Technische Informatik II

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1 Technische Universität Braunschweig INSTITUT FÜR DATENTECHNIK UND KOM- MUNIKATIONSNETZE Vorlesung Technische Informatik II - Grundzüge der Datentechnik Kapitel 1 basierend auf "Technische Informatik II"-Skript von Prof. M. Schimmler geändert 2005 von Prof. H. Michalik

2 Technische Informatik II Seite EINFÜHRUNG Zielstellung der Lehrveranstaltung Geschichtliche Entwicklung Moderne Entwicklung Darstellung von Zahlen und Zeichen in Computern Zahlensysteme Konvertierung natürlicher Zahlen zwischen Systemen mit unterschiedlichen Basen Rechnen im B-adischen Zahlensystem Codierung zur Zeichendarstellung Zahlenformate und -darstellungen Arithmetik mit Gleitkommazahlen Literaturempfehlungen Borucki Wuttke, Henke Flik Stallings Becker, Dechsler, Molitor Digitaltechnik, Teubner Schaltsysteme, Pearson Mikroprozessortechnik, Springer Betriebssysteme, Pearson Technische Informatik, Pearson

3 Technische Informatik II Seite Einführung 1.1 Zielstellung der Lehrveranstaltung In diesem Teil der LV "Technische Informatik" soll ein Überblick über die Grundlagen und Entwurfstechniken gegeben werden, die zum Entwurf von digitalen System notwendig sind. Als klassisches Anwendungsbeispiel für ein digitales System dient dabei der Mikrorechner. Seine Architektur, Betriebsweisen und Programmierung werden dabei vertieft in den Kapiteln 4 und 5 betrachtet. Zuvor werden in den Kapiteln 1 3 die notwendigen Grundlagen zum Verständnis und zum Entwurf der Grundelemente eines Mikrorechners erarbeitet. Bei der Darstellung von Logikelementen werden idealisierte Schaltelemente zu Grunde gelegt. Für die realen Implementierungen von Logiksystemen werden Beispiele gegeben, es wird aber auf das Verhalten digitaler Schaltungen, sofern es nicht die Logikfunktion betrifft, weitgehend verzichtet. Der Einfluss der Datenverarbeitung auf die heutige Forschungstechnologie, die betrieblichen Aufgabenlösungen, die Formen der Arbeitsorganisation, die Berufsfelder und die Denkweise sind unübersehbar. Die dynamische, ja hektische Entwicklung des Bereichs "Datenverarbeitung" in den letzten vierzig Jahren versperrt jedoch leicht den Blick dafür, dass sich viele frühere Generationen ebenfalls mit der Aufgabenstellung "Daten verarbeiten" befassen mussten. Viele so entstandene historische Ansätze erweisen sich als notwendige Vorarbeit, um den heutigen Stand der Datenverarbeitungsverfahren erreichen zu können. Ein kurzer Überblick über diese "Vorleistungen" erleichtert es, die heutigen Ergebnisse einzuordnen. 1.2 Geschichtliche Entwicklung ca v. Chr. ca v. Chr.: Die Grundlage des Rechnens ist das Zählen. Der Mensch begann mit den ihm von der Natur gegebenen (Rechen-)Hilfsmitteln, den Fingern. Eine Hand erlaubte ihm also, bis 5 (Quinärsystem), beide Hände bis 10 (Dezimal-System) zu zählen. Wollte er zu größeren Zahlen (bzw. Mengen) übergehen, so benutzte er Steine, Perlen oder Holzstäbe. Bequemer und zuverlässiger schon war das dem 5-Finger-System verwandte Suan-Pan-Verfahren, bei dem die Perlen auf Drähten aufgefädelt waren. Bei den Römern wurde es Abakus genannt. In Hinterasien ist Suan Pan heute noch sehr stark verbreitet. 500 n. Chr.: Die Grundlage für die Entwicklung zum Rechnen mit Maschinen bildete zweifelsohne das in Indien (daher: Hindu-) entstandene Hindu-Arabische- Zahlensystem mit den zehn Ziffern: 0, 1,... 8, 9. Nach der Rückeroberung Spaniens aus arabischer Herrschaft (1150 n. Chr.) setzte es sich im Abendland schnell durch. Sein großer Vorteil im Vergleich zum recht umständlich zu handhabenden Römischen Zahlensystem (z.b. MCMVII) ist die

