Visualisierung II 2. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Visualisierung II 2. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften"

Transkript

1 Visualisierung II 2. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften Vorlesung: Mi, 9:15 10:45, INF Prof. Dr. Heike Jänicke

2 Inhaltsverzeichnis 1. Daten in Biologie und Medizin 2. Volumenvisualisierung 3. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften 4. Raumteilungsverfahren 5. Analyse von Multivariaten Daten und Zeitreihen 6. Topologische Verfahren 7. Informationstheoretische Verfahren Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 2

3 Inhaltsverzeichnis 3. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften 1. Grundidee der Numerischen Strömungsmechanik (CFD) 2. Datenrepräsentation 3. Mathematische Beschreibung von Strömungen 4. Dateiformate Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 3

4 Inhaltsverzeichnis 3. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften 1. Grundidee der Numerischen Strömungsmechanik (CFD) 2. Datenrepräsentation 3. Mathematische Beschreibung von Strömungen 4. Dateiformate Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 4

5 Was ist CFD? CFD steht für Computational Fluid Dynamics, englisch für numerische Strömungsmechanik. CFD beschäftigt sich mit der Analyse und der approximativen numerischen Berechnung von strömungsmechanischen Problemen. Die beschriebenen Systeme beinhalten: fluide Strömungen Wärmeaustausch und damit verbundene Vorgänge wie chemische Reaktionen. ICE Simulation Automobilbau Flugzeugbau [Garth 2010] Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 5

6 Anwendungen CFD Francis Turbine [Ronny Peikert, ETH Zürich] Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 6

7 Anwendungen CFD Wetter- und Klimasimulation [Michael Böttinger, Deutsches Klimarechenzentrum DKRZ] Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 7

8 Warum CFD? Die Anschaffung und Wartung der Hardware, die für Strömungssimulationen benötigt wird, ist zum Teil sehr kostspielig (Hardware ca , Lizenzen für Strömungslöser ca ) [Versteeg 2007]. Trotzdem gibt es einige grundlegende Vorteile gegenüber herkömmlichen mechanischen Strömungsexperimente: Wesentliche geringere Kosten und Zeitverbrauch bei Neuentwicklungen. Möglichkeit große und komplexe Systeme unter kontrollierten Bedingungen zu studieren (Raumschiffsimulationen, Städtesimulationen). Simulation gefährlicher und tödlicher Szenarien (Sicherheitstudien, Unfallstudien, Ausbreitung von Giftstoffen). Praktisch unbegrenzte Genauigkeit der Ergebnisse (Raum, Zeit, Messung der Variablen). Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 8

9 CFD-Simulationen Anwender Vorverarbeitung Modellierung der Daten Eingabe in das CFD Programm Transformation in des interne Format CFD Löser (Finite Volumen Methode) Integration der Differentialgleichungen Diskretisierung Lösung mittels iterativer Methoden Nachverarbeitung (Visualisierung) Geometrie und Gitterdaten Darstellung der Variablen Integration von Partikeln/Flächen 50% der Arbeitszeit in einem Industrieprojekt Begrenzung der Berechnungsdomäne Modellierung des Gitters Beschreibung der Variablen und ihrer Zusammenhänge Bei korrekter Vorverarbeitung ist der Arbeitsaufwand in diesem Schritt sehr gering. Dauert jedoch durch die langen Rechenzeiten (selbst auf Großrechnern) sehr lang. Trotz der wachsenden Anzahl an Visualisierungswerkzeugen und ihrer zunehmend leichteren Handhabung, ist die Analyse der Daten immer noch ein sehr aufwendiger Aufgabenbereich. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 9

10 Erhaltungssätze Wichtig für die Modellierung von Strömungen sind die Erhaltungssätze der Physik: Massenerhaltung: Die Masse eines Fluids wird erhalten. Impulserhaltung (Zweites Newtonsches Gesetz): Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird. Energieerhaltung (1. Hauptsatz der Thermodynamik): Energie kann weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur in andere Energiearten umgewandelt werden. Für die Simulation wird das Fluid als Kontinuum betrachtet und Charakteristika auf Molekülebene werden vernachlässigt. Es werden hingegen makroskopische Eigenschaften des Fluid betrachtet: Geschwindigkeit Druck Dichte Temperatur Und deren Ableitungen in Raum und Zeit. Diese kann man sich als Mittelwerte von Molekülen in einem kleinen Volumen vorstellen. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 10

11 Modellierungsansätze Zur Modellierung von Strömungen gibt es drei weit verbreitete Ansätze: Finite-Differenzen-Methode (FDM) Einfachstes numerisches Verfahren zu Lösung von ODE und PDE. Der Raum wird durch ein kartesisches Gitter beschrieben und Ableitung an den Gitterpunkten durch finite Differenzen approximiert. Finite-Volumen-Methode (FVM) Numerisches Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen. Standardverfahren in der numerischen Strömungsmechanik zur Lösung kompressibler Strömungsprobleme. Unterteilung des Raumes in eine endliche (finite) Anzahl von Gitterzellen (Volumina) für welches jeweils die Erhaltungssätze gelten. Veränderungen der erhaltenen Größen ergeben sich als Ab- und Zufluss über den Rand. Finite-Elemente-Methode (FEM) Numerisches Verfahren zu Lösung von PDEs. Weit verbreitet in den Ingenieurwissenschaften, Standardwerkzeug für Festkörpersimulationen. Zumeist inkompressible Probleme. Auch hier wird der Raum in endlich kleine Volumina unterteilt auf denen Ansatzfunktionen definiert werden. Wir werden uns im Wesentlichen mit der FVM beschäftigen. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 11

12 Inhaltsverzeichnis 3. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften 1. Grundidee der Numerischen Strömungsmechanik (CFD) 2. Datenrepräsentation 3. Mathematische Beschreibung von Strömungen 4. Dateiformate Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 12

13 Unterteilung des Raums in Teilvolumina Klimasimulation (DKRZ) Automobilbau (BMW) [Garth 2010] Das Gitter für die Simulation wird entsprechend verschiedener Chrakteristika gewählt, z.b.: Form des eingeschlossenen Objekts. Lokale Strömungseigenschaften (feinere Modellierung in turbulenten Bereichen). Wirkungsbereich der Strömung. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften Flugzeugbau (DLR) 13

14 Aufbau eines volumetrischen Datensatzes Ein Datensatz für die wissenschaftliche Visualisierung (Daten mit Ortsbezug) besteht fast immer aus drei Teilen, die meist getrennt repräsentiert werden: Geometrie des Datensatzes: Eine diskrete Definitionsmenge D als Teilmenge des Beobachtungsraumes Rb Topologie des Datensatzes: Eine Nachbarschaftsrelation der Punkte der Definitionsmenge Attribute des Datensatzes: Funktion auf der Definitionsmenge Geometrie Topologie Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften Attribute 14

15 Unterscheidung von volumetrischen Datensätzen Datensätze unterscheidet man nach fünf Kriterien: Dimension des Beobachtungsraumes (b = 1, 2, 3, 4 oder höherdimensional) Struktur der Definitionsmenge (strukturiert vs. Unstrukturiert) Struktur der Nachbarschaftsrelation (leer scattered Data, strukturiert, unstrukturiert) Dimension der Nachbarschaftsrelation (Dimension der Zellen e = 2, 3, 4 oder mehr) Wertebereich der Funktionen (Skalare, Vektoren, Tensoren, multivariate Daten) Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 15

16 Lineare Interpolation Für die lineare Interpolation in beliebigen Zellen definiert man zuerst die Interpolation in einer normierte Referenzzellen. Im 1D ist dies die Strecke [v1, v2] mit v1 = 0 und v2 = 1. Koordinaten in der Referenzzelle [0,1]d (auch Referenzkoordinaten) werden mit folgenden Koordinaten bezeichnet r, s, t für d 3 und r1,..., rd für d > 3. Koordinaten im Ortsraum des Feldes mit x, y, z für d 3 und x1,..., xd für d > 3. Für die lokalen Basisfunktionen damit: 1,1 12 :[0, 1] ℝ für Strecken im 1D ergibt sich 1 1=1 r 1 2 =r f x2 f x1 x1 Zelle x2 Referenzzelle Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften Basisfunktionen 16

