2 Gleichstromtechnik. 2.1 Der unverzweigte Stromkreis Der Grundstromkreis

Transkript

1 7 Gleichstromtechnik. Der unverzweigte Stromkreis.. Der Grundstromkreis Ein unverzweigter Stromkreis ist die geschlossene Hintereinanderschaltung verschiedener Schaltelemente: Spannungsquellen, Widerstände in Form von elektrischen Verbrauchern, Leitungen usw. Die praktisch vorkommenden Stromkreise bestehen aus räumlich angeordneten und mehr oder weniger kontinuierlich verteilten Widerständen. Diese werden in Schaltbildern konzentriert angenommen, d. h., die Verbindungen zwischen den Spannungsquellen und Widerständen sind widerstandsfrei. Die in den Spannungsquellen kontinuierlich verteilten Widerstandsanteile werden ebenfalls konzentriert gedacht und zum Innenwiderstand der Spannungsquelle zusammengefasst. Die Spannungsquelle wird ebenfalls idealisiert, d. h. widerstandslos, angenommen. Die Ersatzschaltung einer Spannungsquelle besteht also aus der eihenschaltung der Quellspannung U q und dem Innenwiderstand i. Wird die Spannung auf Grund einer Energieumwandlung in einer Spannungsquelle durch die Bezeichnung EMK E von den Spannungen U in stromdurchflossenen Widerständen unterschieden, dann besteht die Ersatzschaltung aus der eihenschaltung EMK E und dem Innenwiderstand i. Jeder unverzweigte Stromkreis lässt sich zum bereits erwähnten Grundstromkreis zusammenfassen. Er besteht aus dem aktiven Zweipol der Spannungsquelle (U q und i bzw. E und i ) und dem passiven Zweipol des Verbrauchers ( a ). Dadurch lassen sich komplizierte Netzwerke einfach behandeln (siehe Abschnitt..: Zweipoltheorie). Im Allgemeinen besteht die Aufgabe darin, bei bekannten Spannungsquellen und Widerständen die Ströme zu berechnen. Wie schon erwähnt, werden für Spannungsquellen heute nur noch Quellspannungen verwendet. Um echenbeispiele älterer Literatur [5], [9], [0], [], [], [], [4], [5] verstehen zu können wo mit der EMK E gerechnet wird, werden im Folgenden der Grundstromkreis, die eihenschaltung von Spannungsquellen, die Maschenregel, die Ersatzspannungsquelle, die Ersatzstromquelle und die Netzberechnungsverfahren sowohl mit der Quellspannung U q als auch mit der EMK E behandelt. Die unterschiedlichen Energieansätze (Abschnitt.6) sind Ausgangspunkt der beiden Betrachtungsweisen: W. Weißgerber, Elektrotechnik für Ingenieure, DOI 0.007/ _, Vieweg+Teubner Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden 0

2 8 Gleichstromtechnik Nach den Energieansätzen des Abschnitts.6 ergibt sich für den Grundstromkreis: Bild. Grundstromkreis mit Quellspannung U q Bild. Grundstromkreis mit EMK E Die Summe der drei vorzeichenbehafteten Energien ist Null: Die erzeugte Energie ist gleich der beiden abgegebenen Energien: W i 0 (.) i W erzi W abgi i i (.) W + W + W = 0 Q U q + Q U + Q U i = 0 (.) U q + U + U i = 0 U q = U + U i (.5) W erz = W abg + W abg Q E = Q U + Q U i (.4) E = U + U i (.6) Beim Aufstellen der Spannungsgleichung wird der unverzweigte Stromkreis nur einmal umfahren, und zwar in ichtung des Stroms I: die Quellspannung U q liegt entgegengesetzt zur Umlaufrichtung, wird also negativ berücksichtigt, die Spannungen U und U i liegen in Umlaufrichtung, gehen also positiv ein. Wird für die Spannungsquelle die EMK E verwendet, dann muss der unverzweigte Stromkreis zweimal in gleicher ichtung umlaufen werden: beim ersten Umlauf wird die EMK E, beim zweiten Umlauf werden die Spannungen U i und U erfasst. Sowohl E als auch U i und U liegen im Umlauf des Stroms I, gehen also positiv in die Spannungsgleichung ein.

3 . Der unverzweigte Stromkreis 9 Beim normalen Betriebsfall wird die Spannungsquelle mit einem beliebigen Widerstand a mit 0 < a < belastet, wodurch sich ein Strom I einstellt: U q = I a + I i (.7) U q = I ( a + i ) Uq I (.9) a i E = I a + I i (.8) E = I ( a + i ) E I (.0) a i Drei charakteristische Betriebszustände werden im Grundstromkreis unterschieden: Kurzschluss: a = 0 Bei einer Klemmenspannung U = 0 fließt ein Kurzschlussstrom Uq E Ik (.) Ik (.) i i Leerlauf: a = Bei verschwindendem Strom I = 0 ist die Klemmenspannung gleich der Leerlaufspannung U l = U q (.) U l = E (.4) Anpassung: a = i Ist der Außenwiderstand gleich dem Innenwiderstand, dann ist der Strom gleich der Hälfte des Kurzschlussstroms und die Klemmenspannung gleich der Hälfte der Leerlaufspannung Uq I i I I k (.5) U = U q U i mit U i = U weil I i = I a U = U q U U = U q U U l (.7) E I i I I k (.6) U = E U i mit U i = U weil I i = I a U = E U U = E U U l (.8) Auf den Anpassungsfall wird im Abschnitt.4.5 genauer eingegangen.

4 0 Gleichstromtechnik Kennlinien des Grundstromkreises: U + U i = U q U + I i = U q U I i Uq Uq U I Uq Uq / i U I (.9) U l I k Kennlinie des aktiven Zweipols U + U i = E U + I i = E U I i E E U E I E / i U I (.0) U l I k Das ist die Gleichung einer Achsen-Abschnittsgeraden mit den Achsen-Abschnitten Kurzschlussstrom I k und Leerlaufspannung U l : Bild. Kennlinie des aktiven Zweipols des Grundstromkreises Kennlinie des passiven Zweipols Im Abschnitt.5 wurde die Kennlinie des ohmschen Widerstandes behandelt: U = a I (.) I U (.) a Bild.4 Kennlinie des passiven Zweipols des Grundstromkreises

5 . Der unverzweigte Stromkreis Überlagerung der Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols Werden aktiver und passiver Zweipol zusammengeschaltet, dann stellt sich nur ein Strom I und nur eine Klemmenspannung U ein. Diese Größen ergeben sich durch Überlagerung der Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols, indem im Schnittpunkt (genannt Arbeitspunkt) die Größen abgelesen werden. Bild.5 Überlagerung der Kennlinien des aktiven und passiven Zweipols des Grundstromkreises Aus den überlagerten Kennlinien lassen sich die Spannungen am Außenwiderstand und Innenwiderstand abgreifen. Praktische Anwendung: Um den Gleichstrom-Arbeitspunkt bei Transistoren und öhren zu erhalten, werden die nichtlinearen Kennlinien als Kennlinien des passiven Zweipols mit der Kennlinie des aktiven Zweipols gebildet aus der Versorgungsspannung (entspricht der Leerlaufspannung U l ) und dem Arbeitswiderstand (entspricht dem Innenwiderstand i ) überlagert... Zählpfeilsysteme Für Netzberechnungen ist es notwendig, einheitliche ichtungen für Ströme und Spannungen durch Zählpfeile festzulegen, damit eindeutige Ergebnisse erzielt werden. Sie stimmen mit den im Abschnitt. bereits vereinbarten ichtungsdefinitionen überein. Spannungszählpfeile: Spannungen zeigen von der positiven zur negativen Klemme, EMK E von der negativen zur positiven Klemme. Das Symbol der Spannungsquelle mit Querstrichen wird in der älteren Literatur verwendet. Bild.6 Festlegung der Spannungszählpfeile