4 Technische Informatik II Seite Einführung der Null: 0 - Einführung der Stellenschreibweise. Im Gegensatz zum Römischen Zahlensystem gestattet also das Hindu- Arabische Zahlensystem einen Rückschluss von der Stellung einer Ziffer innerhalb der Zahl auf ihren Wert. In der Zahl 6804 bedeutet die 8 z. B: 8 Hunderter. Die 0 bedeutet: keine Zehner. Die Gesamtzahl bedeutete also: 4 1 = = = = 6000 Gesamtzahl = Der Rechenaufwand zur Aufstellung der von Lord Napier herausgegebenen Logarithmentafeln erfordert einen Zeitaufwand von ca. 30 Jahren (moderne Rechenanlage: ca. eine Minute) Der Theologe und Mathematiker Schickard konstruiert für seinen Freund, den Mathematiker und Astronomen Kepler eine Rechenuhr, die auf dem Zählradprinzip (ähnlich den mechanischen Tischrechenmaschinen des letzten Jahrhunderts) aufbaute. Damit waren Addition und Subtraktion durchführbar, wobei mit sechs Stellen und Übertrag gerechnet wurde Blaise Pascal (französischer Mathematiker) baut mit 19 Jahren seinem Vater, der Steuerpächter war, eine Addiermaschine mit sechs Stellen Partridge: Erfindung des Rechenschiebers bis 1694 Der große Philosoph und Mathematiker G.W. Leibniz beschäftigt sich mit der Konstruktion von Rechenwerken, die ihm zwar Ausgaben von Talern brachten, aber keinen wirklichen Erfolg G.W. Leibniz beschäftigt sich mit dem Dualsystem (das zur Grundlage der heutigen Rechenanlagen wurde) J.M. Jacquard setzt Kartons, in die das Webmuster eingestanzt war, zur automatischen Steuerung von Webstühlen ein. Derartige Webstühle sind im Deutschen Museum zu sehen. Der Begriff "Jacquard" ist heute noch üblicher Ausdruck in der Textilbranche. Ähnliche, gelochte Karten (in gefalteter Form) werden noch heute bei Jahrmarkt-Musikautomaten angewendet Von großer Bedeutung für die weitere Entwicklung ist die mechanische Rechenanlage "Difference Engine" des Mathematikprofessors Charles Babbage aus Cambridge, die noch heute im Science Museum London besichtigt werden kann. Die Konzeption seiner weiterhin geplanten Maschine (Analytical Engine) nahm den Aufbau moderner Rechenanlagen vorweg. Sie sollte bestehen aus: - Speicher (store) (1000 Worte à 50 Stellen) - Rechenwerk (mill) - Steuerwerk (control)

5 Technische Informatik II Seite Ein-/Ausgabe und vor allem einem (in Lochkarten) - gespeicherten Programm Die Pläne von Babbage scheiterten an dem Stand der damaligen Technik Der Deutsch-Amerikaner H. Hollerith führt bei der 11.amerikanischen Volkszählung die Lochkartentechnik ein Entwicklung leistungsfähiger Büro-Lochkartenmaschinen (z. B. Firma Bull). 1.3 Moderne Entwicklung a) Relaisrechner 1936 Konrad Zuse (Bauingenieur) beginnt noch während seines Studiums in Berlin mit dem Bau einer Rechenanlage Zl, welche die stets wiederkehrenden Routine-Berechnungen der Statik automatisieren sollte. Seine theoretischen Ansätze wie "Plankalkül" und "funktioneller Befehlscode" sind noch heute aktuell Z3: Relaisrechner mit Lochstreifeneingabe und -ausgabe Eigenschaften: Eingabeeinheit Ausgabeeinheit Rechenwerk (600 Relais) Relaisspeicher (64 Zahlen á 22 Dualstellen) Programm in Lochstreifen (gelochter Kinofilm) abgespeichert H.H. Aiken entwickelt an der Harvard University den Relaisrechner MARK I J. v. Neumann (Mathematiker) entwickelt Fundamentalprinzipien einer Rechenanlage: - das Programm wird wie die Daten gespeichert, - bedingter Befehl mit (Vorwärts- oder Rückwärts-)Verzweigung, - das Programm ist eine Kette logischer Binär-Entscheidungen. b) Rechner der 1. Generation ab 1946 Eigenschaften: Beispiele: Schaltungsaufbau aus Elektronenröhren; Operationszeiten im Millisekunden-Bereich ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer) Gewicht: 30 Tonnen Die Röhren (Leistungsaufnahme: 174 kw) erforderten eine Klimaanlage, die mehr Strom als die Rechenanlage selbst verbrauchte. Fehlerfreie Arbeitszeit: ca. 45%. Z 22 (Zuse KG) wurde ab 1955 vor allem an Hochschulen

6 Technische Informatik II Seite 1-6 geliefert. Rechenzeiten: Addition 0,6 ms, Multiplikation 15 ms IBM 650 Magnettrommelrechner (ab 1956 ausgeliefert) 1952 Beginn der Auslieferung von Computern an die Privatwirtschaft 1954 Deutsche Firmen beginnen (wieder) mit dem Bau von Datenverarbeitungsanlagen: Zuse KG, Siemens, Standard Elektrik Lorenz, Telefunken, VEB Carl Zeiss in Jena. c) Rechner der 2. Generation ab 1957 Eigenschaften: Schaltungsaufbau aus Transistoren Operationszeiten im 100 Mikrosekunden-Bereich Beispiele: Rechenzeiten: IBM 1400-Serie Siemens 2002: volltransistorisierter Rechner mittlerer Größe Addition 80 µs, Multiplikation 120 µs d) Rechner der 3. Generation ab 1964 Eigenschaften: Schaltungsaufbau aus integrierten Schaltkreisen, Operationszeiten im Mikrosekunden-Bereich. Mehrere (ca. 30) elektronische Bauteile (Transistoren, Widerstände) werden mit ihren "Verbindungen" in kleinen Kristallblöcken zusammengefasst (daher "integriert"). Durch Ätzverfahren werden in hochgezüchtet homogenen (gleichmäßig aufgebauten) Siliziumkristallen Gebiete mit Transistor- und Widerstandscharakteristik erzeugt und durch Aufdampfverfahren dazwischen metallische, d.h. leitende Verbindungen hergestellt (Monolithtechnik). Vorteile: Kompakte Bauweise (nur 1/100 und noch weniger des Raumes in üblicher Technik) Kurze Schaltzeiten (bis zu Bruchteilen von Mikrosekunden) Hohe Betriebssicherheit (keine Lötstellen!).

