Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Leuphn Universität Lüneurg, www.mthemtik-verstehen.de 18. Mi 010 Kegelschnitte und Dndelinsche Kugeln Ellipse: Der Astnd der Berührkeise ist konstnt, er ist gleich der Gesmtfdenlänge uf der Schnittfläche, lso ist der Rnd der Schnittfläche eine Ellipse. Prel: Der Astnd der Berührkeise ist konstnt, in der hellluen Lge sieht mn ihn uf der Mntellinie, zu der die Schnitteene prllel ist. Auf der Schnitteene knn mn die violette Strecke noch verschieen. Dnn sieht mn, dss jeder Punkt der Schnittkurve von dem Berührpunkt diesele Entfernung ht wie von der Leitgerden. Sie ist nämlich die Schnittgerde zwischen Schnitteene und der Eene durch den oeren Berührkreis. Zlinder: Die Begründung ist diesele wie eim Kegel mit Ellipse. Der Rnd der Slmi knn durch die Fdenkonstruktion ls Ellipse nchgewiesen werden. Hperel: Hier nicht drgestellt. Mn ht nimmt den Doppelkegel mit einer Kugel oen und einer unten. Dnn ist die Entfernungsdifferenz zu den Brennpunkten konstnt. dndelin-lle.docx
Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Leuphn Universität Lüneurg, www.mthemtik-verstehen.de 18. Mi 010 Prel Leitgerdenkonstruktion Fltkonstruktion Mrkiere uf einem Bltt untern einen Punkt F. Flte die Unterknte hoch, so dss sie f genu trifft. Wiederhole ds oft. Die vielen Fltknicke lssen eine Pltz frei, der von einer Kurve egrenzt wird. Diese Kurve sieht wie eine Prel us. Es wird sich zeigen, dss es uch eine Prel ist. Geometrisch sind die Knicke Spiegelchsen, mit denen stets ein Punkt Q der Unterknte uf P geildet wird. Links ist die Relisierung in GeoGer zu sehen. Also ist die Ortskurve von P eine Prel. pr-leitgerde.docx An der Umformung x = perkennt mn, dss ds Qudrt üer x (ds Aszissenqudrt) flächengleich dem Rechteck us dem Astnd, den P von der Scheitelgerden ht, und Breite p ist. p heißt uch Sperrung, p ist die Breite des Kegelschnittes eim Brennpunkt. Also gilt: Bei der ufrechten Prel ist ds Aszissenqudrt gleich dem Sperrungsrechteck. Die nch rechts geöffnete Prel ht die Gleichung = px und ds Ordintenqudrt ist gleich dem Sperrungsrechteck.
Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Leuphn Universität Lüneurg, www.mthemtik-verstehen.de 18. Mi 010 Leitkreiskonstruktion von Ellipse und Hperel Gegeen ist ein Kreis mit Mittelpunkt A und ein Punkt F innerhl des Kreises. Q wndert uf dem Kreis. Die Mittelsenkrechte von FQ schneidet die Rdiusgerde AQ in Punkt P. Die Ortskurve von P ist eine Ellipse. Beweis: AP+PF=AP+PQ=Rdius=konstnt. Dmit ist die Fdenkonstruktion der Ellipse nchgewiesen. Die Ellipse ist der geometrische Ort ller Punkte, die eine feste Astndssumme zu zwei festen Punkten hen. Nun liege F ußerhl des Kreises. Die Ortskurve von P ist eine Hperel. Beweis: AP-PF=AP-AQ=Rdius=konstnt. Dmit ist die Fdenkonstruktion der Hperel nchgewiesen. Die Hperel ist der geometrische Ort ller Punkte, die eine feste Astndsdifferenz zu zwei festen Punkten hen. Ellipse x + = 1 Hperel x = 1 Ellipse: Astndssumme von den Brennpunkten = Hperel: Astndsdifferenz von den Brennpunkten = Ellipse: e = e Hperel + = e. Stets gilt: ε = ( ) und p= Ordinte m Brennpunkt und = 1 ε px x 0-leitkreiskonstruktion.docx
