T = r P,t. r a = (lnw T lnw 0 ) / T

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1 Finanzmarkttheorie Renditemasse (Modul 2/3) Einfache Rendite R t = ((P t + D t ) P t -1) / P t -1 W T = W 0 x (1 + R t ) Stetige Rendite r t = ln (P t + D t ) ln (P t -1) lnw T = lnw 0 + r t r P T = r P,t Stetig einfach r = ln (1 + R) R = e r 1 Durchschnittliche einfache Rendite R g = T (W T / W 0 ) 1 Durchschnittliche stetige Rendite r a = (lnw T lnw 0 ) / T Das arithmetische Mittel der einfachen Rendite ist pfadabhängig, das geometrische Mittel interessiert sich nur für Anfangs- und Schlusswert. R geom R arith 1/2 σ 2 Internal Rate of Return (IRR) ist Money Weighted Rate of Return (MWRR) Diskontierte Cash Inflows = Diskontierte Cash Outflows R =? Der MWRR nimmt an, dass alle Cash Flows zum MWRR reinvestiert werden können. Falls das Vorzeichen der Cash Flows wechselt, können mehrere MWRRs resultieren. Time Weighted Rate of Return (TWRR) Geometrischer Durchschnitt der einzelnen Periodenrenditen. Der TWRR ist nicht betroffen von Timing. Falls ein Portfoliomanager für das Timing verantwortlich ist, sollte der MWRR verwendet werden, ansonsten ist der TWRR zu bevorzugen. Rmonatlich = 1 + Rjährlich^(1/12))-1 Zeitwert und Net Present Value (Modul 2) Present Value Jährliche und häufigere Verzinsung m PV = CF / (1 + R f ) (risikofrei) PV = E(CF) / (1 + R) (risikobehaftet) PV = [E(CF) / (1 + R) t ] NPV = -CF 0 + [E(CF) / (1 + R) t ] FV t = PV x (1 + R) t FV = PV x (1 + (R/m)) mxt FV = PV x e rxt PV x (1 + EAR) T = PV x (1 + (R/m)) mxt EAR = (1 + (R/m)) m 1 PV x (1 + EAR) T = PV x e rxt EAR = e r 1 r = ln(1 + EAR) 1

2 Perpetuitäten und Annuitäten (Modul 2) Unendliche jährliche Zahlung PV = CF / R Mit Wachstumsfaktor g PV = CF / (R g) ( falls g < R) Annuität PV = (CF / R) x [1 (1 / (1 + R) T )] Mit Wachstumsfaktor g PV = (CF / (R g)) x [1 ((1 + g) T / (1 + R) T )] Risikomasse Varianz δ 2 = E([X E(X)] 2 ) δ 2 = ( (r t r a ) 2 ) / (T-1) (empirisch aus Stichprobe) Schiefe Sx = (E[(X E(X)) 3 ]) / δ 3 Kurtosis (Wölbung) Kx = (E[(X E(X)) 4 ]) / δ 4 Sx = (1 / T) x ( (r t r a ) 3 ) / δ 3 (empirisch aus Stichprobe) Kx = (1 / T) x ( (r t r a ) 4 ) / δ 4 (empirisch aus Stichprobe) Zeitproportionalität square root formula E(r T ) = T x E(r) Var(r T ) = T x Var(r) δ(r T ) = (T) x δ(r) Mean-Variance Criterion Das Minimum-Varianz-Portfolio mit einer erwarteten Rendite von µ p ist die Lösung des Problems: 1/2 * w Σw min nach w mit Nebenbedingung 1 w = 1 und µ w = µ p Der erwartete Nutzen eines Investors hängt in zwei Fällen nur von der erwarteten Rendite und der Varianz des Portfolios ab: Quadratische Nutzenfunktion U(R p ) = R p - br p 2 Der erwartete Nutzen ist hierbei gegeben durch V E(U(R p )) = µ p b(µ p 2 + σ p 2 ) Ist R p < 1/(2b) ist V steigend in µ p und fallend in σ p 2, wie verlangt. Normalverteilte Renditen V E(U(R p )) = U(R p )ƒ( R p ; µ p, σ p 2 ) = U(µ+ σε)n(ε)dε Mit ε (R p - µ)/σ Durch die Regel von Leibniz sehen wir, dass V steigend ist in µ und fallend in σ. Für normalverteilte Renditen hält das Erwartungswert-Varianz Kriterium mit Maximierung des erwarteten Nutzens für alle nicht befriedigten risikoaversen Investoren. Risikoaversion (Modul 4) Absolute Risikoaversion Relative Risikoaversion Risikoprämie A(W) = - U (W) / U (W) R(W) = (- U (W) / U (W)) x W Π = (- (1 / 2) x U (W) / U (W)) x Var(ΔW) (W 0 p) = certainty equivalent 2

