Grundlagen: Thermodynamik Teil 2. Institut für Verbrennungskraftmaschinen und Thermodynamik. Michael Lang

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1 Grundlagen: Thermodynamik Teil 2 Michael Institut für Verbrennungskraftmaschinen und Thermodynamik Vorstand: Univ.-Prof. DI Dr. Helmut Eichlseder 1

2 System, Zustand, Prozess Grundlagen Thermodynamik: System, Zustand, Prozess Lernziele: Thermodynamisches System definieren Thermodynamisches System klassifizieren Zustände und Zustandsgrößen in der THD beschreiben Prozesse und Prozessgrößen in der THD erklären Thermische Zustandsgleichung für ideale Gase anschreiben 2

3 System, Zustand, Prozess System, Zustand, Prozess P System: durch eine gewählte Systemgrenze von der Umgebung abgegrenzter Raum 3

4 System, Zustand, Prozess System, Zustand, Prozess P System: durch eine gewählte Systemgrenze von der Umgebung abgegrenzter Raum Zustand: Eigenschaft der Materie im System, beschrieben durch Zustandsgrößen (z.b.: Thermische / Kalorische Z.G.) Prozess: Änderung des Zustands eines Systems, oft durch Transport von Wärme, Arbeit oder Masse über die Systemgrenze 4

5 System, Zustand, Prozess System (homogen) Zustand & Prozess P Zustand Z(t 1 ) Prozess (1 2) Zustand Z(t 2 ) 5

6 System, Zustand, Prozess Zustandsgrößen vollständiges Differential d Größe prozess- bzw. wegunabhängig Potenzial 2 12 d z = z = z2 z1 1 = z thermische Z.: Druck p in N/m² = Pa, 10 5 Pa = 1 bar Temperatur T in K Spezifisches Volumen v = 1/r in m³/kg kalorische Z.: U, u, H, h, c p, c v Enthalpie h = u + p v Entropie: S 6

7 System, Zustand, Prozess Multipliziert man den Gradienten mit dem differentiellen Ortsvektor, erhält man unter der Voraussetzung, dass das Skalarfeld bezüglich aller Koordinaten partiell differenzierbar ist, das totale oder vollständige Differential. Z Z Z d Z = d x1 + d x x x x 1 2 n d x n = grad Z dx = Zdx Das vollständige Differential entspricht der Änderungen einer Funktion als Summe der Änderungen bei Konstanthaltung der einzelnen Koordinatenrichtungen, siehe Beispiel mit zwei unabhängigen Variablen in der Abbildung. d z = tg d x + tg d y = z x z d x + y y=konst. x=konst. d y Wenn dz ein vollständiges Differenzial ist, wird Z als Potenzial bezeichnet. Die Änderung eines Potenzials zwischen zwei Punkten 1 und 2 ist unabhängig vom Weg von 1 nach 2, das Integral kann durch Differenzbildung der Potenziale einfach berechnet werden. 2 1 dz = Z = Z 2 Z 1 7

8 System, Zustand, Prozess Prozessgrößen unvollständiges Differential d Größe prozess- bzw. weg-abhängig P 12 = 1 2 δp Wärme Q Arbeit W 8

9 Entropie P Die Entropie ist eine Zustandsgröße, deren Änderung ein Maß für die Änderung der Prozessgröße reversible Wärme darstellt. ds : = δq T rev = δq a + T δq R δqr d Sirr = ds irr 0 T Die reversible Wärme umfasst die über die Systemgrenze transportierte äußere Wärme und die im System entstehende innere Reibungswärme 9

10 System, Zustand, Prozess Klassifizierung von Systemen P Folgende Klassifikationen sind üblich: Masse über Systemgrenze? nein: GESCHLOSSEN ja: OFFEN Wärme über Systemgrenze? nein: ADIABAT ja: NICHT ADIABAT Zeitliche Änderung mind. einer Zustandsgröße? nein: STATIONÄR ja: INSTATIONÄR dq a? Systemgrenze dz dτ? dm? 10