7 Technische Informatik II Seite 1-7 Die Rechner der 3. Generation lassen sich jedoch nicht allein durch den Stand der Schaltungstechnologie charakterisieren. Weitere Merkmale gewinnen an Bedeutung, vor allem die Betriebsart und die so genannte Aufwärtskompatibilität. Die technische Leistungsverbesserung der Rechner der 3. Generation wird noch gefördert durch neuartige, flexible Betriebsarten, wie Multiprogramming und Online-Betrieb. Typisch für die Rechner der 3. Generation ist ferner die Einführung der Mikroprogrammierung, und damit das Modellangebot in so genannten Rechnerfamilien. Das kleinste Modell einer solchen Rechnerfamilie kann baukastenförmig bis zum größten Modell erweitert werden. Erweiterungsteile, z.b. Speicherkomponenten, ermöglichen diesen stufenweisen Ausbau. Diese Gerätekompatibilität wird durch eine Programmkompatibilität unterstützt. Die Programme des Anwenders bleiben auch für die jeweils nächst größeren Rechnermodelle einsetzbar - meist jedoch mit gewissen Anpassungen. Der Befehlsvorrat der kleineren Modelle ist eine Untermenge des Vorrats der größeren Modelle innerhalb einer Rechnerfamilie. Beispiele für derartige Rechner-Familien sind: CDC 3000, CII Iris, IBM 360, ICL 1900, NCR-Century, Siemens 4004, UNIVAC e) Rechner der 4. Generation Ab etwa 1970 führte die verstärkte Miniaturisierung zu integrierten Großschaltungen (LSI = Large Scale Integration) mit mehr als 100 Schaltelementen pro Chip (Siliziumplättchen). Die Operationszeiten lagen im Bereich von Nanosekunden; das bedeutet: 10 bis 50 Millionen Operationen pro Sekunde. Weitere bedeutende Merkmale der 4. Rechner-Generation, neben einer Verbesserung der Technologie, sind: Massenspeicher im Megabyte-Bereich variable Mikroprogrammierung Mehrprozessor-Architektur Dezentrale Computer-Intelligenz (Terminal-Orientierung) Neben schaltungstechnischen Verbesserungen gewinnen immer mehr strukturelle Einflüsse an Bedeutung für den Generationswechsel. Gleitende Entwicklungen ersetzen jedoch zunehmend abrupte Wechsel von einer zur nächsten Generation. Obwohl also die Leistungssteigerung von Rechnergeneration zu Rechnergeneration nicht allein durch die schaltungstechnischen Verbesserungen beschrieben werden kann, liefern die folgenden Kennzahlen doch ein gewisses Bild dieser Entwicklung: ab Generation Schaltelemente Operationszeit (etwa) relative Rechenzeit Relais 100 ms Röhren 1 ms Transistoren 100 µs Monolithe 1 µs LSI 100 ns 1 Bild 1-1: Vereinfachter Vergleich der Computer-Generationen

8 Technische Informatik II Seite 1-8 f) Rechner der 5. Generation seit ca Stichworte dazu sind Größtintegration (VLSI) Superrechner Rechner für wissensbasierte Systeme (japanische Initiative FGCS) Zeit Meilenstein Um 5000 v. Chr. Die Menschen lernen mit den Fingern zählen, (digtus = der Finger) Fünfersystem (eine Hand): Chinesen, Mayas Zehnersystem (beide Hände): Phönizier und Ägypter 1100 v. Chr. Der Abakus wird erfunden ca. 500 n. Chr Die Null wird erfunden, Hindu-Arabisches Zahlensystem (0..9) 1614 Napier entwickelt die Logarithmentafeln und den Rechenstab 1623 Schickard baut die erste mechanische Rechenuhr mit eingebautem Stellenübertrag 1641 Pascal entwickelt eine 6-stellige Addiermaschine 1650 Partridge entwickelt den Rechenschieber 1703 Leibnitz entdeckt das Dualsystem 1808 Jacquard entwickelt eine Lochkartensteuerung für Webstühle 1822 Babbage baut die Difference Engine, eine Rechenmaschine für Logarithmen und Potenzen. Danach konzipiert Babbage die Analytical Engine mit einem Rechnerwerk, einem Zahlenspeicher, Ein- und Ausgabeeinheit 1890 Hollerith setz bei der amerikanischen Volkszählung erstmals Lochkarten zur Datenerfassung und -Auswertung ein Aus Holleriths Firma entstand in der Nachfolge 1924 IBM 30er Jahre Lochkartenbasierte Büromaschinen (Bull, IBM) Zuse baut seine ZI (mechanischer Rechner) 40er Jahre, 2.ter Weltkrieg Zuse baut weitere Rechner Z2-Z4 auf elektro-mechanischer Basis (Relais) Turing baut in England einen Dechiffrierrechner (Colossus) Aiken baut den Relaisrechner Markl 1946 ENIAC, erster elektronischer Rechner (18000 Röhren) 1946 J.v. Neumann beschreibt die Fundamentalprinzipien von Rechenanlagen 1958 Die Programmiersprache Fortran wird von IBM entwickelt. Zur gleichen Zeit entsteht COBOL für kaufmännisches Rechnen 60er-70er Jahre IBM beherrscht mit seinen transistorisierten Rechenanlagen den Markt Eine Fülle von Programmiersprachen entsteht (darunter PASCAL,C... ) 1975 Siegeszug des Mikrocomputers beginnt Bild 1-2 Historische Übersicht der Datentechnik

