2 Matrizen. 2.1 Definition A = a Element in der 3. Zeile und 2. Spalte RP =

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1 Matrizen James Joseph Sylvester 97 war ein britischer Mathematiker. Eines seiner vielseitigen Arbeitsgebiete war die Theorie von Matrizen und Determinanten. Die ezeichnung Matrix wurde von ihm eingeführt. Matrizen sind ein Grundkonzept der linearen Algebra. Sie spielen in vielen Gebieten der Mathematik eine Rolle und erleichtern komplexere Rechenvorgänge. Hauptsächlich angewendet werden sie bei der Darstellung von linearen Abbildungen, wie z der Gozintographen im Wirtschaftsbereich und zur eschreibung und Lösung von linearen Gleichungssystemen. Matrizen stellen Tabellen, die wirtschaftliche, technische oder naturwissenschaftliche Vorgänge veranschaulichen, als selbstständige Rechenobjekte dar. Das Rechnen mit Matrizen liefert daher Methoden, die zur Weiterverarbeitung tabellierter Zahlenwerte dienen.. Definition. Ein etrieb erzeugt aus den Rohstoffen R, R, R und R drei Produkte P, P und P. In der Tabelle wird aufgelistet, wie viele Mengen ein heiten ME man jeweils für je eine Einheit der Produkte braucht. Stelle die Tabelle als edarfsmatrix dar. Veranschauliche die Materialverflechtung in einem Gozintographen. R P P P P R R R R Um diese Aufgabe lösen zu können, benötigen wir einige neue Definitionen und Klärungen von egriffen. Was ist eine Matrix? Die Matrix vom Typ m x n ist ein in eine Klammer gesetztes rechteckiges Zahlenschema, das aus m Zeilen und n Spalten besteht. Matrizen werden meist mit Großbuchstaben bezeichnet. Die Zahlen der Matrix werden Elemente genannt. Allgemein bezeichnet man sie mit Kleinbuchstaben und einem Index ij, wobei i die Nummer der Zeile und j die Nummer der Spalte angibt, wo sich das Element in der Matrix befindet. Eine Matrix, die nur aus einer Zeile oder nur aus einer Spalte besteht, wird auch Vektor genannt, z. A = a a a a a a a a a a a a a... Element in der. Zeile und. Spalte Eine Matrix, die den edarf an Rohstoffen für die Erzeugung der Produkte im eispiel darstellen soll, enthält nur mehr das Wesentliche, nämlich die Darstellung der Zahlenwerte. Damit man einen inhaltlichen Anhaltspunkt hat, ist zu empfehlen, dass man für die Matrixbezeichnung uchstaben benützt. Z: RP... von R nach P. Man liest die Matrix in Richtung von der Zeile in die Spalte. Die grafische Veranschaulichung einer solchen edarfsmatrix geschieht mit dem so genannten Gozintographen. 6 Algebra RP = edarfsmatrix

2 Der Gozintograph hat seinen Namen von goes into, das bedeutet, es wird eine Richtung angegeben. Ein Gozintograph beschreibt, aus welchen Teilen sich ein oder mehrere Produkte zusammensetzen bzw. wie diese mengenmäßig miteinander verflochten sind. Z: Zur Tabelle bzw. zur Matrix in unserem Eingangsbeispiel können wir nebenstehenden einfachen Gozintographen erstellen. Je nach Anzahl der Zeilen bzw. der Spalten unterscheidet man R R R R P P P Spezielle Arten von Matrizen Zeilenvektor Einzeilige Matrix, z: A = Spaltenvektor Einspaltige Matrix, z: = Im Wirtschaftsbereich sind hier besonders Vektoren häufig im Einsatz: der Produktions vektor X, der Nachfragevektor N und der Preisvektor P. Der Produktionsvektor gibt die Mengen an, die im betrachteten Produktionsprozess hergestellt werden. Der Nachfragevektor enthält jene Mengen, die von dem Produkt auf dem Markt nachgefragt werden und der Preisvektor die Zusammenfassung der Verkaufspreise pro Mengeneinheit für mehrere Produkte. Die Anzahl der Zeilen m und Spalten n einer Matrix bestimmen den Typ der Matrix: Quadratische Matrix Es gibt gleich viele Zeilen und Spalten, z x -Matrix: M = Die Anzahl der Zeilen und Spalten einer quadratischen Matrix wird als Ordnung bezeichnet. Eine m x m-matrix hat die Ordnung m. Nullmatrix O Alle Elemente der Matrix haben den Wert null, z: O = Einheitsmatrix E Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale Z: E = gleich sind. Einheitsmatrizen sind immer quadratisch. Transponierte Matrix Aufgrund der jeweiligen Aufgabenstellung kann es beim Rechnen mit Matrizen notwendig sein, die Daten aus Zeilen und Spalten einer Matrix A zu vertauschen. Die auf diese Art entstehende Matrix A T nennt man die transponierte Matrix von A. Z: A = AT = Im Anwendungsbereich hat man es meist mit Größen zu tun, die einander durch die Matrix zugeordnet werden. Z Geräte G werden bestimmten Filialen F zugeordnet, man könnte die Zuordnungsmatrix mit GF bezeichnen. Die Elemente von G sind in den Zeilen, die Elemente von F in den Spalten angeordnet. eim Transponieren werden sie vertauscht. 9 7 Algebra 7

3 Matrizen. An Filialen F, F und F eines Geschäfts werden Geräte G geliefert: ildschirm, Receiver R und US-Sticks U. Die Anzahl der Geräte ist in der Tabelle aufgelistet. Stelle die Tabelle als Matrix dar. eschreibe den Typ der Matrix. Erkläre, was das Element a aussagt. Veranschauliche die Zuordnung mit einem Gozintographen. Erkläre, was das Element b in der transponierten Matrix aussagt. Lösung: Matrix: GF = 6 Es handelt sich um eine quadratische x -Matrix. a =.... Zeile,. Spalte: Anzahl der gelieferten US-Sticks an die. Filiale Transponierte Matrix: GF T = FG = 6 b =... Anzahl der an die. Filiale gelieferten Receiver G F F F F 6 R U Grafische Darstellung von GF: F R F U F CD D. Zur Herstellung von Produkten P, P, P und P werden P P P von einem etrieb mehrere Rohstoffe R, R und R in R unterschiedlichen Mengen benötigt. Die Zusammensetzungen sind in einer Tabelle angegeben, wobei die R Zahlenwerte die erforderlichen Mengeneinheiten ME wiedergeben. a Stelle die Tabelle als Matrix RP dar. eschreibe den Typ der Matrix. Erkläre, was das Element a aussagt. R R b Veranschauliche die Materialverflechtung mit einem Gozintographen. c Erkläre, was das Element b in der transponierten Matrix aussagt.. Gib den Typ der Matrix an und bestimme die angegebenen Elemente. a M = 7 c K = ; m, m, m, m b F = ; f, f, f, f ; k, k, k, k d A = ; a, a, a, a Algebra