11 System, Zustand, Prozess Thermische Zustandsgrößen Jedes Fluid: Thermische Zustandsgleichung f(p,t,v) = 0 11

12 Zustands-Diagramme eines Reinstoffs 12

13 Ts Diagramm eines Reinstoffs T Tk K gasförmig Verdampfen Ttr Tripellinie Sublimieren q s r 0 Entropie s 13

14 System, Zustand, Prozess Thermische Zustandsgrößen bei Idealen Gasen Jedes Fluid: Thermische Zustandsgleichung f(p,t,v) = 0 Versuche mit Gasen: - T = const. (Boyle-Mariotte): δq ab p 1 p 2 = V 2 V 1 p, T, V δw techn. - p = const. (Gay-Lussac): δq zu T 1 T 2 = V 1 V 2 p, T, V 14

15 System, Zustand, Prozess Thermische Zustandsgrößen bei Idealen Gasen - V = const. (Amontons): δq zu p 1 p 2 = T 1 T 2 p, T, V Thermische Zustandsgleichung f(p,t,v) = 0 für ideale Gase : P p V = m R T p v = R T R J kg K Gaskonstante (spezifische Schreibweise) 15

16 Lernzielreflexion In stationären Systemen ändern sich die Zustandsgrößen zeitlich nicht. Kreuzen Sie die zutreffende Antwort an: richtig falsch In adiabaten Systemen wird keine Arbeit über die Systemgrenze geführt. Kreuzen Sie die zutreffende Antwort an: richtig falsch (Lösung: Frage 1 richtig, Frage 2 falsch) 16

17 Lernzielreflexion Welche Eigenschaften weisen geschlossene thermodynamische Systeme auf? Kreuzen Sie die passende(n) Antworten(en) an: Es sind immer stationäre Systeme. Sie weisen keinen Massenstrom über die Systemgrenze hinweg auf. Sie sind immer Systeme, bei denen keine Arbeit über die Systemgrenze geht. Sie sind immer adiabat. (Lösung: 2. Antwort richtig) 17

18 Lernzielreflexion Ordnen Sie den genannten physikalischen Größen die entsprechenden Systemklassifikationen zu, die dadurch definiert werden können: Zustandsgröße Systemklassifikation 1) dτ offen /geschlossen 2) δq a stationär /instationär 3) dm adiabat /nicht adiabat (Lösung: Reihenfolge 3-1-2) 18

19 Lernzielreflexion Ergänzen Sie die Lücken in folgendem Text sinnvoll: Physikalische Größen, deren Wert unabhängig vom Wissen des vorangegangenen Prozesses festgestellt werden kann, nennt man. Die drei thermischen sind, und. Das bestimmte Integral einer solchen Größe 1 2 dz kann immer als eine aus Anfangs- und Endzustandsgröße geschrieben werden. (Lösung: Zustandsgröße; Zustandsgrößen; Druck; Temperatur; Volumen; Differenz) 19

20 Ungebundene Aufgaben Lernzielreflexion Welche Begriffe assoziieren Sie mit den folgenden Ausdrücken? p V = m R T δq a + δq r δq rev T (Lösung: Idealgasgleichung; reversible Wärme; Entropie) 20

21 Energiebilanz Grundlagen Thermodynamik: Energiebilanz Lernziele: Engergiebilanz (1.HS) für geschlossene Systeme anschreiben Energiegrößen im 1.HS beschreiben 1.HS auf einfache Systeme anwenden 1.HS auf Arbeits- und Kraftmaschinen anwenden Grundgleichungen der THD benennen 21

22 Energiebilanz Energieerhaltung geschlossenes System (1. Hauptsatz der Thermodynamik / 1.HS) P Zustand Z(t 1 ) Prozess (1 2)U E a Zustand Z(t 2 ) δq a δw techn. δq a + δw techn. = du + de a Transport über Systemgrenze Änderungen im System 22

