Sdhgen, Rsgymnsium Q U O V A D I S Anlyische Geomerie / Linere Algebr Zu den Sndrkursen der Sek. II gehör der Kurs Linere Algebr / Anlyische Geomerie, der in dieser Nmensgebung meisens ls Leisungskurs konzipier wird. Für Grundkurse sg mn ehrlicher Anlyische Geomerie, und dieses Gebie is dnn uch in der Regel Schwerpunk im Leisungskurs. Linere Algebr wird wenig berieben und häufig nur durch die Behndlung linerer Gleichungssyseme u.. mi Unersuchungen zur lineren Abhängigkei von Vekoren gerechferig. Diese Zenrierung uf die Anlyische Geomerie führ zu den beknnen Berechnungen von Schnimengen und Unersuchungen von Lgebeziehungen von Gerden, Ebenen und gelegendlich noch zu Kreisen und Kugeln oder Kegelschnien. Dmi enwickeln sich Aufgbenypen, die in ihrer Monoonie den Kurvendiskussionen des Anlysisunerrichs ensprechen. Zudem wird den Schülern wenig deulich, wozu mn Anlyische Geomerie eigenlich bruch. Es fehl ein überzeugendes Anwendungsgebie. Mi dem vollinegrieren Einsz von Compuern bzw. Tschencompuern und dem Mrizenklkül ls roem Fden wurde versuch, mehr Subsnz und Anwendungsorienierhei in den Durchgng zu bringen. Ein Kurskonzep zur lineren Algebr / nlyischen Geomerie mi dem TI 9 Ds Kurskonzep wurde von mir in einem Leisungskurs mi Einsz des TI 9 durchgeführ. Jeder Schüler he während der Jhre ( lso uch für die Anlysis ) ein Leihgerä der Schule zur Verfügung. Alle Klusuren und uch ds Abiur im Frühjhr 99 wurden ebenflls mi den TI 9 geschrieben. Ds Konzep orieniere sich m Mrizenklkül ls roem Fden mi den folgenden Themenschwerpunken:
Sdhgen, Rsgymnsium Ds neue Konzep des Lk Ein ler Durchgng Linere Algebr Tbellen und Mrizen Merilverflechung und Mrkforschung Besondere Mrizen Geseze für ds Rechnen mi Mrizen Linere Gleichungssyseme Mgische Qudre Linerkombinion linere Hülle Vekorrum Geseze für ds Rechnen mi Mrizen Linere Gleichungssyseme Vekorrum Inverse Mrizen Codierung Sücklisen - Problem Inpu - Oupu - Anlyse Anlyische Geomerie Vekoren Gerden Ebenen Linerkombinionen Absnds- und Winkelberechnungen Anlyische Geomerie Vekoren Gerden Ebenen Linerkombinionen Absnds- und Winkelberechnungen Verknüpfung zur Anlysis durch prmerisiere Drsellung von Funkionen Flerbnd, prllele Kurven Spiegelung einer Gerden punkweise n einer Prbel besondere Kurven ( wie z.b. die Konchoide. Rollkurven,. Mrizen in der Abbildungsgeomerie Mrizen in der Abbildungsgeomerie Mrizenpoenzen und Verbindung zur Sochsik Mschinenüberwchung Irrfhren Populionsdynmik Sochsische Mrizen
Sdhgen, Rsgymnsium Ws bring ein Compuereinsz in der Lineren Algebr / Anlyischen Geomerie? Weniger sure Rechnerei ( z. B. bei LGS ) und somi Zeigewinn Mehr relisische Anwendungsbezüge werden möglich. Vernschulichungsmöglichkeien im IR², IR³. Möglichkeien zur Behndlung komplexerer Probleme Querverbindungen zu nderen Gebieen werden leicher möglich ( Anlysis und Sochsik) Veriefe Behndlung von Frgen im Zusmmenhng mi LGS. Veriefes Versändnis von Algorihmen der lineren Algebr. Abwechslungsreichere Mehoden durch versärkes Einbeziehen von Forschen, Endecken, Problemisieren und Beweisen. Größere Aufgbenvielfl im Unerrich, in Klusuren, beim Abiur. Also weg von surer Rechnerei der Überbeonung der Schniufgben der Anlyischen Geomerie und dfür hin zu einer durchgehenden Verwendung von Mrizen ls Hilfsmiel für heoreische Frgen der Lineren Algebr und in Anwendungsufgben problemorieniere Frgesellungen us dem Bereich der Anwendungen von Mrizen und lineren Gleichungssysemen prxisnhen Frgesellungenbei der Lösung von LGS ( Algorihmen, Rechenproblemen, Näherungsverfhren) bwechslungsreichen Aufgben us verschiedenen Bereichen einer särkeren Berücksichigung experimenellen Arbeiens sinnsifenden Beziehungen zwischen den einzelnen Schublden des herkömmlichen Soffes experimenieren, vriieren, sehen lernen, lokl klssifizieren und frgen
