Visualisierung II 2. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften

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1 Visualisierung II 2. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften Vorlesung: Mi, 9:15 10:45, INF Prof. Dr. Heike Jänicke

2 Inhaltsverzeichnis 1. Daten in Biologie und Medizin 2. Volumenvisualisierung 3. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften 4. Raumteilungsverfahren 5. Analyse von Multivariaten Daten und Zeitreihen 6. Topologische Verfahren 7. Informationstheoretische Verfahren Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 2

3 Inhaltsverzeichnis 3. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften 1. Grundidee der Numerischen Strömungsmechanik (CFD) 2. Datenrepräsentation 3. Mathematische Beschreibung von Strömungen 4. Dateiformate Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 3

4 Inhaltsverzeichnis 3. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften 1. Grundidee der Numerischen Strömungsmechanik (CFD) 2. Datenrepräsentation 3. Mathematische Beschreibung von Strömungen 4. Dateiformate Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 4

5 Was ist CFD? CFD steht für Computational Fluid Dynamics, englisch für numerische Strömungsmechanik. CFD beschäftigt sich mit der Analyse und der approximativen numerischen Berechnung von strömungsmechanischen Problemen. Die beschriebenen Systeme beinhalten: fluide Strömungen Wärmeaustausch und damit verbundene Vorgänge wie chemische Reaktionen. ICE Simulation Automobilbau Flugzeugbau [Garth 2010] Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 5

6 Anwendungen CFD Francis Turbine [Ronny Peikert, ETH Zürich] Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 6

7 Anwendungen CFD Wetter- und Klimasimulation [Michael Böttinger, Deutsches Klimarechenzentrum DKRZ] Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 7

8 Warum CFD? Die Anschaffung und Wartung der Hardware, die für Strömungssimulationen benötigt wird, ist zum Teil sehr kostspielig (Hardware ca , Lizenzen für Strömungslöser ca ) [Versteeg 2007]. Trotzdem gibt es einige grundlegende Vorteile gegenüber herkömmlichen mechanischen Strömungsexperimente: Wesentliche geringere Kosten und Zeitverbrauch bei Neuentwicklungen. Möglichkeit große und komplexe Systeme unter kontrollierten Bedingungen zu studieren (Raumschiffsimulationen, Städtesimulationen). Simulation gefährlicher und tödlicher Szenarien (Sicherheitstudien, Unfallstudien, Ausbreitung von Giftstoffen). Praktisch unbegrenzte Genauigkeit der Ergebnisse (Raum, Zeit, Messung der Variablen). Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 8

9 CFD-Simulationen Anwender Vorverarbeitung Modellierung der Daten Eingabe in das CFD Programm Transformation in des interne Format CFD Löser (Finite Volumen Methode) Integration der Differentialgleichungen Diskretisierung Lösung mittels iterativer Methoden Nachverarbeitung (Visualisierung) Geometrie und Gitterdaten Darstellung der Variablen Integration von Partikeln/Flächen 50% der Arbeitszeit in einem Industrieprojekt Begrenzung der Berechnungsdomäne Modellierung des Gitters Beschreibung der Variablen und ihrer Zusammenhänge Bei korrekter Vorverarbeitung ist der Arbeitsaufwand in diesem Schritt sehr gering. Dauert jedoch durch die langen Rechenzeiten (selbst auf Großrechnern) sehr lang. Trotz der wachsenden Anzahl an Visualisierungswerkzeugen und ihrer zunehmend leichteren Handhabung, ist die Analyse der Daten immer noch ein sehr aufwendiger Aufgabenbereich. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 9

10 Erhaltungssätze Wichtig für die Modellierung von Strömungen sind die Erhaltungssätze der Physik: Massenerhaltung: Die Masse eines Fluids wird erhalten. Impulserhaltung (Zweites Newtonsches Gesetz): Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird. Energieerhaltung (1. Hauptsatz der Thermodynamik): Energie kann weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur in andere Energiearten umgewandelt werden. Für die Simulation wird das Fluid als Kontinuum betrachtet und Charakteristika auf Molekülebene werden vernachlässigt. Es werden hingegen makroskopische Eigenschaften des Fluid betrachtet: Geschwindigkeit Druck Dichte Temperatur Und deren Ableitungen in Raum und Zeit. Diese kann man sich als Mittelwerte von Molekülen in einem kleinen Volumen vorstellen. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 10