9 Technische Informatik II Seite 1-9 Informationsverarbeitung Informationsspeicherung Umwelt Operationsausführung (a) Abakus 1000 v. Chr. Zahlen- Darstellung Zahleneingabe Zahlenablesung Operationsauslösung (b) Rechenmaschine Schickard 1600 n. Chr Rechenmechanik Register Zahleneingabe Zahlenablesung Zeichenspeicher (c) Zählmechanik Datenverarbeitungssystem Hollerith 1890 Zählregister Lochkarte } Dateneingabe Ablesung Fortschaltung (d) Programmsteuerter Webstuhl Jacquard 1801 Ablauf- Steuerung Lochband (e) Programmgesteuertes Datenverarbeitungssystem Babbage 1830 Zuse 1941 v. Neumann 1948 Steuerwerk Bedingungen Rechenwerk Programmund Datenspeicher Zwischenspeicher } Eingabe } Ausgabe } Programm und Daten Bild 1-3 Schematische Entwicklungsgeschichte der Datenverarbeitung g) Mikrocomputer Ab Anfang der 70er ermöglichte die VLSI-Technik die Entwicklung von Mikroprozessoren in MOS-Technologie. Ab ca standen dann die ersten kommerziellen Mikrocomputer zu Verfügung. Zu Anfang waren dies noch wenig leistungsfähige Systeme, basieren auf einfachen Mikroprozessoren mit unter 1 MIPS (Million Instruction Per Second) Rechenleistung (vgl. Bild 1-4).

10 Technische Informatik II Seite 1-10 In Bild 1-5 ist die Entwicklung des Mikrocomputers in Hardware und Software bis zum Endes des 20. Jahrhunderts nachgezeichnet. Hauptentwicklungsschübe wurden durch Firmen geprägte "quasi Standards" geleistet (z. B. offene Systemarchitectur des IBM-PC-XT und AT, Intel Mikroprozessorlinie, MS-DOS und Windows Betriebssysteme). Bild 1-4 aus c't 5/92 Die Rechenleistung stiegt durch Fortschritte in der Integration und Weiterentwicklung der Rechnerarchitekturen dramatisch an. Bild 1-5a aus c't 26/99

11 Technische Informatik II Seite 1-11 Bild 1-5b aus c't 26/99 Bild 1-6 zeigt ebenfalls bis Ende des Jahrhunderts die Zunahme der Rechenleistung der Intel- Prozessorserie. Nach Moores Gesetz steigt die Rechenleistung dabei etwa alle 18 Monate um den Faktor 2. Heutige Prozessoren (Stand 2005) erreichen Rechenleistungen um 5000 MIPS, das Moorsche Gesetz gilt auch weiterhin. Bild 1-6 Prozessorleistung

12 Technische Informatik II Seite 1-12 Zu Beginn des 21. Jahrhunderts ist die Entwicklung geprägt durch Systemlösungen auf einem Chip (z. B. Rechnerkern, Speicher, Peripherie-Schaltungen). Solche Systemlösungen werden nicht nur in klassischen Mikrocomputern eingesetzt sondern vielfach als so genanntes "eingebettetes System" in Mobiltelefonen, Netzwerkknoten etc. 1.4 Darstellung von Zahlen und Zeichen in Computern Zahlensysteme Eine Zahl wird durch Symbole dargestellt, die nach bestimmten Regeln aneinandergereiht werden. Die Gesamtheit der Symbole und zugehörigen Regeln bildet ein Zahlensystem. Die technisch interessanten Zahlensysteme sind Stellenwert- oder Positionssysteme, auch Basissysteme oder Polyadische Systeme genannt. Hier stellt jedes Symbol (Ziffer) unterschiedliche Zahlenwerte dar, je nachdem, an welcher Stelle innerhalb der Zahl das Symbol steht. Ein Zahlenwert N mit n Stellen ergibt sich als Summe der Produkte aus der Ziffer b und der zugehörigen Stellenwertigkeit B i. Letztere ergibt sich aus der jeweiligen Potenz der Basis B: n 1 N = b B Man nennt ein polyadisches System mit der Basis B auch ein "B-adisches System". Basis Binär (dual) 2 Ternär 3 Oktal 8 i= 0 i Dezimal 10 i Hexadezimal 16 Restklassen Gray- Code Code A B C D E F polyadisch nicht-polyadisch Bild 1-7 Beispiele für Zahlensysteme

13 Technische Informatik II Seite 1-13 Daraus ergeben sich vier wichtige Eigenschaften: 1. Die Anzahl der unterschiedlichen Symbole (Ziffern) ist gleich der Basis B des Zahlensystems. 2. Die größte Ziffer ist um den Wert Eins kleiner als die Basis B. 3. Jede Ziffer wird mit der der jeweiligen Stelle entsprechenden Potenz der Basis multipliziert. 4. Jede Stelle hat eine B-mal so hohe Wertigkeit als die benachbarte niederwertigere Stelle. Beispiel Dezimalsystem: Basis B = 10, Symbolvorrat (B = 10 Ziffern) : (= B-1) (157) 10 = In der Digitaltechnik wird im wesentlichen das Dualsystem, d.h. das natürliche Binärsystem eingesetzt. Es benötigt nur die beiden Symbole 0 und 1 (dargestellt durch die Zustände L (= Low) und H = High), die sich elektronisch sehr einfach und zuverlässig realisieren lassen. Im praktischen Umgang (insbesondere bei Mikrorechnern) wird häufig zusätzlich das Oktal- und vor allem das Hexadezimalsystem verwendet. Beide ermöglichen eine kürzere und einfachere Schreibweise von Binärmustern. Dualsystem (Natürliches Binärsystem) Das Dualsystem ist ein spezielles Binärsystem und gleichzeitig das einfachste Basissystem mit B = 2 und den Symbolen 0 und 1. Die Stellen werden nach fallenden Potenzen der Basis geordnet. Beispiel: [Potenzen 128 / 64 / 32 / 16 / 8 / 4 / 2 / 1] (157) 10 = (Potenzschreibweise) = ( ) 2 (Stellenschreibweise) Ein binäres Zeichen nennt man ein Bit (binary Digit); eine Bitgruppe kann eine Zahl, einen Befehl oder allgemeine Information darstellen. Man kann eine Bitgruppe auch als Wort bezeichnen; ein 8- Bit-Wort nennt man ein Byte. Oktalsystem Das Oktalsystem verwendet die Basis B = 8 und den Symbolvorrat Die Erläuterung erfolgt am besten anhand des bereits verwendeten Beispiels: (157) 10 = [Potenzen 512 / 64 / 8 / 1] = (235) 8 ; Praktische Handhabung aus dem Dualzahlenbeispiel und Analogie: (157) 10 = dual oktal Hexadezimalsystem (Sedezimalsystem)