4 . Transponiere die Matrix. a M = 7 b N = c K = c c c c c c c c c d =.6 Argumentiere anhand eines selbstgewählten eispiels welche Art von Matrix entsteht, wenn man einen Zeilenvektor transponiert.... welche Matrix entsteht, wenn man eine Einheitsmatrix transponiert..7 Interpretiere den folgenden Gozintographen, bei dem aus Zwischenprodukten Endprodukte erzeugt werden sollen. a b c c e b e a D D Z Z Z E E Erstelle die dazu passende edarfsmatrix. Transponiere die Matrix. Erkläre, was das Element a in der transponierten Matrix aussagt.. Interpretiere den gegebenen Gozintographen, der einen Rohstoff-edarf für die Erzeugung von Produkten in Mengeneinheiten ME visualisiert. D R R R R 6, P P P Erstelle die dazu passende edarfsmatrix. Transponiere die Matrix. Erkläre, was das Element a in der transponierten Matrix aussagt..9 Für die Erzeugung zweier Produkte werden die dafür benötigten Rohstoffe R, R und R pro Tonne in der folgenden Matrix beschrieben. RP = Ein Kunde bestellt Tonnen eines Endprodukts P sowie Tonnen eines Endprodukts P. Stelle den edarf an Rohstoffen pro Tonne der Endprodukte in einem Gozintographen dar. Ermittle, wie viel Tonnen der Rohstoffe R bis R jeweils für die Produktion von P und P an die Firma geliefert werden müssen. A Algebra 9

5 . Rechnen mit Matrizen.. Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einer reellen Zahl AD. Ein Smartphone-Hersteller hat die Verkaufszahlen zweier Handy-Modelle MoTeen und MoTwen von Vertriebsfilialen F, F und F für die Monate März und April in Form von den nebenstehenden Tabellen festgehalten. Stelle beide Tabellen als Matrizen dar. a erechne, wie viele von jedem Modell in jeder der Filialen in beiden Monaten verkauft wurden. b Im Mai haben sich die Verkaufszahlen von April verdoppelt. erechne die Verkaufszahlen für den Monat Mai. c MoTeen wird um verkauft, MoTwen kostet 6. Stelle die Preisvektoren dar. d Erkläre, wie man mit der Matrix für den Monat Mai und der Preismatrix eine Matrix für den Umsatz der einzelnen Filialen ermitteln kann. März F F F MoTeen 9 6 MoTwen 6 April F F F MoTeen 7 9 MoTwen 7 7 Um die Aufgabe lösen zu können, musst du wissen, wie Matrizen addiert und mit einer reellen Zahl die man im Zusammenhang mit Matrizen auch als Skalar bezeichnet multipliziert werden. Addition und Subtraktion von Matrizen gleichen Typs: Gleichplatzierte Elemente werden addiert bzw. subtrahiert. Z: + = = = = 7 6 Matrizen unterschiedlichen Typs können weder addiert noch subtrahiert werden. Multiplikation mit einem Skalar: Jedes Element der Matrix wird mit dem Skalar multipliziert. Z: = = Matrizen können nur dann addiert bzw. subtrahiert werden, wenn die Anzahl ihrer Zeilen m und ihrer Spalten n gleich sind. Man addiert bzw. subtrahiert paarweise die entsprechenden gleichplatzierten Elemente. Als Ergebnis erhält man eine Matrix von gleichem m x n-typ wie beide Ausgangmatrizen. Weiters gilt: Die Addition ist kommutativ und assoziativ: A + = + A, A + + C = A + + C A + O = A und A + A = O mit O... Nullmatrix A = A und A = O s A ± = s A ± s und s ± t A = s A ± t A mit s, t R Algebra

6 Mit diesen Kenntnissen lassen sich die Aufgaben des Eingangsbeispiels lösen: a Die beiden Matrizen: März: F = 9 6 F + F = 96 b Mai: ; April: F = = c Preisvektor: P = Matrizen d Die erste Zeile stellt den Absatz in den Filialen des Modells MoTeen, die zweite Zeile jene des Modells MoTwen dar. Daher muss man die Elemente der ersten Zeile mit und die Elemente der. Zeile mit 6 multiplizieren. Um die Gesamtumsätze je eines Modells in allen drei Filialen zu erhalten, bildet man die Zeilensumme. Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, wie man dies mit einer einzigen Matrizenoperation berechnen kann. Obwohl dieses eispiel sehr einfach zu lösen war, interessiert es dich ja sicher, wie man diese erechnungen mithilfe von Technologieeinsatz durchführt. TI-Nspire: Im Menü den Calculator öffnen. Definiere die Matrix mithilfe eines uchstaben: a := Das Definitionszeichen ist in der. Ebene über der Vorlagentaste. Für Matrizen gibt es Vorlagen. Drücke die Vorlagentaste. Es öffnet sich ein Dialogfenster, in dem du die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix eingeben kannst. Wiederhole den Vorgang mit der. Matrix und führe die erechnungen durch: Transponieren einer Matrix: Menu 7Matrix und Vektoren/ Transponieren Die edienung von TI -, EXCEL und Geogebra bei Matrizenrechnung siehe Schulbuch Plus für Schüler/innen Algebra

7 . Ein etrieb stellt Güter G, G und G her. Er liefert sie an Filialen F, F, F und F. Die Liefermatrizen für Monate sind die folgenden:. Monat: 7 6. Monat: 7 7 a erechne die Gesamtlieferung an die einzelnen Filialen. b Der etrieb möchte im. Monat das Ergebnis des. Monats verdreifachen. Man stellt sich vor, dass man an alle Filialen die dreifache Menge der Güter G, G und G sendet. erechne die Liefermatrix. Stelle die Liefermatrix grafisch dar. Lösung: a 7 b = = G 6 6 G 6 G F F F F. Die Nettopreise für Produkte P, P und P in Euro pro Stück in Filialen F, F und F betragen: 7 6 PF = 6 erechne die ruttopreise mit % Mehrwertsteuer.. Eine Firma lieferte in den vergangenen Jahren an Standorte ST, ST, ST folgende Mengen von Produkten P, P und P : Vorletztes Jahr: Letztes Jahr: P ST ST ST ST P P 9 P P ST ST ST ST P P 9 P 7 a erechne die gesamte Lieferung der Produkte beider Jahre an die einzelnen Standorte mithilfe der beiden Liefermatrizen. b eschreibe die Veränderung der Lieferung in den beiden Jahren. c Für das laufende Jahr erwartet man eine generelle Zunahme um, % gegenüber dem letzten Jahr. Erstelle die neue voraussichtliche Liefertabelle. Algebra

