Modellierung des zeitlichen Verhaltens mit Warteschlangen

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1 H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L Modellierug des zeitliche Verhaltes mit Warteschlage Prof. Dr.-Ig. Adreas ikel adreas.rikel@hsr.ch Tel.: Mobil:

2 Ihalt H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L Problembeschreibug Wartesysteme Die M/M/1 Queue Die M/M/ Queue Feedback Ceter Close Queuig ystem

3 Problembeschreibug H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L Das logische Verhalte vo Ereigisströme ka durch die klassische Asätze der ML ud Erweiteruge bereits hiläglich gut beschriebe werde Activity-, Colaboratio-, Prozessdiagramme Aber: Durch die Ereigisverarbeitug werde icht ur logische Etscheiduge getroffe oder Trasformatio durchgeführt, soder jede Ereigisverarbeitug beötigt Zeit ud/oder essource, d.h. durch de uterschiedliche zufällige Zeitbedarf der Ereigisbearbeitug : köe sich Ereigisse überhole aces dies führt ggf. zu eiem uterschiedliche logische ystemverhalte warum? tehe icht geüged essource zur Ereigisbearbeitug zur Verfügug: taue sich Ereigisse i eiem beliebig grosse Wartebereich reies Wartesystem taue sich Ereigisse i eiem begrezte Wartebereich; ist keie Warteplatz mehr frei, gehe die Ereigisse verlore Warte- Verlustsystem Köe Ereigisse verlore gehe, d.h. keie Pufferug reies Verlustsystem 3

4 Fragestellug g H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L Wie gross ist die mittlere Aufethaltsdauer im ystem? Akuftsprozess: Wie viele Ereigisse komme im Mittel pro Zeiteiheit a? Welcher Verteilugsfuktio folgt der Ereigisstrom? Wie Gross ist die Warteschlage? mittlere Wartezeit? die Wartewahrscheilichkeit? Wie Gross ist die Verlustwahrscheilichkeit? oder Blockierugswahrscheilichkeit? erviceprozess: Wie lage Dauert die mittlere ervicezeit? Welcher Verteilugsfuktio folgt die ervicezeit? wie viele essource stehe zur Verfügug? wie gross ist die Auslastug der essource? 4

5 Wartesysteme: imple Queue I M/M/1/fifo H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L Die M/M/ 1/fifo oder M/M/1 Queue im Warteschlagesystem oder queueig ceter gehe geerell keie Toke verlore werde keie eue Toke erzeugt. sid alle Werte Mittelwerte, hier jeweils Markov Prozess, d.h. eg. expoetiell beschriebe erierugsfrei! der Eigagswartepuffer ist uedlich groß der Zeichevorrat der Quelle ist uedlich die Bediestrategie i ist first i first out 5

6 Wartesysteme: imple Queue II, M/M/1 H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L : esidece Time = Waitig Time + ervice Time Quelle Toke Wii Waitig Time ervice Time = A/T A/T: Arrival ate Legede: A: Azahl der akommede Toke C: Azahl der abgefertigte Toke T: Beobachtugszeit des ystem B: Gesamtzeit, i der das ystem aktiv war busy time : tilizatio, ist gegebe zu: = B/T erver : ervice Time = B/C für ei B C Durchsatz: = C/T stabiles ud A T B C C T C T ystem B: Gesamtzeit i der das ystem aktiv war busy time B T folgt gilt mit 6 :

7 Wartesysteme: imple Queue III, M/M/1 H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L Quelle Toke Waitig Time W= Q * = A/T Queue Queuelegth: Q = = B/C Durchsatz: = C/T Little s Gesetz gilt = da gilt Q = * ; 1 Q Bedigug für ei stabiles ystem W W Little s Gesetz: <ate> * <Zeit> Bsp. Wegberechug

8 Wartesysteme: Zusammefassug M/M/1 H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L / Beispiel: Bestimme ie die mittlere Aufethaltdauer eies Tokes bezoge auf die mittlere Bediezeit der Bediestatio eies M/M/1 ystem als Fuktio der tilizatio ud iterpretiere ie das Ergebis! Zusammefassug M/M/1 = + = Q = /1 - * Q = /1- * W = * / 1 - = B/C *C/T = 8

