2. GLEICHSTROMSCHALTUNGEN MIT LINEAREN BAUELEMENTEN. 2.1 Strom und Spannung im einfachen Stromkreis. U V : Spannung am Verbraucher

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1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Fachhochschule Köln niversity of Applied Sciences Cologne Campus Gummersbach 18 Elektrotechnik Prof. Dr. Jürgen Weber Einführung in die Mechanik und Elektrotechnik technik I 2. GLEICHSTROMSCHALTNGEN MIT LINEAREN BAELEMENTEN 2.1 Strom und Spannung im einfachen Stromkreis Schaltzeichen: I VL 1 ohmscher Widerstand Q : Spannung der Quelle (Generatorspannung) Q V R V V : Spannung am Verbraucher R V : Verbraucherwiderstand VL 2 V L : Verbindungsleitungen Im Widerstand und in den Verbindungsleitungen wird eine homogene Stromdichte über den Querschnitt vorausgesetzt. Querschnitt << andere Abmessungen Die Strömung kann damit durch die Stromstärke charakterisiert werden. Q = V, wenn in den Verbindungsleitungen κ = gilt. In der Praxis haben die Verbindungsleitungen Widerstände

2 I 2 3 Q V 1 R L1 L1 L2 4 R V Widerstände der Verbindungsleitungen durch konzentrierte Bauelemente (Widerstände) R L1 und R L2 beschrieben. R L2 dünn gezeichnete Linien sind perfekt leitend. Widerstand der Leitungen: R L = l κ A = ρ R l A ϕ Q L1 V L I R L1 R V R L2 ϕ 4 ϕ 3 L1 Q V ϕ 2 ϕ 1 L2 0 = - Q + L1 + V + L2 L1 = I R L1, V = I R V, L2 = I R L2 Q = I (R L1 + R V + R L2 ), I = Q / (R L1 + R V + R L2 ) V = Q - L1 - L2 = Q - I (R L1 + R L2 ) Q

3 2.2 Die Kirchhoffschen Sätze Gegeben: Verzweigtes Netzwerk Gesucht: Strom- und Spannungsaufteilung Netzwerk besteht aus: Zweigen Knoten Maschen Der erste Kirchhoffsche Satz I 1 A I 2 I 1 I 2 I n dq dt = 0 V I 3 I n I 3 I i I i Kirchhoffsche Knotenregel: Die Summe aller auf einen Knoten zufließenden Ströme ist gleich der Summe aller von diesem Knoten wegfließenden Ströme

4 Allgemeiner: I 1 I 2 I 3 Die Summe aller durch eine geschlossene Fläche tretenden Ströme ist gleich Null Der zweite Kirchhoffsche Satz Beliebige Masche: 1 Q 2 3 Die Summe der Spannungen bei einem vollständigen mlauf in einer Masche ist gleich Null

5 Das Gesetz gilt auch für Maschen, die nicht über Zweige führen. Beispiel: 1 Q

6 2.3 Zweipole Ein Zweipol ist sie Zusammenschaltung von n Elementen (n = 1, 2, 3,...), wenn von dieser nur das Verhalten an 2 Polen interessiert. Ein Zweipol wird durch seine Strom- Spannungscharakteristik I = f() beschrieben Einteilung der Zweipole Einteilung in: passive / aktive Zweipole lineare / nichtlineare Zweipole Zuordnung der Zählpfeile I allgemeiner Zweipol mit Verbraucherzählpfeilsystem passiver Zweipol P = I Leistungsverbrauch I allgemeiner Zweipol mit Generatorzählpfeilsystem aktiver Zweipol P = - I Leistungserzeugung

7 2.3.3 Kennlinien von Zweipolen Die Kennlinie des linearen passiven Zweipols Beispiel: I = f() = C 1 + C 2 I mit I = 0 für = 0 C 2 = 0 I = /R C 1 = 1/R R I = /R I A I0 Gerade durch den Nullpunkt mit Steigung 1/R = G tan β = I/ = 1/R = G β = arc tan 1/R β 0 V Verschiedene Maßstäbe auf I- und -Achse: m I : Maßstab auf I-Achse m : Maßstab auf -Achse β = arc tan (1/R m /m I ) Beispiel: R = 1MΩ I in A, in V, β = deg I in ma [m I = 10-3 ], in kv [m = 10 3 ] β = 45 deg