3 Portfolios/ Minimum-Variance Frontier (Modul 5/6/7/8) Zwei Assets: E(R p ) = αe(r a ) + βe(r b ) σ p 2 = α 2 σ a 2 + β 2 σ b 2 + 2αβσ a,b Sind die Anlagen A und B perfekt positiv korreliert, wird die Minimum-Varianz Grenze zu einer Gerade zwischen den Anlagen, sind sie perfekt negativ korreliert wird die Krümmung der Kurve maximal und somit zu zwei Geraden, die sich auf der Y-Achse treffen. Die Schwankungen der beiden Anlagen würden sich im zweiten Fall neutralisieren. µ Anlage B Optimierungsprobleme zur Bestimmung der Anlage A Effizienzgrenze: - min σ 2 p unter den Bedingungen α + β = 1 und αµ a + βµ b = µ p - max µ p unter den Bedingungen α + β = 1 und σ 2 p = α 2 σ 2 a + β 2 σ 2 b + 2αβσ a,b σ Mehrere Assets: R p = w n R n = w R E(R p ) = w n E(R n ) Var(R p ) = w n 2 σ n 2 + w n w m σ nm = w Σw Optimale Gewichte: w = λσ -1 1γΣ -1 µ mit λ = (C - µ p B)/Δ γ = (µ p A B)/Δ A = 1 Σ -1 1 > 0 B = 1 Σ -1 µ C = µ Σ -1 µ > 0 Δ = AC B 2 > 0 Die Portfoliovarianz unter optimaler Gewichtung ist σ p 2 = (Aµ p 2 2Bµ p + C)/Δ. Dies ist die Gleichung einer Parabel. Im Rendite-Standardabweichung Raum wird die Minimum-Varianz Grenze zu einer Hyperbel. Für das globale Minimumvarianzporfolio ergibt sich ein Erwartungswert von µ g = B/A, eine Varianz von σ g = 1/A Gewichte von w g = Σ -1 1/1 Σ Two Fund Separation: Jeder Punkt auf der Minimumvarianzgrenze kann durch verschiedene Kombinationen von nur zwei Assets erreicht werden. Die Kovarianz eines Portfolios auf der Minimumvarianzgrenze mit dem globalen Minimumvarianzportfolio ist 1/A. Die Kovarianz zweier Minimumvarianzportfolios ist 1/A + abδ/ab 2. (a = Gewicht des globalen Minimumvarianzportfolios, b = Gewicht des zweiten Portfolios zur Erreichung anderer Minimumvarianzportfolios) Bei einem gut diversifizierten Portfolio (Anzahl Asstes ) ist die Portfoliovarianz gleich der durchschnittlichen Kovarianz der Assetrenditen, was dem systematischen Risiko entspricht. 3

4 Wird eine risikolose Anlage eingeführt, verschwindet die Bedingung 1 w = 1. Um optimale Portfolios zu finden, brauchen wir nur noch ein weiteres Portfolio: das Tangentialportfolio (das einzige effiziente Portfolio ohne Investition in das risikolose Asset). Gewichte des Tangentialportfolios w t = Σ -1 (µ - R1)/(B AR) µ t = µ w = (C BR)/(B AR) σ t 2 = (C 2RB + R 2 A)/(B AR) 2 Bei Restriktionen, wie Ober- und Untergrenzen der Portfoliogewichte, kann die optimale Verteilung der Investition über die verschiedenen Assets via Iterationsverfahren erreicht werden. Wie stark die Gewichtung des besten Assets j (höchste Marginal Utility MU = µ - aσw) erweitert bzw. des schlechtesten Assets i reduziert werden kann, beschreibt folgende Formel: c = min[(s µ - as Σw)/as Σs, w Uj w j, w i - w Li ] mit s = 1 für j und s = -1 für i und a = Risikoaversion. Die Effizienzgrenze mit Restriktionen liegt innerhalb der Effizienzgrenze ohne Restriktionen. Das Tangentialportfolio maximiert die Sharpe Ratio (µ p R)/σ p. Capital Market Line (Modul 8) Die Effizienzgrenze dargestellt durch