Berufsbezogene Mathematik für die Fachoberschule

Transkript

1 Klaus Schilling, Marion Patyna Berufsbezogene Mathematik für die Fachoberschule Nichttechnische Fachrichtungen Klasse 1. Auflage Bestellnummer 0608

2 Haben Sie Anregungen oder Kritikpunkte zu diesem Produkt? Dann senden Sie eine an 0608 Autor und Verlag freuen sich auf Ihre Rückmeldung. Ein sbuch mit ausführlichen shinweisen ist auch für Schülerinnen und Schüler erhältlich unter ISBN Bildungsverlag EINS GmbH Sieglarer Straße, 5384 Troisdorf ISBN Copyright 009*: Bildungsverlag EINS GmbH, Troisdorf Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.

3 Vorwort 3 Vorwort Das vorliegende Schulbuch entspricht den Vereinbarungen der KMK über den Erwerb der Fachhochschulreife (001) und den Vereinbarungen über die Fachoberschule (004), die in den Rahmenrichtlinien der Länder umgesetzt worden sind. Sowohl in den KMK-Vereinbarungen als auch in den Rahmenrichtlinien wird als Grundsatz vorgegeben: Die Schülerinnen und Schüler sollen ausgehend von fachrichtungsbezogenen Problemstellungen grundlegende Fach- und Methodenkompetenzen in der Mathematik erwerben. Um diesem fachrichtungsbezogenen Anspruch hinreichend gerecht zu werden, beschränkt sich der vorliegende Band auf die nichttechnischen Fachrichtungen Wirtschaft und Verwaltung, Gesundheit und Soziales, Gestaltung, Ernährung und Hauswirtschaft sowie Agrarwirtschaft. Verbindliche Lerngebiete für alle Fachrichtungen der Klasse 1 der Fachoberschule sind: Ganzrationale Funktionen Differenzialrechnung Integralrechnung Um den spezifischen Anforderungen der einzelnen nichttechnischen Fachrichtungen weiter gehend zu entsprechen, bietet das vorliegende Schulbuch folgende optionale Lerngebiete an: Exponentialfunktionen Gebrochen rationale Funktionen Lineare Algebra Stochastik Finanzmathematik Dieses Schulbuch enthält eine CD-ROM mit GeoGebra-Dateien, mit denen sich wichtige Zusammenhänge der Analysis (und z. T. auch der Stochastik) im Unterricht dynamisch visualisieren lassen. Sehr gut geeignet sind die GeoGebra-Dateien auch zum entdecken-lassenden Lernen. Das GeoGebra-Symbol im Text (s. Abb. rechts) verweist auf die jeweiligen Dateien auf der beiliegenden CD-ROM. Die CD-ROM enthält außerdem einige EXCEL-Dateien zur Stochastik. Das EXCEL- Symbol im Text (s. Abb. rechts) verweist auf die jeweiligen Dateien auf der beiliegenden CD-ROM. Im Abschnitt Finanzmathematik verweist das Excel-Symbol am Rande auf die Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms. Die Aufgaben mit en sind mit dem nebenstehenden Symbol und einem blauen Streifen markiert. Die zahlreichen Übungsaufgaben zur Verfestigung des Stoffes werden durch das nebenstehende Symbol in einem grünen Streifen gekennzeichnet. Die Darstellung der mathematischen Inhalte in diesem Schulbuch folgt dem Primat einer für Schülerinnen und Schüler möglichst anschaulichen und verständlichen Form. Wir wünschen allen Schülerinnen und Schülern, Lehrerinnen und Lehrern, die mit diesem Buch arbeiten, viel Erfolg und Freude an der Mathematik. Über Rückmeldungen, Verbesserungsvorschläge und die Mitteilung entdeckter Fehler über die -Adresse @bv-1.de würden wir uns freuen. Die Autoren

4 4 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Mathematische Zeichen und Symbole... 8 Aufbau des Zahlensystems Ganzrationale Funktionen Funktionen Bedeutung von Funktionen Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen Fachbegriffe bei Funktionen Lineare Funktionen Bedeutung von m und b in =m x + b (Von der Realsituation zur Funktionsgleichung) Konstruktion des Funktionsgraphen einer linearen Funktion (Von der Gleichung zum Graphen) Bestimmung der Funktionsgleichung (Vom Graphen zur Gleichung) Weitere Anwendungsbeispiele Schnittpunkt zweier Geraden (sverfahren für lineare Gleichungssysteme) Isokostengerade und Bilanzgerade Quadratische Funktionen Über- und unterproportionale Entwicklung der Funktionswerte Normalparabel und ihre Symmetrieeigenschaft Öffnung und Dehnung/Stauchung der Normalparabel Verschiebung der Normalparabel Scheitelpunktform Polynomdarstellung Scheitelpunktform Nullstellenberechnung Linearfaktordarstellung Schnittprobleme Anwendungen Potenzfunktionen =x n mit geraden Exponenten =x n mit ungeraden Exponenten =ax n Ganzrationale Funktionen mit n Ganzrationale Funktionen als Summen von Potenzfunktionen (Polynomform) Verlauf des Graphen für x ± Linearfaktordarstellung Nullstellenberechnung Symmetrie Anwendungen der ganzrationalen Funktionen... 97

5 Inhaltsverzeichnis 5 Differenzialrechnung Grenzwerte von Funktionen Ableitung Steigung eines Funktionsgraphen (zeichnerisches Differenzieren) Durchschnittliche Steigung eines Funktionsgraphen (mittlere Änderungsrate) Steigung eines Funktionsgraphen an einer bestimmten Stelle (momentane Änderungsrate) Steigung eines Funktionsgraphen an einer beliebigen Stelle (Ableitungsfunktion) Anwendungsbezogene Bedeutung der Änderungsraten Ableitungsregeln Höhere Ableitungen und deren Graphen Funktionsanalyse Extrempunkte Wendepunkte Vermischte Anwendungen zur Funktionsanalyse Funktionssynthese Optimierungsprobleme Integralrechnung Einführung in die Integralrechnung Stammfunktion unbestimmtes Integral Flächeninhaltsfunktion Das bestimmte Integral Anwendungen der Integralrechnung Das Integral als Flächenmaß Integralfunktion Konsumenten- und Produzentenrente Rotationsvolumina Mittelwert von Funktionswerten Gebrochen rationale Funktionen Einführung in die Funktionsklasse der gebrochen rationalen Funktionen Definitionsbereich/Definitionslücken Nullstellen Asymptoten Zusammenfassende Anwendungsaufgaben Ableitung der gebrochen rationalen Funktionen Ableitungsregeln für gebrochen rationale Funktionen Anwendungen der gebrochen rationalen Funktionen Die optimale Nutzungsdauer... 55