17 Lineare Interpolation Referenzzellen Interpolierte Werte können nun wie folgt berechnet werden: 2 f r = f i 1i r i=1 Gegeben sei nun eine beliebige 1D Zelle c = (p1, p2). Um auch in dieser Zelle interpolieren zu können benötigt man eine Abbildung T: [0,1] ℝ zwischen der Referenzzelle und der gegebenen Zelle: 2 1 x=t r = p i i r i =1 Für eine Zelle mit n Vertices im 3D ergibt sich für T: [0,1]³ ℝ n 1 x, y, z =T r, s, t = pi i r, s,t i= f x2 f x1 x1 Zelle x2 Referenzzelle Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften Basisfunktionen 17

18 Lineare Interpolation Interpolation in beliebigen Zellen Um die Daten in beliebigen Zellen interpolieren zu können benötigt man die inverse Transformation T-1, welche Punkte in der gegebenen Zelle auf die Referenzzelle abbildet. Damit ergibt sich für die Interpolation in einer 3D Zelle mit N Vertices: N 1 f x, y, z = f i i T i =1 1 x, y, z. Die inverse Transformation hängt stark vom jeweiligen Zelltyp ab und wird später behandelt. 1 Für die linearen Basisfunktionen i für ein Gitter bestehend aus den Messpunkten pj und den Zellen ci ergibt sich somit: 1i x, y, z = { 0, if x, y, z cells p i 1i T 1 x, y, z, if x, y, z c i Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften } 18

19 Hexaeder Eigenschaften: topologische Dimension s = 3 # Vertices nverts = 8 Positionen der Referenzzellen v 1 = 0, 0,0 v 5 = 0, 0,1 v 2 = 1, 0,0 v 6 = 1,0, 1 v3= 1,1, 0 v 7= 1, 1,1 Basisfunktionen 1 2 r, s,t =r 1 s 1 t 1 4 r, s, t = 1 r s 1 t 15 r, s,t = 1 r 1 s t 1 8 r, s,t = 1 r st 1 r, s,t = 1 r 1 s 1 t 1 7 r, s, t =rst Inverse Transformation r, s,t =r s 1 t 15 r, s,t =r 1 s t v 4= 0, 1,0 v8 = 0, 1,1 2 p p1 p2 p1 / p2 p1 1 T Hex x, y, z = r, s, t = p p1 p 4 p1 / p 4 p1 2 p p1 p 8 p1 / p8 p1 Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften T 19

20 Inhaltsverzeichnis 3. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften 1. Grundidee der Numerischen Strömungsmechanik (CFD) 2. Datenrepräsentation 3. Mathematische Beschreibung von Strömungen 4. Dateiformate Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 20

21 Der Nabla-Operator Der Nabla-Operator ist ein vektorwertiger Operator, dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren / xi sind: =,, x1 x 2 x 3 { } Angewendet auf ein Vektorfeld erhält man die Divergenz des Vektorfeldes: v = } Wendet man den Nabla-Operator auf eine skalare Feldgröße an ergibt sich das Gradientenfeld: T a a a a=,, =grad a x1 x 2 x 3 { T v1 v2 v3 =div v x1 x 2 x3 Das Vektorprodukt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld ergibt die Rotation: Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften { } v 3 v2 x2 x3 v1 v3 v = =rot v x3 x1 v 2 v1 x1 x2 21

22 Erhaltungssätze Wichtig für die Modellierung von Strömungen sind die Erhaltungssätze der Physik: Massenerhaltung: Die Masse eines Fluids wird erhalten. Impulserhaltung (Zweites Newtonsches Gesetz): Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird. Energieerhaltung (1. Hauptsatz der Thermodynamik): Energie kann weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur in andere Energiearten umgewandelt werden. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 22

23 Massenerhaltung Die Erhaltungssätze werden nun für die einzelnen Volumina betrachtet: Für die Massenerhaltung wird hierfür zuerst eine Massenbilanz aufgestellt: Wachstumsrate der Masse innerhalb des Fluidelements = x y z = x y z t t = Netto Massenfluss in das Fluidelement u v w x y z = x y z div u x y z mit Dichte ρ und Ausdehnung δ des Volumenelement in die verschiedenen Raumrichtungen. Für die rechte Seite wird der Fluss durch den Rand summiert. Zusammenfassend ergibt sich für die Massenerhaltung von instationären, kompressiblen 3D Fluiden: div u =0 t Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 23

24 Impuls- und Energieerhaltung Pratikelbetrachtung Die Impuls- und Energieerhaltung beziehen sich auf die Eigenschaften von Partikeln. Hier betrachten wir also nicht mehr lokal feste Volumina (Euler Betrachtung) sondern sich im Raum bewegende Partikel (Lagrangesche Betrachtung). Totales Differential: Gegeben sie eine differenzierbare Funktion f : M ℝ. Das totale Differential Df ist gegeben durch f d xi i=1 x i n Df = M ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Kursive d stehen für partielle Ableitung. Zeitl. Änderung eines Partikelmerkmals: Betrachten wir nun den Wert φ eines Merkmals pro Einheitsmasse. Das totale Differential von φ bezogen auf die Bewegungszeit eines Partikels mit Ursprungsposition (x,y,z) ist gegeben durch: D D x D y D z = Dt t x Dt y Dt z Dt Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 24

25 Impuls- und Energieerhaltung Pratikelbetrachtung Da die Partikel sich mit der Strömung bewegen gilt dx/dt = u, dy/dt = v und dz/dt = w. Somit gilt: D = u v w Dt t x y z = u grad t Betrachten wir nun die Summe der Änderungen aller Partikeleigenschaften in einem Einheitsvolumen, ergibt sich: oder in Worten D = u grad Dt t = div u t Wachstumsrate von φ für einen Strömungspartikel = Wachstumsrate Nettofluss + von φ aus dem von φ für ein Strömungselement Strömungselement Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 25

26 Impulserhaltung Nach dem Zweiten Newtonschen Gesetz gilt: Änderungen des Impulses eines Strömungspartikels Für die Änderung des Impulses in die drei Raumrichtungen gilt: = Summe der auf den Strömungspartikel wirkenden Kräfte Du Dt Dv Dt Dw Dt Bei den Kräften auf Strömungspartikel werden zwei Arten unterschieden: Oberflächenkräfte: Druck, Viskosität, Anziehungskraft Volumenkräfte: Zentrifugalkraft, Corioliskraft, elektromagnetische Kräfte Fügt man nun die Kräfte auf den Partikel ein, die durch Druck und Spannungen erzeugt werden, ergibt sich für die Impulsgleichung der x-komponente: Du p = div grad u S Mx Dt x p ist hierbei der Druck, μ die (dynamische) Viskosität und Smx fasst Impulsquellen (momentum sources) zusammen. Analoge Formeln gelten für die beiden anderen Raumrichtungen. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 26

27 Navier-Stokes Gleichungen Auf ähnliche Weise lässt sich auch die Energieerhaltung beschreiben. Zusammenfassend ergeben sich die Navier-Stokes-Gleichung (hier eine Darstellung, die für die Finite Volumen Methode besonders geeignet ist): Du p = div grad u S Mx Dt x Dv p = div grad v S My Dt y Dv p = div grad w S Mz Dt z Di = p div u div k grad T S i Dt i ist die interne Energie, p der Druck, u = u, v, w das Vektorfeld, T die Temperatur, Φ der Verlustfaktor und Si der Quellterm für die Energie. Zusätzlich werden Zustandsfunktionen für den Druck und die Energie benötigt, sowie Anfangs- und Randbedingung. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 27

