Lineare Gleichungssysteme
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- Lilli Catrin Hertz
- vor 5 Jahren
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1 Übungsaufgaben 1 Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 1. Man bestimme jeweils die Menge aller stöchiometrischen Koeffizienten x 1 ; : : : ; x n 2 R für die chemische Reaktion (1) (2) x 1 H 4 x 2 O 2 x 3 NH 3 x 4 HN x 5 H 2 O x 1 2 H 5 OH x 2 O 2 x 3 O 2 x 4 H 2 O und wähle jeweils eine Lösung mit positiven ganzzahligen Koeffizienten aus! 6 Lösung. 1. Für jedes Element, H, O und N wird eine Bilanzgleichung aufgestellt. Daraus ergibt sich ein homogenes System von vier Gleichungen für fünf Unbekannte: x 1 x 4 D 0 4x 1 3x 3 x 4 2x 5 D 0 2x 2 x 5 D 0 x 3 x 4 D 0: Äquivalente Unformungen liefern zunächst x 1 x 4 D 0 6x 4 2x 5 D 0 2x 2 x 5 D 0 x 3 x 4 D 0 sowie desweiteren?y?y und schließlich x 1 x 4 D 0 3x 4 x 5 D 0 2x 2 x 5 D 0 x 3 x 4 D 0 x 1 x 4 D 0 2x 2 3x 4 D 0 x 3 x 4 D 0 x 5 3x 4 D 0:. 4/ j j W 2 j j Als Lösungsmenge ergibt sich x 4 ; 3 x 2 4; x 4 ; x 4 ; 3x 4 2 R 5 j x 4 2 R. Setzt man x 4 D 2 2 N ein, so folgt die Reaktionsgleichung 2 H 4 3 O 2 2 NH 3 2 HN 6 H 2 O:. 3/
2 2 2. Für jedes Element, H und O wird eine Bilanzgleichung aufgestellt. Daraus ergibt sich ein homogenes System von drei Gleichungen für vier Unbekannte: 2x 1 x 3 D 0 6x 1 2x 4 D 0 x 1 2x 2 2x 3 x 4 D 0: j W 2. 2/ Äquivalente Umformungen liefern 2x 1 x 3 D 0 3x 1 x 4 D 0 3x 1 2x 2 x 4 D 0 sowie desweiteren 2x 1 x 3 D 0 3x 1 x 4 D 0 6x 1 2x 2 D 0 j j j W 2 und somit 3x 1 x 2 D 0 2x 1 x 3 D 0 3x 1 x 4 D 0: Daraus ergibt sich als Lösungsmenge.x 1 ; 3x 1 ; 2x 1 ; 3x 1 / 2 R 4 j x 1 2 R. Es folgt die Reaktionsgleichung 2 H 5 OH 3 O 2 2 O 2 3 H 2 O; wenn man x 1 D 1 2 N einsetzt.
3 3 Aufgabe 2. Für welche a, b, c, d 2 R verläuft der Graph.x; f.x// 2 R 2 j x 2 R der Funktion f W R! R, die durch f.x/ D ax 3 bx 2 cx d für x 2 R gegeben ist, durch die vier vorgegebenen Punkte.x 1 ; y 1 / D. 1; 1/;.x 2 ; y 2 / D.0; 3/;.x 3 ; y 3 / D.1; 5/;.x 4 ; y 4 / D.2; 11/ hindurch? 6 Lösung. Die Koeffizienten a, b, c, d 2 R ergeben sich jeweils als Lösung des linearen Gleichungssystems, welches man durch Einsetzen der Koordinaten der vier Punkte in die Gleichung der Funktion erhält: Man erhält somit a b c d D 1 d D 3 a b c d D 5 8a 4b 2c d D 11: Äquivalente Umformungen liefern d D 3 a b c D 4 a b c D 2 8a 4b 2c D 8. 2/ sowie desweiteren d D 3 2b D 2 a b c D 2 6a 2b D 4 j W 2 j W 2 und d D 3 b D 1 a b c D 2 3a b D 2 sowie schließlich d D 3 b D 1 a c D 3 3a D 3 j W 3 und d D 3 c D 2 b D 1 a D 1: Damit erhält man die gesuchten Koeffizienten als Lösung.a; b; c; d/ D.1; 1; 2; 3/ des Gleichungssystems, und es gilt f.x/ D x 3 x 2 2x 3 für x 2 R.