8 . Die Kosten K, K und K für die Herstellung von unterschiedlichen Produkten betragen im ersten Quartal 6, 7 bzw. 79 und im zweiten Quartal 9, bzw.. a Ermittle den Kostenzuwachs im. Quartal. b Durch Einsparungsmaßnahmen sollen die Kosten im. Quartal generell um % gesenkt werden. Erstelle die neue Kostenmatrix für das. Quartal.. Eine Firma erzeugt Typen von Maschinen M und M in Fabriken. An Tagen T bis T der Woche ist die Produktion in Mengeneinheiten ME in den folgenden Tabellen angegeben: A C. Fabrik. Fabrik M T T T T T T M 6 M 9 M T T T T T T M M 7 a erechne die tägliche Gesamtproduktion von M und M in den beiden Fabriken. b eschreibe die unterschiedlichen Herstellungsmengen in den beiden Produktionsstätten. c In der. Fabrik sollte die Produktion um % angekurbelt werden. erechne, welche Produktionsmengen dies ergibt..6 Studentinnen S bis S bekommen ein monatliches Taschengeld G von ihren Eltern. Daneben haben sie ein regelmäßiges monatliches Einkommen G durch Nachhilfestunden. A S G G in /Monat G in /Monat S S 9 S S a Interpretiere anhand von Matrizen den Unterschied zwischen dem monatlichen Taschengeld und dem zusätzlich verdienten Monatseinkommen. b Erstelle eine Matrix, die angibt, wie viel jede Studentin pro Jahr Taschengeld und zusätzlich verdientes Geld einnimmt..7 In der Zentrale einer großen Elektronikfirma sind die Verkaufszahlen der Sommermonate M, M und M von den Produkten P, P bzw. P aus zwei Vertriebsfilialen A und in Tabellenform eingelangt. Der Geschäftsführer der Filiale C gibt an, jeweils doppelt so viel Produkte verkauft zu haben wie in Filiale A verkauft wurden. A F F F M M 6 M M M M F F 6 F 67 a Erstelle in Matrizenschreibweise die Formel, mit der die Gesamtverkaufszahlen aller drei Filialen A, und C in den Sommermonaten berechnet werden kann. b erechne die Verkaufsmatrix für die Sommermonate. Algebra

9 .. Die Multiplikation von Zeilenvektoren mit Spaltenvektoren A. Julius hat einen Einkaufszettel mitbekommen. Er soll kg Mehl, Eier, l Milch und kg Äpfel einkaufen. Es gelten die folgenden Preise für die Produkte, die Julius gewählt hat: kg Mehl Eier Milch kg Äpfel Preis/Einheit,,9,7, Stelle den Mengen- und den Preisvektor auf. Ermittle, wie viel Geld Julius ausgeben wird. Diese Aufgabe lässt sich ganz leicht auch ohne Matrizen mit einfachster Mathematik lösen. Hier jedoch soll sie dazu dienen, grundlegendes Verständnis für die Multiplikation von Vektoren das sind einzeilige oder einspaltige Matrizen zu erarbeiten. Wir stellen die Liste der Preise in Form eines Spaltenvektors dar: p = Algebra,,9,7, Um anzudeuten, dass ein Vektor vorliegt, schreibt man häufig statt der Matrix- Großbuchstaben einen kleinen uchstaben mit einem Pfeil. Die Liste der benötigten Mengen schreiben wir in Form eines Zeilenvektors: m =. Die Multiplikation der Mengen und Preise ergibt die insgesamt benötigte Geldsumme also eine Zahl = Skalar. Daher muss die Multiplikation der beiden Vektoren dementsprechend definiert werden. Es wird jedes Zeilenelement mit dem passenden Spaltenelement multipliziert und die so erhaltenen Produkte addiert.,,9 m p = =, +,9 +,7 +, = 7,9,7, Zeilenvektor mal Spaltenvektor nennt man das Skalarprodukt von Vektoren Skalarprodukt von Vektoren = Zeile z mal Spalte s : z, z s s = z s + z s... Skalar.9 Multipliziere die beiden Vektoren. a 6 9,7 d x b,, 7 x e a a, c f x y. Ein Lebensmittelhändler kauft Äpfel, irnen, Zwiebeln und Karotten ein.,9, Mengenvektor m = in kg; Preisvektor p = in /kg,, erechne, wie viel der Händler insgesamt ausgibt. 76 6

10 . Ein Kunde will die in der Tabelle angegebenen Produkte kaufen. Er studiert vorab die Preise für die gleichen Lebensmittel in verschiedenen Supermärkten A und : A Zucker utter Mehl Reis Schinken gewünschte Menge in kg Preis pro kg in A Preis pro kg in,,,79,,9,,,9,,,9, Erstelle den Mengen- und die beiden Preisvektoren. erechne mithilfe von Skalarprodukten, wo der Kunde billiger einkauft... Multiplikation von Matrizen. Auf einer Schihütte werden Sorten Schiwasser angeboten, die sich bei je Liter nur durch das Mischverhältnis von Mineralwasser und Himbeersirup unterscheiden. A Mischung Mischung Sirup Liter Liter Wasser Liter 7 Liter Ein Liter Mineralwasser kostet im Handel,7, ein Liter Himbeersirup,99. Erstelle die Mischverhältnismatrix und den Zeilenvektor der Preismatrix. Ermittle, wie viel jede Mischung insgesamt kostet. Mischverhältnismatrix M Angaben in Liter: M = Preismatrix P Angaben in l: _ P = Sirup Wasser =,99,7 Um zu ermitteln, wie viel jede Mischung insgesamt kostet, müssen die Literpreise der jeweiligen Zutaten mit ihren Anteilen an den Mischungen multipliziert werden. Für Mischung ergibt sich:,99 +,7 = 6,7 Für Mischung ergibt sich:,99 +,7 7 =,66 In beiden Fällen werden die Elemente der Zeile von P mit den passenden Elementen der jeweiligen Spalte von M multipliziert und anschließend addiert. Diese erechnung kann man in kompakter Form als Multiplikation der Matrix P mit der Matrix M anschreiben. Man erhält als Ergebnis eine Matrix, die die Gesamtpreise für Liter beider Sorten angibt: P M =,99,7 7 =,99 +,7,99 +,7 7 = 6,7,66 7 Algebra

11 Damit man zwei Matrizen miteinander multiplizieren kann, muss die Anzahl der Spalten der. Matrix der Anzahl der Zeilen in der. Matrix entsprechen. Die Elemente der. Zeile werden mit den Elementen der. Spalte paarweise multipliziert und anschließend zusammengezählt, dh. Zeile mal Spalte, man bildet also die Skalarprodukte der Zeilen- mit den Spaltenvektoren. Das Ergebnis der Multiplikation zweier Matrizen A = a ik und = b kj ist eine Matrix C = c ij mit den Elementen: n c ij = Σ a ik b kj k = Matrixtyp m x n multipliziert mit Typ n x r ergibt den Typ m x r. Es gilt für die Matrizenmultiplikation: Die Multiplikation zweier Matrizen ist im Allgemeinen nicht kommutativ: A A A O = O und O A = O mit O... Nullmatrix A E = A und E A = A mit E... Einheitsmatrix s A = s A = A s mit s R AC. Multipliziere die Matrix A mit der Matrix. Dokumentiere die einzelnen Rechenschritte. A =, = Lösung: C = A = c = c c c c c c c c = a b + a b + a b = + + = c = a b + a b + a b = + + =... c = a b + a b + a b = + + = c = a b + a b + a b = + + = C = A = 6 Zur übersichtlichen Gestaltung der Matrizenmultiplikation kann das Falk sche Schema Dr.-Ing. Sigurd Falk, *9, ehemaliger Professor an der Technischen Universität raunschweig, Deutschland angewendet werden. A C = A + + = 6 6 Algebra