23 Energiebilanz Energieerhaltung geschlossenes System (1. Hauptsatz der Thermodynamik / 1.HS) P äußere Energie E a Kinetische Energie E kin = m c²/2 in J = N m = kg m/s² Potentielle Energie E pot = m g z Innere Energie U ideales Gas: du = d(m u) = m du + u dm = m c v dt für m = konst.: dm = 0 23

24 Energiebilanz Energieerhaltung geschlossenes System (1. Hauptsatz der Thermodynamik / 1.HS) P Wärme dq a Arbeit W: dw ; dw tech = dw mech + dw V + technische Arbeit dw tech : Volumenänderungsarbeit dw V = p dv mechanische Arbeit über Welle oder Kolben dw mech elektrische Arbeit magnetische Arbeit, 24

25 Energiebilanz Energieerhaltung geschlossenes System (1. Hauptsatz der Thermodynamik / 1.HS) P U E a δq a δq a + δw techn. = δw techn. du + de a Transport über Systemgrenze Änderungen im System 25

26 Grundgleichungen Allgemeine Grundgleichungen in der THD - Zustandsgleichung f(p,t,v) = 0 P - Massenerhaltung S dm i = dm - Impulserhaltung S df i = di - 1. Hauptsatz der THD, Erhaltung der Energie S de i = de - 2. Hauptsatz der THD, Zunahme der Entropie im geschlossenen, adiabaten System ds = dq rev /T 0-3. Hauptsatz der THD, Nullpunkt der Entropie lim s = 0 T 0 26

27 Grundgleichungen In der Praxis wichtigste Grundgleichungen P - Zustandsgleichung f(p,t,v) = 0 für ideale Gase: p V = m R T, R = Gaskonstante p v = R T (spezifische Schreibweise) - 1. Hauptsatz der THD, Erhaltung der Energie: S de i = de für geschlossene Systeme: dq a + dw = du + de a 27

28 Anwendung Dampfkraftanlage 28

29 Kreisprozess Kreisprozess der reversiblen Kraftmaschine P Maximal möglicher Wirkungsgrad der Umwandlung von Wärme in Arbeit durch Carnot-Prozess: Carnot-Wirkungsgrad: η C = 1 T ab Tzu 29

30 Dampfkraftanlage, Kraftmaschine Q zu Aufwand P Kessel abgegebene Arbeit Nutzen Pumpe Kondensator Turbine Q ab η th = Wirkungsgrad Nutzen Aufwand = W ab Q zu η th,c = 1 T ab T zu 30

31 Energy flux [%Q B ] z.b.: Energiebilanz VKM. H E Systemgrenze Verdichter Turbine. H A -. H E H A - H E. Q ab. Q B Intercooler. Q K. Q. U Q Öl P e P e Q & B = P e + & Q ab + H & A H& E 31

32 Kälteanlage, Arbeitsmaschine Q ab P Drossel Kondensator Kompressor zugeführte Arbeit Aufwand Leistungszahl Verdampfer Q zu Nutzen ε th = Q zu W ε th, C = 1 T ab Tzu 1 32

33 Wärmepumpe, Arbeitsmaschine Q ab Nutzen P Drossel Kondensator Kompressor zugeführte Arbeit Aufwand Leistungszahl Verdampfer ε th = Q ab W zu Q zu ε th, C = 1 1 T zu T ab 33

34 Eine Kraftmaschine ist eine Maschine, die eine Energieform wie thermische oder elektrische Energie in mechanische Energie (= Arbeit) umwandelt, z.b. Motoren, Turbinen.. Eine Arbeitsmaschine ist eine angetriebene Maschine, die Energie in Form von mechanischer Arbeit aufnimmt, z.b. Pumpen, Verdichter. Oft treiben Kraftmaschinen Arbeitsmaschinen an. 34