28 CFD-Simulationen Anwender Vorverarbeitung Modellierung der Daten Eingabe in das CFD Programm Transformation in des interne Format CFD Löser (Finite Volumen Methode) Integration der Differentialgleichungen Diskretisierung Lösung mittels iterativer Methoden Nachverarbeitung (Visualisierung) Geometrie und Gitterdaten Darstellung der Variablen Integration von Partikeln/Flächen 50% der Arbeitszeit in einem Industrieprojekt Begrenzung der Berechnungsdomäne Modellierung des Gitters Beschreibung der Variablen und ihrer Zusammenhänge Bei korrekter Vorverarbeitung ist der Arbeitsaufwand in diesem Schritt sehr gering. Dauert jedoch durch die langen Rechenzeiten (selbst auf Großrechnern) sehr lang. Trotz der wachsenden Anzahl an Visualisierungswerkzeugen und ihrer zunehmend leichteren Handhabung, ist die Analyse der Daten immer noch ein sehr aufwendiger Aufgabenbereich. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 28

29 CFD-Löser Nach der mathematischen Formulierung des Problem muss nun eine numerische Lösung des Gleichungssystems gefunden werden. Wir werden hierfür die Finite Volumen Methode betrachten, die in vielen etablierten CFD-Lösern CFX/ANSYS, FLUENT, PHOENICS, STAR-CD, sowie den Codes von NASA und des DLR verwendet wird. FLUENT und OpenFOAM sind open-source Programme. Der numerische Löser besteht hierbei aus den folgen Schritten: Integration der Erhaltungsgleichungen über alle (finiten) Zellen des Volumens. Erfüllen die Zellen die Bedingungen des Gaußschen Integralsatzes (u.a. Lipschitz-Stetigkeit des Randes), so muss nicht über das gesamte Volumen, sondern nur über den Rand integriert werden: div v d n V = v n d n 1 S V S Diskretisierung Hierbei wird ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen aufgestellt, dass den Fluss im gesamten System anhand der Flüsse durch die einzelnen Teilvolumina beschreibt. Num. Lösung: Dieses kann mittels Verfahren für ODEs gelöst werden. Hier kommen iterative Methoden zum Einsatz. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 29

30 Inhaltsverzeichnis 3. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften 1. Grundidee der Numerischen Strömungsmechanik (CFD) 2. Datenrepräsentation 3. Mathematische Beschreibung von Strömungen 4. Dateiformate Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 30

31 Aufbau eines volumetrischen Datensatzes Ein Datensatz für die wissenschaftliche Visualisierung (Daten mit Ortsbezug) besteht fast immer aus drei Teilen, die meist getrennt repräsentiert werden: Geometrie des Datensatzes: Eine diskrete Definitionsmenge D als Teilmenge des Beobachtungsraumes Rb Topologie des Datensatzes: Eine Nachbarschaftsrelation der Punkte der Definitionsmenge Attribute des Datensatzes: Funktion auf der Definitionsmenge Geometrie Topologie Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften Attribute 31

32 Dateiformate Im Folgenden wollen wir uns kurz zwei gängige Formate für unstrukturierte Daten ansehen: VTK NetCDF Beide Formate können auch für Daten auf strukturierten Gittern verwendet werden. Ferner werden eine Vielzahl weiterer Dateiformate verwendet, häufig schreibt jeder CFD-Löser ein eigenes Format raus. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 32

33 Header vtk Version Kommentar Dateiformat (ASCII, BINARY) Geometrie (abhängig von Gittertyp): - Gittertyp, hier unstrukturiert, deswegen: - Anzahl der Punkte - Position der Punkte im 3D Topologie (für unstrutkurierte Gitter): - Anzahl der Zellen, Anzahl Werte - Anzahl Positionen, Positionen - Zelltypen Attributwerte (zell- oder punktbasiert, es können mehrere Attribute in einer Datei gespeichert werden): - Anzahl der Positionen/Zellen - SCALARS/VECTORS Name Datentyp Anzahl - Werte Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften # vtk DataFile Version 2.0 Solution: mesh_smag, Timestep 40 ASCII DATASET UNSTRUCTURED_GRID POINTS float e e e e e e e e e e e e e e e e e e CELLS CELL_TYPES POINT_DATA SCALARS pressure float 1 LOOKUP_TABLE default e e e e e VECTORS velocity float e e e e e e e e e

34 Zelltypen im VTK-Format Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 34

35 NetCDF Dateiformat NetCDF steht für Network Common Data Format und wurde für wissenschaftliche Daten entwickelt. NetCDF wird vor allem in der Klimatologie und in Geoinformationssystemen verwendet, ist jedoch ein sehr generisches Format, dass auch andere Daten speichern kann. Sie sind gut geeignet für strukturierte Daten mit vielen Variablen und/oder Zeitschritten. Eine NetCDF-Datei besteht aus: Header: Dieser enthält Metainformation zu den Daten, u.a. Dimensionen: Name und Anzahl der Gitterpunkte entlang einer Dimension (Raum oder Zeit). Variablen: Beschreibung der Dimensionen und der Attribute. Daten: Jeder Variable hat einen Namen unter welchem für jede Position ein Wert gespeichert ist. NetCDF unterstützt auch Fehlwerte. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 35

36 NetCDF Datei eines Wetterdatensatzes Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften Header Geometrie Topologie Attributwerte 36

37 NetCDF-Header für eine Autosimulation Beschreibung des Gitters Attributwerte netcdf Car { netcdf Car { dimensions: dimensions: no_of_points = ; no_of_points = ; variables: no_of_tetraeders = ; double x_mergedataset_tensorfield(no_of_points) ; points_per_tetraeder = 4 ; double y_mergedataset_tensorfield(no_of_points) ; no_of_prisms = ; double z_mergedataset_tensorfield(no_of_points) ; points_per_prism = 6 ; } no_of_pyramids = ; points_per_pyramid = 5 ; variables: double points_xc(no_of_points) ; Header double points_yc(no_of_points) ; double points_zc(no_of_points) ; Geometrie int points_of_tetraeders(no_of_tetraeders, points_per_tetraeder) ; Topologie int points_of_prisms(no_of_prisms, points_per_prism) ; Attributwerte int points_of_pyramids(no_of_pyramids, points_per_pyramid) ; } Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 37

38 Referenzen C. Garth und K.I. Joy. Fast, Memory-Efficient Cell Location in Unstructured Grids for Visualization. IEEE TVCG, H.K. Versteeg und W. Malalasekera. An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method. Pearson Education Limited, F. Durst. Grundlagen der Strömungsmechanik: Eine Einführung in die Theorie der Strömungen von Fluiden. Springer, J. Lighthill. An Informal Introduction to Theoretical Fluid Mechanics. Oxford Science Publications, G. K. Batchelor. An Introduction to Fluid Mechanics. Cambridge University Press, 1969 Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 38

1. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften

1. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften Visualisierung in Natur- und Technikwissenschaften 1. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften Vorlesung: Mi, 11:15 12:45 + Fr, 9:15 10:45, INF 368 532 Prof. Dr. Heike Leitte Inhaltsverzeichnis 1. Daten

Mehr

Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation

Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation Visualisierung I 3. Datentypen und Datenrepräsentation Vorlesung: Mi, 9:00 11:00, INF 368 532 Übung: Do, 14:00 16:00, INF 350 OMZ R U011 JProf. Heike Jänicke http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/covis/

Mehr

FB IV Mathematik Universität Trier. Präsentation von Nadja Wecker

FB IV Mathematik Universität Trier. Präsentation von Nadja Wecker FB IV Mathematik Universität Trier Präsentation von Nadja Wecker 1) Einführung Beispiele 2) Mathematische Darstellung 3) Numerischer Fluss für Diffusionsgleichung 4) Konvergenz 5) CFL-Bedingung 6) Zusammenfassung

Mehr

Einführung. Vita Rutka. Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009

Einführung. Vita Rutka. Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009 Einführung Vita Rutka Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009 Was ist FEM? Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung,

Mehr

Visualisierung in Natur- und Technikwissenschaften. 0. Einführung. Vorlesung: Mi, 11:15 12:45 + Fr, 9:15 10:45, INF 368 532 Prof. Dr.