8 Die Kennlinie des nicht-linearen passiven Zweipols I A Beispiel einer Kennlinie nicht-linearer zwischen I und Zusammenhang (Photoelement, Tunneldiode) V Die Kennlinie des linearen aktiven Zweipols Beispiel: I Ermittlung der Kennlinie durch: R Q Kurzschlußmessung Leerlaufmessung IK I = I K, = K = 0 (R V = 0Ω) K

9 I L I = I L = 0 = L (R V = ) L I = f() = C 1 + C 2 mit I = I K für = 0 C 2 = I K mit I = 0 für = L 0 = C 1 L + I K C 1 = - I K / L I = - I K / L + I K Gerade mit der Steigung - I K / L I A I K α* = π + arctan(- I K / L ) α = π - α* = arctan(i K / L ) α α * L V Die Kennlinie des nicht-linearen aktiven Zweipols I A I K Beispiel einer Kennlinie L V

10 2.3.4 Spannungs- und Stromquellen Leerlaufspannung L und Kurzschlußstrom I K charakterisieren den aktiven linearen Zweipol Die Spannungsquelle I Q R i i Q RV Q0 0 = - Q0 + i + Q mit i = I Q R i und Q = I Q R V R V = 0Ω Q = 0V; i = Q0 I Q = I K = Q0 R i R V = I Q = 0A; i = 0V Q = L = Q0 Die ideale Spannungsquelle hat den Innenwiderstand R i = 0Ω Die Stromquelle IQ Ii IQ0 Gi Q RV 0 = I Q0 - I i - I Q mit I i = Q G i und I Q = Q R V

11 RV = IQ = 0A; Ii = IQ0 Q = L = I Q0 RV = 0Ω Ii = 0A; Q = 0V IQ = IK = IQ0 Gi Die ideale Stromquelle hat den Innenleitwert G i = 0S Vergleich der beiden Quellen Gleiches Verhalten an den Klemmen Leerlauf-Betrieb Spannungsquelle I Q = 0; Q = L = Q0 Stromquelle I Q = 0; Q = L = I Q0 /G i Q0 = I Q0 /G i Kurzschluß-Betrieb Spannungsquelle Q = 0; I Q = I K = Q0 /R i Stromquelle Q = 0; I Q = I K = I Q0 I Q0 = Q0 /R i Ri = 1/Gi Spannungsquellen und Stromquellen sind gleichwertig. Sie lassen sich eindeutig ineinander umrechnen

12 2.3.5 Zusammenschaltung von linearen Zweipolen I a I a a z.b. R i i a RV Q0 0 = - Q0 + i + a mit i = I a R i und a = I a R V Q0 = I a R i + R V I a = Verbraucherkennlinie des passiven Zweipols Q0 R i + R V a = Q0 R V R i + R V I = RV Generatorkennlinie des aktiven Zweipols Kurzschlußstrom I K I K 0 = - Q0 + i + K R i i K = 0 mit K = 0 und i = I K R i Q0 IK = Q0 Ri

13 I L = 0 0 = - Q0 + i + L mit I L = 0 und i = I L R i = 0 R i i L L = Q0 Q0 Allgemeine Generatorkennlinie: I = - I K L + I K = - 1 R i + Q0 R i Mit I = I a = a /R V ; = a ; I K / L = 1/R i und I K = Q0 /R i folgt: a R V = - a R i + Q0 R i a 1 RV + 1 R i = a RV + R i R V R i = Q0 R i Schnittpunkt der Kennlinien R V a = Q0 und I R V + R a = a = i R V Q0 R V + R i I I K I i I = R V I a A I V 0 V 0 a i L

14 2.4 Leistungsanpassung Anpassungsbedingung Allgemeine Beziehung für die Leistung: P = I mgesetzte Leistung im Verbraucherwiderstand R V : P V = a I a = V I V Gegebene Generatorkennlinie: Quellenspannung Q0 bekannt Innenwiderstand R i bekannt Gesucht: Verbraucherwiderstand R V, bei dem P V = P Vmax ist I a I K I R i i a R V Q0 I a P V A a L Maximale Leistungsumsetzung in R V Leistungsanpassung. Extremfälle R V 0 a 0 und I a I K P V 0 R V a L und I a 0 P V