6 6 Inhaltsverzeichnis 4.4 Die optimale Bestellmenge Optimale Kombinationen in der Produktions- und Haushaltstheorie Isoquante/Minimalkostenkombination Indifferenzkurve/Haushaltsgleichgewicht Exponentialfunktionen Einführung in die Funktionsklasse der Exponentialfunktionen Einfache Exponentialfunktionen der Form =a b x Logarithmieren und Logarithmengesetze Vermischte Anwendungen zu einfachen Exponentialfunktionen Ableitung der Exponentialfunktionen Ableitung der e-funktion Ableitung der verketteten e-funktionen und Produktfunktionen Anwendungen der e-funktionen Lineare Algebra Datenmengen als Matrizen Matrizenoperationen Skalare Multiplikation Addition von Matrizen Vektormultiplikation Matrizenmultiplikation Arten von Matrizen Lineare Verflechtungen bei mehrstufigen Produktionsprozessen Produktionsmengen Produktionskosten Vermischte Anwendungen zur Matrizenrechnung Stochastik Beschreibende Statistik Darstellung von Daten Mittelwert und Streuungsmaße Klassenbildung Vermischte Anwendungen zur beschreibenden Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung Begriffe in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Mehrstufige Zufallsversuche Vermischte Anwendungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung Binomialverteilung Bernoulli-Formel Wahrscheinlichkeitsverteilung Tafelwerke Vermischte Anwendungen zur Binomialverteilung

7 Inhaltsverzeichnis 7 8 Finanzmathematik (mit EXCEL) Zinsrechnung Einfache Zinsrechnung Zinseszinsrechnung Unterjährliche Verzinsung Rentenrechnung Rentenrechnung (jährlich) Rentenrechnung (unterjährlich) Kapitalaufbau/Kapitalabbau Tilgungsrechnung Ratentilgung Annuitätentilgung Abschreibung Lineare Abschreibung Degressive Abschreibung Wechsel von der degressiven zur linearen Abschreibung Anhang Tabellen zur einfachen Binomialverteilung Tabellen zur kumulierten Binomialverteilung Bildquellenverzeichnis Sachwortverzeichnis

8 8 Mathematische Zeichen und Symbole Mathematische Zeichen und Symbole Zeichen, Symbol Sprechweise/Bedeutung Beispiel gleich 4 4 ungleich 3 4 ist ungefähr gleich 1,41 kleiner als 3 4 größer als 5 4 kleiner gleich x 3 größer gleich x 4 Betrag von 3 3 unendlich daraus folgt n {0;1;;3; } {1} n gilt genau dann, wenn; ist äquivalent mit x 4 x und oder n Menge der natürlichen Zahlen einschließ- n {0;1;;3; } lich der Null z Menge der ganzen Zahlen einschließlich z { ; 3; ; 1;0;1;;3; } der Null q Menge der rationalen Zahlen einschließlich der Null q { b a a Z; b Z *} r Menge der reellen Zahlen einschließlich der Null z*, q*, r* Zahlen der Mengen z, q, r ohne die z* { ; 3; ; 1;1;;3; } Null z, q, r positive Zahlen der Mengen z, q, r ein- z {0;1;;3; } schließlich der Null z*, q*, r* positive Zahlen der Mengen z, q, r z* {1;;3; } ohne die Null z, q, r negative Zahlen der Mengen z, q, r ein- z { ; 3; ; 1; 0} schließlich der Null z*, q*, r* negative Zahlen der Mengen z, q, r z* { ; 3; ; 1} ohne die Null {1; ; 3} Menge mit den Elementen 1,, 3 A {1;;3} {x } Menge aller x für die gilt D {x 0 <x <3} r {(x ; y ) } Menge aller Zahlenpaare (x ; y) für die {(x ; y ) y 3x } gilt 0/ {} leere Menge z n* 0/ {} Element von {1} n nicht Element von { 1} n

9 Mathematische Zeichen und Symbole 9 Zeichen, Symbol Sprechweise/Bedeutung Beispiel vereinigt mit n* {0} n geschnitten mit n n* n* ist echte Teilmenge von n r \ ohne n \ {0} n* [a ; b ] geschlossenes Intervall (von einschließlich a bis einschließlich b) (a ; b) offenes Intervall (von ausschließlich a bis ausschließlich b ) {x a x b } {x a x b } [a ; b ) halb offenes Intervall (von einschließlich a bis aus- {x a x b } schließlich b ) (a ; b ] halb offenes Intervall (von ausschließlich a bis ein- {x a x b} schließlich b ) P(x / y) Punkt P mit den Koordinaten (x/ y) P(1/3) f: eine Funktion f mit der Funktionsgleichung f (x) f: f (x) 3x a n Folge a n a n :1;4;9;16; f reelle Funktion f: x wird zugeordnet x f (x) f 1 Umkehrfunktion f: x f 1 : f 1 (x) x f* Asymptotenfunktion für f: f (x) 1 ist f*: f*(x) 0 x g h g verkettet mit h (verkettete Funktion) f g h : g[h(x)] D( f ) Definitionsbereich, Definitionsmenge einer Funk- D( f) r* tion f W ( f ) Wertebereich, Wertemenge einer Funktion f W(f ) [1; ) G(f ) Graph einer Funktion f L smenge L {3} gegen; nähert sich x lim Grenzwert (Limes) lim f (x) a x Dy Delta y Dy y y 1 f (x) f Strich von x (1.) Ableitung von f (x) f zwei Strich von x. Ableitung von f (x) df dx n i 1 d f nach dx Summe d f f ist die Ableitung von f dx x i 3 Summe aller x x i 1 3 i von i 1 bis i n 14 unbestimmtes Integral f (x) dx F(x) C b a f (x) dx Integral f von x dx von a bis b 1 x dx 0 i 1