12 Du solltest wissen, wie die Multiplikation von Matrizen festgelegt ist und sie auch im Prinzip händisch ausführen können. Allerdings ist bei anwendungsbezogenen Aufgaben die enützung von Technologie unbedingt anzuraten.. erechne Aufgabe. mithilfe von Technologieinsatz. Lösung: Die Matrizen werden zuerst definiert mit a:= und b:= Anschließend wird mit dem normalen Multiplikationszeichen multipliziert. Die edienung von TI -, EXCEL und Geogebra bei Matrizenmultiplikation siehe Schulbuchplus für Schüler/innen. Multipliziere die Matrizen P und Q zunächst händisch und überprüfe anschließend mithilfe von Technologieeinsatz. a P =, Q = 7 b P =, Q = c P =, Q = d P =, Q =.6 Es sind die Matrizen F, G und H gegeben. F =, G = 7, H = 6 Argumentiere, welche der folgenden Multiplikationen sich nicht ausführen lassen. erechne jene Multiplikationen, die möglich sind. a F G b F H c G H d H G e G F f H F.7 Erstelle Matrizen, deren Produkt die gegebene Matrix A ergibt. a A = a d + b f a e + b g b A = a + c b + d a + c b + d AD A Algebra 7

13 C AD. erechne die folgenden Matrizenmultiplikationen: A ; A; A E und E A A =, = Vergleiche die Ergebnisse. Was fällt dabei auf?.9 Für die Sportwoche gibt es für die Klassen K A,, C, D das Angebot zwischen Sportarten S: Tennis, Reiten oder Windsurfen. Die Anmeldungsliste: S K A C D Tennis 6 Reiten 9 Surfen Die Kursteilnahme kostet pro Person für Tennis, für Reiten und Surfen. a Stelle die passende Klassen-Matrix KS und den Spalten-Vektor für die Kosten auf. b erechne, wie viel Geld in den einzelnen Klassen eingesammelt werden muss. c Stelle einen Zeilenvektor für die Kosten auf. Argumentiere, wie du den Zeilenvektor mit der Klassen-Matrix multiplizieren kannst, um auch wieder die Gesamtkosten für die einzelnen Sportarten zu erhalten... Die Matrixgleichung und die inverse Matrix Eine wichtige Anwendung der Matrizen ist die übersichtliche Handhabung bei der Lösung eines linearen Gleichungssystems LGS mit beliebig vielen Variablen. A. Stelle das folgende LGS in Matrizenform dar. I: x y = II: x + y = 6 Du kannst die Zeilen des Gleichungssystems als Matrizenmultiplikation auffassen. Definiere X als Spaltenvektor mit X = x y. Erzeuge mit den Koeffizienten eine Matrix: A =... Koeffizientenmatrix ilde mit der rechten Seite der Gleichung einen Spaltenvektor Y = 6 Nun ist es möglich, das LGS als Matrixgleichung anzuschreiben: A X = Y Häufig wird für das LGS, besonders bei erechnungen mit Technologie, auch die so genannte erweiterte Koeffizientenmatrix angegeben, die den Ergebnisvektor Y als letzte Spalte enthält: AY = 6 Algebra

14 Formal lässt sich ein lineares Gleichungssystem LGS mit n Unbekannten als Matrixgleichung deuten. Die Koeffizientenmatrix A multipliziert mit dem Variablenvektor ergibt den Ergebnisvektor. A X = Y A... Koeffizientenmatrix, X... Spaltenvektor der Unbekannten, Y = Spaltenvektor des Ergebnisses Als erweiterte Koeffizientenmatrix bezeichnet man eine Matrix, die neben den Koeffizienten in der letzten Spalte den Ergebnisvektor enthält.. Stelle die Matrixgleichung als lineares Gleichungssystem dar. Löse es mithilfe von Technologieeinsatz. a x y = b 7 β α 9 = c 9 m n 6 = 6. Löse das Gleichungssystem mithilfe von Technologieeinsatz. Stelle das Gleichungssystem als Matrixgleichung dar. a I: c d = b I: x + y = 7 c I: y + z = 6 II: 7c + d = II: y + z = II: x + y z = III: x + y + z = III: x y = A A Du bist in der Lage, lineare Gleichungssysteme mithilfe von Technologieeinsatz zu lösen. Aber das LGS lässt sich auch mithilfe einer Matrizenoperation lösen. Könnte man die Matrixgleichung Y = A X durch A dividieren, dann hätte man die gesuchte Matrix X. Die Division durch eine Matrix ist aber nicht definiert! Du kannst dir jedoch mit einem Trick behelfen, mit dem man die Matrix A beseitigen kann, nämlich durch Multiplikation mit der inversen Matrix A. Es funktioniert dies ganz ähnlich wie bei einer normalen Zahlenmultiplikation. Durch die Multiplikation mit der Inversen kann die Division umgangen werden. Z: x =, Die Frage lautet: Womit müsste man multiplizieren, damit entsteht. ist das neutrale Element der Multiplikation! Die Multiplikation mit dem inversen Element der Multiplikation, in diesem Fall also mit _, ist zielführend. x = _ x =, Ähnlich wie bei dieser Zahlenmultiplikation wird die inverse Matrix A definiert. Wir fragen, womit man A multiplizieren müsste, um die Einheitsmatrix E zu erhalten. Sie ist das neutrale Element der Matrizenmultiplikation! Die Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix. Daher kann die Inverse immer nur von quadratischen Matrizen gebildet werden! Vorsicht: Es gibt nicht zu jeder quadratischen Gleichung eine Inverse. Eine quadratische Matrix A ist invertierbar, wenn sie die Definitionsgleichung für die Inverse A erfüllt: A A = E oder A A = E Algebra 9

15 Matrizen. Löse die Matrixgleichung x y = 7 6 mithilfe der Inversen.. Schritt: erechne die inverse Matrix A. Rechne vorerst ohne Technologieeinsatz, um die dahinter stehende Idee zu verstehen: Für die inverse Matrix gilt: A A = E a a a a = Die Lösung des LGS ergibt die Elemente der inversen Matrix. a + a = a + a = a = ; a =, a + a = a + a = a = ; a =, A = =,, Fasst man die erechnungen so zusammen, dass die Elemente der ursprünglichen Matrix erkennbar sind, so ergibt sich für die erechnung der Inversen einer quadratischen Matrix. Ordnung die folgende Formel: A = a a a a A = a a a a a a a a. Schritt: Löse die Matrixgleichung Multipliziere die beiden Seiten der Matrixgleichung mit der Inversen. eachte die Reihenfolge bei der Multiplikation: Zahl der Spalten der. Matrix = Zahl der Zeilen der. Matrix! Daher muss linksseitig multipliziert werden!,, 6 7 X = x =, y = x y = Die inverse Matrix ist mithilfe von Technologieeinsatz sehr einfach zu bestimmen: TI-Nspire: A als Matrix mit Vorlage definieren, a:=... / a^- eingeben/ enter Die edienung von TI -, EXCEL und Geogebra bei der erechnung der inversen Matrix siehe Schulbuch Plus für Schüler/innen Algebra