15 0 < R V < R V a = Q0 und I R V + R a = a = i R V P V = a I a = 2 Qo R V R i + R = P V R 2 V. V Maximum der Leistung P V (R V ) Q0 R V + R i dp V = Qo 2 R i + R 2 V - 2 R V R i + R V dr V R i + R 4 V = 0 Daraus folgt: P V = P Vmax für R V = R i P Vmax = 2 Qo 4 R i Erkenntnisse lassen sich direkt auf belastete Stromquelle übertragen Leistungsanpassung liegt vor, wenn eine Quelle mit dem Innenwiderstand R i bzw. dem Innenleitwert G i mit einem Verbraucherwiderstand R V = R i bzw. einem Verbraucherleitwert G V = G i belastet wird Anpassungskriterien Energietechnik große Leistungen sollen zum Verbraucher übertragen werden die im Innenwiderstand umgesetzte Leistung darf aufgrund der Wirtschaftlichkeit und starker Wärmeentwicklung nicht groß werden R V >> R i Nachrichtentechnik aufgrund langer Übertragungswege ist die Leistungen gering ohne Rücksicht auf die entstehenden Verluste soll die maximale Energie aus schwachen Signalen gewonnen werden Leistungsanpassung

16 2.5 Serien- und Parallelschaltung von Widerständen Die Serienschaltung R1 Ri Rn I 1 i n = = n Σ i = 1 n Σ i = 1 i m i t n Σ i = I R i I R i = I R i = I R g e s R g e s = R i i = 1 n Σ i = 1 Bei der Serienschaltung (Reihenschaltung) addieren sich die einzelnen Widerstände zum Gesamtwiderstand Die Parallelschaltung I I 1 I i I n R1 Ri Rn I = I = n Σ i = 1 n Σ i = 1 I i R i m i t n Σ = 1 R i = 1 i R g e s = 1 n Σ i = 1 I i = R i = R g e s 1 R i n 1 = 1 R g e s Σ R i = 1 i

17 Bei der Parallelschaltung addieren sich die Kehrwerte der einzelnen Widerstände zum Kehrwert des Gesamtwiderstands. 2.6 Der Spannungsteiler Der unbelastete Spannungsteiler I I = R s - R s 1 1 Schleiferwiderstand R s = + Gesamtstrom I = /R s Spannung 1 = I Die Schaltung läßt sich in die Serienschaltung zweier Widerstände und = R s - umzeichnen. Wegen = I R s und 1 = I folgt: 1 = R S = + = g g = 1 / zwischen 0 und 1 einstellbar

18 2.6.2 Der belastete Spannungsteiler Die Ersatzspannungsquelle I A I V 2 R s I V A R i i V R V I 1 V RV QE B B Allgemeine Kennliniengleichung des aktiven Zweipols I = - I K L + I K = - 1 R i + Qo R i Bezogen auf die Klemmen A und B folgt mit I = I V und = V : I V = - 1 R i V + QE R i Innere Quellenspannung QE und Innenwiderstand R i der Ersatzspannungsquelle: Originalschaltung = 2 + V = I + V I = I 1 + I V = V + I V I V = / V + Durch Koeffizientenvergleich R i = 1 + = + = R S = g = g 1 - g R S

19 und = QE R i QE = R S = g. Verbraucherstrom I V und Verbraucherspannung V : I V = QE R i + R V und V = I V R V = QE R V R i + R V Die Einstellkennlinie g = /R s p = R s /R V Ausgangsspannung von g und p abhängig Maximaler Verbraucherstrom I Vmax und maximale Verbraucherspannung Vmax bei Schleiferstellung g = 1 = 0 und = R s I Vmax = /R V ; Vmax = I V I Vmax = QE R i + R V R V = V Vmax = I V R V = I V I Vmax g R V g 1 - g R S + R V = g 1 + p g 1 - g mit p = R S R V

20 I V I Vmax V Vmax p = Serien- und Parallelschaltung von Quellen Serienschaltung von Spannungsquellen g R i1 R ig Q01 Qg Q0g Qg Q02 R i2 Aus Leerlauf-Betrieb ergibt sich die innere Gesamtspannungsquelle: Q0g = Q01 + Q02 Aus Kurzschluß-Betrieb ergibt sich der Gesamtinnenwiderstand:

21 R ig = Q01 + Q02 I K = R i1 + R i Serienschaltung von Stromquellen I Qg R i1 R ig I Q01 G i1 Q01 Q0g Qg Qg Q02 I Q02 G i2 R i2 I Qg I Q0g G ig mrechnung der beiden Stromquellen in zwei Spannungsquellen in Serienschaltung: Q0g = Q01 + Q02 = I Q01 G i1 + I Q02 G i2 und R ig = R i1 + R i2 = 1 G i1 + 1 G i2 Gesamtspannungsquelle dann in eine Gesamtstromquelle umrechnen: I Q0g = Q0g R ig und G ig = 1 R ig Parallelschaltung von Stromquellen I Qg I Qg I Q01 G i1 I Q02 G i2 I Q0g G ig Aus Kurzschluß-Betrieb ergibt sich die innere Gesamtstromquelle: I Q0g = I Q01 + I Q02 Aus Leerlauf-Betrieb ergibt sich der Gesamtinnenwiderstand: G ig = I Q01 + I Q02 L = G i1 + G i

22 2.7.4 Parallelschaltung von Spannungsquellen R i1 R i2 I Qg Q01 Q02 Qg I Q01 G i1 I Q02 G i2 mrechnung der beiden Spannungsquellen in zwei Stromquellen in Parallelschaltung: I Q0g = I Q01 + I Q02 = Q01 R i1 + Q02 R i2 und G ig = G i1 + G i2 = 1 R i1 + 1 R i2 Gesamtstromquelle dann in eine Gesamtspannungsquelle umrechnen: Q0g = I Q0g G ig und R ig = 1 G ig 2.8 Messung von Stromstärke, Spannung und Widerstand Stromstärke und Spannung Q V A Strom und Spannung werden durch Strommesser bzw. Spannungsmesser ermittelt Prinzipiell bei beiden Meßgeräten gleiches Meßwerk Aufgrund der Beschaltung und der Meßskala entweder Spannungsmesser

23 Strommesser Die Strommessung Strommessung wird mit Strommesser durchgeführt Stromkreis wird aufgetrennt und der Strommesser eingefügt Meßwerk mit Widerstand R MI 0 Spannungsabfall MI = I R MI gesamte Netzwerk wird beeinflußt Bedingung MI = 0 Forderung R MI = 0 Meßbereichserweiterung: Strom I M über das Meßwerk ist sehr gering Für größere Ströme muß der Strommesser mit Nebenwiderstand R N erweitert werden I I M A R MI I I N R N I M IN = R N R MI Die Spannungsmessung Spannungsmessung wird mit Spannungsmesser durchgeführt Spannung wird parallel zu Bauelement gemessen Spannungsmesser mit Widerstand R M < Strom I M = /R M gesamte Netzwerk wird beeinflußt Bedingung I M = 0 Forderung R M = Meßbereichserweiterung: Spannungsabfall M am Meßwerk ist sehr gering

24 Für größere Spannung muß der Spannungsmesser mit Vorwiderstand R V erweitert werden RV V RM V M M V = R M R V Die Widerstandsmessung Die einfache Widerstandsmessung R = /I meßtechnische Bestimmung des Widerstands R Spannung, die am Widerstand R abfällt Strom, der über den Widerstand R fließt müssen bestimmt werden Zwei Alternativen: Stromrichtig R A R MI V R = I - R MI Spannungsrichtig

25 R A R M V R = I - R M

26 Die Widerstandsmessung mit der Wheatstonschen Brücke Strommesser in Brückenschaltung als Nullindikator Widerstandsverhältnis / wird so lange variiert, bis die Brücke abgeglichen ist Strom I A durch den Strommesser = Null I X I 1 X R X I A I 3 A A 1 3 R 3 2 I 2 Innenwiderstand des Strommessers hat keinen Einfluß auf die Messung Im abgeglichenen Zustand I A = 0 folgt: I x = I 3 ; I 1 = I 2 Wegen A = 0 ergibt sich: 1 = x, 2 = 3 Mit x = I x R x = I 1 I x = I 3 = 3 /R 3 I 1 = I 2 = 2 / = 3 / folgt für R X : R x R 3 = R x = R