4 4 Aufgabe 3. Man finde jeweils Mittelpunkt a D.a 1 ; a 2 ; a 3 / 2 R 3 und Radius r > 0 jeder Kugeloberfläche x 2 R 3 j.x 1 a 1 / 2.x 2 a 2 / 2.x 3 a 3 / 2 D r 2 ; welche durch die vier verschiedenen Punkte x D.4; 0; 30/; y D.24; 12; 36/; z D.40; 12; 12/; D. 12; 24; 18/ hindurchgeht! Welche dieser Kugeln hat den kleinsten Radius? 8 Lösung. Man versucht, die Koordinaten a 1, a 2, a 3 des Mittelpunkts und den Radius r aus den vier Gleichungen zu bestimmen, die durch Einsetzen der Koordinaten der vorgegebenen Punkte in die Gleichung der Kugeloberfläche entstehen: Man erhält nach Ausmultiplizieren und Zusammenfassen das Gleichungssystem 8a 1 60a 3 D r 2 a 2 1 a a 1 24a 2 72a 3 D r 2 a 2 1 a a 1 244a 3 D r 2 a 2 1 a a 1 48a 2 36a 3 D r 2 a 2 1 a : Äquivalente Umformungen führen zunächst auf 8a 1 60a 3 D r 2 a 2 1 a a 1 24a 2 132a 3 D a 1 24a 2 36a 3 D a 1 48a 2 96a 3 D 128 j W 4 j W 12 j W 16 und somit zum folgenden linearen Teilsystem der letzten drei Gleichungen 10a 1 6a 2 33a 3 D 275 6a 1 2a 2 3a 3 D 81 2a 1 3a 2 6a 3 D 8: 3 5 Weitere elementare Umformungen liefern 21a 2 63a 3 D 315 7a 2 21a 3 D 105 2a 1 3a 2 6a 3 D 8 j W 21 j W 7. 2/ und somit schließlich a 2 3a 3 D 15 2a 1 a 2 D 22:
5 Da a 2 D 6 2 R ein frei wählbarer Parameter ist, ergibt sich daraus die Menge.3 11; 6; 2 5/ 2 R 3 j 2 R aller gesuchten Kugelmittelpunkte. Der zum Mittelpunkt a./ D.311; 6; 2 5/ für 2 R gehörende Kugelradius r./ > 0 berechnet sich (zum Beispiel) aus der Gleichung für den Punkt x D.4; 0; 30/ auf der Kugeloberfläche: Es gilt r 2./ D.x 1 a 1.// 2.x 2 a 2.// 2.x 3 a 3.// 2 D.3 7/ 2.6/ / 2 D D und somit r./ D 7 p 2 25 für jedes 2 R. Da der Radikand offenbar für D 1 seinen kleinsten Wert annimmt und die Wurzelfunktion streng monoton wächst, ist r.1/ D 35 der kleinste Radius aller Kugeln, deren Oberfläche durch die gegebenen Punkte verläuft. Diese Kugel hat den Mittelpunkt a.1/ D.14; 6; 3/. Bemerkung. Alle vier Punkte liegen auf einer ebenen Kreislinie im Raume: In der Tat gilt x D z y D.16; 24; 48/ sowie x z D y D. 36; 12; 18/, das heißt, die vier Punkte sind die Eckpunkte eines ebenen Rechtecks, dessen Diagonalen sich im Mittelpunkt 1.x y z / D.14; 6; 3/ schneiden. 4 5
6 6 Aufgabe 4. Man untersuche, ob es eine Kugeloberfläche x 2 R 3 j.x 1 a 1 / 2.x 2 a 2 / 2.x 3 a 3 / 2 D r 2 um einen Mittelpunkt a D.a 1 ; a 2 ; a 3 / 2 R 3 mit einem Radius r > 0 gibt, die jeweils durch die vier verschiedenen Punkte (1) (2) hindurchgeht! x D.4; 3; 3/; y D.4; 10; 4/; z D.4; 6; 6/; D.29; 6; 1/; x D.1; 0; 0/; y D.0; 3; 0/; z D.0; 0; 2/; D.2; 6; 2/; Lösung. Man versucht, die Koordinaten a 1, a 2, a 3 des Mittelpunkts und den Radius r aus den vier