Kurven Leitgerdenkonstruktion ller Kegelschnitte Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Uni Lüneurg, 13. Dezemer 003 Gesucht ist der geometrische Ort ller Punkte P, die von einem festen Punkt F die k-fche Entfernung wie von einer Gerden hen. Die Gerde heißt Leitgerde. Sie ist links ei G senkrecht gezeichnet. Behuptung: Die Ortskurve ist ein Kegelschnitt mit der llgemeinen Scheitelgleichung = p x (1 k ) x Beweis: Ds Achsenkreuz steht m Scheitel. Es gilt nch Konstruktion (1) ( x kg) + = k L und () L = x+ g () in (1) ergit (3) ufgelöst folgt sortiert (3') (3'') ( x kg) + = k ( x+ g) x kgx+ k g + = k x + k gx+ k g (1 k ) x k(1 + k) gx+ = 0 = k(1 + k) g x (1 k ) x llein (3''') Dmit ist die ehuptete Gleichung schon fst erzeugt. Eingezeichnet ist p ls Ordinte des Kegelschnitts m Brennpunkt. Für den Kegelschnittpunkt F* üer F muss gelten (4), k( g + kg) = p k(1 + k) g= p denn er muss j uch die Konstruktion erfüllen. Also (4'). (4) in (3''') ergit (5) die ehuptete Gleichung. q.e.d. = p x (1 k ) x Für folgt, eine Prelgleichung. Für Für k = 1 k < 1 k > 1 = p x ergit sich eine Ellipse. Beweis uf einer Extrseite. ergit sich eine Hperel. Beweis uf einer Extrseite. Aus der Herleitung der Mittelpunktsgleichung geht hervor, dss mit (4') gilt p k(1 + k) g kg 1 k 1 k k = = = 1 Als Entfernung von Mittelpunkt zu Brennpunkt ist. e = kg e kg kg kg ε = = = 1 = 1 (1 k) = 1 1+ k = k kg Also gilt und dmit uch und dmit gilt = p x (1 ε ) x ε = k
Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Leuphn Universität Lüneurg, www.mthemtik-verstehen.de 18. Mi 010 Scheitelgleichung us der Mittelpunktsgleichung 04-scheitelgl-us-mp.docx
Kurven Herleitung der Mittelpunktsgleichung us der llgemeinen Scheitelgleichung ller Kegelschnitte Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Uni Lüneurg, 13. Dezemer 003 llgemeine Scheitelgleichung = p x (1 k ) x Für folgt, die Prelgleichung für nch rechts geöffnete Preln. k = 1 = p x k < 1 k > 1 Behuptung: Für ergit sich eine Ellipse, für eine Hperel. Beweis durch Herleitung der Mittelpunktsform der Ellipsen~ zw. Hperelgleichung. (5') (5'') (6) (7) (8) (9) (1 k ) x p x + = 0 p x x + = 0 (1 k ) (1 k ) p p p x x + + = (1 k ) (1 k ) (1 k ) (1 k ) p p x + = (1 k ) (1 k ) (1 k ) p x (1 k ) + = 1 p (1 k ) p (1 k ) (1 k ) p x (1 k ) + = 1 p p (1 k ) (1 k ) k < 1, Ellipse p p : = und : = (1 k ) (1 k ) Tufe für Tufe für k > 1 p : = ( k 1), Hperel und p : = ( k 1) ( ) x + = 1 ( ) x+ = 1
Kurven Nmensgeheimnis der Kegelschnitte Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Uni Lüneurg, 13. Dezemer 003 Allgemeine Scheitelgleichung der Kegelschnitte. Hperel Prel Ellipse = p x (1 ε ) x ε > 1 ε = 1 ε < 1 p = Sperrung=Gesmthöhe des Kegelschnitts m Brennpunkt. Sei x eine elieige Aszisse =Stelle uf der x-achse. Dnn ensteht ds Sperrungs-Rechteck us der Sperrung und der Breite x, Es ht die Fläche px und steht in der Scheitelgleichung rechts vom = -Zeichen An derselen Stelle x entsteht us der Ordinte ds Ordinten-Qudrt mit der Fläche und es steht links vom = -Zeichen. ε > 1 Hperel 1 ε < 0 Dher wird rechts effektiv etws ddiert. ε = 1 Prel 1 ε = 0 Dher wird rechts nichts geändert. ε < 1 Ellipse 1 ε > 0 Dher wird rechts wirklich etws Positives gezogen. Bei der Hperel ht lso ds Ordinten-Qudrt einen größeren Flächeninhlt ls ds Sperrungs-Rechteck. (hperllein) heißt uf deutsch üersteigen, üertreffen. In der Sprchwissenschft ist eine Hperel eine Üertreiung, z.b. "himmelhoch", "wie