11 Modellierungsansätze Zur Modellierung von Strömungen gibt es drei weit verbreitete Ansätze: Finite-Differenzen-Methode (FDM) Einfachstes numerisches Verfahren zu Lösung von ODE und PDE. Der Raum wird durch ein kartesisches Gitter beschrieben und Ableitung an den Gitterpunkten durch finite Differenzen approximiert. Finite-Volumen-Methode (FVM) Numerisches Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen. Standardverfahren in der numerischen Strömungsmechanik zur Lösung kompressibler Strömungsprobleme. Unterteilung des Raumes in eine endliche (finite) Anzahl von Gitterzellen (Volumina) für welches jeweils die Erhaltungssätze gelten. Veränderungen der erhaltenen Größen ergeben sich als Ab- und Zufluss über den Rand. Finite-Elemente-Methode (FEM) Numerisches Verfahren zu Lösung von PDEs. Weit verbreitet in den Ingenieurwissenschaften, Standardwerkzeug für Festkörpersimulationen. Zumeist inkompressible Probleme. Auch hier wird der Raum in endlich kleine Volumina unterteilt auf denen Ansatzfunktionen definiert werden. Wir werden uns im Wesentlichen mit der FVM beschäftigen. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 11

12 Inhaltsverzeichnis 3. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften 1. Grundidee der Numerischen Strömungsmechanik (CFD) 2. Datenrepräsentation 3. Mathematische Beschreibung von Strömungen 4. Dateiformate Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 12

13 Unterteilung des Raums in Teilvolumina Klimasimulation (DKRZ) Automobilbau (BMW) [Garth 2010] Das Gitter für die Simulation wird entsprechend verschiedener Chrakteristika gewählt, z.b.: Form des eingeschlossenen Objekts. Lokale Strömungseigenschaften (feinere Modellierung in turbulenten Bereichen). Wirkungsbereich der Strömung. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften Flugzeugbau (DLR) 13

14 Aufbau eines volumetrischen Datensatzes Ein Datensatz für die wissenschaftliche Visualisierung (Daten mit Ortsbezug) besteht fast immer aus drei Teilen, die meist getrennt repräsentiert werden: Geometrie des Datensatzes: Eine diskrete Definitionsmenge D als Teilmenge des Beobachtungsraumes Rb Topologie des Datensatzes: Eine Nachbarschaftsrelation der Punkte der Definitionsmenge Attribute des Datensatzes: Funktion auf der Definitionsmenge Geometrie Topologie Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften Attribute 14

15 Unterscheidung von volumetrischen Datensätzen Datensätze unterscheidet man nach fünf Kriterien: Dimension des Beobachtungsraumes (b = 1, 2, 3, 4 oder höherdimensional) Struktur der Definitionsmenge (strukturiert vs. Unstrukturiert) Struktur der Nachbarschaftsrelation (leer scattered Data, strukturiert, unstrukturiert) Dimension der Nachbarschaftsrelation (Dimension der Zellen e = 2, 3, 4 oder mehr) Wertebereich der Funktionen (Skalare, Vektoren, Tensoren, multivariate Daten) Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 15

16 Lineare Interpolation Für die lineare Interpolation in beliebigen Zellen definiert man zuerst die Interpolation in einer normierte Referenzzellen. Im 1D ist dies die Strecke [v1, v2] mit v1 = 0 und v2 = 1. Koordinaten in der Referenzzelle [0,1]d (auch Referenzkoordinaten) werden mit folgenden Koordinaten bezeichnet r, s, t für d 3 und r1,..., rd für d > 3. Koordinaten im Ortsraum des Feldes mit x, y, z für d 3 und x1,..., xd für d > 3. Für die lokalen Basisfunktionen damit: 1,1 12 :[0, 1] ℝ für Strecken im 1D ergibt sich 1 1=1 r 1 2 =r f x2 f x1 x1 Zelle x2 Referenzzelle Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften Basisfunktionen 16

17 Lineare Interpolation Referenzzellen Interpolierte Werte können nun wie folgt berechnet werden: 2 f r = f i 1i r i=1 Gegeben sei nun eine beliebige 1D Zelle c = (p1, p2). Um auch in dieser Zelle interpolieren zu können benötigt man eine Abbildung T: [0,1] ℝ zwischen der Referenzzelle und der gegebenen Zelle: 2 1 x=t r = p i i r i =1 Für eine Zelle mit n Vertices im 3D ergibt sich für T: [0,1]³ ℝ n 1 x, y, z =T r, s, t = pi i r, s,t i= f x2 f x1 x1 Zelle x2 Referenzzelle Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften Basisfunktionen 17