10 .7 Optimierungsprobleme Ein Designer möchte eine neue Sektglasform mit trichterförmigem Querschnitt kreieren. Dabei soll die Seitenlänge s des Kelches mit 1 cm fest vorgegeben sein. Für welche Maße des Sektglases wird sein Volumen maximal? Wie groß ist dann das maximale Volumen? s 15 Die Seitenwand einer Tennishalle hat die Form einer Parabel mit der Gleichung f (x) = 8 81 x + 8. In diese Seitenwand der Halle soll aus Werbegründen ebenerdig ein Fenster mit möglichst großer Fläche eingebaut werden. 16 Prüfen Sie, ob bei der Herstellung eines 1,5 l Tetrapacks gemäß nebenstehendem Netz tatsächlich das maximal mögliche Volumen realisiert wird. Interpretieren Sie das Ergebnis ,8 h 0,8 t t b b +0,35 t b t +0,35 17 Ein Abschnitt der Tragfläche eines Flugzeugs hat die in der Abbildung dargestellte Form. In diesen Tragflächenabschnitt soll ein rechteckiger Lüftungsschacht (s. Abb.) installiert werden. Wie sind Länge und Breite des Rechtecks zu wählen, damit a) der Flächeninhalt und damit der Luftdurchfluss maximal wird? b) der Umfang des Rechtecks und damit die Kühlung maximal wird? f (x) F x f (x) = 4x x

11 194 Differenzialrechnung 18 Bauer Ewald möchte auf seinem Hof einen Hühnerauslauf bauen, in dem er seine braunen und weißen Hühner voneinander getrennt halten kann. Dazu will er einen rechteckigen, freistehenden Auslauf in der Mitte unterteilen. Mit 75 m Zaun möchte er einen größtmöglichen Auslauf realisieren. 19 Ein Hersteller von Verpackungsmaterialien erhält von einer Großspedition den Auftrag, die bisher verwendeten Umzugskartons daraufhin zu überprüfen, ob diese bei gegebenem Material (Pappplatte 156 cm 101 cm 0,5 cm) tatsächlich optimal gestaltet sind, d. h., maximales Volumen aufweisen. Die Art der Konstruktion der Kartons soll weiterhin entsprechend der unten aufgeführten Abbildung erfolgen. 1 t 1 1 t 3 t t b t b h Schnittkante Knickkante 0 In die Giebelseite eines Einfamilienhauses soll ein möglichst großes Dachbodenfenster (vgl. Abb.) eingebaut werden. a) Stellen Sie dazu zunächst eine entsprechende Zielfunktion auf und geben Sie den Definitionsbereich für die vorgegebene Problemstellung b an. (Hilfe: Vielleicht hilft es Ihnen, wenn Sie nur eine Haushälfte betrachten?) b) Berechnen Sie die Maße des Fensters damit die Fensterfläche maximal wird. Wie groß ist die maximale 1 m Fensterfläche? h 4m

12 Integralrechnung Integralrechnung Differenzialrechnung und Integralrechnung bilden die beiden Hauptteile der Analysis. Die grundlegende Problemstellung der Differenzialrechnung ist die Berechnung der Steigung eines Funktionsgraphen in einem bestimmten Punkt (Tangentenproblem). Das zentrale Problem der Integralrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Flächen (Flächeninhaltsproblem). Schon seit Jahrhunderten beschäftigen sich Mathematiker mit dem Problem, krummlinig begrenzte Flächen zu berechnen. 450 v. Chr. gelang es dem griechischen Gelehrten Hippokrates, die Fläche von Mondsicheln (s. nebenstehende Abb.) zu berechnen, ohne dass ihm eine Formel für die Kreisfläche zur Verfügung stand. Ca. 00 Jahre später schaffte es der griechische Mathematiker und Physiker Archimedes, die Fläche unter der Parabel zu berechnen. 1) f (x) = x Archimedes Erst fast 000 Jahre später, im 17. Jh., gelang es dem deutschen Mathematiker Leibniz ) und dem englischen Physiker Newton 3) mithilfe der von ihnen entwickelten Integralrechnung, die Flächenmaßzahl unter beliebigen Funktionsgraphen zu berechnen. 1) Vgl. GeoGebra-Datei Streifenmethode. ) 3) Vgl. S. 100.

13 196 3 Integralrechnung Von der Thematik her scheinen Differenzial- und Integralrechnung zunächst grundsätzlich verschieden zu sein. Tatsächlich aber besteht ein sehr enger Zusammenhang zwischen diesen Teilgebieten der Analysis. Rechentechnisch können die Integralrechnung und die Differenzialrechnung nämlich jeweils als Umkehrung voneinander angesehen werden. 3.1 Einführung in die Integralrechnung Stammfunktion unbestimmtes Integral In der Differenzialrechnung wird zu einer gegebenen Funktion, die wir als Stammfunktion bezeichnen wollen, durch Differenzieren die Ableitungsfunktion bestimmt. In der Integralrechnung wird nun sozusagen rückwärts zu einer gegebenen Ableitungsfunktion die Stammfunktion gesucht. Diesen Vorgang bezeichnet man auch als Integrieren. Situation 1 Die Grenzkostenfunktion K eines Betriebes hat die Gleichung K (x) =3x 0x Wie lautet die Gleichung der Gesamtkostenfunktion K, deren Ableitung zu K führt? Durch Differenzieren kann man zeigen, dass alle in der linken Spalte der Tabelle aufgeführten Funktionsgleichungen von K Stammfunktionen von K sind, weil das Absolutglied beim Differenzieren null wird. Gesamtkosten K (Stammfunktionen) Grenzkosten K (Ableitungsfunktion) K (x) =x 3 10x +35x K (x) =x 3 10x +35x +10 K (x) =x 3 10x +35x +0 K (x) =3x 0x +35 K (x) =x 3 10x +35x +30 K (x) =x 3 10x +35x +40 Es gibt also unendlich viele Stammfunktionen K zu der gegebenen Grenzkostenfunktion K, die sich nur um das Absolutglied unterscheiden. Dies ist auch plausibel, da ja der Graph von K die Steigung des Graphen von K angibt und die Steigung der Graphen von K natürlich unabhängig von der Größe des Absolutgliedes ist. Wir geben die Menge aller Stammfunktionen allgemein mit einer Konstanten C an: K (x) =x 3 10x +35x + C GE K (x) = x 3 10x + 35x + C K 40 K 30 K 0 K 10 K 0 K (x) = 3x 0x + 35 K ME

