Mathematik für die Fachhochschulreife Gesamtausgabe

Transkript

1 Mathematik für die Fachhochschulreife Gesamtausgabe Bearbeitet von Mathematiklehrern und Ingenieuren an berulichen Schulen (Siehe nächste Seite) VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße Haan-Gruiten Europa-Nr.: 8569 mit Beilage GTR Europa-Nr.: ohne Beilage GTR

2 Autoren des Buches Mathematik für die Fachhochschulreife Gesamtausgabe Josef Dillinger Bernhard Grimm Frank-Michael Gumpert Gerhard Mack Thomas Müller Bernd Schiemann München Sindelingen, Leonberg Stuttgart Stuttgart Ulm Durbach Lektorat: Bernd Schiemann Bildentwürfe: Die Autoren Bildbearbeitung: Zeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel GmbH & Co. KG, Ostildern 1. Aulage 014 Druck Alle Drucke derselben Aulage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind. ISBN: mit Beilage GTR ISBN: ohne Beilage GTR Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden. 014 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 4781 Haan-Gruiten Umschlaggestaltung: Idee Bernd Schiemann, Ulm; Ausführung: Andreas Sonnhüter, 4065 Düsseldorf Satz: TextDesign GreenOrange, 735 Lenningen, Druck: M. P. Media-Print Informationstechnologie GmbH, Paderborn

3 Vorwort 3 Vorwort zur 1. Aulage Das vorliegende Buch für den Mathematikunterricht in Berufskollegs, Fachoberschulen, und Berufsfachschulen baut auf dem bewährten Konzept der Fachreihe Mathematik für die Fachhochschulreife des Verlags Europa-Lehrmittel auf. Entsprechend den Vorgaben der Bildungspläne wird großer Wert auf die Selbstorganisation des Lernprozesses, d. h. auf immer größer werdende Eigenständigkeit und Eigenverantwortung der Schülerinnen und Schüler im Erwerb von Wissen und Können gelegt. Aus diesem Grund sind mathematische Zusammenhänge möglichst verständlich und schülernah formuliert. Die mathematischen Inhalte sind auf die besonderen Anforderungen der Bildungsgänge, die zur Fachhochschulreife führen, abgestimmt und werden schülergerecht vorwiegend anwendungsbezogen an praktischen Beispielen eingeführt und behandelt. Zur Förderung des Interesses an der Mathematik sowie handlungsorientierter Themenbearbeitung enthält das Buch eine große Anzahl von Beispielen mit graphischen Darstellungen, anhand derer eine Vielzahl von Aufgaben zu lösen sind. Dabei sind die Aufgaben für selbstorganisiertes Lernen in Partner- oder Gruppenarbeit ausgelegt und deren Ergebnisse sind auf der selben Buchseite angegeben, um eine eigenständige Lernerfolgskontrolle zu ermöglichen. Ein didaktisch aufbereiteter Lösungsband mit ausführlichen Schritten zur Lösung sowie die Formelsammlung Formeln zu Mathematik für die Fachhochschulreife ergänzen das Buch. Das Buch enthält in einer Variante eine Einführung in den graikfähigen Taschenrechner (GTR). Zum Ausgleich unterschiedlicher Vorkenntnisse, aber auch zum intensiven Wiederholen, beginnt das Buch mit den Kapiteln Algebraische und Geometrische Grundlagen. Die Hauptabschnitte des Buches sind Algebraische Grundlagen Geometrische Grundlagen Analysis Differenzialrechnung Integralrechnung Komplexe Rechnung Vektorrechnung Stochastik Matrizen Prüfungsaufgaben Musteraufgaben Testen Sie Ihr Wissen zur Prüfung! Anwendungsbezogene Aufgaben Über Vorschläge, die zu einer Verbesserung des Buches führen, freuen sich Verlag und Autoren. Frühjahr 014 Die Verfasser

4 4 Übersicht Mathematik für die Fachhochschulreife im Überblick Algebraische Grundlagen Seite 11 Geometrische Grundlagen Seite 53 Analysis Seite 73 Differenzialrechnung Seite 11 Integralrechnung Seite 179 Komplexe Rechnung Seite 1 Vektorrechnung Seite 7 Stochastik Seite 97 Matrizenrechnung Seite 355 Prüfungsaufgaben Seite 391 Anwendungsbezogene Aufgaben Seite 411

5 Inhaltsverzeichnis 5 Inhaltsverzeichnis Übersicht mit Mindmap...8 Zitate berühmter Wissenschaftler...9 Übersicht zu Kapitel Algebraische Grundlagen 1.1 Einführung Zahlen Terme und Gleichungen Deinitionsmenge...13 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Potenzen Potenzbegriff Potenzgesetze Wurzelgesetze Wurzelbegriff Rechengesetze beim Wurzelrechnen Wurzelziehen mit dem Heron-Verfahren...19 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Logarithmengesetze Logarithmusbegriff Rechengesetze beim Logarithmus Basisumrechnung beim Logarithmus...3 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Funktionen und Gleichungssysteme Rechtwinkliges Koordinatensystem Relationen und Funktionen Lineare Funktionen Ursprungsgeraden...8 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Allgemeine Gerade...30 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Lineare Gleichungssysteme LGS Lösungsverfahren für LGS Lösung eines LGS mit einer Matrix Über- und unterbestimmte LGS LGS mit Parameter Sarrus-Regel Graische Lösung eines LGS...37 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Betragsfunktion Ungleichungen...43 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Quadratische Funktionen Parabeln mit Scheitel im Ursprung Verschieben von Parabeln Normalform und Nullstellen von Parabeln Zusammenfassung der Lösungsarten...48 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen!...49 Übersicht zu Kapitel...5 Geometrische Grundlagen.1 Flächeninhalt geradlinig begrenzter Flächen Flächeninhalt kreisförmig begrenzter Flächen...54 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Volumenberechnungen Körper gleicher Querschnittsläche Spitze Körper Abgestumpfte Körper Kugelförmige Körper...60 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Trigonometrische Beziehungen Ähnliche Dreiecke Rechtwinklige Dreiecke Einheitskreis Sinussatz und Kosinussatz Winkelberechnung...67 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Goniometrische Gleichungen...71 Übersicht zu Kapitel Analysis 3.1 Potenzfunktionen Wurzelfunktionen Allgemeine Wurzelfunktionen Arten von quadratischen Wurzelfunktionen...75 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Ganzrationale Funktionen höheren Grades Funktion dritten Grades Funktion vierten Grades Nullstellenberechnung Nullstellenberechnung bei biquadratischen Funktionen Nullstellenberechnung mit dem Nullprodukt Nullstellenberechnung durch Abspalten von Linearfaktoren...80 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Arten von Nullstellen...84 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Numerische Methoden Eigenschaften von Funktionen Symmetrie bei Funktionen Umkehrfunktionen Monotonie und Umkehrbarkeit Stetigkeit von Funktionen Sätze zur Stetigkeit von Funktionen...95 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Gebrochenrationale Funktionen Deinitionsmenge Polstellen Deinitionslücke Grenzwerte Grenzwertsätze Asymptoten Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Exponentialfunktion e-funktion Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Exponentialfunktion und ihre Umkehrfunktion Logarithmische Funktion Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Trigonometrische Funktionen Sinusfunktion und Kosinusfunktion...113