35 Spitzentemperaturen Kraftmaschinen Umwandlung von Wärme in Arbeit: begrenzt durch den Carnot-Wirkungsgrad η C = 1 T ab Tzu Dampfkraftanlage ca. 550 C η C = 0,64 η e = 0,46 Verbrennungsturbine ca C η C = 0,83 η e = 0,40 Gas- und Dampfkraftwerk η e = 0,61 Verbrennungskraftmaschine ca C η C = 0,89 Otto-PKW: η e = 0,40 Diesel-PKW: η e = 0,45 Groß-Gasmotor: η e = 0,49 35

36 Lernzielreflexion Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt, in welche Richtung natürliche Prozesse ablaufen. Kreuzen Sie die zutreffende Antwort an: richtig falsch (Lösung: falsch) 36

37 Lernzielreflexion Welche Eigenschaften gelten für den maximal erreichbaren Wirkungsgrad (Carnot-Wirkungsgrad) eines Kraftprozesses? Kreuzen Sie die passende(n) Antworten(en) an: Er ist stark vom verwendeten Medium abhängig. Er liegt immer unter 100%. Er ist von der mittleren Temperatur der Wärmequelle abhängig. Er ist von der maximalen Temperatur der Wärmequelle abhängig. Er ist von der minimalen Temperatur der Wärmesenke abhängig. (Lösung: 2., 4. und 5. Antwort richtig) 37

38 Lernzielreflexion Ordnen Sie den genannten Energiegrößen die entsprechenden Bezeichnungen zu: Energiegröße Bezeichnung 1) δw t Äußere Energie 2) δq a Technische Arbeit 3) du Innere Energie 4) de a Äußere Wärme (Lösung: Reihenfolge ) 38

39 Lernzielreflexion Ergänzen Sie die Lücken in folgendem Text sinnvoll: Nach dem Hauptsatz der Thermodynamik können Energien können weder noch werden, sondern nur von einer in eine andere umgewandelt werden. (Lösung: 1.; erzeugt; vernichtet; Energieform) 39

40 Lernzielreflexion Zählen Sie die 6 Grundgleichungen der Thermodynamik auf! (Lösung: ) 40

41 Lernzielreflexion Welche Begriffe assoziieren Sie mit den folgenden Ausdrücken? pdv 1 T ab T zu (Lösung: Volumsänderungsarbeit; Carnot Wirkungsgrad) 41

42 Rechenbeispiele 42

43 System, Zustand, Prozess, Energie Methodik: 1. System definieren: durch eine gewählte Systemgrenze von der Umgebung abgegrenzter Raum P 2. Zustand und Medium definieren: Eigenschaft der Materie im System, beschrieben durch Zustandsgrößen 3. Prozess definieren: Prozess = Änderung des Zustands eines Systems, durch Differenz der Zustandsgrößen zur Umgebung oder durch Transport von Wärme, Arbeit oder Masse über die Systemgrenze 4. Grundgleichungen anwenden 5. Kontrolle: pv-diagramm, Ts-Diagramm, Einheiten, Plausibilität 43

44 Rechenbeispiel Energiebilanz Kreisprozess P Von einem Wärmekraftprozess (Dampfkreislauf, geschlossenes System) sind folgende Daten bekannt: Zugeführte Wärmeleistung Qሶ zu = 100 kw Abgeführte Wärmeleistung Qሶ ab = 70 kw a) Welche mechanische Leistung P ab (kw) (= -P ) ist maximal nutzbar? Wieviel PS entspricht diese Leistung? b) Wie lange dauert es mit dieser Leistung, eine Masse von 1 t auf eine Höhe von 100 m gegen die Erdanziehung anzuheben (g = 9,81 m/s²)? c) Wie hoch ist der Wirkungsgrad dieses Prozesses? (η th = Nutzen Aufwand ) Lösung: a) P ab = 30 kw = 40, 775 PS b) τ = 32, 700 s c) η = 30 % 44