16 . erechne die Matrix aus der Gleichung A = C mit A = und C = 6. Dokumentiere deine Vorgehensweise. Lösung mit TI-Nspire: Ich definiere die beiden Matrizen a und c zum eispiel mithilfe von, : Mathematische Vorlagen. Die Gleichung lautet A = C. Sie kann nach gelöst werden, indem beide Seiten der Gleichung linksseitig mit A multipliziert werden. Ich ermittle die inverse Matrix ai mit ai:=a^- und multipliziere die Gleichung auf beiden Seiten linksseitig mit ai: A A = A C Es gilt: A A = E und E = Damit ergibt sich für die Matrix : = A C, also b:=ai*c. =,, 6 =. erechne die Matrix M aus der gegebenen Gleichung. a M = b 7 M =.6 Stelle die folgenden Gleichungssysteme jeweils in Matrixform dar. Löse das System mithilfe der inversen Matrix. Interpretiere die Lösung. a I: x + y z = 7 b I: a + b + c = c I: u v + w =, II: x + y + z = II: a + b c = II: u v + w = III: x y + z = III: a b + c = III: u + v w =.7 erechne jeweils die Matrix M aus der gegebenen Gleichung. a M = 7 b M 7 = 9 6. Invertiere die angegebenen Matrizen. Führe die Probe über die Einheitsmatrix durch. a A = b = c C = Erkläre, unter welchen edingungen die folgenden Matrixgleichungen gelten. Forme die allgemeinen Matrixgleichungen nach X um. a A X + = C b + A X = C c X = A X + N A D Algebra

17 A A A A eim Einsatz von TI-Nspire oder TI- bewährt sich auch die erweiterte Koeffizientenmatrix zum Lösen eines linearen Gleichungssystems. Mit dem efehl rref wird diese Matrix so lange umgeformt, dass links die Koeffizientenmatrix zur Einheitsmatrix wird, also eine reduced row echelon form rref erzeugt wird. Die Lösungen des Systems liest man in der letzten Spalte rechts ab. Z: I: x + y = II: x + y = eachte, dass Sonderformen mit keiner oder unendlich vielen Lösungen auftreten können, die im Kapitel Lineare Gleichungssysteme erklärt wurden! ei Excel und Geogebra arbeitet man einfacher mit der Inversen oder dem Gleichungslöser.. In der letzten Saison hat ein Fußballverein Pflichtspiele absolviert. Die Anzahl der Spiele, die die Mannschaft nicht verloren hat, ist dreimal größer als die Anzahl der Niederlagen. Zudem hat sie um Siege mehr als Niederlagen erzielt. Stelle dazu ein Gleichungssystem für die Anzahl der Siege, die der Unentschieden und die der Niederlagen auf. erechne diese Anzahlen mithilfe der Matrizenrechnung.. Für eine Kaffeemischung mischt man kg der ersten Sorte Kaffee mit Kilo der. Sorte. Der Kunde bezahlt dafür.76. Mischt man hingegen kg der. Sorte mit kg der zweiten Sorte so sind die Kosten um geringer. Stelle die Matrixgleichung auf. erechne den Kilopreis der beiden Kaffeesorten.. Eine Möbelfabrik stellt Sorten von Möbel M, M, M zum Selbstaufbau her. Jedes auteil der Möbelstücke wird zunächst zugeschnitten, dann mit ohrungen versehen und zum Schluss werden alle Teile verpackt. Für das Zuschneiden bei M benötigt die Maschine Minuten, bei M Minuten und bei M Minuten. Um die ohrungen anzubringen, benötigt man für M Minuten, für M Minuten und für M Minuten; die Verpackung benötigt bei M Minuten, bei M Minuten und bei M Minuten. Für einen Großauftrag sind für das Zuschneiden Stunden geplant; für die ohrungen Stunden und Minuten und für das Verpacken Stunden und Minuten. Erstelle die erweiterte Koeffizientenmatrix für dieses Problem. erechne, wie viele Möbelstücke jeder Sorte hergestellt werden können.. Für eine Medaille soll eine neue Legierung verwendet werden, die aus % Nickel, % Kupfer und 9 % Zinn besteht. Die neue Legierung soll aus zwei alten Legierungen und aus reinem Kupfer gewonnen werden. Legierung : % Nickel, % Kupfer, % Zinn Legierung : 6 % Nickel, % Kupfer, % Zinn Erstelle die erweiterte Koeffizientenmatrix für dieses Problem. erechne die benötigten Anteile der Legierung und und des reinen Kupfers. Algebra

18 . Zweistufige Produktionsprozesse Matrizen Eine wichtige Anwendung findet die Matrizenmultiplikation in der Planungsrechnung. Die Herstellung einer Mengeneinheit des Endprodukts kann über verschiedene Zwischenprodukte erfolgen, deren Produktion die ereitstellung verschiedener Rohstoffe Ausgangsstoffe erfordert... Reine zweistufige Prozesse Rohstoff Zwischenprodukt Endprodukt. Die Zusammensetzungen von Endprodukten E und E aus den Zwischenprodukten Z, Z und Z sowie die jeweilige Mengen der dafür benötigten Rohstoffe R und R sind in Tabellen beschrieben. In der ersten Tabelle wird die Zusammensetzung der Zwischenprodukte aus den Rohstoffen, in der zweiten Tabelle die Zusammensetzung der Endprodukte aus den Zwischenprodukten in Mengeneinheiten ME angegeben. a Zeichne einen Gozintographen. b Es sollen ME des. Endprodukts und ME des. Endprodukts hergestellt werden. erechne die Rohstoffmengen, die dafür benötigt werden. Z Z Z R 7 9 R E E Z Z Z A Du bist bereits mit dem Grundwissen ausgestattet Z und kannst diese Aufgabe lösen. Dabei legen wir R aber noch einige egriffe genauer fest. 7 Der Gozintograph enthält nun auch die 9 Z Produktionsmengen, die nachgefragt werden. E N bezeichnen wir als Nachfragevektor, er Z beschreibt die Menge der Endprodukte, die an den Markt abgegeben werden. Um herauszufinden, wie viel von jedem Rohstoff für welches Endprodukt bereitgestellt werden muss, ist es notwendig, die beiden Matrizen miteinander zu multiplizieren. Man erhält die Produktionskoeffizientenmatrix C. Sie bezieht sich auf die Erzeugung von Mengeneinheit je eines Endprodukts. C = RZ ZE = 7 9 = 6 Zur Herstellung des Endprodukts E benötigt man also 6 Mengeneinheiten ME von R und ME von R. Für E benötigt man ME von R und 7 ME von R. Um die nötigen Rohstoffmengen zur Herstellung von Einheiten von E und Einheiten von E zu ermitteln, wird ebenfalls die Matrizenmultiplikation verwendet. Man erhält den edarfsvektor = Rohstoffvektor R. Er beschreibt die für die Produktion der einzelnen Endprodukte benötigten Rohstoffe. R = C N N = ; R = 6 7 = 9 6 Zur Herstellung von ME des Produktes E und ME des Produktes E benötigt man Mengeneinheiten von R sowie 9 6 Mengeneinheiten von R. Algebra 7 E E R 6 R 7 E R