die Verbindung des risikolosen Zinsatzes mit dem Tangentialportfolio wird Capital Market Line genannt und repräsentiert den Trade Off zwischen Risiko und Rendite. Das Separationstheorem hält nur unter der Annahme von homogenen Erwartungen, Risiko-Rendite Präferenzen und einem einzigen risikolosen Zinssatz. Sind diese Annahmen erfüllt, ist das optimale risikobehaftete Portfolio für alle Investoren gleich und alle halten eine Kombination dieses Portfolios und des risikolosen Assets. Individuelle Präferenzen bestimmen nur die Anteile der beiden Assets. w i = w t * a M /a i. Parameterschätzungen (Modul 9) - Durchschnitt aus historischen Daten: µ n = E(X) (T) = 1/T X i σ 2 n = E[(R n - µ n ) 2 ] = 1/(T 1) (R n - µ n ) 2 σ nm = E[(R n - µ n )(R m - µ m )] = 1/(T 1) (R n - µ n )(R m - µ m ) ρ nm = σ nm /σ n σ m Sind die Daten allerdings nicht i.i.d., wie das bei Finanzdaten der Fall sein kann, stellen sich Probleme bei diesem Verfahren: Autokorrelation und über die Zeit variierende Parameter. Autokorrelation (wenn Daten nicht i.i.d.) ρ j = [1/(T j 1) (X t - µ)(x t-1 - µ)]/[1/(t 1) (X t - µ) 2 ] - Bayes-Stein estimator: Die einzelnen geschätzten erwarteten Renditen werden ein Stück an den Gesamtdurchschnitt angeglichen. - ARCH: Statistisches Modell, das Änderungen der Volatilität zulässt, indem es Beobachtungen aus näherer Vergangenheit stärker gewichtet: σ t 2 = 1/(m 1) (R (t-1) ) 2 als Durchschnitt der letzten m Perioden σ t 2 = α j (R (t-1) ) 2 - GARCH: Verallgemeinerung von ARCH auch Volatilitäten einbezogen - Konsensus-Prognosen von Analysten 4

5 Alternative Portfoliooptimierungskriterien (Modul 10) Einige Institutionen haben eine vorgegebene Mindestrendite. In diesem Fall ist für das Risiko nur entscheidend, wie stark der erwartete Return nach unten abweichen kann (Downside Risk Measure): - Lower Semi-Variance = E[(µ - R) 2 R < µ] - Shortfall Risk: Roys Kriterium P(R P < τ) = P[(R P - µ P )/σ P < (τ - µ P )/σ P ] = P(Z < zτ) min nach P µ P Dies bedeutet zτ zu minimieren, was anders geschrieben heisst K(P) = (µ P - τ)/σ P zu maximieren. µ P = τ + σ P K(P) Es wird also das Portfolio gesucht, welches auf der Effizienzgrenze liegt und die höchste Steigung aufweist (bei τ = risikoloser Zinssatz höchste Sharpe Ratio) - Lower Partial Moments LPM(n;τ) = E[(τ - R) n R < τ] Damit ist LPM(0;τ) das shortfall Risiko und LPM(2;µ) die Semi-Varianz. K(P1) K(P2) K(P3) σ P Der erwartete Return und die Varianz von Portfolios sind proportional zum Zeithorizont: µ PT = Tµ P und σ PT 2 = Tσ P 2 σ PT = Tσ P. Bei iid Returns sehen sich Investoren mit einem langen Zeithorizont einem kleineren Shortfall Risiko gegenüber. Je länger der Zeithorizont desto kleiner wird die Varianz pro Periode bei konstantem erwarteten Return pro Periode. E(r P T /T) = µ P und Var(r P T /T) = σ P 2 /T. International Asset Allocation (Modul 11) Wechselkurs S F, D = number of units of domestic currency/1 unit of foreign currency Absolute Kaufkraftparität S F, D = Preisindex im Land D / Preisindex im Land F Relative Kaufkraftparität S 1 F, D/ S 0 F, D = (1 + I D )/(1 + I F ) mit I = Inflationsrate s F, D = S 1 F, D - S 0 F, D / S 0 F, D s F, D I D - I F International Fisher Relation (1 + R Fnom )/(1 + R Dnom ) = [(1 + R Freal )(1 + E(I F ))]/[ 1 + R Dreal )(1 + E(I D ))] Unter der Annahme, dass die realen Zinssätze in den verschiedenen Ländern gleich sind, besteht nur ein Unterschied zwischen den nominalen Zinssätzen aufgrund unterschiedlicher erwarteter Inflation R Fnom R Dnom = E(I F ) E(I D ) Gedeckte Zinsparität Man kann keinen Profit erzielen durch Anlegen des Geldes auf einem ausländischen Bankkonto. (1 + R D ) = 1/S F,D * (1 + R F )F F,D mit S = Spot Rate und F = Forward Rate F F,D = S F,D (1 + R D )/(1 + R F ) Und mit f F,D = (F F,D S F,D )/S F,D f F,D = R D - R F Forward Parity Theorem im Durchschnitt F F,D = E(S 1 F,D) (F F,D S F,D )/S F,D = E[(S 1 F,D S F,D )/S F,D ] f F,D = E(s F,D ) 5

6 Rendite auf internationale Investitionen r D = r x + r F Mit r x = ln(s 1 F,D/S 0 F,D) und r F = ln(p 1 /P 0 ) Risiko σ rd 2 = σ rx 2 + σ rf 2 + 2ρ rx,rf σ rx σ rf Und da ρ rx,rf < 1, σ rd σ rx + σ rf Bei der Wahl des optimalen Portfolios aus dem internationalen Assetuniversum tritt ein Home-Bias auf. D.h. es wird ein grosser Teil des Vermögens im Inland investiert, obwohl aufgrund der Diversifikationsmöglichkeiten mehr Investition im Ausland optimal wäre. Es gibt keine befriedigende Theorie, die dieses Phänomen erklärt. Falls die relative Kaukraftparität hält, funktioniert das CAPM auch auf internationaler Ebene. Ansonsten kann ein internationales CAPM entwickelt werden: E(R i ) = R f + β iw (E[R w ] R f ) + β ij λ ij mit R f = Rendite auf risikolose Anlage im Inland; β iw = Sensitivität des Assets i gegenüber dem Weltmarkt; β ij = Sensitivität des Assets i gegenüber der Währung j; λ ij = Risikoprämie für die Währung j. CAPM (Modul 12/13) Das CAPM baut auf einer Reihe Annahmen auf. Es ist ein Gleichgewichtsmodell, das die Beziehung zwischen Risiko und geforderter erwarteter Rendite für Assets in gut diversifizierten Portfolios beschreibt. Die Folgerungen des CAPM sind: - Das Tangentialportfolio muss das Marktportfolio sein. - Die erwartete Rendite eines Assets bestimmt sich aus E(R i ) = R F + β i (E(R M ) R F ). Der Marktpreis für eine Einheit des Risikos β ist für alle Assets gleich: E(R M ) R F. - Investitionen mit der selben erwarteten Rendite können verschiedene Standardabweichungen haben, müssen aber das gleiche β aufweisen. Basis-CAPM-Beziehung: µ i R = η M σ im 2 Falls das Marktportfolio selbst ein gehandeltes Asset ist, ist η M = (µ M R)/σ M Standard CAPM: µ i = R + β im (µ M R) Beta misst direkt den relativen Anteil eines Assets an der Gesamtvarianz des Marktes. σ syst,j = β j σ M = ρ jm σ j 6

7 Intuitive und exakte Herleitung sh. Module 12 und 13. Empirische Test und Rolls Kritik sh. Module 15 und 16. Beta-Schätzung (Modul 14) β i = [(R it R)(R Mt R)]/ (R Mt R) 2 Die Schätzung kann beeinflusst werden von der Wahl des Marktportfolios, des Zeithorizonts, des Renditeintervalls und ob das Beta eines Portfolios oder eines Assets berechnet wird. Blume: β i = a + bβ i Vasicek: β i = w i β i + (1 w i )E(β) mit w i = σ E( β ) 2 /(σ E( β ) 2 + σβ i 2 ) Thin-trading adjusted: R i,j = α i + β i 1 R m,t + β i 2 R m,t-1 wobei β i S = β i 1 + β i 2 ρ i,j = β i β j σ m 2 /σ i σ j unlevered Beta: β Uj = β i /(1 + BD/EC (1 