Visualisierung in Natur- und Technikwissenschaften. 0. Einführung. Vorlesung: Mi, 11:15 12:45 + Fr, 9:15 10:45, INF 368 532 Prof. Dr. Visualisierung in Natur- und Technikwissenschaften 0. Einführung Vorlesung: Mi, 11:15 12:45 + Fr, 9:15 10:45, INF 368 532 Prof. Dr. Heike Leitte Vertiefung Computergraphik und Visualisierung Jürgen Hesser

Mehr

Simulation von räumlich verteilten kontinuierlichen Modellen

Simulation von räumlich verteilten kontinuierlichen Modellen Vorlesungsreihe Simulation betrieblicher Prozesse Simulation von räumlich verteilten kontinuierlichen Modellen Prof. Dr.-Ing. Thomas Wiedemann email: wiedem@informatik.htw-dresden.de HOCHSCHULE FÜR TECHNIK

Mehr

Rüdiger Schwarze. CFD-Modellierung. Grundlagen und Anwendungen bei Strömungsprozessen

Rüdiger Schwarze. CFD-Modellierung. Grundlagen und Anwendungen bei Strömungsprozessen CFD-Modellierung Rüdiger Schwarze CFD-Modellierung Grundlagen und Anwendungen bei Strömungsprozessen Rüdiger Schwarze Technische Universität Bergakademie Freiberg Freiberg Deutschland Zusätzliches Material

Mehr

Kevin Caldwell. 18.April 2012

Kevin Caldwell. 18.April 2012 im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig

Mehr

1. Methode der Finiten Elemente

1. Methode der Finiten Elemente 1. Methode der Finiten Elemente 1.1 Innenraumprobleme 1.2 Außenraumprobleme 1.3 Analysen 1.4 Bewertung Prof. Dr. Wandinger 5. Numerische Methoden Akustik 5.1-1 1.1 Innenraumprobleme 1.1.1 Schwache Formulierung

Mehr

Vergleich und Adaption verschiedener Modellierungskonzepte zur numerischen Simulation von Wärmeübergangsphänomenen bei Motorbauteilen

Vergleich und Adaption verschiedener Modellierungskonzepte zur numerischen Simulation von Wärmeübergangsphänomenen bei Motorbauteilen Vergleich und Adaption verschiedener Modellierungskonzepte zur numerischen Simulation von Wärmeübergangsphänomenen bei Motorbauteilen DIPLOMARBEIT zur Erlangung des akademischen Grades DIPLOMINGENIEUR

Mehr

Visuelle Darstellungen

Visuelle Darstellungen 1 Visuelle Darstellungen Vom CFD-Modell zur Streamline-Dartstellung Ein Vortrag im Rahmen des Seminars Hydrodynamik des Blutes TU Dortmund Fakultät Physik 2 Inhalt Was sind Visuelle Darstellungen? Erstellung

Mehr

A Vortex Particle Method for Smoke, Fire, and Explosions

A Vortex Particle Method for Smoke, Fire, and Explosions Hauptseminar WS 05/06 Graphische Datenverarbeitung A Vortex Particle Method for Smoke, Fire, and Explosions ( Ein Wirbel-Partikel Ansatz für Rauch, Feuer und Explosionen ) Martin Petrasch Inhalt 1. Überblick

Mehr

Vergleich von Computational Fluid Dynamics-Programmen in der Anwendung auf Brandszenarien in Gebäuden. Frederik Rabe, Anja Hofmann, Ulrich Krause

Vergleich von Computational Fluid Dynamics-Programmen in der Anwendung auf Brandszenarien in Gebäuden. Frederik Rabe, Anja Hofmann, Ulrich Krause Vergleich von Computational Fluid Dynamics-Programmen in der Anwendung auf Brandszenarien in Gebäuden Frederik Rabe, Anja Hofmann, Ulrich Krause Gliederung Einleitung Grundlagen Grundlagen CFD NIST FDS

Mehr

CFD * in der Gebäudetechnik

CFD * in der Gebäudetechnik CFD * in der Gebäudetechnik * CFD = Computational Fluid Dynamics Innenraumströmung Systemoptimierung Weitwurfdüsen Anordnung von Weitwurfdüsen in einer Mehrzweckhalle Reinraumtechnik Schadstoffausbreitung

Mehr

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum

6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6 ALLGEMEINE THEORIE DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES IM VAKUUM 25 Vorlesung 060503 6 Allgemeine Theorie des elektromagnetischen Feldes im Vakuum 6.1 Grundaufgabe der Elektrodynamik Gegeben: Ladungsdichte

Mehr

Visualisierung II 5. Skalartopologie

Visualisierung II 5. Skalartopologie Visualisierung II 5. Skalartopologie Vorlesung: Mi, 9:15 10:45, INF 368 532 Prof. Dr. Heike Jänicke http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/covis/ Inhaltsverzeichnis 1. Daten in Biologie und Medizin 2.

Mehr

Numerische Berechnungen der Windumströmung des ZENDOME 150. Dr.-Ing. Leonid Goubergrits Dipl.-Ing. Christoph Lederer

Numerische Berechnungen der Windumströmung des ZENDOME 150. Dr.-Ing. Leonid Goubergrits Dipl.-Ing. Christoph Lederer Numerische Berechnungen der Windumströmung des ZENDOME 150 Dr.-Ing. Leonid Goubergrits Dipl.-Ing. Christoph Lederer 03.08.2007 1. Hintergrund Die Windlast auf den ZENDOME 150 bei Windgeschwindigkeiten

Mehr

Computational Fluid Dynamics - CFD Overview

Computational Fluid Dynamics - CFD Overview Computational Fluid Dynamics - CFD Overview Claus-Dieter Munz Universität Stuttgart, Institut für Aerodynamik und Gasdynamik Pfaffenwaldring 21, 70550 Stuttgart Tel. +49-711/685-63401 (Sekr.) Fax +49-711/685-63438

Mehr

Einleitung Das VTK-Datenformat Automatisierung mit Python. 3D-Modellierung. Florian Buchegger, Michael Haberleitner. 11. Dez.

Einleitung Das VTK-Datenformat Automatisierung mit Python. 3D-Modellierung. Florian Buchegger, Michael Haberleitner. 11. Dez. 3D-Modellierung Florian Buchegger, Michael Haberleitner 11. Dez. 2015 1/14 Programm Einführung in das VTK-Datenformat Kleinere Objekte direkt im VTK-Format erzeugen Einführung in Python Einfache Python-Programme

Mehr

Tag der Umweltmeteorologie 12.05.2015. Michael Kunz

Tag der Umweltmeteorologie 12.05.2015. Michael Kunz Tag der Umweltmeteorologie 12.05.2015 Michael Kunz Beschleunigung von Ausbreitungsmodellen durch Portierung auf Grafikkarten Einleitung Das GRAL/GRAMM-System Cuda-GRAL Ergebnisse Vergleich der Modellergebnisse

Mehr

Elektromagnetische Felder

Elektromagnetische Felder Heino Henke Elektromagnetische Felder Theorie und Anwendung 3., erweiterte Auflage Mit 212 Abbildungen und 7 Tabellen * J Springer Inhaltsverzeichnis Zur Bedeutung der elektromagnetischen Theorie 1 1.