Snd m Meer". Die Vorsile Hperedeutet immer "üermäßig", "üer-hinus" Bei der Prel ht lso ds Ordinten-Qudrt den gleichen Flächeninhlt wie ds Sperrungs-Rechteck. (prllein) heißt uf deutsch gleichkommen. So ist uch in der Litertur eine Prel eine gleichnishfte elehrende Erzählung. Bei der Ellipse ht lso ds Ordinten-Qudrt einen kleineren Flächeninhlt ls ds Sperrungs-Rechteck. (elleipein) heißt uf deutsch ermngeln. In der Sprchwissenschft ist eine Ellipse eine Einsprung von Stzteilen, z.b. "Mch ich." sttt, "Ds mche ich.". Der Brockhus schreit, die (ovle) Ellipse hieße so, weil es ihr n der Kreisform mngelt. Diese Begründung ist er nur "usgedcht".
Kurven Kegelschnitt-Prmeter im Zusmmenhng Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Uni Lüneurg, 13. Dezemer 003 x + = 1 Ellipse Mittelpunktsgleichung Hperel x = 1 Flls heißt große Hlchse, kleine Hlchse. Bei der Hperel hen die Asmptoten die Gleichungen =± x. Ellipse e = Hperel e = + e =Brennpunkt- Astnd p = Allgemeine Scheitelgleichung der Kegelschnitte = p x (1 ε ) x ε = k. Es gilt. ε < 1 ε = 1 ε > 1 g= Astnd des Scheitels von der Leitgerden, Ein Kegelschnitt-Punkt P, der den Astnd L von der Leitgerden ht, ht den Astnd vom Brennpunkt. Ordinte m Brennpunkt. ε L = kl p = ε (1 + ε ) g p p p = = = 1 ε 1 ε ε Ellipse,, Hperel, 1 e cos β ε = = α cosα 0 β 90 Schnittwinkel zw. Eene und Kegelchse. ε = 1 Numerische Exzentrizität, mit = hler Öffnungswinkel des Kegels, = für Preln. ε p 1
Algerische Kurven Areitsltt Kurven Klsse 8 Seite 1 / 3 Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Areitsltt, T 3 -Tgung Wetzlr 00, Hinweis: Die hier vorgestellte Möglichkeit, Kurven punktweise durch Azählen zu erzeugen, ermöglicht ds Üen für eine Klssenreit. Zu den Konstruktion 1,,3 pssen dnn 6 und 7, die uch n die Hndlungsweise mit dem Fden nknüpfen. Zu K4 psst ls Trnsfer K5. Ein guter Vorschlg für eine Klssenreitsufge, die zu K4 und K5 psst, ist uch die Versier (Extrltt) Areitsltt Kurven Kl 8 Seite 1 Dr. Hftendorn Dez 001 Konstruktion 1 Der Punkt P ht von der senkrechten Gerden g diesele Entfernung wie von dem Punkt F. Mn knn ds durch Azählen der Kreise und Kros feststellen. F heißt Brennpunkt und g heißt Leitgerde. Erzeuge durch Azählen weitere solche Punkte P. Der geometrische Ort ller P heißt Prel. Hndlungshilfe: P liegt uf der 1. Senkrechten Krolinie von links und uf dem 1. Kreis um F. Wo die 13. Krolinie den 13. Kreis schneidet ist wieder eine richtige Stellung für P, usw. Konstruktion Ist für P die Entfernung von F nur hl so groß wie die von g, so entsteht eine Ellipse. Hndlungshilfe: 6. senkrechte Linie und 3. Kreis liefert zwei Stellungen für P, dnn 8. Linie und 4. Kreis usw. Konstruktion 3 Ist für P die Entfernung von F dreiml so groß wie die von g, so entsteht eine Hperel. Hndlungshilfe:. senkrechte Linie und 6. Kreis liefert eine Stellung für P, dnn 3. Linie und 9. Kreis usw. Konstruktion 4 P liegt uf der Gerden BQ und ht von der wgerechten Gerden denselen Astnd wie Q. Ds knn mn durch Azählen von Kros feststellen. Wenn Q uf dem Kreis wndert, ewegt sich P uf einer "Kissoide", einer "Efeu-Kurve". Erzeuge weitere Punkte P. Hndlungshilfe: Rücke Q eine wgerechte Krolinie herunter und verinde Q mit B. Auf dieser Gerde und genu eine Krolinie höher liegt der neuer Punkt P. g 8 6 4-4 6 8 - -4-6 -8 B 8 7 6 5 4 3 1-6 -4-4 6 F M P P Q
