Problemlösen in graphischen Strukturen Optimierung in Graphen Kurseinheit 2: Standortplanung und Transportoptimierung

Transkript

1 Problemlösen in grahischen Strukturen Otimierung in Grahen Kurseinheit : Standortlanung und Transortotimierung Autoren: Prof. Dr. Dietrich Ohse Prof. Dr. Klaus Neumann

2

3 i Inhaltsverzeichnis Lernziele.... Otimale Standortlanung..... Standardfragen der Standortlanung..... Mediane und Zentren Grundbegriffe und Definitionen Median-Probleme Zentren-Probleme Verfahren zur Lösung von -Median-Problemen..... Überdeckungsrobleme Grundbegriffe und Problembeschreibung Set-Covering-Location-Probleme Maimum-Covering-Location-Probleme Warehouse Location Probleme Grundroblem und seine mathematische Modellierung Kaazitierte einstufige Warehouse Location Probleme Modellierung von Transortroblemen Verallgemeinerungen des klassischen Transortroblems Lösungsverfahren für Transortrobleme Primale Verfahren für das Transortroblem Die Lösung des Transortroblems mit der Simle-Methode Kanonische Form der Ausgangslösung Die Basis des Transortnetzwerkes Interretation der Nichtbasisvektoren Bedeutung der Dualvariablen Otimalitätskriterium und Lösungsverbesserung Aktualisierung der Basis Fortsetzung und Abschluss der Rechnung Die Steing-Stone-Methode Das Transorttableau Die Kostenreduktion Flussänderung Potentialänderung Zusammenfassung des Algorithmus...

4 ii 7.. Bestimmung einer zulässigen Ausgangslösung Die Zeilen- bzw. Saltenfolge-Methode Die Zeilen-Salten-Minimum-Methode Die Matri-Minimum-Methode Vogels-Aroimations-Methode Beurteilung der Eröffnungsmethoden Imlementierung rimaler Methoden Ganzzahligkeit und vollständige Unimodularität Primal-duale Verfahren für Transort- und Umladerobleme Das Umladeroblem Der LP-Ansatz für das Umladeroblem Das Out-of-Kilter-Verfahren Sonderrobleme Die Ungarische Methode: Ein duales Verfahren zur Lösung des Zuordnungsroblems Das Zuordnungsroblem Duale Zulässigkeit Flussänderung Potentialänderung Netzwerkorientierte Darstellung der Ungarischen Methode Die Ungarische Methode in Transorttableauform... 9 Lösungen der Übungsaufgaben...

5 iii Lernziele Wenn Sie diese Kurseinheit bearbeitet haben sollen Sie unterschiedliche Prinziien der Standortwahl kennengelernt einen Überblick über die Klasse der Transortrobleme sowie über Verfahren zur Lösung dieser Probleme gewonnen haben. Im einzelnen sollen Sie die unterschiedlichen Ziele für Lokationsrobleme formulieren können die verschiedenen Varianten von Transortroblemen das allgemeine Umladeroblem und das Zuordnungsroblem kennen aus einer Problembeschreibung erkennen um welchen Problemt es sich handelt die jeweils dualen Probleme ableiten und sowohl das rimale als auch das duale Problem interretieren können die verschiedenen Probleme als Netzwerkfluss- oder Zirkulationsrobleme abbilden können verstehen dass die Steing-Stone-Methode eine sezielle Form der Simle-Methode darstellt die Eigenschaft der vollständigen Unimodularität von Matrizen kennen ohne großen Aufwand möglichst gute zulässige Ausgangslösungen berechnen können die Bedeutung der Dualwerte als Kostenotentiale erkannt haben gelernt haben die Bedingung des komlementären Schlufes als Otimalitätskriterium anzuwenden das Zusammensiel der Mengen und reduzierten Kosten als rimale und duale Lösungen verstehen können

6 iv das Zuordnungsroblem als sezielles Transortroblem formulieren können die Vorgehensweise bei der Ungarischen Methode in der tableauorientierten Form verstanden haben die Ungarische Methode als dualen Sezialfall des Out-of-Kilter-Verfahrens interretieren können.

7 Kaitel. Otimale Standortlanung Bevor in den Kaiteln 6 bis 8 sowohl Heuristiken als auch eakte Verfahren zur Lösung von Transortroblemen vorgestellt werden wird zunächst die Frage erörtert ob bereits bei der Wahl von Standorten für ein Unternehmen gemäß festgelegter Kriterien eine Otimierung hinsichtlich säterer logistischer Aufgaben erfolgen kann. Dabei wird auf verschiedene grahische Reräsentationsformen die Sie in der ersten Kurseinheit kennengelernt haben zurückgegriffen. Die dort eingeführte Form der Visualisierung wird stets kombiniert mit einer mathematischen Modellierung die das vorgestellte Problem auch einer Lösung mit entsrechender Software zugänglich macht... Standardfragen der Standortlanung Hat man im Rahmen konstitutiver Entscheidungen bei der Gründung von Unternehmen oder der Errichtung neuer Standorte Einfluss auf die Positionierung von Betriebsstätten oder Auslieferungszentren so besitzt diese Planungsaufgabe erhebliches Otimierungsotential. Ähnliche Fragestellungen ergeben sich bei der Suche otimaler Standorte für öffentliche Einrichtungen wie Krankenhäuser U- Bahnhöfe oder Polizeistationen. Neben Kostengesichtsunkten kommt im zuletzt genannten Fall die Forderung hinzu einen gewissen Servicegrad zu sichern. So soll beisielsweise das nächstgelegene Krankenhaus in einer fest vorgegebenen Zeit erreichbar sein. Standortrobleme lassen sich allgemein durch eine Reihe von Merkmalen beschreiben. Zu diesen gehören beisielsweise die vorliegende Toograhie die Anzahl der zu ositionierenden Einrichtungen und die Kaazitäten der Einrichtungen. In der Literatur (vgl. FRANCIS (98)) findet man auf Modellebene die Unterscheidung nach Standortmodellen in der Ebene Netzwerkmodelle und diskrete Modelle. Standortmodelle in der Ebene Netzwerkmodelle diskrete Modelle

