Gauß-Test und t-test im Einstichprobenfall

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1 Gauß-Test und t-test im Einstichprobenfall Motivation: Einsatz der Tests im Krankenhausmanagement Grundlagen zum Einstichproben-Gauß-Test und Einstichproben-t-Test Theorie zum Einstichproben-Gauß-Test Theorie zum Einstichproben-t-Test Test A: Beispiel zur Überwachung eines Marketingzieles Test B: Beispiel zur Kontrolle der Herstellerangabe zum Benzinverbrauch Test C: Beispiel zur Kontrolle von Verpackungsgewichten Motivation: Gauß-Test und Einstichproben-t-Test im Krankenhausmanagement Animationen zum Gauß-Test und zum Einstichproben-t-Test Motivation: Einsatz der Tests im Krankenhausmanagement In der Apotheke eines Krankenhauses werden zur Dosierung von flüssigen Substanzen im Bereich von 1-10 ml Pipetten verwendet. Der Apotheker prüft in regelmäßigen Abständen die Funktionsweise der Pipetten. Hierzu dosiert er mittels einer solchen Pipette 30-mal 10 ml einer Lösung und kontrolliert die Größe der Dosis über eine analytische Waage. Er stellt bei einer überprüften Pipette fest, dass sich eine mittlere Dosis von ml ergeben hat. Ist dieses Ergebnis Anlass dazu, die Pipette auszutauschen? Grundlagen zum Einstichproben-Gauß-Test und Einstichproben-t-Test Einführung Wie für das des (unbekannten) Erwartungswertes einen Test auf eines Merkmals gibt es auch für eine Vielzahl von praktischen Anwendungen. Ein Beispiel ist das obige aus dem Krankenhausmanagement. Weitere Bespiele sind: - Test auf den mittleren Benzinverbrauch eines bestimmten PKW-Typs - Test auf die mittlere Brenndauer von Glühbirnen - Test auf das mittlere Körpergewicht von Schulanfängern - Test auf dem mittleren IQ-Wert von Studierenden der Wirtschaftswissenschaft. Siehe auch die Beispiele 1, 2 und 3 aus Page 1

2 Modellannahmen Wir unterstellen, dass die Daten normalverteilt sind: seien unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit, und, kurz. Welche Auswirkungen ein Verstoß diese Annahmen haben kann, kann in den folgenden Applets studiert werden: Applet Robustheit t-test (a49.jar) Applet Robustheit Gauß-Test (a5f.jar) Hypothesen Die in den noch folgenden Beispielen betrachteten Testprobleme können allgemein mit einem in der konkreten Anwendung noch zu spezifizierenden Erwartungswert wie folgt formuliert werden: Test Test A: Test B: Test C: Hypothesen Hinsichtlich des Parameters müssen wir eine der folgenden Annahmen treffen: Annahme Annahme 1: Annahme 2: bekannt unbekannt. Theorie zum Einstichproben-Gauß-Test Page 2

3 als bekannt vorausgesetzt; eine i.d.r. nicht realistische Annahme. Prüfgröße Als Prüfgröße wählen wir (zunächst), die unter normalverteilt ist mit und, d.h. ist standardnormalverteilt,. Testentscheidung Test Test A Test B Test C Entscheidungsregel ablehnen, falls, ablehnen, falls ablehnen, falls Grafische Veranschaulichung der Testentscheidung Zur Verdeutlichung der Testentscheidung wird die Dichtefunktion von mit dem jeweiligen Entscheidungsbereich im Folgenden grafisch dargestellt. Bei einseitigen Testentscheidungen (Test A und Test B) geben hier bzw. den kritischen Wert an. Erst wenn der -Werte sind, wird -Wert der Stichprobe kleiner bzw. größer als die kritischen abgelehnt. Für die folgende Grafik (Test A) gilt:. Page 3