Sdhgen, Rsgymnsium Der Vekorrum der mgischen Qudre. Z. B. im Zusmmenhng mi den Permuionsmrizen lssen sich m Beispiel der mgischen Qudre die Begriffe Erzeugendensysem und Bsis eines Vekorrumes einführen. Auf dem Sich MELENCOLIA us dem Jhre 5 h Albrech Dürer u.. ein mgisches Qudr drgesell. 6 5 0 8 9 6 7 5 In diesem Qudr is die Summe in jeder Zeile, Sple und den beiden Digonlen und sogr in den Teilqudren. Def.: Ein qudrisches Zhlenschem mi ( X Feldern ) heiß mgisches Qudr, wenn die Zeilen-, Splen- und Digonlensummen übereinsimmen. Such mn nun neben nderen möglichen mg. Qudren uch solche, die nur mi 0 und beleg und die Summe hben, so finde mn genu 8 solcher Qudre. ( siehe Anlge ) Diese 8 Grundqudre lssen sich durch Spiegelung und Drehung ufeinnder bbilden. Muliplizier mn die Mrizen ( mg. Qudre ) mi reellen Zhlen r, ergeben sich wieder mg. Qudr. mi offensichlich der r - fchen Summe. Ds Dürer - Qudr läss sich nun us diesen 8 Grundqudren zusmmensezen. Dbei fäll uf, ds immer nur 7 dieser Grundqudre benöig werden. Begriffe: Mn bilde die Menge ller Linerkombinionen: rg rg rg...r8g8 mi r, r,..., r8 χ IR und nenn sie uch die linere Hülle von G,G,G,...,G8. Bezeichnung [ G,G,G,..,G8] Ensprechend is [ G,G,...,G7] zu versehen. Die Vermuung is nun, dss gil: [ G,G,G,..,G8] = [ G,G,...,G7]. Es läss sich im Übrigen uch fessellen, dss mn nur uf ein G verzichen knn. Mn h dmi [ G,G,G,..,G8] ls Erzeugendensysem kennen gelern, ber uch gesehen, dss [ G,G,...,G7] uch eines is, mi sogr weniger Elemenen. Der Begriff der Bsis eines Vekorrumes is dmi einerseis vorbereie, ndererseis wurde ber uch deulich, dss es verschiedenen Bsen geben knn, die ber lle gleich mächig sind
Sdhgen, Rsgymnsium Aufgbe 5: Klusur Gegeben sei ein Zuberqudr mi den Zhlen von bis 9. ) Besimme möglichs lle Zuberqudre dieser Ar und begründe deine Lösung. b) Zeige, dss für ein Neunerqudr die kleinse Summe is, wenn Null ls Summe usgeschlossen und nur gnze posiive Zhlen verwende werden sollen. Zeige, dss es vier solcher Grundqudre gib und zeige Zusmmenhänge zwischen ihnen uf. c) Selle ein Zuberqudr us Teil ) ls Linerkombinion der Grundqudre us Teil c) dr. Aufgbe : Abiur Gegeben sei die Menge M (/0) der mgischen Qudre mi drei Zeilen und Splen sowie der Summenzhl 0. Zugelssen sind Elemene us der Menge Z. Beispiel: 9 A = 0 0 0 und llgemein 9 d g b e h c f i ) Nennen Sie ohne Rechnung zwei weiere Mrizen us der Menge M (/0). Geben Sie eine llgemeine Lösung mi Hilfe eines Gleichungssysems n, so dss schnell weiere (lle) Mrizen besimmbr sind Benuzen Sie die Bezeichnungen der oben ngegebenen llgemeinen Form. Erläuern Sie ihr gewähles Verfhren. b) Mchen Sie mi Hilfe der Ergebnisse us Teil ) begründee Aussgen über mgische Qudre der Menge M (/z) mi z Z, d.h. die Summenzhl sei eine beliebige Zhl us der Menge der gnzen Zhlen. Beweren Sie dbei uch uf den Einfluss der Summenzhl uf die Lösung des Gleichungssysems. c) Beknnlich lssen sich lle Vekoren des IR² ls Linerkombinion z.b. der 0 Einheisvekoren e = und e = drsellen. 0 Zeigen Sie, dss uch lle Mrizen der Menge M ls Linerkombinion zweier spezieller Mrizen us M zu erzeugen sind. Deuen Sie nun die folgende Aussge und vernschulichen Sie sie n zwei Beispielen: Jedem Vekor l = ( h i) des IR² knn mn ein mgisches Qudr us M(/0) zuordnen und umgekehr. d) Erläuern Sie die einzelnen Schrie des Kurzbeweises zum folgenden Sz: 5