6 6 Inhaltsverzeichnis Tangensfunktion und Kotangensfunktion Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen Allgemeine Sinusfunktion und Kosinusfunktion Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Berühmte Mathematiker Übersicht zu Kapitel Differenzialrechnung 4.1 Erste Ableitung f (x) Differenzialquotient Änderungsraten...14 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Ableitungsregeln...16 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Kurvendiskussion Differenzierbarkeit von Funktionen Regel von de l Hospital Höhere Ableitungen...13 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Extremwerte und Wendepunkte Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Extremwerte und Wendepunkte für die Sinusfunktion und e-funktion Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Tangenten und Normalen Tangenten und Normalen in einem Kurvenpunkt Tangenten parallel zu einer Geraden Anlegen von Tangenten an K f von einem beliebigen Punkt aus Zusammenfassung Tangentenberechnung Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Newton sches Näherungsverfahren (Tangentenverfahren) Graische Differenziation Von der Funktion zur Ableitungsfunktion Von der Ableitungsfunktion zur Funktion Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Extremwertberechnungen Relatives Maximum Relatives Minimum Extremwertberechnung mit einer Hilfsvariablen Randextremwerte Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Relative Extremwerte bei gebrochenrationalen Funktionen Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Einparametrige Funktionenschar Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Ermittlung von Funktionsgleichungen Gleichungsermittlung bei ganzrationalen Funktionen Ganzrationale Funktion mit Symmetrieeigenschaft Exponentialfunktion Sinusförmige Funktion Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Vom Schaubild zum Funktionsterm Berühmte Mathematiker Übersicht zu Kapitel Integralrechnung 5.1 Einführung in die Integralrechnung Beispiele zur Anwendung Aufsuchen von Flächeninhaltsfunktionen Stammfunktionen Integrationsregeln Potenzfunktionen Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen Das bestimmte Integral Geradlinig begrenzte Fläche Krummlinig begrenzte Fläche Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Berechnung von Flächeninhalten Integralwert und Flächeninhalt Flächen für Schaubilder mit Nullstellen Musteraufgabe zur Flächenberechnung Regeln zur Vereinfachung bei Flächen Integrieren mit variabler Grenze Vermischte Aufgaben zur Flächenberechnung Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Flächenberechnung zwischen Schaubildern Flächenberechnung im Intervall Flächen zwischen zwei Schaubildern Flächenberechnung mit der Differenzfunktion Musteraufgabe zu gelifteten Schaubildern Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Integration gebrochenrationaler Funktionen Numerische Integration Streifenmethode mit Rechtecken Flächenberechnung mit Trapezen Flächenberechnung mit Näherungsverfahren Volumenberechnung Rotation um die x-achse Rotation um die y-achse Zusammenfassung von Rotationskörperarten...14 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Anwendungen der Integralrechnung Zeitintegral der Geschwindigkeit Mechanische Arbeit W Schüttung von Flüssigkeiten Mittelwertsberechnungen...19 Übersicht zu Kapitel Komplexe Rechnung 6.1 Darstellung komplexer Zahlen Grundrechenarten mit komplexen Zahlen Rechnen mit konjugiert komplexen Zahlen...3 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen!...4 Übersicht zu Kapitel Vektorrechnung 7.1 Der Vektorbegriff Darstellung von Vektoren im Raum...8 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen!...30

7 Inhaltsverzeichnis Verknüpfungen von Vektoren Vektoraddition Verbindungsvektor, Vektorsubtraktion Skalare Multiplikation, S-Multiplikation...33 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Einheitsvektor...35 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Teilen von Strecken Strecke, Mittelpunkt Teilen einer Strecke im Verhältnis m : n Teilen einer Strecke nach m Längeneinheiten...40 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Skalarprodukt...4 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Lineare Abhängigkeit von Vektoren Zwei Vektoren im Raum Drei Vektoren im Raum Vier Vektoren im Raum...48 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Basisvektoren Eigenschaften von linear unabhängigen Vektoren Koordinatendarstellung von Vektoren Orthogonale Projektion...5 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Lotvektoren Lotvektoren zu einem einzelnen Vektor Lotvektoren einer Ebene...55 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Vektorprodukt...57 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Vektorgleichung einer Geraden im Raum Orthogonale Projektion von Punkten und Geraden auf eine Koordinatenebene...65 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Gegenseitige Lage von Geraden...70 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Abstandsberechnungen Abstand Punkt-Gerade und Lotfußpunkt Kürzester Abstand zweier windschiefer Geraden Abstand zwischen parallelen Geraden...80 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Ebenengleichung Vektorielle Parameterform der Ebene Vektorielle Dreipunkteform einer Ebene Parameterfreie Normalenform...84 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Ebene-Punkt Punkt P liegt in der Ebene E Abstand eines Punktes P zur Ebene E Ebene-Gerade Gerade parallel zur Ebene Gerade liegt in der Ebene Gerade schneidet Ebene Lagebezeichnung von Ebenen Parallele Ebenen Sich schneidende Ebenen Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen...9 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen!...93 Übersicht zu Kapitel Stochastik 8.1 Anwendungen der Stochastik Zufallsexperiment Einstuige Zufallsexperimente Mehrstuige Zufallsexperimente...99 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Ereignisse Ereignisarten Logische Verknüpfung von Ereignissen Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Häuigkeit und statistische Wahrscheinlichkeit Häuigkeiten Statistische Wahrscheinlichkeit Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Klassische Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit von verknüpften Elementarereignissen Wahrscheinlichkeit von verknüpften Ereignissen Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Baumdiagramm Pfadregeln bei mehrstuigen Zufallsexperimenten Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Bedingte Wahrscheinlichkeit Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Unabhängige und abhängige Ereignisse...31 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Zusammenhang zwischen Baumdiagramm und der Vierfeldertafel Inverses Baumdiagramm...34 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Wahrscheinlichkeitsberechnung mit Gesetzen der Kombinatorik Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen...37 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen Ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Zusammenfassung Stichproben Durchschnitt und Erwartungswert Zufallsvariable Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Wahrscheinlichkeitsfunktion Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Erwartungswert einer Zufallsvariablen Faires und unfaires Gewinnspiel Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Varianz und Standardabweichung Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Bernoulli-Ketten Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Berühmte Mathematiker