4 Entscheidungsbereich Test A Quelle: eigene Gestaltung Für die Darstellung von Test B gilt im Folgenden: : Page 4

5 Entscheidungsbereich Test B Quelle: eigene Gestaltung Da beim Test C die Nullhypothese keine Richtungsinformation enthält, liegt ein zweiseitiges Testproblem vor, d.h. zwei kritische Werte und müssen betrachtet werden. Da wegen der Symmetrie der Verteilung von gilt, ist die Entscheidungsregel zur Ablehnung von bei äquivalent. Erst wenn der Betrag des in der Stichprobe gefundenen -Wertes größer als ist, kann abgelehnt werden. Bei der folgenden grafischen Darstellung für Test C gilt:. Page 5

6 Entscheidungsbereich Test C Theorie zum Einstichproben-t-Test Im nun zu beschreibenden Einstichproben-t-Test wird als unbekannt vorausgesetzt; eine realistischere Annahme als die eines bekannten. Prüfgröße Da unbekannt ist, wird durch die erwartungstreue Schätzfunktion geschätzt (siehe ). Als Prüfgröße wählen wir dann Page 6

7 . Unter der Hypothese gilt :, weil ist. Die Prüfgröße folgt der -Verteilung mit Freiheitsgraden (FG - vgl. ). Die Zahl der Freiheitsgrade ist dadurch zu erklären, dass die Anzahl n der Beobachtungen um 1 reduziert wird, weil in der Formel für der (unbekannte) Parameter durch die Schätzung ersetzt wird. Die T-Verteilung ist eine um 0 symmetrische Verteilung mit einer Varianz, die vom Stichprobenumfang abhängt. Die Prüfgröße unterscheidet sich von der beim Gauß-Test gewählten Prüfgröße nur durch die Stichprobenstandardabweichung statt im Nenner. Der Unterschied in den Verteilungen zwischen den Prüfgrößen ( -Verteilung) und (Standardnormalverteilung) ist darin begründet, dass durch die Schätzung von eine weitere Zufallsvariable in der Prüfgröße auftaucht. Bei steigendem wird die Schätzung jedoch immer präziser und die -Verteilung nähert sich immer stärker der Normalverteilung an. Testentscheidung Test Test A Test B Test C Testentscheidung ablehnen, falls ablehnen, falls ablehnen, falls Grafische Veranschaulichung der Testentscheidung In Folgenden wird die Testentscheidung der drei Tests grafisch dargestellt. Zur Darstellung von Test A wird und FG=10 gewählt. Page 7

8 Entscheidungsbereich zu Test A Test B Zur Darstellung von Test B wird und FG=10 gewählt. Entscheidungsbereich zu Test B Test C Zur Darstellung der zweiseitigen Entscheidung von Test C wird ebenfalls und FG=10 gewählt. Entscheidungsbereich zu Test C Test A: Beispiel zur Überwachung eines Marketingzieles Im Folgenden wird ein Beispiel zur Darstellung von Test A gezeigt. Beispiel: Test A: Beispiel zur Überwachung eines Marketingzieles Medien Quelle: Microsoft Ein Medienversender bietet Bücher, Schallplatten, Videofilme und DVDs an. Innerhalb dieses Sortiments hat er eine Produktpalette mit dem Namen "Sternstunden von damals". Bei einer Überprüfung der Marketingziele dieser Produktpalette stellt er an einer Stichprobe von 100 Kunden fest, dass das mittlere Alter der Besteller 50 Jahre beträgt. Ursprünglich war geplant, dass diese Palette eine Kundengruppe mit einem mittleren Alter von mindestens 55 Jahren erreichen sollte. Um die in der Stichprobe gefundene Abweichung von seinem Ziel zu bewerten, bemüht er einen Statistiker. Der Statistiker soll nun prüfen, ob der ermittelte Wert noch zu der Annahme passt, dass das Kundenalter mindestens 55 Jahre beträgt. Deshalb führt der Statistiker einen Gauß-Test durch. Der Statistiker hat diesen Test gewählt, da aus vorigen Untersuchungen bekannt ist, dass die Standardabweichung des Alters der Besteller bei 12.5 Jahren liegt. Hypothesen Die zu testenden Hypothesen lauten also In diesem Beispiel ist. Es handelt sich hier um ein einseitiges Testproblem, und zwar um Test A. Einstichproben-Gauß-Test Um den Wert der Prüfgröße zu ermitteln, kann auf das bekannte zurückgegriffen werden. Laut Untersuchung ist der Stichprobenmittelwert und der zu testende Parameter. Es ergibt sich: als Wert der Prüfgröße. Testentscheidung bei Test A: ablehnen, falls Page 8