14 3.1 Einführung in die Integralrechnung 197 Innermathematisch wird in der Regel folgende Symbolik verwendet: Eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitungsfunktion f ist, heißt Stammfunktion von f. F (x) = Zu einer Funktion f gibt es unendlich viele Stammfunktionen F, die sich lediglich durch die Konstante C unterscheiden. Das Bestimmen einer Stammfunktion F zu einer Funktion f heißt integrieren. Mit der folgenden Aufgabe wollen wir versuchen, Stammfunktionen für einfache Potenzfunktionen zu bestimmen. Situation Bestimmen Sie zu der Funktion f mit der gegebenen Funktionsgleichung eine Stammfunktion F, für die gilt F = f. a) f (x) =x b) f (x) =x c) =x 3 d) f (x) =3 Beim Differenzieren einer Potenzfunktion wird der Funktionsterm mit dem Exponenten multipliziert und dann der Exponent selbst um 1 verringert. Z. B.: =x f (x) = x 1 Sucht man eine Stammfunktion F zu einer gegebene Funktion f ist umgekehrt vorzugehen: Der Exponent wird um eins erhöht und der Funktionsterm mit dem Kehrwert des um eins erhöhten Exponenten multipliziert. a) =x F (x) = 1 3 x3 Zur Probe kann man F ableiten (= F ) und erhält dann wieder f: F (x) =3 1 3 x =1x = x Weil ein Absolutglied beim Differenzieren null wird, könnte die Stammfunktion aber auch lauten: F (x) = 1 3 x oder F (x) = 1 3 x3 + etc. Um alle möglichen Stammfunktionen F zu erfassen, schreiben wir allgemein: F: F (x) = 1 3 x3 + C, b) F: F (x) = 1 x + C c) F: F (x) = 1 4 x4 + C d) F: F (x) =3x + C

15 198 3 Integralrechnung Den Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Ableitungsfunktion zeigt folgende Grafik. ableiten, differenzieren Stammfunktion F 1 3 x3 + C 1 x + C 1 4 x4 + C 3x + C Ableitungsfunktion f x x x 3 3 aufleiten, integrieren Für eine Potenzfunktion f mit f (x) =x n gilt offensichtlich die folgende Regel zur Bestimmung der Menge aller Stammfunktionen: f (x) =x n F (x) = 1 n +1 x n C Potenzregel der Integralrechnung 1) Potenzregel in Worten: Die Stammfunktion einer Potenzfunktion wird gefunden, indem 1. der Exponent um 1 erhöht wird und dann. der Funktionsterm mit dem Kehrwert des um 1 erhöhten Exponenten multipliziert wird. Weil das Integrieren die Umkehrung des Differenzierens ist, gelten auch die Faktorund die Summen-/Differenzregel der Differenzialrechnung entsprechend in der Integralrechnung: =ax n F(x)= 1 n +1 ax n + 1 Potenz- mit Faktorregel der Integralrechnung Faktorregel in Worten: Ein konstanter Faktor bleibt beim Integrieren erhalten. =f 1 (x) ± f (x) F (x) =F 1 (x) ± F (x) +C Summen-/Differenzregel der Integralrechnung Summen-/Differenzregel in Worten: Summen und Differenzen von Funktionen dürfen gliedweise integriert werden. Mithilfe dieser Regeln können wir Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen integrieren. 1) wobei n 1

16 3.1 Einführung in die Integralrechnung 199 Situation 3 Bestimmen Sie alle Stammfunktionen zu a) f (x) = 1 x3 b) f (x) =3x 5 4x 3 + x c) f (x) = 0,3x 3 +x 6x +3 a) F (x) = 1 8 x 4 + C b) F (x) = 1 x 6 x x +C c) F(x) = 3 40 x x 3 3x +3x + C Der mathematische Befehl für eine Integration, also das Finden einer Stammfunktion, ist das Integralzeichen verbunden mit dem Faktor d x. Beispiel Verbalisierte Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die Menge aller Stammfunktionen zu f: f (x) =x. Mathematisierte Aufgabenstellung: x d x (lies: Integral ix-quadrat de ix) x d x = 1 3 x 3 + C Die Menge aller Stammfunktionen zu einer Funktion f wird als unbestimmtes Integral bezeichnet. dx= F(x) +C Das Integralzeichen ist ein stilisiertes S und steht für Summe 1). Der Faktor dx gehört zum Integralzeichen. An ihm ist lediglich die Integrationsvariable x zu erkennen. Situation 4 ( 1 x +4x) dx Die Aufgabenstellung fordert die Bestimmung eines unbestimmten Integrals (der Funktionsterm wird in Klammern gesetzt, um deutlich zu machen, dass der gesamte Funktionsterm, und nicht womöglich nur der erste Summand, integriert werden soll). Mit anderen Worten: Es ist die Menge aller Stammfunktionen zu f: = 1 x +4x zu bestimmen. Nach den bisher bekannten Integrationsregeln ergibt sich: ( 1 x +4x) dx = 1 6 x 3 +x + C 1) Die Erklärung hierfür wird später geliefert.