19 Die Produktionskoeffizientenmatrix C gibt an, wie viele Mengeneinheiten der Rohstoffe benötigt werden, um je Mengeneinheit der Endprodukte zu erzeugen. Man erhält sie bei einem reinen zweistufigen Prozess durch Multiplikation der Zwischenstufenmatrix und der Endproduktmatrix. C = RZ ZE Der Nachfragevektor N gibt an, wie viel insgesamt von den Endprodukten nachgefragt wird. Der Rohstoffvektor R gibt an, wie viel von jedem Ausgangsstoff insgesamt für die Herstellung der Endprodukte nötig ist. Es besteht zwischen diesen Matrizen die folgende eziehung: R = C N. Aus Rohstoffen R und R werden Zwischenprodukte Z, Z, Z hergestellt. Aus den Zwischenprodukten entstehen dann Endprodukte E und E. Der jeweilige Materialverbrauch in Kilogramm zur Erzeugung von kg der Endprodukte kann den folgenden Tabellen entnommen werden: Z R R R Z Z Z E E E Z Z Z Z a Zeichne einen Gozintographen. b Man möchte kg beider Endprodukte erzeugen. erechne die Rohstoffmengen, die dafür notwendig sind..6 Ein Tischlereibetrieb stellt verschiedene Fm H H H Anzahl M M M ettenmodelle,, und für unterschiedliche Möbelhäuser M, M und,,, M her. Zusätzlich werden verschiedene,, 6 Holztypen H, H und H pro Modell,,, verarbeitet. Die Tabelle Fm gibt an, wie,, 6 viel Festmeter einer Holzsorte für einen bestimmten ettentyp verwendet werden. Kosten H H H In der Tabelle Anzahl steht die Anzahl Kosten pro Fm, 6,,9 der bestellten Stück für jedes Möbelhaus. Außerdem sind in der Tabelle Kosten die Kosten pro Festmeter der Holztypen angegeben. a Erstelle einen Gozintographen für Herstellung und Lieferung an die Möbelhäuser. b erechne die gesamten Materialkosten für alle hergestellten Modelle..7 Ein Unternehmer verwendet verschiedene Rohstoffe R, R, R und R zur Herstellung von Endprodukten E, E und E. ei der Herstellung müssen die Rohstoffe zuerst zu Zwischenprodukten Z, Z und Z verarbeitet werden. Die Tabellen enthalten die Mengenangaben in ME für je ME der Endprodukte. Z R R R R R Z Z, Z 7,,, Z, Es werden monatlich ME von E, ME von E und ME von E hergestellt. a Veranschauliche die Situation mithilfe eines Gozintographen. b Die Rohstoffkosten pro ME betragen 6, 7, bzw. Geldeinheiten GE. erechne die gesamten Rohstoffkosten der monatlichen Produktion. Algebra Z E E E E Z, Z,

20 . ei einem Produktionsprozess werden in der ersten Produktionsstufe aus den Einzelteilen T, T, T und T die augruppen, und hergestellt. Im zweiten Schritt werden aus den augruppen die Endprodukte E, E und E gefertigt. Entnimm die benötigten Mengen für je Mengeneinheit ME der Endprodukte den Tabellen. a Erstelle einen Gozintographen, der die Materialverflechtung veranschaulicht. b Erstelle mithilfe der Matrizenrechnung eine Tabelle, die den Zusammenhang zwischen den Einzelteilen und den Endprodukten darstellt. c erechne, wie viele Einzelteile notwendig sind, um ME von E, 7 ME von E und ME von E zu produzieren. Matrizen T T T T E E E.9 ei der Herstellung von Trockenfutter für Haustiere werden zuerst die Zutaten Z, Z, Z und Z zu verschiedenen Formen F, F und F gepresst. Im zweiten Schritt werden diese Formen in verschiedenen Mischungen M, M und M verpackt. Die benötigten Mengeneinheiten der Zutaten bzw. Packungseinheiten der Mischungen: F F F Z Z 9 7 Z 6 Z M M M F F F a Erstelle mithilfe der Matrizenrechnung eine Tabelle, die den Zusammenhang zwischen den Zutaten und den Mischungen darstellt. b Erstelle einen Gozintographen. c erechne, wie viele Mengenanteile von den Zutaten notwendig sind, um Packungen von M, 7 Packungen von M und 6 Packungen von M herzustellen.. Ein Ausstatter für üromöbel hat Typen von Aktenschränken A, A, A und A in seinem Sortiment, für deren Zusammenbau die auelemente,,, und laut Tabelle Tab in unterschiedlichen Mengen kombiniert werden. Eine Firma bestellt für ürohäuser H, H, H und H jeweils unterschiedliche Stückzahlen an Aktenschränken, die in der Tabelle Tab festgehalten sind. a Stelle die Verflechtung der beiden Tabellen grafisch mithilfe eines Gozintographen dar. b erechne mithilfe der Matrizenrechnung die Gesamtkosten aller bestellter Aktenschränke. Verwende dazu die Werte aus der Tabelle Tab. Tab pro Stück 7,9,,,6, Tab A A A A 6 Tab H H H H A 7 A A A Algebra

21 .. Gemischte zweistufige Prozesse In manchen Fällen läuft die Produktion mit Anteilen ohne Zwischenstufen oder mit Überspringen von Produktionsstufen ab. In diesem Fall setzt man am besten eine umfangreiche Verflechtungsmatrix A an, die die Zuordnung aller Komponenten einzeln berücksichtigt. Die Matrizen werden ziemlich groß und sind immer quadratisch mit vielen Nullen. Obwohl die Matrizen kompliziert aussehen, so sind weder die Erstellung noch die erechnung mithilfe von Technologieeinsatz schwierig.. Ein etrieb fertigt Endprodukte E bis E R R aus den Rohstoffen R und R und den 6 Zwischenprodukten Z und Z nach dem nebenstehenden Gozintographen. Z Z Zahlen in Mengeneinheiten ME a Interpretiere den Graphen. b Erstelle die Verflechtungsmatrix A. E E E erechne, wie viel auf jeder Stufe erzeugt wird, wenn die Nachfrage ME von E, ME von E und ME von E beträgt. a Der Rohstoff R ist mit ME bereits Teil von ME b des Endprodukts, ME werden für das Zwischenprodukt Z benötigt. R geht mit ME an Z und mit 6 ME an Z, ME fließen direkt ins Endprodukt E. Das Zwischenprodukt Z wird in allen Endprodukten benötigt mit, bzw. und ME, Z geht mit ME an das. Endprodukt. ezeichnen wir die Mengen, die auf jeder Stufe erzeugt werden mit x, x... bis x 7, so müssten wir das folgende lineare Gleichungssystem LGS lösen: x = x + x x = x + 6x + x 6 x = x + x 6 + x 7 x x x x = x 6 Nachfragevektor N = Produktionsvektor X = x x, x = x 6 = x 7 = In Matrixform kann man das LGS folgendermaßen schreiben: X = A X + N Daraus erhält man mit Verwendung der Einheitsmatrix: E A X = N Der Produktionsvektor X lautet: X = E A N Mit diesem Vektor erhält man alle Mengen, die bei dieser Nachfrage benötigt werden, die Menge der Rohstoffe sowie die Menge aller Zwischenprodukte. Eine weitere mögliche erechnung: A N... die Menge aller nachgefragten Produkte, die nur Stufe durchlaufen: die Menge der Zwischenprodukte und die direkt in die Endprodukte einfließenden Menge an Rohstoffen. A A N = A N... die Menge aller Rohstoffe, die im -stufigen Prozess verbraucht werden X = N + A N + A N = E A N Die Summe der Nachfrage und der Anteile in den einzelnen Prozessstufen ergibt ebenfalls alle Komponenten der gemischten zweistufigen Produktion. 6 Algebra A = R R Z Z E E E R R Z Z 6 E x 6 x 7 E E