9 Wählen wir, muss wegen die Nullhypothese abgelehnt werden. Die folgende Grafik veranschaulicht diese Testentscheidung: Entscheidungsregel Test A Einstichproben-t-Test Nun nehmen wir an, dass unbekannt ist. Die Stichprobenstandardabweichung ergibt sich zu. Zur Ermittlung der Prüfgröße müssen die Werte des Beispiels in die entsprechende Formel eingesetzt werden. Es ergibt sich ein Wert von. Testentscheidung bei Test A: ablehnen, falls. Wählen wir so ist. Da im Beispiel ist, wird abgelehnt. Der Einstichproben-t-Test kommt hier zu derselben Testentscheidung wie der Einstichproben-Gauß-Test Die folgende Grafik veranschaulicht diese Testentscheidung: Titel / Beschreibung Am Institut für Soziologie einer Universität wird eine Untersuchung über den IQ-Wert von Studierenden der Soziologie an einer Stichprobe von 9 Studierenden durchgeführt. Zu testen ist, ob der mittlere IQ-Wert bei den Studierenden mindestens so groß ist wie der mittlere IQ-Wert in der Gesamtbevölkerung. Die Standardabweichung bei den Studierenden der Soziologie wird wie in der Gesamtbevölkerung mit angenommen. Die konkrete Stichprobe an den neun Studierenden ergab die folgenden Werte: 102, 94, 101, 99, 102, 90, 104, 103, 96. Stellen Sie die Nullhypothese auf und testen Sie unter der Annahme sowie unter der Annahme, dass unbekannt ist und aus der Stichprobe geschätzt werden muss. Vergleichen Sie die beiden Testergebnisse. Test B: Beispiel zur Kontrolle der Herstellerangabe zum Benzinverbrauch Im Folgenden wird ein Beispiel zur Darstellung von Test B gezeigt. Beispiel: Test B: Beispiel zur Kontrolle einer Herstellerangabe zum Benzinverbrauch Tankwart Quelle: Microsoft Ein Autohersteller behauptet, dass der Benzinverbrauch in Liter/100 km seines neuen Page 9