18 Lineare Interpolation Interpolation in beliebigen Zellen Um die Daten in beliebigen Zellen interpolieren zu können benötigt man die inverse Transformation T-1, welche Punkte in der gegebenen Zelle auf die Referenzzelle abbildet. Damit ergibt sich für die Interpolation in einer 3D Zelle mit N Vertices: N 1 f x, y, z = f i i T i =1 1 x, y, z. Die inverse Transformation hängt stark vom jeweiligen Zelltyp ab und wird später behandelt. 1 Für die linearen Basisfunktionen i für ein Gitter bestehend aus den Messpunkten pj und den Zellen ci ergibt sich somit: 1i x, y, z = { 0, if x, y, z cells p i 1i T 1 x, y, z, if x, y, z c i Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften } 18

19 Hexaeder Eigenschaften: topologische Dimension s = 3 # Vertices nverts = 8 Positionen der Referenzzellen v 1 = 0, 0,0 v 5 = 0, 0,1 v 2 = 1, 0,0 v 6 = 1,0, 1 v3= 1,1, 0 v 7= 1, 1,1 Basisfunktionen 1 2 r, s,t =r 1 s 1 t 1 4 r, s, t = 1 r s 1 t 15 r, s,t = 1 r 1 s t 1 8 r, s,t = 1 r st 1 r, s,t = 1 r 1 s 1 t 1 7 r, s, t =rst Inverse Transformation r, s,t =r s 1 t 15 r, s,t =r 1 s t v 4= 0, 1,0 v8 = 0, 1,1 2 p p1 p2 p1 / p2 p1 1 T Hex x, y, z = r, s, t = p p1 p 4 p1 / p 4 p1 2 p p1 p 8 p1 / p8 p1 Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften T 19

20 Inhaltsverzeichnis 3. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften 1. Grundidee der Numerischen Strömungsmechanik (CFD) 2. Datenrepräsentation 3. Mathematische Beschreibung von Strömungen 4. Dateiformate Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 20

21 Der Nabla-Operator Der Nabla-Operator ist ein vektorwertiger Operator, dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren / xi sind: =,, x1 x 2 x 3 { } Angewendet auf ein Vektorfeld erhält man die Divergenz des Vektorfeldes: v = } Wendet man den Nabla-Operator auf eine skalare Feldgröße an ergibt sich das Gradientenfeld: T a a a a=,, =grad a x1 x 2 x 3 { T v1 v2 v3 =div v x1 x 2 x3 Das Vektorprodukt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld ergibt die Rotation: Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften { } v 3 v2 x2 x3 v1 v3 v = =rot v x3 x1 v 2 v1 x1 x2 21

22 Erhaltungssätze Wichtig für die Modellierung von Strömungen sind die Erhaltungssätze der Physik: Massenerhaltung: Die Masse eines Fluids wird erhalten. Impulserhaltung (Zweites Newtonsches Gesetz): Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird. Energieerhaltung (1. Hauptsatz der Thermodynamik): Energie kann weder erzeugt noch vernichtet, sondern nur in andere Energiearten umgewandelt werden. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 22

23 Massenerhaltung Die Erhaltungssätze werden nun für die einzelnen Volumina betrachtet: Für die Massenerhaltung wird hierfür zuerst eine Massenbilanz aufgestellt: Wachstumsrate der Masse innerhalb des Fluidelements = x y z = x y z t t = Netto Massenfluss in das Fluidelement u v w x y z = x y z div u x y z mit Dichte ρ und Ausdehnung δ des Volumenelement in die verschiedenen Raumrichtungen. Für die rechte Seite wird der Fluss durch den Rand summiert. Zusammenfassend ergibt sich für die Massenerhaltung von instationären, kompressiblen 3D Fluiden: div u =0 t Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 23

24 Impuls- und Energieerhaltung Pratikelbetrachtung Die Impuls- und Energieerhaltung beziehen sich auf die Eigenschaften von Partikeln. Hier betrachten wir also nicht mehr lokal feste Volumina (Euler Betrachtung) sondern sich im Raum bewegende Partikel (Lagrangesche Betrachtung). Totales Differential: Gegeben sie eine differenzierbare Funktion f : M ℝ. Das totale Differential Df ist gegeben durch f d xi i=1 x i n Df = M ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Kursive d stehen für partielle Ableitung. Zeitl. Änderung eines Partikelmerkmals: Betrachten wir nun den Wert φ eines Merkmals pro Einheitsmasse. Das totale Differential von φ bezogen auf die Bewegungszeit eines Partikels mit Ursprungsposition (x,y,z) ist gegeben durch: D D x D y D z = Dt t x Dt y Dt z Dt Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 24

