im Zähler: b + b2 + + b + b = 8+ 5+ + 3+ 7+ 4+ 2+ 9+ 2+ 5+ 7= 53. Die Summe der Bearbeitugszeite ist also 53 Miute. Damit gilt für de Badwirkugsgrad: 53 BWG =. T k Wir kee allerdigs weder die Taktzeit T och die Azahl der Statioe k. Wähle wir der Eifachheit halber eie beliebige Eiteilug der Arbeitsgäge i Statioe. Da köe wir de resultierede Badwirkugsgrad ermittel.
27 Nadie ist auf dem richtige Weg. Ei Beispiel, selbst ei kostruiertes, hilft oft zum bessere Verstädis mathematischer Ausdrücke. Beispiel: Gegebe ist die Eiteilug der Arbeitsgäge i drei Statioe: [, 2, 3, 4] [5, 6, 7] [8, 9, 0, ]; k = 3. Daraus lässt sich erreche: - Bearbeitugszeit der Statioe - Taktzeit s = b + b + b + b = 7; s = b + b + b = 3; s = b + b + b + b = 23. 2 3 4 2 5 6 7 3 8 9 0 - Badwirkugsgrad { } { } T = max s, s, s = max 7,3,23 = 23. 2 3 53 53 53 BWG = 0,768 T = k 23 3 = 69. Der Badwirkugsgrad beträgt 0,768 ( Ü.X.7). Sieht ma sich die Bearbeitugszeite der Statioe a, erket ma, dass das kei allzu guter Wert ist. Sehr stark ausgelastet ist Statio 3. Dort wird 23 Miute lag gearbeitet. Diese Statio bestimmt die Läge der Taktzeit. Dagege hat Statio 2 ur 3 Miute zu arbeite ud ka da zeh Miute auf das Ede der Taktzeit warte. Die Auslastug der Statioe ist i dem ute abgebildete Diagramm aufgeführt. Statio 3 Statio 2 Statio 0 5 0 5 20 25 Bearbeitugsdauer [Miute] Abbildug X.9 Diagramm der Statiosbelegug Das Diagramm zeigt de zeitliche Ablauf eies Produktiosvorgages. Hier erket ma deutlich, dass Statio 3 sehr stark belastet ist. Eie verbesserte Lösug erhält ma, beispielsweise, we ma de Arbeitsgag 8 vo Statio 3 auf Statio 2 verschiebt. - Eiteilug i Statioe: [, 2, 3, 4] [5, 6, 7, 8] [ 9, 0, ] - Bearbeitugszeit der Statioe - Taktzeit s = b + b + b + b = 7; s = b + b + b + b = 22; s = b + b + b = 4. 2 3 4 2 5 6 7 8 3 9 0
28 - Badwirkugsgrad { } { } T = max s, s, s = max 7,22,4 = 22. 2 3 53 53 53 BWG = 0,803 T = k 22 3 = 66. Statio 3 Statio 2 Statio 0 5 0 5 20 25 Bearbeitugsdauer [Miute] Abbildug X.0 Diagramm ach Verschiebug des Arbeitsgages 8 ( Ü.X.8) Die Taktzeit wurde um eie Miute verkürzt. Der Badwirkugsgrad ist auf 0,803 agestiege. Die Auslastug der Maschie hast sich verbessert. Das ist atürlich ei Erfolg. Trotzdem weiß ma icht, ob ma bereits die beste Lösug der Aufgabe gefude hat. Die Möglichkeite, eue Lösuge zu fide, beschräke sich icht ur auf das Verschiebe vo Arbeitsgäge. Ebeso ka die Azahl der Statioe verädert werde. Die Azahl der betrachtete Statioe war für das Beispiel willkürlich gewählt. Wir wisse durch Herr Wieder, dass der BWG so groß wie möglich werde soll. Wie groß ka er eigetlich werde? Die Taktzeit, also die Bearbeitugsdauer a eier Statio, multipliziert mit der Azahl der Statioe muss midestes so groß sei wie die Summe der Bearbeitugszeite, d.h., es muss gelte: T k b + b + + b + b. 2 Warum ist das so? Nu, die Bearbeitugszeite der Arbeitsgäge b i werde auf die Statioe aufgeteilt ud fließe i die Bearbeitugszeite der Statioe s j ei. Es gilt deshalb: b + b2 + + b + b = s+ s2 + + sk + sk. Beachte: Die like Seite der Gleichug ethält Summade, die rechte Seite ur k Summade. Da T der maximale Bearbeitugszeit eier Statio etspricht, gilt: Daraus lässt sich folger: T k = s k s + s + + s + s. max j 2 k k j=,, k T k b + b + + b + b 2.
29 Wir wolle u zwei Fälle uterscheide:. Fall: Im erste Fall solle die beide Seite der obige Ugleichug geau gleich groß sei, es gilt also die Gleichheit: b + b + + b + b = T k. 2 I diesem Fall wäre Neer ud Zähler zur Errechug des Badwirkugsgrades gleich groß, d.h., es würde folge: BWG =. 2. Fall: Im zweite Fall gilt die Ugleichheit zwische de beide Seite: b + b + + b + b < T k. 2 Damit ist der Neer des Badwirkugsgrades immer größer als der Zähler. Das bedeutet, der BWG muss kleier als Eis sei: BWG <. Nimmt ma beide Fälle zusamme, da gilt allgemei: BWG. Der Badwirkugsgrad ka maximal de Wert Eis erreiche. We ma wie im erste Fall eie BWG vo Eis erreicht, da sid die Arbeitsgäge zu gleiche Teile auf die Statioe vergeteilt, es gäbe keie Wartezeite a de Maschie. Das wäre der ideale Fall, die beste Lösug, die es zu erreiche gibt. Ma sagt, das Bad ist zu 00% ausgelastet. Der Badwirkugsgrad ist eie Kezahl der Auslastug. Wie bereits Herr Wieder vo der Auto AG festgestellt hat, müsse wir versuche, eie möglichst große Badwirkugsgrad zu erreiche. Nu wisse wir, dass dieser höchstes Eis erreiche ka. Eie Auslastug vo 00% ka ma erreiche, we ma ur eie eizige Statio bildet, die alle Arbeitsgäge bearbeitet. Die Taktzeit ergäbe sich aus der Summe der Bearbeitugszeite: T = b + b 2 +... + b - + b. Betrachte wir diese Fall am Beispiel der Auto AG: T = b + b + b + b = 53 k = BWG 2 b + b + b + b T k 2 = = 53 = 53 Diese Variate ist aber icht iteressat. Im Grude bedeutet sie, dass ma kei Fließbad mehr eisetzt. Alle Arbeitsgäge werde a der eizige Statio durchgeführt. Es wäre außerdem icht möglich, mehrere Autos gleichzeitig zu bearbeite, die Produktiosmege wäre sehr gerig. Der Fall k = ist daher icht praxisrelevat. I usere weitere Utersuchuge wolle wir k = verbiete. Das Clever Cosultig Team hat diese Utersuchuge ebefalls achvollzoge: Selia: Ich weiß icht, das ist gaz schö kompliziert. Da sid so viele Werte, die wir icht kee, die Taktzeit, die Azahl ud die Eiteilug der Statioe. Wo soll ma da afage?.