10 PKW-Typs höchstens 5.5 Liter beträgt. Der Hersteller gibt weiterhin die Standardabweichung des Verbrauchs mit an. Um die Hypothese des Herstellers zu überprüfen, werden zufällig neue PKWs aus der Produktionsserie ausgewählt. In einem Testversuch eines Automobilclubs wird der Benzinverbrauch in Liter/100 km bei diesen 10 PKWs gemessen. Es ergaben sich folgende Werte: 5.2, 5.6, 5.3, 5.7, 5.8, 5.4, 5.5, 5.8, 5.5, 5.9. Es ergibt sich. Eine grafische Darstellung der Daten kann in Form eines Boxplot vorgenommen werden und sieht folgendermaßen aus: Boxplot zu den Benzindaten Quelle: eigene Gestaltung Der Boxplot stellt die Daten in Form eines Rechteckes dar. Innerhalb des Rechteckes liegen 75% der Datenpunkte. Die schwarze Linie stellt den Mittelwert dar. Die größten bzw. die kleinsten Werte sind in Form von Linien abgetragen. Anhand dieses Boxplots sieht man, dass sich die Daten aus der Stichprobe relativ symmetrisch verteilen. Die extremen Datenpunkte sind bei 5.2 bzw Weitere Informationen zum Boxplot zeigt das Applet Boxplot (d79.jar). Hypothesen Zu testen sind also die Hypothesen: bei bekanntem. In diesem Beispiel ist. Es handelt sich um ein einseitiges Testproblem, und zwar um Test B. Einstichproben-Gauß-Test Zunächst gehen wir wieder davon aus, dass bekannt ist. Für die n=10 Daten des Benzinverbrauchs ergibt sich und damit für die Prüfgröße ein Wert von. Testentscheidung bei Test B: ablehnen, falls. Wird gewählt, dann ist der kritische Wert und wird nicht abgelehnt, weil = ist. Entscheidungsbereich Test B Der p-wert beträgt. Er übersteigt den vorgegebenen Wert von und bestätigt ebenfalls die Beibehaltung der Nullhypothese. Einstichproben-t-Test Page 10

11 Wir gehen nun davon aus, dass unbekannt ist. Für die n=10 Daten des Benzinverbrauchs ergibt sich und ist. Der Wert der Prüfgröße Testentscheidung bei Test B: ablehnen, falls. Wählen wir so ist, d.h. wird nicht abgelehnt, da ist. Der Einstichproben-t-Test kommt hier zu derselben Testentscheidung wie der Einstichproben-Gauß-Test. Entscheidungsbereiche Test B Die Schüler einer Klasse messen im Physikunterricht den elektrischen Widerstand (in Ohm). Zu testen ist, dass der Erwartungswert des (normalverteilten) Widerstandes höchstens den Wert hat. Eine Stichprobe vom Umfang ergab Stellen Sie die Nullhypothese auf und testen Sie sie unter der Annahme sowie unter der Annahme, dass unbekannt ist. In diesem Fall gehen Sie von den von folgenden 10 Werten einer vorliegenden Stichprobe aus: 100, 102, 99, 101, 98, 101, 103, 102, 100, 99. Vergleichen Sie die beiden Testergebnisse. Test C: Beispiel zur Kontrolle von Verpackungsgewichten Im Folgenden wird ein Beispiel zur Darstellung von Test C gezeigt. Beispiel: Test C: Beispiel zur Kontrolle von Verpackungsgewichten Mehldose Quelle: Microsoft Der Vertriebsleiter einer Getreidemühle geht davon aus, dass seine angebotenen Mehlpackungen ein mittleres Füllgewicht von rund 1000 Gramm mit einer Standardabweichung von Gramm haben. Irgendwann zweifelt der Vertriebsleiter jedoch an dieser Angabe. Er möchte die Angabe mit einem statistischen Test überprüfen. Eine genauere Untersuchung an Packungen zeigt, dass die Füllmenge im Durchschnitt Gramm beträgt. Soll der Vertriebsleiter mit der Produktionsleitung Kontakt aufnehmen? Hypothesen Die zu testenden Hypothesen lauten: Page 11

12 Im dem Beispiel ist. Es handelt sich somit hier um ein zweiseitiges Testproblem, Test C. Einstichproben-Gauß-Test Zunächst gehen wir wieder davon aus, dass bekannt ist. Um die Prüfgröße zu ermitteln, wird auf das bekannte zurückgegriffen. Laut Untersuchung ist der Stichprobenmittelwert testende Parameter. Es ergibt sich: als Wert der Prüfgröße. und der zu Testentscheidung bei Test C: ablehnen, falls Der kritische Wert ist für Der Wert der Prüfgröße ist, d.h. wird abgelehnt. Im Folgenden wird die Entscheidung grafisch veranschaulicht: Entscheidungsbereich Test C Einstichproben-t-Test Wir nehmen nun an, dass unbekannt ist. Um die Prüfgröße zu ermitteln, müssen die entsprechenden Werte eingesetzt werden. Laut Untersuchung ist der Stichprobenmittelwert und der zu testende Parameter. Weiterhin ist und. Es ergibt sich: als Wert der Prüfgröße. Testentscheidung bei Test C: ablehnen, falls Der kritische Wert ist Der Wert der Prüfgröße ist. Wegen wird abgelehnt. Der Einstichproben-t-Test kommt hier zu derselben Testentscheidung wie der Einstichproben-Gauß-Test. Page 12