14 Technische Informatik II Seite 1-14 Dieses Zahlensystem wird in der Mikroprozessortechnik wegen der kurzen Darstellungsform häufig zur Zahlendarstellung sowie zur Darstellung von Adressen und Befehlen verwendet. Eine zweistellige Hexadezimalzahl entspricht einem Byte. Bei der Basis B = 16 und dem Symbolvorrat , A, B, C, D, E und F werden z.b. alle Dezimalzahlen von darstellbar und sämtliche Kombinationen eines 4 Bit-Wortes genutzt. Beispiel: (157) 10 = D 16 0 [Potenzen 256 / 16 / 1] = (9D) 16 Praktische Handhabung aus dem Dualzahlenbeispiel und Analogie: (157) 10 = dual hexadezimal 9 D Konvertierungsverfahren für die Umsetzung von Zahlen aus einem Zahlensystem in ein anderes werden in der Übung besprochen. dual oktal dezimal hexadezimal (sedezimal) A B C D E F Bild 1-8 Äquivalente von Zahlen und Potenzen Ergänzende Anmerkung: Neben den polyadischen Zahlensystemen zu einer Basis B sind auch noch gemischt polyadische Zahlensysteme, z.b. bei der Zeitrechnung und bei der alten englischen Währung in Gebrauch. Auch hier wird eine Zerlegung der vorgegebenen Zahl in Potenzen vorgenommen. Dagegen sind nichtpolyadische Systeme, z.b. Restklassensysteme, gänzlich andere Zahlensysteme.

15 Technische Informatik II Seite Konvertierung natürlicher Zahlen zwischen Systemen mit unterschiedlichen Basen Eine im B-adischen Zahlensystem dargestellte Zahl N = b n-1 b n-2 b 1 b 2 = b n-1 B n b 1 B 1 + b 0 B 0 kann mit dem Hornerschema auch in folgender Weise geschrieben werden. N = (( (b n-1 B + b n - 2 ) B + ) B + b 1 ) B + b 0 Ebenso hat N eine gleichartige Repräsentation im System mit der Basis B : N = (( (b n-1 ' B' + b n - 2 ') B' + ) B' + b 1 ') B' + b 0 ' Um nun die b i aus der ersten Repräsentation zu berechnen, können wir durch wiederholte Division durch B die Reste ermitteln, die dann genau den Ziffern im B -adischen System entsprechen. Diese Division muss im B-adischen System durchgeführt werden, da wir ja anfangs nur die B-adische Darstellung von N kennen. Daher brauchen wir die B-adische Darstellung von B für die Division. Das Divisionsschema sieht dann so aus: N: B = q 0 Rest b 0 q 0 : B = q 1 Rest b 1 q 1 : B = q 2 Rest b 2 q n-1 : B = q n-1 Rest b n-1 Und das Ergebnis wird durch die Folge der Reste b n-1,b n-2 b 0 geliefert. Beispiele: Die Zahl soll ins 3-adische System (Ternärsystem) umgewandelt werden : 3 7 = Rest

16 Technische Informatik II Seite : 3 7 = 43 7 Rest : 3 7 = 13 7 Rest : 3 7 = 3 7 Rest : 3 7 = 1 7 Rest : 3 7 = 0 7 Rest 1 Ergebnis = Die Zahl soll ins Oktalsystem umgewandelt werden : 11 7 = 50 7 Rest : 11 7 = 4 7 Rest : 11 7 = 0 7 Rest 4 Ergebnis = Eine zweite Möglichkeit der Konvertierung ist die Abarbeitung des Hornerschemas N = (( (b n-1 B + b n - 2 ) B + ) B + b 1 ) B + b 0 von links nach rechts. In diesem Falle müssen alle b n ' sowie die Basis B in der Formel zunächst ins B -System umgewandelt werden. Sodann kann die Formel wie üblich nach den Rechenregeln für + und * im B -adischen System von links nach rechts ausgerechnet werden.