8 8 Inhaltsverzeichnis Übersicht zu Kapitel Matrizenrechnung 9.1 Matrizen erstellen Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Transponierte Matrizen Besondere Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl (Skalarmultiplikation) Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Matrizenaddition...36 Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Matrizenmultiplikation Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor (Skalarprodukt) Multiplikation eines Zeilenvektors mit einer Matrix Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor Multiplikation zweier Matrizen Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Inverse Matrizen Berechnung der inversen Matrix A Lösen linearer Gleichungssysteme durch Matrixinvertierung Matrizengleichungen Matrizengleichungen der Form k X = A; k [? \ { 0 } Matrizengleichungen der Form A X = B Matrizengleichungen der Form X A = B Matrizengleichungen der Form A X B = C Matrizengleichungen mit singulärer Koefizienten - matrix Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Einstuige und zweistuige Produktionsprozesse Einstuige Produktionsprozesse Zweistuige Produktionsprozesse Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Das Leontief-Modell (Input-Output-Analyse) Zwei-Sektoren-Modell Drei-Sektoren-Modell Ü Überprüfen Sie Ihr Wissen! Aufgaben mit e- und ln-funktion verknüpft mit rationaler Funktion Vektorrechnung Schaubilder ganzrationaler Funktionen Schaubilder von e-funktionen Schaubilder von Kreisfunktionen Anwendungsbezogene Aufgaben 11.1 Kostenrechnung Optimierung einer Oberläche Optimierung einer Fläche Flächenmoment Sammellinse einer Kamera Abkühlvorgang Entladevorgang Gebirgsmassiv Bolzplatz für die Jugend Berechnung von elektrischer Arbeit und Leistung Sinusförmige Wechselgrößen Effektivwertberechnung Wintergarten Bauvorhaben Kirche Aushub Freibad Pyramide Kugelfangtrichter für Luftgewehre Firmenschild Anwendungen in der Differenzialrechnung...43 Mathematische Zeichen, Abkürzungen und Formelzeichen Anhang Literaturverzeichnis...46 Sachwortverzeichnis...47 Übersicht zu Kapitel Prüfungsaufgaben 10.1 Musteraufgaben Ganzrationale Funktionen Exponentialfunktion Sinusfunktionen Gebrochenrationale Funktionen Vektoraufgabe Prisma Vektoraufgabe Quader Vektoraufgabe Pyramide Testen Sie Ihr Wissen zur Prüfung! Aufgaben mit ganzrationalen Funktionen Funktionsterme und Schaubilder Gebrochenrationale Funktionen Aufgaben mit e-funktionen...405

9 Zitate berühmter Wissenschaftler 9 Zitate berühmter Wissenschaftler Er ist ein Mathematiker und also hartnäckig. Johann Wolfgang von Goethe (1748 bis 183) Die erste Regel, an die man sich in der Mathematik halten muss, ist exakt zu sein. Die zweite Regel ist, klar und deutlich zu sein und nach Möglichkeit einfach. Lazare Nicolas Carnot (1753 bis 183) Es gibt Dinge, die den Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben. Archimedes (87 v. Chr. bis 1 v. Chr.) Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt. David Hilbert (186 bis 1943) In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis. Kasimir Urbanik, 1975 Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben. Genauer: Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Funktionen. Galileo Galilei (1564 bis 164) Ich kann die Bewegung der Himmelskörper berechnen, aber nicht das Verhalten der Menschen. Sir Isaac Newton (1643 bis 177) Wer die erhabene Weisheit der Mathematik tadelt, nährt sich von Verwirrung. Leonardo da Vinci (145 bis 1519) Mathematik ist die einzige perfekte Methode, sich selbst an der Nase herumzuführen. Albert Einstein (1879 bis 1955) Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist. Carl Friedrich Gauß (1777 bis 1855) Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft ¼ derselben sanft ein. Michail W. Lomonossow (1711 bis 1765) Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß plücken. David Hilbert (186 bis 1943) Du wolltest doch Algebra, da hast du den Salat. Jules Verne (188 bis 1905) Beweisen muß ich diesen Käs, sonst ist die Arbeit unseriös. Friedrich Wille (1935 bis 199) Wer sich keinen Punkt denken kann, der ist einfach zu faul dazu. Willhelm Busch (183 bis 1908) Do not worry about your diiculties in mathematics, I assure you that mine are greater. Albert Einstein (1879 bis 1955) Mit Mathematikern ist kein heiteres Verhältnis zu gewinnen. Johann Wolfgang von Goethe (1748 bis 183) If A equals success, then the formula is A equals X plus Y plus Z. X is work, Y is play. Z is keep your mouth shut. Albert Einstein (1879 bis 1955) Die Mathematik muss man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet. Michail W. Lomonossow (1711 bis 1765) Die Furcht vor der Mathematik steht der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht. Felix Auerbach (1856 bis 1933) Die Zitattexte sind in Originalschreibweise wiedergegeben.

