Grundlagen. Diese Thematik wird hier nicht weiter behandelt, da sie in der Betontechnologie ausführlich besprochen wird.

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1 Fahgebiet Maivbau Hohhule Darmtadt Univerity o Applied Siene Grundlagen 1 Bautoe 1.1 Beton (Conrete) Der Bauto Beton etzt ih au mehreren Komponenten zuammen: - Zement - Zuhlagto - Waer - Evtl. Betonzuätze (z.b. Verlüiger) Je nah Mihungverhältni können unterhiedlihe Betonetigkeiten erzielt werden. Die olgende Tabelle zeigt ein Beipiel ür die Zuammenetzung von Betonen unterhiedliher Fetigkeit: Fetigkeitklae C20/25 C50/60 Mae (kg) Volumen (l) Mae (kg) Volumen (l) Zement , ,1 Flugahe 30 10,7 - - Waer Fließmittel ,8 Poren Zuhlag 0/2 Zuhlag 2/8 Zuhlag 8/ Tabelle: 2 verhiedene Betonzuammenetzungen Die Eigenhaten de Beton werden weitetgehend von den olgenden 3 Eigenhaten betimmt: - Zementtein ( = erhärteter Zementleim = Zement + Waer) - Zuhlagto - Verbund zwihen Zuhlagto und Zementtein Der Zementtein pielt hierbei die entheidende Rolle, der im Weentlihen durh den Waer-Zement-Wert und den Hydratationgrad beeinlut werden kann. Beim Zuhlagto entheidet die Kornzuammenetzung, woür in Deuthland og. Regelieblinien exitieren. Diee Thematik wird hier niht weiter behandelt, da ie in der Betontehnologie auührlih beprohen wird. Die wihtigte Eigenhat de Beton it eine hohe Druketigkeit, die nah 28 Tagen gemeen und tatitih augewertet wird: - Normalbeton : bi a. 80 MN/m² - Hoheter Beton mit Siliat: bi a. 150 MN/m² Da der Bruh eine Bauteil an einer hwähten Stelle paiert, wird niht die mittlere Druketigkeit m, ondern die og. harakteritihe Druketigkeit k (95%-Fraktil) al Grundlage ür die Fetlegung von Betonetigkeitklaen benutzt. Je nah Probekörper unterheidet man zwihen Zylinder- (h = 30 m, d = 15 m) und Würeldruketigkeit (l = 15 m). Grundlagen.do Seite 1

2 Fahgebiet Maivbau Hohhule Darmtadt Univerity o Applied Siene Die maßgebenden Materialeigenhaten de Beton ür die Rehnung werden im EC 2 etgelegt, wobei die erte Zahl im Betonname die harakteritihe Zylinderdruketigkeit und die zweite die harakteritihe Würeldruketigkeit angibt, z.b. C20/25. Tabelle 3.1: Fetigkeit- und Formänderungkennwerte von Beton Da Verhalten de Beton unter Drukbeanpruhung wird mit Hile von Spannung- Dehnung-Linien angegeben. Hierbei wird unterhieden in Shnittgrößenermittlung (tatihe Berehnung) und Ermittlung der Querhnitttragähigkeit (Bemeung). Die Spannung-Dehnung-Linie ür die Shnittgrößenermittlung it im Folgenden dargetellt. Da hier der E-Modul bei tatih unbetimmten Sytemen einen weentlihen Einlu au die Ergebnie haben kann, wird hier au eine realitihe Modellierung beonderer Wert gelegt. (In betimmten Fällen kann auh eine lineare Shnittgrößenermittlung gemäß dem Hooke hen Geetz erolgen.) Bild: Spannung-Dehnung-Linie ür die Shnittgrößenermittlung Die Funktion ür die Betonpannung in dem oben abgebildeten Werktogeetz it im EC 2 etgelegt: 2 k m 1 k 2 (1.1.1) Abkürzungen: 1 k 1,05 E m 1 m Grundlagen.do Seite 2