25 Impuls- und Energieerhaltung Pratikelbetrachtung Da die Partikel sich mit der Strömung bewegen gilt dx/dt = u, dy/dt = v und dz/dt = w. Somit gilt: D = u v w Dt t x y z = u grad t Betrachten wir nun die Summe der Änderungen aller Partikeleigenschaften in einem Einheitsvolumen, ergibt sich: oder in Worten D = u grad Dt t = div u t Wachstumsrate von φ für einen Strömungspartikel = Wachstumsrate Nettofluss + von φ aus dem von φ für ein Strömungselement Strömungselement Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 25

26 Impulserhaltung Nach dem Zweiten Newtonschen Gesetz gilt: Änderungen des Impulses eines Strömungspartikels Für die Änderung des Impulses in die drei Raumrichtungen gilt: = Summe der auf den Strömungspartikel wirkenden Kräfte Du Dt Dv Dt Dw Dt Bei den Kräften auf Strömungspartikel werden zwei Arten unterschieden: Oberflächenkräfte: Druck, Viskosität, Anziehungskraft Volumenkräfte: Zentrifugalkraft, Corioliskraft, elektromagnetische Kräfte Fügt man nun die Kräfte auf den Partikel ein, die durch Druck und Spannungen erzeugt werden, ergibt sich für die Impulsgleichung der x-komponente: Du p = div grad u S Mx Dt x p ist hierbei der Druck, μ die (dynamische) Viskosität und Smx fasst Impulsquellen (momentum sources) zusammen. Analoge Formeln gelten für die beiden anderen Raumrichtungen. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 26

27 Navier-Stokes Gleichungen Auf ähnliche Weise lässt sich auch die Energieerhaltung beschreiben. Zusammenfassend ergeben sich die Navier-Stokes-Gleichung (hier eine Darstellung, die für die Finite Volumen Methode besonders geeignet ist): Du p = div grad u S Mx Dt x Dv p = div grad v S My Dt y Dv p = div grad w S Mz Dt z Di = p div u div k grad T S i Dt i ist die interne Energie, p der Druck, u = u, v, w das Vektorfeld, T die Temperatur, Φ der Verlustfaktor und Si der Quellterm für die Energie. Zusätzlich werden Zustandsfunktionen für den Druck und die Energie benötigt, sowie Anfangs- und Randbedingung. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 27

28 CFD-Simulationen Anwender Vorverarbeitung Modellierung der Daten Eingabe in das CFD Programm Transformation in des interne Format CFD Löser (Finite Volumen Methode) Integration der Differentialgleichungen Diskretisierung Lösung mittels iterativer Methoden Nachverarbeitung (Visualisierung) Geometrie und Gitterdaten Darstellung der Variablen Integration von Partikeln/Flächen 50% der Arbeitszeit in einem Industrieprojekt Begrenzung der Berechnungsdomäne Modellierung des Gitters Beschreibung der Variablen und ihrer Zusammenhänge Bei korrekter Vorverarbeitung ist der Arbeitsaufwand in diesem Schritt sehr gering. Dauert jedoch durch die langen Rechenzeiten (selbst auf Großrechnern) sehr lang. Trotz der wachsenden Anzahl an Visualisierungswerkzeugen und ihrer zunehmend leichteren Handhabung, ist die Analyse der Daten immer noch ein sehr aufwendiger Aufgabenbereich. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 28

29 CFD-Löser Nach der mathematischen Formulierung des Problem muss nun eine numerische Lösung des Gleichungssystems gefunden werden. Wir werden hierfür die Finite Volumen Methode betrachten, die in vielen etablierten CFD-Lösern CFX/ANSYS, FLUENT, PHOENICS, STAR-CD, sowie den Codes von NASA und des DLR verwendet wird. FLUENT und OpenFOAM sind open-source Programme. Der numerische Löser besteht hierbei aus den folgen Schritten: Integration der Erhaltungsgleichungen über alle (finiten) Zellen des Volumens. Erfüllen die Zellen die Bedingungen des Gaußschen Integralsatzes (u.a. Lipschitz-Stetigkeit des Randes), so muss nicht über das gesamte Volumen, sondern nur über den Rand integriert werden: div v d n V = v n d n 1 S V S Diskretisierung Hierbei wird ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen aufgestellt, dass den Fluss im gesamten System anhand der Flüsse durch die einzelnen Teilvolumina beschreibt. Num. Lösung: Dieses kann mittels Verfahren für ODEs gelöst werden. Hier kommen iterative Methoden zum Einsatz. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 29

30 Inhaltsverzeichnis 3. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften 1. Grundidee der Numerischen Strömungsmechanik (CFD) 2. Datenrepräsentation 3. Mathematische Beschreibung von Strömungen 4. Dateiformate Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 30