Sdhgen, Rsgymnsium Sz: A(/) und B(/) sind mgische Qudre mi den Summenzhlen S(A)= und S(B)=b. Dnn is uch ra sb ein mgisches Qudr. Beweis:) S(rA) = S(( r ( i, j) ) und S(sB) = S(( sb ( i, j) ) = r = sb Beweis:) S(rAsB) = S(r) S(sB) = r sb Aufgbe : Erwree Lösungswege und Ergebnisse Bewerung und Lösungshinweise A Zwei weiere Mrizen ngeben, ds Gleichungssysem -0 Splen und 8 Zeilen - ufsellen und usweren hinsichlich einer Lösungsmrix, sowie Erläuerung des Verfhrens. B Allgemein s im Lösungsvekor des Gleichungssysems einsezen. Sollen nur gnze Zhlen ls Elemene vorkommen, so muss die Summenzhl ein Vielfches von sein. Der Sonderfll Null is in Teil ) behndel. C Durch die Whl einfcher Zhlen ergeben sich sog. Grundqudre, mi deren Hilfe ndere ls Linerkombinion drsellbr sind. Ensprechend können die zwei gewählen Zhlen zum Lösen des Gleichungssysems ls -Tupel gedch werden, ber uch ls Vekoren im IR². Jedem mg. Qudr läss sich lso ein Vekor zuordnen. D Erläuern der beiden Beweise, wobei evl. uch die Mrizen usführlich ufgeschrieben werden können. Gesmpunkzhl: 8% Zuordnung und vorgesehene Bewerung I II III 9 6 6 5 Im Unerrich wurden vom "Dürer Qudr" usgehend mgische Qudre mi vier Zeilen behndel, ohne llerdings eine Lösung über ein Gleichungssysem zu hemisieren. Dies erübrige sich uf Grund der 8 einf. Grundqudre. Ds Aufsellen des Gleichungssysems solle jedoch rozdem Rouine sein, nspruchsvoller is hier die Auswerung und die Bereisellung der Lösungsmrix. In Teil b) is der Lösungvekor zu verllgemeinern und die s i s h s h i neue Lösungsmrix s h i s h i s h 7 50% s h i bezüglich der Summenzhl und i der Grundmenge der Elemene des mg. Qudres zu inerpreieren. Dies und der Zusmmenhng in Teil c) erfordern Überblick und Inerpreionsfähigkei. Die Beweisskizzen sind sehr kompk und von hohem Absrkionsgrd. % 6
Sdhgen, Rsgymnsium II Prmeerkurven Für die Behndlung von Prmeerkurven is es hilfreich, in der Anlyische Geomerie bereis dynmische Sichweisen zu verwenden und zu fördern. Als Beispiel bieen sich schon die Prmeerdrsellungen von Gerden n. In der Schulbuchlierur werden sie of so behndel, ls ginge es nur um die Beschreibung einer Punkmenge im Rum. Genuso gu is es ber eine Beschreibung eines Bewegungsvorgnges im folgenden Sinn: Leg mn ew SI einheien zu Grunde ( die Z werde z.b. in Sekunden, der Weg in Meern gewähl), so gib die Gerdengleichung den Or(-svekor) zur Zei n. Der Richungsvekor gib dnn n, um welchen Vekor sich der Or pro Zeieinhei änder, d. h. er läss sich ls Geschwindigkeisvekor inerpreieren. Bereis eine kurze Behndlung grundlegender Frgen zur Beschreibung des Aschuungsrums mi Hilfe von Koordinen und die Vermilung grundlegender Kennnisse über Vekoren erluben folgende Aufgbe, die durch die Einbeung in einen größeren Problemkonex, durch ihren Aspekreichum, durch nheliegende Vriionsmöglichkeien und durch ihre Erweierbrkei wichige Merkmle der geneischen Mehode verdeulich: Aufgbe: Zwei Körper bewegen sich gleichförmig. Die Ore ändern sich mi einem ensprechenden Geschwindigkeisvekor. Besimme den Or der beiden Körper zu einem beliebigen Zeipunk! Unersuche die Absände der Körper zu beliebigen Zeipunken. Mche konkree Aussgen zu ihrer gegenseiigen Lge zueinnder. Diese Aufgben lssen sich noch erweiern durch vielleich die folgenden Frgesellungen: Wnn und wo riff einer der Körper uf eine Ebene (mh. Problem: Ebenengleichung, Schnipunkbesimmung) Ermilung der Aufreffwinkel ( mh. Problem: Sklrproduk, Winkelberechnung, Besimmung von Flächennormlen, Vekorproduk) 7