8 . Otimale Standortlanung Standortmodell in der Ebene Netzwerkmodell Bei der Standortbestimmung in der Ebene geht man davon aus dass eine Menge von Kunden bzw. Lieferanten auf einer Fläche verteilt ist und jeder Punkt der Fläche otentieller Standort für einen Betrieb sein kann. Ziel ist die Transortkostenminimierung wobei unterstellt wird dass Transortkosten roortional zur zurückgelegten Entfernung sind. In Netzwerkmodellen ist die Menge möglicher Standorte auf die Menge der Knoten eines Grahen und die Menge der Punkte auf den Kanten des Grahen beschränkt. Ausgangsunkt bei dieser Form der Modellierung ist meist ein gegebenes Verkehrsnetz. Die Orte in denen die zu beliefernden Kunden angesiedelt sind werden den Knoten zugeordnet. Die Transorte laufen über Kanten bzw. Pfeile des Netzwerks. Distanzen werden als Längen kürzester Wege gemessen und Transortkosten bzw. zeiten gelten als roortional zu diesen Distanzen. Bei Netzwerkmodellen sind zwei Ten von Lokationsroblemen zu unterscheiden: Minisum-Lokationsroblem bzw. -Median-Problem Minima-Lokationsroblem bzw. -Zentren-Problem. Ziel ist die Ermittlung ein oder mehrerer Standorte durch Minimierung der Summe aus Fikosten und variablen Betriebs- oder Transortkosten. Neben der Kostensenkung können aber auch Forderungen nach Erfüllung eines Servicegrades in das Modell aufgenommen werden. diskretes Modell Gegenstand diskreter Modelle ist die Bestimmung der otimalen Anzahl der Größe und der Standorte von Produktionsstätten Warenhäusern oder Lagern von denen die Versorgung einer gegebenen Menge von Nachfrageorten erfolgt. Im Gegensatz zu Netzwerkmodellen wird nicht mehr elizit auf einen zugrunde liegenden Grahen Bezug genommen. Gegenstand dieses Kurses sind Grahen und Netzwerke und somit werden im nächsten Abschnitt die Möglichkeiten der Modellierung von Standortroblemen auf der Basis von Netzwerken detailliert vorgestellt... Mediane und Zentren... Grundbegriffe und Definitionen Modellgrundlage ist ein bewerteter ungerichteter Grah G = [V E c; b] wobei die Bewertung c zunächst o.b.d.a. als Entfernung interretiert wird. Gewichte b sind den Knoten zugeordnet und es können etwa vorhandene Angebote oder

9 Bedarfe quantifiziert werden. Die Länge einer kürzesten Kantenfolge mit den Endknoten i j in einem bewerteten Grahen G heißt Entfernung (oder Distanz) der Knoten i und j in Zeichen d[i j]. Enthält G keine Kreise negativer Länge so eistiert für je zwei verschiedene Knoten i j V die miteinander verbunden sind eine kürzeste Kantenfolge mit den Endknoten i j und folglich die Entfernung d[i j]. Sind zwei Knoten i j von G nicht miteinander verbunden so ist d[i j] =. Für die eingangs formulierten Lokationsrobleme verfolgt man naturgemäß eine knotenorientierte Betrachtung. So ist für ein Unternehmen etwa die Frage von Interesse wie kann der Transortaufwand vom Standort aus zu allen Nachfragern bei unterschiedlichen Bedarfen bewertet werden. Formal bestimmt man hierzu für einen Knoten i die gewichtete Distanz σ(i) zu allen Knoten j V j i. Für diese Berechnung ist es erforderlich dass die kürzesten Entfernungen vom Knoten i zu allen anderen Knoten bekannt sind. Sollten diese Informationen nicht vorliegen so ist vorab zunächst ein geeigneter Algorithmus zur Erstellung einer vollständigen Entfernungsmatri anzuwenden (vgl. Abschnitte.ff. der KE). σ ( i ) = d[ i j] b j j V Entfernung / Distanz In Abbildung. sind die Berechnungsgrößen für einen ungerichteten Grahen mit ausgezeichnetem Standortknoten i notiert. d[i] b i d[i] b d[i] d[i] b b Abb..: Ungerichteter Grah mit ausgezeichnetem Knoten i Ein Knoten i m mit σ ( ) = min{ σ ( i) i V} wird als Median von G bezeichnet. i m Median Ist man wieder unter Berücksichtigung der jeweiligen Bedarfe der Nachfrager daran interessiert in welcher Entfernung sich der am weitesten gelegene Ort befindet der angefahren muss so bestimmt man ρ ( i) = ma{ d[ i j] b j j V}.