45 Rechenbeispiel Ideales Gas: P Von einem Gas in einem geschlossenen System sind zwei Zustände bekannt: Zustand 1: t 1 = 20 C, p 1 = 1 bar, v 1 = 0,87 m³/kg Zustand 2: t 2 = 313,13 C, p 2 = 2 bar, v 2 = 0,87 m³/kg a) Weisen Sie nach, dass es sich um ein ideales Gas handelt! Lösung: R 1 = 296,78 J kg K b) Wie groß ist die spezifische Gaskonstante R (J/kg K)? Lösung: siehe a) c) Wie hoch ist die Volumsänderungsarbeit W V, die aufzuwenden ist um ein kg des Gases von Zustand 1 auf Zustand 2 zu bringen? Lösung: W V = 0 d) Stellen Sie die Energiebilanz des Systems auf (1. Hauptsatz) und vereinfachen Sie diesen. Wie groß ist die Wärme Q a, die bei dieser Zustandsänderung pro kg Gas zu- oder abgeführt wird? (Die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen des Gases beträgt: c v = 752 J/kg K) Lösung: Q a = 220, 43 kj R 2 = 296,78 J kg K 45

46 Rechenbeispiel d = 100mm Luftgefüllter Zylinder In einem durch einen Kolben dicht verschlossenen Zylinder mit einem Volumen von V 1 = 0,8 dm³ befindet sich Luft mit p 1 = p u = 1 bar und t 1 = 25 C. Die Luft wird durch Verschieben des Kolbens um x = 50mm komprimiert. Anschließend kühlt die Luft aus bis die Anfangstemperatur erreicht wird (Zustand 2, T 2 =T 1 ). Luft: R = 287 J/(kg K) P a) Welche Masse befindet sich im Zylinder? p 1, T 1, V 1 p u Lösung: m = 9, kg b) Wie groß ist das Zylindervolumen im Zustand 2? x Lösung: V 2 = 0,40730 dm³ c) Welcher Druck herrscht im Zustand 2 im Zylinder? p 2, T 2 =T 1 V 2 F p u Lösung: p 2 = Pa = 1,9642 bar d) Welche Kraft F muss im Zustand 2 auf den Kolben wirken damit dieser in Ruhe verharrt? Lösung: F = 757,24N 46

47 Rechenbeispiel Backofen Ein würfelförmiger Backofen mit einer Seitenlänge von a = 0,5 m ist im Zustand 1 mit Luft von t 1 = 25 C und p 1 = 1 bar gefüllt. Die Luft soll nun mittels einer elektrischen Heizung auf t 2 = 200 C erwärmt werden. Vereinfachend sei angenommen, dass der Backofen absolut dicht ist und keine Wärmeverluste auftreten. Luft: R = 287 J/(kg K), c v = 717,5 J/(kg K) P a) Berechnen Sie das Volumen des Backofens. Lösung: V = 0,125 m³ b) Welche Luftmasse befindet sich im Backofen? a Lösung: m = 0,14608kg c) Wie lautet der 1.HS der Thermodynamik? Q el d) Welche Energie muss über die elektrische Heizung zugeführt werden und wie hoch ist p 2? Lösung: p 2 = Pa = 1,5869 bar e) Wie lange dauert der Aufheizvorgang wenn die el. Heizung eine Leistung von P = 500 W hat? Lösung: τ = 36,685 s 47

48 Rechenbeispiel Energiebilanz und ideale Gasgleichung 1 kg Luft (R = 287 J/(kg K), c v = 717,5 J/(kg K)) wird solange erwärmt, bis es sich vom Volumen V 1 auf das Volumen V 2 = 2 V 1 reibungsfrei ausgedehnt hat. P a) Welche Volumenänderungsarbeit wird dabei an der Kolbenunterseite geleistet? Lösung: W v = 84134J b) Welche Temperatur hat die Luft im Zustand 2? Lösung: t 2 = 313,15 C c) Welche Wärmemenge muss der Luft für die Zustandsänderung zugeführt werden? Lösung: Q = J 12 V 2 = 2 V 1 V 1 m = 1 kg = konst. p 1 = 1 bar T 1 = 293,15 K = 20 C p 2 = p 1 T 2 =? 48