3 Fahgebiet Maivbau Hohhule Darmtadt Univerity o Applied Siene Für die Ermittlung der Querhnitttragähigkeit pielt der E-Modul keine o große Rolle, wehalb hier mehr au die einahe Handhabung geahtet wurde. Zur Ermittlung de Bemeungwerte de Querhnittwidertande düren 3 unterhiedlihe Werktogeetze ür Beton verwendet werden, die im olgenden Bild ür einen Beton C < C55/67 dargetellt ind: Parabel-Rehtek-Diagramm Bilineare Diagramm Spannungblok Bild: Werktogeetze de Beton ür die Ermittlung der Querhnitttragähigkeit Für alle drei Werktogeetze wird die Obergrenze der Betondrukpannung mit dem Deignwert d k etgelegt. Hierbei berükihtigt der Faktor 0, 85 die Abnahme der Druketigkeit unter lang andauernder Belatung. Die Grenzwerte der Dehnungen können der obigen Tabelle entnommen werden. n Funktion der Parabel: d [1 (1 ) ] (1.1.2) 2 Gerade in der bilinearen Funktion: d (1.1.3) 3 Spannungblok: bi C50/60: 1,0 0, 80 (1.1.4) 1, ,8 50 ab C 55/67: 400 Standardmäßig wird mit dem Parabel-Rehtek-Diagramm gerehnet, da bilineare Diagramm indet elten Anwendung. Speziell ür unregelmäßige Betondrukzonen, ür die eine Integration der Betonpannung zur Ermittlung der Reultierenden mit dem Parabel- Rehtek-Diagramm ehr auwändig wird, it der og. Spannungblok vorgeehen. Hierbei it darau zu ahten, da ür eine zum Drukrand hin abnehmende Drukzonenbreite die ermittelte Betondrukkrat pauhal um 10 % zu reduzieren it. k k Grundlagen.do Seite 3

4 Fahgebiet Maivbau Hohhule Darmtadt Univerity o Applied Siene 1.2 Betontahl ( Heute gibt e at nur noh Betontahl mit der harakteritihen Fließgrenze (95%-Fraktil) von 500 MN/m². Folgende Formen werden momentan von den Stahlhertellern angeboten: - Betontabtahl (ø = 6, 8 10, 12, 14 16, 20, 25, 28, 32, 40 mm) B 500 A/B - Betontahlmatten (ø = 6 bi ø = 14 mm) B 500 A/B - Betontahl in Ringen (bi ø = 16 mm) B 500 A/B Matten werden in verhiedenen Formen al ertige Matten au kaltverormtem geripptem Stahl im Normalall mit Durhmeern bi 8 mm gelieert. Man unterheidet hierbei R- Matten, bei denen da Verhältni von Quer- zu Längbewehrung 0,2 (Querdehnzahl von Beton = 0,2) beträgt, und Q-Matten, bei den diee Verhältni bei 1,0 liegt. R-Matten werden dehalb vorwiegend bei 1-ahiger, Q-Matten bei 2-ahiger Latabtragung verwendet. Betontabtahl wird meit au produktiontehnihen Gründen warmverormt hergetellt. Warmverormter Stahl beitzt ein größere Verormungvermögen (Duktilität), al kaltverormter Stahl, dehalb unterheidet man zwihen normalduktilem(a) und hohduktilem(b) Stahl. Für den Betontahl ind die ür die Berehnung wihtigten Eigenhaten in der olgenden Tabelle zuammengetellt: B 500 A B 500 A B 500 B B 500 B Betontahl Betontahlmatten Betontahl Betontahlmatten Duktilität normal hoh Strekgrenze yk (MN/m²) Verhältni y yk y = tatähl. Strekgrenze Verhältni tk yk - <= 1,3 1,05 1,08 Stahldehnung unter Höhtlat uk (o/oo) Ermüdungetigkeit (MN/m²) Wärmedehnzahl (1/K) 0,00001 Elatizitätmodul E (MN/m²) Tabelle: Eigenhaten der Betontähle Wie man ieht, unterheiden ih normal- und hohduktiler Stahl hauptählih in der Bruhdehnung (25 bzw. 50 ), wa aber nur bei der Shnittgrößenermittlung augenutzt werden dar. Genau wie beim Beton exitieren auh ür den Betontahl unterhiedlihe Spannung-Dehnung-Linien ür die Shnittgrößenermittlung und die Bemeung: Kennzeihnung: Betontahl B500A durh drei Rippenreihen (. Abb.) Betontahl B500B durh zwei oder vier Rippenreihen (. Abb.) Bild: Kennzeihnung von Betontahl: a) B500A b) B500B Grundlagen.do Seite 4