27 2.9 Die Stern-Dreieck-Transformation R Äquivalente mformung der einen Schaltung in die andere erfordert das gleiche elektrische Verhalten an der Punkten 1, 2 und 3 Interne Strom- und Spannungsaufteilung spielt dabei keine Rolle Widerstand zwischen den Punkten 1 und = = + R 3 zwischen den Punkten 1 und = = + zwischen den Punkten 2 und = = + R 3. Sternschaltung aus Dreieckschaltung: = ; = Dreieckschaltung aus Sternschaltung: ; R 3 = = + + R 3 ; 3 = + R 3 + R 3 ; 3 = + R 3 + R

28 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Fachhochschule Köln niversity of Applied Sciences Cologne Campus Gummersbach 18 Elektrotechnik Prof. Dr. Jürgen Weber Einführung in die Mechanik und Elektro technik I 2. Übungen zum Kapitel Gleichstromschaltungen mit linearen Bauele men ten Übungsaufgabe 2.1 Gegeben ist das nebenstehende Netzwerk mit den Werten: = 4,0Ω - + = 5,5Ω R 3 = 9,3Ω Q1 = 15V Q2 = 11V I Q1 = 3,5A I Q2 = 6,0A + - I Q1 - + Q2 Q1 R I Q2 Berechnen Sie die Ströme, die durch Widerstände, und R 3 fließen. (Lösung: I R1 = +/- 4,205 A; I R2 = +/- 0,705 A; I R3 = +/- 1,795 A) Übungsaufgabe 2.2 Mit Hilfe eines Graphen ist für das nebenstehende Netzwerk das Gleichungssystem für die unbekannten Ströme aufzustellen (I i = Strom durch R i ). Q1 = 10V, Q2 = 15V = 10Ω = 15Ω + - Q2 R R 4 R 5 R 6 R 3 = 8Ω R 4 = 12Ω R 5 = 30Ω Q1 R 6 = 25Ω (Lösung: I 1 = +/- 0,553 A; I 2 = +/- 0,682 A; I 3 = +/- 0,129 A; I 4 = +/- 0,312 A; I 5 = +/- 0,183 A; I 6 = +/- 0,370 A) Übungsaufgabe 2.3 Für das nachfolgende Netzwerk wurde in der Vorlesung der Strom I 5 ausführlich ermittelt. Kontrollieren Sie dieses Ergebnis mit Hilfe der Überlagerungsmethode (Superposition). Übung 2-1

29 Die Schaltungselemente waren wie folgt festgelegt worden: = 1 Ω = 2 Ω R 3 = 30 Ω R 4 = 40 Ω R 5 = 5 Ω Q1 = 24 V Q2 = 20 V Der Strom I 5 ergab sich zu -0,5307 A. R 3 R 4 Q1 R 5 I 5 Q2 Übungsaufgabe 2.4 Der Widerstand R 5 im Netzwerk aus Aufgabe 2.3 ändert sich um den Wert R 5 = 0,1 Ω. Bestimmen Sie mit Hilfe einer Ersatzquelle den durch die Änderung resultierenden Strom I 5. (Lösung: I 5 = 6,66 ma) Übungsaufgabe 2.5 Gegeben ist das nebenstehende Netzwerk mit den folgenden Werten: = 11Ω = 10Ω R 3 = 20Ω R 4 = 15Ω I a 1 Q 1 R 4 1 = 3V Q1 = - 11V Q2 = 18V I a = - 1,5A I 4 = 0,5A Berechnen Sie den Strom I 3. (Lösung: I 3 = 1,539 A) Q 2 I 3 I 4 R 3 Übungsaufgabe 2.6 Ein Akkumulator zeigt bei Belastung mit dem Strom I 1 = 40A die Klemmenspannung 1 = 11,56V und bei Belastung mit dem Strom I 2 = 80A die Klemmenspannung 2 = 10V. Bestimmen Sie den Innenwiderstand R i, die innere Quellenspannung Q0 und den Kurzschlussstrom I K des Akkumulators. (Lösung: R i = 39 mω; Q0 = 13,12 V; I K = 336,4 A) Übung 2-2