13 Entscheidungsbereiche Test C Eine Brauerei füllt 0,5-Liter-Bierflaschen. Es ist zu testen, ob der Erwartungswert der normalverteilten Abfüllmenge gleich dem Sollwert ist, siehe Bamberg/Baur (2002, S.173). Eine Stichprobe vom Umfang ergab. Stellen Sie die Nullhypothese auf und testen Sie sie unter der Annahme sowie unter der Annahme, dass unbekannt ist. In diesem Fall gehen Sie von aus. Vergleichen Sie die beiden Testergebnisse. Aufgabe 1 bis 5 sind Multiple Choice Aufgaben. (Genau eine der vier Alternativen ist richtig) Aufgabe 1 Es seien normalverteilte Stichprobenvariablen mit,,. Dann gilt: Page 13

14 (a) ist normalverteilt mit und. (b) ist normalverteilt mit und. (c) ist nicht normalverteilt. (d) ist -verteilt. Lösungen ( : f50.doc ) Aufgabe 2 Es seien normalverteilte Stichprobenvariablen mit,,. Zu testen sei mit Hilfe der Prüfgröße. Dann ist der kritische Wert (a) (b) (c) (d) Lösungen ( : f83.doc ) Aufgabe 3 Es seien normalverteilte Stichprobenvariablen mit,,. Zu testen sei mit Hilfe der Prüfgröße. Dann werden (a)mit steigendem die kritischen Werte und kleiner. (b)mit fallendem der kritische Wert kleiner und der kritische Wert größer. (c)mit steigendem n die kritischen Werte und kleiner. (d)mit steigendem die kritischen Werte und größer. Lösungen ( : fd2.doc ) Aufgabe 4 Es seien normalverteilte Stichprobenvariablen mit,,. Zu testen sei mit Hilfe der Prüfgröße. Dann gilt: (a)zu große Werte von Z führen zur Ablehnung von. (b)je kleiner, desto eher wird bei festem abgelehnt. (c)je kleiner, desto eher wird bei festem abgelehnt. (d)für wird abgelehnt. Lösungen ( : I1019.doc ) Aufgabe 5 Es seien normalverteilte Stichprobenvariablen mit, Page 14

15 ,. Zu testen sei mit Hilfe der Prüfgröße. Dann sind für die kritischen Werte (a) und. (b) und. (c) und. (d) und. Lösungen ( : I1060.doc ) Die Aufgaben Aufgabe 6 Ein Hauseigentümerverband behauptet, dass für Zweizimmerwohnungen in einer bestimmten Stadt die Durchschnittsmiete höchstens 850 ist. Es wird angenommen, dass die Miete X normalverteilt und ist. Eine Stichprobe mit wird erhoben, die ergibt. Ist die Hypothese des Hauseigentümerverbandes aufgrund der Stichprobe abzulehnen, wenn bzw. gewählt wird? Wie ändert sich die Testentscheidung, wenn weiterhin,, aber ist? und Wie ändert sich die Testentscheidung, wenn weiterhin,, aber ist? und Lösungen ( : I10ad.doc ) Aufgabe 7 Eine Bäckerei gibt an, dass die von ihr hergestellten Brötchen ein Mindestgewicht von 50 g bei bekannter Standardabweichung haben. Ein Statistikstudent, der misstrauisch ist, kauft in der Bäckerei n=16 Brötchen und wiegt alle Brötchen. Er erhält folgende Werte (in g): (a) Formulieren Sie das Hypothesen-Problem. (b) Führen Sie den Gauß-Test durch. (c) Dem Studenten kommen bei seiner Auswertung Bedenken wegen des kleines Stichprobenumfangs von n=16. Er untersucht deshalb noch einmal das Brötchengewicht, diesmal für n=100 Brötchen. Er erhält denselben Mittelwert in der Stichprobe wie bei den n=16 Brötchen. Kommt er zur selben Testentscheidung wie in (b)? Lösungen ( : I10bc.doc ) Aufgabe 8 Kann ein Stichprobenergebnis bei festem zur Beibehaltung der Hypothese, Page 15