5 Fahgebiet Maivbau Hohhule Darmtadt Univerity o Applied Siene Bild: Spannung-Dehnung-Linie von Betontahl ür die Shnittgrößenermittlung 1 = idealiierter Verlau Da Werktogeetz ür die Bemeung it im olgenden Bild dargetellt. E beteht au 2 Geraden, wobei der Antieg der oberen (2) näherungweie vernahläigt werden dar, d.h. die obere Gerade kann al Horizontale (3) mit dem Bemeungwert yd yk angenommen werden. Die teile Gerade repräentiert da Hooke he Geetz, d. h. die Steigung der Geraden entpriht dem E-Modul. Bild: Materialgeetz ür Betontahl ür die Querhnittbemeung III = idealiierter Verlau II = Verlau ür die Bemeung I = Vereinahung ür die Bemeung 2 Für die Querhnittbemeung gilt: tk, al 525 N mm (1.2.1) u 0,025 (1.2.2) Bemeungwert der Fließpannung: yd yk (1.2.3) Bemeungwert der Zugetigkeit: td, al tk, al (1.2.4) Lage de Knikpunkte (Fließdehnung): E 0, (1.2.5) Stahlpannung unterhalb der Fließgrenze: Stahlpannung vereinaht nah Gerade I: yd yd E (1.2.6) (1.2.7) td, al yd Stahlpannung nah Gerade II: yd yd u yd yd (1.2.8) Grundlagen.do Seite 5

6 Fahgebiet Maivbau Hohhule Darmtadt Univerity o Applied Siene 2 Verbund zwihen Beton und Stahl Eine weentlihe Vorauetzung ür da Funktionieren eine Stahlbetonbauteil it der Verbund zwihen Beton und Stahl, d.h. die Kratübertragung zwihen Beton und Stahl mu ihergetellt ein. Da olgende Bild zeigt die Verhältnie bei einem Auziehveruh eine Stabe: Die Einleitung der Stabkrat in den Beton (und damit die Verbundpannung bd ) it niht gleihmäßig über die Stablänge verteilt. Für die Rehnung it da unerheblih, wenn man mit einer mittleren Verbundpannung rehnet, deren Integral über die zylinderörmige Stablähe (= Stablänge x Umang de Stabe) die gleihe Krat ergibt. Bild: Auziehveruh zur Betimmung der rehnerihen Verbundpannung E handelt ih hierbei um einen Sherverbund, d.h. man harakteriiert die Verbundgüte über den Zuammenhang zwihen lokaler Shubpannung und dem enttehenden Shlup. Dieer Zuammenhang wird durh Meungen bei einem Auziehveruh etgelegt ür einen maximalen Shlup von z.b. 0,1 mm. Da Reultat it der Bemeungwert der Verbundetigkeit, der im EC 2 etgelegt it: bd 2, td td t tk,0, 05 1, 0 t η 1 η 2 td ein Beiwert, der die Qualität der Verbundbedingungen und die Lage der Stäbe während de Betonieren berükihtigt. = 1,0 bei guten Verbundbedingungen; = 0,7 ür alle anderen Fälle owie ür Stäbe in Bauteilen, die im Gleitbauverahren hergetellt wurden, außer e können gute Verbundbedingungen nahgewieen werden; ein Beiwert zur Berükihtigung de Stabdurhmeer = 1,0 ür Ø < 32 mm ont = (132 - Ø)/100 Bemeungwert der Betonzugetigkeit Grundlagen.do Seite 6

7 Fahgebiet Maivbau Hohhule Darmtadt Univerity o Applied Siene Diee Verbundpannung wird durh verhiedene Faktoren beeinlut: - Stahlgüte und Rippenaubildung de Stahl - Betongüte und Betonzuammenetzung - Betondekung - Stabdurhmeer - Lage de Stabe beim Betonieren (Verbundbereih: I = gut II = hleht). Al Beipiel kann die Ermittlung de Grundwerte der Verankerunglänge l b,rqd eine Stabe ür eine betimmte Krat betrahtet werden: Bild: Gleihgewiht am Stab, max. τ b = bd Gleihgewiht in horizontaler Rihtung: H 0 : bd u lb d A Da die Stahlpannung am Stabende au 0 ällt (σ = 0), weil die geamte Stahlkrat au den Beton übergehen oll, kann ür dσ = σ geetzt werden. Einetzen olgender Werte ergibt l b,rqd : Grundwert der Verankerunglänge: Der maximal möglihe Wert ür σ d it yd. u l b, rqd d d bd d 4 A d 2 4 Grundlagen.do Seite 7