10 . Otimale Standortlanung Radius Zentrum Dieser Wert ist gleichsam der kleinste Radius der vom Knoten i aus alle Knoten einschließt. Steht der Servicegedanke im Vordergrund so muss es das Ziel sein diesen Radius zu minimieren. Man bezeichnet den so ermittelten Knoten i z mit ρ ( ) = min{ ρ( i) i V} als Zentrum des Grahen. i z Übungsaufgabe. Notieren Sie die Berechnungsvorschriften für Median und Zentrum wenn ein bewerteter gerichteter Grah G = <V E c; b> vorliegt. Was ändert sich gegenüber dem ungerichteten Fall; was muss entsrechend berücksichtigt werden? Übungsaufgabe. Die fünf Dörfer Aalhus Borscheidt Churtingen Dalenkam und Estringen im Hochsauerland sind durch nur wenige Straßen miteinander verbunden; die Längen der direkten Verbindungen entnehmen Sie bitte folgender Matri D. (Erinnerung: bedeutet es gibt keine direkte Verbindung.) D : = a) Zeichnen Sie einen Grahen durch den die obige Situation visualisiert wird und der alle Angaben enthält. Welche Verbindungen sind nur in einer Richtung befahrbar? b) Ein Dorf soll durch die Ansiedlung eines Einkaufszentrums aufgewertet werden. Analsen haben ergeben dass von Aalhus Borscheidt und Churtingen aus mit je Einkäufen ro Tag zu rechnen ist. Dalenkam und Estringen dagegen sind größer; von hier aus werden Einkäufe täglich erwartet. In welchem Dorf sollte das Einkaufszentrum gebaut werden damit die Gesamtfahrstrecke für alle Tageseinkäufe minimal ist. c) Eine weitere Standortfrage beschäftigt die dortige Feuerwehr. In welchem Dorf sollte die neue Feuerwehrstation gebaut werden damit bei einem Einsatz der Weg zum am weitesten entfernt liegenden Dorf am kürzesten ist.

11 ... -Median-Probleme Nachdem der Begriff des Medians im vorigen Abschnitt eingeführt wurde steht nun die grahische und mathematische Modellierung für den allgemeinen Fall im Vordergrund. Zudem erfährt das Problem eine Erweiterung durch die Möglichkeit der Verteilung eines Unternehmens auf mehrere Standorte. Ein Beisiel soll zur Verdeutlichung der Zusammenhänge an den Anfang gestellt werden. Beisiel. Der Güterverkehr in der Stadt Zwickau soll durch die Einrichtung von Logistikzentren otimiert werden. Ziel ist es eine Reduzierung des Wirtschaftsverkehrs in der Innenstadt durch eine bessere Auslastung der Fahrzeuge zu erreichen. Betrachtet wird folgende vereinfachte Ausgangssituation: Die zu beliefernden Nachfrager (Einzelhändler Handelszentren Industrie- und Gewerbebetriebe) sind innerhalb des Stadtgebietes angesiedelt und ihre Standorte werden formal durch eine geograhische Position im Modell durch die Knotenmenge V = { 6} reräsentiert (siehe Abb..). Die Zulieferungen erfolgen er Bahn oder LKW über Bahnhöfe oder Autobahnanschlussstellen. Die Belieferung erfolgt nicht direkt sondern die Waren sollen in Logistikzentren umgeladen und dann gegebenenfalls weiter transortiert werden. Alle Nachfrager gehören zu einer Unternehmensgrue und es besteht grundsätzlich die Möglichkeit an jedem ihrer Standorte ein entsrechendes Logistikzentrum zu errichten d[] = 66 6 b = Abb..: Auf die relevanten Verbindungen reduziertes Verkehrsnetz Der Weitertransort sei nur auf dem bestehenden Verkehrsnetz möglich das durch den Grahen in Abbildung. beschrieben wird. Die zurückzulegenden Entfernungen sind jeweils an den Kanten die mittlere erwartete Nachfrage an den Knoten notiert. Das Verkehrsaufkommen wird gemessen an den insgesamt für den Transort zurückgelegten Kilometer.

12 6. Otimale Standortlanung Das in Beisiel. vorgestellte Standortroblem stellt den Konzern vor die Aufgabe nicht zwingend einen einzigen Standort für ein Logistikzentrum auszuwählen sondern gegebenenfalls auch zwei oder mehr Knotenunkte zu berücksichtigen. Sei G = [V E c; b] ein bewerteter ungerichteter zusammenhängender Grah mit nichtnegativen Kanten- und Knotenbewertungen sowie V eine -elementige Teilmenge der Knotenmenge V. Die kürzeste Distanz einer solchen Teilmenge V zu einem Knoten j ist definiert als d( V j) = min{ d[ v j] v V }. Übungsaufgabe. Übertragen Sie die Definition der gewichteten Distanz σ(i) eines Knotens i V in einem Grahen G = [V E c; b] auf die gewichtete Distanz σ(v ) einer -elementigen Teilmenge der Knotenmenge V. -Median Eine -elementige Teilmenge Median von G bezeichnet. V m mit ( Vm ) = min{ σ ( V ) V V} σ wird als Beisiel. (Fortsetzung von.) Bei zwei zu errichtenden Logistikzentren sind die Knoten und die idealen Standorte die in Abbildung. grau gekennzeichnet sind. Dabei werden die Knoten von aus und die Knoten 6 von aus beliefert b = d[] = Abb..: Verkehrsnetz mit -Median