Gleichungen zu bestimmen, die durch Einsetzen der Koordinaten der vorgegebenen Punkte in die Gleichung der Kugeloberfläche entstehen: 1. Für die Punkte x D.4; 3; 3/, y D.4; 10; 4/, z D.4; 6; 6/ und D.29; 6; 1/ erhält man nach Ausmultiplizieren und Zusammenfassen das Gleichungssystem 8a 1 6a 2 6a 3 D r 2 a1 2 a2 2 a a 1 20a 2 8a 3 D r 2 a1 2 a2 2 a a 1 12a 2 12a 3 D r 2 a1 2 a2 2 a a 1 12a 3 D r 2 a1 2 a2 2 a : Äquivalente Umformungen führen zunächst auf 8a 1 6a 2 6a 3 D r 2 a1 2 a2 2 a a 2 14a 3 D 98 6a 2 18a 3 D 54 50a 1 6a 2 8a 3 D 844 j W. 14/ j W. 6/ j und somit zum folgenden linearen Teilsystem der letzten drei Gleichungen a 2 a 3 D 7 a 2 3a 3 D 9 50a 1 6a 2 8a 3 D 844: Elementare Umformungen liefern. 6/ 2a 3 D 2 a 2 3a 3 D 9 50a 1 10a 3 D 790 j W. 2/ j W 10. 3/ und a 3 D 1 a 2 D 6 5a 1 D 80: j W 5 Daraus ergibt sich die Lösung.a 1 ; a 2 ; a 3 / D.16; 6; 1/, welche der Mittelpunkt der gesuchten Kugel ist. Ihr Radius r D 13 berechnet sich aus der Gleichung für den Punkt D.29; 6; 1/ auf der Kugeloberfläche.
7 2. Für die Punkte x D.1; 0; 0/, y D.0; 3; 0/, z D.0; 0; 2/ sowie D.2; 6; 2/ erhält man nach Ausmultiplizieren und Zusammenfassen das Gleichungssystem 7 2a 1 D r 2 a1 2 a2 2 a a 2 D r 2 a1 2 a2 2 a a 3 D r 2 a1 2 a2 2 a a 1 12a 2 4a 3 D r 2 a1 2 a2 2 a3 2 44: Äquivalente Umformungen liefern zunächst 2a 1 12a 2 4a 3 D 43 4a 1 18a 2 4a 3 D 35 4a 1 12a 2 D 40 4a 1 12a 2 4a 3 D r 2 a1 2 a2 2 a j W 2 und damit folgendes lineare Teilsystem der ersten drei Gleichungen 2a 1 12a 2 4a 3 D 43 2a 1 6a 2 D 8 2a 1 6a 2 D 20; welches keine Lösung besitzt, da sich die zweite und die dritte Gleichung widersprechen. Es gibt keine Kugeloberfläche, die durch die vier gegebenenen Punkte läuft! Bemerkung. Alle vier Punkte liegen in einer Ebene, aber nicht auf einem Kreis: Der Punkt D.2; 6; 2/ gehört zu der Ebene x 2 R 3 1 j x 1 x x 2 3 D 1, welche durch die Punkte x D.1; 0; 0/, y D.0; 3; 0/ und z D.0; 0; 2/ verläuft.
8 8 Aufgabe 5. Man bestimme die Menge aller reellen stöchiometrischen Koeffizienten für die chemische Reaktion x 1 O 2 x 2 H 2 x 3 H 4 x 4 H 2 O und wähle eine Lösung mit ganzzahligen positiven Koeffizienten aus! Lösung. Für jedes Element, H und O wird eine Bilanzgleichung aufgestellt. Daraus ergibt sich ein homogenes System von drei Gleichungen für vier Unbekannte: Äquivalente Umformungen liefern x 1 x 3 D 0 2x 2 4x 3 2x 4 D 0 2x 1 x 4 D 0: j 2 2x 1 2x 3 D 0 2x 2 4x 3 2x 4 D 0 2x 3 x 4 D 0 2 sowie desweiteren 2x 1 x 4 D 0 2x 2 4x 4 D 0 2x 3 x 4 D 0: Daraus ergibt sich als Lösungsmenge 1 2 x 4; 2x 4 ; 1 2 x 4; x 4 2 R 4 j x 4 2 R. Es folgt die Reaktionsgleichung O 2 4 H 2 H 4 2 H 2 O; wenn man x 4 D 2 2 N einsetzt.