17 Technische Informatik II Seite 1-17 Beispiele: Umwandlung der Zahl ins Dezimalsystem: N = ((((((( ) 2 + 0) 2 + 0) 2 + 1) 2 + 0) 2 + 1) 2 + 0) = 405 Umwandlung von ins Oktalsystem: N = ( ) = (36 + 6) = = = 555 Man beachte: die 10 ist im Oktalsystem als 12 dargestellt. Bemerkung: Die Konvertierung durch sukzessive Division empfiehlt sich, wenn die Arithmetik in dem Ausgangssystem einfacher ist und die Konvertierung durch Multiplikation und Addition ist einfacher, wenn die Arithmetik im Zielsystem besser beherrscht wird Rechnen im B-adischen Zahlensystem In jedem B-adischen Zahlensystem kann ähnlich wie im Dezimalsystem gerechnet werden. Man muss aber dabei aufpassen, dass man nicht (implizit) Ziffern benutzt, die in dem jeweiligen System nicht vorhanden sind. Beispiele: Im Oktalsystem sind die Zahlen 7351 und 642 zu addieren: Im Dualsystem sollen und addiert werden Im Hexadezimalsystem sollen CAD von 1234 subtrahiert werden: CAD Multiplikation der Zahl 21D5 16 mit der Zahl 6 16 : 21 D5 6 CAFE Denn 6 5 = 1E (E schreib hin, 1 im Sinn), 6 D = 4E (+ 1 macht F, F schreib hin, 4 im Sinn), 6 1 = 6 (+ 4 macht A, A schreib hin, 0 im Sinn) und 6 2 = C.

18 Technische Informatik II Seite Codierung zur Zeichendarstellung Unter einem Code versteht man sowohl eine eindeutige Verschlüsselungsvorschrift eines Zeichenvorrates in einen anderen (injektive Abbildung) als auch den als Bildmenge auftretenden Zeichenvorrat (mit der Menge 0,1 im Dualsystem hat man ein einfaches Beispiel eines Zeichenvorrates). Bei Rechnern liegt die Bedeutung von Codes nicht so sehr in der Geheimhaltung durch eine geeignete Verschlüsselung. Es geht vielmehr darum, die zu übertragende und zu verarbeitende Information den jeweiligen technischen Geräten entsprechend darzustellen und Fehlerkorrektur zu ermöglichen. Entsprechend der Zweiwertigkeit der verwendeten Bauelemente werden die Zeichen des außerhalb der Rechenanlage verwendeten Zeichenvorrats, also i.a. Buchstaben und Ziffern, für Übertragung und Verarbeitung in Rechenanlagen binär codiert. Als binäre Codes bezeichnet man die Codes, deren Bildmenge auf einem zweiwertigen Zeichenvorrat aufbaut. Offensichtlich ist dieser Zeichenvorrat als Bildmenge zu klein. Um trotzdem die Vorteile einer zweiwertigen Darstellung nutzen zu können, bildet man Zeichenfolgen über {0,1}. Solche Zeichenfolgen nennt man Worte bzw. - da sie über dem binären Zeichenvorrat gebildet sind - Binärworte. BCD-Zahlen (Binary Coded Decimal Numbers, binärcodierte Dezimalzahlen) Bei der Kommunikation mit dem Menschen ist das in digitalen Geräten und insbesondere in Digitalrechnern meist verwendete Dualsystem zu unhandlich. In solchen Fällen werden die einzelnen Dezimalziffern binär verschlüsselt. Dazu sind 4-Bit-Worte (Tetraden) notwendig, die allerdings sechzehn Bitkombinationen erlauben, von denen nur zehn benutzt werden. Die sich daraus ergebende Redundanz hat zur Folge, dass es zahlreiche unterschiedliche Möglichkeiten zur binärcodierten Darstellung der zehn Dezimalziffern gibt. Dezimalziffer Dual 8421 Aiken 2421 Stibitz Spiegelachse Bild 1-9 Einige BCD-Codes Der meist verwendete BCD-Code ist der Code, auch natürlicher BCD-Code genannt. Bei ihm werden die Ziffern genauso wie im Dualcode dargestellt. Die sechs nicht auftretenden Bitkombinationen, nämlich werden Pseudotetraden genannt und dürfen nicht als Endergebnis von Verknüpfungen und Rechenoperationen auftreten.

19 Technische Informatik II Seite 1-19 Aus der Rechenpraxis sind noch zwei weitere BCD-Codes bekannt, der Aiken-Code ( ) und der Stibitz- oder 3-Exzeßcode. Letzterer entsteht aus dem Code durch Addition von 3. Beide Codes haben symmetrische Eigenschaften, d.h. Spiegelung mit Inversionen an der Trennlinie; dies ist bei der Subtraktion vorteilhaft Neuner-Komplement). Codes zur Darstellung alphanumerischer Zeichen Bisher haben wir uns nur mit der Umwandlung und Darstellung von Zahlen durch geeignete Codes beschäftigt, welche die Grundlage für die gesamte Arithmetik als eine der Hauptaufgaben eines Rechners sind. An der Schnittstelle zu E/A-Geräten benötigt man aber auch eine Darstellungsform für Zeichen allgemeiner Art wie das Alphabet in Groß- und Kleinschreibung, Steuerzeichen und auch Ziffern in Text zum Beispiel. Dafür haben sich binäre Codes als Standard-Codes durchgesetzt. Es gibt noch viele andere Codes, abhängig vom Datenträger (z. B. Streifen-Bar-Code auf Handelsgütern). Die Umformung in einen der Standardcodes erfolgt dann im jeweiligen I/O-Gerät. Somit wird die Kompabilität (Verträglichkeit, Vereinbarkeit) an der Schnittstelle zum Rechner hergestellt. a) ANSI Code Der ANSI-Code (American National Standards Institute) ist ein 8 bit Code, der die Codierung von 256 Zeichen erlaubt. Bild 1-10 zeigt die Codetabelle mit Zuordnung der Zeichen mit zugehörigem Zeichenindex (darunter in Dezimaldarstellung) und Codierung entsprechend dem Index im Hexadezimalformat an den Rändern der Tabelle. Der Code enthält die Zahlen, das lateinische Alphabet sowie Steuer- und Sonderzeichen.