13 7 Das -Median-Problem lässt sich als binäres lineares Otimierungsroblem formulieren. Bezeichne Anzahl der auszuwählenden Standorte I Menge der möglichen Standorte I = { l} J Menge der möglichen Nachfrager J = { m} M eine genügend große Zahl > l m d ij Entfernung d[i j] vom Standort i I zum Nachfrager j J b j Bewertung des Nachfrage-Knotens j J ij i /-Entscheidungsvariable die angibt ob Nachfrager j vom Standort i bedient wird ( ij = ) oder nicht ( ij = ) /-Entscheidungsvariable die angibt ob Standort i ausgewählt wird ( i = ) oder nicht ( i = ) dann lautet das Otimierungsroblem min z = b d (.) j J j ij ij u.d.n. ij = für alle j J (.) ij M i für alle i I (.) j J i = (.) ij i {} für alle i I j J (.) -Median-Problem Nebenbedingung (.) garantiert dass jeder Nachfrager j genau einem Standort i zugeordnet wird. (.) stellt sicher dass ein Standort i auch vorhanden ist wenn ihm ein Nachfrager zugeordnet wird und (.) legt die Anzahl der Standorte also die Anzahl der Mediane fest. Übungsaufgabe. Geben Sie zu dem in Beisiel. vorgestellten Standortroblem die konkrete Otimierungsaufgabe an. Gehen Sie wie in der Fortsetzung des Beisiels davon aus dass zwei Logistikzentren eingerichtet werden sollen.

14 8. Otimale Standortlanung... -Zentren-Probleme Wie bereits zu Beginn des Kaitels erläutert steht bei Zentren-Problemen der Servicegedanke im Vordergrund und damit die Frage in welcher Entfernung sich der am weitesten gelegene Ort befindet der angefahren muss. Auch für dieses Problem wird die grahische und mathematische Modellierung vorgestellt sowie auf die Möglichkeit der Einrichtung von Zentren erweitert. Sei G = [V E c; b] ein bewerteter ungerichteter zusammenhängender Grah mit nichtnegativen Kanten- und Knotenbewertungen sowie V eine -elementige Teilmenge der Knotenmenge V. Die kürzeste Distanz einer solchen Teilmenge V zu einem Knoten j wurde bereits in Abschnitt.. definiert als d( V j) = min{ d[ v j] v V }. Berechnet man ρ ( V ) = ma{ d[ V j] j V } so ist damit bestimmt in welcher Entfernung sich der am weitesten gelegene Ort relativ zu einer Menge V von Knoten befindet der angefahren muss. -Zentrum Eine -elementige Teilmenge V z bezeichnet man als Knoten--Zentrum von G wenn für jede andere -elementige Teilmenge V von V gilt: z ρ( V ) ρ( V ). Knoten--Radius V z ρ ( ) wird als Knoten Radius von G bezeichnet. Beisiel. (Fortsetzung von.) Der Konzern muss seine Filialen durch einen Wachschutz absichern; möchte aber aus Effizienzgründen nur an zwei Standorten entsrechendes Bereitschaftsersonal unterbringen. Diese Standorte sollen so gewählt sein dass bei einem Vorfall die Einsatzkräfte möglichst schnell vor Ort sind. Analsen ergaben dass für das bereits aus Beisiel. bekannte Verkehrsnetz die Knoten und ideale Zentralen für die Bereitschaft sind. Dabei werden die Knoten von aus und die Knoten 6 von aus am schnellsten erreicht. Die genauen Entfernungen entnehmen Sie bitte der nachfolgenden Abbildung..

15 9 9 d[] = Abb..: Verkehrsnetz mit -Zentren Vor einer Modellierung des -Zentren-Problems als ganzzahliges lineares Otimierungsroblem seien die Bezeichner bei modifizierter Bedeutung der Entscheidungsvariablen nochmals erläutert: Anzahl der auszuwählenden Standorte I Menge der möglichen Standorte für Zentren I = { l } J Menge der möglichen Nachfrager J = { m} d ij Entfernung d[i j] vom Standort i I zum Nachfrager j J ij i /-Entscheidungsvariable die angibt ob Nachfrager j dem otentiellen Zentrum i zugeordnet wird ( ij = ) oder nicht ( ij = ) /-Entscheidungsvariable die angibt ob Knoten i zur Menge der Zentren gehört ( i = ) oder nicht ( i = ) dann lautet das Otimierungsroblem min z (.6) u.d.n. ij = für alle j J (.7) i ij für alle i I j J (.8) i = (.9) dij ij z für alle j J (.) ij i {} für alle i I j J (.) -Zentren-Problem Die Variable z in der Zielfunktion bezeichnet das Maimum ρ ( V ) der Distanzen die zu allen Nachfragern zurückgelegt werden müssen. Das Otimum V z ist gerade ρ ( ) der Knoten Radius von G. Die Nebenbedingungen (.7) und (.9) sind analog den Restriktionen (.) und (.) des Median-Problems entsrechend für Zentren zu interretieren. Ungleichung (.8) reräsentiert die disaggregierte Form der Ungleichung (.). Mit dieser Ungleichung wird