9 9 Aufgabe 6. Man untersuche, ob es eine Kreislinie x 2 R 2 j.x 1 a 1 / 2.x 2 a 2 / 2 D r 2 um einen Mittelpunkt a D.a 1 ; a 2 / 2 R 2 mit einem Radius r > 0 gibt, welche jeweils durch die drei verschiedenen Punkte (1) (2) hindurchgeht!.x 1 ; x 2 / D.3; 3/;.y 1 ; y 2 / D.10; 4/;.z 1 ; z 2 / D.6; 6/;.x 1 ; x 2 / D.1; 1/;.y 1 ; y 2 / D.5; 7/;.z 1 ; z 2 / D.2; 1/; Lösung. Man versucht zunächst, die kartesischen Koordinaten a 1, R eines Mittelpunktes a D.a 1 ; a 2 / 2 R 2 und einen Radius r > 0 aus den drei Gleichungen zu bestimmen, die aus der Kreisgleichung durch Einsetzen der Koordinaten der vorgegebenen Punkte.x 1 ; x 2 /,.y 1 ; y 2 /,.z 1 ; z 2 / 2 R 2 entstehen: 1. Für die Punkte.x 1 ; x 2 / D.3; 3/,.y 1 ; y 2 / D.10; 4/ und.z 1 ; z 2 / D.6; 6/ ergibt sich nach Ausmultiplizieren und Zusammenfassen das Gleichungssystem 6a 1 6a 2 D r 2 a1 2 a a 1 8a 2 D r 2 a1 2 a a 1 12a 2 D r 2 a1 2 a2 2 72: Äquivalente Umformungen liefern zunächst und somit 6a 1 6a 2 D r 2 a1 2 a a 1 14a 2 D 98 6a 1 18a 2 D 54 6a 1 6a 2 D r 2 a a 1 a 2 D 7 a 1 3a 2 D 9: j W. 7/ j W. 6/ Für das Teilsystem aus der zweiten und dritten Gleichung ergibt sich a 1 a 2 D 7 2a 2 D 2: j W 2 Die Lösung a D.a 1 ; a 2 / D.6; 1/ stellt den Mittelpunkt des gesuchten Kreises dar. Sein Radius r D 5 ergibt sich aus der Kreisgleichung für den Punkt.z 1 ; z 2 / D.6; 6/.
10 10 2. Für die Punkte.x 1 ; x 2 / D.1; 1/,.y 1 ; y 2 / D.5; 7/ und.z 1 ; z 2 / D.2; 1/ erhält man nach Ausmultiplizieren und Zusammenfassen das Gleichungssystem 2a 1 2a 2 D r 2 a a 1 14a 2 D r 2 a a 1 2a 2 D r 2 a 2 1 5: Äquivalente Umformungen führen auf 2a 1 2a 2 D r 2 a a 1 16a 2 D 72 2a 1 4a 2 D 3 j W 4 und schließlich 2a 1 2a 2 D r 2 a1 2 a a 1 4a 2 D 36 2a 1 4a 2 D 3: Schon das Teilsystem der beiden letzten Gleichungen hat keine Lösung.a 1 ; a 2 / 2 R 2. Es gibt somit keine Kreislinie, die durch die drei vorgegebenen Punkte hindurchgeht. Bemerkung. Sei fv w 2 R 2 j 2 Rg die Gerade mit w D.y 1 ; y 2 /.z 1 ; z 2 / 2 R 2 und v D.z 1 ; z 2 /, welche durch die Punkte.z 1 ; z 2 / D.2; 1/ und.y 1 ; y 2 / D.5; 7/ verläuft. Da für D 1 die Beziehung.x 3 1; x 2 / D.1; 1/ D.2; 1/.3; 6/ D v w gilt, liegt auch der Punkt.x 1 ; x 2 / auf dieser Geraden.