9 Wartesysteme: Twi Ceter I, die Parallelschaltug vo bzw. M/M/1 Queues H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L = + Q Q=/ * = C/T = A/T = + Q Q = = C/T = + Q * = C/T Q = / 9

10 Wartesysteme: Twi Ceter II, die Parallelschaltug vo bzw. M/M/1 Queues H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L Für die M/M/1-Queue galt: Q Q 1 Q 1 W 1 = A/T = + Q Q = / * = C/T Das Twi Ceter folgt: = C/T Q 1 Q 1 Q mit * fo lgt erver tilisatio Q 1 = + Q Q = / ist die Wahrscheilichkeit, das der erver besetzt ist! Keie äherugslösug * = C/T 10

11 Wartesysteme: Dual erver M/M/ I H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L = + Q Q = / = C/T = A/T s* = C/T = + Q = C/T Q = / Aus icht der Warteschlage halbe Bediezeit: * = 0.5 ter Eibezug der Wartewahrscheilichkeit wird = + * Q 11

12 Wartesysteme: Dual erver M/M/ II H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L = A/T = C/T Q mit Q Am.: Die etwickelte Formel stelle für erver ei exaktes Ergebis dar. Die Extrapolatio vo auf mit =/ ist eie äherug.. Eie gute ährug wird erzielt für < 0,33 Für größere muß die Erlag Fuktio zur exakte Berechug beutzt werde. iehe Literatur, z.b. Kleirock 1 Q 1 Multiplikatio mit 1 1

13 H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L Wartesysteme: Multi erver igle Queue M/M/ y g, 1 C = A/T = C/T C/T 3 Erlag C-Fuktio 1!, k C 1 0!! 1 k k k 13

14 Wartesysteme: Vergleich zwische Twi Ceter ud Dual erver H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L eihe1 eihe 14

15 Wartesysteme: Feedback-Ceter I H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L ystem p = A/T ervice Device p p dev C sys = = 1-p = : effektive Akuftsrate t 15

16 Wartesysteme: Feedback-Ceter II H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L ystem p V = C dev /C sys V= dev / = A/T ervice Device V = 1/1-p p p C dev dev C sys = 1-p = D = V = D/1-D : effektive Akuftsrate V : mittlere Azahl der Eigabe Visits im Verhältis zum rsprugsverkehr, Bsp. 500/400 =1.5 Vermehrug der Toke um de Faktor 1.5 D: mittlere akkumulierte ervicezeit, je größer die Azahl der zurückgeleitete Toke sid, desto größer die akkumulierte ervicezeit 16

17 Wartesysteme: Closed Queueig Ceter I H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L = A/T begrezte Azahl vo Toke s = C/T Offees ystem Die Modellierug eies ystems durch ei offees Queueig Ceter ist eie gute Beschreibug für Modelle mit viele Verkehrsteilehmer bzw. mit eier uerschöpfliche Produktio vo Toke I mache ituatio kokurriere jedoch eie begrezte Azahl vo Toke um eie essource. Azahl der Toke begrezt id alle Toke i der Queue, so werde keie eue Toke produziert, ud der Verkehr geht gege 0 Bspiele: estaurat Begrezte gerige Azahl vo utzer eier Applikatio 17

18 H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L Wartesysteme: Closed Queueig Ceter II y g Azahl der Toke Für Q galt: Q Beschreibe die Z Q Dekzeit Z Z Z Z s Q Q Z Q Z Q Z espose Time Law: Lasowska et al 1984, Abschätzug Z Für die tilisatio 18, Abschätzug für m erver m s s Für die tilisatio gilt weiterhi:

19 Wartesysteme: Zusammefassug H HOCHCHLE FÜ TECHIK A PPEW I L Wartesysteme beschreibe ysteme i dee keie Toke verlore gehe. Wartesysteme diee zur Beschreibug des mittlere zeitliche Verhaltes eies ystems. Daraus lässt sich: Die mittlere Wartezeit bestimme Der durchschittliche peicherplatzbedarf abschätze Diee zur aalytische tersuchug des eigeschwugee ystemzustades Die hier vorgestellte Formel gelte für Markov Akufts- ud Bedieprozesse Eie experimetelle Methode, mit der auch der Eischwigvorgag ud beliebige Akufts- ud Bedieprozesse beschriebe werde köe, ist die imulatio 19