10 10 Übersicht zu Kapitel 1 Algebraische Grundlagen Welche Kompetenzen werden gefördert? Einführung Zahlenmengen Terme und Gleichungen 1 Gleichungen lösen Potenzen berechnen 3 Wurzeln berechnen 4 Logarithmen berechnen 5 Funktionen anwenden 6 Gleichungssysteme lösen 7 Funktionsschaubilder darstellen A Überprüfen nsie Ihr Wissen! Potenzen Potenzbegriff Potenzgesetze Überprüfen Sie Ihr Wissen! Wurzelgesetze Wurzelbegriff Rechengesetze beim Wurzelrechnen Wurzelziehen mit dem Heron-Verfahren Logarithmengesetze Logarithmusbegriff Rechengesetze beim Logarithmus Überprüfen Sie Ihr Wissen! Basisumrechnung beim Logarithmus Funktionen und Gleichungssysteme Rechtwinkliges Koordinatensystem Relationen und Funktionen Ursprungsgeraden Lineare Funktion Überprüfen Sie Ihr Wissen! Allgemeine Gerade Lösungungsverfahren für LGS Lineare Gleichungssysteme LGS Lösung eines LGS mit einer Matrix Über und unterbestimmtes LGS Betragsfunktionen Ungleichungen LGS mit Parameter Grafische Lösung eines LGS Sarrus-Reglel Parabeln mit Scheitel im Ursprung Quadratische Funktion Verschieben von Parabeln, Scheitelform Normalenform und Nullstellen von Parabeln Überprüfen Sie Ihr Wissen! Zusammenfassung der Lösungsarten

11 1.1 Einführung Entwicklung der Zahlen 1 Algebraische Grundlagen Zahlen sind die Basis, ohne die unsere Rechenoperationen wenig Sinn hätten. Damit die Menschen rechnen konnten, mussten erst geeignete Zahlendarstellungen und Zahlensysteme gefunden werden. 1. Finger und Zehen Finger und Hände hatten einen entscheidenden Einluss auf die ersten Zahlensysteme. Mit den 5 Fingern einer Hand, den 10 Fingern beider Hände oder den insgesamt 0 Fingern und Zehen bediente man sich einer natürlichen Gliederung. Eine 5er-Stufung indet man bei den Griechen, Mayas und Chinesen. Das 10er-System hatten die Ägypter, Sumerer und Babylonier. Die Mayas und die Inder benutzten auch eine 0er-Stufung in ihrem Zahlensystem. Die Auswirkungen dieses Systems indet man im englischen Pfund Sterling mit seinen 0 Schillingen sowie in ähnlicher Form im Französischen und Dänischen. Bild 1: Fingerrechnen, wie es in alten Rechenbüchern vorkam. Astronomie Eine Ausnahme der seitherigen Stufung stellt die 60er- Stufung dar, die bei den Sumerern und Babyloniern vorgefunden wurde. Vermutlich hat sie ihren Ursprung in der gut entwickelten Astronomie der Mesopotamier, die das Jahr in 360 Tage eingeteilt hatten. Daraus resultiert bis heute die Kreiseinteilung in 6 mal 60 = 360 sowie die Einteilung der Stunden in 60 Minuten und der Minuten in 60 Sekunden. 3. Römische Zahlen Auf das unzweckmäßige römische Zahlensystem wird hier nicht weiter eingegangen, da es zur Multiplikation und Potenzierung und damit für das Rechnen mit großen Zahlen völlig ungeeignet ist. Bild : Babylonische Keilschrift hat die 60 als Basis (Sexagesimalsystem) Indisch 3. Jh. v. Chr 4. Indisch-arabische Zahlen Die von uns heute verwendeten so genannten arabischen Zahlen kommen ursprünglich aus Indien. Sie sind im Laufe der Jahrhunderte über Vorderasien und aus dem unter arabischem Einluss stehenden Spanien zu uns gelangt. Kennzeichnend für unser heutiges Zehnersystem ist die Verwendung von zehn verschiedenen Ziffern innerhalb eines Stellenwerts. Mit diesem Dezimalsystem ist ein einfaches und schnelles Rechnen möglich. In Deutschland wurde dieses System vor allem durch Adam Ries(e) bekannt. Indisch 8. Jh. Westarabisch 11. Jh. Europäisch 15. Jh. Europäisch 16. Jh. Neuzeit 0. Jh. Bild 3: Entwicklung der Dezimalzahlen bis heute

12 1 1. Zahlen 1. Zahlen Zahlenmengen In der Mengenlehre werden die Zahlen als Elemente von Zahlenmengen festgelegt. Tabelle 1: Zusammenfassung der Zahlenmengen Zahlenmenge Symbol Zahlenart Beispiele Menge der natürlichen Zahlen N Die Menge der natürlichen Zahlen beinhaltet alle Zahlen, die zum Abzählen benötigt werden. Sie enthält alle positiven ganzen Zahlen einschließlich der Null (Tabelle 1). Natürliche Zahlen N Positive ganze Zahlen 0; 1; ; N = { 0; 1; ; 3; 4; } Menge der ganzen Zahlen Z Die Menge der ganzen Zahlen enthält die natürlichen Zahlen und alle negativen ganzen Zahlen. Damit ist die Rechenoperation Subtraktion uneingeschränkt möglich. Die Menge der ganzen Zahlen ohne Null ist Z*. Z = { 4; 3; ; 1; 0; 1; ; 3; 4; } Menge der rationalen Zahlen Q Die Erweiterung der ganzen Zahlen um die Bruchzahlen machen die Rechenoperation Division (außer mit Null) möglich. Q = { x x = p q p [ Z; q [ Z* } Ganze Negative Zahlen und positive ganze Z Zahlen Rationale Zahlen Q Ganze Zahlen und Bruchzahlen Reelle Rationale und R Zahlen irrationale Zahlen Komplexe Zahlen C Reelle und imaginäre Zahlen ; ; 1; 0; 1; ; 1 ; ; 3 ; 7 8 ; 6; ; 1; Î w ; 5 3 ; π; 7; i; + i; 1 + i Menge der reellen Zahlen R Zusätzlich zu den rationalen Zahlen existieren am Zahlenstrahl Punkte, die nicht durch einen Bruch darstellbar sind (Bild 1). Diese Zahlen nennt man irrationale Zahlen. Beispiele für irrationale Zahlen sind: π; e; Î w ; lg ; p R R = { x x ist rational x ist irrational } Bild 1: Zahlenstrahl Menge der komplexen Zahlen C Gleichungen der Form x + 1 = 0 sind mit reellen Zahlen nicht lösbar. Aus diesem Grund hat man die Zahlenmenge R um die imaginären Zahlen erweitert. Beispiele für imaginäre Zahlen sind i; i; i bedeutet zweimal die imaginäre Zahl. N C = { z z = a + i b; a, b [ R } Z Komplexe Zahlen bestehen aus dem Realteil a und dem imaginären Anteil b. Komplexe Zahlen können wegen der imaginären Anteile nicht mehr am Zahlenstrahl dargestellt werden, sondern werden in der komplexen Zahlenebene dargestellt. Q R C Bild : Zahlenmengen im Venndiagramm