16 . Otimale Standortlanung garantiert dass im Falle der Zuordnung eines Nachfragers zu einem Zentrum dieses Zentrum auch wirklich eingerichtet wird. Ungleichung (.) erfasst für jeden Nachfrager j J die Entfernung die er zum zugeordneten Zentrum zurücklegen muss und stellt sicher dass sie nicht größer als z ist. Da z in der Zielfunktion steht wird diese Entfernung minimiert.... Verfahren zur Lösung von -Median-Problemen Mit der Modellierung als Binäres bzw. Ganzzahliges Lineares Otimierungsroblem können zur Lösung von -Median- und -Zentren- Problemen auch eakte Verfahren herangezogen werden die grundsätzlich geeignet sind otimale Standorte zu ermitteln. Die sehr komakte Schreibweise der mathematischen Modelle (.) bis (.) bzw. (.6) bis (.) mag zunächst über die eigentliche Komleität hinweg täuschen. Bereits die Lösung der Übungsaufgabe. ergab dass zu dem Beisiel. mit sechs Knoten und der vorgegebenen Zahl von zwei Medianen binäre Variable in das Modell mit Zielfunktion und Restriktionen eingehen. Mit steigender Knotenzahl und vor allem auch steigender Zahl von Medianen steigt auch die Komleität des Problems selbst wenn man davon ausgeht dass die Anzahl der Mediane vorgegeben sei. Die Überlegung zur möglichen Auswahl der Knoten als Mediane mag dies nochmals verdeutlichen. Bei der Suche nach einem -Median in einem Grahen mit Knoten ergeben sich bereits! = >!( )! Kombinationsmöglichkeiten. Die meisten eakten Verfahren zur Lösung von - Median- und -Zentren-Probleme sind Branch-and-Bound (B&B) Verfahren die sich vor allem hinsichtlich der gewählten LP-Relaation unterscheiden. Eine Form erhält man dadurch dass man die Binärbedingungen (.) bzw. (.) durch einfache Nichtnegativitätsbedingungen ersetzt. Eine ausführliche Darstellung der Zusammenhänge einschließlich der algorithmischen Beschreibung des B&B- Verfahrens von Erlenkotter gibt DOMSCHKE (98) in seinem Buch zur Standortlanung. In vielen Fällen ist man nicht unbedingt an der otimalen sondern nur an einer hinreichend guten Lösung interessiert und nutzt deshalb heuristische Verfahren die sich oft durch die Anwendung einfacher Prinziien und damit meist auch durch schnelle Berechenbarkeit auszeichnen. Neben anderen sind vor allem zwei Kategorien von sich ergänzenden Algorithmen zu nennen die sogenannten

17 Eröffnungs- und die Verbesserungsverfahren. Die erste Grue liefert eine zumeist zulässige Lösung die allerdings in der Regel noch Verbesserungsotential besitzt. Deshalb kommen dann Algorithmen der zweiten Kategorie zum Einsatz. Unter der Bezeichnung Add-Algorithmus werden in der Literatur Eröffnungsverfahren vorgestellt die eine Ausgangslösung für unterschiedliche Probleme der Standortlanung liefern. Ausgehend von der leeren Menge otentieller Standorte werden sukzessive in jedem Iterationsschritt Knoten ausgewählt bei deren Einrichtung des zugehörigen Standortes der Zielfunktionswert verbessert wird. Der Algorithmus zur Lösung des -Median- Problems wird zunächst in seinem Ablauf vorgestellt und anschließend an einem Beisiel erläutert. Add-Algorithmus Betrachtet wird ein Grah G = [V E c; b] mit n Knoten gleicher Gewichtung (o.b.d.a. b j = für alle j V) zu dem die aarweisen Entfernungen bekannt sind und in einer Matri D zur Verfügung gestellt werden. Gesucht sind Mediane für diesen Grahen wobei alle Knoten als Median ausgewählt werden können. Algorithmus.: Add-Algorithmus für das -Median-Problem Eingabedaten: n; ; d ij (i = n; j = n) L := {} M := { n} δ j := (j = n) ν j := (j = n) Schritt : n Menge der markierten Knoten Menge der unmarkierten Knoten Berechne σi : = dij für alle i =... n. j= Entfernung zum nächstgelegenen Median zugeordneter Median Bestimme die Zeile i für die σ i minimal i = n. δ j := d ij j = n. ν j := i j = n. L := {i} Knoten i ist -Median. M := M\{i} Schritt : Für alle k M berechne n ηk = ma{ δ j dkj} j=

18 . Otimale Standortlanung Bestimme die Zeile i für die η i d.h. die Einsarung maimal. Falls δ j > d ij setze δ j := d ij und ν j := i für alle j = n. L := L {i}; M := M \ {i}. Falls L = terminiere; sonst beginne erneut mit Schritt. Beisiel. Ein Unternehmen möchte die Struktur seines Distributionsnetzes lanen und dabei Lagerstandorte für die Auslieferung bestimmen die in zwei der sechs Absatzorte angesiedelt werden sollen. Die vorrangige Zielgröße der Standortwahl bilden die Transortkosten zu den Absatzorten die als roortional zu den bekannten Fahrzeiten geschätzt werden und in der nachfolgenden Matri D zusammengestellt sind. Konkrete Absatzzahlen für die einzelnen Orte sind noch nicht bekannt und werden deshalb zunächst als gleich angesehen. 6 6 D = Da es sich um ein -Median-Problem handelt kann zur Bestimmung einer ersten Lösung der Algorithmus. angewendet werden. Die Ausgangsdaten sind in Tabelle. zusammengestellt. Die Markierung der Knoten wird durch Streichung der zugehörigen Zeilen kenntlich gemacht; zu Beginn sind alle Knoten unmarkiert. Tab..: Ausgangsdaten des -Median-Problems A A A A A A6 σ i ηi L 7 L L 6 7 L L 6 L δj νj