Sdhgen, Rsgymnsium Beispiel : Wirf mn einen Sein, der mi einem qusi msselosen Bnd verbunden is, so is die Kurve des Endpunkes des Bndes sehr ineressn. Mi dem Geomerie Modul des TI9 knn mn sich die Kurve dynmisch erzeugen. Ineressn is dbei insbesondere der Absnd von Brennpunk und Leilinie. ) Erzeuge mi dem Geomerie Modul die Kurve und vriiere dbei uch die Wurfprbel. Einen Busein liefer die folgende Bildfolge Abb. Abb. Abb. Abb. Abb. 5 Abb. 6 Abb. 7 8
Sdhgen, Rsgymnsium 9 b) Besimme die Bhn der Endpunke des Bndes. Lösungsnsäze: Als einfchse Form der Wurfprbel soll mi der Prbel = = ) ( ) ( y x in prmerisierer Drsellung begonnen werden. Ds Flerbnd wird ls ein Teilsück der Tngenen mi konsner Länge L ngenommen. Diese Srecke läss sich durch folgende Gleichungen beschreiben: = y x p p m m k y x fl ) ( oder () = = L k fl oder prmerisier = = ) ( ) ( L y L x Durch diese Terme lssen sich nun die in Teil beobcheen Phänomene drsellen und unersuchen. Abb. 8 Kurve der Bndlänge und vr. Pr.-öffnung Abb. 9 Bndkurve für = und vribler Länge
Sdhgen, Rsgymnsium c) Unersuche die Orskurve der Hochpunke des Bndes in Abhängigkei von der Bndlänge L und der Prbelöffnung. Lösungsnsäze: dy( ) L Die Besimmung des Exremums führ zu = d Die Ableiung wird Null für L = mi 0 Eingesez in fl() erhäl mn ls Orskurve der Hochpunke x( ) = y( ) = 8 mi 0 Abb. 0 Orskurve der Hochpk. in Abh. der Länge d) Erreichen Die Länge des Bndes oder die Öffnung der Prbel einen kriischen Wer, so gib es offensichlich einen Punk mi senkrecher Tngene. Berechne die Orskurve dieser Punke. Lösungsnsäze: Diese Ableiung wird Null für L = Mi dieser Gleichung läss sich für jeden Sreckfkor die kriische Länge besimmen und umgekehr. Eingesez in fl() erhäl mn die Kurve der Senkrech Punke x( ) = y( ) = mi 0 0
Sdhgen, Rsgymnsium Abb. Orskurve der senkrech Punke Des Weieren läss sich zeigen, dss die kriische Länge in umgekehr proporionler Beziehung zur Prbelöffnung seh. Beispiel : Drehe einen Srhl um einen fesen Punk S und rge uf diesem Srhl jedes Ml von seinem Schnipunk mi einer fesen Gerden g nch beiden Seien die gleiche Srecke b. Besimme die Gleichung der Kurve, uf der die gefundenen Srecken Enden liegen! Unersuche den Einfluss der Sreckenlänge uf den Kurvenverluf! Die Srecken sollen jez vom Schnipunk der Srhlen mi einer Prbel bgergen werden. Unersuche den Einfluss der veränderen Bedingung uf den Kurvenverluf Abb. Bild einer Konchoiden Ds Bild wurde ersell für den Punk S (/) der Gerden g: y = x und dem Absnd. Die zugehörigen Gleichungen luen: ( ) x( ) = k : 5 ( ) y( ) = 5
Sdhgen, Rsgymnsium Aufgbe : Klusur Gegeben sei die Normlprbel f(x) = x² und ein feser Punk P ( 0 / v ) uf der y Achse. ) Besimme die Menge der Lofußpunke L von P zu den Tngenen n die Prbel. Dokumeniere die Herleiung usführlich. v = v l is ein mögliches Ergebnis b) Klssifiziere begründe die Punkmengen in Abhängigkei von v IR und skizziere ypisierende Grphen mi Angbe der Window Einsellung. c) Beschreibe die Änderungen bezüglich Teil b), wenn s des Lofußpunkes L der Spiegelpunk S von P gewähl wird. d) Besimme bezüglich Teil ) für v = - - die Punke mi Tngenen prllel zur y - Achse - die Länge des Kurvensücks, ds eine Fläche umschließ - den Inhl dieses Flächensücks e) Offensichlich berühr für v = die Kurve us Teil ) die Prbel dreiml. Unersuche diesen Eindruck. Abb. Kurvenbilder für v = und v = Lierur: Lehmnn E. Linere Algebr mi Vekoren und Mrizen, Mezler Verlg 990 Meyer J. Kegelschnie mi Geomerie Sofwre, in Mhemik beriff uns Nr.5 996