6 Gleichstromtechnik Stromzählpfeile: Vereinbarungsgemäß wird der Stromzählpfeil in ichtung des positiv definierten Stroms (Bewegungsrichtung der positiven Ladungsträger) im Schaltbild eingetragen. Bild.7 Festlegung des Stromzählpfeils Bei einer Netzberechnung werden die Zählpfeile grundsätzlich zu Beginn der Berechnung in das Schaltbild eingezeichnet. Sind die ichtungen von Strömen und Spannungen in Schaltelementen nicht voraussehbar, werden ichtungen angenommen. Das echenergebnis zeigt, ob die Annahme richtig war. ichtig vorausgesagte Größen ergeben positive, falsch angenommene Größen negative Zahlen. Im Verbraucherzählpfeilsystem (VZS-System) werden die im Verbraucher (Widerstand) definierten Strom- und Spannungsrichtungen zugrunde gelegt: Zur Ermittlung der Spannungsgleichung in einem unverzweigten Stromkreis wird der Umlauf in ichtung des Stromzählpfeils festgelegt. Dann gehen die Spannungen an Widerständen positiv in die Spannungsgleichung ein, weil Strom und Spannung in gleicher ichtung liegen. Die Spannungen an Spannungsquellen werden negativ berücksichtigt, weil Strom und Spannung entgegengesetzt gerichtet sind. Beispiel: Grundstromkreis U q + U + U i = 0 Die in einem ohmschen Widerstand in Wärme umgesetzte Leistung ist dann positiv und die durch die Spannungsquelle zugeführte Leistung negativ: U q I + I ( a + i ) = 0. (.) Für verzweigte Stromkreise wird obige egel entsprechend für Maschen angewendet (siehe Abschnitt.). Grundsätzlich wird bei allen Netzberechnungen im Verbraucherzählpfeilsystem gerechnet. Um Verwechslungen im Vorzeichen zu vermeiden, wird auf das Erzeugerzählpfeilsystem, das die Spannungs- und Stromrichtungen der Spannungsquelle zugrundelegt, nicht eingegangen.

7 . Der unverzweigte Stromkreis.. Die eihenschaltung von Widerständen In einem unverzweigten Stromkreis mit einer Spannungsquelle und n in eihe, d. h. hintereinander, geschalteten äußeren Widerständen v mit v =,,..., n ist an jeder Stelle des Kreises die Menge der pro Zeit fließenden Ladungen die Stromstärke I gleich. An den verschieden großen Widerständen v müssen die Spannungsabfälle U v jeweils entsprechend groß sein, um den gleichen Strom I zu gewährleisten: ohmscher Widerstand n Spannungsabfall U = I U = I U n = I n Bild.8 Ersatzschaltung eines Stromkreises mit n in eihe geschalteten ohmschen Widerständen Die Klemmenspannung U ist gleich der Summe aller Spannungsabfälle U v an den Widerständen v : U = U + U U n (.4) U = I + I I n (.5) U = I ( n ) (.6) oder in Kurzform n n U =Uv Iv. (.7) v v Die n in eihe geschalteten Widerstände lassen sich zu einem Ersatzwiderstand, dem Gesamtwiderstand a, zusammenfassen: Mit U = I ( n ) = I a (.8) ergibt sich für den Gesamtwiderstand der eihenschaltung n a v, (.9) v n in eihe geschaltete Widerstände können zu einem Gesamtwiderstand zusammengefasst werden, dessen Widerstandswert gleich der Summe der Einzelwiderstandswerte ist.

8 4 Gleichstromtechnik Die n Widerstände lassen sich jeweils durch n Leitwerte angeben, so dass sich mit v = mit v =,,..., n (.0) G v für den Gesamtleitwert G a der eihenschaltung mit a = /G a schreiben lässt: (.) Ga G G Gn oder in Kurzform n = G a. (.) G v v..4 Anwendungen der eihenschaltung von Widerständen Ein unbelasteter Spannungsteiler besteht aus zwei in eihe geschalteten Widerständen und, die entweder räumlich getrennt sind oder aus einem Gesamtwiderstand mit einem Abgriff bestehen. Die Ausführung eines unbelasteten Spannungsteilers mit einem veränderlichem Abgriff, Schleifer genannt, heißt Potentiometer. Die Teilwiderstände werden damit variabel. Bild.9 Ausführungen unbelasteter Spannungsteiler Wird an den Spannungsteiler eine Spannung U angelegt, dann sind die beiden Widerstände vom gleichen Strom durchflossen, wenn durch den Abgriff kein Strom fließt. Der Spannungsteiler ist dann unbelastet, der belastete Spannungsteiler wird im Abschnitt..8 behandelt. Die anliegende Spannung U wird entsprechend der Größe der Widerstände aufgeteilt: U = U + U = I + I = I. (.) Mit den Proportionen U I U und I I U I U I I ergibt sich die Spannungsteilerregel: U U (.4) und ; (.5) U U die Spannungen über zwei vom gleichen Strom durchflossenen Widerstände verhalten sich wie die zugehörigen Widerstandswerte.

9 . Der unverzweigte Stromkreis 5 Eine Anwendung der Spannungsteilerregel ist die Messbereichserweiterung eines Spannungsmessers zum Messen höherer Spannungen, für die der Spannungsmesser nicht ausreicht. Die zu messende Spannung U wird durch die eihenschaltung eines Vorwiderstandes v und des Widerstandes 0 des Messinstrumentes geteilt. Dadurch braucht das Messinstrument nur die Teilspannung U 0 anzuzeigen. Bild.0 Messbereichserweiterung eines Spannungsmessers Wird der Messbereich um das p-fache erweitert, d. h., kann die zu messende Spannung U das p-fache der am Messinstrument anliegenden Spannung U 0 betragen, dann ergibt sich aus U 0 v p v (.6) U0 0 0 die Größe des notwendigen Vorwiderstandes: v = (p ) 0. (.7)..5 Die eihenschaltung von Spannungsquellen Werden n Spannungsquellen in eihe geschaltet, dann lassen sich die Spannungen U qv bzw. E v und die Innenwiderstände iv der n Spannungsquellen zu einer Ersatzspannungsquelle mit der Ersatz-Quellspannung U q ers bzw. Ersatz-EMK E ers mit einem Ersatz-Innenwiderstand i ers mit v =,,..., n zusammenfassen. Die Ersatzgrößen werden nach dem Verbraucherzählpfeilsystem (Abschnitt..) ermittelt: Die Ersatz-Quellspannung U q ers bzw. die Ersatz-EMK E ers berücksichtigt alle U qv bzw. E v, die in gleicher ichtung wirken, positiv und die entgegengesetzt wirken, negativ. Der Ersatz-Innenwiderstand i ers ist gleich der Summe aller Innenwiderstände iv.