Mehr

Ölverteilung im Getriebe Netzlose CFD bietet Potenzial

Ölverteilung im Getriebe Netzlose CFD bietet Potenzial Ölverteilung im Getriebe Netzlose CFD bietet Potenzial Vortragender: Dr. Christof Rachor, MSC Software 26. Januar 2012 5. Simulationsforum Nord MSC Software und NEXT LIMIT TECHNOLOGIES Partnerschaft seit

Mehr

Interesse an numerischer Simulation für Vorgänge in Wärme- bzw. Kältespeichern

Interesse an numerischer Simulation für Vorgänge in Wärme- bzw. Kältespeichern Interesse an numerischer Simulation für Vorgänge in Wärme- bzw. Kältespeichern Thorsten Urbaneck, Bernd Platzer, Rolf Lohse Fakultät für Maschinenbau Professur Technische Thermodynamik 1 Quelle: Solvis

Mehr

Kopplung von CFD und Populationsbilanz zur Simulation der Tropfengrößenverteilung in gerührten Systemen

Kopplung von CFD und Populationsbilanz zur Simulation der Tropfengrößenverteilung in gerührten Systemen Kopplung von CFD und Populationsbilanz zur Simulation der Tropfengrößenverteilung in gerührten Systemen A.Walle 1,J. Heiland 2,M. Schäfer 1,V.Mehrmann 2 1 TUDarmstadt, Fachgebietfür Numerische Berechnungsverfahren

Mehr

Optimierung um ein Formula-Student-Auto mittels TOSCA-Fluid

Optimierung um ein Formula-Student-Auto mittels TOSCA-Fluid Optimierung um ein Formula-Student-Auto mittels TOSCA-Fluid Studienarbeit im Studiengang Virtual Engineering an der Dualen Hochschule Baden-Württemberg Mosbach von Karl Hantschmann Christopher Horlebein

Mehr

Computer Aided Engineering

Computer Aided Engineering Computer Aided Engineering André Dietzsch 03Inf Übersicht Definition Teilgebiete des CAE CAD FEM Anwendungen Was hat das mit Rechnernetzen zu tun? André Dietzsch 03Inf Computer Aided Engineering 2 Definition

Mehr

Divergenz und Rotation von Vektorfeldern

Divergenz und Rotation von Vektorfeldern Divergenz und Rotation von Vektorfeldern Mit Hilfe des Nabla-Operators können nun zwei weitere wichtige elementare Operationen definiert werden, welche formal der Bildung des Skalarproduktes bzw. des äußeren

Mehr

Angewandte Strömungssimulation

Angewandte Strömungssimulation Angewandte Strömungssimulation 2. Vorlesung Stefan Hickel Numerische Strömungsberechnung CFD vereinfacht das Design: einfache aber langwierige Experimente können ersetzt werden es können Lösungen zu Problemen

Mehr

Grundlagen der Numerischen Thermouiddynamik CFD 1

Grundlagen der Numerischen Thermouiddynamik CFD 1 Grundlagen der Numerischen Thermouiddynamik CFD 1 Skriptum zur Vorlesung Dr. J. Sesterhenn Fachgebiet Numerische Fluiddynamik Technische Universität Berlin Wintersemester 2009/2010 ii Inhaltsverzeichnis

Mehr

5.1 Einführung. 5.2 Die Raumdiskretisierung. Vorlesungsskript Hydraulik II 5-1

5.1 Einführung. 5.2 Die Raumdiskretisierung. Vorlesungsskript Hydraulik II 5-1 Vorlesungsskript Hydraulik II 5-5 Numerische Methoden Das vorliegende Kapitel dient dazu, numerische Methoden unabhängig vom Anwendungsgebiet einzuführen. Es soll die Grundzüge der verschiedenen Verfahren

Mehr

Berechnung der Fahrzeugaeroakustik

Berechnung der Fahrzeugaeroakustik Berechnung der Fahrzeugaeroakustik Reinhard Blumrich Forschungsinstitut für Kraftfahrwesen und Fahrzeugmotoren Stuttgart Workshop "Mess- und Analysetechnik in der ", 29.-30.09.2009, Stuttgart. R. Blumrich,

Mehr

Schnelle und flexible Stoffwertberechnung mit Spline Interpolation für die Modellierung und Optimierung fortschrittlicher Energieumwandlungsprozesse

Schnelle und flexible Stoffwertberechnung mit Spline Interpolation für die Modellierung und Optimierung fortschrittlicher Energieumwandlungsprozesse Hochschule Zittau/Görlitz, Fakultät Maschinenwesen, Fachgebiet Technische Thermodynamik M. Kunick, H. J. Kretzschmar, U. Gampe Schnelle und flexible Stoffwertberechnung mit Spline Interpolation für die

Mehr

Animation ist das Erzeugen von Filmen mit Hilfe der Computergrafik. Objekte bewegen sich hierbei oder Beleuchtung, Augpunkt, Form,... ändern sich.

Animation ist das Erzeugen von Filmen mit Hilfe der Computergrafik. Objekte bewegen sich hierbei oder Beleuchtung, Augpunkt, Form,... ändern sich. Kapitel 1 Animation (Belebung) Animation ist das Erzeugen von Filmen mit Hilfe der Computergrafik. Objekte bewegen sich hierbei oder Beleuchtung, Augpunkt, Form,... ändern sich. Anwendungen findet die

Mehr

Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder

Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder DGL Schwingung Physikalische Felder Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder Johannes Wiedersich 23. April 2008 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/

Mehr

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2-1 Stoffliches Gleichgewicht Beispiel Stickstoff Sauerstoff: Desweiteren

Mehr

1. Übung zu "Numerik partieller Differentialgleichungen"

1. Übung zu Numerik partieller Differentialgleichungen 1. Übung zu "Numerik partieller Differentialgleichungen" Simon Gawlok, Eva Treiber Engineering Mathematics and Computing Lab 22. Oktober 2014 1 / 15 1 Organisatorisches 2 3 4 2 / 15 Organisatorisches Ort:

Mehr

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2-1 Stoffliches Gleichgewicht Beispiel Stickstoff Sauerstoff: Desweiteren

Mehr

Anwendung von Computational Fluid Dynamics bei der Auslegung von Industrieöfen

Anwendung von Computational Fluid Dynamics bei der Auslegung von Industrieöfen Anwendung von Computational Fluid Dynamics bei der Auslegung von Industrieöfen Roman Weber 18. November 2014 Informationsveranstaltung Verfahrenstechnik und Chemieingenieurwesen in der Stahlindustrie und

Mehr

Strömungslehre II. Inhaltsverzeichnis. Vorlesung im Wintersemester 2007/08. Prof. Dr.-Ing. Ewald Krämer

Strömungslehre II. Inhaltsverzeichnis. Vorlesung im Wintersemester 2007/08. Prof. Dr.-Ing. Ewald Krämer Strömungslehre II Inhaltsverzeichnis Vorlesung im Wintersemester 2007/08 Prof. Dr.-Ing. Ewald Krämer 1 8. Der Energiesatz Die 3 fundamentalen Bewegungsgleichungen der Strömungsmechanik Massenerhaltungssatz

Mehr

( ) Strömungsmechanische Grundlagen. Erhaltungsgleichungen. τ ρ. Kontinuitätsbedingung: Impulserhaltung: Energieerhaltung: Stofferhaltung:

( ) Strömungsmechanische Grundlagen. Erhaltungsgleichungen. τ ρ. Kontinuitätsbedingung: Impulserhaltung: Energieerhaltung: Stofferhaltung: Technische Universität Kaiserslautern Strömungssimulation mit FLUENT Daniel Conrad TU Kaiserslautern Lehrstuhl für Strömungsmechanik und Strömungsmaschinen Kontinuitätsbedingung: Impulserhaltung: ( ) =

Mehr

Untersuchungen zum korrelationsbasierten Transitionsmodell in ANSYS CFD

Untersuchungen zum korrelationsbasierten Transitionsmodell in ANSYS CFD Masterarbeit Studiendepartment Fahrzeugtechnik und Flugzeugbau Untersuchungen zum korrelationsbasierten Transitionsmodell in ANSYS CFD Michael Fehrs 04. Oktober 2011 VI Inhaltsverzeichnis Kurzreferat Aufgabenstellung

Mehr

Modellierung und Simulation der gekoppelten 3Phasenströmung des PUR-Fasersprühverfahrens

Modellierung und Simulation der gekoppelten 3Phasenströmung des PUR-Fasersprühverfahrens 2. Norddeutsches Simulationsforum 27.05.2010, HAW Hamburg Modellierung und Simulation der gekoppelten 3Phasenströmung des PUR-Fasersprühverfahrens Prof. Dr.-Ing. Peter Wulf HAW Hamburg Dipl.-Ing.(FH) Patrick

Mehr

Sei Φ(x, y, z) ein skalares Feld, also eine Funktion, deren Wert in jedem Raumpunkt definiert ist.