Algerische Kurven Areitsltt Kurven Klsse 8 Seite / 3 Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Areitsltt, T 3 -Tgung Wetzlr 00, Konstruktion 5 P liegt uf der Gerden BQ und ht von der wgerechten Gerden durch B denselen Astnd, den Q von der wgerechten Gerden durch M ht. Ds knn mn durch Azählen von Kros feststellen. Wenn Q uf dem Kreis wndert, ewegt sich P uf einer "Strophoide", einer "Seil- Kurve". Erzeuge weitere Punkte P. 4-6 -4-4 6 - -4 B P M -6 Q -8 Konstruktion 6 Gesucht ist der geometrische Ort ller Punkte, die von den eiden Brennpunkten F1 und F die Entfernungssumme s=0 Kros hen. Erzeuge viele solche Punkte durch Azählen. Fdenkonstruktion der Ellipse Hndlungshilfe: 0=10+10, lso 10. Kreis von F1 und 10. Kreis von F, eenso 11. und 9., dnn... F1 4-4 - 4 F Konstruktion 7 Gesucht ist der geometrische Ort ller -4 Punkte, die von den eiden Brennpunkten F1 und F die Entfernungsdifferenz von d=8 Kros hen. Erzeuge viele solche Punkte durch Azählen. Fdenkonstruktion der Hperel Proiere weitere Hpereln zu erzeugen, indem du für d uch ndere gerde Zhlen wählst. Achtung: 1Kro = 1 Kästchenreite = ½ Einheit -
Algerische Kurven Areitsltt Kurven Klsse 8 Seite 3 / 3 Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Areitsltt, T 3 -Tgung Wetzlr 00, Areitsltt Kurven Kl 8 Gleichungen Dr. Hftendorn Dez 001 Welche gesicherten Punkte hen die Kurven uf dem Kurven-Areitsltt? Achtung: 1Kro = 1 Kästchenreite = ½ Einheit Welche Eigenschften hen die Kurven für große Werte? Git es Grenzen für die x- Werte oder die -Werte? Konstruktion Sichere Punkte x-wert elieig groß? Grenzen? K1 Prel -Wert elieig groß? Grenzen? K Ellipse K3 Hperel K4 Kissoide K5 Strophoide K6 Ellipse K7 Hperel Welche Gleichungen gehören zu welchen Kurven uf dem Kurven- Areitsltt? Für K1, K4, K5, K6, K7 (ohne K und K3) git es mindestens eine Gleichung. Prüfe mindestens zwei der gesicherten Punkte. Achtung, einige Gleichungen sind nur umgeformt worden. Allerdings git es uch flsche Umformungen. Welche sind ds? A B C D 1 x (8 ) = 3 = 8 x x (4 ) = (4 + ) 3 x = 1 4 1 x = 8 8 x = ( x + ) 4( x ) = ( x + ) 3 8x x = x + = 1 5 9 4x = x + 3 8x = Beispiel: Aus der Konstruktion ist zu sehen, dss P(4,4) uf der Kissoide liegt. Nun prüfe ich, welche der Gleichungen für x=4 und =4 eine whre Aussge ergit. 3 Gleich oen links mit A1 he ich Glück, denn 4(8 4) = 4 ist whr. Ds knn die Kissoidengleichung sein. (0/0) erfüllt die Gleichung uch. Für =8 ist die Gleichung unerfüllr: 0=8³. Ds psst uch zur Kissoide. D keine ndere Kurve den Punkt (4/4) enthält, wird dies die Kissoidengleichung sein. C1 und C3 sind Umformungen dvon, D3 ist eine flsche Umformung oder eine ndere Kurve. Dtei k-g-reitsltt.doc
Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Leuphn Universität Lüneurg, www.mthemtik-verstehen.de 0. Juni 008 Areitsltt Kurven Klsse 8 Gleichungen zu K1, K K3 Die Scheitelgleichungen lssen sich leicht ufstellen. Mn ht j den Astnd F von G, nämlich 8. p ist ei diesen drei Aufgen entweder gleich 8, die Hälfte von 8 oder ds Dreifche von 8. Bei Ellipse und Hperel muss mn noch die -Achse in den Scheitel stellen. Die Gleichung in der verschoenen Mittelpunktsform lässt sich uf diesele Art estimmen mit der mn in Klsse 9 die Scheitelform der Prel estimmt, nämlich mit qudrtischer Ergänzung.
Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Leuphn Universität Lüneurg, www.mthemtik-verstehen.de 5. Mi 008 Konstuktion 4 vom Areitsltt Kurven Kl.8 Kissoide Herleitung der Gleichung: Für = folgt v=0 us Gl1, us Gl folgt dnn u=0. lso liegt dnn Q in B. Rückt Q n B hern, wndert x nch Unendlich und gegen. Mn sieht uch n der Kissoidengleichung, dss = links 0*x^ er rechts 8 ^3 ergit, ds ist nur für x-> unendlich kein Widerspruch. Also ist die Gerde = die Asmptote.
Algerische Kurven Zu Areitsltt Kl 8, Konstruktion 4, Kissoide Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Areitsltt, T 3 -Tgung Wetzlr 00 Konstruktion 4 P liegt uf der Gerden BQ und ht von der wgerechten Gerden denselen Astnd wie Q. Ds knn mn durch Azählen von Kros feststellen. Wenn Q uf dem Kreis wndert, ewegt sich P uf einer "Kissoide", einer "Efeu-Kurve". Erzeuge weitere Orte für Punkt P. Relisierung in Schritten im DGS Dngeo-Euklid Erzeuge zuerst ds rechtwinklige Kreuz ei B. Du knnst ds Koordintenkreuz nehmen. Setze M zugfest uf die Senkrechte, der lue Kreis muss durch B verlufen. Setze Q zugfest uf den Kreis, verinde BQ mit einer Gerden, proiere o lles zugfest ist. Wähle mit dem Schnittpunkt-Werkzeug den Mittelpunkt des kleinen Kreises und konstruiere so P. Üerlege, wrum dmit die oen geforderten Strecken gleich lng sind. Ziehe n Q und eochte P, vergleiche mit deiner Von-Hnd-Konstruktion oen. B 8 7 6 5 4 3 1-6 -4-4 6 M P Q M P B Q Erzeuge die Ortskurve von P. Hndwerk: Icon Ortslinie ufzeichnen, P klicken, Q ziehen. Diese Kurve heißt Kissoide oder Cissoide. Die Griechen nnnten sie so nch der Spitze, die ein Efeultt ht (cissos=efeu). Welche esonderen Eigenschften der Ortskurve knnst du erkennen. Prüfe durch Ziehen n M, o die von dir gefundenen Eigenschften zugfest sind. Lösung: Die Kissoide knn nicht höher steigen ls is zur wgerechten Gerden durch den höchsten Punkt des Grundkreises. Mn sgt, sie ht eine Asmptote. Weiteres s.u. M B P Die tropfenförmige (rote) Spitze fnd Mthix, ls er ds oere Bild vergrößerte. Mthilde ht in der vergrößerten Version die Ortskurve nochmls gezeichnet. Sie wurde spitzer. Wie ist es denn nun? Reicht sie genu is B? Ist sie spitz? Lösung: Die Kissoide erreicht B, denn wenn Q gnz oen uf dem Kreis ist, muss P gnz unten, nämlich in B, sein. Computer zeigen nicht immer lles!!!! Wenn Q im Uhrzeigersinn uf dem Kreis wndert, läuft P in einer Linkskurve uf B zu. Der Kreis ist gnz gleichmäßig, es ist kein Grund zu sehen, wrum ei B eine kleine Rechtskurve sein sollte. Nch B ist es uch eine Linkskurve. Kl8konstr4Kissiode.doc
Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Leuphn Universität Lüneurg, www.mthemtik-verstehen.de 5. Mi 008 Konstuktion 5 vom Areitsltt Kurven Kl.8 Strophoide Herleitung der Gleichung: Für =- folgt v=0 us Gl1, us Gl folgt dnn u=0. lso liegt dnn Q in B. Rückt Q n B hern, wndert x nch Unendlich und gegen -. Mn sieht uch n der Strophoidengleichung, dss =- links 0*x^ er rechts ^3 ergit, ds ist nur für x-> unendlich kein Widerspruch. Also ist die Gerde =- die Asmptote.
Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Leuphn Universität Lüneurg, www.mthemtik-verstehen.de 5. Mi 008 Konstuktionen 6 und 7 vom Areitsltt Kurven Kl.8 Ellipse Hperel
Algerische Kurven Prof. Dr. Dörte Hftendorn, Areitsltt, T 3 -Tgung Wetzlr 00 Die Versier der Mri Agnesi Konstruktion der 8 Versier (Hexe). Um den Punkt M uf 6 Q der -Achse ist ein H P Kreis mit dem Rdius M 4 r=4 und eine Prllele zur x-achse im Astnd r zu sehen. Q läuft uf der Kreisstrße. Durch den U Ursprung und Q verläuft -10-5 5 10 eine Gerde, die die Prllele in H schneidet. Auf die gezeichnete Weise ergit sich P, P ht lso die x-koordinte von H und die -Koordinte von Q. Erzeuge weitere Stellungen von P, verschffe dir einen Üerlick üer die Ortskurve von P. Geschichtliches: Mri Agnesi untersuchte diese Kurve 1748 in ihrem Buch Istruzioni Anlitiche. In ltitlienisch heißt versier sowohl frei eweglich ls uch Hexe. In englisch heißt die Kurve nun Witch of Agnesi. Schon früher htte Fermt die Kurve untersucht. Begründe, wrum die Punkte B(8/4) und C(-8/4) gesicherte Punkte der Versier sind und nenne einen weiteren gesicherten Punkt. Die Gleichung dieser Versier ist ( x + 64 ) = 51. Bestätige, dss die drei sicheren Punkte die Gleichung erfüllen. Berechne zu drei selst gewählten x-werten die zugehörigen -Werte. Zeichne die drei so gewonnenen Punkte oen frig ein. 3 Mthilde ht im Lexikon ls llgemeine Gleichung der Versier gefunden: ( x + ) =, welchen Wert ht in dem oigen Fll? Mthix ht im Internet ls llgemeine Gleichung der Witch of Agnesi gefunden: 3 ( x + 4 r ) = 8r, welchen Wert ht r in dem oigen Fll? Begründe, wrum eide Gleichungen diesele Kurve definieren. Ws edeuten und r? Mthinchen ht einige Versuche gemcht, die Gleichung umzuformen. Kläre durch Einsetzen eines sicheren Punktes, welche der folgenden Unformungsversuche sicher flsch sind. : x + 64= 51 : 51 = x + 64 c: 3 ( x+ 8) = 8 d: Relisierung in Schritten im DGS Dngeo-Euklid x + 8 = 8 3 Erzeuge zuerst ds rechtwinklige Kreuz ei U. Du knnst ds Koordintenkreuz nehmen. Setze M zugfest uf die Senkrechte. Konstruiere den Kreis mit dem Rdius MU und erzeuge den Schnittpunkt A, errichte dort eine Senkrechte, lso eine Prllele zur x-achse. Setze Q zugfest uf den Kreis, verinde UQ mit einer Gerden, proiere o lles zugfest ist. Erzeuge mit dem Schnittpunkt-Werkzeug H und konstruiere mit zwei senkrechten Gerden den Punkt P. Die Gerden sind hier versteckt. Ziehe n Q und eochte P, vergleiche mit deiner Von-Hnd-Konstruktion oen.