10 6 Gleichstromtechnik Beispiel: n = 4 Behandlung mit Quellspannungen: Bild. Ersatzschaltung der eihenschaltung von Spannungsquellen, behandelt mit Quellspannungen I i4 U q4 + I i + U q + I i U q + I i U q + U = 0 I i ers U q ers + U = 0 d. h. U q ers = U q + U q U q + U q4 und i ers = i + i + i + i4 oder Behandlung mit EMK: Bild. Ersatzschaltung der eihenschaltung von Spannungsquellen, behandelt mit EMK E + E E + E 4 = I ( i + i + i + i4 ) + U E ers = I i ers + U d. h. E ers = E + E E + E 4 und i ers = i + i + i + i4

11 . Der verzweigte Stromkreis 7. Der verzweigte Stromkreis.. Die Maschenregel (Der. Kirchhoffsche Satz) Ein Netzwerk (kurz: Netz) ist ein verzweigter Stromkreis, der Energiequellen (Spannungsquellen und Stromquellen), Verbraucher (Widerstände) und die sie verbindenden widerstandslosen Leitungen enthält. Sind Ströme und Spannungen zeitlich konstant, dann handelt es sich um Gleichstromnetze. Unter einem Zweig des Netzes versteht man einen solchen Abschnitt, der nur aus in eihe geschalteten Spannungsquellen und Widerständen oder nur aus Spannungsquellen oder nur aus Widerständen besteht und nur zwei Klemmen zum Anschluss an andere Abschnitte des Netzes besitzt. Eine Stromquelle (Abschnitt..5) rechnet nicht als Zweig, wenn sie zwischen zwei Knotenpunkten liegt. Ein Knotenpunkt des Netzes ist ein Punkt des Netzes, in dem nicht weniger als drei Ströme zufließen oder wegfließen und zwar Ströme durch Widerstände und Quellströme. In Netzen ohne Stromquellen sind in Knotenpunkten nicht weniger als drei Zweige verbunden. Wird von einem Knotenpunkt eines Netzes ausgegangen und wird der Leiter bis zum Ausgangspunkt verfolgt, ohne die Strecke zweimal zu durchlaufen, dann wird dieser geschlossene Weg eine Masche genannt. Beispiel: Bild. Netzwerk zur Erläuterung der Begriffe Zweige, Knotenpunkte und Maschen

12 8 Gleichstromtechnik Zur Ermittlung der Spannungsgleichungen in einem verzweigten Stromkreis werden beliebige Maschenumläufe gewählt, für die die Maschenregel gilt: Beim Umlauf einer Masche ist die Summe aller vorzeichenbehafteten Spannungen (Quellspannungen und Spannungen an Widerständen) in einer Masche gleich Null: l U i 0 (.8) i Beim Umlauf einer Masche ist die Summe der vorzeichenbehafteten EMK E gleich der Summe der vorzeichenbehafteten Spannungsabfälle an den Widerständen: n m Ei Ui (.9) i i Wird mit Quellspannungen gerechnet, dann wird jede Masche nur einmal durchlaufen. Wird mit EMK E gerechnet, muss jede Masche zweimal durchlaufen werden, einmal für die EMK und einmal für die Spannungsabfälle. Vorzeichenbehaftet bedeutet, dass alle in der gewählten Umlaufrichtung liegenden Spannungen und EMK positiv und dass alle entgegengesetzt gerichteten Spannungen und EMK negativ in der Maschengleichung berücksichtigt werden. Beispiel: Bild.4 Beispiel eines verzweigten Stromkreises zur Erläuterung der Maschenregel Masche I: U q + U U + U = 0 Masche II: U U q + U 4 U 5 = 0 Masche III: U q U 5 U + U 6 = 0 usw. Masche I: E = U + U U Masche II: E = U + U 4 U 5 Masche III: E = U U 5 + U 6 usw. Das Netzwerk enthält insgesamt sieben Maschen, für die die Spannungsgleichungen aufgestellt werden können.

13 . Der verzweigte Stromkreis 9.. Die Knotenpunktregel (Der. Kirchhoffsche Satz) In einem unverzweigten Stromkreis ist die Stromstärke I an allen Stellen gleich. Verzweigte Stromkreise enthalten Verzweigungen, in denen sich der Strom jeweils aufteilt. Ein Netzwerk ist im Allgemeinen ein verzweigter Stromkreis mit Knotenpunkten und Zweigen. Treffen sich mehrere stromdurchflossene Leiter in einem Knotenpunkt, so gilt die Knotenpunktregel: Die Summe aller vorzeichenbehafteten Ströme eines Knotenpunktes ist Null; vorzeichenbehaftet bedeutet, dass die zum Knotenpunkt hinfließenden Ströme positiv und die von ihm wegfließenden Ströme negativ gezählt werden oder umgekehrt: l Ii 0 i (.40) Die Summe der zum Knotenpunkt hinfließenden Ströme ist gleich der Summe der vom Knotenpunkt wegfließenden Ströme: n m I I (.4) i i i i Beispiel: I + I + I I 4 = 0 oder I I I + I 4 = 0 oder I + I = I + I 4 Bild.5 Beispiel eines Knotenpunktes zur Erläuterung der Knotenpunktregel.. Die Parallelschaltung von Widerständen In einem verzweigten Stromkreis mit einer Spannungsquelle und n parallelgeschalteten äußeren Widerständen v mit v =,,,..., n liegt an allen n Widerständen die Klemmenspannung U an. Bild.6 Ersatzschaltung eines Stromkreises mit n parallel geschalteten ohmschen Widerständen

14 40 Gleichstromtechnik In den verschieden großen Widerständen treibt der gleiche Spannungsabfall U verschieden große Ströme I durch die Widerstände : ohmscher Widerstand ohmscher Leitwert Strom G U I U G G U I U G n G n U In n U Gn Nach der Knotenpunktregel ist der Gesamtstrom I gleich der Summe aller Teilströme I : I = I + I + I I n (.4) U U U U I = n (.4) oder I = U G + U G + U G U G n (.44) I = U (.45) n I = U (G + G + G G n ) (.46) oder in Kurzform n n n I = I U U G. (.47) In einer Parallelschaltung von n Leitwerten können Einzelleitwerte G zu einem Gesamtleitwert G a zusammengefasst werden: G a = G + G + G G n (.48) oder in Kurzform n G a = G. (.49) Die n Leitwerte lassen sich jeweils durch n Widerstände ersetzen, so dass sich mit G v = mit =,,,..., n (.50) für den Gesamtwiderstand a der Parallelschaltung mit G a = / a ergibt: n a. (.5) n

15 . Der verzweigte Stromkreis 4..4 Anwendungen der Parallelschaltung von Widerständen Ein Stromteiler besteht aus zwei parallel geschalteten Widerständen und, an denen die gleiche Spannung anliegt. Nach der Knotenpunktregel teilt sich der Strom I in die Teilströme I und I auf: I = I + I. (.5) Mit I U = I = G ergibt sich U U I = U I und U = I = G Bild.7 Stromteiler (.5) (.54) I = U G + U G = U (G + G ). (.55) Mit den Proportionen und bzw. U I U G (.56) I U U G U I I U I U G I U G G lautet die Stromteilerregel: und (.57) I G (.58) I G I G. (.59) I G G In parallelen Zweigen mit ohmschen Widerständen sind die Teilströme proportional den Zweigleitwerten und umgekehrt proportional den entsprechenden Zweigwiderständen.