Sei Φ(x, y, z) ein skalares Feld, also eine Funktion, deren Wert in jedem Raumpunkt definiert ist. Beim Differenzieren von Vektoren im Zusammenhang mit den Kreisbewegungen haben wir bereits gesehen, dass ein Vektor als dreiwertige Funktion a(x, y, z) aufgefasst werden kann, die an jedem Punkt im dreidimensionalen

Mehr

Die Burgers Gleichung

Die Burgers Gleichung Die Burgers Gleichung Vortrag im Rahmen der Vorlesung Spektralmethoden Elena Frenkel Samuel Voit Balthasar Meyer 29. Mai 2008 1 Einfürung Ein kurzer Überblick Physikalische Motivation 2 Cole-Hopf Transformation

Mehr

Numerische Fluidmechanik

Numerische Fluidmechanik Numerische Fluidmechanik Vorlesungsumdruck 1 mit Übersichten und ausgewählten Vorlesungsfolien sowie Übungsaufgaben und kompakter Einführung in die CFD Inhaltsverzeichnis Übersichten... 1 Inhaltsübersicht

Mehr

Lattice Boltzmann Simulation bewegter Partikel

Lattice Boltzmann Simulation bewegter Partikel Lattice Boltzmann Simulation bewegter Partikel, Nils Thürey, Hans-Joachim Schmid, Christian Feichtinger Lehrstuhl für Systemsimulation Universität Erlangen/Nürnberg Lehrstuhl für Partikeltechnologie Universität

Mehr

Magnetics 4 Freaks Alles rund um den Elektromagnetismus Wintersemester 2011/12

Magnetics 4 Freaks Alles rund um den Elektromagnetismus Wintersemester 2011/12 Magnetics 4 Freaks Alles rund um den Elektromagnetismus Wintersemester 2011/12 Willkommen an der Reinhold Würth Hochschule in Künzelsau Die Kolloquiumsreihe von Hochschule und Industrie Prof. Dr.-Ing.

Mehr

Schnelle und konsistente Stoffwertberechnung mit Spline Interpolation Arbeiten innerhalb der IAPWS Task Group "CFD Steam Property Formulation"

Schnelle und konsistente Stoffwertberechnung mit Spline Interpolation Arbeiten innerhalb der IAPWS Task Group CFD Steam Property Formulation M. Kunick, H. J. Kretzschmar Hochschule Zittau/Görlitz, Fachgebiet Technische Thermodynamik, Zittau Schnelle und konsistente Stoffwertberechnung mit Spline Interpolation Arbeiten innerhalb der IAPWS Task

Mehr

Inhaltsverzeichnis. TEIL I: Einführung in EXCEL

Inhaltsverzeichnis. TEIL I: Einführung in EXCEL Inhaltsverzeichnis TEIL I: Einführung in EXCEL 1 Das Tabellenkalkulationsprogramm EXCEL... 1 1.1 Tabellenkalkulation... 1 1.2 Anwendungsgebiete... 1 1.3 Hilfefunktionen... 2 2 Benutzeroberflächen der Versionen

Mehr

Finite Elemente in Materialwissenschaften

Finite Elemente in Materialwissenschaften Finite Elemente in Materialwissenschaften Dieter Süss Institut für Festkörperphysik (8. Stock gelb) Vienna University of Technology dieter.suess@tuwien.ac.at http:/// http:///suess/papers Outline Geschichte

Mehr

Kapitel 1. Einführung. 1.1 Vorbemerkungen

Kapitel 1. Einführung. 1.1 Vorbemerkungen 1 Kapitel 1 Einführung 1.1 Vorbemerkungen In Fluiddynamik, Energie- und Verfahrenstechnik spielen Transport- und Austauschprozesse eine grosse Rolle. Sie erscheinen in einer unüberschaubaren Vielfalt:

Mehr

Arbeit und Leistung. 2mgs/2 = mgs. m g. m g. mgs = const. m g. 2m g. .. nmgs/n = mgs

Arbeit und Leistung. 2mgs/2 = mgs. m g. m g. mgs = const. m g. 2m g. .. nmgs/n = mgs Arbeit und Leistung s s m g m g mgs = mgs s/2 mgs = const. s 2m g m g 2mgs/2 = mgs.. nmgs/n = mgs Arbeit und Leistung Arbeit ist Kraft mal Weg Gotthardstraße Treppe und Lift Feder Bergsteiger/Wanderer

Mehr

Newtonsche Strömungen

Newtonsche Strömungen Newtonsche Strömungen 5 In Abschn. 3.3 sind mathematische Modelle für Strömungen Newtonscher Fluide vorgestellt worden. In diesem Kapitel werden nun die Lösungsverfahren diskutiert, mit denen (3.17) (3.19)

Mehr

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung Kapitel 3 Dynamische Systeme Definition 31: Ein Differentialgleichungssystem 1 Ordnung = f(t, y) ; y R N ; f : R R N R N heißt namisches System auf dem Phasenraum R N Der Parameter t wird die Zeit genannt

Mehr

Materialien WS 2014/15 Dozent: Dr. Andreas Will.

Materialien WS 2014/15 Dozent: Dr. Andreas Will. Master Umweltingenieur, 1. Semester, Modul 42439, Strömungsmechanik, 420607, VL, Do. 11:30-13:00, R. 3.21 420608, UE, Do. 13:45-15:15, R. 3.17 Materialien WS 2014/15 Dozent: Dr. Andreas Will will@tu-cottbus.de

Mehr

EXCEL in der Wirtschaftsmathematik

EXCEL in der Wirtschaftsmathematik Hans Benker EXCEL in der Wirtschaftsmathematik Anwendung von Tabellenkalkulationsprogrammen für Studenten, Dozenten und Praktiker Springer Vieweg Inhaltsverzeichnis TEIL I: Einführung in EXCEL 1 Das Tabellenkalkulationsprogramm

Mehr

1.3 Ein paar Standardaufgaben

1.3 Ein paar Standardaufgaben 1.3 Ein paar Standardaufgaben 15 1.3 Ein paar Standardaufgaben Einerseits betrachten wir eine formale und weitgehend abgeschlossene mathematische Theorie. Sie bildet einen Rahmen, in dem man angewandte

Mehr

Mathematik des Hybriden Monte-Carlo. Marcus Weber. Zuse Institute Berlin

Mathematik des Hybriden Monte-Carlo. Marcus Weber. Zuse Institute Berlin Mathematik des Hybriden Monte-Carlo Marcus Weber Zuse Institute Berlin Statistische Thermodynamik Ziel: Am Computer ein Ensemble samplen. Messung im Gleichgewicht (zeitunabhängige Verteilung π der Systemzustände

Mehr

Kreisprozesse und Wärmekraftmaschinen: Wie ein Gas Arbeit verrichtet

Kreisprozesse und Wärmekraftmaschinen: Wie ein Gas Arbeit verrichtet Kreisprozesse und Wärmekraftmaschinen: Wie ein Gas Arbeit verrichtet Unterrichtsmaterial - schriftliche Informationen zu Gasen für Studierende - Folien Fach Schultyp: Vorkenntnisse: Bearbeitungsdauer Thermodynamik

Mehr

Ein Eingitter-Ansatz für aeroakustische Simulationen bei kleinen Machzahlen

Ein Eingitter-Ansatz für aeroakustische Simulationen bei kleinen Machzahlen ERCOFTAC-Technologietag, Stuttgart 2005 p. 1 Ein für aeroakustische Simulationen bei kleinen Machzahlen Achim Gordner und Prof. Gabriel Wittum Technische Simulation Universiät Heidelberg ERCOFTAC-Technologietag,

Mehr

1 Einleitung 1 1.1 Motivation... 1 1.2 Zielsetzung... 4 1.3 Aufbau und Gliederung der Arbeit... 5

1 Einleitung 1 1.1 Motivation... 1 1.2 Zielsetzung... 4 1.3 Aufbau und Gliederung der Arbeit... 5 1 Einleitung 1 1.1 Motivation.................................... 1 1.2 Zielsetzung................................... 4 1.3 Aufbau und Gliederung der Arbeit...................... 5 2 Hygromechanische

Mehr

Vektoren und Tensoren in der Technischen Physik

Vektoren und Tensoren in der Technischen Physik Modulbeschrieb Vektoren und Tensoren in der Technischen Physik Allgemeine Informationen Anzahl ECTS-Credits 3 Modulkürzel FTP_Tensors Version 19.02.2015 Modulverantwortliche/r Christoph Meier, BFH Sprache

Mehr

Running R. Windows Aus Menü. Lese R Code ein führt den Code auch gleich aus, eventuell muss vorher das Verzeichnis gewechselt werden.