31 Aufbau eines volumetrischen Datensatzes Ein Datensatz für die wissenschaftliche Visualisierung (Daten mit Ortsbezug) besteht fast immer aus drei Teilen, die meist getrennt repräsentiert werden: Geometrie des Datensatzes: Eine diskrete Definitionsmenge D als Teilmenge des Beobachtungsraumes Rb Topologie des Datensatzes: Eine Nachbarschaftsrelation der Punkte der Definitionsmenge Attribute des Datensatzes: Funktion auf der Definitionsmenge Geometrie Topologie Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften Attribute 31

32 Dateiformate Im Folgenden wollen wir uns kurz zwei gängige Formate für unstrukturierte Daten ansehen: VTK NetCDF Beide Formate können auch für Daten auf strukturierten Gittern verwendet werden. Ferner werden eine Vielzahl weiterer Dateiformate verwendet, häufig schreibt jeder CFD-Löser ein eigenes Format raus. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 32

33 Header vtk Version Kommentar Dateiformat (ASCII, BINARY) Geometrie (abhängig von Gittertyp): - Gittertyp, hier unstrukturiert, deswegen: - Anzahl der Punkte - Position der Punkte im 3D Topologie (für unstrutkurierte Gitter): - Anzahl der Zellen, Anzahl Werte - Anzahl Positionen, Positionen - Zelltypen Attributwerte (zell- oder punktbasiert, es können mehrere Attribute in einer Datei gespeichert werden): - Anzahl der Positionen/Zellen - SCALARS/VECTORS Name Datentyp Anzahl - Werte Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften # vtk DataFile Version 2.0 Solution: mesh_smag, Timestep 40 ASCII DATASET UNSTRUCTURED_GRID POINTS float e e e e e e e e e e e e e e e e e e CELLS CELL_TYPES POINT_DATA SCALARS pressure float 1 LOOKUP_TABLE default e e e e e VECTORS velocity float e e e e e e e e e

34 Zelltypen im VTK-Format Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 34

35 NetCDF Dateiformat NetCDF steht für Network Common Data Format und wurde für wissenschaftliche Daten entwickelt. NetCDF wird vor allem in der Klimatologie und in Geoinformationssystemen verwendet, ist jedoch ein sehr generisches Format, dass auch andere Daten speichern kann. Sie sind gut geeignet für strukturierte Daten mit vielen Variablen und/oder Zeitschritten. Eine NetCDF-Datei besteht aus: Header: Dieser enthält Metainformation zu den Daten, u.a. Dimensionen: Name und Anzahl der Gitterpunkte entlang einer Dimension (Raum oder Zeit). Variablen: Beschreibung der Dimensionen und der Attribute. Daten: Jeder Variable hat einen Namen unter welchem für jede Position ein Wert gespeichert ist. NetCDF unterstützt auch Fehlwerte. Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 35

36 NetCDF Datei eines Wetterdatensatzes Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften Header Geometrie Topologie Attributwerte 36

37 NetCDF-Header für eine Autosimulation Beschreibung des Gitters Attributwerte netcdf Car { netcdf Car { dimensions: dimensions: no_of_points = ; no_of_points = ; variables: no_of_tetraeders = ; double x_mergedataset_tensorfield(no_of_points) ; points_per_tetraeder = 4 ; double y_mergedataset_tensorfield(no_of_points) ; no_of_prisms = ; double z_mergedataset_tensorfield(no_of_points) ; points_per_prism = 6 ; } no_of_pyramids = ; points_per_pyramid = 5 ; variables: double points_xc(no_of_points) ; Header double points_yc(no_of_points) ; double points_zc(no_of_points) ; Geometrie int points_of_tetraeders(no_of_tetraeders, points_per_tetraeder) ; Topologie int points_of_prisms(no_of_prisms, points_per_prism) ; Attributwerte int points_of_pyramids(no_of_pyramids, points_per_pyramid) ; } Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 37

38 Referenzen C. Garth und K.I. Joy. Fast, Memory-Efficient Cell Location in Unstructured Grids for Visualization. IEEE TVCG, H.K. Versteeg und W. Malalasekera. An Introduction to Computational Fluid Dynamics: The Finite Volume Method. Pearson Education Limited, F. Durst. Grundlagen der Strömungsmechanik: Eine Einführung in die Theorie der Strömungen von Fluiden. Springer, J. Lighthill. An Informal Introduction to Theoretical Fluid Mechanics. Oxford Science Publications, G. K. Batchelor. An Introduction to Fluid Mechanics. Cambridge University Press, 1969 Visualisierung II 3. Daten Umwelt-/Technikwissenschaften 38

1. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften

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