16 4 Gleichstromtechnik Für zwei parallel geschaltete Widerstände gilt die egel: Der Teilstrom verhält sich zum Gesamtstrom wie der Widerstand, der nicht vom Teilstrom durchflossen ist, zum ingwiderstand der Parallelschaltung. Der ingwiderstand bedeutet der Widerstand der eihenschaltung der beiden Widerstände, nicht der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung: I (.60) I und I. (.6) I Daraus lassen sich die Teilströme als Teil des Gesamtstroms berechnen: und I I I (.6) I. (.6) Der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung kann aus der Formel für den Ersatzwiderstand von n parallelgeschalteten Widerständen mit n = hergeleitet werden: Mit Gl. (.5) n a ergibt sich (.64) a und a =. (.65) Bild.8 Ersatzwiderstand von zwei parallelgeschalteten Widerständen

17 . Der verzweigte Stromkreis 4 Eine Messbereichserweiterung eines Strommessers ist notwendig, wenn ein Strom gemessen werden soll, der größer ist, als das Strom-Messwerk zulässt. Zum Messinstrument mit dem Widerstand 0 wird dann ein Widerstand p parallel geschaltet, der entsprechend der Stromteilerregel einen Großteil des zu messenden Stroms I aufnimmt: I 0 p. (.66) I0 p Bild.9 Messbereichserweiterung eines Strommessers Der Messbereich des Strommessers soll um das p-fache vergrößert werden, d. h. I = p I 0. Damit lässt sich mit I 0 p p = 0 (.67) I0 p p die Größe des parallelgeschalteten Widerstandes errechnen: p = 0. (.68) p Beide Widerstände durch Leitwerte ersetzt, ergibt die analoge Formel für den Vorwiderstand der Messbereichserweiterung eines Spannungsmessers (Gl. (.7)): G p = (p ) G 0. (.69) Anmerkung: Dualität in der Gleichstromtechnik Bei den bisherigen Betrachtungen über die Gleichstromtechnik drängt sich eine Gesetzmäßigkeit auf, die die eihen- und Parallelschaltung, Spannungen und Ströme, Widerstände und Leitwerte betrifft: Bei einer eihenschaltung von Widerständen ist der Strom gleich und die Spannung wird entsprechend der Widerstände geteilt, die Widerstände werden zum Gesamtwiderstand zusammengefasst. Bei einer Parallelschaltung von Leitwerten ist die Spannung gleich und der Strom wird entsprechend der Leitwerte geteilt, die Leitwerte werden zum Gesamtleitwert zusammengefasst. Auch bei der Messbereichserweiterung setzt sich diese so genannte Dualität zwischen Größen und Schaltungen fort, wie aus den analogen Formeln für die zuzuschaltenden Widerstände zu ersehen ist: Spannungsmessung Strommessung eihenschaltung von Messinstrument und eihenwiderstand v Parallelschaltung von Messinstrument und Parallelwiderstand p v = (p ) 0 G p = (p ) G 0 G v = G 0 /(p ). p = 0 /(p ). Diese Dualität setzt sich in vielen Gesetzmäßigkeiten fort, so dass Zusammenhänge anschaulicher sind und Formeln besser behalten werden können. An entsprechender Stelle wird jeweils auf die Dualität hingewiesen.

18 44 Gleichstromtechnik..5 Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle Eine elektrische Energiequelle lässt sich entweder durch eine Spannungsquelle oder durch eine Stromquelle im elektrischen Netzwerk angeben. Wie im Abschnitt. behandelt, kann die Spannungsquelle anschaulich physikalisch erklärt werden. Die Stromquelle hingegen physikalisch zu erklären, dürfte nicht ohne weiteres möglich sein; sie ergibt sich aus dem mathematischen Modell, das aus der Spannungsgleichung für den Grundstromkreis mit Spannungsquelle (Gl. (.5) bis (.8)) hergeleitet werden kann: Im Ersatzschaltbild für eine belastete Energiequelle wird die Spannungsquelle durch die eihenschaltung der Quellspannung U q bzw. der EMK E und dem Innenwiderstand i angegeben; der belastende Verbraucher wird durch den äußeren Widerstand a erfasst. Bild.0 Ersatzschaltbilder für die belastete Spannungsquelle Die Spannungsgleichung bzw. U q = U + I i (.70) E = U + I i (.7) wird nur durch i dividiert, wodurch sich die Gleichung einer Stromverzweigung ergibt: bzw. U q U E U I (.7) I (.7) i i i i Diese Gleichung bedeutet schaltungstechnisch die Parallelschaltung einer idealen Stromquelle mit dem Innenwiderstand i und dem Außenwiderstand a : Bild. Belastete Stromquelle

19 . Der verzweigte Stromkreis 45 Denn der Quellstrom I q = U q / i bzw. I q = E/ i der Stromquelle verzweigt sich nach obiger Stromgleichung in den Strom durch den Innenwiderstand I i = U/ i und in den Belastungsstrom I durch den Außenwiderstand a : Iq Ii I (.74) Uq E mit Iq bzw. mit Iq i i U und Ii (.75) i Jede Ersatzspannungsquelle wird also mit der Gleichung Uq Iq bzw. i in eine äquivalente Ersatzstromquelle überführt: E Iq (.76) i Bild. Spannungsquelle in Stromquelle Umgekehrt kann jede Ersatzstromquelle mit der Gleichung Uq Iq i bzw. E I q i (.77) durch eine äquivalente Ersatzspannungsquelle ersetzt werden: Bild. Stromquelle in Spannungsquelle Während die Quellspannung U q keinen Widerstand enthält (Kurzschluss), wie die durchgezogene Linie im Kreis verdeutlicht, bedeutet der Quellstrom I q jeweils eine Einströmung in die beiden Knotenpunkte (siehe Bild.64, S. 80) mit einem unendlich großen Widerstand (Unterbrechung), wie die quergezogene Linie im Kreis angibt. Bis Ende des Abschnitts. wird nur noch mit der Quellspannung U q gerechnet.

20 46 Gleichstromtechnik Die Ersatzspannungsquelle als eihenschaltung ist damit der Ersatzstromquelle als Parallelschaltung gleichwertig, zumal sich an den Klemmen zwischen aktiven und passiven Zweipol in beiden Grundstromkreisen die gleiche Klemmenspannung U und der gleiche Klemmenstrom I bei Belastung mit dem Widerstand a einstellen: normaler Belastungsfall für Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle (Bild.0): Uq I (.78) U a U q (.79) i a i a (Spannungsteiler) für Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle (Bild.): I i I q (.80) i a (Stromteiler) U i a i a I q (.8) Die drei charakteristischen Betriebszustände der beiden Grundstromkreise zeichnen sich durch folgende Spannungen und Ströme aus: für Ersatzspannungsquelle für Ersatzstromquelle Uq Kurzschluss mit a = 0: U = 0 I = I k = U = 0 I = I k = I q i weil I i = 0 I = 0 U = U l = U q I = 0 U = U l = I q i Leerlauf mit a = : weil U i = 0 weil I i = I q Anpassung mit a = i : U U l U q I Iq I k Jedes Gleichstrom-Netzwerk kann mit entsprechendem Aufwand in einen Gleichstrom- Grundstromkreis überführt werden. Dabei wird das Netzwerk so in einen aktiven und einen passiven Zweipol geteilt, dass sämtliche Spannungs- und Stromquellen im aktiven Zweipol enthalten sind und der est des Netzwerks mit nur ohmschen Widerständen dem passiven Zweipol zugeordnet ist.