19 In Schritt sind nun die Zeilensummen zu bilden und in die rechte Salte einzutragen. Das Minimum dieser Werte bestimmt den -Median hier Knoten mit Wert. Die Zeilen δj und νj sind zu aktualisieren und wie Tabelle. zeigt in das Tableau einzutragen. δ j Tab..: Tableau nach Bestimmung des -Medians A A A A A A6 σ i L 7 6 L L 6 7 L L 6 L δ j 6 7 ν j Schritt bestimmt einen zweiten otentiellen Standort für ein Lager mit dem Ziel auf Basis der bestehenden Zuordnung eine größtmögliche Verbesserung zu erzielen. Die Werte sind in die Salte ηi der Tabelle. eingetragen. Das Maimum von wird durch Hinzunahme des Knotens 6 erreicht; die Transortkosten betragen nun 8. Die Zeilen δj und νj sind wieder entsrechend zu aktualisieren. Tab..: Tableau nach Bestimmung eines zweiten Lagerortes A A A A A A6 σ i ηi L L L 6 7 L L 6 L δ j 6 8 ν j 6 6 Während man bei der Einrichtung von Standorten bisher davon ausgegangen ist dass grundsätzlich jeder Nachfrager erreichbar ist und auch alle Nachfragen

20 . Otimale Standortlanung befriedigt werden müssen werden nun im nächsten Abschnitt Voraussetzungen und Zielsetzung etwas verändert indem die Erreichbarkeit festgelegt ist und auch die Forderung der vollständigen Versorgung aufgeweicht wird... Überdeckungsrobleme... Grundbegriffe und Problembeschreibung Covering-Problem Während bisher bei gegebener Zahl von Standorten das Ziel bestand diese möglichst so zu ositionieren dass die gewichtete Summe der Distanzen bzw. die maimale Entfernung zum am weitest entfernt liegenden Nachfrager minimal wurde geht man bei den sogenannten Überdeckungsroblemen englischsrachig Covering-Problems von einer anderen Zielsetzung aus. Bei gegebenem Erreichbarkeitsradius ist die Anzahl der Einrichtungen zu minimieren bzw. der Versorgungs- oder Abdeckungsgrad zu maimieren. Bei der Standortermittlung sind häufig Serviceanforderungen zu berücksichtigen die sich formal durch die Forderung ausdrücken lassen dass alle Kundenentfernungen von den Logistikknoten einen kritischen Wert (Zeit Entfernung) nicht überschreiten dürfen. Damit kann der soeben mit Erreichbarkeitsradius bezeichnete Distanz zwischen Standort und Kunde genauer erfasst werden. In Anlehnung an die Definition in Abschnitt. der KE sei in einem bewerteten ungerichteten Grahen G = [V E c; b] ein Knoten j von einem Standort i aus erreichbar wenn i mit j verbunden und nicht weiter als eine feste Distanz ρ (Erreichbarkeitsradius) entfernt ist. Die Menge der Knoten die von einem Standortknoten i erreichbar sind werde mit R(i) bezeichnet. Erreichbarkeitsmatri Somit lässt sich die Erreichbarkeitsmatri R(G; ρ) definieren die aus den Elementen falls j R( i) r ij : = i I j J sonst besteht. R(G; ρ) stellt eine binäre Matri dar. Im Rahmen der Standortlanung sind vor allem zwei Problemten zu nennen deren Zielsetzung bereits eingangs genannt wurde und die in den nächsten beiden Abschnitten genauer vorgestellt werden das Set-Covering-Location-Problem und das Maimum-Covering-Location-Problem.

21 ... Set-Covering-Location-Probleme Beim Set-Covering-Location-Problem geht man von einer %igen Versorgung der Kunden aus und hat das Ziel bei festgelegtem Servicegrad die Anzahl der Einrichtungen bzw. Standorte für Logistikknoten zu minimieren. Set-Covering- Location-Problem Die otentiellen Standorte seien vorgegeben und jedem Kunden sei über die Erreichbarkeitsmatri eine Menge solcher Knoten zugeordnet die den Kunden innerhalb des vorgegebenen Zeit- bzw. Entfernungslimits bedienen können. Abbildung. visualisiert die beschriebene Situation in einem grahischen Modell wobei jeder Knoten grundsätzlich von jedem anderen Knoten aus erreichbar sei. Abb..: Set-Covering-Location-Problem Die mathematische Modellierung für das Set-Covering-Location-Problem als Binäres Lineares Otimierungsroblem ist vergleichsweise einfach und benötigt mit den Vorgaben und getroffenen Annahmen nur wenige Variable. I Menge der möglichen Standorte für Logistikknoten I = { l } J Menge der möglichen Nachfrager J = { m} r ij Knoten j von einem Standort i aus erreichbar (r ij = ) oder nicht (r ij = ) i /-Entscheidungsvariable die angibt ob Knoten i Standort für einen Logistikknoten ( i = ) oder nicht ( i = ) dann lautet das Otimierungsroblem min (.) i u.d.n. r für alle j J (.) ij i {} für alle i I (.) i