r)) Markteffizienz (Modul 17) - schwache Markteffizienz: Es kann keine Überschussrendite aufgrund der Analyse vergangener Daten erzielt werden. - Semi-starke Markteffizienz: Es kann keine Überschussrendite anhand öffentlich zugänglicher Information erzielt werden. - Starke Markteffizienz: Es kann keine Überschussrendite mit Hilfe jeglicher Information (inklusive privater Information) erzielt werden. - Schon bei schwacher Effizienz wird eine technische Analyse kaum Ergebnisse liefern. Bei semi-starker Effizienz findet auch eine Fundamentalanalyse keine falsch bepreisten Assets und aktives Portfoliomanagement ist eher schlechter als eine passive Strategie. Ausserdem können Investoren davon ausgehen, dass Preise fair sind. Hält sogar starke Effizienz ist auch die Richtigkeit der Kapitalkosten der sich Firmen gegenüber sehen gesichert. Je effizienter ein Markt ist, desto weniger sind Regulierungen notwendig, desto liquider ist der Markt und desto mehr werden auch Derivate gehandelt. Liquidität und häufiger Derivatehandel führen wiederum zu höherer Informationseffizienz. - Paradox: Ist ein Markt effizient braucht es keine Analysten mehr. Hören jedoch alle Analysten auf zu arbeiten, ist der Markt nicht mehr effizient. - Eigenschaften eines effizienten Marktes: schnelle und korrekte Reaktion auf neue Informationen, stochastische Unabhängigkeit der Returns (keine Autokorrelation). - Markteffizienz impliziert nicht, dass Investoren ihre Portfolios zufällig auswählen können. Es muss dennoch auf gute Diversifikation geachtet werden. Returns müssen nicht iid sein, unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind möglich und auch Normalverteilung folgt nicht aus Effizienz. - Statistische Modelle der Assetpreise in einem effizienten Markt: Random walk logarithmischer Preise, Martingalmodell (Erwartungswert eines Preises gleich dem Wert des letzten beobachteten Preises), unkorrelierte Returns. - Empirische Test unterstützen die schwache und die semi-starke Form weitgehend und lehnen die starke Form klar ab. - Anomalitäten sprechen gegen Effizienz: Januareffekt (höchste Renditen im Januar Steuern, Bonus am Ende des Jahres) und Wochentagseffekt (Return am Montag negativ, Exzessrendite wäre kleiner als TAK), Grösseneffekt (kleinere Unternehmen haben höhere erwartete Renditen und Januar- und Wochentagseffekte sind stärker), starke Beziehung zwischen Durchschnittrenditen und Book-to-Market-Ratio, hohe Earnings-per-Share führen zu hohen Durchschnittsrenditen - Momentum-Strategie: Preise steigen langsam an über eine längere Zeit bis zu einem bestimmten Level positive Returns sind von positiven Returns gefolgt (widerspricht Effizienz: Preise reagieren nicht sofort) - Contrarian-Strategie: Kaufen, was schlecht performt hat, verkaufen, was gut performt hat negative Returns sind von positiven Returns gefolgt (widerspricht Effizienz: Überreaktion der Märkte) 7