21 . Der verzweigte Stromkreis 47 Die Spannungsquellen-Ersatzschaltung enthält die drei Schaltelemente U q ers, i ers und a ers, die für ein Gleichstromnetz folgendermaßen ermittelt werden: U q ers : Die Ersatz-Quellspannung ist gleich der Leerlaufspannung U q ers = U l, (.8) d. h., für den aktiven Zweipol des Gleichstromnetzes wird bei offenen Klemmen, also bei Leerlauf, die Klemmenspannung rechnerisch oder messtechnisch ermittelt. Sollten Spannungsquellen oder Stromquellen in eihe oder parallel geschaltet sein, dann werden diese zusammengefasst und bei der Berechnung von U l berücksichtigt. Bild.4 Ermittlung der Ersatz-Quellspannung i ers : Der Ersatz-Innenwiderstand ist gleich dem ohmschen Widerstand des aktiven Zweipols hinsichtlich der offenen Zweipolklemmen, wenn alle Spannungsquellen des Gleichstromnetzes als kurzgeschlossen und alle Stromquellen als unterbrochen angenommen werden. Innenwiderstände bleiben berücksichtigt in der Schaltung des Netzes. Anschließend müssen Brückenschaltungen durch Dreieck-Stern-Umwandlungen oder Stern-Dreieck-Umwandlungen (Abschnitt..0) in zusammenfassbare eihen- und Parallelschaltungen überführt werden und mit den übrigen ohmschen Widerständen zusammengefasst werden. Bild.5 Ermittlung des Ersatz-Innenwiderstandes

22 48 Gleichstromtechnik a ers : Der Ersatz-Außenwiderstand ist gleich dem ohmschen Widerstand des passiven Zweipols hinsichtlich der offenen Zweipolklemmen. Dabei müssen Brückenschaltungen durch Dreieck-Stern-Umwandlungen oder Stern-Dreieck-Umwandlungen (Abschnitt..0) in zusammenfassbare eihen- und Parallelschaltungen überführt werden und mit den übrigen ohmschen Widerständen zusammengefasst werden. Bild.6 Ermittlung des Ersatz-Außenwiderstandes Die Stromquellen-Ersatzschaltung enthält die drei Schaltelemente I q ers, i ers, und a ers. Die Ermittlung von i ers und a ers ist bei der Spannungsquellen-Ersatzschaltung beschrieben. I q ers : Der Ersatz -Quellstrom ist gleich dem Kurzschlussstrom I q ers = I k, (.8) d. h., für den aktiven Zweipol des Gleichstromnetzes wird bei kurzgeschlossenen Klemmen, also bei Kurzschluss, der Klemmenstrom rechnerisch oder messtechnisch ermittelt. In eihe oder parallel geschaltete Spannungs- oder Stromquellen werden zusammengefasst und bei der Ermittlung des Kurzschlussstroms berücksichtigt. Bild.7 Ermittlung des Ersatz-Quellstroms i ers : siehe oben a ers : siehe oben

23 . Der verzweigte Stromkreis 49 Nachdem die Schaltelemente des jeweiligen Grundstromkreises ermittelt sind, werden die Ströme und Spannungen nach den bereits angegebenen Formeln Gl. (.78) bis (.8) berechnet: für die Spannungsquellen-Ersatzschaltung: Uq ers aers I (.84) U U qers (.85) i ers a ers iers aers für die Stromquellen-Ersatzschaltung: iers I I qers iers aers (.86) U iers aers I qers iers aers (.87) Beispiel : Das dargestellte Gleichstromnetz soll in die Spannungsquellen-Ersatzschaltung und in die Stromquellen-Ersatzschaltung überführt werden. Die Auftrennung in aktiven und passiven Zweipol ist vorgegeben und im Schaltbild eingezeichnet: Bild.8 Beispiel für die Überführung eines Gleichstromnetzes in Ersatzschaltungen in Form von Grundstromkreisen Spannungsquellen-Ersatzschaltung U q ers : Nach der Spannungsteilerregel (Gl. (.5)) ergibt sich für die Leerlaufspannung: U qers U l U q. Bild.9 Ermittlung der Ersatz-Quellspannung eines Beispiels

24 50 Gleichstromtechnik i ers : Die Quellspannung U q wird kurzgeschlossen angenommen, so dass sich der Widerstand des aktiven Zweipols berechnen lässt: i ers = + ( ) ( bedeutet parallel geschaltet) ( ) i ers = a ers : Der Widerstand des passiven Zweipols besteht aus eihen- und Parallelschaltungen von Widerständen: a ers = [( ) 6 ] + [ 7 8 ] a ers = ( 4 5 ) Stromquellen-Ersatzschaltung I q ers : Bild.0 Ermittlung des Ersatz-Quellstroms für ein Beispiel Nach der Stromteilerregel (Gl. (.59)) ergibt sich für den Kurzschlussstrom bezogen auf den Gesamtstrom: Ik, I der Gesamtstrom ist Uq Uq I =, ( ) und die Formel für den Ersatz-Quellstrom entsteht durch Multiplikation beider Gleichungen Uq Iq ers Ik ( ) i ers und a ers wurden bereits für die Spannungsquellen-Ersatzschaltung ermittelt. Die Ergebnisse lassen sich mit der Formel U q ers = I q ers i ers kontrollieren.

25 . Der verzweigte Stromkreis 5 Beispiel : In der skizzierten Schaltung ist die Spannung U vom Widerstand abhängig.. Zunächst soll die Schaltung in die beiden Grundstromkreise überführt werden, indem nur der variable Widerstand dem passiven Zweipol zugeordnet werden soll.. Mit Hilfe der beiden Ersatzschaltungen soll anschließend die Funktion U = f () entwickelt werden.. Die Funktion U = f () ist dann mit folgenden Zahlenwerten zu berechnen und darzustellen: U q = 0V, i =, p = 5 = 0, 0,5,,,, 4 und Die Funktion mit den Zahlenwerten ist dann durch Kennlinienüberlagerung zu kontrollieren. Bild. Schaltbild zum Beispiel Lösung: p Zu. U q ers = U l = Uq i p i p i ers = i p Uq I q ers = I k = i a ers = Zu. Spannungsquellen-Ersatzschaltung: mit Gl. (.85) Stromquellen-Ersatzschaltung: mit Gl. (.87) U aers iers aers U qers U iers aers iers aers I qers p U U i p i q p i p U p i p ( i p ) U q U U i p i p i p i p U q i p i p ( i p ) U q

26 5 Gleichstromtechnik Zu. in 0 0,5 4 5 U in V 0, 4,5 5,9 6,5 6,9 7, Bild. Darstellung von U = f () des Beispiels Zu 4. Die Kennlinie des aktiven Zweipols ist eine Achsen-Abschnittsgerade mit den Abschnitten p U l = U q ers = U i q 5 0 V 8, V p 6 I k = I q ers = U q 0V 0 A. i Die Kennlinie des passiven Zweipols ist eine Nullpunktsgerade (siehe Bilder.5 und.6). Wegen der unterschiedlichen Widerstandswerte von entsteht also eine Schar von Nullpunktsgeraden mit unterschiedlichem Anstieg. Die Überlagerung der Kennlinien bestätigt die Funktion U = f (): Bild. Kennlinienüberlagerung des Beispiels

27 . Der verzweigte Stromkreis 5 Beispiel : Durch zwei voneinander getrennte Messungen soll in der skizzierten Schaltung zum einen die Spannung am Widerstand mit einem Spannungsmesser gemessen werden und zum anderen der Strom durch den Widerstand mit einem Strommesser gemessen werden. Die Schaltung soll als aktiver Zweipol und die Messgerätewiderstände V und A als passive Zweipole aufgefasst werden. Für die Spannungsmessung soll ein aktiver Zweipol mit Ersatzspannungsquelle, für die Strommessung ein aktiver Zweipol mit Ersatzstromquelle verwendet werden.. Zunächst sind die beiden Zweipol-Ersatzschaltungen anzugeben.. Dann sind mit Hilfe der Ersatzschaltungen die Formeln für die relativen Fehler U U l U U l U l I I k I I k I k in Abhängigkeit von den gegebenen Widerständen zu entwickeln. Die Leerlaufspannung U l ist die Spannung am Widerstand ohne Spannungsmesser, also ohne Widerstand V. Die Spannung U ist die Spannung am Widerstand mit Spannungsmesser, also die Klemmenspannung zwischen dem aktiven und dem passiven Zweipol. Der Kurzschlussstrom I k ist der Strom durch den Widerstand ohne Strommesser, also ohne Widerstand A. Der Strom I ist der Strom durch den Widerstand mit Strommesser, also der Klemmenstrom zwischen dem aktiven und dem passiven Zweipol.. Wie groß muss der Widerstand V des Spannungsmessers mindestens sein, wenn der relative Fehler 4 % betragen soll? 4. Wie groß ist der relative Fehler der Strommessung, wenn der Widerstand des Strommessers 00 beträgt? Bild.4 Schaltbild zum Beispiel Lösung: Zu. Spannungsmessung Strommessung Bild.5 Zweipol-Ersatzschaltungen zum Beispiel