22 Ergebnis für alle Komponenten der Produktion: 6 E 7 =. Möglichkeit der erechnung: Nachgefragte Mengen aus der -stufigen Produktion: 6 = Nachgefragte Mengen aus der -stufigen Produktion: 6 = Die Summe aus allen Matrizen: + = + Es werden ME von R, ME von R benötigt, um ME von Z und ME von Z und die Endprodukte von ME von E, ME von E und ME von E zu produzieren. ME von R E ME von R E und ME von Z ME von Z werden für die Endproduktion benötigt. ME von R gehen in die Zwischenprodukte. ME von R gehen in die Zwischenprodukte. Ergibt das gleiche Ergebnis, wie zu eginn mit der inversen Matrix. Man erhält die Mengen, die von den Rohstoffen und den Zwischenprodukten insgesamt für die Nachfrage benötigt werden.. Aus Ausgangsstoffen stellt man R Zwischenprodukte her, die für die Erzeugung 7 von Endprodukten nötig sind. Z Der Produktionsprozess ist im Gozintographen dargestellt. R Die Angaben sind in Mengeneinheiten ME. Z a Erstelle die Verflechtungsmatrix A von 9 allen Elementen dieser Produktion. R erechne die Mengen der jeweiligen Zwischen- und Endprodukte, die für die Erzeugung der nachgefragten Menge notwendig sind. b Interpretiere die Grafik hinsichtlich folgender Fragestellungen: Welche Prozesse verlaufen einstufig? In welchen Produkten und Zwischenprodukten befindet sich der Rohstoff R? c erechne, wie viel von R für die Zwischenprodukte benötigt werden. E E E E Algebra 7

23 Reine zweistufige Prozesse kann man ebenfalls mit der großen Verflechtungsmatrix A rechnen, die alle einzelnen Komponenten berücksichtigt. Dies ist vor allem dann empfehlenswert, wenn man auch die erzeugten Mengen an Zwischenprodukten wissen möchte. Rechne in den Aufgaben.. mit der Verflechtungsmatrix für alle Einzelkomponenten des Systems. A. Für die Herstellung von Erzeugnissen E, E und E werden pro Tonne Rohstoffe R, R und R benötigt. Die Informationen über den Produktionsprozess mit Zwischenprodukten Z und Z liefern die beiden Matrizen: RZ = und ZE =. Es besteht eine Nachfrage nach ME von E, ME von E und ME von E. a Erstelle die Verflechtungsmatrix A für alle einzelnen Komponenten der Produktion. b erechne, welche Rohstoffmengen und Zwischenproduktmengen bei der Erzeugung der nachgefragten Menge der Endprodukte benötigt werden. c Weise nach, dass RZ ZE N die gleichen Rohstoffmengen wie b ergeben.. In einer Fabrik werden Typen von Hebebühnen H und H mit Steuerelementen E, E und E hergestellt. Zur Fertigung dieser Steuerelemente benötigt man verschiedene Pneumatikzylinder P und P. a Erstelle die Verflechtungsmatrix A für alle Komponenten der Produktion. b erechne, wie viele Pneumatikzylinder P bzw. P für die Herstellung von Hebebühnen H und Hebebühnen H benötigt werden. c Erkläre, wie man die notwendige Anzahl von Steuerelementen für diese Nachfragemenge berechnen kann. P P E E E H H. In einem Unternehmen werden Produkte mit dem skizzierten -stufigen Fertigungsablauf hergestellt. a Von E werden Stück und von E Stück angefordert. erechne, die benötigten Anteile an Rohstoffen und die Anzahl der erzeugten Zwischenprodukte. b Weise nach, dass die eziehung N + A N + A N = E A N bei diesem Produktionsprozess gilt. c Die Kosten pro ME R betragen und von R. erechne die Rohstoffkosten für diese Erzeugung. R R 6 Z Z Z E E Algebra

24 Zusammenfassung Die Matrix vom Typ m x n ist ein in eine Klammer gesetztes rechteckiges Zahlenschema, das aus m Zeilen und n Spalten besteht. Matrizen werden mit Großbuchstaben bezeichnet. Die Zahlen der Matrix werden Elemente genannt, die man mit Kleinbuchsstaben mit einem Index ij bezeichnet, wobei i die Zahl der Zeile und j die Zahl der Spalte angibt, wo sich das Element in der Matrix befindet. Der Gozintograph hat seinen Namen von goes into, das bedeutet, es wird eine Richtung angegeben. Ein Gozintograph beschreibt, aus welchen Teilen sich ein oder mehrere Produkte zusammensetzen bzw. mengenmäßig miteinander verflochten sind. Die Addition und Subtraktion zweier m x n-matrizen und die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl erfolgen komponentenweise. A = R R R R Matrizenmultiplikation: Man bildet jeweils das Skalarprodukt der einzelnen Zeilenvektoren mit den Spaltenvektoren. Das Produkt einer m x n-matrix mit einer n x r-matrix ergibt eine m x r-matrix Merke: Zeile mal Spalte. Die Multiplikation ist nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der. Matrix gleich der Zeilenzahl der. Matrix ist. Ein lineares Gleichungssystem LGS kann als Matrixgleichung dargestellt werden. Die Koeffizientenmatrix A multipliziert mit dem Variablenvektor X ergibt den Ergebnisvektor Y. A X = Y Inverse Matrix A : Das Produkt aus der Matrix und ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix. A A = A A = E Mit Hilfe der inversen Matrix kann der Variablenvektor X isoliert werden. Reine zweistufige Produktionsprozesse Die Produktionskoeffizientenmatrix C gibt an, wie viele Mengeneinheiten der Rohstoffe R benötigt werden, um über die Zwischenprodukt Z je Mengeneinheit der Endprodukte E zu erzeugen. C = RZ ZE Der Nachfragevektor N gibt an, wie viel insgesamt von Produkten nachgefragt wird. Der Rohstoffvektor R gibt an, wie viel von jedem Ausgangsstoff insgesamt für die Herstellung der Endprodukte nötig ist. R = C N Gemischte zweistufige Prozesse Für den Produktionsvektor X gilt: X = A X + N A... Verflechtungsmatrix für alle Elemente der Produktion. Daraus erhält man mit Verwendung der Einheitsmatrix: E A X = N Der Produktionsvektor X lautet: X = E A N Mit diesem Vektor erhält man alle Mengen, die bei dieser Nachfrage benötigt werden, die Menge der Rohstoffe sowie die Menge aller Zwischenprodukte. A N... die Menge aller Produkte, die nur Stufe durchlaufen A A N = A N... die Menge aller Rohstoffe, die im -stufigen Prozess verbraucht werden. X = N + A N + A N = E A N a a a a a a a a a a a a P P P Algebra 9