8 Fahgebiet Maivbau Hohhule Darmtadt Univerity o Applied Siene 3 Prinzipien de Stahlbeton an Beipielen 3.1 Zentrih gezogener Stahlbetontab Ungeriener Zutand (Zutand I) Für einen ungerienen Stahlbetonzugtab gilt da Hooke he Geetz, d.h. die Spannungen ind proportional zu den Dehnungen. Abgeehen von Krateinleitungbereihen, innerhalb derer ein gewier Teil der Krat über Verbund in den Beton übertragen wird, exitiert eine gleihmäßige Dehnung- und omit auh Spannungverteilung in Beton und Stahl, man priht von idealem Verbund: Bild: Stahlbetonzugtab im Zutand I Bezeihnungen: A A A n e Querhnittlähe de Stahl im Querhnitt Bruttoquerhnittlähe de Beton inl. Stahlquerhnitt A A Nettoquerhnittlähe de Beton ohne Stahlquerhnitt E E Verhältni der E-Moduli von Stahl und Beton m A A n Geometriher Bewehrunggrad Grundlagen.do Seite 8

9 Fahgebiet Maivbau Hohhule Darmtadt Univerity o Applied Siene Idealer Verbund: Betonpannung: Stahlpannung: (3.1.1) Em (3.1.2) E (3.1.3) Gleihgewiht: A A N (3.1.4) (1),(2),(3) in (4): Em An E A N E A darau olgt: Em An (1 ) N E A n n e m n A ( 1 ) N (3.1.5) ideeller Betonquerhnitt: A ( 1 ) (3.1.6) Betonpannung (5) mit (6): Stahlpannung (3):(2)+(1): i A n i e N A (3.1.7) (3.1.8) e Bei Stahlbetonbauteilen liegt der Stahlanteil im Querhnitt meit unter 2 %, wewegen im Zutand I antatt mit ideellen oder Nettoquerhnitten genauo gut mit Bruttoquerhnitten gerehnet werden kann, ohne einen großen Fehler zu mahen: A A Grundlagen.do Seite 9

10 Fahgebiet Maivbau Hohhule Darmtadt Univerity o Applied Siene Geriener Zutand (Zutand II) Durh Steigerung der Lat wird an einer zuälligen Stelle im Stahlbetonzugtab die Betonzugetigkeit tm überhritten, wodurh ein Einzelri entteht. Dehalb mu jetzt die geamte Krat N vom Stahl augenommen werden, d.h. die Traglat de Stabe hängt nur noh vom Stahl ab: Stahlpannung: N A (3.1.9) Betonpannung: 0 (3.1.10) Bild: Dehnungverteilung bei Einzelribildung Neben dem Ri wird ein Teil der Krat im Stahl über den Verbund wieder in den Beton eingeleitet, bi an einer anderen Stelle ein weiterer Ri entteht. Dieer Vorgang etzt ih o lange ort, bi da og. abgehloene Ribild erreiht it. Bild: Dehnungverteilung beim abgehloenen Ribild Zwihen den Rien de abgehloenen Ribilde kann ih der Beton noh an der Aunahme von Kräten beteiligen, man priht von der Mitwirkung de Beton zwihen den Rien (tenion tiening = Zugverteiung). Die Berükihtigung diee Eekte it inbe. bei Verormungberehnungen (z.b. zur Berükihtigung der Theorie II. Ordnung) wihtig. Grundlagen.do Seite 10

11 Fahgebiet Maivbau Hohhule Darmtadt Univerity o Applied Siene 3.2 Zentrih gedrükter Stahlbetontab Auh beim Stahlbetondruktab wird ein idealer Verbund angenommen, d.h. e gilt ebenall die Verbundbedingung: l l (3.2.1) Bild: Zentrih gedrükter Stahlbetontab Gleihgewiht am Stab: A A N (3.2.2) n Die maximale Traglat ergibt ih, wenn die Beton- und Stahlpannung ihren Maximalwert erreihen: A A N (3.2.3) yd d n Die Beton- und Stahlpannungen werden über die Dehnungen au dem entprehenden Materialgeetz ermittelt. Auh hier gilt näherungweie: A A n Grundlagen.do Seite 11