13 1.4 Deinitionsmenge Terme und Gleichungen Terme können Zahlen, z. B. 1; 1 ; oder Variablen, z. B. a; x; y sein. Werden Terme durch Rechenoperationen verbunden, so entsteht wieder ein Term. Eine Gleichung besteht aus einem Linksterm T l und aus einem Rechtsterm T r. Werden zwei Terme durch das Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht die Gleichung T l = T r Beispiel 1: Gleichung Stellen Sie die beiden Terme T l : x + und T r : 4 als Gleichung dar. x + = 4 Werden an Gleichungen Rechenoperationen durchgeführt, so muss auf jeder Seite der Gleichung diese Rechenoperation durchgeführt werden (Tabelle 1). Eine Gleichung mit mindes tens einer Variablen stellt eine Aussageform dar. Diese Aussageform kann eine wahre oder falsche Aussage ergeben, wenn den Variablen Werte zugeordnet werden. Tabelle 1: Rechenoperationen bei Gleichungen T l = T r Allgemein T l + T = T r + T Operation Addition Subtraktion T l T = T r T Multiplikation Division T l T = T r T T l T = T r T ; T Þ 0 Beispiel x a = 0 + a x a + a = 0 + a x = a x + a = 0 a x + a a = 0 a x = a 1 x = 1 1 x = 1 x = x = 4 : x = 4 x = Ein Wert x einer Gleichung heißt Lösung, wenn beim Einsetzen von x in die Gleichung eine wahre Aussage entsteht. Beispiel : Lösung einer Gleichung Ermitteln Sie die Lösung der Gleichung x + = 4 x + = 4 x + = 4 x = Deinitionsmenge Die Deinitionsmenge eines Terms kann einzelne Werte oder ganze Bereiche aus der Grundmenge ausschließen (Tabelle ). Beispiel 3: Deinitionsmenge Die Deinitionsmenge der Gleichung Î w x 1 = ; x [ R ist zu bestimmen. (x + 1)(x 1) Die Deinitionsmenge D 1 des Linksterms wird durch die Wurzel eingeschränkt. D 1 = {x x $ 1 x [ R} Die Deinitionsmenge D des Rechtsterms wird durch den Nenner eingeschränkt. D = R \ { 1; 1} Für die Gesamtdeinitionsmenge D gilt: D = D 1 > D = {x x >1 x [ R} Tabelle : Einschränkung des Deinitionsbereichs in R Term T W = Î w x Einschränkung Bruchterm T B = Z(x) N(x) Wurzelterm Logarithmusterm T l = log a x N(x) Þ 0 x $ 0 x größer gleich 0 x. 0 x größer 0 Beispiel T(x) = x + 1 x 1 x 1 Þ 0 x Þ1 D = R \ {1} T(x) = Î w x 1 x 1 $ 0 x $ 1 D = {x x $ 1 x [ R} T(x) = log 10 x x. 0 D = {x x. 0 x [ R} Bei Aufgaben aus der Technik oder Wirtschaft ergeben sich häuig einschränkende Bedingungen in technischer, technologischer oder ökonomischer Hinsicht. So kann die Zeit nicht negativ sein oder die Temperatur nicht kleiner 73 C werden. Diese eingeengte Deinitionsmenge ist dann die eigentliche Deinitionsmenge einer Gleichung.

14 14 Aufgaben: 1 Algebraische Grundlagen Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Zahlen 1. Geben Sie die Mengenbeziehungen der Zahlenmengen an (Bild 1).. Welche Aussagen sind wahr? a) [ N b) π [ R c),5 [ Z d) [ Q Terme und Gleichungen; Deinitionsmenge 1. Lösungsmenge Bestimmen Sie die Lösung für x [ R. a) 4(x 6) = x (x + 4) b) (x 1)(3x ) = 6(x + )(x 4) c) x + = 4 5 d) x + a = 1. Lösen von Gleichungen Lösen Sie die Gleichun gen nach allen Variablen auf. a) h = 1 g t b) 1 R = R 1 R 3. Deinitions- und Lösungsmenge Geben Sie die Deinitionsmenge und die Lösungsmenge an. a) Î w x + = Î w 3x 1 4x 8 b) x + = 3x x Übungsaufgaben Berechnen und Lösen von Termen 1. Berechnen Sie den Wert des Terms: a) 31 + ( ) b) 31 ( ) c) 31 + f1 (+8 19) + 8g ( ) d) 18 { 16 [3 ( ) + 3] 6 }. Fassen Sie die Terme durch Aulösen der Klammern zusammen und setzen Sie die angegebenen Werte ein. a) 14x (8x + 19y) Setzen Sie x = und y = 3 b) 3a + [1 b (+8a 19b)] ( 18a + 4b) Setzen Sie a = und b = 3 c) 14 r + (14s 1r) (8r + 1s) + 1s (8r 9s) Setzen Sie r = 6 und s = 4 d) 60 { 16x [3y ( 1x 7y + 8) + 3x] 6y } Setzen Sie x = und y = 3 Bild 1: Zahlenmengen im Venndiagramm Lösungen Beispielaufgaben Zahlen 1. N, Z, Q, R, C. b) und d) sind wahr Terme und Gleichungen; Deinitionsmenge 1. a) x = 0 7 b) x = 10 c) x = 8 d) x = a. a) g = h Î t ; t = 6 w h g b) R = R 1 R ; R R 1 + R 1 = R R R R ; R = R R 1 R 1 R 3. a) D = {x x $ } R ; L = {5} b) D = R \{ ; }; L = { 6 11 } Lösungen Übungsaufgaben 1. a) 303 b) 31 c) 337 d) 110. a) 4x 19y = 9 b) 7a + 7b = 35 c) 14r + 3s = 8 N d) 8x + 9y + 3 = 5 Z Q R C