25 A AC Vermischte Aufgaben zur Vertiefung.6 Gegeben sind die Matrizen A, und C. erechne die Matrix D. A =, =, C = a D = A + C b D = A + C c D =, A C + d D = T A + C e D = A T + C f D = A + C T T.7 Stelle die folgenden Gleichungssysteme in Matrixform dar. Löse das System mithilfe der inversen Matrix und Technologie. Interpretiere die Lösung. a I: a b c = b I: r + s + t = II: a + b c = II: r + s + t = 6 III: a + b + c = 6 III: r s + t = 6 c I: x + y + 6z = d I: u + v w = II: x y + z = 7 II: u v + w = III: x y + z = III: u v + w =. Erkläre, unter welchen edingungen die folgenden Matrixgleichungen gelten. Forme die allgemeinen Matrixgleichungen nach X um. a X + = A X b C + A X = X c = A X + N.9 Die Matrix A beschreibt den edarf an Mehl, Zucker und Milch für ackwaren in ME pro ackware. A = 6 7 a Erstelle die Zutatentabelle. b Stelle die transponierte Matrix auf. Interpretiere deren Aussage..6 lusen werden in den Größen G S, M, L und XL auf Maschinen M, M und M erzeugt. Die Arbeitszeiten pro Maschine und pro luse sind in der folgenden Tabelle in Minuten aufgelistet: GM M M M S 7,, M L 6, XL,, Einem Textilmarkt werden S-, M-, L- und XL-lusen geliefert. a Stelle die Matrix GM und ihre Transponierte auf. b Erstelle den Matrixrechenansatz, um die gesamte Arbeitszeit an jeder der Maschinen für jede der lusentypen in Liefermenge zu erhalten. erechne wie viele Stunden gerundet auf Viertelstunden dies jeweils sind. c Visualisiere den Prozess mit einer Verflechtungsgraphik. Algebra

26 .6 Ein Vertrieb beliefert jeweils Filialen eines Modehauses F, F und F in Graz, Salzburg und Wien mit den Markenjeans Sivel, Pengler und Petrol. In der Tabelle Lieferungen ist die Anzahl der Lieferungen an jede Filiale eingetragen. In Gelieferte Stück ist die Gesamtanzahl der jeweiligen Jeansmarke für jede Stadt eingetragen. erechne, wie viele Stück jeder Marke in jede Filiale geliefert werden. Lieferungen F F F Graz 6 Salzburg Wien Gelieferte Stück Sivel Pengler Petrol Graz 6 Salzburg 6 Wien Eine Firma erzeugt Sorten von Fenstern F und F. Sie bestehen aus den Rohstoffen R: Holz H, Glas G und Aluminium A. Die Firma erzeugt die Fenster an Standorten, in denen unterschiedliche Kosten K. Standort und K. Standort in Geldeinheiten GE für die Rohstoffe verrechnet werden. F R H G A F F erechne die Kosten, die in beiden Standorten bei der Produktion von je Fenstern anfallen..6 Ein Unternehmen erzeugt Keramikartikel in verschiedenen Typen K, K, K und stellt diese in Fabriken her. Die Arbeitszeiten pro Fabrik und Keramikteil sind in Stunden in der ersten Tabelle angegeben. Jede Fabrik arbeitet in unterschiedlichen Arbeitsgängen mit den Stundenlöhnen von L bis L in Euro. Dies ist in der. Tabelle dargestellt. Z K K K K Z 6 Z 7 a erechne die gesamten Lohnkosten für die Herstellung der Keramiksorten in den einzelnen Arbeitsgängen. b Erkläre, wie man die Gesamtkosten für die Herstellung der Keramiksorte K bzw. die Gesamtkosten in den einzelnen Arbeitsgängen ermitteln kann. erechne die Höhe der Gesamtkosten der Produktion..6 In einer Produktion werden aus Einzelteilen R und R Zwischenprodukte Z, Z und Z gefertigt. Die beiden Endprodukte E und E werden aus den Zwischenprodukten und zusätzlichen Einzelteilen laut dem nebenstehenden Gozintographen zusammen gesetzt. Die Mengen sind jeweils in Stück angegeben. Es sollen je Stück von E und E angeboten werden. a Markiere im Gozintographen die Verflechtungen, die eine Produktionsstufe überspringen. b erechne den edarf an Einzelteilen für diese Produktion. Algebra K R H G A K 6 K, 7 Z L L L L L Z 9,, Z, 6 9 R 6 R Z Z Z E E D

27 Wissens-Check earbeite die Aufgaben. egründe jeweils deine Auswahl bzw. Zuordnung. Kreuze die Aussage an, die zur gegebenen Matrix M passt. M = 7 A m = m = C M T = D M T = E steht in der. Zeile und der. Spalte. Kreuze an, welche der folgenden Aussagen richtig ist. A C D E eim Invertieren einer Matrix werden ihre Zeilen und Spalten vertauscht. Das Multiplizieren zweier Matrizen erfolgt komponentenweise. Die Matrizenmultiplikation ist kommutativ. Multipliziert man eine Matrix A mit ihrer Inversen, so erhält man die transponierte Matrix. Die Multiplikation eine Matrix mit einer reellen Zahl ist kommutativ. Der edarf an A und A für die Endprodukte C, C und C soll berechnet werden. Ordne den gegebenen Gozintographen und jeweils die korrekte Matrizen multiplikation aus A bis D zu. gelöst A A C C C A A C C C A Algebra T C D

28 Kreuze die richtige Interpretation der folgenden Matrixoperation an. A = = A A ist die transponierte Matrix von. ist die transponierte Matrix von A. C A ist die inverse Matrix von. D Das Produkt ist nicht kommutativ. E A = gelöst 6 Kreuze an, welche Summe man von den folgenden Matrizen bilden kann: A = 6 = 6 6 A = 6 C = A A + D + C C + A E D + D C A + D D = Kreuze an, welches der folgenden Produkte gebildet werden kann. 6 = 6 C = A A D C C A E D C C A D 6 D = 6 7 Zeichne die fehlenden Elemente des Gozintographen, der mit der nebenstehendenverflechtungsmatrix angegeben ist: R R 7 Z Z E E E R E Lösung: D E D; A C E 6 A 7 im Lösungsheft Funktionale Zusammenhänge