22 6. Otimale Standortlanung Zielfunktion (.) minimiert die Anzahl der Standorte; Nebenbedingung (.) stellt sicher dass zu jedem Kunden j im Umkreis von ρ mindestens ein Standort i vorhanden ist. Sollen die Kosten c i zur Errichtung der Standorte i berücksichtigt werden so wird (.) erweitert zu: min c i i (.a) Übungsaufgabe. a) Notieren Sie zu Beisiel. die Erreichbarkeitsmatrizen für das in Abbildung. gezeigte Verkehrsnetz mit ρ = und ρ =. b) Stellen Sie mit den in a) gewonnenen Informationen jeweils das zugehörige Binäre Lineare Otimierungsroblem auf.... Maimum-Covering-Location-Probleme Maimum- Covering-Location- Problem Gibt man den Ansruch einer %igen Versorgung der Kunden auf und fordert stattdessen bei festgelegter Anzahl von Logistikknoten den Servicegrad zu maimieren so sricht man von einem Maimum-Covering-Location-Problem. Bleibt man etwa bezogen auf Abbildung. bei drei Standorten und reduziert die Erreichbarkeit auf ca. 8% so ergibt sich für die angegebenen Knoten die in Abbildung.6 gezeigte Zuordnung. Ziel muss es nun also sein die Anzahl der versorgten Kunden zu maimieren. Abb..6: Maimum-Covering-Location-Problem bei einer auf 8% reduzierte Erreichbarkeit Im Gegensatz zum -Median-Problem ist es im vorliegenden Fall unerheblich ob der Kunde unmittelbar in der Nähe des Standortknotens liegt oder am Rande der Erreichbarkeit. Gezählt wird nur die Anzahl der versorgten Kunden. Somit bezeichne

23 7 Anzahl der auszuwählenden Standorte I Menge der möglichen Standorte für Logistikknoten I = { l } J Menge der möglichen Nachfrager J = { m} r ij Knoten j von einem Standort i aus erreichbar (r ij = ) oder nicht (r ij = ) b j Bewertung des Nachfrage-Knotens j J j i /-Entscheidungsvariable die angibt ob Nachfrager j versorgt wird ( j = ) oder nicht ( j = ) /-Entscheidungsvariable die angibt ob Knoten i Standort für einen Logistikknoten ( i = ) oder nicht ( i = ) dann lautet das Binäre Lineare Otimierungsroblem ma b j j (.) j J u.d.n. rij i j für alle j J (.6) i = (.7) j i {} für alle i I j J (.8) Nebenbedingung (.6) garantiert dass j nur wird (Nachfrager j versorgt wird) wenn einer der erreichbaren Knoten i als Standort ausgewählt wird. Die übrigen Bedingungen sind analog denen des -Median-Problems... Warehouse Location Probleme... Grundroblem und seine mathematische Modellierung Da die betriebliche Standortlanung oft eng mit der Frage verbunden ist welche Kosten nicht nur bei der Einrichtung von Standorten sondern auch bei säteren Transortaktivitäten entstehen soll nun die Klasse der Warehouse Location Probleme (WLP) vorgestellt werden. Betrachtet wird ein Unternehmen das Kunden mit Gütern gemäß ihrer eriodenbezogenen Nachfrage beliefert. Das Unternehmen ist an einer Senkung der Vertriebskosten interessiert und will zu diesem Zweck Auslieferungslager einrichten.. Entsteht ein Lager so fallen einmalig Fikosten an. Warehouse- Location-Problem Man unterscheidet in der Literatur zwischen ein- und mehrstufigen WLP hinsichtlich Kaazitäten zwischen beschränkten und unbeschränkten WLP außerdem zwischen Einrodukt- und Mehrroduktroblemen und hinsichtlich der Kosten zwischen Probleme mit linearen und mit nichtlinearen Betriebskosten.

24 8. Otimale Standortlanung Wenn Sie das Material bisher aufmerksam studiert haben ist Ihnen sofort klar dass es sich beim -Median-Problem ebenfalls um ein WLP handelt bei dem keine Fikosten entstehen das keine Kaazitätsrestriktionen enthält und bei dem die Zahl der Lagerorte vorgegeben ist. Die einfachste Form des WLP unkaazitiert und einstufig wird in der Literatur auch als Simle Plant Location Problem bezeichnet. Für ein Auslieferungslager von dem aus n Kunden beliefert werden sollen kommen m otentielle Standorte in Frage. Die Errichtung des Lagers am Standort i (i I) ist mit fien Kosten f i ro Periode verbunden. Wird ein Kunde j (j J) von dort in vollem Umfang mit b j Mengeneinheiten (ME) beliefert entstehen Kosten in Höhe von c ij Geldeinheiten (GE). Die Situation ist in Abbildung.7 grahisch dargestellt. f Lagerstandorte c c Kunden b c i b f i f m i m c i c ij c in c mn j n b j b n Abb..7: Unkaazitiertes einstufiges WLP Um das unkaazitierte einstufige WLP als binäres lineares Otimierungsroblem formulieren zu können werden Entscheidungsvariable i benötigt die angeben ob Knoten i als Standort eingerichtet wird ( i = ) oder nicht ( i = ). Variable ij nehmen Werte zwischen und an gemäß dem Anteil mit dem der Kunde vom Standort beliefert wird. ij j J min c f (.9) ij i i u.d.n. i ij für alle i I j J (.) = für alle j J (.) ij

25 9 ij für alle i I j J (.) {} für alle i I (.) i (.) stellt sicher dass ein Standort i auch vorhanden ist wenn ihm ein Nachfrager zugeordnet. Nebenbedingung (.) garantiert dass jeder Nachfrager j genau einem Standort i zugeordnet wird. Übungsaufgabe.6 (.) wurde wieder in der disaggregierten Form notiert die Sie bereits bei der Formulierung der -Zentren-Probleme kennen gelernt haben. Da für alle i I und für alle j J diese Ungleichung formuliert werden muss entstehen insgesamt ( m l ) Restriktionen. Notieren Sie (.) in der aggregierten Form und geben Sie an wie viele Ungleichungen bei dieser Form der Modellierung aufzustellen sind.... Kaazitierte einstufige Warehouse Location Probleme Ist die Kaazität der otenziellen Standorte auf a i ME beschränkt so entsricht dies der Vorstellung von Lagerkaazitäten die bei der Planung mit berücksichtigt werden müssen. Damit ist auch für die Angebotsseite eine Mengenbilanz zu formulieren und es ist nicht mehr hinreichend festzustellen welchen Anteil ein Anbieter an der Deckung des Bedarfs hat. Die Variable ij bezeichnet nun die von einem Standort i I zu einem Nachfrager j J zu transortierenden ME und c ij die Transortkosten je ME. Bei ansonsten wie in Abschnitt.. verwendeter Interretation der Variablen ergibt sich für das kaazitierte einstufige WLP die folgende Modellformulierung. ij j J min c f (.) ij i i u.d.n. ij ai i für alle i I (.) j J ij = b j für alle j J (.6) ij für alle i I j J (.7) {} für alle i I (.8) i Dabei handelt es sich um eine aggregierte Form der Modellierung da mit Ungleichung (.) bereits sicher gestellt wird dass von Standort i I aus nur an