16 aber zur Ablehnung der Hypothese führen? Lösungen ( : I10d7.doc ) Aufgabe 9 Zu testen sei (unter Annahme einer Normalverteilung und bekannt): Ein Student der Statistik erhält aus einer Stichprobe vom Umfang den Wert. Für welche Werte führt sein Beobachtungsbefund nicht zur Ablehnung von? Lösungen ( : I10fa.doc ) Laboraufgabe Laboraufgabe öffnen ( I1101.zmpf ) Aufgabe 1 bis 5 sind Multiple Choice Aufgaben. (Genau eine der vier Alternativen ist richtig) Aufgabe 1 Es seien normalverteilte Stichprobenvariablen mit und unbekannte Varianz,. Dann gilt: eine Schätzung für die (a) ist -verteilt mit FG. (b) ist -verteilt mit (c) ist -verteilt mit (d) ist -verteilt mit FG. Lösungen ( : I1151.doc ) Aufgabe 2 Es seien normalverteilte Stichprobenvariablen mit und eine Schätzung für die unbekannte Varianz,. Zu testen sei mit Hilfe von. Dann ist der kritische Wert (a) Page 16

17 (b) (c) (d) Lösungen ( : I1188.doc ) Aufgabe 3 Es seien normalverteilte Stichprobenvariablen mit und eine Schätzung für die unbekannte Varianz,. Zu testen sei mit Hilfe der Prüfgröße. Dann werden (a)mit steigendem S die kritischen Werte und kleiner. (b)mit fallendem und festem n der kritische Wert kleiner und der kritische Wert größer. (c)mit steigendem die kritischen Werte und kleiner. (d)mit steigendem die kritischen Werte und größer. Lösungen ( : I11db.doc ) Aufgabe 4 Es seien normalverteilte Stichprobenvariablen mit und eine Schätzung für die unbekannte Varianz,. Zu testen sei mit Hilfe der Prüfgröße. Dann gilt: (a)zu große Werte von führen zur Ablehnung von. (b)je größer, desto weniger wird bei festem abgelehnt. (c)je größer, desto eher wird bei festem abgelehnt. (d)für wird nicht abgelehnt. Lösungen ( : I122a.doc ) Aufgabe 5 Es seien normalverteilte Stichprobenvariablen mit und eine Schätzung für die unbekannte Varianz,. Zu testen sei mit Hilfe der Prüfgröße. Dann sind für und die kritischen Werte (a) und. (b) und. (c) und. (d) und. Lösungen ( : I1279.doc ) Aufgabe 6 (a) Ein Hauseigentümerverband behauptet, das für Zweizimmerwohnungen in einer bestimmten Stadt die Durchschnittsmiete höchstens 850 ist. Es wird angenommen, dass die Miete X normalverteilt mit unbekanntem ist. Eine Stichprobe mit wird erhoben, die und ergibt. Ist die Hypothese des Hauseigentümerverbandes aufgrund der Stichprobe abzulehnen, wenn bzw. gewählt wird? Page 17