15 Aufgaben: 1 Algebraische Grundlagen 15 e) 18 + { 16y + [3x (1y 7x + 8) + 3y] 6 } Setzen Sie x = und y = 3 f) 4r + 3(14s 1r) (8r + 1s) 6(8r 9s) Setzen Sie r = 6 und s = 4 g) 60x { 16x 3 [3y 4( 1x 7y + 8)] 6y } Setzen Sie x = und y = 3 h) i) 3 4 x y ( 5 6 x 1 4 y ) + 3 ( 4x 3y ) x 3y Setzen Sie x = und y = 3 3 x y 3 5 ( 6 x 1 1 y ) + Setzen Sie x = und y = 3 3 ( 4x 3y ) + x + 3y 3. Multiplizieren Sie aus und fassen Sie zusammen. a) 3x y z + x 5y ( z) + 4x ( y) ( 5z) b) 3x y ( z) x 5y ( z) + 4x ( 3y) ( 4z) c) (a b) + 3(a + 3b) 3(a 4b) + (a b)5 d) (4 x)(y + ) + (3 + x)( y) (x + )(y ) e) (4 x)(y + ) + (3 + x)( y) (x )(y ) 4. Bestimmen Sie aus den Gleichungen die Lösungsmenge L = { x }. a) x = 5 b) 5x = (x 7) 4 c) 7 + (3 x) = 5x 4 d) (x + 3) = 4x f (3x )g e) x f6 (x + 3)g = 5 5x f) 9x + 1 f(5 3x + (x 1))g = 6x 13 Deinitions- und Lösungsmenge 5. Geben Sie die Deinitionsmenge folgender Terme an. a) Î w x b) 1 Î w x c) log a (x + ) 6. Bestimmen Sie die Deinitionsmenge und geben Sie die Lösung der Gleichung an. x 9 a) x = ac b) x = 9bc 6bd c) Î w x + 1 = Î w x 11 Lösungen Übungsaufgaben. e) 30x + 4y 7 = 10 f) 96r + 7s = 864 g) 316x + 430y 67 = h) 1 4 x 11 3 y = 10,5 i) 11 3 x + 5 y = a) 6yxz b) 74 xyz c) 10a + 9b d) 4x 4y 4xy + 4 e) x + 15y 7xy a) L = { 7 } b) L = { 6 } c) L = { 17 3 } d) L = { } e) L = { 8 9} f) L = { 6 7} 5. a) x $ 50 b) x. 50 c) x. 6. a) D = R \ {0}; x = 45 b) D = R \ {0}; b, d Þ 0; x = 10ad c) D = {x x $ 11} R ; x = 15 d) D = {x x $ 7} R ; x = 9 d) Î w x + 7 = 3 7. Bestimmen Sie die Lösung für x a) x 4 3 b) x + 7 c) x a 3 x + 5 = 4 x 4 14 x + a = 4 4x x + = 1 4x x x x 7 x a x 3 7. a) x = 45 4 b) x = a + 14 c) x = 8

16 Potenzgesetze 1.5 Potenzen Potenzbegriff Die Potenz ist die Kurzschreibweise für das Produkt gleicher Faktoren. Eine Potenz besteht aus der Basis (Grundzahl) und dem Exponenten (Hochzahl). Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss. a a a a a } n-faktoren a Basis; a. 0 b Potenzwert a n = 1 a n = a n a n = b n Exponent a n = 1 a n Beispiel 1: Potenzschreibweise Schreiben Sie a) das Produkt als Potenz und b) geben Sie den Potenzwert an. a) = 5 b) 5 = Potenzgesetze Potenz mit negativem Exponenten Eine Potenz, die mit positivem Exponenten im Nenner steht, kann auch mit einem negativen Exponenten im Zähler geschrieben werden. Umgekehrt kann eine Potenz mit negativem Exponenten im Zähler als Potenz mit positivem Exponenten im Nenner geschrieben werden. Beispiel : Exponentenschreibweise Schreiben Sie die Potenzterme a) 3 ; b) 10 3 mit entgegengesetztem Exponenten und geben Sie den Potenzwert an. a) 3 = 1 = = 0,15 b) 10 3 = 1 10 = = 0,001 Beispiel 3: Physikalische Einheiten Schreiben Sie folgende physikalischen Benennungen mit umgekehrtem Exponenten. a) m s b) U min 1 c) m s a) m s = m s Addition und Subtraktion b) U min 1 = U min c) m s = m s 1 Gleiche Potenzen oder Vielfaches von gleichen Potenzen, die in der Basis und im Exponenten übereinstimmen, lassen sich durch Addition und Subtraktion zusammenfassen (Tabelle 1). Beispiel 4: Addition und Subtraktion von Potenztermen Die Potenzterme 3x 3 + 4y + x 3 y + x 3 sind zusammenzufassen. 3x 3 + 4y + x 3 y + x 3 = ( )x 3 + (4 )y = 6x 3 + y Tabelle 1: Potenzgesetze Regel, Deinition Addition und Subtraktion Potenzen dürfen addiert oder subtrahiert werden, wenn sie denselben Exponenten und dieselbe Basis haben. Multiplikation Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert und die Basis beibehält. Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man ihre Basen multipliziert und den Exponenten beibehält. Division Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält. Potenzen mit gleichem Exponenten werden divi diert, indem man ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält. Potenzieren Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten miteinander multipliziert. Deinition Jede Potenz mit dem Exponenten null hat den Wert 1. algebraischer Ausdruck r a n 6 s a n = (r 6 s) a n a n a m = a n + m a n b n = (a b ) n a n a m = an a m = a n m a n b = a ( b) n n (a m ) n = a m n a 0 = 1; für a Þ 0