17 00 3 Integralrechnung Übungsaufgaben 1 Bestimmen Sie alle Stammfunktionen zu f. a) f: = 1 x g) f: f (x) =x +3 b) f: f (x) =x 4 h) f: f (x) = x + 1 x 3 c) f: f (x) = 1 x 3 3 i) f: = 1 x d) f: f (x) = 1 x 5 4 j) f: f (x) =3x 4 6x + e) f: f (x) = k) f: f (x) = 1 x x x 1 4 f) f: f (x) =0 l) f: = 1 x 4 x 3 +3x +x 3 5 (x 4 3x +4)dx e) ax 3 dx i) ( 4x 3 +x )dx a) b) (x 1)dx f) (1 4 x +x )dx j) ( 1 x + x )dx c) dx g) 1 x d x k) (0,4 x 3 +3x )dx d) dx h) x d x l) ( 1 x 3 +x 6x + 1) dx 3 Die Grenzerlöse eines Betriebes werden beschrieben durch die Funktionsgleichung E (x) = 10x Welche Gleichung beschreibt die Erlöse des Betriebes? 4 Die Grenzproduktivität des Kapitals eines landwirtschaftlichen Betriebes wird ausgedrückt durch die Gleichung P (x) = 0,3 x +1x Wie lautet die Gleichung der Produktionsfunktion? 5 Der Grenzgewinn eines Betriebes wird beschrieben durch die Gleichung G (x) = 0,3 x Die Fixkosten des Betriebes betragen 300 GE. Wie lautet die Gleichung der Gewinnfunktion? 3.1. Flächeninhaltsfunktion Im Folgenden soll zunächst gezeigt werden, wie die Maßzahl einer Fläche, die durch einen Funktionsgraphen (= Randfunktion) im 1. Quadranten, der Abszissenachse, der Ordinatenachse und einer beliebigen Parallelen zur Ordinatenachse an der Stelle x begrenzt ist, berechnet wird (vgl. Abb.). Der Inhalt der Fläche ist dann also abhängig von x, oder anders ausgedrückt, der Flächeninhalt I ist eine Funktion von x. I (x) = Flächeninhaltsfunktion, gibt den Inhalt einer Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der Abszissenachse über dem Intervall [0; x] an.

18 3.1 Einführung in die Integralrechnung 01 Situation 5 Berechnen Sie die Flächenmaßzahl I des Rechtecks, das von dem Graphen der Randfunktion f: f (x) = 3, der Ordinatenachse, der Abszissenachse und einer beliebigen Parallelen zur Ordinatenachse begrenzt wird. Der Flächeninhalt eines beliebigen Rechtecks berechnet sich nach I Rechteck = Länge Breite. Der Flächeninhalt des gegebenen Rechtecks ist offensichtlich davon abhängig, wie x gewählt wird. Anders ausgedrückt: Der Flächeninhalt I ist eine Funktion von x. Diese sog. Flächeninhaltsfunktion ordnet jedem x einen bestimmten Flächeninhalt I zu. I(x) =3x So ist z. B. für die Länge x = 4 der Flächeninhalt des Rechtecks I(4)=3 4=1. Situation 6 Berechnen Sie die Flächenmaßzahl des Dreiecks zwischen dem Graphen der Randfunktion f: f (x) = x und der Abszissenachse über dem Intervall [0; x]. Der Flächeninhalt I eines Dreiecks wird berechnet nach Grundseite Höhe I Dreieck =. Demnach lautet die Flächeninhaltsfunktion I(x)= x x I (x)= x So ist z. B. für x = 4 der Flächeninhalt des Dreiecks I(4)=4 =16

19 0 3 Integralrechnung Situation 7 Berechnen Sie die Flächenmaßzahl des Trapezes zwischen dem Graphen der Randfunktion mit =x + 3 und der Abszissenachse über dem Intervall [0; x]. Die gesuchte Fläche ist aus einem Dreieck und einem Rechteck zusammengesetzt x 3 = x + 3 Grundseite Höhe I Trapez = I Dreieck + I Rechteck = + Länge Breite Dann ergibt sich die Flächeninhaltsfunktion: I(x)= x x +3 x Dreieck I(x)=x +3x Rechteck So ist z.b. für x = 4 der Flächeninhalt des Trapezes I(4)=4 +3 4=16+1=8 0 x x x Die bisherigen Ergebnisse werden jetzt in der Weise zusammengefasst, dass die berechneten Flächeninhaltsfunktionen ihren Randfunktionen gegenübergestellt werden: Randfunktion f (x) =3 f (x) =x =x +3 Flächeninhaltsfunktion I (x) =3x I(x) = x I (x) = x +3x Es ist zu erkennen, dass die Randfunktion die Ableitungsfunktion der Flächeninhaltsfunktion ist. Oder umgekehrt: Die Flächeninhaltsfunktion ist eine Stammfunktion der Randfunktion. 1) Dieser Zusammenhang gilt auch für krummlinige Randfunktionen. So ist z. B. für die Randfunktion f: =x die Flächeninhaltsfunktion I: I(x) = 1 3 x3. 1) Für die Berechnung von Flächen im Intervall [0; x] ist diejenige Stammfunktion als Flächeninhaltsfunktion zu wählen, für die F(0) = 0 ist. Bei ganzrationalen Funktionen ist diese Bedingung immer erfüllt, wenn man für die Stammfunktion die Konstante C = 0 wählt.

20 3.1 Einführung in die Integralrechnung 03 Situation 8 Bestimmen Sie die Stammfunktion und berechnen Sie dann mithilfe der Flächeninhaltsfunktion die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen von f: =4x 3 +3x und der Abszissenachse über dem Intervall [0; 5]. Stammfunktion von f ist F: F (x) =x 4 + x 3 = I (x) I (5) = F(5) = Übungsaufgabe 1 Bestimmen Sie für die gegebene Randfunktion die Flächeninhaltsfunktion und berechnen Sie dann die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen der gegebenen Randfunktion und der Abszissenachse über dem angegebenen Intervall. Zeichnen Sie die Fläche. a) f: =4;[0;3] g) f: f (x) =x 3 +;[0;3] b) f: =5x; [0; 1,5] h) f: = 1 x 3 ;[0;4] 4 c) f: f (x) = 0,5x + ; [0;,5] i) f: f (x) = x; [0; 1,] d) f: f (x) = 1,5 x + 4; [0; 0,75] j) f: f (x) =3 x; [0;3] e) f: f (x) =x +x; [0;] k) f: =3x +;[0;3] f) f: f (x) = 1 x + 1; [0; 1,5] l) f: = 1 x +4;[0;1] Das bestimmte Integral Bisher wurden Flächenmaßzahlen zwischen Funktionsgraph und x-achse über dem Intervall [0; x] im 1. Quadranten berechnet. Jetzt wollen wir die Maßzahl einer Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der Abzissenachse über einem beliebigen Intervall [a; b] bestimmen.