12 Fahgebiet Maivbau Hohhule Darmtadt Univerity o Applied Siene 3.3 Stahlbetontab unter Biegung Ungeriener Zutand (Zutand I) Der Stahlbetonbalken gilt nur o lange al ungerien, wie die Randpannung die Betonzugetigkeit niht überhreitet: (3.3.1) Da die Beton- und Stahlpannungen im ungerienen Zutand weit unter den Höhtwerten liegen, gilt näherungweie hierür da Hooke he Geetz. Die Spannungen in Stahl und Beton können daher mit den bekannten Methoden ermittelt werden: N M x A I y y z tm Bild: Balken unter Biegung und Zug Die Stahleinlagen im Querhnitt vergrößern da Trägheitmoment und damit die Biegeteiigkeit de Querhnitt, wa durh Berehnung mit ideellen Querhnittwerten N M x y berükihtigt werden kann: z (3.3.2) A I Zugehörige Stahlpannung: e i yi (3.3.3) Da der Einlu der Bewehrung bei gewöhnlihen Bewehrunggraden vernahläigbar klein it, kann grundätzlih mit Bruttoquerhnittwerten gerehnet werden: Ai A I yi I y Der Abtand zwihen Zug- und Drukkrat im Querhnitt wird al innerer Hebelarm z bezeihnet (beim Rehtekquerhnitt z.b. it z = 2/3h). Grundlagen.do Seite 12

13 Fahgebiet Maivbau Hohhule Darmtadt Univerity o Applied Siene Geriener Zutand (Zutand II) Wenn die Betonzugetigkeit im Bauteil überhritten wird, dann reduziert ih der Widertand leitende Querhnitt au die Biegedrukzone und den Stahl in der Zugzone. E tellt ih omit ein andere Krätegleihgewiht im Querhnitt her. Bei reiner Biegebelatung z.b. mu die Betondrukkrat gleih der Stahlzugkrat ein (iehe Bild). Bild: Stahlbetonquerhnitt im gerienen Zutand Da die Zugzone rehnerih komplett auällt, kann ein Krätegleihgewiht nur enttehen, wenn der Stahl eine größere Dehnung bekommt, d.h. die Nulllinie verhiebt ih nah oben. Dadurh wird der innere Hebelarm z größer al im Zutand I. E it oenihtlih, da der Querhnitt der Stahleinlage im Gegenatz zum Zutand I jetzt eine große Rolle pielt. Eine Veränderung de Krätegleihgewiht wird genau wie im Zutand I durh eine zuätzlihe Normalkrat hervorgeruen. Da olgende Bild verdeutliht die Veränderungen ür reine Biegung und Biegung mit Zug- oder Drukkrat: Bild: Einlu der Normalkrat au da innere Krätegleihgewiht Grundlagen.do Seite 13

14 Fahgebiet Maivbau Hohhule Darmtadt Univerity o Applied Siene Eine Auwertung der Gleihgewihtbedingungen im Querhnitt ür den allgemeinen Fall (Bild oben) ergibt olgende: H 0 F F N 0 (3.3.4) M Stahl 0 F z M N z 0 (3.3.5) z Abtand von der Shwerlinie zum Stahlhwerpunkt z innerer Hebelarm, mit guter Näherung z 0, 90 d (3.3.6) Durh Auwertung der Gleihgewihtbedingungen und kann man bei bekanntem innerem Hebelarm oort die erorderlihe Stahlzugkrat und omit die erorderlihe Stahleinlage berehnen: Moment bezogen au den Stahlhwerpunkt: M M N z (3.3.7) M in eingeetzt ergibt: F N (3.3.8) z Wenn man direkt mit den Shnittgrößen M und N zur Stahlzugkrat kommen will (ohne M zu berehnen), dann mu F au in eingeetzt werden: ( N F ) z M N z 0 darau olgt: N z F z M N z 0 N ( z z ) M F z M z F N (1 ) (3.3.9) z z Grundlagen.do Seite 14