20 Technische Informatik II Seite 1-20 Zeichensatz Windows (Latin) einschließlich der ASCII-Steuerzeichen 0 31 Bild 1-10 Tabelle für den ANSI-Code

21 Technische Informatik II Seite 1-21 ASCII - American Standard Code for Information Interchange Ein (älterer) an den I/O-Schnittstellen von EDV-Anlagen verwendeter ist der ASCII-Code, der nur sieben Bits zur Darstellung eines Zeichens benutzt und daher auch die Bezeichnung "ISO 7-Bit-Code" (ISO = International Standardization Organization) trägt. Unter DIN ist er 1979 in die deutsche Normung übernommen worden (s. Bild 1-11, ASCII-Tabelle) Bild 1-11 ASCII-Tabelle Die sieben Bits erlauben 128 Codierungsmöglichkeiten. Neben den Buchstaben und Ziffern enthal-

22 Technische Informatik II Seite 1-22 ten die beiden ersten Spalten der ASCII-Tabelle zusätzliche Zeichen, die zur Steuerung bei der Übertragung von Daten zwischen I/O-Geräten und dem Rechner bzw. zwischen I/O-Geräten untereinander dienen. Das vorhandene achte Bit pro Byte kann z.b. zur Kontrolle auf Fehlerfreiheit bei der Datenübertragung verwendet werden. Ein gebräuchliches Verfahren ist die Paritätsbildung (parity check). Dabei gibt es zwei Möglichkeiten: even parity: ergänzt die Anzahl der Einsen auf geradzahlige Werte, z.b odd parity: ergänzt die Anzahl der Einsen auf ungeradzahlige Werte, z.b Beispiel: Daten in ASCII, Darstellung even parity UWE: 253: U W E Zudem kann das achte Bit genutzt werden, um auf andere Zeichensätze umzuschalten Zahlenformate und -darstellungen In den digitalen Systemen wird üblicherweise das Dualsystem mit Binärzahlen verwendet. Um mit Binärzahlen rechen zu können, müssen Formate zur Zahlendarstellung festgelegt werden. Typische Formate sind Format Typ Nutzung, z. B. 4 bit Halbbyte BCD-Code 8 bit Byte Zeichen (char) 16 bit Halbwort ganze Zahlen (short integer) 32 bit Wort ganze Zahlen, rationale Zahlen (single precision float, integer) 64 bit Doppelwort ganze Zahlen, rationale Zahlen (double precision float, long integer) Die für die Speicherung von Zahlen benötigten Speicherkapazitäten werden üblicherweise in 1000er-Größenordnungen angegeben, z. B. 1 Kbit = 1024 bit = 2 10 bit 1 Mbit = 2 20 bit 1 Gbit = 2 30 bit 1 Tbit = 2 40 bit

23 Technische Informatik II Seite 1-23 Darstellung von ganzen Zahlen Zur Darstellung von ganzen Zahlen können folgende Formate verwendet werden: a) vorzeichenlos Bild 1-12 zeigt den Zahlenraum für eine ganzzahlige 8-stellige Binärzahl. Bereichsüber- oder -unterschreitungen können z. B. Addition/Subtraktion zweier 8-bit Zahlen können durch den Übertrag in eine zusätzliche Stelle (Carry-Bit) erkannt werden. (-127) (+ 0) (- 0) (+ 127) Bild 1-12 Zahlenraum für eine 8-stellige Binärzahl b) mit explizitem Vorzeichenbit Um auch negative ganze Zahlen darstellen zu können, kann das oberste Bit des Zahlenformates als Vorzeichenkennung verwendet werden. Damit sind in einer 8-stelligen Dualzahl die Zahlen darstellbar (siehe Bild 1-12, eingeklammert) Bild 1-13 Zahlenraum für eine 8-stellige Binärzahl im 2er-Komplement

24 Technische Informatik II Seite 1-24 c) 2er-Komplement (allgemein B-Komplement) Um die umständliche Falluntersuchung bei Bereichsüberschreitungen in der Version b zu vermeiden, werden üblicherweise die negativen Zahlen im 2er-Komplement dargestellt (siehe Bild 1-13). Bildung des 2er-Komplements: ( ) 2 = (+1) 10 Invertieren ( ) 2 = (-1) 10 Vorteile des 2er-Komplements: Addition und Subtraktion können mit derselben Hardware gemacht werden. Konversion ist einfach. Positive und negative Zahlen können gleich behandelt werden. Das Vorzeichen ist bei geradem B an der ersten Stelle (most significant digit) zu erkennen. Nachteil: Überläufe werden nicht automatisch erkannt. Konvertierung erfordert ein carry Beispiel: im System der fünfstelligen Dualzahlen: = Das Ergebnis wird falsch interpretiert als Allerdings kann man solche Überläufe erkennen, wenn man eine weitere (führende) Stelle vor der signifikantesten Stelle des Ergebnisses einführt. 1. Fall: Wenn eine positive und eine negative Zahl addiert werden, kann nie ein Übertrag auftreten. 2. Wenn zwei positive oder zwei negative Zahlen addiert werden, und die zusätzliche führende Stelle nach der Addition (Subtraktion) mit der signifikantesten Stelle übereinstimmt, ist kein Ü- berlauf aufgetreten. Unterscheiden sie sich, ist ein Überlauf aufgetreten. Und zwar wenn die Stellen 01 sind, eine nicht darstellbare positive Zahl und wenn sie 10 sind ein betragsmäßig zu großes negatives Ergebnis.