17 1.5. Potenzgesetze 17 Multiplikation von Potenzen Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Potenzen als Produkt schreibt und dann ausmultipliziert oder indem man die Exponenten addiert. Beispiel 1: Multiplikation Berechnen Sie das Produkt 3 und geben Sie den Potenzwert an. 3 = ( ) ( ) = 3 oder 3 = + 3 = 5 = 3 Beispiel : Flächen- und Volumenberechnung a) Die Fläche des Quadrates mit a = m (Bild 1) und b) das Volumen des Würfels für a = m ist zu berechnen. a) A = a a = a 1 a 1 = a = a A = m m = m m = m = 4 m b) V = a a a = a 1 a 1 a 1 = a = a 3 = m m m = m m m = 3 m 3 = 8 m 3 Division von Potenzen Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man den Quotienten in ein Produkt umformt und dann die Regeln für die Multiplikation von Potenzen anwendet oder indem man den Nennerexponenten vom Zählerexponenten subtrahiert. Beispiel 3: Division Der Potenzterm 5 ist zu berechnen. 3 5 = = = 5 3 = = 4 oder 5 = = = 4 Potenzieren von Potenzen Potenzen werden potenziert, indem man das Produkt der Potenzen bildet und die Regeln für die Multiplikation von Potenzen anwendet oder indem man die Exponenten multipliziert. Beispiel 4: Potenzieren Berechnen Sie die Potenzterme a) ( ) 3 b) ( 3) c) 3 a) ( ) 3 = = + + = 6 = 64 oder ( ) 3 = 3 = 6 b) ( 3) = ( 3) ( 3) = 9 c) 3 = (3 3) = 9 a Basis; a. 0 ( a) = a a = (a ) Fläche a a a Bild 1: Fläche und Volumen a Werte <1 > Bild : Zehnerpotenzen Volumen a a 3 3 a Tabelle 1: Zehnerpotenzen, Schreibweise ausgeschriebene Zahl ,1 0,01 0,001 0, , Potenz Vorsatz bei Einheiten G M k h da d c m µ n (Giga) (Mega) (Kilo) (Hekto) (Deka) (Dezi) (Centi) (Milli) (Mikro) (Nano) Potenzen mit der Basis 10 (Zehnerpotenzen) Potenzen mit der Basis 10 werden sehr häuig als verkürzte Schreibweise für sehr kleine oder sehr große Zahlen verwendet. Werte größer 1 können als Vielfaches von Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten, Werte kleiner 1 als Vielfaches von Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten dargestellt werden (Bild und Tabelle 1). Beispiel 5: Zehnerpotenzen Schreiben Sie die Zehnerpotenzen a) 0 µm b) 10 ml c) 3 khz a) m b) l c) Hz

18 Rechengesetze beim Wurzelrechnen 1.6 Wurzelgesetze Wurzelbegriff Das Wurzelziehen oder Radizieren (von lat. radix = Wurzel) ist die Umkehrung des Potenzierens. Beim Wurzelziehen wird derjenige Wurzelwert gesucht, der mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. Eine Wurzel besteht aus dem Wurzelzeichen, dem Radikanden unter dem Wurzelzeichen und dem Wurzelexponenten. Bei Quadratwurzeln darf der Wurzelexponent weggelassen werden Î w a = Î w a. Eine Wurzel kann auch in Potenzschreibweise dargestellt werden. Deshalb gelten bei Wurzeln auch alle Potenzgesetze. Beispiel 1: Potenzschreibweise und Wurzelziehen Der Wurzelterm Î w 4 = Î w 4 ist a) in Potenzschreibweise darzustellen und b) der Wert der Wurzel zu bestimmen. a) Î w 4 = Îww 4 1 = 4 1 b) Î w 4 = Î w 4 = ; denn = Rechengesetze beim Wurzelrechnen Addition und Subtraktion Gleiche Wurzeln, die im Wurzelexponenten und im Radikand übereinstimmen, dürfen addiert und subtrahiert werden (Tabelle 1). Beispiel : Addition und Subtraktion von Wurzeln Die Wurzelterme 3 Î w a, 3 Îw b, +Î w a, +4 3 Îw b sind zusammenzufassen. 3 Î w a 3 Îw b + Î w a Îw b = (3 + ) Î w a + (4 ) 3 Îw b = 5 Î w a + 3 Îw b Multiplikation und Division von Wurzeln Ist beim Wurzelziehen der Radikand ein Produkt, so kann entweder aus dem Produkt oder aus jedem einzelnen Faktor die Wurzel gezogen werden. Bei einem Quotienten kann die Wurzel auch aus Zählerterm und Nennerterm gezogen werden (Tabelle 1). Beispiel 3: Multiplikation und Division Berechnen Sie aus den Wurzeltermen Î w 9 16 und Î w9 16 den Wert der Wurzel. Î w 9 16 = Î w 144 = 1 oder Î w 9 16 = Î w 9 Î w 16 = 3 4 = 1 Î w9 16 = 0,75 oder Î w9 16 = Î w 9 = 3 Î w 16 4 = 0,75 n n Î w a = x; a $ 0 Îww a m m = a n ; a $ 0 n Wurzelexponent a Basis x Wurzelwert m, m n Exponent Tabelle 1: Wurzelgesetze Regel Addition und Subtraktion Wurzeln dürfen addiert und subtrahiert werden, wenn sie gleiche Exponenten und Radikanden haben. Multiplikation Ist der Radikand ein Produkt, kann die Wurzel aus dem Produkt oder aus jedem Faktor gezogen werden. Division Ist der Radikand ein Quotient, kann die Wurzel aus dem Quotienten oder aus Zähler und Nenner gezogen werden. Potenzieren Beim Potenzieren einer Wurzel kann auch der Radikand potenziert werden. algebraischer Ausdruck r n Î w a 6 s n Î w a = (r 6 s) n Î w a n Îwww a b = n Î w a n Îw b nî w a b = n Î w a n Îw b ( n Î w a ) m = n Îww a m Allgemeine Lösung des Wurzelterms n Îww a n Bei der Lösung des Wurzelterms n Îww a n sind zwei Fälle zu unterscheiden: n gerader Exponent: Îww a n = a n ungerader Exponent: Îww a n = a Die Lösung einer Quadratwurzel ist immer positiv. Beispiel 4: Zwei Lösungen Warum müssen beim Wurzelterm Îww a zwei Fälle unterschieden werden? Îww a = a Fall 1: a für a > 0 Fall : a für a < 0 Beispiel 1: Für a = gilt Î w ( ) = Î w () = Î w 4 =

