Lösungsskizzen zur Präsenzübung 06 Mirko Getzin Universität Bielefeld Fkultät für Mthemtik 23. Mi 2014 Keine Gewähr uf vollständige Richtigkeit und Präzision ller (mthemtischen) Aussgen. Ds Dokument ht lediglich den Anspruch, eine Hilfestellung für die Tutnden beim Verständnis der Vorlesungsinhlte zu sein und Lösungsideen für die Aufgben möglichst vollständig (bis uf Ausnhmen) zu skizzieren. Eine Veröffentlichung oder Vervielfältigung ist nur nch Rücksprche mit dem Urheber dieses Dokuments erlubt. E-Mil: Mirko.Getzin@uni-bielefeld.de Tutor der Anlysis II im SoSe 14
1 Lösungsskizzen zur Präsenzübung 06 Aufgbe 1 Berechnen Sie die Bogenlängen der folgenden Kurven: () f 1 (t) := (r cos(t), r sin(t), ct), r > 0, c 0, t [, b] (Schrubenlinie), (b) f 2 (t) := (e ct cos(t), e ct sin(t)), c > 0, t [, b] (Logrithmische Spirle), (c) f 3 (t) := (t sin(t), 1 cos(t)), t [0, 2π] (Zykloide). Lösung: Wir stellen zunächst fest, dss lle Kurven differenzierbr sind, d sie komponentenweise differenzierbr sind. Insbesondere sind die Komponenten nch den üblichen Argumenten differenzierbr (Produkt, Komposition, Summe von differenzierbren Funktionen...). Wir nutzen in den Umformungen häufig den trigonometrischen Pythgors, d.h. sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 x R. (1) () Es ist f 1 (t) = ( r sin(t), r cos(t), c) und folglich f (t) = ( r sin(t)) 2 + (r cos(t)) 2 + c 2 = r 2 (sin 2 (t) + cos 2 (t)) +c }{{} 2 = r 2 + c 2. Nun stellen wir fest, dss f 1 (t) stetig ist, d die Funktion komponentenweise stetig ist. Wir berechnen lso die Bogenlänge L 1 mittels (b) Es ist L 1 = = f 1(t) dt r 2 + c 2 dt r,c=const. = (b ) r 2 + c 2. f 2(t) = (c exp(ct) cos(t) exp(ct) sin(t), c exp(ct) sin(t) + exp(ct) cos(t)) = (exp(ct)(c cos(t) sin(t)), exp(ct)(c sin(t) + cos(t))). Es folgt dnn mittels geeigneter Ausklmmerungen mit dem trigonometrischen 2
Pythgors und den Potenzgesetzen: f 2(t) = (exp(ct)(c cos(t) sin(t))) 2 + (exp(ct)(c sin(t) + cos(t))) 2 = exp(2ct)(c 2 cos 2 (t) 2c cos(t) sin(t) + c 2 sin 2 (t) + 2c sin(t) cos(t) + cos 2 (t)) = exp(ct) c 2 (cos 2 (t) + sin 2 (t)) + cos 2 (t) + sin 2 (t) }{{}}{{} = exp(ct) c 2 + 1. Wir stellen fest, dss f 2 (t) stetig ist, d jede Komponente stetig ist ls Produkt offensichtlich stetiger Funktionen. Dnn folgt mit der Formel für die Bogenlänge (Stz 4.9) L 2 = f 2(t) dt = = c 2 + 1 exp(ct) dt exp(ct) c 2 + 1 dt c = 2 + 1 exp(ct) b c = 1 + 1/c 2 (exp(cb) exp(c)). (c) Vergleiche Beispiel 4.12 (ii) uf Seite 35 im Skript. Es geht in der Rechnung unter nderem ein trigonometrisches Additionstheorem ein, welches die Rechnung vereinfcht. Bemerkung 1 Bechtet, dss die Formel für die Bogenlänge per Integrl nur dnn genutzt werden drf, wenn die Kurve stetig differenzierbr ist, d.h. wenn f (t) uch stetig ist. Dies muss stets zunächst geprüft bzw. ngegeben werden, bevor ihr die Formel verwendet. Vergleiche Stz 4.9 hierzu. 3
Aufgbe 2 Zeigen Sie, dss jede rektifizierbre Kurve uf einem Intervll [, b] beschränkt (in R n ) ist. Beweis: Es sei [, b] R ein beliebiges bgeschlossenes reelles Intervll. Abgeschlossene Intervlle sind bgeschlossen und beschränkt, nch dem Stz vom Heine-Borel lso sogr kompkt ls Teilmenge der reellen Zhlen. Es sei ußerdem γ : [, b] R n eine beliebige Kurve. Dnn ist γ eine stetige Abbildung per Definition von Kurven und wir erhlten mit Stz 3.8 (iii) die Behuptung wie folgt: γ bildet ds Kompktum [, b] stetig b. Es folgt, dss γ lso Minimum und Mximum nnimmt. Dies ist äquivlent dzu, dss γ beschränkt ist. D γ eine beliebige Kurve ist, folgt die Behuptung, dss lle Kurven uf einem reellen Intervll [, b] beschränkt sind. Bemerkung 2 Die Forderung der Rektifizierbrkeit der Kurve wird nicht benötigt. 4
Aufgbe 3 Es sei v R n. Berechnen Sie den Grdienten von: () g 1 (x, y) := y 2x 2 + y 2, (x, y) R 2, (b) g 2 (x) :=< x, v >, x R n, (c) g 3 (x, y, z) := z 2 sin(5y) cos(x), (x, y, z) R 3. Lösung: Die Funktionen g 1, g 2, g 3 sind prtiell differenzierbr ls Kompositionen, Summen und Produkte von (prtiell) differenzierbren Funktionen, denn trigonometrische Funktionen und Polynome sind (prtiell) differenzierbr. Wir können lso die beknnten Differentitionsregeln nutzen. () Mit Hilfe der Ketten- und Produktregel folgt: 4xy 1 g 1 (x, y) = 2 1 2x 2 + y 2 1 + y 2y = 2xy 2(x 2 +y 2 ). 2 2xy = 2x 2 + y 2 + y 2 (b) Es ist < x, v >:= n x i v i. Beim prtiellen Differenzieren nch i-ter Komponente i fllen lso die Summnden mit x j für j i weg ls Konstnten. Wir erhlten dher für festes v R n : g 2 (x) = (v i ) i,...,n = v. (c) Mit Hilfe der Kettenregel für die zweite Komponente folgt: z 2 sin(5y) sin(x) g 3 (x, y, z) = 5z 2 cos(5y) cos(x). 2z sin(5y) cos(x) Bemerkung 3 Bechtet, dss ihr immer die Differenzierbrkeit der Funktionen überprüfen müsst bzw. ngeben müsst, bevor ihr Differentitionsregeln nwendet. Hierzu genügen meist Stndrdrgumente über Verknüpfungen von differenzierbren Funktionen. Bechtet uch, dss eine Funktion genu dnn differenzierbr ist, wenn jede Komponente von der Funktion differenzierbr ist. Dies ist vor llem bei Kurven wichtig, vgl. Aufgbe 1. 5