8 Faktormodelle (Modul 18) Renditen von Assets werden beeinflusst durch assetspezifische Einflüsse und durch systematische Events, welche fundamentale Variablen determinieren, die sogenannten Faktoren. Faktoren sind unprognostizierbar, relevant für das Assetpricing und beeinflussen viele Assets gleichzeitig. r n = a n + b nm F m + ε nm mit a n = eine Konstante, b nm = Sensitivität des Assets n gegenüber dem Faktor m, F m = Faktor m und ε nm = spezifischer Störterm. Der Erwartungswert eines Faktors ist Null und die Faktoren sind untereinander und mit dem Störterm unkorreliert. Der Erwartungswert der Störterme ist ebenfalls Null und sie sind auch untereinander unkorreliert. Somit ist E(r n ) = a. Ein Faktormodell (ausser dem trivialen Faktormodell) reduziert die Risikoquellen, da die Anzahl Faktoren M kleiner ist als die Anzahl Assets N, was die Analyse vereinfacht. Marktmodell oder Single Index Modell: r n = a n + b n r M + ε n Faktoren können gefunden werden via Hauptkomponentenanalyse oder Faktorenanalyse. Arbitrage Pricing Theory (Modul 19) Arbitrage beschreibt die Existenz von Portfolios ohne Verlustrisiko aber mit einer Chance auf Profit. In der Realität ist es schwierig Arbitragemöglichkeiten zu finden, da TAK hoch sind, es Investitionsrestriktionen oder nicht alle Informationen verfügbar sind. In einem effizienten Markt gibt es keine Arbitragemöglichkeiten, doch ein Markt ohne Arbitragemöglichkeiten ist nicht automatisch effizient. Annahmen zum Arbitrage Pricing Model: - Die Renditen ergeben sich aus einem Multifaktormodell: r n = µ n + b nm F m + ε m mit den entsprechenden Annahmen. - Es gibt keine Arbitragemöglichkeiten auf dem Markt. - Homogene Erwartungen (Einigkeit bzgl. der Verteilung der stochastischen Renditen. Das Modell: µ n = r f + b nm λ m mit µ n = erwartete Rendite des Assets n, r f = risikoloser Zinssatz und λ m = Marktpreis pro Einheit Risiko des Faktors m. λ m ist somit die Rendite, die ein Investor verlangt, um das zusätzliche Risiko des Faktors m zu tragen. Im Fall b nm = 1 ist λ m = µ n - r f. Das empirische APT testet, ob die vorher festgelegten Variablen die durch statistische Methoden gefundenen Faktoren sind und ob die Risikoprämien auf diese Faktoren erwartete Renditen erklären. In mehreren Studien festgelegt Variablen sind: - der langfristige Zinssatz - der Unterschied zwischen dem 3-Monate- und dem 10-Jahre-Zinssatz - die Wechselkurse - Energiekosten - der Residualmarktfaktor Das APT Modell kann zum aktiven und zum passiven Portfoliomanagement verwendet werden. Das APT schliesst das CAPM nicht aus. 8

9 Aktives Portfoliomanagement (Modul 21) Falls eine Investor der Meinung ist, er kann eine bessere Performance als der Markt erreichen, investiert er aktiv durch Übergewichten von unterbewerteten Assets und Untergewichten von überbewerteten Assets. Historisch sind passive Strategien besser als die meisten aktiven. Studien zu den topperformenden Funds zeigen aber, dass erfolgreiches aktives Management möglich ist ( Märkte sind nicht vollkommen effizient). Dass bessere Performance andauern kann, ist nicht bewiesen. - Strategische Assetallokation beschäftigt sich mit der Wahl der Assetklassen auf lange Sicht und ist der wichtigste Teil des Portfoliomanagements. Durch Identifikation der Marktbedingungen, der Risikotoleranz sowie der Präferenz des Investors und des Zielreturns gegeben ein bestimmtes Risikoniveau wird die Struktur des Portfolios bestimmt. - Um auf Veränderungen am Markt reagieren zu