19 1.6.3 Wurzelziehen mit dem Heron-Verfahren Wurzelziehen mit dem Heron-Verfahren Wurzelzahlen sind im Allgemeinen irrationale Zahlen, d. h. sie lassen sich nicht durch einen Bruch darstellen. Da sie beliebig viele Nachkommastellen haben, war ihre händische Berechnung schwierig. Die Berechnung mithilfe eines Näherungs-Verfahrens war aber schon den Griechen und noch früher den Babyloniern bekannt (Bild 1). Beispiel 1: Wurzel händisch ermitteln Ermitteln Sie die Wurzel der Zahl 10 auf zwei Stellen nach dem Komma genau. 1. Abschätzung: 3, Î w 10, 4, denn 3 = 9, 10, 16 = 4. Durch Probieren: 3,1, Î w 10, 3,, denn 3,1 = 9,61, 10, 10,4 = 3, 3. Mit größerer Mühe indet man: 3,16, Î w 10, 3,17, denn 3,16 = 9,9856, 10, 10,0489 = 3,17 Bestimmung der Quadratwurzel aus a: x = ( x 1 + a x 1 ) : x 3 = ( x + a x ) : ; x 4 = ( x 3 + a x 3 ) : ; x 5 = Allgemein: x 1 x n a x n + 1 = ( x n + x a n ) : ; a [ N*, n [ N Startwert Näherungswert Numerus der Quadratwurzel Einen schnelleren und effektiveren Weg zur Ermittlung einer Quadratzahl liefert ein Näherungsverfahren, das nach dem griechischen Mathematiker Heron 1 benannt wurde. Bei diesem Verfahren beginnt man mit einer natürlichen Zahl x 1, die in der näheren Umgebung der Quadratwurzel Î w a liegt. Man berechnet der Reihe nach immer mit dem gleichen Schema Brüche, die sich der gesuchten Wurzelzahl immer genauer annähern. Beispiel : Ermittlung der Quadratwurzel mit dem Heron-Verfahren Ermitteln Sie die Wurzel der Zahl 10 auf vier Stellen nach dem Komma genau mit dem Verfahren von Heron. 1. Näherung: mit dem gewählten Startwert: x 1 = 3. Näherung: Mit der Formel x = ( x 1 + a x = ( ) : = 3 ( 3. Näherung: x 3 = ( x 1 + a x ) : = ( x x 1 ) : = ( x 1 + a x 1) folgt: ) = 19 = 3, a x ) ( = = = 71 ø 3, ) = Taschenrechnerwert: Î w 10 ø 3, Heron von Alexandria (griechischer Mathematiker und Mechaniker, 1. Jh. n. Chr.) Bild 1: Babylonische Keilschrifttafel zur Berechnung der Quadratwurzel Länge y 0 = 9 Länge y 1 = 5 Länge y = 3,4 Breite x 1 = 1,8 Breite x =,6 Breite x 0 = 1, A = x 0. y 0 Bild : Geometrische Erläuterung des Heronverfahrens Beim Heronverfahren wird von einem Quadrat mit dem Flächeninhalt A und der Kantenlänge Î w A ausgegangen. Nimmt man ein Rechteck (Bild ) mit der Fläche 9 (FE), so kann dieses durch Verkürzung der Länge y 0 und Verlängerung der Breite x 0 in Schritten an den Wert 3 angenähert werden. Die neue Länge y 1 = 5 erhält man mit dem Mittelwert y 1 = x 0 + y 0 = = 5 sowie x 1 = A y 1. Durch Wiederholung dieser Schritte kann die gewünschte Genauigkeit erreicht werden. Das Heron-Verfahren liefert schnell gute Näherungswerte für die Quadratwurzel.

20 0 Aufgaben: 1 Algebraische Grundlagen Überprüfen Sie Ihr Wissen! Beispielaufgaben Wurzelziehen mit dem Heron-Verfahren 1. Bestimmen Sie die Quadratwurzel durch Anwendung mit dem Heron-Verfahren auf vier Stellen nach dem Komma. a) Î w b) Î w 3 c) Î w 5. Ein Rechteck mit den Seitenlängen a = und b = 4 soll in ein lächengleiches Quadrat umgewandelt werden. a) Versuchen Sie über einen graischen Ansatz das Heron-Verfahren auf das Problem anzuwenden. b) Welche Kantenlänge hat das Quadrat? Lösungen Beispielaufgaben Wurzelziehen mit dem Heron-Verfahren 1. a ) 1,41 b) 1,73 c), a) siehe Lösungsbuch b) Î w =,88471 Übungsaufgaben 1. Stellen Sie die Gleichung oder Formel nach der geforderten Größe um. a) d a = d + m; Umstellen nach m b) R q = R 0 (1 + a Dq); Umstellen nach Dq Dose Getränk m H M m H h= M m!w m M m c) DR = R 0 a (q q 1 ); Umstellen nach q 1 d) Z L = R c R L ; R c + R L Umstellen nach R L H h e) A = d π ; Umstellen nach d 4 f) tan a = g) 1 f = 1 b + 1 g ; U h) i = ; R + R n i) v = m v g m r ; s t + a + s t a ; Umstellen nach v Umstellen nach g Umstellen nach R Umstellen nach s j) s s 1 = s s 1 ; Umstellen nach t t t 1 t t 1 1 k) Der Abstand des Schwerpunktes vom Boden einer mit Flüssigkeit gefüllten Dose lässt sich mit der Formel h = m H Î wm M m m m H M m beschreiben (Bild 1). Stellen Sie nach H um. Gleichungen. Bestimmen Sie aus den Gleichungen die Lösung a) (x + ) + 6 = x + 0 4(17 + 0x) b) = 8 11 h Höhe des Schwerpunkts über dem Boden M Masse der Dose mit Inhalt m Masse der Dose H Höhe der Dose Bild 1: Schwerpunkt in Abhängigkeit des Inhalts Lösungen Übungsaufgaben 1. a) m = d a d c) q 1 = q e) d = Î w4a π g) g = b f b f i) s = v(t a ) t DR R 0 a k) H = (M m ) ( Î h wm m 1 ) m R q 1 R b) Dq = 0 a d) R L = Z LR c Z L R c f) v = Î w r g tan a h) R = n U i(n + 1). a) x =,5 b) x = 1 4 j) t 1 = t (s s 1 ) + t (s 1 s ) s s