25 Technische Informatik II Seite 1-25 Beispiele: Das Beispiel von eben: im System der fünfstelligen Dualzahlen: Sicherungsstelle (Kopie der signifikantesten Ziffer) = Sicherungsstelle der Summe = 0, MSB (most signifikant Bit) der Summe = 1, also Überlauf: nicht darstellbare positive Zahl als Ergebnis im System der fünfstelligen Dualzahlen: Sicherungsstelle (Kopie der signifikantesten Ziffer) = Sicherungsstelle der Summe = 1, MSB (most signifikant Bit) der Summe = 1, also kein Überlauf und kein Unterlauf: darstellbare (negative) Zahl als Ergebnis (-1). Es gilt: Genau dann ist bei Addition zweier n-stelliger 2-adischer Zahlen das Ergebnis wieder im (mit n Ziffern) darstellbaren Bereich, wenn nach der Addition die Vorzeichenstelle (Stelle N-1) mit der Sicherungsstelle (Stelle N) übereinstimmt. Zu unterscheiden sind dabei die folgenden 6 Fälle: 1. N 1 0, N 2 0, N 1 + N 2 2 N-1 2. N 1 0, N 2 0, N 1 + N 2 < 2 N-1 3. N 1 < 0, N N 1 0, N 2 < 0 5. N 1 < 0, N 2 < 0, N 1 + N 2-2 N-1 6. N 1 < 0, N 2 < 0, N 1 + N 2 < -2 N-1

26 Technische Informatik II Seite 1-26 Der darstellbare Zahlenraum ist für die drei Versionen (vorzeichenlos, mit Vorzeichenbit, 2er- Komplement): Wortbreite Version a) Version b) Version c) 8 bit , -0, +0, , 0, bit , -0, +0, , 0, bit 0 4G-1 -(2G-1), -0, +0, +(2G-1) -2G, 0, 2G-1 n bit 0 2 n -1 -(2 n-1-1), -0, +0, +2 n n-1, 0, 2 n-1-1 Zur Darstellung rationaler Zahlen werden verwendet a) Festkommadarstellung (fix point) 1) z. Β. zwei 16-bit-Worte Bit 15 Bit 0, Bit 15 Bit 0 Durch diese Darstellung kann man die rationalen Zahlen bis auf die durch das zweite Wort gegebene Genauigkeit im Nachkommastellenbereich erfassen. Dies Format wird häufig bei einfachen Berechnungen in simplen Rechenwerken (z. B. Mikrocontrollern) verwendet. b) Gleitkommadarstellung (floating point) 1) Arithmetik in Festkommadarstellung lässt sich einfach implementieren, weist aber die entsprechenden Beschränkungen in Zahlenbereich und Nachkommagenauigkeit auf. Für flexible Zahlendarstellungen werden daher Gleitkommaformate mit Vorzeichen s, Signifikant f und Exponent mit Nullpunktverschiebung (Bias) b verwendet (siehe Bild 1-14). z = s f 2 E ; Exponent E = e - b Bild 1-15 zeigt die Aufteilung des Zahlenraumes. An den Enden des Zahlenraumes sind Werte für ± sowie für so genannte "Nichtzahlen" (NaN) reserviert. 1) (International wird als Trennzeichen auch der Punkt verwendet)

27 Technische Informatik II Seite 1-27 s d Einfache Genauigkeit Doppelte Genauigkeit b e,, E E E E E Bild 1-14 Gleitkommaformate nach IEEE

28 Technische Informatik II Seite 1-28,,,,,,,, Bild 1-15 Zahlenraum einer Gleitkommazahl Bild 1-16

29 Technische Informatik II Seite Arithmetik mit Gleitkommazahlen Die Multiplikation von Gleitkommazahlen ist einfach, denn ( ) ( ) ( ) ( ) E1 E2 E1 E = s f 2 s f 2 s f s f 2 + d. h. die Mantissen können als normale Dualzahlen multipliziert werden und die Exponenten addiert. Das gleiche gilt für die Division. Schwieriger ist dagegen die Addition: Hier muss zunächst dafür gesorgt werden, dass die Exponenten angeglichen werden, denn eine Addition der Mantissen kann nur dann richtig ausgeführt werden, wenn die Exponenten gleich sind: ( ) E1 E1 E = s f 2 s f 2 s f s f 2 Zu diesem Zweck muss zunächst ermittelt werden, welcher Exponent der größere ist und die Exponentendifferenz d wird mittels einer Subtraktion gebildet. Sodann wird die Mantisse der Zahl mit dem kleineren Exponenten um d Stellen nach rechts verschoben, wobei von links Nullen nachgezogen werden. Dies entspricht einer Division der Mantisse durch 2 d bei gleichzeitiger Vergrößerung des Exponenten um d. Nun kann die Addition auf den angepassten Mantissen durchgeführt werden, wobei als Exponent des Ergebnisses der größere Exponent der Operanden wird. Durch die Addition kann es passieren, dass im Ergebnis eine Folge von führenden Nullen entsteht. Um aber für nachfolgende Operationen die Genauigkeit nicht einzuschränken, wird die Mantisse des Ergebnisses nun wieder nach links verschoben, bis die erste signifikante Stelle eine 1 ist. Wenn die Verschiebedistanz d ist, muss schließlich der Exponent noch um d vermindert werden, damit der Wert des Ergebnisses nicht verändert wird.