11 Aufgabe 7. Ein elektrisches Netzwerk mit vier Ohmschen Widerständen R 1 D 15, R 2 D 30, R 3 D 10 und R 4 D 20 wird an eine Gleichspannungsquelle mit U 0 D 60 V angeschlossen: U 0 R 1 I1 K 1 R 3 I3 K 3 11 R 2 R 4 0 K 2 I 2 K 4 I 4 Welche Ströme I 1, I 2, I 3 und I 4 fließen durch diese Widerstände? Lösung. 1. Die Spannungsdifferenz U 0 verteilt sich in der ersten Masche des Netzwerks über die Knotenpunkte K 1 und K 2 gemäß des Ohmschen Gesetzes U 0 D R 1 I 1 R 2 I 2 : Die Spannungsdifferenz U 2 D R 2 I 2 zwischen den Knotenpunkten K 1 und K 2 verteilt sich in der zweiten Masche des Netzwerks über die Knotenpunkte K 3 und K 4 gemäß des Ohmschen Gesetzes R 2 I 2 D R 3 I 3 R 4 I 4 : Desweiteren stehen jeweils die ein- und ausfließenden Ströme in den Knoten K 1 und K 3 im Gleichgewicht, das heißt, es gilt I 1 D I 2 I 3 sowie I 3 D I 4 : 2. Somit erhält man für die vier unbekannten Ströme I 1, I 2, I 3 und I 4 folgendes System von vier Gleichungen R 1 I 1 R 2 I 2 D U 0 I 1 I 2 I 3 D 0 R 2 I 2 R 3 I 3 R 4 I 4 D 0 I 3 I 4 D 0: Setzt man die konkreten Zahlenwerte ein, so folgt daraus 15I 1 30I 2 D 60 A I 1 I 2 I 3 D 0 30I 2 10I 3 20I 4 D 0 I 3 I 4 D 0: j W /
12 12 Äquivalente Umformungen liefern zunächst und somit und schließlich I 1 2I 2 D 4 A 3I 2 I 3 D 4 A 30I 2 30I 3 D 0 I 3 I 4 D 0 I 1 2I 2 D 4 A 4I 2 D 4 A j W 4 I 2 I 3 D 0 I 3 I 4 D 0 I 1 I 2 I 3 D 2 A D 1 A D 1 A I 3 I 4 D 0: j W 30 Somit fließen die Ströme I 1 D 2 A, I 2 D 1 A, I 3 D 1 A und I 4 D 1 A durch die Widerstände des Netzwerks.. 2/
13 13 Aufgabe 8. Seien im Körper K 2 D f0; 1g Addition und Multiplikation vermöge erklärt sowie im Körper K 3 D f0; 1; 2g Addition und Multiplikation gegeben durch Man bestimme jeweils alle Lösungen x 1, x 2, x 3 2 K 2 bzw. x 1, x 2, x 3 2 K 3 des durch x 1 x 2 D 0 x 1 x 2 x 3 D 0 x 1 x 2 x 3 D 0 gegebenen linearen homogenen Gleichungssystems! Lösung. 1. Im Körper K 2 ist das Gleichungssystem x 1 x 2 D 0 x 1 x 2 x 3 D 0 x 1 x 2 x 3 D 0 äquivalent zu x 1 x 2 D 0 x 3 D 0 0 D 0; welches außer der trivialen Lösung x 1 D 0, x 2 D 0, x 3 D 0 2 K 2 auch noch die Lösung x 1 D 1, x 2 D 1, x 3 D 0 2 K 2 besitzt. 2. Im Körper K 3 führen äquivalente Umformungen des Gleichungssystems x 1 x 2 D 0 x 1 x 2 x 3 D 0 x 1 x 2 x 3 D 0 auf x 1 x 2 D 0 2 x 1 x 3 D 0 2 x 1 D 0; welches somit nur die triviale Lösung x 1 D 0, x 2 D 0, x 3 D 0 2 K 3 hat.
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