28 54 Gleichstromtechnik Zu. U U l U U U l U l U l mit U U l U U l V iu V V iu V V iu V iu V U iu U l iu V mit iu = [( i ) + i ] = 99,9 I I k I I I k I k I k mit I I k I I k ii ii A ii ii A ii ii A ii A I A I k ii A mit ii = ( i ) + i + = 00,k Zu. iu + V = iu U/U l V = iu U/U l V = 99,9 0,04 V = 98 Zu 4. I 00 I k 00k0000 I I k I 0,% I k..6 Die Parallelschaltung von Spannungsquellen Werden n Spannungsquellen parallel geschaltet, dann lassen sich die Quellspannungen U q mit den Innenwiderständen i über entsprechende Stromquellen I q zu einer Ersatzstromquelle I q ers und dann zu einer Ersatzspannungsquelle U q ers mit dem Ersatz-Innenwiderstand i ers zusammenfassen. Zunächst werden die Spannungsquellen in äquivalente Stromquellen mit U I q = q mit =,,,...,n (.88) i überführt. Bild.6 Überführung von n parallel geschalteten Spannungsquellen in n äquivalente Stromquellen

29 . Der verzweigte Stromkreis 55 Bild.7 Überführung von n parallel geschalteten Stromquellen in eine Ersatz-Stromquelle und eine Ersatz-Spannungsquelle Dann lassen sich die Stromquellen mit den Quellströmen I q nach der Knotenpunktregel zu einer Stromquelle mit dem Ersatz-Quellstrom I q ers zusammenfassen: n n Uq Iqers Iq i. (.89) Die parallel geschalteten Innenwiderstände i werden ebenfalls zusammengefasst zu einem Ersatz-Innenwiderstand i ers : n. iers (.90) i Anschließend lässt sich die Ersatz-Stromquelle in eine äquivalente Spannungsquelle U q ers mit dem in eihe geschalteten Innenwiderstand i ers überführen: Uq ers Iq ers i ers Iq ers (.9) i ers n Uq Uq Uq Uq Uqn i i i i in Uqers n i i i i in iers n i i i i in (.9) (.9)

30 56 Gleichstromtechnik Sind die parallel geschalteten Spannungsquellen mit einem äußeren Widerstand a belastet, dann lässt sich der Belastungsstrom mit Hilfe der Formel für den Grundstromkreis (Gl. (.78)) berechnen: n Uq Uqers i I iers a n a i n i (.94) n Uq Uq Uq Uq Uqn i i i i in I n a a i i i in (.95) Beispiel: Zwei parallel geschaltete Spannungsquellen sind mit einem Widerstand belastet, dessen Strom mit einem Strommesser ermittelt werden soll. Der Instrumentenwiderstand sei A.. Die Schaltung wird zunächst in einen Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle mit I q ers und i ers überführt.. Anschließend werden die Ströme bei Belastung ohne Messinstrument und bei Belastung mit Messinstrument berechnet. Damit lässt sich der Fehler der Strommessung bezogen auf den wahren Stromwert angeben. Bild.8 Beispiel für die Parallelschaltung von Spannungsquellen

31 . Der verzweigte Stromkreis 57 Lösung: Zu. Die Spannungsquellen werden in äquivalente Stromquellen überführt und zu einer Stromquelle zusammengefasst: Bild.9 Beispiel einer Überführung von parallel geschalteten Spannungsquellen in eine Ersatzstromquelle I qers I q I q U q U q 00 V 60 V 80 A i i 5 4 iers i i i i 5 4, 9 Zu. Mit Hilfe des Grundstromkreises mit Ersatzstromquelle können nun die gesuchten Ströme errechnet werden: mit Gl. (.86) iers I I iers qers aers ergibt sich ohne Messinstrument: a ers =, I 80 A 7,99 A, 0 (wahrer Wert) mit Messinstrument: a ers = + a, I 80 A 7,649 A., 0 Durch das Messinstrument gibt es eine Verfälschung des Stromwertes von 4, %: 7,99A ˆ 00 % 7,649A ˆ 95,70 %, d. h., der vom Strommesser angezeigte Wert weicht 4, % vom wahren Wert ab. Ergänzend soll noch die Ersatzspannungsquelle errechnet werden, um die Gleichungen (.9) bis (.95) erläutern zu können: U qers U q U q i i i i 00 V 5 60 V A 77,78 V.,

32 58 Gleichstromtechnik..7 Messung von Widerständen Ein ohmscher Widerstand ist definiert durch den Quotienten aus Spannungsabfall U am ohmschen Widerstand und der Stromstärke I des durch den Widerstand fließenden Stroms: U. (.96) I Deshalb lässt sich durch Messungen der Spannung U und des Stroms I ein ohmscher Widerstand ermitteln. Prinzipiell werden zwei Messschaltungen für die Messung von großen und kleinen Widerständen unterschieden, weil sich entweder bei der Spannungsmessung oder bei der Strommessung Fehler durch die Messinstrumentenwiderstände ergeben. Stromrichtige Messschaltung zur Messung von großen Widerständen: Bei der Messung von großen Widerständen wird der durch den Widerstand fließende Strom I ohne Verfälschung gemessen, weil der Strom durch den Widerstand auch durch das Amperemeter fließt und angezeigt wird. Die gemessene Spannung U ist um den Spannungsabfall U A am Amperemeter größer als die Spannung U, die den Widerstand bestimmt. Der gemessene Widerstand M ergibt sich also aus U U U U U A A M (.97) I I I I U M = + mit = A A. (.98) I Bild.40 Stromrichtige Widerstandsmessung Bei der Messung von großen Widerständen ist der Widerstand des Amperemeters so klein, dass die Spannungsmessung wenig verfälscht wird; die Spannung am Amperemeter ist vernachlässigbar klein im Vergleich zur Spannung am ohmschen Widerstand: U A << U. Für die Ermittlung kleiner Widerstände (z. B. in der Größenordnung der Amperemeterwiderstände) ist die Schaltung nur dann geeignet, wenn der Amperemeterwiderstand A bekannt ist und entsprechend berücksichtigt wird.

33 . Der verzweigte Stromkreis 59 Spannungsrichtige Messschaltung zur Messung von kleinen Widerständen: Der Spannungsabfall U am ohmschen Widerstand wird direkt und damit unverfälscht gemessen, weil Widerstand und Voltmeter parallel geschaltet sind. Durch das Amperemeter fließt der um I V vermehrte Strom I A. Der gemessene Widerstand M ergibt sich aus U U M (.99) IA I IV Bild.4 Spannungsrichtige Widerstandsmessung oder in Leitwerten ausgedrückt IA I IV I IV GM U U U U (.00) G M G G mit G I V G V. U V (.0) Nach der Stromteilerregel (Gl. (.58)) ist IV I V, (.0) d. h., der Widerstand des Voltmeters muss im Vergleich zum kleinen ohmschen Widerstand sehr hochohmig sein, damit der gemessene Strom I A nur durch einen geringen Strom I V verfälscht wird: I >> I V. Bei der Messung von großen Widerständen wäre der gemessene Strom für den gesuchten Widerstand nicht zu verwenden, weil der Strom I V gegenüber dem Strom I nicht mehr vernachlässigbar ist. Die Größen ohmscher Widerstände genau zu messen, ermöglicht die Gleichstrombrücke nach Wheatstone, die nur aus ohmschen Widerständen und einem empfindlichen Strommesser besteht. Bei drei bekannten Widerständen lässt sich ein unbekannter Widerstand ermitteln.,, und 4 sind die ohmschen Widerstände, I, I, I und I 4 sind Zweigströme der Messbrücke, und der Strommesser mit dem Widerstand A kann kleine positive und negative Ströme I A messen. Die Brücken-Eckpunkte sind mit den Buchstaben A, B, C und D bezeichnet.