21 04 3 Integralrechnung Situation 9 Wie lautet der Ansatz zur Berechnung der Maßzahl der unterlegten Fläche in der nebenstehenden Abbildung? f (x) 1. Berechnung der Fläche unter dem Graphen der Randfunktion über dem Intervall [0; b] (durch Einsetzen von b in die Stammfunktion): = F(b) a b. Berechnung der Fläche unter dem Graphen der Randfunktion über dem Intervall [0; a] (durch Einsetzen von a in die Stammfunktion): = F(a) 3. Die Differenz der Flächenmaßzahlen F (b) F (a) ist dann die Maßzahl der zu berechnenden Fläche I. Die Maßzahl der Fläche I zwischen einem Funktionsgraphen und der Abszissenachse über dem Intervall [a ; b] ist I = F(b) F(a) wobei F Stammfunktion der Randfunktion f ist. Die Wahl der Stammfunktion ist unerheblich, weil sich die Konstante C aufhebt: I =[F (b) +C] [F (a) +C] =F (b) F(a) 1) Die Zahl F (b) F(a) ist also eindeutig bestimmt. Sie wird bestimmtes Integral von f (x) über [a; b] genannt. Der mathematische Befehl zur Berechnung dieser eindeutig bestimmten Zahl wird geschrieben: b a f (x)dx =[F (x)] b a = F (b) F (a) (gelesen: Integral f (x) dx von a bis b) 1. Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Dabei sind a und b die untere bzw. obere Integrationsgrenze, f (x) heißt Integrand. Man berechnet ein bestimmtes Integral dx, indem man 1. eine Stammfunktion F(x) des Integranden f (x) aufstellt,. die Integrationsgrenzen a und b in F(x) einsetzt und 3. die Differenz F (b) F(a) bildet. 1) Dies ist im Übrigen der Grund dafür, dass bei den bisherigen Flächenberechnungen in [0; x] für C die Zahl 0 gewählt wurde: [F(x) +C] [F(0) + C] I = F (x) F(0) + C C = F (x) F(0).

22 3.1 Einführung in die Integralrechnung 05 Situation 10 Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche, die zwischen dem Graphen von f: f (x) =x und der Abszissenachse über dem Intervall [4; 5] liegt. I = 5 x dx 4 Zuerst wird eine Stammfunktion aufgestellt: I = 5 x x dx = (Durch die eckigen Klammern und die daran angefügten Integrationsgrenzen soll ausgedrückt werden, dass diese Integrationsgrenzen noch in die Stammfunktion eingesetzt werden müssen.) Dann wird zuerst die obere Integrationsgrenze b und dann die untere Integrationsgrenze a in die Stammfunktion eingesetzt und die Differenz F(b) F (a) gebildet: I = 5 x x dx = = = = 61 3 = 0,3 Achtung: Die Integrationsgrenzen müssen immer in der richtigen Reihenfolge, d. h. in x-richtung, gesetzt werden, d. h., die kleinere Zahl ist die untere Integrationsgrenze. Ein Vertauschen der Integrationsgrenzen würde dazu führen, dass in der Differenz F (b) F (a) Minuend und Subtrahend vertauscht werden: F (a) F (b). Dadurch ändert sich bekanntlich das Vorzeichen der Differenz. Das Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert das Vorzeichen des Integrals. b a dx = a f (x)dx b Wie die folgende Aufgabe zeigt, brauchen die Flächen, deren Maßzahlen zu berechnen sind, nicht (nur) im 1. Quadranten zu liegen. Die Integrationsgrenzen a und b können beliebige reelle Zahlen sein. Die zu berechnenden Flächen sollen sich vorläufig aber noch oberhalb der Abszissenachse befinden. Situation 11 Berechnen Sie die Maßzahl der dargestellten Fläche. x x 1

23 06 3 Integralrechnung I = ( x x + 1) dx = 1 x 3 3 x +1x = 19,3 + 1,16 = 31,5 1 Zum Abschluss dieses Abschnitts sei noch einmal der Unterschied zwischen einem unbestimmten und einem bestimmten Integral hervorgehoben: Das unbestimmte Integral ist eine Menge von Funktionen: dx = F (x)+c Das bestimmte Integral ist eine reelle Zahl: dx =[F(x)] b a = F (b) F(a) b a. Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: Die Differenziation ist die Umkehrung der Integration, bzw. die Integration ist die Umkehrung der Differenziation. Differenzieren und Integrieren sind einander entgegengesetzte Rechenoperationen und heben sich somit gegenseitig auf. Übungsaufgaben 1 Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche, die vom Graphen der Funktion f, der Abszissenachse und den Parallelen zur Ordinatenachse durch x = a und x = b begrenzt wird. a) f: f (x) =x x +1; a = 1,b =3 g) f: = x 3 1; a = 5,b = 3 b) f: f (x) =x +4; a = 4,b =1 h) f: = x 5x 4; a = 4,b = c) f: f (x) = 1,5x ; a =3, b =7 i) f: f (x) = 0,1x 3 +; a =0, b = 4 d) f: f (x) = 0,5 x +5; a =,b =1 j) f: = 3x +4; a = 1,b = 1 e) f: f (x) =x +1; a =0, b =4 k) f: f (x) = x 3 1; a = 5,b = 3 f) f: f (x) = 1 x 3 +3; a =,b =4 l) f: f (x) =; a = 1,b = 1 4 Berechnen Sie die Maßzahl der dargestellten Fläche. a) c) f (x) x x 8 f (x) x x x x b) d) f (x) x x 8 f (x) x x 1 1 x