49 Rechenbeispiel Ideales Gas: P In einem Behälter mit dem konstanten Volumen V = 1 m 3 befindet sich ein ideales Gas (spezifische Gaskonstante R = 287 J/(kg K), c v = 717,5 J/(kg K)) mit der Temperatur T 1 = 300 K und dem Druck p 1 = 1 bar. a) Welche Masse des idealen Gases befindet sich im Behälter? b) Auf welche Temperatur T 2 darf das Gas maximal erwärmt werden, damit der Druck p 2 = 3 bar nicht überschritten wird? c) Welche Wärmemenge ist für das Aufheizen von T 1 auf T 2 erforderlich? Lösung: a) m = 1,1614 kg b) T 2 = 900,00 K c) Q 12 = J 49

50 Rechenbeispiel Katapult Ein Kolben mit einer Masse m k = 120 kg soll mittels Druckluft vom Zustand p 1 = 28 bar, t 1 = 250 C, V 1 = 1 dm³ von c k1 = 0 m/s auf c k2 = 8 m/s beschleunigt werden. Am Ende der Expansion soll der Druck im Zylinder p 2 gleich dem Umgebungsdruck p 2 = p u = 1 bar sein. Während der Expansion verrichtet der Kolben eine Volumsänderungsarbeit von W V12 = 831,5 J an der Umgebung. Des Weiteren erfolgt die Expansion adiabat (keine Wärme über die Systemgrenzen: Q a12 = 0 J). P Luft: R = 287 J/(kg K), c v = 717,5 J/(kg K) a) Welche Masse befindet sich im Zylinder? p 1, T 1, V 1 W V12 b) Wie lautet der 1.HS der Thermodynamik? c) Welche Temperatur hat die Luft am Ende der Expansion im Zylinder? Lösung: a) m = 0, kg d) Wie groß ist V 2 am Ende der Expansion? c) T 2 = 174,03 K d) V 2 = 9,3145 dm³ 50

51 Quelle: Strybny 51

52 Formelzeichen In Anlehnung an DIN , DIN 1345, DIN und ISO Lateinische Formelzeichen a m/s² Beschleunigung A m² Fläche, Oberfläche, Querschnittsfläche c m/s Geschwindigkeit c = dq rev /dt J/(kg K) spezifische Wärmekapazität c p ; c v J/(kg K) spezifische isobare; isochore Wärmekapazität E J Energie E a J äußere Energie Ex J Exergie F N Kraft g = 9,8067 m/s² Normfallbeschleunigung h J/kg spezifische Enthalpie H J Enthalpie m kg oder mol Masse N A = 6, /mol Avogadro-Konstante p bar, Pa Druck P (k)w Leistung; Prozessgröße Q J Wärme R J/(kg K) spezifische Gaskonstante s J/(kg K) spezifische Entropie s m Weg S J/K Entropie t C Celsius-Temperatur T K thermodynamische Temperatur u J/kg spezifische innere Energie U J innere Energie v m ³ /kg spezifisches Volumen w J/kg spezifische Arbeit W J Arbeit z m Höhe Z - Zustandsgröße 52

53 Formelzeichen Griechische Formelzeichen e WP - Leistungszahl der Wärmepumpe e KA - Leistungszahl der Kälteanlage h - Wirkungsgrad h C - Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses h e ; h i - effektiver; innerer Wirkungsgrad h m - mechanischer Wirkungsgrad h th - thermodynamischer Wirkungsgrad t s Zeit Operatoren und Bezeichnungen d vollständiges Differential d unvollständiges Differential Differenz zweier Größen Weitere Indices und Abkürzungen 1 Zustand (im Querschnitt, am Punkt) 1 2 Zustand (im Querschnitt, am Punkt) 2 a aus, außen, äußere ab abgeführt(e Wärme) i Laufvariable (1, 2,..., k), innere kin kinetisch o obere pot potentiell u untere, Umgebung W Wasser zu zugeführt(e Wärme) 53