Running R. Windows Aus Menü. Lese R Code ein führt den Code auch gleich aus, eventuell muss vorher das Verzeichnis gewechselt werden. Einführung 1 / 1 Einführung 2/1 Running R Windows Aus Menü Linux Lese R Code ein führt den Code auch gleich aus, eventuell muss vorher das Verzeichnis gewechselt werden. Auf der Konsole/Eingabeaufforderung:

Mehr

Computersimulation physikalischer Phänomene mit der Finite- Elemente-Methode

Computersimulation physikalischer Phänomene mit der Finite- Elemente-Methode K.Bräuer: Computersimulation physikalischer Phänomene mit der Finiten-Elemente-Methode 1 Computersimulation physikalischer Phänomene mit der Finite- Elemente-Methode Kurt Bräuer Privatdozent am Institut

Mehr

CFD-Simulation von Tonal- und Breitbandlärm als Folge u.a. von Schaufelschwingungen in Triebwerken

CFD-Simulation von Tonal- und Breitbandlärm als Folge u.a. von Schaufelschwingungen in Triebwerken www.dlr.de Folie 1 CFD-Simulation von Tonal- und Breitbandlärm als Folge u.a. von Schaufelschwingungen in Triebwerken Simulation von Vibration und Schall im Verkehrswesen Graham Ashcroft Numerische Methoden

Mehr

Anwendungsorientierte Einführung in die numerische

Anwendungsorientierte Einführung in die numerische TAE Technische Akademie Esslingen Ihr Partner für Weiterbildung seit 60 Jahren! Unterstützt durch das Ministerium für Finanzen und Wirtschaft Baden-Württemberg aus Mitteln des Europäischen Sozialfonds.

Mehr

9.Vorlesung EP WS2009/10

9.Vorlesung EP WS2009/10 9.Vorlesung EP WS2009/10 I. Mechanik 5. Mechanische Eigenschaften von Stoffen a) Deformation von Festkörpern b) Hydrostatik, Aerostatik c) Oberflächenspannung und Kapillarität 6. Hydro- und Aerodynamik

Mehr

Simulation der Wechselwirkung Fäden-Luft in Filamentprozessen

Simulation der Wechselwirkung Fäden-Luft in Filamentprozessen Simulation der Wechselwirkung Fäden-Luft in Filamentprozessen 21. Hofer Vliesstofftage 8. / 9. November 2006 Marco Günther Übersicht Fadenmodellierung und -dynamik Wechselwirkung Fäden-Luft Glaswolleproduktion

Mehr

CFD-Simulation von Störkörpern

CFD-Simulation von Störkörpern CFD-Simulation von Störkörpern Arbeitsgruppe 7.52 Neue Verfahren der Wärmemengenmessung Fachgebiet Fluidsystemdynamik - Strömungstechnik in Maschinen und Anlagen Vor-Ort-Kalibrierung von Durchflussmessgeräten

Mehr

Verbesserung der Langsamflugeigenschaften des Doppeldeckers FK-12 Comet mit Hilfe von Strömungssimulationen

Verbesserung der Langsamflugeigenschaften des Doppeldeckers FK-12 Comet mit Hilfe von Strömungssimulationen Verbesserung der Langsamflugeigenschaften des Doppeldeckers FK-12 Comet mit Hilfe von Strömungssimulationen Tim Federer, Peter Funk, Michael Schreiner, Christoph Würsch, Ramon Zoller Institut für Computational

Mehr

Grundlagen der Kinematik und Dynamik

Grundlagen der Kinematik und Dynamik INSTITUT FÜR UNFALLCHIRURGISCHE FORSCHUNG UND BIOMECHANIK Grundlagen der Biomechanik des Bewegungsapparates Grundlagen der Kinematik und Dynamik Dr.-Ing. Ulrich Simon Ulmer Zentrum für Wissenschaftliches

Mehr

4 Netzgenerierung. strukturierter Code. unstrukturierter Code

4 Netzgenerierung. strukturierter Code. unstrukturierter Code 38 4 Netzgenerierung Die Grundlage für jede numerische Strömungsberechnung ist die geometrische Diskretisierung des Problemgebietes. Das Rechennetz beeinflußt neben der Turbulenzmodellierung und der Genauigkeit

Mehr

Fluid Flow Visualization

Fluid Flow Visualization Fluid Flow Visualization Seminar im Sommersemester '99 Visualisierung in Informatik und Naturwissenschaften Referent: Markus Schmitt Einleitung Überblick Motivation, Charakterisierung, Begriffe Experimentelle

Mehr

Angewandte Strömungssimulation

Angewandte Strömungssimulation Angewandte Strömungssimulation 5. Praktikum Auswertung 6. Einführung in das Gruppenprojekt Stefan Hickel Vergleich y+=1 zu y+=10 Ergebnisse y+=1 y+=10 Ergebnisse y+=1 y+=10 Ergebnisse Ergebnisse y+=1 y+=10

Mehr

Einführung in die. Biomechanik. Zusammenfassung WS 2004/2005. Prof. R. Blickhan 1 überarbeitet von A. Seyfarth 2. www.uni-jena.

Einführung in die. Biomechanik. Zusammenfassung WS 2004/2005. Prof. R. Blickhan 1 überarbeitet von A. Seyfarth 2. www.uni-jena. Einführung in die Biomechanik Zusammenfassung WS 00/00 Prof. R. Blickhan überarbeitet von A. Seyfarth www.uni-jena.de/~beb www.lauflabor.de Inhalt. Kinematik (Translation und Rotation). Dynamik (Translation

Mehr

Simulation der Pendelrampe des Scherlibaches. 1 Einführung in Computed Fluid Dynamics (CFD)

Simulation der Pendelrampe des Scherlibaches. 1 Einführung in Computed Fluid Dynamics (CFD) Simulation der Pendelrampe des Scherlibaches Lukas Moser: ProcEng Moser GmbH 1 Einführung in Computed Fluid Dynamics (CFD) 1.1 Grundlagen der numerischen Strömungssimulation CFD steht für computed fluid

Mehr

Seite 1 von 2. Teil Theorie Praxis S Punkte 80+25 120+73 200+98 erreicht

Seite 1 von 2. Teil Theorie Praxis S Punkte 80+25 120+73 200+98 erreicht Seite 1 von 2 Ostfalia Hochschule Fakultät Elektrotechnik Wolfenbüttel Prof. Dr.-Ing. T. Harriehausen Bearbeitungszeit: Theoretischer Teil: 60 Minuten Praktischer Teil: 60 Minuten Klausur FEM für elektromagnetische

Mehr

Grundlagen der Monte Carlo Simulation

Grundlagen der Monte Carlo Simulation Grundlagen der Monte Carlo Simulation 10. Dezember 2003 Peter Hofmann Inhaltsverzeichnis 1 Monte Carlo Simulation.................... 2 1.1 Problemstellung.................... 2 1.2 Lösung durch Monte

Mehr

Grundlagen der 3D-Modellierung

Grundlagen der 3D-Modellierung April 28, 2009 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 Direkte Darstellungsschemata 3 Indirekte Darstellungsschemata 4 Parametrische Kurven und Freiformflächen 5 Abschluss Motivation Vom physikalischen Körper

Mehr

Simulation von kleinräumigen Windfeldern in alpinem Gelände

Simulation von kleinräumigen Windfeldern in alpinem Gelände imulation von kleinräumigen Windfeldern in alpinem Gelände Inhalt Einleitung CFD imulation lokaler Windfelder Modellgleichungen Problem der offenen Randbedingungen Turbulenzmodell Datenquellen für imulation

Mehr

Maschinenbau Erneuerbare Energien. Bachelorarbeit. Numerische Simulation zur Umströmung einer Photovoltaikanlage. Irmela Blaschke