34 60 Gleichstromtechnik Bild.4 Wheatstone-Messbrücke Nachdem die ichtungen der Zweigströme und die Umlaufrichtungen der Maschen wie eingezeichnet festgelegt wurden, können die Maschengleichungen der Maschen ADC und BCD nach der Maschenregel (Abschnitt.., Gl. (.8)) aufgestellt werden: Masche ADC: I I A A + I = 0, (.0) Masche BCD: I + I A A I 4 4 = 0. (.04) Aus den beiden Maschengleichungen lässt sich I A A eliminieren: I A A = I I = I + I 4 4. (.05) Die Brücke heißt abgeglichen, wenn die Spannung zwischen den Punkten C und D Null ist, d. h., wenn der Strom durch das Amperemeter Null ist. Dann ist die Spannung I A A Null, und es ergeben sich die Beziehungen zwischen Strömen und Widerständen: I I = 0 und I + I 4 4 = 0 I = I I = I 4 4 I I = (.06) I = 4 I4 (.07) Bei Abgleich der Brücke sind außerdem zwei Zweigströme gleich, weil der Diagonalzweig stromlos ist: I = I und I = I 4. Dadurch werden obige Proportionen gleich und die Abgleichbedingung der Wheatstonebrücke lässt sich in ohmschen Widerständen ausdrücken: 4 oder 4. (.08) Bei der Messung eines unbekannten ohmschen Widerstandes (z. B. ) mit Hilfe der eben beschriebenen Wheatstonebrücke ist zunächst mit einem anderen variierbaren Widerstand (z. B. ) der Abgleich einzustellen. Der Abgleich wird mit dem empfindlichen Strommesser kontrolliert. Mit den beiden restlichen bekannten Widerständen (z. B. und 4 ) lässt sich dann der unbekannte Widerstand nach der Abgleichbedingung berechnen.

35 . Der verzweigte Stromkreis 6 Eine praktische Ausführung der Wheatstonebrücke ist die Schleifdraht-Messbrücke, in der die Widerstände und 4 durch einen Drahtwiderstand mit gleichmäßigen Querschnitt A gebildet werden. Auf diese Weise wird die Widerstandsmessung auf eine Längenmessung zurückgeführt. X ist der unbekannte Widerstand, N ein genau einstellbarer Normwiderstand. Bild.4 Wheatstonebrücke als Schleifdrahtmessbrücke ausgeführt Die Einstellung des Schleifers wird solange verändert, bis die Brücke abgeglichen ist, bis also zwischen den Punkten C und D keine Spannung auftritt und das Nullinstrument (Amperemeter) keinen Strom anzeigt. Die Abgleichbedingung ergibt sich aus Gl. (.08): 4 l X A N 4 l 4 A l l 4. (.09) Die Formel für den unbekannten Widerstand X lautet dann mit l 4 = l l l X N l N. (.0) l 4 l l Technische Ausführungen von Messbrücken enthalten umschaltbare Normalsätze von Widerständen, die um Zehnerfaktoren veränderbar sind. Die Schieberskala trägt direkt das Verhältnis l /(l l ). Der abgelesene Wert wird dann mit dem dekadischen Wert des Normwiderstandes N multipliziert.

36 6 Gleichstromtechnik..8 Der belastete Spannungsteiler Der unbelastete Spannungsteiler (Abschnitt..4) besteht aus der eihenschaltung von zwei Widerständen, die vom gleichen Strom durchflossen sind; der Abgriff zwischen den Widerständen ist stromlos. Es gilt dann die Spannungsteilerregel (Gl. (.5)) und U U U U. (.) Bild.44 Unbelasteter Spannungsteiler Ist parallel zum Teilwiderstand ein Belastungswiderstand geschaltet, dann verzweigt sich der Strom I in die Teilströme I und I : I = I + I. (.) Bild.45 Belasteter Spannungsteiler

37 . Der verzweigte Stromkreis 6 Wird die Schleiferstellung des Potentiometers verändert, ändern sich auch die Spannung U und der Belastungsstrom I. Im Folgenden soll dieser Zusammenhang entwickelt werden: Mit Hilfe der Spannungsteilerregel ergibt sich für den belasteten Spannungsteiler U U U U (.) mit = (.4) U, U (.5) wobei sich und + aufheben. Der Teilwiderstand wird als Teil des Gesamtwiderstandes ausgedrückt: = v mit 0 v, (.6) U v v, (.7) U v v v+ v U v v oder U U = U. (.8) (v v ) (v v ) Der Strom durch den Belastungswiderstand ist durch die Spannung U bestimmt: U I U v. v-v (.9) Erfasst der Schleifer den gesamten Widerstand mit = und v = (im Bild Schleifer oben), dann ist der Strom I durch maximal U Imax. (.0)

38 64 Gleichstromtechnik Das Stromverhältnis I /I max und das Spannungsverhältnis U /U in Abhängigkeit vom Belastungswiderstand und von der Schleiferstellung v sind durch eine Formel darstellbar: I I max U U v (v v ). (.) Zwei Grenzfälle für die Größe des Belastungswiderstandes können mit obiger Formel bestätigt werden: bedeutet der unbelastete Spannungsteiler U v (.) U = 0 bedeutet Kurzschluss des Teilwiderstandes und U = 0: mit Gl. (.9) ergibt sich I v U vv I U ( v) U v (.) U U I. (.4) Die Formeln für I /I max und U /U in Abhängigkeit von v = / mit dem Parameter / sind gleich, also in einem Koordinatensystem als gleiche Kurven darstellbar. Die Kurven weisen eine vom Parameter / abhängige Krümmung auf. Je kleiner gegenüber ist, um so stärker ist die Krümmung. Wenn v = ist, handelt es sich um eine Parallelschaltung von und, denn = und = 0. Damit ist I /I max = U /U =, d. h. U = U und I = I max. Bild.46 Strom- und Spannungsverläufe des belasteten Spannungsteilers

39 . Der verzweigte Stromkreis 65 Beispiel: Für den belasteten Spannungsteiler (Bild.45) soll der Strom I in Abhängigkeit von der Schleiferstellung v ermittelt werden. Gegeben sind U = 4V und = Zunächst ist mit Hilfe von entsprechenden Schaltbildern der Strom I bei v = 0 und bei v = anzugeben.. Dann ist allgemein die Formel für den Strom I in Abhängigkeit von U,, und v zu entwickeln. Diese soll dann in die normierte Form I f(v) mit als Parameter überführt werden. Imax. Schließlich soll der Verlauf der normierten Funktion mit v = 0 0, 0, 0,5 0,7 0,9 und einmal mit = 00 und zum anderen mit = 0k berechnet und in einem Diagramm dargestellt werden. Lösung: Zu. v = 0: = v = 0 U 4 V I = I = 000 I = 4 ma v = : = v = U 4 V I = 000 I = 4 ma Bild.47 Beispiel zum belasteten Spannungsteiler Zu. Mit U I = und Gl. (.8) v U = U (v v ) U v I = (v v ) und = v U I = U (vv ) vv