können, braucht es auch taktische Assetallokation innerhalb der festgelegten Grenzen, die sich mit der kurzfristigen Sichtweise befasst. Zu den Handlungen gehören Sektorrotation und Über- oder Untergewichtung. - Die einfachste Form taktischer Assetallokation ist Timing. Die Assetklassen werden nach Prognosen gewichtet. Es kann Exzessrendite erwirtschaftet werden, falls der Manager die Marktrendite bzw. die Faktoren (in einem Marktmodell bzw. in einem Multifaktormodell) besser prognostizieren kann als der Markt und dann die Sensitivität des Portfolios gegenüber dem Markt bzw. den Faktoren entsprechend anpasst. - Timing-Fähigkeiten werden daran gemessen mit welchem Anteil der Manager Exzessmarktrendite richtig prognostiziert (P U ) und mit welchen Anteil er Unterperformance des Marktes richtig prognostiziert (P D ), also P U + P D 1. - Security Selektion ist die Strategie, bei der mit falsch bewerteten Assets gehandelt wird. - Treynor-Black Modell: Annahmen: Der Security Analyst kann nur eine beschränkte Anzahl Assets analysieren. Für die anderen wird ein fairer Preis angenommen. Das Ziel des Analysten ist, aus dieser begrenzten Anzahl Assets ein aktives Portfolio zu bilden. Das Marktportfolio dient als Benchmark und als das passive Portfolio. Die erwartete Rendite und die Varianz des Marktes sind bekannt. Prognosen zu dem aktiven und dem passiven Portfolio bestimmen die Zusammensetzung des optimalen risikoreichen Portfolios, das aus dem aktiven und dem Markportfolio besteht. Der erwartete Return eines falsch bewerteten Assets ist: µ k = R + α k + β k (E(R M ) R) + E(ε k ) mit Varianz σ k 2 = β k 2 σ M 2 + Var(ε) Basierend auf den Ergebnissen der Security Analyse wird eine Portfolio T entwickelt bestehend aus der risikolosen Anlage, dem Marktportfolio und den N falsch bewerteten Anlagen (A). Die Kombination von A und dem Marktportfolio M führt zu einer neuen Effizienzgrenze überhalb der alten. Das Tangentialportfolio dieser Effizienzgrenze mit dem risikolosen Zinssatz bildet das neue optimale risikoreiche Portfolio. Die Gewichtsverteilung zwischen T und der risikolosen Anlage (w 0 ) wird bestimmt durch die Risikopräferenz des Investors (φ). w 0 = 1 - φ1 w T mit w T = Vektor mit Gewichten von T. T M A CAL CML Mathematische Herleitung des optimalen Portfolios sh. Seiten 12 bis 14. Sharpe Ratio 2 = [(µ P R)/σ P ] 2 = [(µ M R)/σ M ] 2 + (α k /σ k ) 2 [α A /σ A 2 = [α k /σ k ] 2 Die Rate des Fehlbewertungsgrades (appraisal ratio) α A /σ A wird zu einem natürliche Performancemass der aktiven Komponente des risikoreichen Portfolios. Dieses Vorgehen kann verallgemeinert werden und ist somit auch für Multifaktormodelle anwendbar. 9

10 Performance Messung (Modul 22) Performancemasse basieren auf einer statistischen Formel, einer Beobachtungsperiode während der die Formel berechnet wurde und einem Benchmark. Zur Messung der vergangenen Performance eines Portfolios sollte immer das geometrische Mittel verwendet werden. Hat ein Investor all seine Mittel in einem Portfolio ist das Gesamtrisiko entscheidend, besitz der Investor mehrere Portfolios sollte nur das systematische Risiko beachtet werden. - Sharpe Ratio SR = (R P R)/σ P kann nur angewendet