Maschinenbau Erneuerbare Energien. Bachelorarbeit. Numerische Simulation zur Umströmung einer Photovoltaikanlage. Irmela Blaschke Beuth Hochschule für Technik Berlin University of Applied Sciences Fachbereich VIII Maschinenbau Erneuerbare Energien CFX Berlin Software GmbH Karl-Marx-Allee 90 10243 Berlin Bachelorarbeit Numerische

Mehr

Dialekte der Klimaforschung: Von den Ergebnisdaten zur Darstellung

Dialekte der Klimaforschung: Von den Ergebnisdaten zur Darstellung : Von den Ergebnisdaten zur Darstellung Michael Böttinger Deutsches Klimarechenzentrum Zahlen alleine sind in großer Menge unverständlich Ziele von Visualisierungen: Motivation Erkenntnisgewinn Interaktive

Mehr

Strömungsoptimierung von Feuerräumen mittels Experiment und Computational Fluid Dynamics (CFD)

Strömungsoptimierung von Feuerräumen mittels Experiment und Computational Fluid Dynamics (CFD) Zur Anzeige wird der QuickTime Dekompressor TIFF (LZW) benötigt. Strömungsoptimierung von Feuerräumen mittels Experiment und Computational Fluid Dynamics (CFD) Marc-André Baillifard Thomas Nussbaumer Hochschule

Mehr

Discontinuous Galerkin Verfahren in der CFD

Discontinuous Galerkin Verfahren in der CFD Discontinuous Galerkin Verfahren in der CFD Dr. Manuel Keßler Universität Stuttgart Status Quo - Aerodynamik Verfahren Finite Volumen Codes 2. Ordnung im Raum Zeitintegration 1.-4. Ordnung (Runge-Kutta

Mehr

Kapitel 0. Einführung. 0.1 Was ist Computergrafik? 0.2 Anwendungsgebiete

Kapitel 0. Einführung. 0.1 Was ist Computergrafik? 0.2 Anwendungsgebiete Kapitel 0 Einführung 0.1 Was ist Computergrafik? Software, die einen Computer dazu bringt, eine grafische Ausgabe (oder kurz gesagt: Bilder) zu produzieren. Bilder können sein: Fotos, Schaltpläne, Veranschaulichung

Mehr

Simulation von CO 2 -Schneestrahldüsen

Simulation von CO 2 -Schneestrahldüsen Simulation von CO 2 -Schneestrahldüsen Clemens Buske Dr. Volker Kassera CFD Consultants GmbH Sprollstraße 10/1 D-72108 Rottenburg Tel.: 07472 988688-18 www.cfdconsultants.de - Folie 1 / 33 - Überblick

Mehr

Diskussion zu den Möglichkeiten hydroakustischer Anwendung aeroakustischer Verfahren

Diskussion zu den Möglichkeiten hydroakustischer Anwendung aeroakustischer Verfahren Diskussion zu den Möglichkeiten hydroakustischer Anwendung aeroakustischer Verfahren Iris Pantle FG Strömungsmaschinen Uni Karlsruhe Hydroakustische Anwendung aeroakustischer Verfahren Agenda : Ziel Methoden

Mehr

3-D Finite Elemente zur Diskretisierung der Maxwell-Gleichungen

3-D Finite Elemente zur Diskretisierung der Maxwell-Gleichungen 3-D Finite Elemente zur Diskretisierung der Maxwell-Gleichungen Christoph Schwarzbach (TU Bergakademie Freiberg) schwarzb@geophysik.tu-freiberg.de Abstract Elektromagnetische Phänomene können mathematisch-physikalisch

Mehr

Raumbezogene Datenbanken (Spatial Databases)

Raumbezogene Datenbanken (Spatial Databases) Raumbezogene Datenbanken (Spatial Databases) Ein Vortrag von Dominik Trinter Alexander Christian 1 Inhalte Was ist ein raumbezogenes DBMS? Modellierung Abfragen Werkzeuge zur Implementierung Systemarchitektur

Mehr

Rührwerke im Faul- Stapelraum

Rührwerke im Faul- Stapelraum Rührwerke im Faul- Stapelraum Wie bekannt kam es in der Vergangenheit zu Wellenbrüchen an Vertikalrührwerken. Dies ist nicht nur in der Schweiz, sondern überall wo diese Technik eingebaut wurde. Es ist

Mehr

Angewandte Strömungssimulation

Angewandte Strömungssimulation Angewandte Strömungssimulation 8. Vorlesung Stefan Hickel Visualisierung Prinzipien zur sinnvollen Ergebnisdarstellung! Achsen immer beschriften Einheiten angeben! Bei Höhenliniendarstellungen und Konturdarstellungen

Mehr

Übungen zur Animation & Simulation. Übungsblatt 1

Übungen zur Animation & Simulation. Übungsblatt 1 Übungen zur Animation & Simulation SS 21 Prof. Dr. Stefan Müller et al. Übungsblatt 1 Aufgabe 1 (Die Newton schen Gesetze) Nennen und erklären Sie die Newton schen Gesetze. Aufgabe 2 (Kräfte und numerische

Mehr

3.4 Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten

3.4 Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten 3.3.5 Rechenregeln Für Skalarfelder f, g und Vektorfelder v, w gelten die Beziehungen fg) = f g + g f v w) = v ) w + w ) v + v w) + w v) f v) = f v + v f v w) = w v) v w) 3.5a) 3.5b) 3.5c) 3.5d) f) = div

Mehr

SolidWorks Flow Simulation Kursleiterhandbuch. Präsentator Datum

SolidWorks Flow Simulation Kursleiterhandbuch. Präsentator Datum SolidWorks Flow Simulation Kursleiterhandbuch Präsentator Datum 1 Was ist SolidWorks Flow Simulation? SolidWorks Flow Simulation ist ein Programm zur Fluidströmungsund Wärmeübertragungsanalyse, das nahtlos

Mehr

EM-Wellen. david vajda 3. Februar 2016. Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören:

EM-Wellen. david vajda 3. Februar 2016. Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören: david vajda 3. Februar 2016 Zu den Physikalischen Größen innerhalb der Elektrodynamik gehören: Elektrische Stromstärke I Elektrische Spannung U Elektrischer Widerstand R Ladung Q Probeladung q Zeit t Arbeit

Mehr

Angewandte Umweltsystemanalyse: Finite-Elemente-Methode (FEM)

Angewandte Umweltsystemanalyse: Finite-Elemente-Methode (FEM) Angewandte Umweltsystemanalyse: Finite-Elemente-Methode (FEM) Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz 1 Helmholtz Centre for Environmental Research UFZ, Leipzig 2 Technische Universität Dresden TUD, Dresden

Mehr

Einführung in die Numerik mit VBA

Einführung in die Numerik mit VBA Stefan Kolling Einführung in die Numerik mit VBA 2005 Fachhochschulverlag DER VERLAG FÜR ANGEWANDTE WISSENSCHAFTEN Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 1.1 Einige Grundbegriffe aus der EDV 2 1.1.1 Darstellung

Mehr

Hydrodynamik in der Astrophysik: Grundlagen, numerische Verfahren und Anwendungen. Vorlesung an der TU München Wintersemester 2012/13

Hydrodynamik in der Astrophysik: Grundlagen, numerische Verfahren und Anwendungen. Vorlesung an der TU München Wintersemester 2012/13 Hydrodynamik in der Astrophysik: Grundlagen, numerische Verfahren und Anwendungen Vorlesung an der TU München Wintersemester 2012/13 PD Dr. Ewald Müller Max-Planck-Institut für Astrophysik Karl-Schwarzschild-Straße

Mehr

Thermische und strömungstechnische Untersuchung zur Ertüchtigung historischer Kastenfenster im Rahmen des Projekts denkmalaktiv

Thermische und strömungstechnische Untersuchung zur Ertüchtigung historischer Kastenfenster im Rahmen des Projekts denkmalaktiv slide 1 Thermische und strömungstechnische Untersuchung zur Ertüchtigung historischer Kastenfenster im Rahmen des Projekts denkmalaktiv Institut für Wärmetechnik: Brandl Daniel Mach Thomas Institut für

Mehr