24 3. Anwendungen der Integralrechnung Anwendungen der Integralrechnung 3..1 Das Integral als Flächenmaß Fläche oberhalb der Abszissenachse Die bisher mithilfe des bestimmten Integrals berechneten Flächen befanden sich oberhalb der Abszissenachse. Sie wurden eingegrenzt durch einen oberhalb der Abszissenachse verlaufenden Graphen einer Randfunktion, der Abszissenachse und zwei Parallelen durch x = a und x = b. Das bestimmte Integral von a bis b der Randfunktion f mit f (x) gibt dann direkt die gesuchte Flächenmaßzahl I an. Für 0 über dem Intervall [a ; b] gilt: I = b f (x)dx a Situation 1 Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen von f: f (x) =x und der Abszissenachse über dem Intervall [1; ]. I = x x dx = = = 7 3 f (x) =x

25 08 3 Integralrechnung Fläche unterhalb der Abszissenachse Situation Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen von f: = x und der Abszissenachse über dem Intervall [1; ]. Die beschriebene Fläche ist mit der aus Situation 1 identisch, befindet sich aber unterhalb der Abszissenachse. Die Berechnung des Integrals 1 x d x = x f (x) = x = = 7 3 führt nun aber zu einem negativen Ergebnis. Weil Flächeninhalte nicht negativ sein können, wird das bestimmte Integral mit Betragszeichen versehen, sodass das Ergebnis positiv wird: I = 1 x d x = x = = 7 3 = 7 3 Für f (x) 0 über dem Intervall [a ; b] gilt I = b f (x) dx a Fläche z.t. oberhalb und z. T. unterhalb der x-achse Der Graph einer Funktion verläuft in einem Intervall [a; b] sowohl oberhalb als auch unterhalb der Abszissenachse, wenn er im Intervall [a; b] mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel aufweist. Die Fläche zwischen Funktionsgraph und Abszissenachse befindet sich dann ober- und unterhalb der Abszissenachse. Die Berechnung des bestimmten Integrals von a bis b würde in diesem Fall die Flächenbilanz liefern, d. h. unter Berücksichtigung der Vorzeichen würden sich die Teilflächen unter- und oberhalb der Abszissenachse zum Teil oder ganz aufheben. Um die Maßzahl der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der Abszissenachse richtig zu bestimmen, muss man die einzelnen Teilflächen getrennt berechnen und addieren. Die Flächen unterhalb der Abszissenachse werden dabei mithilfe des Betragszeichens bestimmt. Die Integrationsgrenzen ergeben sich aus den Nullstellen (mit VZW) x 1, x,,x n der Funktion.

26 3. Anwendungen der Integralrechnung 09 Wenn der Graph von f über dem Intervall (a; b) Nullstellen mit Vorzeichenwechsel x 1, x,,x n hat, ist I = x1 a dx + x x 1 f (x)dx + + b x n f (x)dx Wenn die Flächen oberhalb der Abzissenachse liegen, können die Betragszeichen entfallen. Situation 3 Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen von f: f (x) = x 5x 4 und der Abszissenachse über dem Intervall [ 5; 0]. Die Integrationsgrenzen der einzelnen Integrale ergeben sich aus den Nullstellen der Funktion im Intervall [ 5; 0]. 0= x 5x 4 0=x +5x +4 x 1/ = 5 ± 5 x 1 = 4 x = f (x) = x 5x 4 I = 4 ( x 5x 4)dx I = x x 4x 4 I = I = 49 6 = 8, x 3 ( x 5x 4)dx + 0 ( x 5x 4)dx x 4x x x 4x 0 1 Man beachte den Unterschied: Wären bei dieser Aufgabe die Betragszeichen nicht gesetzt und einfach das Integral: 0 ( x 5x 4)dx berechnet worden, so wäre das Ergebnis = 5 die Differenz aus den 6 5 Flächeninhalten unterhalb und oberhalb der Abszissenachse gewesen, oder anders ausgedrückt, das Ergebnis = 5 ist die Flächenbilanz. 6

27 10 3 Integralrechnung Es ist also genau die Aufgabenstellung zu beachten: Ist die Maßzahl einer Fläche oder ein Integral zu berechnen? Die Berechnung der Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen und der Abszissenachse führt (wie in Situation 3) zu dem Ergebnis Die Berechnung des Integrals ( x 5x 4)dx führt zu dem Ergebnis Geometrische Deutung des Integrals: Wenn der Graph einer Funktion f über einem Intervall (a; b) die Abszissenachse schneidet, ist b f (x)dx die Summe der Flächeninhalte der Flächen oberhalb der Abszissenachse minus der Summe a der Flächeninhalte unterhalb der Abszissenachse (Flächenbilanz). Übungsaufgaben 1 Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen der Randfunktion f und der x-achse über dem Intervall [a; b]. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion und kennzeichnen Sie die berechnete Fläche. a) f: f (x) = ; [ 1;1] i) f: = 1 3 x x +3; [0;5] b) f: f (x) = 3x 1; [; 4] j) f: f (x) = 0,5 x + x +3; [1;5] c) f: f (x) =x +; [ 3; 1] k) f: f (x) = 1 8 x + 1 x + 3 ; [1; 5] d) f: f (x) =1 x; [0; 0,5] l) f: f (x) = 9 x 4 x +; 3 [0;5] e) f: = x 1; [ 1;1] m) f: f (x) = x3 3 +x 3x 1; [1;4] f) f: f (x) =(x +) ; [ 1; ] n) f: = x 3 +3x +; [ 1,5;1] g) f: = x +4x; [0; 1] o) f: = 1 3 x3 +x 3x; [1; 4] h) f: f (x) =x 3x; [; 4] p) f: f (x) =x 4 4x ; [ ; ] Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen der Randfunktion und der Abszissenachse über dem Intervall [a; b]. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion und kennzeichnen Sie die berechnete Fläche. a) f: =1 x; [ 1; ] f) f: = x + x; [ 1; 3] b) f: f (x) =x x; [ 1; ] g) f: f (x) =x 3 x; [ 1; 1] c) f: =x 4x; [ 1; ] h) f: =x 3 x ; [ 1; 3] d) f: f (x) = 1 (x +3) ; [ 6; 0] i) f: =x 1 3 x3 ; [ ; 4] e) f: f (x) = 3 4 x 3x; [ 1; 3] j) f: =x 3 3x ; [ 3; 1]