18 (b) Wie ändert sich in (a) die Testentscheidung, wenn weiterhin,, aber ist? und (c) Wie ändert sich in (a) die Testentscheidung, wenn weiterhin, aber ist? und Lösungen ( : I12c7.doc ) Aufgabe 7 Eine Bäckerei gibt an, dass die von ihr hergestellten Brötchen ein Mindestgewicht von 50 g mit unbekannter Standardabweichung haben. Ein Statistikstudent, der misstrauisch ist, kauft in der Bäckerei n=16 Brötchen und wiegt alle Brötchen. Er erhält folgende Werte (in g): (a) Formulieren Sie das Hypothesen-Problem. (b) Führen Sie den t-test durch.warum kommt man zu einer anderen Testentscheidung als in Aufgabe 7(b) beim Gauß-Test, obwohl derselbe Datensatz vorliegt? Lösungen ( : I12d2.doc ) Aufgabe 8 Zu testen sei (unter Annahme einer Normalverteilung und unbekannt): Ein Student der Statistik erhält aus einer Stichprobe vom Umfang den Wert und. Für welche Werte führt sein Beobachtungsbefund nicht zur Ablehnung von? Lösungen ( : I12f9.doc ) Laboraufgabe Laboraufgabe öffnen ( I1300.zmpf ) Motivation: Gauß-Test und Einstichproben-t-Test im Krankenhausmanagement In dem Fallbeispiel möchte der Apotheker eine Aussage darüber treffen, ob die untersuchte Pipette ausgetauscht werden sollte. Diese Aussagen sollen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit abgesichert werden. Um den Gauß-Test durchzuführen, muss er zuvor die notwendigen Parameter festlegen. Da er eine Dosis von 10 ml als Grundlage der Pipettenfüllung gewählt hat, ist. Der Hersteller der Pipetten geht bei einer Füllmenge von 10 ml von einer Standardabweichung von aus. In den untersuchten Füllmengen hat der Apotheker einen Mittelwert von bei gefunden. Hypothesen Der Apotheker möchte mit seinem Test sowohl zu große als auch zu kleine Füllmengen identifizieren. Er wendet deshalb einen zweiseitigen Test an. Zu testen sind die Hypothesen: In dem Beispiel ist. Page 18

19 Prüfgröße Den Wert der Prüfgröße kann der Apotheker mit der Formel errechnen. Er erhält für den Wert Testentscheidung Die Entscheidungsregel lautet: ablehnen, falls. Wegen ist der kritische Wert. Da gilt, muss die Nullhypothese abgelehnt werden. Der Apotheker sollte also die Pipetten austauschen. Die Entscheidungsregel wird im Folgenden grafisch dargestellt: Entscheidungsbereiche Test C Für den Fall, dass der Hersteller keine Angabe über die Standardabweichung der Füllmenge der Pipetten macht, schätzt der Apotheker die Standardabweichung mit. In diesem Fall ist der t-test zu verwenden. Prüfgröße Die Prüfgröße kann der Apotheker mit der Formel errechnen. Durch Einsetzen der Werte erhält er. Testentscheidung wird abgelehnt, falls oder. In diesem Fall sind die kritischen Werte und, da und n=30 gilt. Da bei einem Vergleich des Wertes der Prüfstatistik mit den kritischen Werten gilt, muss abgelehnt werden. Im Folgenden wird diese Entscheidung grafisch dargestellt: Entscheidungsbereiche Test C Animationen zum Gauß-Test und zum Einstichproben-t-Test Im Folgenden kann eine Animation zum Gauß-Test und zum t-test aus dem Bereich der Qualitätssicherung aufgerufen werden. Die Animation veranschaulicht die Durchführung des Tests. : Flashanimation ' Animation Gauß-Test ' siehe Online-Version : Flashanimation ' Animation t-test ' siehe Online-Version kritischen Werte ErklärungGauß Test ErklärungPrüfgröße Erklärungstandardnormalverteilt Erklärung (c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale Systeme Kontakt: Page 19