40 66 Gleichstromtechnik ergibt sich Zu. I I. I U/ max (v v ) = = 0 k , v 0 0, 0, 0,5 0,7 0,9 I /I max 0,56 0, 0,86 0, 0,56 v 0 0, 0, 0,5 0,7 0,9 I /I max 0,99 0,979 0,976 0,979 0,99 Bild.48 Beispiel zum belasteten Spannungsteiler..9 Kompensationsschaltungen Die Grundschaltung der Spannungskompensation kann aus dem belasteten Spannungsteiler abgeleitet werden, indem der Belastungswiderstand durch eine Quellspannung U qx ersetzt wird. Bild.49 Grundschaltung der Spannungskompensation

41 . Der verzweigte Stromkreis 67 Mit Hilfe der Spannungskompensation können Spannungen genau gemessen werden, ohne die Messspannung zu beeinflussen. Im Folgenden soll die Bedingungsgleichung für die unbekannte Spannung mit Hilfe von zwei Maschengleichungen entwickelt werden; die Maschenumläufe sind im Schaltbild eingetragen: Masche I: U = I + I (.5) mit I = I + I (.6) U = (I + I ) + I = I ( + ) + I mit = + U = I + I (.7) U I I = (.8) Masche II: U qx I + I A = 0 (.9) (Soll für die Spannungsquelle ein Innenwiderstand berücksichtigt werden, dann wird er genauso behandelt wie der Amperewiderstand A : Statt I A muss dann I ( A + ix ) stehen.) U qx = I I A Uqx IA I =. (.0) Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen für I ergibt sich die Formel für den Strom I : U I U qx IA (.) U I = U qx + I A I = U U qx. (.) A Der Schleifer am variablen Widerstand lässt sich so verschieben, dass die am Teilwiderstand anliegende Spannung U gleich der Quellspannung U qx ist; die Spannung U qx kompensiert die Spannung U. Im Zustand der Kompensation ist der Spannungsteiler unbelastet, denn der Belastungsstrom I ist Null. Die Spannungsteilerregel U U qx (.) U U umgeschrieben in U = U qx (.4) bestätigt in der Gleichung für den Belastungsstrom I (Gl. (.)) die Kompensationsbedingung, dass bei Spannungskompensation auch der Strom I Null ist.

42 68 Gleichstromtechnik In der angegebenen Grundschaltung der Spannungskompensation ist U eine konstante Hilfsspannung, z. B. einer Akkumulatorenbatterie, und U qx die zu bestimmende Quellspannung. Der Schleifer am Widerstand wird so eingestellt, dass das empfindliche Galvanometer keinen Strom mehr anzeigt; dann ist die Spannungsquelle U qx unbelastet. Die im Zustand der Kompensation anliegende Quellspannung U qx ist so groß wie die abgegriffene Spannung U. Die Messung von U qx wird nicht von einem Messinstrument oder der übrigen Messanordnung beeinflusst. Die unbekannte Spannung ergibt sich dann aus U U qx. (.5) Selbstverständlich lassen sich auch beliebige Spannungen, z. B. an stromdurchflossenen Widerständen oder zwischen beliebigen Punkten eines Netzes mit Hilfe der Spannungskompensation messen, ohne die Messspannung durch Belastung der Messanordnung zu beeinflussen. Eine Messung mittels Messinstrument bedeutet immer eine Belastung der Messspannung. Spannungsmessungen, bei denen eine noch größere Genauigkeit verlangt wird, lassen sich mittels zweifacher Kompensation bei Verwendung eines Normalelementes durchführen. Bild.50 Zweifache Spannungskompensation Zuerst wird in der unteren Stellung des Umschalters die Normalspannungsquelle kompensiert, deren Quellspannung auf vier Ziffern genau bekannt ist. Damit ergibt sich durch Grob- und Feineinstellung ein Widerstandswert N. Bei Kompensation gilt UqN N. (.6) U Dann wird durch den zweipoligen Umschalter in der oberen Stellung die unbekannte Spannung U qx bzw. U x an die Messschaltung angelegt und kompensiert. Es ergibt sich ein ablesbarer Widerstandswert x. Bei Kompensation gilt U x x. (.7) U

43 . Der verzweigte Stromkreis 69 Während beider Kompensationen bleibt die Hilfsspannung U konstant, weil die Hilfsspannungsquelle bei beiden Kompensationen jeweils vom Widerstand belastet wird. Der Spannungsabfall infolge des Innenwiderstandes der Hilfsspannungsquelle kann also keinen Fehler bewirken. Damit können beide Proportionen zusammengefasst werden: Ux x UqN U, (.8) N und die unbekannte Spannung kann unabhängig von der Hilfsspannung auf vier Ziffern genau berechnet werden: U x x N U qn. (.9)..0 Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung und umgekehrt Teile eines Netzwerks, die aus eihen- und Parallelschaltungen bestehen und die keine Spannungs- oder Stromquellen enthalten, lassen sich zu einem Ersatzwiderstand zusammenfassen und mit der Spannungsteiler- und Stromteilerregel berechnen. Besteht ein Netzwerkteil aus einer Brückenschaltung von ohmschen Widerständen, dann lassen sich Ströme und Spannungen nicht mit der Spannungsteiler- und Stromteilerregel ermitteln. Wendet man eine Dreieck-Stern-Transformation oder eine Stern-Dreieck-Transformation an, dann wird das Netzwerkteil eine Schaltung aus in eihe und parallel geschalteten Widerständen. Bild.5 Dreieck- und Sternschaltung in einer Brückenschaltung

44 70 Gleichstromtechnik Die Dreieckschaltung von Widerständen zwischen den Punkten A, B und C der Brückenschaltung lässt sich in eine Sternschaltung umwandeln, wenn die Spannungen zwischen den Eckpunkten gleich bleiben: U AC = U U BC = U U BA = U Andererseits lässt sich auch die Sternschaltung von Widerständen zwischen den Punkten B, C und D der Brückenschaltung mit dem Sternpunkt A in eine Dreieckschaltung von Widerständen überführen, wobei ebenfalls die Spannungen zwischen den Punkten unverändert bleiben müssen: U BC = U, U DB = U 4 U DC = U 5 + U Bild.5 Durch Transformationen umgewandelte Brückenschaltungen Ehe die Brückenschaltung weiter verfolgt wird, sollen die beiden Arten der Transformation gesondert behandelt werden: Dreieck-Stern-Transformation Bild.5 Transformation einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung

45 . Der verzweigte Stromkreis 7 Wenn die Spannungen zwischen zwei Eckpunkten der Sternschaltung und der Dreieckschaltung jeweils gleich sein sollen, dann muss bei der Sternschaltung und bei der Dreieckschaltung zwischen den jeweiligen Punkten der gleiche Gesamtwiderstand vorhanden sein: AB = ( + ) = AB = ( ) und BC = ( ) CA = ( ) (.40) (.4). (.4) Die Widerstände der Dreieckschaltung, und sind gegeben, die Widerstände der Sternschaltung, und gesucht. Deshalb müssen die Gleichungen entsprechend umgeformt werden. Zunächst wird Gl. (.4) von Gl. (.40) subtrahiert: ( ) ( ) ( ) ( ) (.4) (.44). (.45) Zur Gl. (.45) wird Gl. (.4) addiert:. (.46) Damit ergibt sich die Formel für den Sternwiderstand in Abhängigkeit von den drei Dreieckwiderständen:. (.47) Die beiden anderen Sternwiderstände können analog berechnet werden und ergeben die Formeln:, (.48). (.49) Für die Umrechnung von Dreieckwiderständen in Sternwiderstände lautet die Merkregel: Produkt der beiden Dreieckwiderstände Sternwiderstand. Summe aller Dreieckwiderstande