30 Übungsaufgabe 2.7 Eine Stromquelle mit dem inneren Quellenstrom 50mA und dem Innenleitwert G i = 5mS wird nacheinander an die Verbraucherwiderstände R V1 = 2kΩ 0 R V R i R V2 = 500Ω R V3 = 50Ω I I K G V Gi angeschlossen. Bestimmen Sie rechnerisch und graphisch (mit Hilfe des nebenstehenden normierten Kennlinienfeldes) die Arbeitspunktspannungen und die Arbeitspunktströme. (Lösung: A1 / L = 0,91; I A1 /I K = 0,09; A2 / L = 0,71; I A2 /I K = 0,285; A3 / L = 0,2; I A3 /I K = 0,8) 0 0 L 1 0 Übungsaufgabe 2.8 Eine Spannungsquelle mit der inneren Quellenspannung Q0 = 20 V und dem Innenwiderstand R i = 5 Ω wird mit einem Verbraucher belastet, der durch Schwankung seiner Widerstandswert R V zwischen 1 Ω und 20 Ω ändert. Für den angegebenen Widerstandsbereich des Verbrauchers sind in einer Graphik der bezogene Verbraucherstrom I V /I Vmax die bezogene Verbraucherspannung V / Vmax über den bezogenen Widerstand R V /R i darzustellen. Wie groß ist die maximale Leistung, die im Verbraucherwiderstand umgesetzt wird? (Lösung: P Vmax = 20 W) Übungsaufgabe 2.9 Gegeben ist das nebenstehende Netzwerk mit den Werten: Q1 = 10V Q2 = 20V R V = 5Ω Q1 R V Q2 Berechnen Sie die im Verbraucherwiderstand R V umge- Übung 2-3

31 setzte Leistung. Welche Leistung wird von den einzelnen Spannungsquellen aufgebracht, bzw. aufgenommen? (Lösung: P RV = 20 W; P Q1 = + 20 W; P Q2 = - 40 W) Übungsaufgabe 2.10 Ein Spannungsteiler mit den Widerständen und, dessen Ausgangsklemmen parallel zu angeordnet sind, wird an eine Spannungsquelle Q = 100V gelegt. Bei Belastung mit dem Strom I V1 = 0,5A stellt sich eine Verbraucherspannung V1 = 54V ein, während eine Belastung mit I V2 = 1,2A zu einer Verbraucherspannung V2 = 38V führt. Bestimmen Sie die Widerstände R1 und R2. Für welche Leistung müssen diese Widerstände ausgelegt sein? (Lösung: R1 = 66,12Ω; R2 = 34,94Ω; PR1 = 64,7 W; PR2 = 286,2 W) Übungsaufgabe 2.11 Q I V Der nebenstehende Spannungsteiler mit den Werten Q = 20V = 2kΩ = 1kΩ I [ma] 25 V wird mit einem nicht-linearen Zweipol belastet, dessen Strom-Spannungs-Charakteristik durch die nebenstehende Kennlinie gegeben ist. Bestimmen Sie die Spannung V und den Strom I V der Anordnung. (Lösung: V = 8,8 V; I V = 6,5 ma) [V] Übungsaufgabe 2.12 R 4 Bestimmen Sie den Gesamtwiderstand R ges der nebenstehenden Schaltung. Die Werte der Widerstände sind wie folgt gegeben: = 10Ω; = 20Ω R ges R 4 R 3 = 30Ω; R 4 = 40Ω R3 R4 R3 (Lösung: R ges =35,23 Ω) Übung 2-4

32 Übungsaufgabe 2.13 Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit den Werten: Q = 220V P 1 = 60W 1 = 60V P 2 = 60W 2 = 120V R V Q P 1 ; 1 P 2 2 R N Legen Sie die Widerstände R V und R N so aus, dass beide Glühlampen mit ihren Nenndaten P und arbeiten. (Lösung: R V = 40Ω; R N = 240Ω) Übungsaufgabe 2.14 Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit den Werten: Q = 20V = 15Ω = 8Ω R 3 = 10Ω R 4 = 20Ω R 5 = 7Ω I R 3 Q R 4 R 5 Berechnen Sie den Gesamtstrom I der Schaltung. (Lösung: I = 1,91 A) Übung 2-5