werden, wenn das Risikoniveau unter der Kontrolle des Managers liegt (keine Zielrendite vom Kunden festgelegt) - Differential Return DR = R A R A = R A (R + (R M R)(σ A /σ M )) mit R A = tatsächlicher Return des Assets A und R A = Benchmark Return bei einer passiven Strategie. - Treynor-Ratio (Sharpe Ratio in β-space) TR = (R P R)/β P - Jensen s Alpha (Differential Return in β-space) α A = R A (R + β A (R M R)). - Treynor/Black Measure (appraisal ratio) TB = α P /σ P beschreibt den Trade-Off zwischen Überschussrendite und diversifizierbarem Risiko und kann als risikoadjustiertes Alpha gesehen werden. - TR P = α P /β P (R M R) Performance-Dekomposition Diversifikation / Net Selectivity: Rendite aus Diversifikation = R A R A Rendite aus Selektion = R A R A (eignelticher Beitrag des Managers) R P R A R M Investorenrisiko / Managerrisiko: Rendite aus Zielrisiko β T = R T R Rendite aus zusätzlichem Risiko des Managers = R A - R T R R T /R A R A Die Timing-Fähigkeit eines Managers kann gemessen werden durch: β P - Beta (Y) gegen Marktrendite (X) plotten: bei positivem Zusammenhang besteht eine Timing-Fähigkeit - Portfoliorendite (Y) gegen Marktrendite (X) plotten: bei überproportional positivem Zusammenhang besteht eine Timing-Fähigkeit (konvexe Kurve, kein linearer Zusammenhang). Formal: Treynor/Mazuny: (R pt R) = α p + β p (R mt R) + γ p (R mt R) 2 + ε pt oder Merton/Henriksson: (R pt R) = α p + β p (R mt R) + γ p max(r mt R, 0) + ε pt Ist γ p positiv, hat der Manager Timing-Fähigkeiten. Weitere Performace-Messungen: - basierend auf dem Fama/French drei-faktor-modell (Neben Markt noch Grösse und Book-to- Market): R pt R = α p + β p [R Mt R] + s p [R SMBt ] + h p [R HMLt ] + ε pt Carhart findet für Mutual Funds noch einen weiteren Faktor, das einjahres Momentum in gemeinsamen Aktienrenditen. - basierend auf Portfoliogewichten: cov(w, R) = cov(w j, R j ) = (E[w j R j ] E[w j ]E[R j ]) Die Summe der Kovarianzen ist dabei die tatsächliche Rendite des gemanageten Portfolios minus der Rendite, die ein Portfolio erwirtschaftete hätte, das keine privaten Informationen ü- ber die zukünftige Entwicklung der Assetrenditen hatte (Gewichte und Überschussrenditen unabhängig). - Nicht-lineare Payoffs: Sobald Optionen in einem Portfolio enthalten sind, genügt es nicht nur Renditen und Varianzen zur Performance-Messung zu betrachten. 10

11 Empirische Studien zeigen, dass die Performance von Mutual Funds generell schlechter war als naive Strategien, die passive Portfolios mit risikolosen Assets mischen. Investment Styles (Modul 23) - Small-cap: Unternehmen mit tiefer Marktkapitalisation (Anzahl Aktien multipliziert mit deren Preis) - Large-cap: Unternehmen mit hoher Marktkapitalisation - Value: Investition in Aktien mit tiefem Verhältnis von Preis zu fundamentalen Daten, wie Dividenden, P/E, B/M - Growth: Unternehmen mit hohen Wachstumserwartungen (tiefe Dividenden, hohe P/E, tiefe cash flow-to-price, tiefe B/M) - Momentum: Investition in Aktien, die kürzlich gut performt haben (vor 1 12 Monaten). - Contrarian: Investition in Aktien, die in der Vergangenheit schlecht performt haben (1 5 Jahre) Gordon Growth Modell: P t = Div t+1 /(r g) Div t+1 /P t = (r g) 11