28 3. Anwendungen der Integralrechnung 11 3 Berechnen Sie das angegebene Integral. 6 0 ( 1 x)dx 1 a) d) (x 3 + x )dx (x +)dx 1 b) e) (x 4 x 3 )dx 1 3 (x 4)dx c) f) (x 3 3x +3x 1)dx 0 4 Bestimmen Sie die Maßzahl der unterlegten Fläche. a) c) 0 x f (x) ax b x 1 f (x) ax b b) d) f (x) ax b 0 f (x) a(x b) 8 10 x 4 x 5 Die Segmente eines Abwasserkanals werden meterweise aus Beton gegossen. Wie viel Beton wird für ein Segment benötigt, wenn der Ausschnitt parabelförmig ist (Angabenincm)? Ein Eisenbahntunnel hat einen parabelförmigen Querschnitt. Wie viel m 3 Beton werden verbraucht, wenn der Tunnel nach nebenstehender Abbildung mit 5 m Länge gebaut wird (Angaben in m)?

29 1 3 Integralrechnung 7 Ein Maschinenbauteil hat folgendes Aussehen. Berechnen Sie die Fläche des Teils. 6 parabelförmiger Ausschnitt linearer Ausschnitt Ein Betonträger hat bei 8 m Länge folgenden Querschnitt. Wie viel m 3 Beton werden für den Bau des abgebildeten Trägers verbraucht, wenn der rechte Ausschnitt parabelförmig ist (Angaben in m)? 6, ,5 Flächen zwischen Funktionsgraphen Situation 4 Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche, die von den Graphen der Funktionen g: g (x) = 1 x x + 5 und h: h(x) =1 x + 5 eingeschlossen wird. Durch die Bestimmung der Schnittstellen der Funktionsgraphen miteinander erhält man die Integrationsgrenzen. Hierzu werden die Funktionsterme gleichgesetzt: g (x )=h(x ) 1 x x + 5 = 1 x + 5 0= 1 x 3 x g(x), h(x) 4 3 l g(x) 1 x x 5 h(x) 1 x 5 0=x 3x x 1 =0 x = x Die Maßzahl der Fläche I lässt sich nun bestimmen, indem die Fläche zwischen dem Graphen von h und der Abszissenachse über dem Intervall [0; 3] berechnet wird und davon die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen von g und der x-achse über dem Intervall [0; 3] subtrahiert wird (vgl. Abb.).

30 3. Anwendungen der Integralrechnung 13 I = 3 h(x)dx 3 g (x)dx 0 0 I = x + 5 dx x x + 5 dx 1 I = 4 x + 5 x x3 1 x + 5 x 3 0 I =,5 Die Maßzahl der Fläche zwischen den Funktionsgraphen von g und h wurde berechnet mit b b I = h (x) dx g (x)dx. a a Nach der Differenzregel der Integralrechnung kann dieser Ausdruck vereinfacht werden zu b I = [h (x) g (x)] dx. a Der Integrand ist nichts anderes als die Differenz zweier Funktionen, die man auch als Differenzfunktion f diff (x) =h (x) g (x) bezeichnet. Man kann dann also die Maßzahl der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen auch in der Weise bestimmen, dass die Differenzfunktion über dem angegebenen Intervall integriert wird: b I = f diff (x)dx. a Da die Funktionswerte der Differenzfunktion genau den Differenzen der Funktionswerte der Einzelfunktionen entsprechen, ist die Maßzahl der Fläche zwischen den Graphen der Funktionen g und h genau gleich der Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen der Differenzfunktion und der x-achse, obwohl die Flächen eine andere Form haben. f diff (x) g(x) 1 x x 5 h(x) 1 x 5 l f diff h g l x Der Ansatz zur Berechnung der Maßzahl einer Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen mithilfe der Differenzfunktion ist i. d. R. mit erheblich weniger Rechenaufwand verbunden. Es ist jedoch zu beachten, ob sich die Fläche zwischen dem Graphen der Differenzfunktion und der Abszissenachse nur oberhalb, nur unterhalb oder ober- und unterhalb der Abszissenachse befindet. Je nach Lage der Fläche(n) sind entsprechend Betragszeichen zu setzen.

31 14 3 Integralrechnung Situation 5 Berechnen Sie die Maßzahl der Fläche, die die Funktionsgraphen von g: g (x)=x 3 4x und h: h (x) = 5 x miteinander einschließen. 1. Aufstellen der Gleichung der Differenzfunktion: f diff (x)=g (x) h (x) = x 3 4x 5x = x 3 9x. Nullstellen der Differenzfunktion als Integrationsgrenzen 1) : f diff (x)=0 0=x 3 9x x 1 =0 x /3 = ±3 g(x), h(x) I I g(x) x 3 4x h(x) = 5x 3. Überlegungen zum Verlauf des Graphen der Differenzfunktion: Wegen des positiven Koeffizienten bei der höchsten Potenz verläuft der Graph von nach + mit den berechneten (einfachen) Nullstellen. 4. Berechnung der Maßzahlen der Teilflächen zwischen dem Graphen der Differenzfunktion und der Abszissenachse: ) 0 3 I = (x 3 9x)dx + (x 3 9x)dx I f diff (x) 0 f diff (x) x 3 9x I 3 I = x4 4 9 x x4 4 9 x I = 0,5 + 0,5 I = 40,5 1) Diese entsprechen den Schnittstellen von g und h miteinander. ) Diese entsprechen den Flächen zwischen g und h.