26 . Otimale Standortlanung einen Nachfrager j J geliefert werden kann wenn der Standort auch eingerichtet wird. In Erweiterung des Modells besteht die Möglichkeit obere und untere Transortkaazitäten κ ij bzw.. λ ij für einzelne Verbindungen festzulegen indem man Restriktionen vom T (.9) hinzufügt. ij κij ij λij für i I j J (.9) Neben den Kosten für die Errichtung von Zwischenstandorten sielt bei der Erweiterung auf mehrstufige Warehouse Location Probleme vor allem die Bündelung von Transorten eine wesentliche Rolle. In Kaitel 8 wird die damit verbundene Frage der Umladung von Gütern ausführlich behandelt.

27 Lösungen der Übungsaufgaben Übungsaufgabe. Betrachtet man einen bewerteten gerichteten Grahen G = <V E c; b> so ist bei der Berechnung von Medianen zwischen den eingehenden und ausgehenden Pfeilen zu unterscheiden. Die Entfernungen sind nicht mehr smmetrisch; man unterscheidet zwischen einem in-median einem out-median und einem Median schlechthin. Ähnliche Überlegungen sind bei Zentren anzustellen. Welcher Wert schließlich für ein gegebenes Problem geeignet ist entscheidet sich aus dem Sachzusammenhang heraus. So ist es beisielsweise bei der Errichtung einer Feuerwache hautsächlich von Bedeutung wie schnell die Fahrzeuge am Einsatzort sind. Übungsaufgabe. a) D E 9 7 A 8 7 B C Dem Grahen ist zu entnehmen dass die Verbindungen von <BC> <CE> <DA> <DC> und <ED> nur in einer Richtung befahrbar sind. b) Für den Einkauf sind jeweils die Hin- und Rückfahrt auf dem kürzesten Weg zu betrachten. Aus dem in a) erstellten Grahen sind deshalb entsrechend die kürzesten Entfernungen zwischen allen Knoten abzulesen

28 Lösungen der Übungsaufgaben und in einer Distanzmatri zusammenzustellen. Für einen komleeren Grahen liefert der Trielalgorithmus das gewünschte Ergebnis. D *: = Da die Anzahl der zu erwartenden Einkäufe je Dorf unterschiedlich ist muss eine zusätzliche Gewichtung vorgenommen werden. Die Ergebnisse (in km) sind in der nachfolgenden Matri zusammengefasst: Somit ergibt sich beisielsweise bei einer Wahl des Standorts Aalhus dass von allen Einkaufenden aus den verschiedenen Dörfern insgesamt zunächst einmal. km zurückzulegen sind um zum Kaufhaus zu gelangen und dann 8. km um wieder nach Hause zu kommen. In der Summe berechnet sich für A: 8. km für B: 79. km für C:. km für D: 78. km und für E: 76. km. Das Kaufhaus sollte somit unter den gegebenen Annahmen in Estringen gebaut werden. d) Für den Bau des Feuerwehrhauses ergibt sich folgende Situation. Hier muss nur der zurückzulegende Weg zum Einsatzort betrachtet werden. Da die weiteste Entfernung minimal sein soll ist allerdings auch hier der Standort Estringen zu wählen. In folgender Übersicht ist die weiteste Entfernung vom Standort aus rechts neben der Matri notiert. Für Estringen ist der Wert mit 9 km minimal

29 Übungsaufgabe. Die gewichtete Distanz σ einer -elementigen Teilmenge V von V in G wird bestimmt durch = σ V j j b j V d V ] [ ) (. Übungsaufgabe. Für das in Beisiel. vorgestellte Standortroblem ergibt sich bei zwei einzurichtenden Logistikzentren die folgende Otimierungsaufgabe: ) ( ) 6 9 ( 8 ) ( 6 ) ( 9 ) ( ) 66 6 ( min = = = = = = = {} 66 6 K {} 6

30 Lösungen der Übungsaufgaben Übungsaufgabe. a) i) = (G;) R ii) = (G;) R b) i) 6 min ud.n. 6 6 {} 6 ii) 6 min ud.n {} 6

31 Übungsaufgabe.6 Sei M wieder ein genügend große Zahl so ergibt sich vereinfacht ij j J M i für alle i I. Die Darstellung nennt man aggregierte Form bei der insgesamt m Restriktionen aufzustellen sind. Übungsaufgabe 6. Das rimale Problem lautet: min z = u.d.n. = 6 = = 8 = = = ij Das duale Problem lautet: ma w = 6u u 8u -u -u -u u.d.n. u -u u -u u -u 7 u -u 9 u -u 7 u -u 6 u -u